河南省新乡市2016-2017学年高二下学期期末考试数学(文)试题 WORD版

2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即. 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。

2016-2017学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设i是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+5）（x﹣m）＜0}，m∈Z，若A∩B有三个元素，则m的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．33．已知{a n}为等差数列，a1+a2=a3=6，则a2等于（）A．2 B．C．3 D．44．下列曲线中，在x=1处切线的倾斜角为的是（）A．y=x2﹣B．y=xlnx C．y=x3﹣2x2 D．y=e x﹣15．某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统在区间无零点的概率不小于7．已知双曲线l：kx+y﹣k=0与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．2 C．D．38．执行如图所示的程序框图，则下列说法正确的（）A．∀a∈（2，4），输出的i的值为5 B．∃a∈（4，5），输出的i的值为5C．∀a∈（3，4），输出的i的值为5 D．∃a∈（2，4），输出的i的值为59．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．13π B．16π C．17π D．21π10．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，]上单调递增，则φ的取值范围是（）A．[，] B．[，） C．[，] D．[，]11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）（x0＞）是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，若=2，则|AF|等于（）A．B．1 C．2 D．312．若函数f（x）=alog2（|x|+4）+x2+a2﹣8有唯一的零点，则实数a的值是（）A．﹣4 B．2 C．±2 D．﹣4或2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设向量=（﹣1，1），=（1，5），则向量在方向上的投影为．14．已知数列{a n}满足=，且a2=2，则a7= ．15．若实数x、y满足不等式组，且3（x﹣a）+2（y+1）的最大值为5，则a= ．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，AA1=3，E是AA1的中点，过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F，则= ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）若，求△ABC的面积；（2）若，，且c＞b，BC边的中点为D，求AD的长．18．为了调查喜欢旅游是否与性别有关，调查人员就“是否喜欢旅游”这个问题，在火车站分别随机调研了50名女性和50名男性，根据调研结果得到如图所示的等高条形图（Ⅰ）完成下列2×2列联表：（2）能否在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢旅游与性别有关”附：（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．如图，在四面体P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，PC⊥底面ABCD，AB⊥BP，BC=．（1）求证：PA⊥BD；（2）已知E是PA上一点，且BE∥平面PCD．若PC=2，求点E到平面ABCD的距离．20．已知右焦点为F（c，0）的椭圆M： =1（a＞b＞0）过点，且椭圆M 关于直线x=c对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆M的方程；（2）过点（4，0）且不垂直于y轴的直线与椭圆M交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称原点为E，证明：直线PE与x轴的交点为F．21．已知函数f（x）=（2x+b）e x，F（x）=bx﹣lnx，b∈R．（1）若b＜0，且存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，求b的取值范围；（2）若F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标是ρ=2asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．（1）若a=2，M为直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；（2）若直线l被圆C截得的弦长为，求a的值．【选修4-5：不等式选讲】23．设实数x、y满足2x+y=9．（1）若|8﹣y|≤x+3，求x的取值范围；（2）若x＞0，y＞0，求证：≥．2016-2017学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设i是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则化简，得到复数的代数形式即可．【解答】解：复数=；对应的点为（﹣1，2），所以在复平面对应的点在第二象限；故选B．2．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+5）（x﹣m）＜0}，m∈Z，若A∩B有三个元素，则m的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据集合元素之间的关系即可求出答案【解答】解：集合A={0，1，2，3，4}，当m≤﹣5时，集合B为空集，显然不合题意，当m＞﹣5时，B={x|（x+5）（x﹣m）＜0}=（﹣5，m），因为A∩B有三个元素，所以m=3，故选：D3．已知{a n}为等差数列，a1+a2=a3=6，则a2等于（）A．2 B．C．3 D．4【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，由此能求出a2．【解答】解：∵{a n}为等差数列，a1+a2=a3=6，∴，解得a1=2，d=2，∴a2=a1+d=2+2=4．故选：D．4．下列曲线中，在x=1处切线的倾斜角为的是（）A．y=x2﹣B．y=xlnx C．y=x3﹣2x2 D．y=e x﹣1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可得函数y在x=1处切线的斜率为tan=﹣1，对A，B，C，D四个函数分别求导，计算斜率即可得到所求．【解答】解：在x=1处切线的倾斜角为，即有函数y在x=1处切线的斜率为tan=﹣1，对于A，y=x2﹣的导数为y′=2x+，在x=1处切线的斜率为2+3=5；对于B，y=xlnx的导数为y′=1+lnx，在x=1处切线的斜率为1；对于C，y=x3﹣2x2的导数为y′=3x2﹣4x，在x=1处切线的斜率为3﹣4=﹣1；对于D，y=e x﹣1的导数为y′=e x，在x=1处切线的斜率为e．故选：C．5．某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：若按笔试成绩择优录取40名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为（）A．70分B．75分C．80分D．85分【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】由题意得在抽查的20名应试者能能被录取的人数为4人，由此能预测参加面试的分数线．【解答】解：由题意得在抽查的20名应试者能能被录取的人数为：20×=4人，∴预测参加面试的分数线为80分．故选：C．6．在区间（﹣2，a）（a＞0）上任取一个数m，若函数f（x）=3x+m﹣3在区间[1，+∞）无零点的概率不小于，则实数a能取的最小整数是（）A．1 B．3 C．5 D．6【考点】CF：几何概型．【分析】可得方程x+m=在区间[1，+∞）无解，由方程x+m=的根为x=﹣m，只需⇒m＞，根据几何概型计算公式得，即可求解．【解答】解：函数f（x）=3x+m﹣3在区间[1，+∞）无零点⇔方程x+m=在区间[1，+∞）无解，∵方程x+m=的解为x=﹣m，∵方程x+m=在区间[1，+∞）无解，只需⇒m＞，根据几何概型计算公式得，解得a，实数a能取的最小整数是6，故选：D7．已知双曲线l：kx+y﹣k=0与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．2 C．D．3【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的渐近线方程可知丨k丨=，根据两平行线之间的距离公式，即可求得k的值，由双曲线离心率公式，即可求得答案．【解答】解：由题意可知：直线l：kx+y﹣k=0，则渐近线方程kx+y=0，即y=﹣kx，∴丨k丨=，由这两条平行线间的距离为，即=，整理k2=8，解得：k=±2，即=k2=8，由双曲线的离心率e===3，∴双曲线C的离心率3，故选D．8．执行如图所示的程序框图，则下列说法正确的（）A．∀a∈（2，4），输出的i的值为5 B．∃a∈（4，5），输出的i的值为5C．∀a∈（3，4），输出的i的值为5 D．∃a∈（2，4），输出的i的值为5【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，由题意可得16＞5a，且9≤4a，从而解得a的范围，依次判断选项即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1执行循环体，S=1，i=2不满足条件S＞ai，执行循环体，S=4，i=3不满足条件S＞ai，执行循环体，S=9，i=4不满足条件S＞ai，执行循环体，S=16，i=5由题意，此时满足条件S＞ai，退出循环，输出i的值为5，则16＞5a，且9≤4a，解得：≤a＜．故选：D．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．13π B．16π C．17π D．21π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，求其外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为组合体，是一个底面半径为1的半圆柱及一个三棱柱，其外接球的直径为BC1，．∴外接球得半径为R=，则外接球的体积为=13π．故选：A．10．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，]上单调递增，则φ的取值范围是（）A．[，] B．[，） C．[，] D．[，]【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得φ的取值范围．【解答】解：将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g （x）=sin（2x﹣2φ）的图象，若函数g（x）在区间[0，]上单调递增，则，求得≤φ≤，故选：A．11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）（x0＞）是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，若=2，则|AF|等于（）A．B．1 C．2 D．3【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由题意，|MF|=x0+．利用圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，可得|MA|=2（x0﹣），利用=2，求出x0，p，即可求出|AF|．【解答】解：由题意，|MF|=x0+．∵圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，∴|MA|=2（x0﹣），∵=2，∴|MF|=|MA|，∴x0=p，∴2p2=8，∴p=2，∴|AF|=1．故选B．12．若函数f（x）=alog2（|x|+4）+x2+a2﹣8有唯一的零点，则实数a的值是（）A．﹣4 B．2 C．±2 D．﹣4或2【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】根据f（x）是偶函数可知唯一零点比为0，从而得出a，再利用函数图象验证即可．【解答】解：显然f（x）是偶函数，∵f（x）有唯一一个零点，∴f（0）=0，即a2+2a﹣8=0，解得a=2或a=﹣4．当a=2时，f（x）=2alog2（|x|+4）+x2﹣4，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，符合题意；当a=﹣4时，f（x）=﹣4log2（|x|+4）+x2+8，作出y=4log2（|x|+4）和y=x2+8的函数图象如图所示：由图象可知f（x）有三个零点，不符合题意；综上，a=2．故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设向量=（﹣1，1），=（1，5），则向量在方向上的投影为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】依题意，可得=﹣=（2，4），从而可得在方向上的投影为，计算即可得到答案．【解答】解：∵ =（﹣1，1），=（1，5），∴=﹣=（2，4），∴•=（2，4）•（﹣1，1）=2×（﹣1）+4×1=2，∴在方向上的投影为==．故答案为：．14．已知数列{a n}满足=，且a2=2，则a7= 95 ．【考点】8H：数列递推式．【分析】由数列{a n}满足=，且a2=2，利用递推思想依次能求出a3，a4，a5，a6，a7，由此能求出a7的值．【解答】解：∵数列{a n}满足=，且a2=2，∴，解得a3=5，，解得a4=11，，解得a5=23，，解得a6=47，，解得a7=95．故答案为：95．15．若实数x、y满足不等式组，且3（x﹣a）+2（y+1）的最大值为5，则a=2 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数即可求得a值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（1，3）．令z=3（x﹣a）+2（y+1），化为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为11﹣3a=5，即a=2．故答案为：2．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，AA1=3，E是AA1的中点，过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F，则= ．【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】连结AC、BD，交于点O，当C1F与EO垂直时，C1F⊥平面BDE，从而F∈AA1，△C1A1F∽△EAO，由此能求出的值．【解答】解：连结AC、BD，交于点O，∵四边形ABCD是正方形，AA1⊥底面ABCD，∴BD⊥平面ACC1A1，则当C1F与EO垂直时，C1F⊥平面BDE，∵F∈平面ABB1A1，∴F∈AA1，在矩形ACC1A1中，△C1A1F∽△EAO，则=，∵A1C1=2AO=AB=2，AE=，AA1=3，∴A1F=，∴AF=，∴ =．故答案为：三、解答题（共5小题，满分60分）17．设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）若，求△ABC的面积；（2）若，，且c＞b，BC边的中点为D，求AD的长．【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）由题意和正弦定理以及同角三角函数基本关系可得tanB，可得B值，再由正弦定理整体可得ac的值，代入三角形的面积公式计算可得；（2）由余弦定理可得c值，在△ABD中由余弦定理可得．【解答】解：（1）∵在△ABC中，∴由正弦定理可得sinCcosB=sinBsinC，约掉sinC可得cosB=sinB，∴tanB==，B=，又∵，∴a2c=4a，∴ac=4，∴△ABC的面积S=acsinB=；（2）∵，，∴由余弦定理可得7=12+c2﹣2×2×c，解关于c的方程可得c=5，或c=1（不满足c＞b，舍去）∵BC边的中点为D，∴在△ABD中由余弦定理可得：AD2=（）2+52﹣2××5×=13，开方可得AD的长为．18．为了调查喜欢旅游是否与性别有关，调查人员就“是否喜欢旅游”这个问题，在火车站分别随机调研了50名女性和50名男性，根据调研结果得到如图所示的等高条形图（Ⅰ）完成下列2×2列联表：（2）能否在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢旅游与性别有关”附：（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】BO：独立性检验的应用；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据等高条形图，计算男、女性不喜欢旅游的人数，填写2×2列联表即可；（2）根据列联表中数据，计算K2，对照临界值表得出结论．【解答】解：（Ⅰ）根据等高条形图，计算女性不喜欢旅游的人数为50×0.3=15，男性不喜欢旅游的人数为50×0.5=25，填写2×2列联表如下：（2）根据列联表中数据，计算K2==≈4.167＜5.024，对照临界值知，不能在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢旅游与性别有关”．19．如图，在四面体P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，PC⊥底面ABCD，AB⊥BP，BC=．（1）求证：PA⊥BD；（2）已知E是PA上一点，且BE∥平面PCD．若PC=2，求点E到平面ABCD的距离．【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连接AC交BD于O，利用线线垂直得到线面垂直，即可证明PA⊥BD；（2）当E为PA的中点时，BE∥平面PCD，并证明，并得到点E到平面ABCD的距离等于PC，问题得以解决．【解答】解：（1）证明：连接AC交BD于O，∵PC⊥BP，BP∩CP=P，∴PC⊥AB，∵AB⊥BP，BP∩CP=P，∴AB⊥平面PBC，∴AB⊥BC，∵BC=，∴tan∠BAC=，即∠BAC=30°，∵∠ABD=60°，∴∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∵PC⊥BD，∴BD⊥平面ACP，∵AP⊂平面APC，∴PA⊥BD，（2）取AD的中点F，连接BF，EF，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD，证明如下，∵AB=BD，∴BF⊥AD，有（1）的BC=CD，则CD⊥AD，∴EF∥CD，∵E为PA的中点，∴EF∥PD，∴平面BEF∥平面PCD，∵BE⊂平面BEF，∴BE∥平面PCD，∵PC⊥底面ABCD，∴点E到平面ABCD的距离等于PC=120．已知右焦点为F（c，0）的椭圆M： =1（a＞b＞0）过点，且椭圆M 关于直线x=c对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆M的方程；（2）过点（4，0）且不垂直于y轴的直线与椭圆M交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称原点为E，证明：直线PE与x轴的交点为F．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：椭圆M： =1（a＞b＞0）焦点在x轴上，将点代入椭圆上，即，a=2c，则b2=a2，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设直线PQ的方程为：y=k（x﹣4），k≠0，代入椭圆方程，得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由根的判别式得到k∈（﹣，），由韦达定理及直线的方程代入x=﹣y1•+x1=1，由此能证明直线AE过定点（1，0），由椭圆的焦点坐标为（1，0），则直线PE与x轴的交点为F．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆M： =1（a＞b＞0）焦点在x轴上，椭圆过点，即，椭圆M关于直线x=c对称的图形过坐标原点，∴a=2c，由a2=b2+c2，则b2=a2，解得：a2=4，b2=3，∴椭圆的标准方程；（2）证明：设直线PQ的方程为：y=k（x﹣4），k≠0，∴，整理得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，∵过点P0（4，0）且不垂直于x轴的直线与椭圆交于P，Q两点，∴由△=（﹣32k2）2﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0，得：k∈（﹣，），设P（x1，y1），Q（x2，y2），E（x4，﹣y4），则x1+x2=，x1•x2=，则直线AE的方程为y﹣y1=（x﹣x1），令y=0得：x=﹣y1•+x1=====1．∴直线PE过定点（1，0），由椭圆的焦点坐标为（1，0），则直线PE与x轴的交点为F．21．已知函数f（x）=（2x+b）e x，F（x）=bx﹣lnx，b∈R．（1）若b＜0，且存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，求b的取值范围；（2）若F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数f（x）的导函数，由导函数的符号求得函数的单调区间，再求出函数F（x）的导函数，由b＜0，可得F′（x）＜0，则F（x）在定义域（0，+∞）上为减函数，要使存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，需＞0，求解可得b的范围；（2）由F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，可得bx﹣ln（x+1）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=bx﹣ln（x+1），求导可得b≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上为减函数，而g（0）=0，不合题意；0＜b＜1时， =1﹣b+lnb ＞0，得b∈∅；b≥1时，g（x）在（0，+∞）上为增函数，g（x）＞g（0）=0成立，从而可得b的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=（2x+b）e x，f′（x）=（2x+b+2）e x，∴当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）的减区间为（﹣∞，﹣），增区间为（﹣，+∞）．F（x）的定义域为（0，+∞），且F′（x）=b﹣．∵b＜0，∴F′（x）＜0，则F（x）在定义域（0，+∞）上为减函数，要使存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，则＞0，即b＜﹣2．∴b的取值范围是（﹣∞，﹣2）；（2）F（x+1）=b（x+1）﹣ln（x+1）．要使F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，即bx﹣ln（x+1）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=bx﹣ln（x+1），则g′（x）=b﹣（x＞0）．若b≤0，则g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上为减函数，而g（0）=0，不合题意；若0＜b＜1，则当x∈（0，）时，g′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0，∴=1﹣b+lnb＞0，得b∈∅；若b≥1，则，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，g（x）在（0，+∞）上为增函数，g（x）＞g（0）=0．综上，b的取值范围是[1，+∞）．请考生在第22、23两题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标是ρ=2asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．（1）若a=2，M为直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；（2）若直线l被圆C截得的弦长为，求a的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l 的参数方程是，a=2时，化为普通方程：（x ﹣2）．可得M （2，0）．圆C 的极坐标是ρ=2asin θ，即ρ2=4ρsin θ，利用互化公式可得直角坐标方程，求出|MC|=2，可得|MN|的最大值为2+r ．（2）圆C 的方程为：x 2+（y ﹣a ）2=a 2，直线l 的方程为：4x+3y ﹣4a=0，利用点到直线的距离公式与弦长公式即可得出．【解答】解：（1）直线l 的参数方程是，a=2时，化为普通方程：（x ﹣2）．令y=0，解得x=2，可得M （2，0）．圆C 的极坐标是ρ=2asin θ，即ρ2=4ρsin θ，可得直角坐标方程：x 2+y 2﹣4y=0，即x 2+（y ﹣2）2=4．|MC|=2，∴|MN|的最大值为2+2． （2）圆C 的方程为：x 2+（y ﹣a ）2=a 2，直线l 的方程为：4x+3y ﹣4a=0，圆心C 到直线l 的距离d==．∴=2，解得a=．【选修4-5：不等式选讲】23．设实数x 、y 满足2x+y=9．（1）若|8﹣y|≤x+3，求x 的取值范围；（2）若x ＞0，y ＞0，求证：≥．【考点】R4：绝对值三角不等式；7F ：基本不等式．【分析】（1）消去y ，得到关于x 的不等式，求出x 的范围即可；（2）根据基本不等式的性质证明即可．【解答】解：（1）∵2x+y=9，∴由|8﹣y|＜x+3，得|2x ﹣1|＜x+3，则﹣x ﹣3＜2x ﹣1＜x+3，即，解得：﹣＜x＜4；（2）证明：∵2x+y=9，x＞0，y＞0，∴=+=（2x+y）（+）= [+（+）]，∵+≥4，当且仅当x=2y=时“=”成立，∴≥×（+4）=．。

期末试卷】河南省新乡市2016-2017学年高二下学期期末考试语文试题Word版含答案新乡市高二下学期期末考试语文试卷考生注意：1.本试卷共150分。

考试时间150分钟。

2.请将各題答案填在试卷后面的答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部范围。

一、现代文阅读(35分）一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1〜3题。

人类文明是在向大自然不断研究中进步的。

知识不过是人类认识自然的经验积累。

在没有发明文字之前，人类靠着自然的启示而选择自己的命运，神祇崇拜在某种意义上讲.起源于对自然的崇拜人类文明的每一个重大成就，都有大自然的影子，都能在自然中找到母体。

人类的许多发明创造，都是从自然界的某种生物身上获得灵感，都是某个自然物种的“摹本”。

大自然是一部无字天书，这就告诉人们一个道理：不能忘记到大自然中去寻找老师。

《老子》说“道法自然”，意思就是说世间的一切智慧都是从自然那里学来的，要研究探索大自然的法则，领悟大自然的真谛。

大自然的法则是合理、和谐、平衡、对称、协调、一致。

神奇的山峰、奔腾的江河、辽阔的草原、壮美的大漢，我们常常为大自然的天造地设而赞叹不已，大自然鬼斧神工的魅力让最优秀的画家也感到惭愧。

夺父追日象征人类追求与日月同光的欲望，其失敗則说明无法超越时间的悲运。

XXX衔木石以填东海的行为，固然表现了“知其不可为而为之”的悲壮，那永不可能成功的宿命却也证明了遗憾不平之永无消除之曰。

因此，人要学会敬畏，有所为，有所不为：有所敢，有所不敢。

要像自然那样，荨重事物产生、发展、消亡的规律，让一些问题自然地去解决。

不要人为地去过早过度地干顿自然和社会现象，让他们自身去消化、吸收、解决。

人类应该静静地体悟自然的真精神，从而发现有如XXX注释《庄子》中的现点，所谓的自然，本就是“暖焉若春阳之自和，故蒙泽者不榭;凄乎如秋霜之自降，故凋落者不怨。

草木之荣凋正意味着生命过程的必然现象，所以无须因生命之改变而对“自然”产生感谢和怨嗟之情。

河南省新乡市2016-2017学年高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（AUB）=（） A． {1，3，4} B． {3，4} C． {3} D． {4}2．已知z=，则在复平面内，复数z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量=（1，2x），=（4，﹣x），则“x=”是“⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，﹣2，b，﹣8成等比数列，则等于（）A．B．﹣C．或﹣D．5．由直线x﹣y+1=0，x+y﹣5=0和x﹣1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）A．B．C．D．6．将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，所得函数图象对应的解析式为（）A． y=2sin2x B． y=2cos2x C． y=sin（2x﹣）+1 D． y=﹣cos2x7．已知抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点，过P作y轴的垂线，垂足为M，若|PF|=4，则△PFM的面积为（）A． 3B． 4C． 6 D． 88．执行如图所示的程序框图，若输入的N是6，则输出P的值是（）A． 120 B． 720 C． 1440 D． 50409．已知sin10°=k，则s in110°=（）A． 1﹣k2B． 2k2﹣1 C． 1﹣2k2D． 1+2k210．已知命题p：“∀x∈R，e x＞0”，命题q：“∃x0∈R，x﹣2＞x2”，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题11．如图，，，，，若m=，那么n=（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（）A．B．（2﹣，2+）C．D．（1，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卷上。

2017-2018学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（每题5分）1．直线﹣y+a=0（a为常数）的斜率为（）A．B．C．﹣D．﹣2．复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．144．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．5．设集合M={x|x＜2011}，N={x|0＜x＜1}，则下列关系中正确的是（）A．M∪N=R B．M∩N=∅C．N∈N D．M∩N={x|0＜x＜1}6．已知平面向量，满足，与的夹角为60°，则“m=1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）=sin（2x+θ），其中0＜θ＜2π，若x=是函数的一条对称轴，且f（）＞f（π），则θ等于（）A．B． C． D．9．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个：①②③④其中，真是（）A．①④B．②③C．①③D．②④10．4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣170利用最小二乘法得他们的回归直线方程为=10.5xy的估计值为（）A．210 B．211.5 C．212 D．212.512．函数y=f（x）的最小正周期为2，且f（﹣x）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=﹣x+1，那么在区间[﹣3，4]上，函数y=f（x）的图象与函数的图象的交点个数是（）A．8 B．7 C．6 D．5二、填空题（每题5分）13．设等比数列{a n}的公比，前n项和为S n，则=．14．已知不等式组表示的平面区域为S，点P（x，y）∈S，则z=2x+y的最大值为．15．如图程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[﹣2，]内，则输入的实数x的取值范围是．16．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．三、解答题17．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，数列{a n}的前n项和S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[120，130）内的频率；（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间[100，110）的中点值为=105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．19．如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F 分别为棱BC、AD的中点（1）若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值；（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为，求四棱锥P﹣ABCD全面积．20．设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2 （1）求a，b的值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣2x+2，求g（x）在其定义域上的最值．21．已知椭圆C1过点（﹣2，0），（，），抛物线C2的焦点在x轴上，过点（3，﹣2）（1）求C1、C2的标准方程；（2）请问是否存在直线l满足条件：①过点C2的焦点F；②与C1交不同两点M、N，且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．[选修4-1几何证明选讲]|22．如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．[选修4-4坐标系与参数方程]|23．已知曲线C1：（α为参数）与曲线C2：ρ=4sinθ（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C1和C2公共弦的长度．[选修4-5不等式选讲]|24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．2015-2016学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．直线﹣y+a=0（a为常数）的斜率为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】直线的斜率．【分析】根据题意，由直线的方程可得y=x+a，即可求出直线的斜率．【解答】解：根据题意，直线﹣y+a=0可以变形为y=x+a，其斜率k=，故选：B．2．复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：复数=，故选：C．3．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故：B．4．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选D．5．设集合M={x|x＜2011}，N={x|0＜x＜1}，则下列关系中正确的是（）A．M∪N=R B．M∩N=∅C．N∈N D．M∩N={x|0＜x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】根据集合M和集合N之间的关系，然后根据交集，并集的定义进行求解，最后进行判定即可．【解答】解：∵M={x|x＜2011}，N={x|0＜x＜1}，∴N⊆M，M∩N={x|0＜x＜1}，M∪N={x|x＜2011}，故选D．6．已知平面向量，满足，与的夹角为60°，则“m=1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由已知中平面向量，满足，与的夹角为60°，分别判断“m=1”⇒“”与“”⇒“m=1”的真假，根据充要条件的定义即可得到结论．【解答】解：∵向量，满足，与的夹角为60°，∴=1，•=1当m=1时，==﹣•=0故当时，﹣m•=1﹣m=0，故m=1故“m=1”是“”的充要条件故选C7．双曲线的顶点到渐近线的距离等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质；点到直线的距离公式．【分析】由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离．【解答】解：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，则顶点到渐近线的距离d=．故选C ．8．已知函数f （x ）=sin （2x +θ），其中0＜θ＜2π，若x=是函数的一条对称轴，且f （）＞f （π），则θ等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由x=是函数的一条对称轴，可得θ=k π+；再根据f （）＞f （π），可得sin θ＜0，从而求得θ的值．【解答】解：由题意可得，2×+θ=k π+，k ∈Z ，即θ=k π+，再根据f （）=sin （π+θ）=﹣sin θ＞f （π）=sin （2π+θ）=sin θ，可得 sin θ＜0，故θ=，故选：C ．9．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个：①②③④其中，真是（ ） A ．①④ B ．②③C ．①③D ．②④【考点】的真假判断与应用；平面的基本性质及推论．【分析】对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．【解答】解：对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β，α∥γ，则β∥γ，正确对于②面BD⊥面D1C，A1B1∥面BD，此时A1B1∥面D1C，不正确对应③∵m∥β∴β内有一直线与m平行，而m⊥α，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确对应④m有可能在平面α内，故不正确，故选C10．4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣1【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用；二倍角的正弦．【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选C利用最小二乘法得他们的回归直线方程为=10.5xy的估计值为（）A．210 B．211.5 C．212 D．212.5【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心，然后确定回归直线方程，即可求解预测当x=20时，y的估计值．【解答】解：由题意可知：==5，==54．因为回归直线方程经过样本中心，所以54=10.5×5+，=1.5，回归直线方程为：=10.5x+1.5，当x=20时，y的估计值为：10.5×20+1.5=211.5．故选：B．12．函数y=f（x）的最小正周期为2，且f（﹣x）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=﹣x+1，那么在区间[﹣3，4]上，函数y=f（x）的图象与函数的图象的交点个数是（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】函数的周期性；指数函数的图象与性质．【分析】本题只要由函数的性质，在同一个坐标系中作出两个函数的图象，即可的答案．【解答】解：由题意可知，函数y=f（x）周期为2，且为偶函数，函数为偶函数，在同一个坐标系中作出它们的图象，可得交点个数为6，故选C二、填空题（每题5分）13．设等比数列{a n}的公比，前n项和为S n，则=15．【考点】等比数列的性质．【分析】先通过等比数列的求和公式，表示出S4，得知a4=a1q3，进而把a1和q代入约分化简可得到答案．【解答】解：对于，∴14．已知不等式组表示的平面区域为S，点P（x，y）∈S，则z=2x+y的最大值为6．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，2），代入目标函数z=2x+y得z=2×2+2=6．即目标函数z=2x+y的最大值为6．故答案为：6．15．如图程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[﹣2，]内，则输入的实数x的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[，]．【考点】程序框图．【分析】由程序框图得出函数y=f（x）的解析式，并根据其单调性求出相应的自变量x的取值范围即可．【解答】解：由程序框图可知：f（x）=，∵输出的函数值在区间[﹣2，]内，∴必有当x≤0时，0＜2x≤；当x＞0时，﹣2≤log2x≤．解得x≤﹣1或≤x≤．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[，]．16．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是16π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的底面是边长为3的正三角形ABC，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心连接的线段MN的中点O与三棱柱的顶点A的连线AO就是外接球的半径，∵△ABC是边长为3的等边三角形，MN=2，∴AM=，OM=1，∴这个球的半径r==2，∴这个球的表面积S=4π×22=16π，故答案为：16π．三、解答题17．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，数列{a n}的前n项和S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，由a3=7，a5+a7=26，可得，解出利用等差数列的前n项和公式即可得出；（Ⅱ）b n===，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得a1=3，d=2．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．∴数列{a n}的前n项和S n==n2+2n．（Ⅱ）b n===，∴数列{b n}的前n项和T n=++…+==．18．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[120，130）内的频率；（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间[100，110）的中点值为=105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．【考点】频率分布直方图；分层抽样方法．【分析】（1）根据频率分布直方图的各小长方形的面积之和为1，求出分数在[120，130）内的频率；（2）由频率分布直方图计算出平均分；（3）计算出[110，120）与[120，130）分数段的人数，用分层抽样的方法在各分数段内抽取的人数组成样本，求出“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”概率即可．【解答】解：（1）分数在[120，130）内的频率为1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3；（2）估计平均分为=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121；（3）依题意，[110，120）分数段的人数为60×0.15=9（人），[120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）；∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n；在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A，则基本事件有（m，n），（m，a），…，（m，d），（n，a），…，（n，d），（a，b），…，（c，d）共15种；则事件A包含的基本事件有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9种；∴P（A）==．19．如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F 分别为棱BC、AD的中点（1）若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值；（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为，求四棱锥P﹣ABCD全面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）根据一对对边平行且相等，得到一个四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行，把两条异面直线所成的角表示出来，放到△PBF中，利用余弦定理求出角的余弦值．（2）利用四棱锥P﹣ABCD的体积为，求出PD，求出PA=PC=2，即可求出四棱锥P﹣ABCD全面积．【解答】解：（1）E，F分别为棱BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形∴DF∥BE且DF=BE∴DFBE为平行四边形∴DE∥BF∴∠PBF是PB与DE的所成角△PBF中，BF=，PF=，PB=3，∴cos∠PBF=，∴异面直线PB和DE所成角的余弦值为；（2）设PD=a，则∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，∴=，∴a=2，∵PD⊥AB，AD⊥AB，PD∩AD=D，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，同理BC⊥PC，从而PA=PC=2，∴四棱锥P﹣ABCD全面积S=2×=8+4．20．设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2 （1）求a，b的值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣2x+2，求g（x）在其定义域上的最值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得f（1）=0，f′（1）=2，解方程可得a，b的值；（2）求得f（x），g（x）的解析式，求出导数，求得单调区间和极值、最值【解答】解：（1）f（x）=x+ax2+blnx的导数f′（x）=1+2a+（x＞0），由题意可得f（1）=1+a=0，f′（1）=1+2a+b=2，得；（2）证明：f（x）=x﹣x2+3lnx，g（x）=f（x）﹣2x+2=3lnx﹣x2﹣x+2（x＞0），g′（x）=﹣2x﹣1=﹣，可得g（x）max=g（1）=﹣1﹣1+2=0，无最小值．21．已知椭圆C1过点（﹣2，0），（，），抛物线C2的焦点在x轴上，过点（3，﹣2）（1）求C1、C2的标准方程；（2）请问是否存在直线l满足条件：①过点C2的焦点F；②与C1交不同两点M、N，且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则点（3，﹣2）代入，可得p=2；设椭圆方程为mx2+ny2=1，利用椭圆C1过点（﹣2，0），（，），求出m，n，可得椭圆方程．（2）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），设其方程为y=k（x﹣1），与C1的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），由y=k（x﹣1）代入椭圆方程消掉y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，再由韦达定理能够导出存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．【解答】解：（1）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则点（3，﹣2）代入，可得p=2，∴C2：y2=4x；设椭圆方程为mx2+ny2=1，∵椭圆C1过点（﹣2，0），（，），∴4m=1，2m+n=1，∴m=，n=1，∴椭圆方程为x2+y2=1；（2）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），设其方程为y=k（x﹣1），与C1的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）由y=k（x﹣1）代入椭圆方程，消掉y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，于是x1+x2=，x1x2=y1y2=k（x1﹣1）×k（x1﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣②由，得x1x2+y1y2=0（*），将①、②代入（*）式，得﹣=0解得k=±2；所以存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．[选修4-1几何证明选讲]|22．如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）BE平分∠ABC．由已知中边的相等，可得∠CAD=∠D，∠ABC=∠ACB，再利用同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠D=∠DBE，即有∠ABE+∠EBD=∠CAD+∠D，利用等量减等量差相等，可得∠EBD=∠D=∠ABE，故得证．（2）由（1）中的所证条件∠ABE=∠FAE，再加上两个三角形的公共角，可证△BEA∽△AEF，利用比例线段可求EF．【解答】解：（1）BE平分∠ABC，理由如下：证明：∵AC=CD，∴∠CAD=∠ADC，∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD…又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD，∵∠CAD=∠EBC，∴∠ABC=2∠EBC，∴BE平分∠ABC；…（2）连接EC，由（1）BE平分∠ABC，∴E是弧AC的中点，∴AE=EC=6，又∠EBC=∠CAD=∠ADC，∴ED=BD=8…∵A、B、C、E四点共圆，∴∠CED=∠ABC=∠ACB=∠AEF∴△AEF∽△DEC∴，∴EF==…[选修4-4坐标系与参数方程]|23．已知曲线C1：（α为参数）与曲线C2：ρ=4sinθ（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C1和C2公共弦的长度．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用sin2θ+cos2θ=1消参数得到C1的普通方程，对ρ=4sinθ两边同乘以ρ即可得到曲线C2的普通方程；（2）曲线C1和C2公共弦所在额直线为2x﹣4y+3=0，求出圆心距，即可求出公共弦长．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程围为（x﹣1）2+y2=4，曲线C2的直角坐标方程x2+y2﹣4y=0，（2）曲线C1和C2公共弦所在额直线为2x﹣4y+3=0，且点C1（1，0）到直线2x﹣4y+3=0的距离为=，所以公共弦的长度为2=．[选修4-5不等式选讲]|24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．【考点】不等式的证明；带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）将函数写成分段函数，再利用f（x）＜4，即可求得M；（Ⅱ）利用作差法，证明4（a+b）2﹣（4+ab）2＜0，即可得到结论．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|=当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M=（﹣2，2）．…（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴2|a+b|＜|4+ab|．…2016年8月9日。

2015-2016学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（每题5分）1．直线﹣y+a=0（a为常数）的斜率为（）A．B．C．﹣D．﹣2．复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．144．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．5．设集合M={x|x＜2011}，N={x|0＜x＜1}，则下列关系中正确的是（）A．M∪N=R B．M∩N=∅C．N∈N D．M∩N={x|0＜x＜1}6．已知平面向量，满足，与的夹角为60°，则“m=1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）=sin（2x+θ），其中0＜θ＜2π，若x=是函数的一条对称轴，且f（）＞f（π），则θ等于（）A．B． C． D．9．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①②③④其中，真命题是（）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④10．4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣111．对具有线性相关关系的变量x，y测得一组数据如下表：x 2 4 5 6 8y 20 40 60 70 80根据上表，利用最小二乘法得他们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为（）A．210 B．211.5 C．212 D．212.512．函数y=f（x）的最小正周期为2，且f（﹣x）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=﹣x+1，那么在区间[﹣3，4]上，函数y=f（x）的图象与函数的图象的交点个数是（）A．8 B．7 C．6 D．5二、填空题（每题5分）13．设等比数列{a n}的公比，前n项和为S n，则= ．14．已知不等式组表示的平面区域为S，点P（x，y）∈S，则z=2x+y的最大值为．15．如图程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[﹣2，]内，则输入的实数x的取值范围是．16．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．三、解答题17．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，数列{a n}的前n项和S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[120，130）内的频率；（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间[100，110）的中点值为=105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．19．如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC、AD的中点（1）若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值；（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为，求四棱锥P﹣ABCD全面积．20．设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2 （1）求a，b的值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣2x+2，求g（x）在其定义域上的最值．21．已知椭圆C1过点（﹣2，0），（，），抛物线C2的焦点在x轴上，过点（3，﹣2）（1）求C1、C2的标准方程；（2）请问是否存在直线l满足条件：①过点C2的焦点F；②与C1交不同两点M、N，且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．[选修4-1几何证明选讲]|22．如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．[选修4-4坐标系与参数方程]|23．已知曲线C1：（α为参数）与曲线C2：ρ=4sinθ（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C1和C2公共弦的长度．[选修4-5不等式选讲]|24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．2015-2016学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．直线﹣y+a=0（a为常数）的斜率为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】直线的斜率．【分析】根据题意，由直线的方程可得y=x+a，即可求出直线的斜率．【解答】解：根据题意，直线﹣y+a=0可以变形为y=x+a，其斜率k=，故选：B．2．复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：复数=，故选：C．3．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故：B．4．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选D．5．设集合M={x|x＜2011}，N={x|0＜x＜1}，则下列关系中正确的是（）A．M∪N=R B．M∩N=∅C．N∈N D．M∩N={x|0＜x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】根据集合M和集合N之间的关系，然后根据交集，并集的定义进行求解，最后进行判定即可．【解答】解：∵M={x|x＜2011}，N={x|0＜x＜1}，∴N⊆M，M∩N={x|0＜x＜1}，M∪N={x|x＜2011}，故选D．6．已知平面向量，满足，与的夹角为60°，则“m=1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由已知中平面向量，满足，与的夹角为60°，分别判断“m=1”⇒“”与“”⇒“m=1”的真假，根据充要条件的定义即可得到结论．【解答】解：∵向量，满足，与的夹角为60°，∴=1，•=1当m=1时， ==﹣•=0故当时，﹣m•=1﹣m=0，故m=1故“m=1”是“”的充要条件故选C7．双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；点到直线的距离公式．【分析】由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离．【解答】解：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，则顶点到渐近线的距离d=．故选C．8．已知函数f（x）=sin（2x+θ），其中0＜θ＜2π，若x=是函数的一条对称轴，且f（）＞f（π），则θ等于（）A．B． C． D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由x=是函数的一条对称轴，可得θ=kπ+；再根据f（）＞f（π），可得sinθ＜0，从而求得θ的值．【解答】解：由题意可得，2×+θ=kπ+，k∈Z，即θ=kπ+，再根据f（）=sin（π+θ）=﹣sinθ＞f（π）=sin（2π+θ）=sinθ，可得sinθ＜0，故θ=，故选：C．9．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①②③④其中，真命题是（）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【考点】命题的真假判断与应用；平面的基本性质及推论．【分析】对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．【解答】解：对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β，α∥γ，则β∥γ，正确对于②面BD⊥面D1C，A1B1∥面BD，此时A1B1∥面D1C，不正确对应③∵m∥β∴β内有一直线与m平行，而m⊥α，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确对应④m有可能在平面α内，故不正确，故选C10．4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣1【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用；二倍角的正弦．【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选C11．对具有线性相关关系的变量x，y测得一组数据如下表：x 2 4 5 6 8y 20 40 60 70 80根据上表，利用最小二乘法得他们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为（）A．210 B．211.5 C．212 D．212.5【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心，然后确定回归直线方程，即可求解预测当x=20时，y的估计值．【解答】解：由题意可知： ==5，==54．因为回归直线方程经过样本中心，所以54=10.5×5+， =1.5，回归直线方程为： =10.5x+1.5，当x=20时，y的估计值为：10.5×20+1.5=211.5．故选：B．12．函数y=f（x）的最小正周期为2，且f（﹣x）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=﹣x+1，那么在区间[﹣3，4]上，函数y=f（x）的图象与函数的图象的交点个数是（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】函数的周期性；指数函数的图象与性质．【分析】本题只要由函数的性质，在同一个坐标系中作出两个函数的图象，即可的答案．【解答】解：由题意可知，函数y=f（x）周期为2，且为偶函数，函数为偶函数，在同一个坐标系中作出它们的图象，可得交点个数为6，故选C二、填空题（每题5分）13．设等比数列{a n}的公比，前n项和为S n，则= 15 ．【考点】等比数列的性质．【分析】先通过等比数列的求和公式，表示出S4，得知a4=a1q3，进而把a1和q代入约分化简可得到答案．【解答】解：对于，∴14．已知不等式组表示的平面区域为S，点P（x，y）∈S，则z=2x+y的最大值为 6 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，2），代入目标函数z=2x+y得z=2×2+2=6．即目标函数z=2x+y的最大值为6．故答案为：6．15．如图程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[﹣2，]内，则输入的实数x的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[，] ．【考点】程序框图．【分析】由程序框图得出函数y=f（x）的解析式，并根据其单调性求出相应的自变量x的取值范围即可．【解答】解：由程序框图可知：f（x）=，∵输出的函数值在区间[﹣2，]内，∴必有当x≤0时，0＜2x≤；当x＞0时，﹣2≤log2x≤．解得x≤﹣1或≤x≤．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[，]．16．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是16π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的底面是边长为3的正三角形ABC，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心连接的线段MN的中点O与三棱柱的顶点A的连线AO就是外接球的半径，∵△ABC是边长为3的等边三角形，MN=2，∴AM=，OM=1，∴这个球的半径r==2，∴这个球的表面积S=4π×22=16π，故答案为：16π．三、解答题17．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，数列{a n}的前n项和S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，由a3=7，a5+a7=26，可得，解出利用等差数列的前n项和公式即可得出；（Ⅱ）b n===，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得a1=3，d=2．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．∴数列{a n}的前n项和S n==n2+2n．（Ⅱ）b n===，∴数列{b n}的前n项和T n=++…+==．18．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[120，130）内的频率；（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间[100，110）的中点值为=105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．【考点】频率分布直方图；分层抽样方法．【分析】（1）根据频率分布直方图的各小长方形的面积之和为1，求出分数在[120，130）内的频率；（2）由频率分布直方图计算出平均分；（3）计算出[110，120）与[120，130）分数段的人数，用分层抽样的方法在各分数段内抽取的人数组成样本，求出“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”概率即可．【解答】解：（1）分数在[120，130）内的频率为1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3；（2）估计平均分为=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121；（3）依题意，[110，120）分数段的人数为60×0.15=9（人），[120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）；∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n；在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A，则基本事件有（m，n），（m，a），…，（m，d），（n，a），…，（n，d），（a，b），…，（c，d）共15种；则事件A包含的基本事件有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9种；∴P（A）==．19．如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC、AD的中点（1）若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值；（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为，求四棱锥P﹣ABCD全面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）根据一对对边平行且相等，得到一个四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行，把两条异面直线所成的角表示出来，放到△PBF中，利用余弦定理求出角的余弦值．（2）利用四棱锥P﹣ABCD的体积为，求出PD，求出PA=PC=2，即可求出四棱锥P﹣ABCD全面积．【解答】解：（1）E，F分别为棱BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形∴DF∥BE且DF=BE∴DFBE为平行四边形∴DE∥BF∴∠PBF是PB与DE的所成角△PBF中，BF=，PF=，PB=3，∴cos∠PBF=，∴异面直线PB和DE所成角的余弦值为；（2）设PD=a，则∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，∴=，∴a=2，∵PD⊥AB，AD⊥AB，PD∩AD=D，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，同理BC⊥PC，从而PA=PC=2，∴四棱锥P﹣ABCD全面积S=2×=8+4．20．设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2 （1）求a，b的值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣2x+2，求g（x）在其定义域上的最值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得f（1）=0，f′（1）=2，解方程可得a，b的值；（2）求得f（x），g（x）的解析式，求出导数，求得单调区间和极值、最值【解答】解：（1）f（x）=x+ax2+blnx的导数f′（x）=1+2a+（x＞0），由题意可得f（1）=1+a=0，f′（1）=1+2a+b=2，得；（2）证明：f（x）=x﹣x2+3lnx，g（x）=f（x）﹣2x+2=3lnx﹣x2﹣x+2（x＞0），g′（x）=﹣2x﹣1=﹣，x （0，1） 1 （1，+∞）g′（x）+ 0 ﹣g（x）↗极大值↘∴g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，可得g（x）max=g（1）=﹣1﹣1+2=0，无最小值．21．已知椭圆C1过点（﹣2，0），（，），抛物线C2的焦点在x轴上，过点（3，﹣2）（1）求C1、C2的标准方程；（2）请问是否存在直线l满足条件：①过点C2的焦点F；②与C1交不同两点M、N，且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则点（3，﹣2）代入，可得p=2；设椭圆方程为mx2+ny2=1，利用椭圆C1过点（﹣2，0），（，），求出m，n，可得椭圆方程．（2）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l斜率存在时，假设存在直线l 过抛物线焦点F（1，0），设其方程为y=k（x﹣1），与C1的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），由y=k（x﹣1）代入椭圆方程消掉y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，再由韦达定理能够导出存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．【解答】解：（1）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则点（3，﹣2）代入，可得p=2，∴C2：y2=4x；设椭圆方程为mx2+ny2=1，∵椭圆C1过点（﹣2，0），（，），∴4m=1，2m+n=1，∴m=，n=1，∴椭圆方程为x2+y2=1；（2）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），设其方程为y=k（x﹣1），与C1的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）由y=k（x﹣1）代入椭圆方程，消掉y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，于是x1+x2=，x1x2=y1y2=k（x1﹣1）×k（x1﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣②由，得x1x2+y1y2=0（*），将①、②代入（*）式，得﹣=0解得k=±2；所以存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．[选修4-1几何证明选讲]|22．如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）BE平分∠ABC．由已知中边的相等，可得∠CAD=∠D，∠ABC=∠ACB，再利用同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠D=∠DBE，即有∠ABE+∠EBD=∠CAD+∠D，利用等量减等量差相等，可得∠EBD=∠D=∠ABE，故得证．（2）由（1）中的所证条件∠ABE=∠FAE，再加上两个三角形的公共角，可证△BEA∽△AEF，利用比例线段可求EF．【解答】解：（1）BE平分∠ABC，理由如下：证明：∵AC=CD，∴∠CAD=∠ADC，∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD…又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD，∵∠CAD=∠EBC，∴∠ABC=2∠EBC，∴BE平分∠ABC；…（2）连接EC，由（1）BE平分∠ABC，∴E是弧AC的中点，∴AE=EC=6，又∠EBC=∠CAD=∠ADC，∴ED=BD=8…∵A、B、C、E四点共圆，∴∠CED=∠ABC=∠ACB=∠AEF∴△AEF∽△DEC∴，∴EF==…[选修4-4坐标系与参数方程]|23．已知曲线C1：（α为参数）与曲线C2：ρ=4sinθ（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C1和C2公共弦的长度．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用sin2θ+cos2θ=1消参数得到C1的普通方程，对ρ=4sinθ两边同乘以ρ即可得到曲线C2的普通方程；（2）曲线C1和C2公共弦所在额直线为2x﹣4y+3=0，求出圆心距，即可求出公共弦长．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程围为（x﹣1）2+y2=4，曲线C2的直角坐标方程x2+y2﹣4y=0，（2）曲线C1和C2公共弦所在额直线为2x﹣4y+3=0，且点C1（1，0）到直线2x﹣4y+3=0的距离为=，所以公共弦的长度为2=．[选修4-5不等式选讲]|24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．【考点】不等式的证明；带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）将函数写成分段函数，再利用f（x）＜4，即可求得M；（Ⅱ）利用作差法，证明4（a+b）2﹣（4+ab）2＜0，即可得到结论．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|=当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M=（﹣2，2）．…（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴2|a+b|＜|4+ab|．…。