平面向量的数量积的坐标表示PPT课件12013
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（1）求a· b； （2）求a与b的夹角θ. 解：（1）a· b＝1×(–2)＋√3×2√3＝4; （2） a ＝
√1 ＋(√3 ) ＝2, b ＝√(– 2) ＋(2√3 ) ＝4,
2 2 2 2
cos θ ＝
a· b a b
1 4 ＝ ＝2 , 2×4
∴ θ ＝60º .
例 2：已知a＝(5, 0)，b＝(–3.2, 2.4),
B.a b
2
C.a平行b a b
2b
2
2 2 x2 y2 , 3a b x1 x2 y1 y2 , 4a b x1 x2 y1 y2 0
其中假命题序号是: ⑵
4.若a 0,1, b 1,1且 a b a, 则实数的值是 （A） A．-1 B.0 C.1 D.2
能力训练
1.已知 a 1, b 4, a b a 0, 则a与b的夹角是 :
2 2
A.90
B.60 C.120
D.150
2.已知 a 3, b 5, 且a b 12, 则b在a的方向上投影为___
3. 已知向量x与a 2,1共线, 且a x 18, 则x的坐标为_________
（2）写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐 标表示式.
cos
x1 x2 y1 y2 x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2
a // b b 0 x1 y2 x2 y1 0 a b x1x2 y1 y2 0
例 1:已知a＝(1，√3 )，b＝(– 2，2√3 ),
4 a b a b , 其中正确的个数为: D
A. 4个 B.3个 C. 2个
2
D.1个
2. 已知a, b均为单位向量 , 下列结论正确的是 :
B
D.a b 0
A.a b 1
3.设向量a x1 , y1 , b x2 , y2 , 有下列命题: 1 a x12 y12 ,
a· b＝x1x2＋y1y2.
即:两个向量的数量积等于它们对 应坐标的乘积的和
重要性质
(1).设a x, y , 则 a x 2 y 2 用于计算向量的模
a
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为x1 , y1 , x2 , y2 , 那么
x1 x2 2 y1 y2 2 . 即平面内两点间的距离公式．
A（x1,y1）
a b x1i y1 j x2 i y2 j
x1 x2 i 2 x1 y2 i j x2 y1i j y1 y2 j 2
a
X
i
x1 x2 y1 y2
在坐标平面xoy内，已知a＝(x1，y1)，
b＝ (x2，y2)，则
学习目标：
1、平面向量数量积的坐标表示. 2、两个向量垂直的坐标表示的充要条件.
3、平面内两点间的距离公式.
4、运用两个向量的数量积的坐标表示 解决处理有关长度垂直的几个问题. 5、两个向量垂直与平行的充要条件的区别.
在直角坐标系中，已知两个非零向量a = （x1，y1）， b = （x2，y2）， 如何用a 与b的坐标表示a b
单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求 1 ① i i _____ 0 ③ j i ______ 0 ② i j ______ 1 ④ j j _____ B(x2，y2) Y
∵ a = x1 i + y1 j ， b = x 2 i + y2 j
b
j O
∴Δ ABC是直角三角形
O A Y
B
注：两个向量的数量积是否为零是判断相应的 两条直线是否垂直的重要方法之一。
如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角线 垂直等。
X
例4:已知 a 1,2, b 3,2 ,当k取何值时,
1). k a b 与 a 3b 垂直?
2). k a b 与 a 3b 平行? 平行时它们是同向还是反向? 分析: 由已知启发我们先用坐标表示向量 k a b和a 3b
求证：(a＋b)⊥b .
证明： ∵(a＋b)· b
＝ a· b＋ b2 ＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42 ＝ 0， ∴ (a＋b)⊥b .
例3:已知A（1、2），B（2，3），C（2，5），
求证Δ ABC是直角三角形
证明: ∵AB = （2 - 1，3 - 2）= （1，1） AC = （2 - 1，5 - 2）= （3，3）C ∴AB AC = 1╳（3 ）+ 1 ╳ 3 = 0 ∴AB⊥AC
4.已知a与b的夹角为 30 且 a 3, b 1, 求向量p a b与q a b的夹角的余弦 .
5.已知平面四边形 ABCD中, AB a, BC b, CD c, DA d , 且a b b c c d d a, 试判断四边形 ABCD的形状特征 .
2)
当k a b与a 3b平行时, 存在唯一实数 , 使k a b a 3b 1 k 得 k 3 1 3
1 因此 k 时, k a b与a 3b平行 , 此时它们方向相反。 3
基础训练题
1.有四个式子: 10 a 0, 20 a 0, 3a b a c b c,
然后用两个向量平行和垂直的充要条件来解答。
解：1） k a b k 1,2 3,2 k 3,2k 2 a 3b 1,2 3 3,2 10,4
这两个向量垂直 当 k a b a 3b 0时 解得k=19 由k 310 2k 2 4 0
小结：
（1）掌握平面向量数量积的坐标表示，
即两个向量的数量积等于它们对应坐标
的乘积之和； （2）要学会运用平面向量数量积的坐标表 示解决有关长度、角度及垂直问题.
√1 ＋(√3 ) ＝2, b ＝√(– 2) ＋(2√3 ) ＝4,
2 2 2 2
cos θ ＝
a· b a b
1 4 ＝ ＝2 , 2×4
∴ θ ＝60º .
例 2：已知a＝(5, 0)，b＝(–3.2, 2.4),
B.a b
2
C.a平行b a b
2b
2
2 2 x2 y2 , 3a b x1 x2 y1 y2 , 4a b x1 x2 y1 y2 0
其中假命题序号是: ⑵
4.若a 0,1, b 1,1且 a b a, 则实数的值是 （A） A．-1 B.0 C.1 D.2
能力训练
1.已知 a 1, b 4, a b a 0, 则a与b的夹角是 :
2 2
A.90
B.60 C.120
D.150
2.已知 a 3, b 5, 且a b 12, 则b在a的方向上投影为___
3. 已知向量x与a 2,1共线, 且a x 18, 则x的坐标为_________
（2）写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐 标表示式.
cos
x1 x2 y1 y2 x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2
a // b b 0 x1 y2 x2 y1 0 a b x1x2 y1 y2 0
例 1:已知a＝(1，√3 )，b＝(– 2，2√3 ),
4 a b a b , 其中正确的个数为: D
A. 4个 B.3个 C. 2个
2
D.1个
2. 已知a, b均为单位向量 , 下列结论正确的是 :
B
D.a b 0
A.a b 1
3.设向量a x1 , y1 , b x2 , y2 , 有下列命题: 1 a x12 y12 ,
a· b＝x1x2＋y1y2.
即:两个向量的数量积等于它们对 应坐标的乘积的和
重要性质
(1).设a x, y , 则 a x 2 y 2 用于计算向量的模
a
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为x1 , y1 , x2 , y2 , 那么
x1 x2 2 y1 y2 2 . 即平面内两点间的距离公式．
A（x1,y1）
a b x1i y1 j x2 i y2 j
x1 x2 i 2 x1 y2 i j x2 y1i j y1 y2 j 2
a
X
i
x1 x2 y1 y2
在坐标平面xoy内，已知a＝(x1，y1)，
b＝ (x2，y2)，则
学习目标：
1、平面向量数量积的坐标表示. 2、两个向量垂直的坐标表示的充要条件.
3、平面内两点间的距离公式.
4、运用两个向量的数量积的坐标表示 解决处理有关长度垂直的几个问题. 5、两个向量垂直与平行的充要条件的区别.
在直角坐标系中，已知两个非零向量a = （x1，y1）， b = （x2，y2）， 如何用a 与b的坐标表示a b
单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求 1 ① i i _____ 0 ③ j i ______ 0 ② i j ______ 1 ④ j j _____ B(x2，y2) Y
∵ a = x1 i + y1 j ， b = x 2 i + y2 j
b
j O
∴Δ ABC是直角三角形
O A Y
B
注：两个向量的数量积是否为零是判断相应的 两条直线是否垂直的重要方法之一。
如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角线 垂直等。
X
例4:已知 a 1,2, b 3,2 ,当k取何值时,
1). k a b 与 a 3b 垂直?
2). k a b 与 a 3b 平行? 平行时它们是同向还是反向? 分析: 由已知启发我们先用坐标表示向量 k a b和a 3b
求证：(a＋b)⊥b .
证明： ∵(a＋b)· b
＝ a· b＋ b2 ＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42 ＝ 0， ∴ (a＋b)⊥b .
例3:已知A（1、2），B（2，3），C（2，5），
求证Δ ABC是直角三角形
证明: ∵AB = （2 - 1，3 - 2）= （1，1） AC = （2 - 1，5 - 2）= （3，3）C ∴AB AC = 1╳（3 ）+ 1 ╳ 3 = 0 ∴AB⊥AC
4.已知a与b的夹角为 30 且 a 3, b 1, 求向量p a b与q a b的夹角的余弦 .
5.已知平面四边形 ABCD中, AB a, BC b, CD c, DA d , 且a b b c c d d a, 试判断四边形 ABCD的形状特征 .
2)
当k a b与a 3b平行时, 存在唯一实数 , 使k a b a 3b 1 k 得 k 3 1 3
1 因此 k 时, k a b与a 3b平行 , 此时它们方向相反。 3
基础训练题
1.有四个式子: 10 a 0, 20 a 0, 3a b a c b c,
然后用两个向量平行和垂直的充要条件来解答。
解：1） k a b k 1,2 3,2 k 3,2k 2 a 3b 1,2 3 3,2 10,4
这两个向量垂直 当 k a b a 3b 0时 解得k=19 由k 310 2k 2 4 0
小结：
（1）掌握平面向量数量积的坐标表示，
即两个向量的数量积等于它们对应坐标
的乘积之和； （2）要学会运用平面向量数量积的坐标表 示解决有关长度、角度及垂直问题.