7.3 离散型随机变量的数字特征(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)

10
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权数
加权平均是指在计算若干个数值的平均数时，考虑到每个数量
在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数.
问题1：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示.
环数
甲射中的概率
乙射中的概率
7
0.1
0.15
8
0.2
0.25
9
0.3
0.4
10
0.4
0.2
思考2：如何由分布列计算他们射中的平均环数呢？
回顾：算术平均数与加权平均数
引例. 某人射击10次，射中的环数分别是：
7，7，7，7，8，8，8，9，9，10.
则他射中的平均环数是多少？
7 4 8 3 9 2 10 1
平均环数x
8. 算术平均数
10
4
3
2
1
x 7 8 9 10 8 加权平均数
探究：离散型随机变量的均值(数学期望)
问题2：如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值
会怎样变化？即E(X+b)和E(aX)(其中a，b为常数)分别与E(X)有怎样的联系？
E ( X ) x1 p1 x2 p2 xn pn
E (aX ) ax1 p1 ax2 p2 axn pn aE ( X )
如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25.
请给选对和选错分别赋予合适的分值，使得随机选择时得分的均值为0.
析 : 设随机选择时的得分为随机变量X ,
设选对赋予x1分, 选错赋予x2分.
则令E ( X ) 0.25 x1 0.75 x2 0,
得x1 3, x2 1即可.
选修三《第七章 随机变量及其分布》
P( X 6000 ) P( AB C ) 0.8 0.6 0.6 0.288 ,
P( X 6000) P( ABC) 0.8 0.6 0.4 0.192,
∴X的分布列如表： X
P
0
0.2
1000
0.32
3000 6000
0.288 0.192
∴X的均值为E(X)=0×0.2+1000×0.32+2000×0.288+3000×0.192=2336.
基础巩固：离散型随机变量的均值(数学期望)
练习1.随机变量X的分布列是
X
P
4
0.3
7
a
9
b
1.2 7a 9b 2 7.5
0.3 a b 0.2 1
10
0.2
0.1
0.4
若E(X)=7.5，则a=____，b=______.
例1.在蓝球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分；如果某运动员罚
球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
X
P
1
0.8
0
0.2
E ( X ) 1 0.8 0 0.2 0.8
X
P
1
p
0
1－p
E ( X ) 1 p 0 (1 p) p
基础巩固：离散型随机变量的均值(数学期望)
例3.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌
乙 稳定于7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65.
结论：从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
思考3：上述两个平均值的计算有什么共性？
均值是随机变量可能取值及其对应的取值概率的加权平均数，
它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
新知：离散型随机变量的均值(数学期望)
离散型随机变量的分布列：
X
P
x1
p1
x2
p2
…
…
xi
pi
…
…
xn
pn
离散型随机变量的分布列刻画了某个随机变量的取值规律，
可用于确定与该随机变量相关事件的概率。
要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；
要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”,则可考察这个班数学
成绩的方差。
要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩
①若Y=aX+b，则D(Y)=a2D(X)，与b无关.
i 1
n
x pi ( E ( X ))
i 1
2
i
2
随机变量的方差和标准差
②若X服从两点分布，则D(X)=p(1－p).
都可度量随机变量取值与
方差或标准差越小，随机变量的取值越集中； 其均值的偏离程度，反映
方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 随机变量取值的离散程度.
则随机变量X的均值(或数学期望)为：
n
E ( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn xi pi
i 1
①若随机变量X服从两点(0-1)分布，则E(X)=1·p+0·(1－p)=p.
②E(aX+b)=aE(X)+b
练习2.随机变量X的分布列是
2.4
2
2
2
(
x

x
)

m

(
x

x
)

m



(
x

x
)
mn
2
1
1
2
2
n
s
n
2
2 m1
2 m2
2 mn
即s ( x1 x) ( x2 x)
( xn x)
n
n
n
思考：你能否类比上式归纳得到随机变量X的方差？
各个数据与样本平
均数的偏差平方的
加权平均值
新知：离散型随机变量的方差
(1)则E(X)=_____.
X
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
5.8
(2)若Y=2X+1，则E(Y)=______.
基础巩固：离散型随机变量的均值(数学期望)
例4.根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地
区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失
若离散型随机变量X的分布列为： X
P
随机变量X的方差为：
x1
p1
…
…
x2
p2
…
…
xi
pi
xn
pn
n
D( X ) ( x1 E ( X )) 2 p1 ( xn E ( X )) 2 pn ( xi E ( X )) 2 pi
随机变量X的标准差为： ( x) D( X )
X 3800; Y
2000, 无大洪水
0, 无洪水

E ( X ) 3800
E (Y ) 62000 0.01 2000 0.99 2600
E (Z ) 60000 0.01 10000 0.25 3100
从期望损失最小的角度，
应采取方案2.
P71-4.在单项选择题中，每道题有四个选项，其中仅有一个选项正确.
n足够大时, pi
n
即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，
这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.
问题1：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示.
环数
甲射中的概率
乙射中的概率
7
0.1
0.15
8
0.2
0.25
9
0.3
0.4
10
0.4
0.2
思考2：如何由分布列计算他们射中的平均环数呢？
P ( X 0) P ( A) 0.2, P( X 1000 ) P( AB) 0.8 0.4 0.32 ,
P( X 6000 ) P( AB C ) 0.8 0.6 0.6 0.288 ,
P( X 6000) P( ABC) 0.8 0.6 0.4 0.192,
曲A,B,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示.
歌曲



猜对的概率
0.8
0.6
0.4
获得的公益基金额/元
1000
2000
3000
规则如下：按照A,B,C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一
首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，则A,B,C相互独立.
10000元.为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元；方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙
只能防小洪水；方案3：不采取措施. 工地的领导该如何决策呢？
解：用X，Y，Z分别表示3个方案的损失.
60000 , 有大洪水
62000, 有大洪水

; Z 10000 , 有小洪水
E (ax b) (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn
a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
aE( X ) b
新知：离散型随机变量的均值(数学期望)
已知离散型随机变量X的分布列，
新知：离散型随机变量的方差
n
n
i 1
i 1
D( X ) ( xi E ( X )) 2 pi xi2 pi ( E ( X )) 2
n
[( xi2 2 xi E ( X ) ( E ( X )) 2 ] pi
i 1
n
n
n
i 1
i 1
i 1
xi2 pi 2 E ( X ) xi pi ( E ( X )) 2 pi
ҧ
mi
n足够大时, pi
n
即乙射中平均环数的稳定值(理论平均值)为8.65，
这个平均值的大小可以反映乙运动员的射箭水平.
问题1：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示.
环数
甲射中的概率
乙射中的概率
7
0.1
0.15
8
0.2
0.25
9
0.3
0.4
10
0.4
0.2
甲 稳定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9.
(平均环数或总环数)以及稳定性.
选修三《第七章 随机变量及其分布》
7.3离散型随机变量的数字特征
均值
方差
回顾
求一组样本数据的平均数、方差、标准差
由频率分布直方图求样本数据的平均数、中位数、众数、百分位数
频率的稳定性(n足够大时，频率稳定于概率)
由样本的数字特征估计总体的数字特征
问题1：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示.
1 2 3 4
假设乙射箭次，射中7环、8环、9环和10环的频率(比例)分别为 ， ， ， .




1
2
3
4
甲次射箭射中的平均环数为ҧ = 7 ×
+8×
+9×
+ 10 × .




当足够大时，频率稳定于概率，即稳定于7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65.
基础巩固：离散型随机变量的均值(数学期望)
例3.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，则A,B,C相互独立.
P ( X 0) P ( A) 0.2, P( X 1000 ) P( AB) 0.8 0.4 0.32 ,
解：随机变量的分布列为( = ) =
1
，
6 k=1，2，3，4，5，6.
若离散型随机变量X的分布列为：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则随机变量X的均值(或数学期望)为：
n
E ( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn xi pi
i 1
均值是随机变量可能取值及其对应的取值概率的加权平均数，
它反映了随机变量取值的平均水平.
n
xi2 pi 2( E ( X )) 2 ( E ( X )) 2
i 1
n
Hale Waihona Puke xi2 pi ( E ( X )) 2
i 1
n
D( X ) xi2 pi ( E ( X )) 2
巩固：离散型随机变量的方差
i 1
例5.抛掷质地均匀的一枚骰子，求掷出的点数X的方差.
环数
甲射中的概率
乙射中的概率
7
0.1
0.15
8
0.2
0.25
9
0.3
0.4
思考1：如何比较他们射箭水平的高低呢？
类似两组数据的比较，首先比较射中的平均环数，
如果平均环数相等，再看稳定性.
思考2：如何由分布列计算他们射中的平均环数呢？
10
0.4
0.2
选修三《第七章 随机变量及其分布》
7.3.1离散型随机变量的均值
7.3.2离散型随机变量的方差
回顾与类比→新知(公式由来/性质证明)→例题理解运用
n个样本数据x1 , x2 ,, xn的方差 :
( x1 x) ( x2 x) ( xn x)
s
n
2
2
2
2
各个数据与样本平均数的
偏差平方的平均值
n个样本数据中有m1个x1 , m2个x2 ,, mn个xn :
1 2 3 4
假设甲射箭次，射中7环、8环、9环和10环的频率(比例)分别为 ， ， ， .




甲次射箭射中的平均环数为ҧ = 7 ×
1

+8×
2

+9×
3

+ 10 ×
4
.

当足够大时，频率稳定于概率，即稳定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9.
ҧ
ni