二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)

二次函数复习二次函数解决最值问题的思路与策略二次函数复习：解决最值问题的思路与策略二次函数在高中数学中是一个重要的内容，涉及到了最值问题的求解。

本文将从复习二次函数的基本形式开始，逐步介绍解决最值问题的思路与策略。

一、二次函数的基本形式二次函数一般具有如下基本形式：f(x) = ax^2 + bx + c (a≠0)其中，a、b、c为实数，且a不等于0。

通过调整a、b、c的值，可以使二次函数的图像发生上下平移、左右平移和翻转等变化。

二、最值问题的定义在二次函数中，最值问题通常指的是求解函数的最大值或最小值。

最大值对应函数的顶点，最小值对应函数的谷点。

三、解决最值问题的思路解决最值问题的思路可以总结为以下几个步骤：1. 了解函数的基本形式：首先确定二次函数的基本形式，即f(x) = ax^2 + bx + c。

根据实际问题的给定条件，确定a、b、c的值。

2. 求解顶点坐标：通过平移变换，将二次函数的图像平移到合适的位置，使其顶点的坐标易于计算。

顶点的横坐标可通过 x = -b/(2a) 得到，而纵坐标可通过代入横坐标得到。

3. 判断最值类型：根据二次函数的开口方向（即a的正负）来判断最值类型。

当a>0时，函数开口向上，为最小值问题；当a<0时，函数开口向下，为最大值问题。

4. 求解最值：根据最值类型和顶点的坐标，可以直接得到函数的最值。

四、解决最值问题的策略解决最值问题的策略根据具体情况有所不同，下面列举了几种常见的策略：1. 利用函数的图像分析：通过观察二次函数的图像，分析函数在定义域上的变化趋势，找到最值所处的位置。

2. 利用对称性求解：当二次函数关于y轴对称时，可以利用对称性直接得到函数的最值。

3. 应用配方法：对于一些复杂的二次函数，可以通过配方法将其化简为标准的二次函数形式，然后再求解最值。

4. 利用一元二次不等式求解：通过将二次函数转化为一元二次不等式，可以得到函数的最值所在的区间，进而求解最值。

解题秘诀二次函数最值的4种解法二次函数是高中数学中的一个重要知识点，掌握了解题的秘诀和方法，就可以更好地解决与二次函数相关的各种问题。

本文将介绍四种解法来求解二次函数的最值问题。

一、二次函数的最值根据导数解法要求解二次函数的最值，可以通过求导数的方法来解决。

具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。

2. 对函数进行求导，得到导函数：f'(x) = 2ax + b。

3.导函数表示了二次函数的斜率，要求函数的最值，就是要求导函数为零点时的x值。

4. 解方程2ax + b = 0，求得x = -b / 2a。

5.将求得的x值代入二次函数，计算得到对应的y值。

6.x和y的值就是二次函数的最值。

二、二次函数的最值根据顶点法解法顶点法也是求解二次函数的最值的一种方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。

2.求出二次函数的顶点坐标，顶点的x值为-x/2a。

3.将求得的x值代入二次函数，计算得到对应的y值。

4.x和y的值就是二次函数的最值。

三、二次函数的最值根据平移法解法平移法是一种通过平移变换求解二次函数最值的方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。

2.将二次函数表示为顶点形式：f(x)=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。

3.根据函数的几何性质，二次函数的最值就是顶点的纵坐标k。

四、二次函数的最值根据因式分解解法因式分解是一种求解二次函数最值的常用方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。

2.将二次函数进行因式分解：f(x)=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为二次函数的两个零点。

3.根据函数的几何性质，二次函数的最值为x轴与二次函数的拐点处的纵坐标。

通过以上四种解法，我们可以灵活地解决二次函数的最值问题。

二次函数的最值问题求解二次函数是数学中常见的一种函数形式，它的一般形式可以表示成f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

而二次函数的最值问题是指求解二次函数在给定定义域上的最大值或最小值的过程。

一、二次函数的最值问题一般求解方法要解决二次函数的最值问题，一般可以采用以下几个步骤：1. 确定二次函数的开口方向：根据二次系数a的正负性来确定开口是向上还是向下。

当a > 0时，二次函数开口向上；当a < 0时，二次函数开口向下。

2. 求解二次函数的顶点坐标：顶点坐标可以通过公式x = -b / (2a)求得。

将x = -b / (2a)带入函数表达式中，得到对应的y值。

顶点的坐标表示了二次函数的最值。

3. 判定定义域：根据问题给出的条件或定义域限制，确定二次函数的定义域。

4. 推导最值：根据二次函数的开口方向和定义域，判定二次函数的最值。

当二次函数开口向上时，最值为最小值；当二次函数开口向下时，最值为最大值。

二、举例求解二次函数的最值问题为了更好地理解二次函数的最值问题，以下通过一个具体的例子来进行求解：已知二次函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求解其最小值。

1. 确定开口方向：由于二次函数的系数a = 1 > 0，所以函数的开口是向上的。

2. 求解顶点坐标：通过公式x = -b / (2a)求得x的值。

将函数f(x)的系数代入计算，有x = -(-4) / (2*1) = 2。

将x = 2带入函数表达式f(x)中，计算得y = (2)^2 - 4(2) + 3 = -1。

因此，顶点坐标为(2, -1)。

3. 判定定义域：对于该函数来说，定义域是全体实数。

4. 得出最小值：由于二次函数开口向上，所以顶点的y值即为最小值。

因此，该二次函数的最小值为-1。

通过以上的计算，我们成功地求解了二次函数的最值问题。

三、总结在实际问题中，二次函数的最值问题是一类常见且重要的数学问题。

二次函数应用题最值解法技巧
求解二次函数的最值，是高中数学教学中常见的问题，也是学生学习，应对考试经常遇到的难题。

下面介绍一般常用的求解二次函数最值的技巧：
一、求图像上最大最小值的步骤：
1、分析二次函数的几个重要关于最值的性质。

首先，二次函数的最值总是取决于它的顶点，而顶点的横纵坐标即为二次函数的最值。

2、求得顶点的横纵坐标，可以采用求导法：二次函数y=ax2+bx+c的导数为y'=2ax+b，上下两个函数图像关于x轴对称，故用y'=0即可求得函数最大最小值点的横坐标值。

3、求得二次函数最值点的横坐标后，就可以替换到y=ax2+bx+c中，求出该点处函数的值，就是函数的最值。

二、求导法求解二次函数最值的注意事项：
1、求导时，需要用合适的表达式；
2、求导法仅适用于求确定数学函数的最大最小值，不能用来求未定义函数或参数函数的最大最小值；
3、求导时，需要判断函数在不同区域的极大值极小值情况，以及确定顶点的横纵坐标值。

以上内容是求解求解二次函数的最值的常用技巧，但是学生在复习时，还需要多积累二次函数求解最值的实际应用实例，熟悉不同情况下的求解步骤，加强对求解最值的熟练操作。

二次函数的最值问题与问题解决技巧二次函数是高中数学中一个重要的概念，它有许多实际应用并且涉及到最值问题。

解决这类问题需要一定的技巧和方法。

本文将介绍二次函数的最值问题以及解决这些问题的技巧。

一、二次函数的最值问题最值问题在数学中非常常见，它代表了在一定条件下，函数的最大值或最小值。

对于二次函数而言，最值问题可以通过确定二次函数的开口方向以及顶点位置来解决。

1. 二次函数的开口方向对于二次函数y=ax²+bx+c，其中a，b，c为常数，a不等于0。

通过a的正负可以判断二次函数的开口方向。

当a大于0时，二次函数的开口是向上的，形状像一个U；当a小于0时，二次函数的开口是向下的，形状像一个倒U。

2. 顶点的横坐标和纵坐标二次函数的最值就出现在顶点处，因此需要确定顶点的横坐标和纵坐标。

对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，顶点的横坐标为x=-b/2a，可以通过对称轴求得；顶点的纵坐标为y=f(-b/2a)，即将x=-b/2a代入函数中计算得到。

3. 最值问题的解答根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以得到最值问题的解答。

当二次函数开口向上时，顶点是函数的最小值；当二次函数开口向下时，顶点是函数的最大值。

二、解决二次函数最值问题的技巧解决二次函数最值问题的技巧主要包括图像法、配方法、导数法等。

1. 图像法通过绘制二次函数的图像，可以直观地找出函数的最值。

根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以判断最值是最小值还是最大值。

2. 配方法当二次函数的系数a不为1时，可以使用配方法将其转化为完全平方的形式，从而更容易找到最值。

例如对于二次函数y=ax²+bx+c，可以将x²+bx转化为(x+b/2a)²-b²/4a，然后再根据顶点的位置判断最值。

3. 导数法通过对二次函数求导，可以得到导函数，进而求出极值点。

导数为0处的x值就是函数的极值点，通过计算可以得到相应的y值。

二次函数与最值的六种考法-重难点题型【题型1 二次函数中的定轴定区间求最值】【例1】（2021春•瓯海区月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值4，有最小值0B．有最大值0，有最小值﹣4C．有最大值4，有最小值﹣4D．有最大值5，有最小值﹣4【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，故选：D．【变式1-1】（2020秋•龙沙区期中）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，则m＝．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣3x+m＝（x−32）2+m−94，∴该函数开口向上，对称轴为x=3 2，∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m，解得m＝1，故答案为：1．【变式1-2】（2021•哈尔滨模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，故答案为：9．【变式1-3】（2020秋•番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．【解题思路】根据题意画出函数图象，即可由此找到m 和M 的值，从而求出M ﹣m 的值． 【解答过程】解：原式可化为y ＝（x ﹣3）2﹣4， 可知函数顶点坐标为（3，﹣4）， 当y ＝0时，x 2﹣6x +5＝0， 即（x ﹣1）（x ﹣5）＝0， 解得x 1＝1，x 2＝5． 如图：m ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝36﹣36+5＝5，即M ＝5． 则M ﹣m ＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．【题型2 二次函数中的动轴定区间求最值】【例2】（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（ ） A ．3B ．﹣3或38C ．3或−38D ．﹣3或−38【解题思路】先求出对称轴为x ＝﹣1，分m ＞0，m ＜0两种情况讨论解答即可求得m 的值． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝mx 2+2mx +1＝m （x +1）2﹣m +1， ∴对称轴为直线x ＝﹣1， ①m ＞0，抛物线开口向上，x ＝﹣1时，有最小值y ＝﹣m +1＝﹣2， 解得：m ＝3；②m ＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x ＝﹣1，在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2， ∴x ＝2时，有最小值y ＝4m +4m +1＝﹣2，解得：m =−38； 故选：C ．【变式2-1】（2021•瓯海区模拟）已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，且﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（ ） A ．1B ．34C ．−35D ．−14【解题思路】根据二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，可以得到a 的正负情况，然后根据﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，即可得到a 的值． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1＝a （x ﹣2）2﹣4a ﹣1， ∴该函数的对称轴是直线x ＝2， 又∵当x ≤1时，y 随x 的增大而增大， ∴a ＜0，∵当﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4， ∴x ＝6时，y ＝a ×62﹣4a ×6﹣1＝﹣4， 解得a =−14， 故选：D ．【变式2-2】（2021•章丘区模拟）已知二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而减小，且﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，则a 的值为（ ） A ．1或﹣2B ．−√2或√2C ．﹣2D ．1【解题思路】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a ＜0，然后由﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，可得x ＝1时，y ＝15，即可求出a ． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量）， ∴对称轴是直线x =−4a2×2a=−1， ∵当x ≥2时，y 随x 的增大而减小， ∴a ＜0，∵﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15， ∴x ＝1时，y ＝2a +4a +6a 2+3＝15， ∴6a 2+6a ﹣12＝0， ∴a 2+a ﹣2＝0，∴a ＝1（不合题意舍去）或a ＝﹣2． 故选：C ．【变式2-3】（2021•滨江区三模）已知二次函数y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1（m ≥0，n ≥0），当1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，则mn 的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．494【解题思路】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m ，n 的取值范围，将mn 转化为含一个未知数的整式求最值．【解答过程】解：抛物线y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1的对称轴为直线x =6−nm−1， ①当m ＞1时，抛物线开口向上， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≥2，即2m +n ≤8．解得n ≤8﹣2m ， ∴mn ≤m （8﹣2m ），m （8﹣2m ）＝﹣2（m ﹣2）2+8， ∴mn ≤8．②当0≤m ＜1时，抛物线开口向下， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≤1，即m +n ≤7，解得m ≤7﹣n ， ∴mn ≤n （7﹣n ），n （7﹣n ）＝﹣（n −72）2+494, ∴mn ≤494， ∵0≤m ＜1， ∴此情况不存在．综上所述，mn 最大值为8． 故选：C ．【题型3 二次函数中的定轴动区间求最值】【例3】（2020秋•马鞍山期末）当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故答案为：0或3．【变式3-1】（2021•济南模拟）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m＜2B．0≤m≤5C．m＞5D．2≤m≤5【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．【解答过程】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1），∴x＝﹣1和x＝5对应的函数值相等，∵当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1时，y＝﹣8，∴2≤m≤5，故选：D．【变式3-2】（2021•宁波模拟）若二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，则t的取值范围应是（）A．﹣6≤t≤2B．t≤﹣2C．﹣6≤t≤﹣2D．﹣2≤t≤2【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），可以求得a的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质和当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，即可得到t的取值范围．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝a×22﹣2+2，解得a=−1 4，∴y=−14x2﹣x+2=−14（x+2）2+3，∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，该函数取得最大值3，∵当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，当x＝2时，y＝﹣1，∴﹣6≤t≤﹣2，故选：C．【变式3-3】（2021•莱芜区二模）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a+b的值为（）A．2√3B．−72C．√3−2D．0【解题思路】根据a的取值范围分﹣1≤a＜0，﹣b﹣2≤a＜﹣1，a＜﹣b﹣2三种情况讨论，求出满足题目条件的情况即可．【解答过程】解：∵a≤x≤b且ab＜0，∴a，b异号，∴a＜0，b＞0，由二次函数的对称性，b关于对称轴的对称点为﹣b﹣2，若﹣1≤a＜0，则（a+1）2﹣4＝2a，解得a=−√3（舍），若﹣b﹣2≤a＜﹣1，则﹣4＝2a，a＝﹣2，且（b+1）2﹣3＝2b，解得b=√3，∴a+b=√3−2，若a＜﹣b﹣2，则2a＝﹣4，a＝﹣2，2b＝（a+1）2﹣4＝﹣3，∴b=−32（舍），故选：C．【题型4 二次函数中求线段最值】【例4】（2020春•海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为．【解题思路】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，4）代入得{−4k+b=0b=4，解得{k=1b=4，∴直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．故答案为4．【变式4-1】（2020秋•镇平县期末）如图，直线y=−34x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=−38x 2+34x +3经过B ，C 两点，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，则EM 的最大值为 ．【解题思路】设出E 的坐标，表示出M 坐标，进而表示出EM ，化成顶点式即可求得EM 的最大值． 【解答过程】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，∴点E 的坐标是（m ，−38m 2+34m +3），点M 的坐标是（m ，−34m +3），∴EM =−38m 2+34m +3﹣（−34m +3）=−38m 2+32m =−38（m 2﹣4m ）=−38（m ﹣2）2+32， ∴当m ＝2时，EM 有最大值为32，故答案为32．【变式4-2】（2021•埇桥区模拟）对称轴为直线x ＝﹣1的抛物线y ＝x 2+bx +c ，与x 轴相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）． （1）求点B 的坐标．（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【解题思路】（1）利用二次函数对称性即可得出B 点坐标；（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC 的解析式，再利用QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）进而求出最值．【解答过程】解：（1）∵点A （﹣3，0）与点B 关于直线x ＝﹣1对称， ∴点B 的坐标为（1，0）． （2）∵a ＝1，∴y ＝x 2+bx +c ．∵抛物线过点（﹣3，0），且对称轴为直线x ＝﹣1， ∴{9−3b +c =0−b2=−1∴解得：{b =2c =−3，∴y ＝x 2+2x ﹣3，且点C 的坐标为（0，﹣3）． 设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ， 则{−3m +n =0n =−3， 解得：{m =−1n =−3，∴y ＝﹣x ﹣3如图，设点Q 的坐标为（x ．y ），﹣3≤x ≤0．则有QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x 2﹣3x ＝﹣（x +32）2+94∵﹣3≤−32≤0，∴当x =−32时，QD 有最大值94．∴线段QD 长度的最大值为94．【变式4-3】（2020秋•滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +52与x 轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△ACM的面积；（Ⅲ）若点P是抛物线上的一动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．【解题思路】（Ⅰ）用待定系数法即可求解；（Ⅱ）△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA=12×MH×OA，即可求解；（Ⅲ）点D在直线AC上，设点D（m，−12m+52），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解．【解答过程】解：（Ⅰ）令x＝0，则y=52，即C（0，52）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1），将点C的坐标代入上式得：52=a（0﹣5）（0+1），解得a=−1 2，故抛物线的表达式为y=−12（x﹣5）（x+1）=−12x2+2x+52；（Ⅱ）由抛物线的表达式得顶点M（2，92），过点M作MH∥y轴交AC于点H，设直线AC 的表达式为y ＝kx +t ，则{t =520=5k +t， 解得{k =−12t =52， 故直线AC 的表达式为y =−12x +52，当x ＝2时，y =32，则MH =92−32=3，则△AMC 的面积＝S △MHC +S △MHA =12×MH ×OA =12×3×5=152； （Ⅲ）点D 在直线AC 上，设点D （m ，−12m +52），由题意得，四边形OEDF 为矩形，故EF ＝OD ，即当线段EF 的长度最短时，只需要OD 最短即可，则EF 2＝OD 2＝m 2+（−12m +52）2=54m 2−52m +254，∵54＞0，故EF 2存在最小值（即EF 最小），此时m ＝1， 故点D （1，2），∵点P 、D 的纵坐标相同，故2=−12x 2+2x +52，解得x ＝2±√5，故点P 的坐标为（2+√5，2）或（2−√5，2）．【题型5 二次函数中求线段和最值】【例5】（2020秋•安居区期末）如图，在抛物线y ＝﹣x 2上有A ，B 两点，其横坐标分别为1，2，在y 轴上有一动点C ，当BC +AC 最小时，则点C 的坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（0，﹣1）C ．（0，2）D ．（0，﹣2）【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，由点B 的坐标可得出点B ′的坐标，由点A ，B ′的坐标，利用待定系数法可求出直线AB ′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点C 的坐标．【解答过程】解：当x ＝1时，y ＝﹣12＝﹣1，∴点A 的坐标为（1，﹣1）；当x ＝2时，y ＝﹣22＝﹣4，∴点B 的坐标为（2，﹣4）．作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，如图所示．∵点B 的坐标为（2，﹣4），∴点B ′的坐标为（﹣2，﹣4）．设直线AB ′的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （1，﹣1），B （﹣2，﹣4）代入y ＝kx +b 得：{k +b =−1−2k +b =−4， 解得：{k =1b =−2， ∴直线AB ′的解析式为y ＝x ﹣2．当x ＝0时，y ＝0﹣2＝﹣2，∴点C 的坐标为（0，﹣2），∴当BC +AC 最小时，点C 的坐标是（0，﹣2）．故选：D ．【变式5-1】（2021•铁岭模拟）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，过其顶点M 的一条直线y ＝kx +b 与该抛物线的另一个交点为N （﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P ，使得△PMN 的周长最小，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，2）B ．（43，0）C ．（0，2）或（43，0）D ．以上都不正确【解题思路】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M 的坐标；欲使△PMN 的周长最小，MN 的长度一定，所以只需（PM +PN ）取最小值即可．然后，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P （如图1）；过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （如图2）．【解答过程】解：如图，∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，点N （﹣1，1）是抛物线上的一点， ∴{−p −2=−31=−1−p +q， 解得{p =−6q =−4． ∴该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣6x ﹣4＝﹣（x +3）2+5，∴M （﹣3，5）．∵△PMN 的周长＝MN +PM +PN ，且MN 是定值，所以只需（PM +PN ）最小．如图1，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P ．则M ′（3，5）．设直线M ′N 的解析式为：y ＝ax +t （a ≠0），则{5=3a +t 1=−a +t， 解得{a =1t =2， 故该直线的解析式为y ＝x +2．当x ＝0时，y ＝2，即P （0，2）．同理，如图2，过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （−43，0）．如果点P 在y 轴上，则三角形PMN 的周长=4√2+MN ；如果点P 在x 轴上，则三角形PMN 的周长=2√10+MN ；所以点P 在（0，2）时，三角形PMN 的周长最小．综上所述，符合条件的点P 的坐标是（0，2）．故选：A ．【变式5-2】（2021•包头）已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C ，点D （4，y ）在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当BE +DE 的值最小时，△ACE 的面积为 ．【解题思路】解方程x 2﹣2x ﹣3＝0得A （﹣1，0），B （3，0），则抛物线的对称轴为直线x ＝1，再确定C （0，﹣3），D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时BE +DE 的值最小，接着利用待定系数法求出直线AD 的解析式为y ＝x +1，则F （0，1），然后根据三角形面积公式计算．【解答过程】解：当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，则A （﹣1，0），B （3，0）， 抛物线的对称轴为直线x ＝1，当x ＝0时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝﹣3，则C （0，﹣3），当x ＝4时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝5，则D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，∵BE +DE ＝EA +DE ＝AD ，∴此时BE +DE 的值最小，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，把A （﹣1，0），D （4，5）代入得{−k +b =04k +b =5，解得{k =1b =1， ∴直线AD 的解析式为y ＝x +1，当x ＝1时，y ＝x +1＝2，则E （1，2），当x ＝0时，y ＝x +1＝1，则F （0，1），∴S △ACE ＝S △ACF +S △ECF =12×4×1+12×4×1＝4． 故答案为4．【变式5-3】（2021•涪城区模拟）如图，抛物线y =53x 2−203x +5与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA 、MC 、AC ，则当△MAC 的周长最小时，点M 的坐标是 ．【解题思路】点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，即可求解．【解答过程】解：点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，理由：连接AC ，由点的对称性知，MA ＝MB ，△MAC 的周长＝AC +MA +MC ＝AC +MB +MC ＝CA +BC 为最小，令y =53x 2−203x +5＝0，解得x ＝1或3，令x ＝0，则y ＝5，故点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），则函数的对称轴为x =12（1+3）＝2，设直线BC 的表达式为y ＝kx +b ，则{0=3k +b b =5，解得{k =−53b =5， 故直线BC 的表达式为y =−53x +5，当x ＝2时，y =−53x +5=53，故点M 的坐标为（2，53）． 【题型6 二次函数中求面积最值】【例6】（2020秋•盐城期末）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，过点A 的直线l 交抛物线于点C （2，m ），点P 是线段AC 上一个动点，过点P 做x 轴的垂线交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当P 在何处时，△ACE 面积最大．【解题思路】（1）利用交点式写出抛物线解析式；（2）先利用二次函数解析式确定C （2，﹣3），再利用待定系数法求出直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1，设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），利用三角形面积公式得到△ACE 的面积=12×（2+1）×PE =32（﹣t 2+t +2），然后根据二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：（1）抛物线解析式为y ＝（x +1）（x ﹣3），即y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）把C （2，m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3得m ＝4﹣4﹣3＝﹣3，则C （2，﹣3），设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，把A （﹣1，0），C （2，﹣3）代入得{−m +n =02m +n =−3，解得{m =−1n =−1， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1；设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），∴PE ＝﹣t ﹣1﹣（t 2﹣2t ﹣3）＝﹣t 2+t +2，∴△ACE 的面积=12×（2+1）×PE=32（﹣t 2+t +2）=−32（t −12）2+278，当t =12时，△ACE 的面积有最大值，最大值为278，此时P 点坐标为（12，−32）． 【变式6-1】（2021春•金塔县月考）如图，已知抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，﹣2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的该抛物线上是否存在一点D ，使得△DCA 的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据题意设出抛物线的交点式，用待定系数法求解即可；（2）根据题意作出相关辅助线，用待定系数法求得直线AC解析式为y=12x﹣2，因为点D在抛物线上，所以可设其坐标为（x，−12x2+52x﹣2），点E在直线AC上则设点E坐标为（x，12x﹣2），由图形可知S△DCA＝S△DCE+S△DAE，将相关坐标及线段的长度代入求解，再根据二次函数的性质即可得出△DCA面积的最大值．【解答过程】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a=−1 2，∴y=−12（x﹣4）（x﹣1）=−12x2+52x﹣2，故该抛物线的解析式为：y=−12x2+52x﹣2，（2）如图，设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：{0=4k+b−2=b，解得{k=12b=−2，∴直线AC：y=12x﹣2，设点D坐标为（x，−12x2+52x﹣2），则点E坐标为（x，12x﹣2），S△DCA＝S△DCE+S△DAE=12×DE×x E+12×DE×（x A﹣x E）=12×DE×x A=12×DE×4＝2DE，∵DE＝（−12x2+52x﹣2）﹣（12x﹣2）=−12x2+2x，∴S△DCA＝2DE＝2×（−12x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，y=−12x2+52x﹣2═﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），此时△DCA的面积最大，最大值为4．【变式6-2】（2021春•无为市月考）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）若P为直线AB上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，求四边形BCAP的面积S关于点P横坐标m的函数解析式，并求S的最大值．【解题思路】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；（2）过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，求得C的坐标和D的坐标，然后根据S＝S△ABC+S △ABP得到S关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．【解答过程】解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），∴0＝﹣3+n，∴n＝3，∴直线解析式为：y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴点B （0，3），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ，∴{c =3−9+3b +c =0， ∴{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）如图，过点P 做PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），∵点D 在直线AB 上，∴点D 的坐标为（m ，﹣m +3），∴PD ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，在y ＝﹣x 2+2x +3中．令y ＝0．则﹣x 2+2x +3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴点C 的坐标为（﹣1，0），∴S ＝S △ABC +S △ABP =12×4×3+12（﹣m 2+3m ）×3=−32（m −32）2+758， ∴当m =32时，S 最大，最大值为758．【变式6-3】（2021春•无棣县月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP 'C ．是否存在点P ，使四边形POP 'C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【解题思路】（1）先根据点C坐标求出c＝﹣3，再将点B坐标代入二次函数解析式中求出b，即可得出结论；（2）连接PP'交y轴于E，根据菱形的性质判断出点E是OC的中点，进而求出点P的纵坐标，最后代入二次函数解析式中求解，即可得出结论；（3）设出点P的坐标，进而利用梯形的面积+三角形的面积得出S四边形ABPC=−32（m−12）2+398，即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3，∵点B（3，0）在二次函数图象上，∴9+3b﹣3＝0，∴b＝﹣2，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，连接PP'交y轴于E，∵四边形POP'C为菱形，∴PP'⊥OC，OE＝CE=12OC，∵点C（0，﹣3），∴OC＝3，∴OE=3 2，∴E （0，−32），∴点P 的纵坐标为−32，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， ∴x 2﹣2x ﹣3=−32，∴x =2−√102或x =2+√102，∵点P 在直线BC 下方的抛物线上，∴0＜x ＜3，∴点P （2+√102，−32）；（3）如图2，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则PF ∥OC ， 由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， 令y ＝0，则x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x ＝﹣1或x ＝3，∴A （﹣1，0），∴设P （m ，m 2﹣2m ﹣3）（0＜m ＜3），∴F （m ，0），∴S 四边形ABPC ＝S △AOC +S 梯形OCPF +S △PFB =12OA •OC +12（OC +PF ）•OF +12PF •BF =12×1×3+12（3﹣m 2+2m +3）•m +12（﹣m 2+2m +3）•（3﹣m ） =−32（m −32）2+758，∴当m =32时，四边形ABPC 的面积最大，最大值为758，此时，P （32，−154），即点P 运动到点（32，−154）时，四边形ABPC 的面积最大，其最大值为758．。

二次函数的最值与极值问题二次函数是数学中常见的一种函数类型，在很多实际问题中都可以用二次函数来描述。

在解决二次函数的最值与极值问题时，可以运用一些方法和技巧来求解。

本文将介绍一些常见的解题思路和方法。

一、二次函数的最值问题二次函数的最值指的是函数在定义域内的最大值或最小值。

当求解二次函数的最值时，可以利用二次函数的顶点和开口方向进行判断。

1. 定理1：对于开口向上的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a > 0，顶点的 y 值是函数的最小值。

使用该定理时，可以先求得二次函数的顶点，再将顶点的坐标代入原函数，得到最小值。

2. 定理2：对于开口向下的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a < 0，顶点的 y 值是函数的最大值。

同样地，使用该定理时，先求得二次函数的顶点，再将顶点的坐标代入原函数，得到最大值。

需要注意的是，二次函数的最大值或最小值可能在定义域内的某个点上出现，因此除了顶点外还需要考虑其他可能的极值点。

二、二次函数的极值问题二次函数的极值指的是函数在定义域内的局部最大值或最小值。

当求解二次函数的极值时，可以利用二次函数的导数和零点来寻找。

1. 求解极值的一般步骤如下：a) 求二次函数的导函数；b) 解二次函数的导函数为零的方程，得到零点；c) 将零点带入原函数，求得对应的函数值，得到极值。

2. 一个特殊情况是在二次函数的定义域 [a, b] 上求极值时，可以先求出导数，然后导数大于零的部分即是函数的递增区间，导数小于零的部分即是函数的递减区间。

接着，再对边界点和零点进行比较，得到极值。

三、综合练习与例题为了更好地理解二次函数的最值与极值问题，我们来进行一些练习和解题。

【练习题一】已知二次函数 f(x) = -2x^2 + 4x + 1，1. 求二次函数的顶点及对应的最值；2. 求二次函数的极值。

【解答】1. 对于二次函数 f(x) = -2x^2 + 4x + 1，a = -2 < 0，可以判断开口向下，顶点的 y 值是最大值。

一、二次函数线段最值问题之阳早格格创做1、仄止于x轴的线段最值问题1）最先表示出线段二个端面的坐标2）用左侧端面的横坐标减去左侧端面的横坐标3）得到一个线段少闭于自变量的二次函数4）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值2、仄止于y轴的线段最值问题1）最先表示出线段二个端面的坐标2）用上头端面的纵坐标减去底下端面的纵坐标3）得到一个线段少闭于自变量的二次函数剖析式4）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值3、既没有服止于x轴，又没有服止于y轴的线段最值问题1）以此线段为斜边构制一个曲角三角形，并使此曲角三角形的二条曲角边分别仄止于x轴、y轴2）根据线段二个端面的坐标表示出曲角顶面坐标3）根据“上减下，左减左”分别表示出二曲角边少4）根据勾股定理表示出斜边的仄圆（即二曲角边的仄圆战）5）得到一个斜边的仄圆闭于自变量的二次函数6）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值7）根据所供得的斜边仄圆的最值供出斜边的最值即可二、二次函数周少最值问题1、矩形周少最值问题1）普遍会给出一面降正在扔物线上，从那面背二坐标轴引垂线形成一个矩形，供其周少最值2）可先设此面坐标，面p到x轴、y轴的距离战再乘以2，即为周少3）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值2、利用二面之间线段最短供三角形周少最值1）最先推断图形中那些边是定值，哪些边是变量2）利用二次函数轴对于称性及二面之间线段最短找到二条变更的边，并供其战的最小值3）周少最小值即为二条变更的边的战最小值加上没有变的边少三、二次函数里积最值问题1、准则图形里积最值问题（那里准则图形指三角形必有一边仄止于坐标轴，四边形必有一组对于边仄止于坐标轴）1）最先表示出所需的边少及下2）利用供里积公式表示出头积3）得到一个里积闭于自变量的二次函数4）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值2、没有准则图形里积最值问题1）分隔.将已有的没有准则图形通太过隔后得到几个准则图形2）再分别表示出分隔后的几个准则图形里积，供战3）得到一个里积闭于自变量的二次函数4）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值或者1）利用大减小，没有准则图形的里积可由准则的图形里积减去一个或者几个准则小图形的里积去得到2）得到一个里积闭于自变量的二次函数3）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值。

二次函数的最值问题二次函数是数学中常见的一类函数，其形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

在求解二次函数的最值问题时，我们需要找到函数的极值点或者最值点。

下面将简要介绍二次函数的最值问题及其求解方法。

一、最值问题的定义最值问题是指在一定条件下，寻找函数在给定区间上的最大值或最小值的问题。

对于二次函数而言，最值问题即为求解函数的极值点或者最值点。

这些点可以表示函数的最低点或最高点。

二、二次函数的最值问题求解方法1. 定义法通过定义法，我们可以得到二次函数的最值点。

对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其最值点的x坐标可以通过求解f'(x) = 0的解来得到。

首先，我们计算出f'(x) = 2ax + b，然后解方程2ax + b = 0，得到x = -b/(2a)。

这个解即为函数的极值点或者最值点的x坐标。

2. 平移法通过平移法，我们可以通过已知最值点的坐标和平移的方式求解二次函数的最值问题。

假设已知函数的最值点为(a, f(a))，我们可以通过平移将最值点移到原点。

首先，我们定义新的函数g(x) = f(x-a)。

根据平移的性质，g(x)与f(x)的关系为f(x) = g(x-a)。

接下来，我们将g(x)转化为标准的二次函数形式，并求解其最值点。

3. 完全平方法通过完全平方法，我们可以将二次函数转化为平方的形式，进而求解其最值问题。

对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过将一次项的二次项形式转化为平方项，得到g(x) = a(x + h)^2 + k 的形式。

其中，(h, k)为最值点的坐标。

通过求解g(x) = 0的解，我们可以得到函数的最值点的x坐标。

三、举例说明假设我们有一个二次函数f(x) = x^2 - 4x + 3，我们需要求解其最小值点。

首先，我们计算出f'(x) = 2x - 4。

二次函数最值问题及其解决方法首先，我们可以通过求导数的方法来找到二次函数的极值。

对于一个一般形式的二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，其中 $a \neq 0$，我们可以先求出它的导数 $f'(x)=2ax+b$。

通过求导数，可以得到函数的极值点。

当导数 $f'(x)$ 为零时，即 $2ax+b=0$，解出 $x$ 的值，并代入原函数$f(x)$ 中，即可得到函数在该点上的最大值或最小值。

举个例子来说明，设有一个二次函数 $f(x)=2x^2+3x-2$，我们可以先求出它的导数 $f'(x)=4x+3$。

将导数设置为零，得到 $4x+3=0$，解得$x=-\frac{3}{4}$。

将 $x=-\frac{3}{4}$ 代入原函数 $f(x)$ 中，得到$f(-\frac{3}{4})=\frac{31}{8}$。

所以函数在 $x=-\frac{3}{4}$ 处取得最小值 $\frac{31}{8}$。

其次，我们也可以通过二次函数的图像特征来找到二次函数的最大值和最小值。

我们知道，二次函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。

如果二次函数的系数$a>0$，那么它的抛物线开口朝上，此时二次函数的最小值就是抛物线的顶点的纵坐标值；如果二次函数的系数$a<0$，那么它的抛物线开口朝下，此时二次函数的最大值就是抛物线的顶点的纵坐标值。

下面我们以一个具体的例子来说明这种方法。

考虑一个二次函数$f(x)=x^2-4x+3$。

我们可以求出该二次函数的顶点坐标，并判断它的开口方向。

先求导数$f'(x)=2x-4$，将导数设置为零，得到$2x-4=0$，解得$x=2$。

将$x=2$代入原函数$f(x)$中，得到$f(2)=-1$。

所以函数的最小值为$-1$。

通过分析二次函数$f(x)$，我们可以发现系数$a=1>0$，所以抛物线开口朝上，这也验证了我们的结论。

二次函数求最值方法总结二次函数是高中数学中一个非常重要的概念，它的图像非常常见且有着广泛的应用。

对于一个二次函数，我们常常需要求解其最值，即求出函数的最大值或最小值点。

在解决这类问题时，我们可以采用以下几种方法。

一、图像法图像法是最直观也是最常用的求解二次函数最值的方法之一、我们可以通过观察二次函数的图像来判断最值的位置。

1. 对于一般形式的二次函数$y=ax^2+bx+c$，若$a>0$，则抛物线开口朝上，最值为最小值；若$a<0$，则抛物线开口朝下，最值为最大值。

因此，我们只需判断二次函数的a值的正负即可。

2. 另外，对于一般形式的二次函数$y=ax^2+bx+c$，我们可以求出它的顶点坐标。

二次函数的顶点坐标为$(x,y)$，其中$x=-\frac{b}{2a}$，$y=f(x)=f\left(-\frac{b}{2a}\right)=c-\frac{b^2}{4a}$。

当x为顶点时，y为函数的最值。

二、完全平方式完全平方式是通过将二次函数进行平方式来求解最值。

这个方法主要基于二次函数的完全平方式。

1. 对于一般形式的二次函数$y=ax^2+bx+c$，我们可以通过完全平方方式将其转化为$y=a(x-h)^2+k$的形式。

其中，h为$x=-\frac{b}{2a}$时的x值，k为$f(-\frac{b}{2a})$的值。

此时，最值点为$(h,k)$。

2. 对于二次函数的完全平方法，我们可以用符合二次差法，即$(p+q)^2=p^2+2pq+q^2$（p、q为实数）来得到完全平方式的表达式。

具体步骤如下：a. 首先，将二次函数转化为$y=ax^2+bx$的形式。

即去掉常数项，将$c$设为0。

b. 将二次函数中的二次项系数和一次项系数进行平均分解，得到$a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}$。

c. 进一步化简，得到$a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$。

二次函数中的最值问题归纳（中考数学必考知识点）一．线段和差最值1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D为BC的中点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点G是该抛物线对称轴上的动点，若GA+GC有最小值，求此时点G的坐标；第二问解题思路：（1）根据点G是该抛物线对称轴上的动点可得当点G在直线BC与抛物线对称轴的交点上时，GA+GC最小，先求出点C的坐标.（2）再设直线BC的解析式为y＝kx﹣4（k≠0），根据待定系数求得直线BC 的解析式为y＝x﹣4，然后求出抛物线的对称轴为直线x＝1，联立两解析式求解即可.2、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝4x+4与x轴交于A点，与y轴交于C点，抛物线）经过A，C两点，与x轴相交于另一点B，连接BC．点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥BC交线段BC于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线对称轴上的一个动点，求|DC﹣DB|的最大值；第二问解题思路：（1）作点C关于抛物线的对称轴的对称点N（2，4）.（2）连接BN交抛物线的对称轴于点D，则点D为所求点，进而求解.二．线段最值3、如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；第二问解题思路：（1）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出MN的长.（2）再利用二次函数的最值可求得MN的最大值.变式训练：如图，已知抛物线经过点A（﹣6，0），B（2，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为该抛物线上一动点．当点P在直线AC下方时，过点P作PE∥x轴，交直线AC于点E，作PF∥y轴．交直线AC于点F，求EF的最大值；4、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝4x+4与x轴交于A点，与y轴交于C点，抛物线）经过A，C两点，与x轴相交于另一点B，连接BC．点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥BC交线段BC于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）求PQ的最大值，并写出此时点P的坐标；第二问解题思路：由PQ＝HP sin∠PHQ＝PH知，当PH最大时，PG最大，进而求解变式训练：如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴相交于点C．（1）求该函数的表达式；（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．线段PQ的最大值；变式训练：如图，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．对称轴为直线x＝﹣1．（1）a＝；（2）点P为直线AC下方抛物线上的一动点，过P作PE⊥AC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点G，求PE+PG的最大值；5、如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，求的最大值，并求出此时D的坐标．第二问解题思路：过点D作DH∥y轴，交AC于点H，由（1）设D（m，﹣m2+2m+3），直线AC的解析式为y＝kx+n，然后可求出直线AC的解析式，则有H（m，﹣m+3），进而可得DH＝﹣m2+3m，最后根据△OCN∽△DHN可进行求解．变式训练：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；三．周长和面积6、如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？第二问解题思路：由抛物线的对称性得AE＝OB＝t，据此知AB＝10﹣2t，再由x＝t时BC＝t2﹣t，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得变式训练：如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点B，C（点B在点C左侧），与y轴相交于点A（0，4），已知点C坐标为（4，0），△ABC面积为6．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线AC下方抛物线上一点，过点P作直线AC的垂线，垂足为点H，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P的坐标；7、如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A、B、C三点，直线y＝﹣x+4过点B和点C．（1）求抛物线的解析式；（2）E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；第二问解题思路：过E点作EG∥y轴交BC于点G，设E（t，﹣t2+t+4），则G（t，﹣t+4），可得S＝﹣（t﹣2）2+4，当t＝2时，△BCE的面积有最大值4，此时E △BCE（2，4）变式训练：二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点．（1）求二次函数的表达式；（2）如图，连接P A，PC，AC，求S的最大值；△P AC变式训练：已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）直接写出抛物线的函数解析式；（2）点N是第一象限内抛物线上的一动点，连接NA分别交BC、y轴于D、E两点，若△NBD、△CDE的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值；四．AP+kBP型8、如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．（1）求这个二次函数的表达式；（3）求PM+2BH的最大值；第二问解题思路：设P点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则M点坐标为（m，m﹣3），H点坐标为（m，0），将PM+2BH转化为二次函数求最值即可变式训练：抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C，点和点P都在抛物线上．（1）求出抛物线表达式；（2）如图，若点P在直线AD的上方，过点P作PH⊥AD，垂足为H，①当点P是抛物线顶点时，求PH的长，②求AH+PH的最大值；变式训练：如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF+CF的最小值．。

二次函数最值问题解题技巧二次函数最值问题是高中数学中常见的一类问题，也是中考、高考中经常出现的题型之一。

解题时需要掌握一些解题技巧，下面就介绍一些二次函数最值问题的解题技巧。

1. 求最值的方法二次函数的最值可以通过求解二次函数的顶点来得到，顶点即为最值点。

二次函数的顶点公式为：(-b/2a , f(-b/2a))。

其中，a、b、c分别为二次函数的系数，f(x)表示函数值。

2. 求最值的条件要求二次函数的最值，必须先要满足二次函数的a值不为0，否则该函数就不是二次函数。

其次，需要根据二次函数的符号来判断最值，当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)，当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。

3. 求最值的步骤求解二次函数的最值，一般可以分为以下几个步骤：（1）将二次函数化简为标准形式：y=ax+bx+c。

（2）求出二次函数的顶点坐标：(-b/2a , f(-b/2a))。

（3）判断二次函数的最值：当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。

（4）用最值来解题：根据题目要求，将二次函数的x值代入函数中求出对应的y值，从而得到函数的最值。

4. 拓展除了方法和步骤外，还有一些需要注意的点：（1）二次函数最值问题常常伴随着图像问题，需要将函数的图像画出来，从而更直观地理解问题。

（2）对于一些复杂的二次函数，可以借助计算器等工具来求解，但需要掌握求解方法和步骤。

（3）对于二次函数最值问题的解题，需要练习多种不同类型的题目，从而提高解题能力。

总之，掌握二次函数最值问题的解题技巧，需要学生在学习中不断积累，多加练习，从而提高数学解题能力。

解二次函数的最值问题的步骤与技巧二次函数是一种常见的数学函数形式，其表达式为f(x) = ax^2 + bx+ c，其中a、b、c为常数且a≠0。

解二次函数的最值问题是求解函数的最大值或最小值，这在数学及实际问题中都具有重要的意义。

本文将介绍解二次函数最值问题的步骤和技巧，帮助读者更好地理解和应用。

一、确定函数的开口方向要解二次函数的最值问题，首先需要确定函数的开口方向。

根据二次函数的导数和二次系数a的正负关系，可以判断函数的开口方向。

1. 当a＞0时，二次函数开口向上，图像形状为一个开口向上的抛物线，此时函数的最小值为负无穷，无最大值。

2. 当a＜0时，二次函数开口向下，图像形状为一个开口向下的抛物线，此时函数的最大值为负无穷，无最小值。

二、求出函数的顶点坐标函数的顶点是函数抛物线的最高点（当a＜0）或最低点（当a＞0）。

顶点坐标的求解可以通过求导或直接应用顶点公式完成。

1. 求解顶点坐标方法一：求导法通过对二次函数f(x) = ax^2 + bx + c求导，令导函数f'(x) = 0，即可得到顶点的横坐标x0。

将x0代入原函数，即可求得顶点的纵坐标f(x0)。

2. 求解顶点坐标方法二：顶点公式二次函数的顶点公式为x0 = -b/(2a)，f(x0) = f(-b/(2a)) = a(-b/(2a))^2 + b(-b/(2a)) + c。

三、判断最值根据函数的开口方向和顶点的坐标，可以判断函数的最大值或最小值。

1. 当a＜0时，二次函数开口向下，函数的最大值为f(x0)，此时的x0为顶点横坐标。

2. 当a＞0时，二次函数开口向上，函数的最小值为f(x0)，此时的x0为顶点横坐标。

四、综合求解实例下面通过一个实例来综合运用以上步骤和技巧，解决一个二次函数的最值问题。

实例：求解函数f(x) = 2x^2 + 4x - 3的最值。

1. 确定开口方向：二次系数a = 2 > 0，说明函数开口向上。

初中二次函数最值问题解题技巧
1. 嘿，你知道吗？配方法可是二次函数最值问题的一大绝招啊！就像给函数穿上合适的衣服，一下子就变得精神了。

比如说对于函数y=x²+2x-3，咱就可以配方成y=(x+1)²-4，这样最值不就一目了然啦！
2. 哇塞，还有公式法呢！这可是超级厉害的工具哟！就如同有了一把万能钥匙。

像求二次函数y=2x²-4x+1 的最值，直接代入公式，不就轻松搞定啦！
3. 嘿呀，判别式法也不能小瞧呀！它就像是一个侦探，能帮我们找出很多线索呢。

比如已知一个二次函数与某个条件的关系，用判别式说不定就能找到最值啦！
4. 哎呀呀，图像法可是直观得很呐！简直就是把二次函数展现在你眼前。

像看二次函数 y=-x²+2x+3 的图像，最高点不就是最大值嘛，多清楚呀！
5. 哇哦，构造法也很奇妙哟！就好似搭建一个独特的模型。

比如根据已知条件构造一个新的二次函数来求最值，是不是很有意思呀？
6. 嘿，别忘了还有变量替换法呢！这就像给函数变个小魔术，巧妙得很呐。

假设一个变量来替换某个式子，然后求最值，噫，真神奇！
7. 哈哈，对称性质法也是很有用的呀！相当于找到了函数的一个秘密通道。

知道二次函数的对称轴，那最值还远吗？
8. 哟呵，参数法也可以试试呀！就好像加入了一个特别的元素。

通过参数来求解最值，那感觉超棒的！
9. 总之呢，这么多的解题技巧，可得好好掌握呀！它们都是我们解决二次函数最值问题的有力武器，可别小瞧它们哦！用对了技巧，这些难题都不叫事儿！。

二次函数求最值专题总结二次函数求最值是数学中的一个重要内容，涉及到了二次函数的解析式以及二次函数图像的性质。

本文将就二次函数求最值的方法和技巧进行总结，并提供相关实例加深理解。

一、二次函数求最值的基本思路二次函数的解析式为f(x)=ax^2+bx+c。

在求最大值或最小值时，可以先通过求导数的方法找到函数的驻点（即导数等于0的点），然后通过驻点的求解和函数图像的性质来确定最值的位置。

二、二次函数求最值的步骤1.求导数：将二次函数f(x)=ax^2+bx+c对x求导，得到f'(x)=2ax+b。

2.求解驻点：令f'(x)=0，即求解方程2ax+b=0，解得x= -b/(2a)。

3.确定最值位置：根据二次函数的图像性质，当a>0时，x=-b /(2a)为二次函数的最小值点；当a<0时，x=-b/(2a)为二次函数的最大值点。

4.求最值：将得到的x值代入原函数f(x)中，即可得到最值。

三、实例分析以二次函数f(x)=x^2+2x+1为例，来演示二次函数求最值的过程。

1.求导数：f'(x)=2x+2。

2.求解驻点：令2x+2=0，解得x=-1。

3.确定最值位置：由于a=1>0，所以x=-1为二次函数的最小值点。

4.求最值：将x=-1代入原函数f(x)中，得到f(-1)=(-1)^2 +2*(-1)+1=0。

经过计算可知，二次函数f(x)=x^2+2x+1的最值为0，即当x=-1时，函数取得最小值。

通过本文的分析和实例演示，我们了解了二次函数求最值的基本思路和步骤。

其中关键的一步是求解驻点，需要通过导数的方法进行求导和方程的解，进而确定最值的位置。

在实际应用中，掌握二次函数求最值的方法可以帮助我们更好地理解和解决问题。

希望本文的总结能够对二次函数求最值的学习有所帮助，同时也希望读者能通过更多的实例练习和思考，进一步提升对二次函数求最值的理解和运用能力。

一、二次函数线段最值问题1、平行于x轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、平行于y轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和）5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可二、二次函数周长最值问题1、矩形周长最值问题1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长三、二次函数面积最值问题1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴）1）首先表示出所需的边长及高2）利用求面积公式表示出面积3）得到一个面积关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、不规则图形面积最值问题1）分割。

完整版)二次函数的线段最值问题二次函数的线段最值问题例1：给定三个点A（4,0），B（-4，-4），C（0,2），连接AB,BC,AC，求抛物线的解析式和点P的坐标，其中点P是抛物线对称轴上的一点。

解析：首先，我们可以通过点A和点B的坐标，得到抛物线的对称轴方程为x=0.然后，我们可以通过点C的坐标，得到抛物线的顶点坐标为（0,2）。

因此，抛物线的解析式为y=ax^2+2，其中a为待定系数。

接下来，我们可以利用点A或点B的坐标，带入解析式求解a的值。

得到a=-1/8，因此抛物线的解析式为y=-x^2/8+2.点P在对称轴上，因此其横坐标为0.我们可以通过求解点P到线段BC的垂线，得到点P的纵坐标。

具体来说，我们可以利用线段BC的斜率和垂线的斜率的乘积为-1的性质，求解垂线的斜率。

然后，利用点P和线段BC的一个端点的坐标，带入点斜式方程求解垂线的方程。

最后，求解垂线与线段BC的交点的纵坐标即可。

经过计算，得到点P的坐标为（0,-3/2）。

例2：给定抛物线y=x^2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D。

求抛物线的解析式，点P在运动的过程中线段PD长度的最大值，以及是否存在点M使|MA﹣MC|最大，若存在则求出点M的坐标，若不存在则说明理由。

解析：首先，我们可以通过点C的坐标，得到抛物线的解析式为y=x^2.然后，我们可以通过点A和点B的坐标，得到抛物线的顶点坐标为（2,4）。

因此，抛物线的解析式为y=x^2+4.点P沿抛物线从点C到点A运动，因此其轨迹为抛物线上的一段。

我们可以通过求解点P到线段CD的垂线，得到点P在运动过程中线段PD的长度。

具体来说，我们可以利用线段CD的斜率和垂线的斜率的乘积为-1的性质，求解垂线的斜率。

然后，利用点P和线段CD的一个端点的坐标，带入点斜式方程求解垂线的方程。

二次函数最值问题解题技巧介绍二次函数是高中数学中重要的内容之一，而求二次函数的最值问题在解题过程中也是非常常见的。

本文将介绍解决二次函数最值问题的一些技巧和方法，帮助读者更好地理解和应用。

1. 二次函数的基本形式二次函数一般可以写成如下形式：f(x)=ax2+bx+c，其中a、b、c为常数。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

先来看一个具体的例子：例子1：设f(x)=2x2−4x+1，求函数f(x)的最值。

2. 求二次函数的顶点求解二次函数的最值问题，首先需要求出函数的顶点。

二次函数f(x)=ax2+bx+c的顶点坐标可以通过以下公式得到：x=−b2a例子1：设f(x)=2x2−4x+1，求函数f(x)的顶点坐标。

解：根据公式x=−b2a ，代入a=2和b=−4，可以得到x=−−42×2=1。

将x=1代入原函数f(x)，可以计算出对应的y值：f(1)=2×12−4×1+1=−1。

所以函数f(x)的顶点坐标为(1,−1)。

3. 确定开口方向在求得顶点后，我们还需要确定二次函数的开口方向，以便进一步确定最值的位置。

在一般情况下，当二次函数的系数a为正时，抛物线开口向上；当a为负时，抛物线开口向下。

在已知顶点的情况下，通过判断a的正负即可确定开口方向。

例子1：设f(x)=2x2−4x+1，求函数f(x)的开口方向。

解：由于a=2为正数，所以二次函数f(x)的抛物线开口向上。

4. 求解最值根据顶点坐标和开口方向，我们可以得出二次函数的最值。

当二次函数开口向上时，最小值就是函数的顶点值；当二次函数开口向下时，最大值就是函数的顶点值。

例子1：设f(x)=2x2−4x+1，求函数f(x)的最小值。

解：由于函数f(x)是向上的抛物线，最小值就是顶点坐标的纵坐标。

所以函数f(x)的最小值为−1。

5. 问题求解的一般步骤在解决二次函数最值问题时，我们可以总结出一般的步骤如下：1.将二次函数写成标准形式：f(x)=ax2+bx+c；2.使用公式x=−b求得顶点坐标(x,y)；2a3.判断抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；4.根据开口方向，并结合顶点坐标，得出最值结果。

初中数学解题技巧解决二次函数与指数函数的最值与零点问题二次函数和指数函数是初中数学中经常涉及的两类函数。

在解题过程中，确定二次函数和指数函数的最值与零点是非常关键的。

本文将介绍一些解决这些问题的技巧和方法。

一、二次函数的最值与零点问题二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。

1. 最值问题要确定二次函数的最值，可以使用求导的方法。

首先，对二次函数进行求导，求得导函数。

然后，令导函数为零，解方程得到极值点的横坐标。

最后，将这些横坐标代入原函数中，求得相应的纵坐标。

这样就得到了二次函数的最值。

例如，对于二次函数 y = 2x^2 - 4x + 3，首先求导得到 y' = 4x - 4。

然后令导函数为零，解方程得到 x = 1。

最后将 x = 1 代入原函数中，得到 y = 1。

所以最小值为(1, 1)。

2. 零点问题要确定二次函数的零点，可以使用求根公式。

对于一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，使用求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a 可以得到零点。

例如，对于二次函数 y = 2x^2 - 4x + 3，使用求根公式可以得到 x = (4 ± √(4^2 - 4×2×3)) / (2×2)，化简后得到 x = 1 或 x = 1.5。

所以二次函数的零点为 x = 1 和 x = 1.5。

二、指数函数的最值与零点问题指数函数的一般形式为 y = a^x，其中a为底数，x为指数，a > 0 且a ≠ 1。

1. 最值问题要确定指数函数的最值，需要观察底数的取值范围。

当底数 a > 1 时，指数函数呈现递增趋势，最小值为 x 趋近于负无穷大时的函数值，最大值为 x 趋近于正无穷大时的函数值。

当 0 < a < 1 时，指数函数呈现递减趋势，最小值为 x 趋近于正无穷大时的函数值，最大值为 x 趋近于负无穷大时的函数值。