2006清华大学自主招生数学试题 考试时间：2005.11.28
1．求最小正整数n ，使得n i I )3
2121(
+=为纯虚数，并求出I ． 2．已知b a 、为非负数，4
4
,1M a b a b =++=，求M 的最值．
3．已知sin sin cos θαθ、、为等差数列，sin sin cos θβθ、、为等比数列，求1
cos 2cos 22
αβ-的值． 4．求由正整数组成的集合S ，使S 中的元素之和等于元素之积．
5．随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数． 6．
2x y =上一点P (非原点)，在P 处引切线交x y 、轴于Q R 、，求
PQ PR
．
7．已知)(x f 满足：对实数b a 、有)()()(a bf b af b a f +=⋅，且1)(≤x f ，求证:)(x f 恒为零． (可用以下结论：若M x f x g x ≤=∞
→)(,0)(lim ，M 为一常数，那么0))()((lim =⋅∞
→x g x f x )
8. 在所有定周长的空间四边形ABCD 中，求对角线AC 和BD 的最大值，并证明。
2007
届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营
数学笔试试题（2006年12月30日）
1.求()x
e f x x
=的单调区间及极值.
2.设正三角形1T 边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和.求
1
lim n
k n k A →∞
=∑.
3.已知某音响设备由五个部件组成，A 电视机，B 影碟机，C 线路，D 左声道和E 右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A 与B 中有一工作，C 工作，D 与E 中有一工作；且若D 和E 同时工作则有立体声效果.
求：（1）
能听到立体声效果的概率；
（2）听不到声音的概率. 4.(1)求三直线60x y +=，1
2
y x =
，0y =所围成三角形上的整点个数；
(2)求方程组21260
y x y x x y <⎧⎪⎪
>⎨⎪+=⎪⎩的整数解个数.
5.已知(1,1)A --，△ABC 是正三角形，且B 、C 在双曲线1(0)xy x =>一支上. (1)求证B 、C 关于直线y x =对称； (2)求△ABC 的周长.
6.对于集合2
M R ⊆，称M 为开集，当且仅当0P M ∀∈，0r ∃>，使得20{}P R PP r M ∈<⊆.判断集合
{(,)4250}x y x y +->与{(,)0,0}x y x y ≥>是否为开集，并证明你的结论.
2008届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营
数学笔试试题
1. 已知,,a b c
2. （1）一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱组成一个三角形； （2）四面体一个顶点处的三个角分别是
,
,arctan 223ππ
，求
3
π
的面和arctan 2的面所成的二面角； 3. 求正整数区间[],()m n m n <中，不能被3整除的整数之和； 4.
已知sin cos αα+=α的取值范围； 5. 若2
lim ()(0)1,(2)()x f x f f x f x x →==-=，求()f x ；
6. 证明：以原点为中心的面积大于4的矩形中，至少还有两个格点。
2008年清华大学自主招生数学试题
1.
sin cos θθ=+，求θ的取值范围
2.已知单位圆上三点(,)a b ,(,)c d ,(,)x y ,求2
2
2
2
()()()()ax by c bx ay d cx dy a dx cy b +-+-+++++-- 3. 已知,,a b c
4. 2
2
2
()(434)(??)(??)f x x ax a x x x x =++-++++与x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围
5. 求证：（1）
11k k k k -<+（k 为正数） （2
3521
(2422)
n n -<<-6. 整数,()m n m n <，求[],m n 间可表示为3
N
（N 为不含因子3的整数）的数之和
7. 抽奇偶数n 次，求使之以α为概率（01α<<）既抽到奇数又抽到偶数， n 至少为多少？ 8. 曲线 2
:51C y x x =-+-，过原点O 与C 相切于()P P I ∈的切线y kx =， （1）求k ， 点P 的坐标； （2）,PQ PO Q ⊥在C 上，求Q ； （3）求是否存在R （R 在C 上），使POQ PQR S S ∆∆= 9. 四面体
P ABC -
（1）求证：至少存在一个顶点，使相交于该顶点的三条棱可组成三角形；
（2）,26
APC APB ππ
∠=
∠=，,2arctan BPC ββ∠==，求二面角A PB C -- 10. 2
30,345a x y x x
>=+≥恒成立，求a 的取值范围
11. ()f x 满足2
lim ()(0)1,(2)()x f x f f x f x x →==-=，求()f x ；
12. 坐标中整数点称为格子点，证：以O 为中心，面积大于4的矩形必包含至少2个格子点。
2009年清华大学自主招生数学试题（理科）
1. 的整数部分为a ，小数部分为b ()1求,a b ； ()2求222
ab a b ++
； ()3求()2
lim n n b b b →∞++
2．()1,x y 为实数，且1x y +=，求证：对于任意正整数n ，2221
12
n
n n x
y -+≥
()2,,a b c 为正实数，求证：
3a b c
x y z
++≥，其中,,x y z 为,,a b c 的一种排列 3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论
4．已知椭圆22
221x y a b
+=，过椭圆左顶点(),0A a -的直线L 与椭圆交于Q ，与y 轴交于R ，过原点与L 平行的
直线与椭圆交于P 。 求证：AQ ，AR 成等比数列 5．已知sin cos 1t t +=，设cos sin s t i t =+，求2
()1n f s s s s =+++
6．随机挑选一个三位数I
()1求I 含有因子5的概率；()2求I 中恰有两个数码相等的概率
7．四面体ABCD 中，AB CD =，AC BD =，AD BC =
()1求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；
()2设三个面与底面BCD 所成的角分别为,,αβγ，求证：cos cos cos 1αβγ++=
