2015.1.9
上机作业题报告
USER
1.Chapter 1
1.1题目
设S N =∑1
j 2−1
N j=2
，其精确值为
)1
1123(21+--N N 。 （1）编制按从大到小的顺序1
1
1311212
22-+⋯⋯+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。 （2）编制按从小到大的顺序1
21
1)1(111222-+
⋯⋯+--+-=
N N S N ，计算S N 的通用程序。
（3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。（编制程序时用单精度） （4）通过本次上机题，你明白了什么？
1.2程序
1.3运行结果
1.4结果分析
按从大到小的顺序，有效位数分别为：6，4，3。 按从小到大的顺序，有效位数分别为：5，6，6。
可以看出，不同的算法造成的误差限是不同的，好的算法可以让结果更加精确。当采用从大到小的顺序累加的算法时，误差限随着N 的增大而增大，可见在累加的过程中，误差在放大，造成结果的误差较大。因此，采取从小到大的顺序累加得到的结果更加精确。
2.Chapter 2
2.1题目
（1）给定初值0x 及容许误差ε，编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。
（2）给定方程03
)(3
=-=x x
x f ,易知其有三个根3,0,3321=
*=*-=*x x x
○1由牛顿方法的局部收敛性可知存在,0>δ当),(0δδ+-∈x 时，Newton 迭代序列收敛于根x2*。试确定尽可能大的δ。
○2试取若干初始值，观察当),1(),1,(),,(),,1(),1,(0+∞+-----∞∈δδδδx 时Newton 序列的收敛性以及收敛于哪一个根。
（3）通过本上机题，你明白了什么？
2.2程序
2.3运行结果
（1）寻找最大的δ值。
算法为：将初值x0在从0开始不断累加搜索精度eps，带入Newton迭代公式，直到求得的根不再收敛于0为止，此时的x0值即为最大的sigma值。运行Find.m，得到在不同的搜索精度下的最大sigma值。
可见，在（−∞，−1）区间内取初值，Newton序列收敛，且收敛于根−√3。
可见，在（−1，−δ）内取初值，Newton序列收敛，且收敛于根√3。
可见，在（−δ，δ）内取初值，Newton序列收敛，且收敛于根0。
可见，在（δ，1）内取初值，Newton序列收敛，且收敛于根−√3
可见，在（1，+∞）内取初值，Newton序列收敛，且收敛于根√3
3.Chapter 3
3.1题目
对于某电路的分析，归结为求解线性方程组RI=V，其中
31130
001000013359011000009311000000001079300009000305770500
0007473000000003041000
0005002720009000229R --⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-- ⎪--- ⎪ ⎪=--- ⎪
-- ⎪ ⎪- ⎪
-- ⎪ ⎪--⎝⎭
()15,27,23,0,20,12,7,7,10T
T V =----
（1）编制解n 阶线性方程组Ax =b 的列主元高斯消去法的通用程序；
（2）用所编程序线性方程组RI =V ，并打印出解向量，保留5位有效数字； （3）本题编程之中，你提高了哪些编程能力？
3.2程序
3.3运行结果
可看出，算得的该线性方程组的解向量为：
[-0.28923 0.34544 -0.71281 -0.22061 -0.4304 0.15431 -0.057823 0.20105 0.29023] 4.Chapter 4
4.1题目
（1）编制求第一型3次样条插值函数的通用程序；
（2）已知汽车门曲线型值点的数据如下：
端点条件为y010
S(i+0.5)，i=0,1， (9)
4.2程序
4.3运行结果
5.Chapter 5
5.1题目
用Romberg求积法计算积分
∫
1
1+100x2
dx
1
−1的近似值，要求误差不超过0.5×10−7。
5.2程序
5.3运行结果
5.4结果分析
手动化简该定积分并最终求得的值为：0.294225534860747，误差限为：3.486×10−8，可见，程序完成了计算要求。
6.Chapter 6
6.1题目
常微分方程初值问题数值解
（1）编制RK4方法的通用程序；
（2）编制AB4方法的通用程序（由RK4提供初值）；
（3）编制AB4-AM4预测校正方法通用程序（由RK4提供初值）；
（4）编制带改进的AB4-AM4预测校正方法通用程序（由RK4提供初值）；
（5）对于初值问题
{y ′=−x 2y 2y (0)=3
取步长h=0.1，应用（1）-（4）中的四种方法进行计算，并将计算结果和精确解y (x )=3/(1+x 3)作比较；
（6）通过本上机题，你能得到哪些结论？
6.2程序
6.3运行结果（1）RK4法
6.4结果分析
从每一种方法的计算误差可以看出，精度由高到低依次是：RK4法、改进的AB4-AM4法、AB4-AM4法、AB4法。
