《离散数学(本)》主要概念、定理与方法第1章集合及其运算一、概念集合（元素）——集合是一些具有确定的、可以区分的若干事件的全体，而集合中的事件称为元素．因此，集合是由若干元素组成的．若a是集合A中的元素，则称a属于A，记作a∈A；若a不是集合A中的元素，则称a不属于A，记作a∉A．定义1.1.1（子集）对任意两个集合A和B，若B中的每个元素都是A中的元素，则称B 为A的子集，记作B⊆A或A⊇B．若B是A的子集，也称A包含B，或B被A包含．若B不是A的子集，即B⊆A不成立时，记作B⊆A．定义1.1.2（集合相等）对任意两个集合A和B，若有A⊆B且B ⊆A，则称A与B相等，记作A= B．定义1.1.3（真子集）对任意两个集合A和B，若B⊆A且B≠A，则称B为A的真子集，记作B⊂A或A⊃B．定义1.1.4（空集）不含任何元素的集合称为空集，记作∅．空集的定义也可以写成≠} （1.1.1）∅={x x xn元集（m元子集）——含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m（m≤n）个元素的子集叫做它的m元子集．定义1.1.5（全集）在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则将这个集合称为全集，记作E．定义1.1.6（幂集）设A是一个集合，由A的所有子集组成的集合，称为A的幂集，记作P(A)或2A．定义1.2.1（并集、交集、差集、补集、对称差）设E为全集，A和B是E中任意两个子集．（1）所有属于A或属于B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A⋃B．即∈}（1.2.1）{或x BA B x x A⋃=∈⋂．即（2）既属于A又属于B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A B∈}（1.2.2）{且x B⋂=∈A B x x A如果两个集合A和B没有公共元素，即A B⋂=∅，称为集合A与B不相交．-．即（3）属于A而不属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的差集，记作A B-=∈∉A B且（1.2.3）x x A x B{}（4）由E中所有不属于A的元素组成的集合，称为A的补集，记作~A．即~A={}且（1.2.4）x x E x A∈∉补集~A可以看作全集E与集合A的差集，即~A = E -A．（5）集合(A - B )⋃(B - A )称为集合A和B的对称差，记作A⊕B．即A⊕B = (A - B )⋃(B - A )．（1.2.5）对称差运算的另一种定义是A⊕B = (A⋃B ) - (B ⋂A )．（1.2.5’）二、定理与性质集合包含关系的自反性：对于任意集合A，有A⊆A．集合包含关系的反对称性：对任意两个集合A和B，若有A⊆B且B⊆A，则A=B．集合包含关系的传递性：对任意三个集合A，B和C，若有A⊆B，B⊆C，则A⊆C．定理1.1.1空集是一切集合的子集．定理1.1.1的推论空集是唯一的．集合运算的交换律：A B B A⋃=⋃⋂=⋂A B B A集合运算的结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂集合运算的分配律：A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂()()()集合运算的幂等律：A ⋃A = AA ⋂A = A集合运算的同一律：A A ⋃∅=A E A ⋂=集合运算的零律：A ⋃E = EA ⋂∅=∅集合运算的补余律：A ⋃~A = EA ⋂~A =∅集合运算的吸收律：A A B A ⋃⋂=()A AB A ⋂⋃=()集合运算的摩根律：A - (B ⋃C ) = (A - B )⋂(A - C )A - (B ⋂C ) = (A - B )⋃(A - C )~ (B ⋃C ) = ~ B ⋂~ C~ (B ⋂C ) = ~ B ⋃~ C~∅= E~E =∅集合运算的双补律：~(~A ) = A对称差的交换律：A B B A ⊕=⊕对称差的结合律：()()A B C A B C ⊕⊕=⊕⊕对称差的分配律：A B C A B A C ⋂⊕=⋂⊕⋂()()()对称差的同一律：A A ⊕∅=对称差的零律：A ⊕A = ∅对称差的性质：A ⊕(A ⊕B ) = B定理1.2.1 对任意两个有限集合A 和B ，用S 表示有限集合S 中的元素数，则(1) A B ⋃≤A +B ； (2) A B ⋂≤min (A +B ) ；(3) A B -≥A -B ； (4) A B ⊕=A +B - 2A B ⋂ ．定理1.2.2（容斥定理） 对任意两个有限集合A 和B ，有A B ⋃= A +B - A B ⋂ （1.2.6） 其中A ，B 分别表示A ，B 的元素个数．定理1.2.2的推广结论：对于任意三个有限集合A , B , C ，有A B C ⋃⋃ = A +B +C -A B ⋂-A C ⋂-B C ⋂+A B C ⋂⋂（1.2.7）三、方法1．集合的三种表示方法列举法是列出集合的所有元素，并用花括号括起来．例如A = {a b c d ,,,}，N = {0, 1, 2, 3, …}．描述法是将集合中元素的共同属性描述出来．例如B = {x x x R 210-=∈且}，D = {x x 是正整数}．文氏图法是用一个简单的平面区域表示一个集合，用区域内的点表示集合内的元素．2．有限集合的计数方法首先根据已知条件把对应的文氏图画出来，然后将已知集合的元素填入表示该集合的区域内．通常从几个集合的交集填起，根据计算结果将数字逐步填入所有的空白区域内．如果交集的数字是未知的，可以将其设为x ，再根据已知条件列出方程或方程组，解出未知数x ．第2章 关系与函数一、概念有序对——有序对是指两个元素x 和y (允许x = y ) 按给定顺序排列组成的二元组合，记作<x , y > ．其中x 是它的第一元素，y 是它的第二元素．定义2.1.1（笛卡尔积、直乘积） 设A 和B 是任意两个集合，用A 中元素为第一元素，B 中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合称为集合A 和B 的笛卡尔积，或称为集合A 和B 的直乘积，记作A ⨯B ．即A ⨯B = {< x , y >x A ∈且y B ∈}定义2.1.2（二元关系） 任何一个有序对集合，称为一个二元关系，简称关系，记作R ．对于二元关系R ，若<a ，b >∈R ， 可记作aRb ；若<a ，b >∉R ， 则记作a R b ．定义2.1.3（从A 到B 的二元关系） 设A 和B 是两个集合，A ⨯B 的任一子集所定义的二元关系R 称为从A 到B 的二元关系．当A =B 时，称R 为A 上的二元关系．定义2.1.4（定义域、值域） 关系R 中有序对的第一元素所允许选取对象集合称为关系R 的定义域，记作Dom （R ），第二元素所允许选取对象集合称为关系R 的值域，记作Ran （R ）． 定义2.1.5（空关系、全关系、恒等关系） 对任何集合A ，(1) 因为空集∅是A ⨯A 的子集，所以定义了A 上的关系，称为A 上的空关系；(2) 定义 E A ={<a ，b >⎢a ∈A 且b ∈A }= A ⨯A ，称为A 上的全关系；(3) 定义I A ={<a ，a >⎢a ∈A }，称为A 上的恒等关系．定义2.1.6（关系矩阵） 设集合A ={a 1，a 2，…，a m }，B ={b 1，b 2，…，b n }，(1) 若R 是从A 到B 的一个关系，则R 的关系矩阵是m ⨯n 矩阵M R =()nm j i r ⨯， 其中 ⎪⎩⎪⎨⎧=ji j i j i b R a Rb a r 当当,0,1，(i =1, 2, …, m ；j =1, 2, …, n )． (2) 若R 是A 上一个关系，则R 的关系矩阵是m 阶矩阵M R =()mm j i r ⨯， 其中 ⎪⎩⎪⎨⎧=ji j i j i b R a Rb a r 当当,0,1，(i , j =1, 2, …, m )． 定义2.1.7（结点、关系图、自回路） 设集合A ={a 1，a 2，…，a m }，B ={b 1，b 2，…，b n }，若R 是从A 到B 的一个关系，则用m 空心点表示a 1，a 2，…，a m ，用n 空心点表示b 1，b 2，…，b n ，这些空心点统称为结点．如果a i Rb j ，那么由结点a i 到结点b j 作一条有向弧，箭头指向b j ；如果<a i ，b j >∉R ，那么结点a i 与b j 之间没有弧连结，这样的图形称为R 的关系图． 若R 是A 上一个关系，如果a i Ra j (i ≠j )，有向弧的画法与上面相同；如果a i Ra i ，则画一条从结点a i 到结点 a i 的带箭头的封闭弧，称为自回路．定义2.2.1（复合关系） 设A ，B ，C 是三个集合，R 是从A 到B 的一个二元关系，S 是从B 到C 的一个二元关系，则R 与S 的复合关系为R ·S ={<a , c >⎢a ∈A ，c ∈C ，且存在b ∈B ，使<a , b >∈R ，<b , c >∈S }这个复合关系是从A 到C 的一个二元关系．布尔运算——布尔运算只涉及数字0和1，规定：加法：0+0 = 0， 0+1 = 1+0 = 1+1 = 1；乘法：1⨯1 = 1， 1⨯0 = 0⨯1 = 0⨯0 = 0 ．定义2.2.2（复合关系矩阵） 设集合A ={a 1，a 2，…，a m }，B = {b 1，b 2，…，b n }，C = {c 1，c 2，…，c p }，从A 到B 的二元关系R 的关系矩阵M R 是一个m 行n 列的矩阵，从B 到C 的二元关系S 的关系矩阵M S 是一个n 行p 列矩阵，则从A 到C 的复合关系R ·S 的关系矩阵S R M •是一个m 行p 列矩阵，并且S R M •= M R ⨯ M S （2.2.1）其中⨯表示按布尔运算进行矩阵乘法运算．定义2.2.3（二元关系的幂） 设R 是集合A 上的一个二元关系，n ∈N ，则关系R 的n 次幂R n 定义为：(1) R 0= I A ，即R 0是集合A 上的恒等关系；(2) R n +1 = R n ·R ．定义2.2.4（逆关系） 设R 是从集合A 到B 的二元关系，则从集合B 到A 的二元关系R –1：R –1 = {<b , a > <a , b >∈R } (2.2.3) 称为R 的逆关系．定义2.3.1（自反关系、反自反关系） 设R 是集合A 上的二元关系，若对任意a ∈A ，都有aRa ，即<a , a >∈R ，则称R 为A 上自反的关系；若对任意a ∈A ，都有a R a ，即<a , a >∉R ，则称R 为A 上反自反的关系．定义2.3.2（对称关系、反对称关系） 设R 是集合A 上的二元关系，对任意a ，b ∈A ，若有<a , b >∈R ，就必有<b , a >∈R ，则称R 为A 上对称的关系；若有<a , b >∈R ，且<b , a >∈R ，就必有b = a ，则称R 为A 上反对称的关系．定义2.3.3（传递关系） 设R 是集合A 上的二元关系，对任意a ，b ，c ∈A ，若有<a , b >∈R ，且<b , c >∈R ，就必有<a , c >∈R ，则称R 为A 上传递的关系．定义2.3.4（自反闭包、对称闭包，传递闭包） 设非空集合A 上的二元关系R ，若有A 上的另一个二元关系R '满足：(1) R '是自反的（对称的，传递的）；(2) R ⊆R '；(3) 对A 上任何包含R 的自反（对称，传递）关系R ''都有R '⊆R ''；则称关系R '为R 的自反（对称，传递）闭包，记作r (R )（s (R )，t (R )）．定义2.4.1（等价关系） 设R 是非空集合A 上的二元关系，如果R 是自反的、对称的和传递的，则称R 是A 上的等价关系．设R 是一个等价关系，如果<a , b >∈R ，称a 等价于b ，记作a ~ b ．定义2.4.2（等价类） 设R 是非空集合A 上的等价关系，对任意a ∈A ，令[a ]R = {b ⎪b ∈A 且aRb } (2.4.1)则称集合[a ]R 为a 关于R 的等价类，简称a 的等价类，简记作[a ]或a ．定义2.4.3（商集） 设R 是非空集合A 上的等价关系，以R 的所有等价类作为元素的集合，成为A 关于R 的商集，记作A/R ．即A/R = {[a ]R ⎪a ∈A } (2.4.2) 定义2.4.4（划分块） 设A 是非空集合，若A 的子集族π满足：(1) π∉∅；(2) π中任何两个子集都不相交；(3) π中所有子集的并集就是A ．则称π为A 的一个划分，称π中的元素为A 的划分块．定义2.5.1（相容关系） 设R 是非空集合A 上的二元关系，如果R 是自反的、对称的，则称R 是A 上的相容关系．定义2.5.2（相容类） 设R 是非空集合A 上的相容关系，B 是A 的子集，如果在B 中的任意两个元素都是相关的，则称为由相容关系R 产生的相容类．最大相容类——R 是A 上的相容关系，B 是相容类，若在差集A -B 中没有一个元素能和B 中所有元素都是相关的，则称B 为最大相容类．定义2.5.3（覆盖） 设A 是非空集合，若A 的子集族π满足：(1) π∉∅；(2) π中所有子集的并集就是A ．则称π为A 的一个覆盖，称π中的元素为A 的覆盖块．定义2.5.4（完全覆盖） 设集合A 的子集族π={A 1 , A 2 , … , A n }是A 的覆盖，且对π中任意元素A i ，不存在其它元素A j ，使得A i 是A j 的子集，则称π为A 的一个完全覆盖．定义2.5.5（偏序关系） 设R 是非空集合A 上的二元关系，如果R 是自反的、反对称的和传递的，则称R 是A 上的偏序关系，或称序关系，记作≤．设≤是偏序关系，如果<a , b >∈≤，则记作a ≤b ，读作a “小于等于”b ．定义2.5.6（拟序关系） 设R 是非空集合A 上的二元关系，如果R 是反自反的和传递的，则称R 是A 上的拟序关系，记作<．设<是拟序关系，如果<a , b >∈<，则记作a <b ，读作a “小于”b ．定义2.5.7（全序关系、线序关系） 设R 是非空集合A 上的偏序关系，如果对任意a ，b ∈A ，必有a ≤b 或b ≤a ，则称R 是A 上的全序关系，或称线序关系．定义2.5.8（偏序集） 集合A 和A 上的偏序关系≤一起称为偏序集，记作<A ，≤>． 哈斯图——对于给定的偏序集<A ，≤>，用一个简化的偏序关系图来表示，我们将这种简化的关系图称为哈斯（Hasse ）图．它的作图规则为：(1) 去掉每个结点的自回路，只用一个空心点表示集合A 的元素；(2) 适当排列结点的顺序，即对任意a ，b ∈A ，若a ≤b ，则将a 画在b 的下方；(3) 对任意a ，b ∈A ，若a <b ，且不存在c ∈A ，使得a <c <b ，则就在a ，b 之间画一条无向弧．定义2.5.9（盖住） 设R 是非空集合A 上的偏序关系，a 和b 是A 中两个不同的元素，如果<a , b > ∈R ，且在A 中没有其它元素c ，使得<a , c >∈R 和<c , b >∈R ，则称元素b 盖住元素a ． 定义2.5.10（最大元、最小元、极大元、极小元） 设<A ，≤>为序集，集合B ⊆A ，存在元素b ∈B ，(1) 若对任意a ∈B ，都有a ≤b ，则称b 为B 的最大元；(2) 若对任意a ∈B ，都有b ≤a ，则称b 为B 的最小元；(3) 若对任意a ∈B ，且b ≤a ，都有a = b ，则称b 为B 的极大元；(4) 若对任意a ∈B ，且a ≤b ，都有a = b ，则称b 为B 的极小元．定义2.5.10（上界、下界、最小上界、上确界、最大下界、下确界） 设<A ，≤>为偏序集，集合B ⊆A ，存在元素b ∈A ，(1) 若对任意a ∈B ，都有a ≤b ，则称b 为B 的上界；(2) 若对任意a ∈B ，都有b ≤a ，则称b 为B 的下界；(3) 若集合C = {b ⎪b 为B 的上界}，则C 的最小元称为B 的最小上界或上确界；(4) 若集合D = {b ⎪b 为B 的下界}，则D 的最大元称为B 的最大下界或下确界． 定义2.6.1（函数、映射） 对集合A 到集合B 的二元关系f ，若满足下列条件：(1) 对任意a ∈Dom(f )，都存在唯一的b ∈Ran(f )，使<a , b >∈f ，（即afb ）成立；(2) Dom(f ) = A ；则称f 为从A 到B 的函数，或称为映射，记作f ：A →B ．若有afb ，则可记作b = f (a )．定义2.6.2（函数相等） 设f 和g 是从集合A 到B 的两个函数，若对任意a ∈A ，都有f (a ) = g (a )，则称函数f 和g 相等，记作f = g ．定义2.6.3（函数的象） 设f 是从集合A 到B 的函数，且A 1⊆A ，则将f (A 1) = {f (a ) a ∈A 1}称为A 1在f 下的象．特别地，称f (A )为函数的象．定义2.6.4（满射、单射、双射） 设f 是从集合A 到B 的函数，(1) 若Ran(f ) = B ，则称f 为从A 到B 的满射；(2) 若对任意b ∈Ran(f )，都存在唯一的a ∈Dom(f )，使得f (a ) = b ，则称f 为从A 到B 的单射，或称一对一的；(3) 若f 从A 到B 既是满射又是单射的，则称f 为从A 到B 的双射，或称一一对应的．定义2.6.5（常数函数、恒等函数、单调递增、严格单调递增、单调递减、严格单调递减、特征函数、自然映射）(1) 设f 是从集合A 到B 的函数，若存在一个b ∈B ，使得对所有的a ∈A 都有f (a ) = b ，则称f 是从A 到B 的常数函数．(2) 集合A 上的恒等关系I A 称为A 上的恒等函数．即对所有的a ∈A 都有I A (a ) = a ．(3) 设f 是实数集R 上的函数，对任意的a 1，a 2∈A ，如果由a 1< a 2，可得f (a 1)≤ f (a 2)，则称f 为单调递增的；如果由a 1< a 2，可得f (a 1)< f (a 2)，则称f 为严格单调递增的．类似地，可以定义单调递减的和严格单调递减的函数．(4) 设A 为集合，对任意子集A '⊆ A ，A '的特征函数A 'χ：E →{0 , 1}定义为A 'χ(a )=⎩⎨⎧'-∈'∈A A a A a ,0,1 (2.6.1) (5) 设R 是集合A 上的等价关系，令g 为从A 到A/R 的函数，即g (a ) =[a ]，则称g 为从A 到商集A/R 的自然映射．定义2.6.6（复合函数）设函数f：A→B，g：B→C，则将复合关系g•f = {<a , c> a∈A，c∈C，且存在b∈B，使f(a) = b，g(b) = c}称为函数f和g的复合函数．定义2.6.7（反函数）设函数f：A→B是双射的，则将f的逆关系称为反函数，记作f–1：B →A．可逆函数——如果函数f 存在反函数f–1，称f是可逆的．二、定理与性质有序对性质1 当x≠y时，有序对< x , y >≠< y , x > ．有序对性质2有序对< x , y > = < a , b > 的充分必要条件是x = a，y = b．笛卡尔积性质1对任意集合A，有A⨯∅= ∅，∅⨯A= ∅．笛卡尔积性质2 笛卡尔积运算不满足交换律，即当集合A≠∅，B≠∅且A≠B时，A⨯B≠B⨯A．笛卡尔积性质3笛卡尔积运算不满足结合律，即当集合A≠∅，B≠∅且C≠∅时，(A⨯B )⨯C≠A⨯(B⨯C )．笛卡尔积性质4对并集的分配律：A⨯(B⋃C ) = (A⨯B)⋃(A⨯C )；(B⋃C )⨯A= (B⨯A)⋃(C⨯A )；笛卡尔积性质5对交集的分配律：A⨯(B⋂C ) = (A⨯B)⋂(A⨯C )；(B⋂C )⨯A= (B⨯A)⋂(C⨯A )．定理2.1.1对任意三个集合A, B和C，若有C≠∅，则(1)A⊆B的充分必要条件是A⨯C⊆B⨯C；(2)A⊆B的充分必要条件是C⨯A⊆C⨯B．定理2.1.2对任意四个非空集合A, B, C和D，则A⨯B⊆C⨯D的充分必要条件是A⊆C，B⊆D．定理2.2.1设R和S从A到B的两个二元关系，那么R和S的R⋃S，R⋂S，R-S，~R，R⊕S仍然是从A到B的二元关系．定理2.2.2设R是从集合A到B的二元关系，S和T分别是从集合B到C的二元关系，U 是从集合C到D的二元关系，则(1) R·(S⋃T) = R·S⋃R·T；(2) R·(S⋂T)⊆R·S⋂R·T；(3)(S⋃T)·U = S·U⋃T·U；(4)(S⋂T)·U⊆S·U⋂T·U．定理2.2.3设R，S，T，分别表示从集合A到B，从集合B到C，从集合C到D的二元关系，则(R·S)·T= R·(S·T) （2.2.2）定理2.2.4设R是集合A上的二元关系，m，n∈N，则(1) R m·R n = R m + n；(2) (R m)n = R m n．定理2.2.5设R和S分别是从集合A到B的二元关系，则(1) (R –1)-1 = R(2) (R⋃S)-1 = R -1⋃S -1(3) (R⋂S)-1 = R -1⋂S -1(4) (R -S)-1 = R –1 -S -1(5) (~R)–1 = ~R -1(6) (A⨯B)-1 = B⨯A(7) ∅-1 =∅(8) R=S⇔R –1=S –1 (9) R⊆S⇔R -1⊆S -1定理2.2.6设R是从集合A到B的二元关系，S是从集合B到C二元关系，则(R·S)-1 = S -1·R –1定理2.3.1设R是非空集合A上的二元关系，则(1) R是自反的当且仅当r (R) = R；(2) R是对称的当且仅当s (R) = R；(3) R是传递的当且仅当t (R) = R；定理2.3.2设R是非空集合A上的二元关系，I A是A上的恒等关系，则r (R) = R⋃I A．（2.3.1）定理2.3.3设R是非空集合A上的二元关系，则s (R) = R⋃R –1（2.3.3）定理2.3.4 设R是非空集合A上的二元关系，则t (R) =∞=⋃1iR i=R⋃R 2⋃R 3⋃… （2.3.5）定理2.3.4的推论设R是非空有限集合A上的二元关系，且A有n个元素，则t (R ) = ni 1=⋃R i =R ⋃R 2⋃…⋃R n （2.3.6） 定理2.4.1 设R 是非空集合A 上的等价关系，对任意a , b ∈A ，(1) [a ]∅≠，且[a ]⊆A ； (2) 若aRb ，则[a ]= [b ]；(3) 若a R b ，则[a ]⋂[b ]= ∅； (4) ⋃{[a ]⎪a ∈A }= A ．定理2.5.1 设R 是集合A 上的拟序关系，则R 是反对称的．定理2.6.1 设函数f ：A →B ，g ：B →C ，那么复合函数g •f 是一个从A 到C 的函数，而且，对任意一个a ∈A ，都有(g •f )(a ) = g (f (a ))．定理2.6.2 设函数f ：A →B ，g ：B →C ，h ：C →D ，那么h •(g •f ) = (h •g )•f (2.6.2)定理2.6.3 设函数f ：A →B ，g ：B →C ，且g •f ：A →C ，那么(1) 若f 和g 都是满射的，则g •f 也是满射的；(2) 若f 和g 都是单射的，则g •f 也是单射的；(3) 若f 和g 都是双射的，则g •f 也是双射的．定理2.6.4 设函数f ：A →B ，g ：B →C ，且g •f ：A →C ，那么(1) 若g •f 是满射的，则g 也是满射的；(2) 若g •f 是单射的，则f 也是单射的；(3) 若g •f 是双射的，则g 是满射的，f 是单射的．定理2.6.5 设函数f ：A →B 是双射的，则f -1：B →A 也是双射的．定理2.6.6 如果函数f ：A →B 是双射的，则有(1) f –1•f = I A ， f •f –1= I B ；(2) (f –1)-1 = f ． (2.6.4) 定理2.6.7 设函数f ：A →B ，g ：B →C ，且f 和g 都是双射的，则有(g •f )-1 = f –1•g –1 (2.6.5)定理2.6.8 设函数f ：A →B ，g ：B →C ，且f 和g 都是双射的，则有(g •f )-1 = f –1•g –1三、方法1．关系的矩阵表示法设集合A ={a 1 , a 2 , … , a m }，B ={b 1 , b 2 , … , b n }，(1) 若R 是从A 到B 的一个关系，则R 的关系矩阵是m ⨯n 矩阵M R =()n m j i r ⨯，其中⎪⎩⎪⎨⎧=ji j i j i b R a Rb a r 当当,0,1 ，(i =1, 2, …, m ；j =1, 2, …, n ） (2) 若R 是A 上一个关系，则R 的关系矩阵是m 阶矩阵M R =()m m j i r ⨯，其中 ⎪⎩⎪⎨⎧=ji j i j i b R a Rb a r 当当,0,1 ，(i , j =1, 2, …, m ） 2．关系的图象表示法设集合A ={a 1 , a 2 , … , a m }，B ={b 1 , b 2 , … , b n }，若R 是从A 到B 的一个关系，则用m 空心点表示a 1 , a 2 , … , a m ，用n 空心点表示b 1 , b 2 , … , b n ，这些空心点统称为结点．如果a i Rb j ，那么由结点a i 到结点b j 作一条有向弧，箭头指向b j ；如果<a i , b j >∉R ，那么结点a i 与b j 之间没有弧连结，这样的图形称为R 的关系图．若R 是A 上一个关系，如果a i Ra j (i ≠j )，有向弧的画法与上面相同；如果a i Ra i ，则画一条从结点a i 到结点 a i 的带箭头的封闭弧，称为自回路．3．复合关系的矩阵运算法设集合A ={a 1，a 2，… ，a n }，B = {b 1，b 2，… ，b n }，C = {c 1，c 2，… ，c n }，从A 到B 的二元关系R 的关系矩阵M R 是一个m 行n 列的矩阵，从B 到C 的二元关系S 的关系矩阵M S 是一个n 行p 列矩阵，则从A 到C 的复合关系R ·S 的关系矩阵S R M •是一个m 行p 列矩阵，并且S R M •= M R ⨯ M S ，其中⨯表示按布尔运算进行矩阵乘法运算．4．二元关系性质的判别法(1) 若R 是集合A 上自反的关系，则有I A ⊆R ⊆E A ；(2) 若R 是集合A 上非自反的关系，则有R ⋂I A =∅；(3) R 为集合A 上对称关系的充分必要条件是R = R -1 ；(4) R 为集合A 上反对称关系的充分必要条件是R ⋂R -1⊆ I A ；(5) R 为集合A 上传递关系的充分必要条件是R ·R ⊆R ．5．求闭包的方法(1) 设R 是非空集合A 上的二元关系，I A 是A 上的恒等关系，则r (R ) = R ⋃I A ．(2) 设R 是非空集合A 上的二元关系，则s (R ) = R ⋃R –1．(3) 设R 是非空集合A 上的二元关系，则t (R ) = ∞=⋃1i R i =R ⋃R 2⋃R 3⋃… 设R 是非空有限集合A 上的二元关系，且A 有n 个元素，则t (R ) = ni 1=⋃R i =R ⋃R 2⋃…⋃R n ． 6．等价关系的判别方法利用等价关系的关系图进行判别，即当关系R 的关系图满足：每个结点都有自回路；两个结点a ，b 之间若有从a 指向b 的弧，就有从b 指向a 的弧；若有从结点a 指向b 的弧，且有从b 指向c 的弧，就有从a 指向c 的弧时，则R 是等价关系．7．哈斯图的作图规则(1) 去掉每个结点的自回路，只用一个空心点表示集合A 的元素；(2) 适当排列结点的顺序，即对任意a ，b ∈A ，若a ≤b ，则将a 画在b 的下方；(3) 对任意a ，b ∈A ，若a <b ，且不存在c ∈A ，使得a <c <b ，则就在a ，b 之间画一条无向弧．第3章 图的基本概念与性质一、概念图——图可以用集合的形式表示，即图可以表示为一个三元组，包含结点集、边集，以及边与结点对集间的映射．如果用结点对来表示边，则图可以表示成一个由结点集与边集组成的二元组．定义3.1.1 图G 是一个三元组<V （G ），E （G ），ϕG >，其中V （G ）是一个非空的结点集（或称顶点集），E （G ）是边集，ϕG 是从边集E （G ）到结点偶对（无序偶或有序偶）集上的函数．图定义中的结点偶对可以是有序的，也可以是无序的．有向边、端点——若图中的边e 所对应的结点偶对是有序的，记为<a ，b >，则称e 是有向边（简称弧）．a ，b 分别称为弧的始点与终点，并均称为e 的端点．称e 是关联于结点a 和b 的，结点a 和结点b 是相、邻的，或称结点a 和结点b 是邻接的．无向边、端点——若图中的边e 所对应的结点偶对是无序的，记为（a ，b ），则称e 是无向边（简称棱）．a ，b 称为e 的端点．称e 是关联于结点a 和b 的，结点a 和结点b 是相、邻的，或称结点a 和结点b 是邻接的．有向图——每一条边均为有向边的图称为有向图．无向图——每一条边均为无向边的图称为无向图．底图——如果把有向图中每条有向边都看作无向边，就得一个无向图，此无向图称为原有向图的底图．底图只表示出结点间的连接关系而没有表示出连接边的方向．弧立结点——图中不与任何相邻的结点称为弧立结点．零图——全由孤立结点构成的图称为零图．自回路（环）——关联于同一结点的一条边称为自回路或环．重边（平行边）——在有向图中，两结点间（包括结点自身间）若多于一条边，则称这几条边为重边或平行边．多重图——含有重边的图称为多重图．线图——非多重图称为线图．定义3.1.2（简单图）无自回路的线图称为简单图．定义3.1.3（结点的度数、最大度、最小度）图G=<V，E>中，与V中结点v（v∈V）相关联的边数，称为该结点的度数，记作为deg(v)．记∆（G）= max{deg(v)| v∈V（G）}，δ（G）= min{deg(v)| v∈V（G）}，分别称为G=<V，E>的最大度和最小度．定义3.1.4（出度、入度、度数）在有向图中，对于任何结点v，以v为始点的边的条数称为结点v的引出次数（或出度）；以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数（或入度）；结点v的引出次数和引入次数之和称为v的次数（或度数）．定义3.1.5（二部图）设G=〈V，E>是n阶无向图，若能将V分成两个互不相交的子集V1与V2使得G中任一边的两端点都不在同一个V i（i=1,2）中，则称G为二部图．记G=<V1,V2，E>．定义3.1.6（完全图）简单图G=<V，E>中，若每一对结点间都有边相连，则称该图为完全图．有n个结点的无向完全图记为K n．定义3.1.7（k-正则图）若无向简单图中，每个结点的度均为某个固定整数k，则称该图为k-正则图．定义3.1.8（赋权图）赋权图G是一个三重组<V，E，g>或四重组<V，E，f，g>，其中V 是结点集合，E是边的集合，f是定义在V上的函数，g是定义在E上的函数．定义3.1.9（补图）设图G=<V，E>有n个顶点，图H=<V，E’>也有同样的顶点，而E’是由n个结点的完全图的边删去E所得，则图H称为图G的补图，记为H=G，显然，G=H．定义3.1.10（子图、真子图、生成子图）设G=<V,E>和G’=<V’,E’>是两个图．(1)若V’⊆V且E’⊆E，则称G’是G的子图；(2)若V’⊂V或E’⊂E,则称G’是G的真子图；(3)若V’=V和E’ ⊆E,则称G’是G的生成子图；(4)若子图G’中没有孤立结点，G’由E’唯一确定，则称G’为由边集E’导出的子图；(5)若子图G’中，对V’中的任意两个结点u，v，当u，v∈V’时有[u，v]∈E’，则G’由V’唯一确定，则称G’为由结点集V’导出的子图．定义3.1.11(补图) 设G’=<V’，E’>是G=<V，E>的子图，若给定另外一个图G’’=<V’’，E’’>，使得E’’=E-E’，且V’’中仅包含E’’的边所关联的结点，则称G’’是子图G’的相对于G的补图．定义3.1.12(同构) 设G=〈V，E>和G’=<V’,E’>是两个图，若存在从V到V’的双射函数f，使对任意[a，b]∈E，当且仅当[f(a)，f(b)]∈E’，并且[a，b]和[f(a)，f(b)]有相同的重数，则称G 和G’是同构的．定义3.1.13(路径) 在图G=<V，E>中，设v0，v1，…，v n∈V，e1，e2,…., e n∈E，其中e i是关联于结点v i-1，v i的边，交替序列v0 e1 v1 e2…e n v n称为联结v0到v n的路径（或称路）．v0与v n 分别称为路的起点与终点，边的数目n称为路的长度．孤立点——长度为0的路定义为孤立点．简单路径——若序列中所有的边e1，e2,…., e n均互不相同，则称此路径为简单路径．基本路径——若序列中所有的点v0，v1，…，v n均互不相同，则称此路径是基本路径．回路——若v0=v n，即路径中的终点与始点相重合，则称此路径为回路．简单回路——没有相同边的回路称为简单回路．基本回路（圈）——各结点均互不相同的回路称为基本回路（或圈）．奇圈（偶圈）——长度为奇（偶）数的圈称为奇（偶）圈．定义3.2.1（可达、连通）在图G=<V,E>中，设有结点v j与v k，若从v j到v k存在任何一条路径，则称结点v k从结点v j可达，也称结点v j与v k是连通的．定义3.2.2（连通图、非连通图、分离图）若G是平凡图或G中任意两个结点都是连通的，则称G是连通图，否则称G为非连通图或分离图．定义3.2.3（连通分支） 设G =<V ,E >是图，连通关系的商集为{V 1, V 2,…, V m }，则其导出的子图G (V i)（i=1,2,…m ）称为图G 的连通分支（图），将图G 的连通分支数记作W （G ）．定义3.2.4（短程线） 设u 与v 是图G 的两个结点，若u 与v 连通，则称u 与v 之间的长度最短的路为u 与v 之间的短程线，短程线的长度可作为结点u 与v 间的距离，记作d (u ,v )，其满足下列性质：d (u ,v ) ≥ 0，u =v 时，d (u ,v ) =0 （非负性）d (u ,v ) = d (v ,u ) （对称性）d (u ,v ) + d (v ,w ) ≥ d (u ,w ) （三角不等式）若u 与v 不连通，则通常记d (u ,v ) = ∞ ．定义3.2.5（单向连通、强连通、弱连通） 在简单有向图中，如果在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G 是单向（侧）连通的；如果在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G 是强连通的；如果图的底图（在图G 中略去边的方向，得到无向图）是连通的，则称图G 是弱连通的． 定义3.2.6（极大强连通子图、极大单向连通子图、极大弱连通子图、强分图、单向分图、弱分图） 在简单有向图G =<V ，E >中，G’是G 的子图，如G’是强连通的（单向连通的，弱连通的），且没有包含G’的更大的子图G’’是强连通的（单向连通的，弱连通的），则称G’是极大强连通子图（极大单向连通子图，极大弱连通子图）又叫强分图（单向分图，弱分图）．定义3.2.7（点割集、割点） 设无向图G =<V ,E >为连通图，若有点集V 1⊂V ，使图G 删除了V 1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V 1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称V 1是G 的一个点割集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为割点．定义3.2.8（点连通度） 若G 为无向连通图且不含Kn 为生成子图，则称k (G )=min{|V 1| ∣V 1是G 的一个点割集}为G 的点连通度（简称连通度）．规定：完全图Kn 的点连通度为n ，n ≥1．非连通图的点连通度为0．若k (G ) ≥k ，则称G 为k -连通图．定义3.2.9（边割集、割边、桥） 设无向图G =<V ,E >为连通图，若有边集E 1⊂E ，使图G 删除了E 1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E 1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称E 1是G 的一个边割集．若某个边构成一个边割集，则称该结点为割边（或桥）．定义3.2.10（连通度） 若G 为无向连通图，则称λ(G )=min{|E 1| ∣E 1是G 的一个边割集}为G 的边连通度．规定：非连通图的边连通度为0．若λ(G ) ≥k ，则称G 为k 边-连通图．定义3.3.1（邻接矩阵） 设G =<V ，E >是一个简单图，其中V ={v 1，v 2，…， v n }，则n 阶方阵A （G ）=（a ij ）称为G 的邻接矩阵．其中各元素⎪⎩⎪⎨⎧==ji v v v v a j i j i ij 不相邻或与相邻与01 定义3.3.2（可达性矩阵） 设G =<V ，E >是一个简单图，|V |=n ,假定G 的结点已编序，即V ={v 1，v 2，…， v n }，定义一个n ⨯n 方阵P =（p ij ）．其中⎪⎩⎪⎨⎧=不存在一条路与从至少存在一条路到从j i j i ij v v v v p 01 则称矩阵P 为图G 的可达性矩阵．最短路径的数学模型——给定一个网络N （有向或无向赋权图），u 0与v 0是N 中指点的两个顶点，在N 中找一条从u 0到v 0且权最小的路．规定N 中的一条路P 的权w (P )称为p 的长度．若N 中存在从u 到v 的路，则将N 中从u 到v 且权最小的路称为u 到v 的最短路，其长度称为u 到v 的距离，记为d N （u ,v ）．二、定理定理3.1.1（握手定理） 设G 是一个图，其结点集合为V ，边集合为E ，则∑∈=V v E v ||2)deg(定理3.1.2 图中次数为奇数的结点有偶数个．。
