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3.5希尔伯特空间的自伴算子酉算子和正规算子

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Hilbert空间中的线性算子

Hilbert空间中的线性算子
b

a
a
x(t ) K ( s, t ) y ( s ) ds dt
a a
b
( x(t ),
*

b
a
K ( s, t ) y ( s ) ds )
( x, T y ) L2 [ a ,b ]
(T y )( t )


b a
K ( s , t ) y ( s ) ds
自伴算子
*
• 若 T : C C
n
m
的线性算子，则T
的伴随算子 T ?
*
• Fredholm型积分算子T:
(Tx)(t ) K (t , s ) x( s ) ds, x L2 [a, b]
a b
其中 K C ([a, b] [a, b])
T B( L [a, b], L [a, b])
2 2
求T的共轭算子。
(Tx, y ) ( K (t , s ) x( s )ds, y (t ) )
a
b
L2 [ a ,b ]

b
a

b
b
a
K (t , s ) x( s ) y (t ) ds dt
b

b
a


a
b
K (t , s ) x( s ) y (t ) dtds

为Hilbert空间.

为Hilbert空间.

以TT * T *T 4 ，即 I T 是正常算子，但显然 T 不 是自伴算子和酉算子。 引理 1 设 T 为复内积空间 X 上有界线性 算子，那么T 0 的充要条件为对一切 x X， 成立 Tx, x 0 (3) 证明 若T 0，显然有 Tx, x 0；反之， 如果（3）式对一切 x X成立，对任意x, y X 及 数 ，令 v x y ，由条件得
（3）U 1是酉算子；
UV 是酉算子； （4）
{U n }收 （5）若U n , n 1, 2, 是 X 上一列酉算子，且 敛于有界算子 A ，则 A 也为酉算子。
证明 （1）由酉算子定义
|| Ux ||2 Ux,Ux x,U *Ux x, x || x ||2
（2） 由（1）立即可得。
证明 若 T 为自伴算子，则对所有 x X ，
有
Tx, x x, Tx Tx, x , 因此 Tx, x 是实数；反之，如果对所有x X ，
Tx, x 皆为实数，则
Tx, x Tx, x x, T x T x, x ,
但 Tn自伴，故 lim Tn* T ，因此由极限的唯一
n
性，成立 T T 。证毕。 定理4 设U 及 V 是Hilbert空间 X 上两个酉 算子，那么
*
x X ，成立|| Ux |||| x ||； （1） U 是保范算子，即对任意

《实变函数与泛函分析基础》目录简介

《实变函数与泛函分析基础》目录简介

《实变函数与泛函分析基础》目录简介内容简介

本次修订是在第二版的基础上进行的，作者根据多年来的使用情况以及数学的近代发展，做了部分但是重要的修改。《实变函数与泛函分析基础(第3版)》共11章：实变函数部分包括集合、点集、测度论、可测函数、积分论、微分与不定积分；泛函分析则主要涉及赋范空间、有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。

这次修订继续保持简明易学的风格，力图摆脱纯形式推演的论述方式，着重介绍实变函数与泛函分析的基本思想方法，尽量将枯燥的数学学术形态呈现为学生易于接受的教育形态；同时，补充了一些现代化的内容，如“分形”的介绍。

《实变函数与泛函分析基础(第3版)》可作为高等院校数学类专业学生的教学用书，也可作为自学参考书。

目录

第一篇实变函数

第一章集合

1 集合的表示

2 集合的运算

3 对等与基数

4 可数集合

5 不可数集合

第一章习题

第二章点集

1 度量空间，n维欧氏空间

2 聚点，内点，界点

3 开集，闭集，完备集

4 直线上的开集、闭集及完备集的构造

5 康托尔三分集

第二章习题

第三章测度论

1 外测度

2 可测集

3 可测集类

4 不可测集

第三章习题

第四章可测函数

1 可测函数及其性质

2 叶果洛夫定理

3 可测函数的构造

4 依测度收敛

第四章习题

第五章积分论

1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介

2 非负简单函数的勒贝格积分

3 非负可测函数的勒贝格积分

4 一般可测函数的勒贝格积分

5 黎曼积分和勒贝格积分

6 勒贝格积分的几何意义·富比尼定理

第五章习题

第六章微分与不定积分

1 维它利定理

几类算子

几类算子

即 T T .所以 T是酉算子.证毕.
*
1
下面介绍正常算子的一些基本性质. 设 T 是复 Hilbert 空间 X 上的有界算子,令
T T T T A ,B 2 2i
*
*
容易证明 A 和 B 是自伴算子,并且有 T A iB 称 A 和 B分别为算子 T 的实部和虚部，并称
(U V ) V U V U
* * *
1
1
(U V )
1
所以 U V 仍为酉算子. （5）当 n 时，因 U n A ， 所以
|| U n A |||| U n A || 0
* *
U Un I . 即 U n A , 因此 A A lim n
|| Tx || || T x || 0
2 * 2
由引理1， T*T TT*，即 T是 X上正常算子.
wenku.baidu.com
* *
*
* n
* AA I . 故 A 为酉算子.证毕. 同理可证
定理4中的（1）的逆命题不一定成立， 即保范算子不一定为酉算子. 例1 设 X l 2，T为 l 2 中如下定义的
2 ( , , , ) l 算子，对任何 1 2 3 ，令
T (1 , 2 , 3 ,) (0, 1 , 2 ,).
Tx , x x , Tx Tx , x ,

自伴算子酉算子和正常算子ppt课件

自伴算子酉算子和正常算子ppt课件
定理2 设T1 和T2是Hilbert空间 X 上两个自
伴算子,则 T1 T2 自伴的充要条件为 T1 T2 T2 T1 . 证明 由共轭算子性质，
(T1 T2 )* T2* T1* T2 T1,
所以，T1 T2 自伴的充要条件为 T1 T2 T2 T1 .
9
定理3 设{Tn} 是空间 X上一列自伴算子，
证明 因
T * ( A iB)* A* iB* A iB,
所以
TT * (A iB)(A iB) A2 B2 iAB iBA, T *T (A iB)(A iB) A2 B2 iBA iAB,
18
因此， T *T TT *的充要条件为 BA AB BA AB
(2)
其中 I为 X上恒等算子；
3
X 反之,若（2）式成立,则 T为 X 上的酉算子.
所以 T为酉算子的充要条件是（2）式成立.
又由（2）式知，酉算子必为正常算子，但 正常算子不一定是酉算子.
例如 T 2iI ，则 T * 2iI ，所以
TT* T*T 4I，即 T是正常算子,但显然 T 不是自伴算子和酉算子.
§9.5 自伴算子、酉算子和正常算子 主要内容
1.自伴算子、酉算子和正常算子的定义 2.自伴算子、酉算子和正常算子的性质
1
一 自伴算子、酉算子和正常算子的定义
定义1 设 T为Hilbert空间 X 到 X 中的 有界线性算子,若 T T*，则称 T 为 X上的 自伴算子；若 TT * T *T,则称 T 为 X 上的

酉算子的谱定理

酉算子的谱定理

酉算子的谱定理

酉算子的谱定理是泛函分析中的一个重要定理，它涉及到线性算子和谱理论的概念。在介绍酉算子的谱定理之前，我们首先需要了解一些相关的背景和术语。

1.酉算子：在数学中，特别是在泛函分析和线性代数中，酉算子（或称为幺正算子）

是一种保持内积不变的线性算子。对于复数域上的希尔伯特空间H，一个线性算子U: H → H被称为酉算子，如果对于H中的所有向量x和y，都有<Ux, Uy> = <x, y>。

2.谱定理：谱定理是数学中的一个基本结果，它描述了某些类型的自伴算子（或更一

般地，正规算子）可以通过其谱（即特征值的集合）来完全描述。对于自伴算子，谱定理表明存在一组正交的特征向量，它们构成希尔伯特空间的一个完备正交基，并且算子可以表示为这些特征向量的线性组合，其中系数是对应的特征值。

然而，酉算子的谱定理与自伴算子的谱定理有所不同。酉算子的谱定理主要关注算子的谱性质和分解，而不是通过特征向量来表示算子。具体来说，酉算子的谱定理表明，对于给定的酉算子U，存在一组正交投影算子（这些投影算子对应于U的特征子空间），使得U可以表示为这些投影算子的线性组合。此外，这些投影算子的系数是复数域上的单位圆上的点，它们构成了U的谱。

酉算子的谱定理的一个关键结果是：酉算子的谱（即特征值的集合）都在单位圆上。我们可以通过一个简单的例子来说明这一点。

考虑二维复数空间C^2，并定义一个线性算子U如下：

U((x, y)) = (a x + b y, c x + d y)

其中a, b, c, d是复数。为了使U成为酉算子，它必须满足<U(x,y), U(z,w)> = <(x,y), (z,w)>对所有(x,y)和(z,w)成立。这导致了一些限制条件，特别是矩阵[a b; c d]必须是酉矩阵，即它的共轭转置矩阵等于它的逆矩阵。

《泛函分析》课程教学大纲

《泛函分析》课程教学大纲

《泛函分析》课程教学大纲

一、课程基本信息

课程代码：

课程名称：泛函分析

英文名称：Functional analysis

课程类别：选修课

学时：54

学分：3

适用对象: 数学类本科生

考核方式：考察

先修课程：数学分析，高等代数，实变函数

二、课程简介

《泛函分析》是现代教学中的一门较新的数学分支，是高等师范院校数学专业的一门重要专业课，它是在学生掌握了数学分析、高等代数的理论知识的基础上，继实变函数之后开设的。本课程主要内容包括：⑴度量空间和赋范线性空间；

⑵有界线性算子和连续线性泛函；⑶内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间；(4)巴拿赫空间中的基本定理；(5) 线性算子的谱等。通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，工程技术等领域有很大帮助。

三、课程性质与教学目的

1、本课程是数学基础之一，授课对象为数学专业学生。在讲授和学习时，应注重提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生良好的逻辑思维习惯，让学生掌握全面考虑问题的思维方法，这将有助于学生们顺利地学习其他现代专业数学理论课。

2、本课程主要内容包括：⑴度量空间和赋范线性空间；⑵有界线性算子和连续线性泛函；⑶内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间；(4)巴拿赫空间中的基本定理；(5) 线性算子的谱等内容。

3、本大纲的教学总时数为54学时（含习题课），各章节教学时数的具体分配，请参考附表。

4、本课程以课堂讲授为主，讨论辅导为辅，课堂练习与课外作业相结合。

5、在制定本教学大纲时，为了明确对教学大纲中所列具体内容的要求程度，将本要求分为由低到高的三个等级，即对概念和理论性的知识，由低到高分别用

泛函分析学习要求

泛函分析学习要求

《泛函分析》课程学习要求

课程英文名称：Functional Analasisy

课程编号：405012080 适用专业：

学时数：44 学分数：4 执笔者：韩粉叶

一、总体要求

要求学生比较系统地理解泛函分析的基本概念、基本结论,具备一定的概括能力、计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力；并能综合运用理论知识解决实际问题。

二、具体内容

1、度量空间和线性赋范空间

（1）深刻理解度量空间的相关概念，能够验证度量定义中的三个条件；熟悉常见的度量空间及在其上度量的定义；

（2）掌握稠密性与可分性的概念并且能够证明稠密性与可分性；通过学习度量空间的完备化定理能够证明一些空间的完备性；

（3）熟悉第一及第二类型的集、闭集套定理、准紧集、紧集、全有界集、有限开覆盖、有限交性质、不动点的概念；

（4）掌握并理解压缩映射定理及其证明思路；

（5）掌握线性赋范空间、巴拿赫空间等概念，深刻理解依范数收敛及范数的几个性质。

2、线性有界算子和线性连续泛函

掌握线性算子、线性泛函、线性有界算子、线性算子空间、共轭空间等概念，能够验证算子的线性性质和有界性。

3、内积空间与希尔伯特空间

（1）熟练掌握内积空间的相关概念以及常见希尔伯特空间中内积的定义；理解內积导出的范数；

（2）自伴算子、酉算子、正常算子的概念，

（3）掌握并会应用施瓦茈不等式正交定义、投影定理、直交系，会应用贝塞尔不等式等。

4、巴拿赫空间中的基本定理

（1）熟练掌握巴拿赫空间中基本定理的内容，了解它们的证明思路；

（2）第一纲集第二纲集Bair纲定理；

（3）强收敛、弱收敛和一致收敛，三种收敛性之间的关系。

3.5希尔伯特空间的自伴算子酉算子和正规算子

3.5希尔伯特空间的自伴算子酉算子和正规算子

必要条件是其乘积可交换，即有
T1 T2 = T2 T1
定理 3.5.4
设 T 为希尔伯特空间 H 的自伴算子，
I 为恒等算子，λ 为实数，则 λ I - T 也 是自伴算子。
3.5.2 酉算子和正规算子
定义3.5.5（酉算子）设 H 为希尔伯特空 间，T：H → H 是有界线性算子，若 T 是
一双射且 T* = T-1，则称 T 为酉算子。
则称 T 为正算子或非负算子。
定义3.5.10（正定算子）
设 T 是希尔伯特空间 H 上的正算子，
若存wk.baidu.com常数 C ＞ 0，使得
< T x，x > ≥ C‖x‖
x∈H
则称 T 为 H 上的正定算子。
定理3.5.2（自伴性）
设 H 为复希尔伯特空间，T 为 H 到自
身的有界线性算子，则 T 为自伴的充分必
要条件是，对任意的 x ∈ H ，< T x , x >
为实数。 证明：板书。
定理3.5.3（算子积的自伴性）
设 T1 和 T2 是希尔伯特空间 H 上的有
界自伴线性算子，则其乘积也自伴的充分
3.5 希尔伯特空间的自伴算子酉算子和 正规算子
3.5.1 自伴算子 定义3.5.1（自伴算子）设 H 为希尔伯特 空间， T：H → H 为有界线性算子，若 T 的希尔伯特伴随算子 T* 满足 T* = T ，即 有关系

泛函分析教学大纲_2

泛函分析教学大纲_2

泛函分析课程教学大纲

第一部份前言

一、课程基本信息

1.课程类别：专业选修课

2.开课单位：数学与财经系

3.适用专业：数学与应用数学专业

4.备选的教材：《实变函数与泛函分析基础（第二版）》，程其襄，张奠宙，魏国强，胡善文，王漱石编，高等教育出版社，2004.

二、课程性质和目标

本课程性质是数学与应用数学专业的一门专业选修课。

本课程的教学目的是通过泛函分析的教学，使学生了解和掌握赋范线性空间，有界线性算子，Hilbert空间，Banach空间的基本概念和基本理论，培养学生理论思维能力，为进一步学习数学的有关学科和从事数学学科的教学打下一定的理论基础。

三、课程学时与学分

教学时数： 64 学时

学分数： 4 学分

教学时数具体分配：

第二部份教学内容及其要求

第七章度量空间和赋范线性空间

1．教学目标：

要求学生理解度量空间、稠密集、可分空间、连续映射、赋范线性空间等概念，并掌握压缩映射原理。

2．.教学重点：压缩映照原理、度量空间、线性赋范空间

3．教学难点：稠密集、可分空间

4．教学时数

5．教学内容纲要

第一节度量空间的进一步例子

第二节度量空间的极限，稠密集，可分空间

一、度量空间中的点列

二、某些具体空间中收敛点列

三、稠密集与可分空间

第三节连续映射

一、连续映射的定义

二、连续映射的性质

第四节柯西点列和完备度量空间

一、柯西点列

二、完备度量空间

第五节度量空间的完备化

第六节压缩映射原理及其应用

一、压缩映射定理

二、压缩映射定理应用

第七节线性空间

第八节赋范线性空间和Banach空间

一、赋范线性空间

二、Banach空间

6. 课程资源

泛函分析课程教学大纲

泛函分析课程教学大纲

泛函分析课程教学大纲

一、课程的基本信息

适应对象：数学与应用数学本科专业

课程代码：14E01525

学时分配：54

赋予学分：3

先修课程：数学分析、高等代数、实变函数等

后续课程：数学物理方程

二、课程性质与任务

泛函分析是数学与应用数学专业的专业选修课程。本课程综合了函数论、几何和代数的观点与方法研究无穷维空间上的函数、算子理论，解决了分析学中的诸多问题，是学生进入现代数学学习和研究的最重要专业基础课。课程的主要任务是：使学生掌握空间和算子的基本概念和理论，进一步提高抽象思维能力和逻辑推理能力，引导学生学会数学研究问题的思想和方法，使用泛函分析的理论解决分析、代数中的问题，培养学生综合运用分析、代数、几何手段处理问题的方法和能力。

三、教学目的与要求

通过泛函分析课程的教学，使学生掌握度量空间和赋范线性空间、有界线性算子与连续线性泛函、内积空间和HilberI空间理论、线性算子的谱的基本概念、思想和方法，以及巴拿赫空间中的基本定理。通过泛函分析课程的教学，应注意培养学生学会数学研究问题的思想和方法，使用泛函分析的理论解决分析、几何和代数中的问题，培养学生综合运用分析、代数、几何手段处理问题的方法和能力。要求学生对泛函分析方法在数学、物理、经济等学科领域的应用有所了解。

四、教学内容与安排

第一章度量空间和赋范线性空间（16学时）

1.1度量空间的进一步例子

12度量空间中的极限，稠密集，可分空间

1.3连续映射

1.4柯西点列和完备度量空间

1.5度量空间的完备化

1.6压缩映射原理及其应用

1.7线性空间

1.8赋范线性空间和巴拿赫空间

泛函分析23

泛函分析23
课
题 年 23
第三章 内积空间和希尔伯特空间 §5 自伴算子、酉算子和正常算子 月 日星期 课 型 第 讲授课 节
授课时间 课 次
教学目的
掌握自伴算子,酉算子和正规算子的定义 Ⅰ 引入 在实际应用中比较重要的算子是自伴算子,酉算子和正常算子. Ⅱ 新课 三、酉算子 酉算子也具有一些较好的性质. 定理 4 设 U 和 V 为复 Hilbert 空间 X 上两个酉算子,那么 （1） U 是保范算子，对于任意 x X ,有 || Ux |||| x || ； （2）当 X 0 时， || U || 1
主要教学内容
源自文库
（3） U
1
是酉算子；
（4） UV 是酉算子； （5）若 U n 是 X 上一列酉算子,且 U n A ,则 A 是酉算子. 由上面定可知,酉算子一定是保范的,但保范的线性算子不一定是酉算子. 三、正常算子 定理 5 设 T 为复 Hilbert 空间 X 上有界线性算子, A iB 为 T 的笛卡尔分 解，则 T 为正常算子充分必要是 AB =BA . 定理 6 设 T 为复 Hilbert 空间 X 上有界线性算子, A iB 为 T 的笛卡尔分 解，则 T 为正常算子充分必要是对于任意 x X ,有 || T * x |||| Tx || . 教学重点与难点 教学方法 课后作业与 下次课预习内容 正规算子的性质. 讲授式. 做课后习题

9-5自伴算子、酉算子和正常算子

9-5自伴算子、酉算子和正常算子
n →∞
定理4 Hilbert空间 定理4 设 U 及 V 是Hilbert空间 X 上两个 酉算子， 酉算子，则 （1 ）
||U x||=|| x||; （2） 当 X ≠{0} 时， ||U ||=1 ； 是酉算子； （3） U −1 是酉算子； 是酉算子； （4） UV 是酉算子； 上一列酉算子， （5） 若 U n , n = 1, 2,L 是 X 上一列酉算子， 也为酉算子. 且{U n } 收敛于有界算子 A，则 A也为酉算子
|| T * x ||2 = T * x , T * x = TT * x , x = T *Tx , x = Tx , Tx = || Tx ||2
所以 || T x ||=|| Tx || .
*
x ∈ X,有 || T * x ||=|| Tx || ,则 充分性: 充分性:若对任何
(T *T − TT * ) x , x = T *Tx , x − TT * x , x
定理6 定理6
为复Hilbert Hilbert空间 设 T 为复Hilbert空间 X上有界
有界线性算子， 的笛卡尔分解， 有界线性算子， A + iB 为 T 的笛卡尔分解， 则 T 是正常算子的充要条件为 AB = BA . 证明 所以 因
T * = ( A + iB)* = A* − iB* = A − iB, TT * = ( A + iB)( A − iB) = A2 + B 2 − iAB + iBA, T *T = ( A − iB)( A + iB) = A2 + B 2 − iBA + iAB,

论希尔伯特空间

论希尔伯特空间

论希尔伯特空间

前言：

在数学领域，希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广，其不再局限于有限维的情形。与欧几里德空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西列等价于收敛列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公式化数学和量子力学的关键性概念之一。

希尔伯特空间以大卫·希尔伯特的名字命名，他在对积分方程的研究中研究了希尔伯特空间。冯·诺伊曼在其1929年出版的关于无界厄米算子的著作中，最早使用了“希尔伯特空间”这个名词。冯·诺伊曼可能是最早清楚地认识到希尔伯特空间的重要性的数学家之一，他在进行对量子力学的基础性和创造性地研究的时候认识到了这一点。此项研究由冯·诺伊曼与希尔伯特和朗道展开，随后由尤金·维格纳（Template:Lang）继续深入。“希尔伯特空间”这个名字迅速被其他科学家所接受，例如在外尔1931年出版的著作《群与量子力学的理论》（Template:Lang）中就使用这一名词，此书的英文平装版ISBN编号为0486602699。

一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为向量。在实际应用中，它可能代表了一列复数或是一个函数。例如在量子力学中，一个物理系统可以被一个复希尔伯特空间所表示，其中的向量是描述系统可能状态的波函数。详细的资料可以参考量子力学的数学描述相关的内容。量子力学中由平面波和束缚态所构成的希尔伯特空间，一般被称为装备希尔伯特空间（rigged Hilbert space）。

9.5 自伴算子、酉算子、正常算子

9.5 自伴算子、酉算子、正常算子

自伴算子、酉算子和正常算子的性质
第2页
引理1 设?T为复内积空间 X 上有界线性算子,那么T 0的 充要条件为对一切x X，有
Tx, x 0
(3)
证明：若T =0，显然有 Tx, x 0；
反之，如果（3）式对一切 x X 成立，对任意x, y X 及数，
令v x y，则 0 Tv , v Tx Ty, x y
(6)

第3页
定理1 设T为复Hilbert空间X上有界线性算子，则T为自伴算子 的充要条件为对一切x X， Tx , x 是实数.
证明 若T为自伴算子,则对所有x X ,有 Tx , x x , Tx Tx , x Tx , x 是实数.
反之,如果对所有x X ,? Tx , x 都为实数,则 Tx , x Tx , x x , T x T x , x (T T )x , x 0 T T 0 T T T为自伴算子.
五、自伴算子、酉算子、正常算子
第1页
定义 设X ,Y 为希尔伯特空间,T B( X Y )
1)若T =T *,
则称T 为自伴算子；
2)若TT *=T *T，
则称T 为正常算子；
3)若T是1-1映射，且T 1=T *， 则称T为酉算子
注：T为自伴算子 Tx, y x,Ty , x, y X

《泛函分析》教学大纲

《泛函分析》教学大纲

《泛函分析》教学大纲

课程编号：10140032

英文名称：Functional Analysis

学分：3

学时：总学时48学时，其中理论48学时，实践0学时

先修课程：数学分析、实变函数、高等代数、解析几何

课程类别：专业课程（选修1）

授课对象：数学与应用数学（师范）专业学生

教学单位：数理信息学院

修读学期：第6学期

一、课程描述和预期目标

本课程为专业选修课程，它运用代数，几何手段处理问题的新观点和新方法把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行研究. 本课程总学时共48学时，其中理论课48学时，在教与学的教学活动中，本课程坚持理念“以学生发展为中心，学生学习结果（课程教学目标）为导向，并持续改进(教学反思)学生的学习效果”。

本课程主要包含可使学生了解和掌握度量空间、赋范线性空间、Hilbert空间和Banach 空间中有界线性算子与连续线性泛函的基本概念、基本理论及其应用，培养学生抽象思维、逻辑思维、分析和解决问题的能力，为进一步学习数学的有关学科打下扎实的理论基础。本课程教学活动结束，学生将达到以下学习效果：熟悉泛函分析学科发展的基本情况，把握中学数学与泛函分析的内在联系；掌握泛函分析的基本知识和主要思想方法，具备较好的分析、演绎推理和数学表达能力；初步使学生能体验和感受到数学魅力，提高学生的数学素养。

【学生学习结果1】: 通过课堂讲授、课堂讨论、课后作业、课堂报告、查阅文献资料等教学活动，学生学会泛函分析(度量空间和赋范线性空间、有界线性算子和连续线性泛函、内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间、巴拿赫(Banach)空间中的基本定理)的基础知识和理论，初步熟悉和掌握必要的泛函分析基础(基本概念，系统的泛函分析理论和抽象的严格的泛函分析方法)，为学生进一步学习现代数学打下必要的基础，培养学生抽象思维能力、逻辑推理、分析问题和解决问题的能力，提高学生对知识的理解和应用能力。

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