第3章连续线性算子与连续线性泛函
本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach定理。
他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景, 尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。
3.1连续线性算子与有界线性算子
在线性代数中，我们曾遇到过把一个”维向量空间E"映射到另一个加维向
量空间E"的运算，就是借助于川行”列的矩阵
对F中的向量起作用来达到的。
同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。
把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。
撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。
本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。
[定义3・1]由赋范线性空间X中的某子集D到赋范线性空间丫中的映射T 称为算子，D称为算子了的定义域，记为D(r),为称像集｛y|y = 7k,xeD(7')｝为算子的值域，记作T(D)或77)。
若算子T满足：
(1)T(x+y) = Tx+Ty e£)(T))
(2)T(ax) = (/rx(V<zeF,xe£)(r))
称了为线性算子。
对线性算子，我们自然要求T(D)是X的子空间。
特别地，如果了
是由X到实数(复数)域F的映射时，那么称算子T为泛函。
例3.1设X是赋范线性空间，a是一给定的数，映射T.x^ax是X上的线性算子，称为相似算子；当a = l时，称了为单位算子或者恒等算子，记作/。
例3・2 XfxeC[a,b],定义Tx(t) =
由积分的线性知，T是C[a,b]到C[a,列空间中的线性算子。
若令
f (x) = [ x(T)dt(Vx e C[a,b])
则/是C［a,b］上的线性泛函。
［定义3.2］设X, Y是两个赋范线性空间，门X t X是线性算子，称T在兀点连续的，是指若e X,x tl—>x,则7\ T7k(” ts)；若丁在X上每一点都连续，则称了在X上连续；称T是有界的，是指T将X中的有界集映成Y中有界集。
［定理3・1］设X』是赋范线性空间，T是X的子空间D到丫中的线性算子, 若了在某一点x o e£)(r)连续，贝灯在D(T)±连续。
证明：对0xwD(T),设｛x”｝u£)(7'),且->x(n ->oo),于是-X + X o -->00),由假设T 在点连续，所以当"TS时，有
T (兀一X+勺)=%” 一％+矶 T 矶
因此，Tx.—Tx,即了在X点连续。
由X的任意性可知，7*在D(T)上连续。
定理3.1说明线性算子若在一点连续，可推出其在定义的空间上连续。
特别地，线性算子的连续性可山零元的连续性来刻画，即线性算子T连续等价于若
(X中零元)，则7\,T& (Y中零元)。
例3・3若T是/?维赋范线性空间X到赋范线性空间丫中的线性算子，则T在
X上连续。
证明：在X中取一组基｛知勺,…,£”｝，设
兀“ =S E X (m= 1,2,3,…)
j-i
且x m—> 6(m—>s),即||x w| —>0(w —>oo),贝ij
丄
£(歼卜0 (〃+)
从而—>0(j = 1,2,3,•••”)(〃? ts) o 于是
IKII = |輕牝IS踽I側卽引T 0 (心。
0)
因此，7兀T&(〃2TS),即丁在x = B处连续，进而T在X上每点连续。
［定理3・2］设X,Y是赋范线性空间，T是X的子空间D到Y中的线性映射,
则T有界的充分必要条件是：存在常数M>0,使不等式成立，即
证明：必要性。
因丁有界，所以丁将D中的闭单位球B1(^) = {x|||.v||<l}映成
Y中的有界集，即像集厲(&)是Y中的有界集。
记M=sup{||7\||："8］(&)}，此
由M的定义有<M
(3.1)
B|J ||7x|| < M ||x||,而当x = &时，不等式(3.1)变成等式。
故VxeD(T)有
充分性。
设A是D(T)的任一有界集，则存在常数冋使H<M,(VxeA)o 由
||7x||<A/H(xeD(T))知
故7X有界。
证毕。
［定理3.3］设X,Y是两个赋范线性空间，T是从X的子空间D到丫中的线性映射，则T是连续的充要条件是丁是有界的。
证明：充分性。
设T有界，则存在常数M>0 ,使对一切
x e £)(7'),||7^|| < M ||x||,从而对x” ->s),{x&} u D(T)冇
一珂=卩(兀一聊 < M ||兀 _兀|| T 0 (M T O0)
即Tx n T 7x(/7 —>°o) o所以，T是连续的。
必要性。
若丁连续但T是无界的，那么对每个nN,必存在%wD(T), 使瓯||>"||兀||，令儿=；^訂，那么II儿卜+ —°3 —°°)，即儿—&，由丁的连
续性，7X T%7T S),但是另一方面，內」|=务>怕=1,引出矛盾，Z?||A;,||
故T有界。
定理3.3说明，对于线性算子，连续性与有界性是两个等价概念，今后用
L(X.Y)表示X到Y的有界线性算子组成的集合。
例3.1 ,例3.2的线性算子均易证明是有界线性算子，但无界线性算子是存在的。
例3.4考察定义在区间［0,1］上的连续可微函数全体，记作C* ［0J］,其中范数定义为H = inax|x(r)|,不难证明，微分算子扌是把C'［0,l］映入C［0,l］中的线性算子。
取函数列{sinw/},显然，卜inw/| = l,但
因此，微分算子是无界的。
［定义3・3］设X,Y是赋范线性空间，丁是从X到丫的有界线性算子，对一切XWX ,满足||7：v||<M||x||的正数M的下确界，称为算子丁的范数，记作|卩||。
由定义可知，对一切*X,都有||7：V||<||7'||H O
［定理3・4］设X,Y是赋范线性空间，丁是从X到丫的有界线性算子，则有
证明：由||7x||<||T||||x||,易得
根据卩||的定义，对于任给的£>0,存在非零x() e X ,使
令力舒则有网巨PZ),因此
由式（3.2）和式（3.3）,便得
令£—0得
例3・5在l![a,b]上定义算子T 如下
（〃）「）叮（巧訂S 问）
（1）把T 视为d[a,b]到C[“]的算子,求p||； （2）把T 视为Il[a,b\到的算子，求|卩卜
解：算子7的线性是显然的，下面分别求|卩卜
（1） 设T ： l![a,b]^C[a,b],任取/ eL*[a^b],由于7/eC[«,Z?],从而
网卜喇（〃）⑴卜噩|"（M |
故丁是有界的，并且llrll< 1 o 另一方面，取九（/）=_!_,/eg,可，并且
b-a uii =£l -A （o^=£^^
/r=i 于是 p|| = sup||Tr|| > ||T/… || =黒怂 J ：士力=t 丄弘=1
故阿T 。
（2） 设T ： L! [a,b]^l![a,b],任取 / eL 1 [a,b],由于Tf & 11 [a.b],从而
可：0>（側）心（j ）M
因此T 是有界的，并且|卩||“7；另一方面，对任何使得a + *<b 的自然数允，
山定义易
知。
1
xe a,a + —
n
作函数f n(X) = <
显然£丘厶［恥］,且||£|| = ［|九(/)M = 1，而
MI=J：|J：£⑴平
1
5
d/
+
「
［
〃
/
d
x
Jd+-
n
1 . 1 . 1
=—+ b — a~— = b-a-—
2n n 2n
所以，乂有||T||>sup||7jf||=Z>-«
因此，卩[|"一°。
此例告诉我们，虽然形式上是一样的算子，但由于视作不同空间的映射，他们的算子范数未必相同。
一般说来，求一个具体算子的范数并不容易，因此，在很多场合，只能对算子的范数作出估计。
例3・6 设K（s,f）在上连续，定义算子T： C[d,b]—>C[a,b]为
7X（5）=|K
则Tw2L（C[d,b],C[ab]）,且
||T|| < max J |^（5,r）dt:a<s<l^
证明：由于
Smax J* |K（s,/）k〃・max x（f）
a<s<b Ja I \ 7|a<s<b ' 7
=max j K（5,/）p/r:a<s< Z?J*||x||
故结论成立。
事实上，还可以进一步证明
||r|| = max < f :a<s< /?}
由于证明要用到实分析知识，这里从略。
例3.7已知实矩阵A = （a IJ）,定义T • RJ R”为7k = Ar ,则
\ 7 /nxm
r n m \2
TwL(RSR“),且|卩卜工工砖。
k J— /
1
\ n ( m丫平
证明：IM=11^11= Z X a u x j
i \ y-1 丿
「/ V 、胡
s E TA 2>；
_ \ >-i 八丿/_
n in \i
=EE«<? -HI
\ z j-i 7
'n m X2
故卩卜EE-J
I $■］ J-l >
对于赋范线性空间X上的线性泛函f,我们总视/为X到数域F所成赋范线性空间的线性算子，因此，关于泛函的连续性，有界性以及它们之间的关系不再重述。
对于赋范线性空间X上的线性泛函/,由于/(x)eF(VxeX),所以ll/(^)ll=\f a)i，因而/的范数就是||/||=sup\f(x)|o
•s*
对于线性泛函，还有下面的连续性等价定理。
［定理3・5］设X是赋范线性空间，/是X上的线性泛函，则：
(1)/是连续的充要条件是/的零空间N(f) = {x\f(x) = O,xeX}是X的闭子空间；
(2)非零线性泛函/是不连续的充要条件是2(/)在X中稠密。
证明：(1 )必要性：设/是X上的线性泛函，又设{x”}uN(f),兀Tx(ms),由/的连续性可得/(x) = lim/(x n) = Oo 因此，
JI «—►sc
xe/v(y),所以2(门是X的闭子空间。
充分性：设2(f)是闭集，如果/•不是有界线性泛函，则对每个自然数”，必有捡eX,卜讣=1,使得\f (xj|>«o
闭集矛盾。
因此，/是有界的。
(2)必要性：设/是连续的，山定理3.1知/在x = 0点不连续，从而存在
{x”}uX,兀 但|/(x n )|>^() >0 ,对 VxeX ,显然有
充分性：假设/是连续的，由N(f)在X 中稠密可知，对VxeX ,存在 {x n }(Z^(/),使兀 TX (nTS ),从而
/W = J^/(X n) = 0 这与假设/非零矛盾。
证毕。
我们现在考虑山赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 的有界线性算子的全体 L (X ,Y )的性质。
对任意7,7；,7；eL(X,r),^eF,规定
(7； + 可⑴=7； (x)+石⑴，(刃)(x) = aTx
显然，T I +T 2及戈r 都是线性算子，称T l+T 2为7；与坊的和，ST 为&与T 的积, 易验证厶(XV)按这两种运算是一个线性空间，不仅如此，对每个有界线性算子 TeL(X,r),算子范数p||还满足三个条件：
(1)||r|| = sup||7x||>0,若||T|| = 0,则对一切xeX,||7x|| = 0,即T = 8;
I 加
(2) IMI =^;P IMI=H 書P M=l a lll r
lh ⑶ ||7］+7^|| = sup||7> + 7；x|| < sup 『詞 + sup||7>|| = |忸 || + ||引。
* 咀 I 幻
X- fM
TX (HTS ),所以N (/j 在X 中稠密。
令儿=為—希，则门儿)=°'即Z ⑴,并且
并且％
因此，厶(X”)是一个赋范线性空间，我们称其为有界线性算子空间，简称线性算子空间。
一般说来，厶(X#)不一定是完备的，但是我们有如下的定理：
［定理3・6］设丫是完备的赋范线性空间，则L(X,r)是完备的。
证明：如果设｛7讣u厶(X,Y)为一Cauchy列，即
忻-以TO® T8)
则对VxeX ,必有
师(X)-几刖=炖-几)(")卜必-%”闊| T O(s T 8)
这说明｛A(X)｝是丫中的Cauch y列，由Y的完备性，在丫中存在惟一的一个元，记为T(x)使得7；(X)T T(X)(/2T S)。
于是，T就是从X到丫的一个算子，其线性可111 T n (x)的线性推得。
乂由于
忱Hl^ll 勻町一E||T O(/IZTOO)
因而知数列｛||7；,||｝收敛，即有数0使得sup||7；|| = 0,由此推得
/I
ll^ll=j!5 h(x)ll - s7 II^H X II=0 肛I (XX)
故了为有界线性算子，即TeL(X,y)o
由于|町一7U T°("，〃7T°°)，故对W>0,存在自然数N O,使得m,n > N o 时，有|町-7；」|<£。
于是VxeX,||x||<l有忆⑴一礙刃卜司卜卜“
固定x,令加 T8,可得出||7；r(A-)-7；n(x)||<^,Vxe X,||x||<l o
又由于TeL(X,y),因而有(7；i-7')eL(X,r),且由以上不等式可推出低-以"(心M) 即卩;所以空间L(x,r)是完备的。
证毕。
注：赋范线性空间x上的有界线性泛函全体按前面所引入的运算与所规定的范数
||/|| = sup|/(x)|
构成一个Banach空间，称之为X的共辄空间，记作X"。
习题3. 1
1.设TeL(X,y)，证明：Ker{T) = {x.Tx = e}是X 的闭子空间。
2.设7'eL(X,y),SGL(r,Z),证明：复合算子ST:X—Ze厶(X,Z)满足阿同Film
3.X=y = C[O,l],定义T.X^Y为(7\)(/) = q：x(s)ds,We[0,l]及
S: X»为(5x)(r) = rx(/),Vre[0,l]o
(1)问T与S可交换吗？(即$T = 75是否成立？)
⑵求||s|M，网及|阿|。
4.设X为所有有界数列组成的线性空间，范数为
Hl=su phl 6={吗})
/>1
给定无穷矩阵r = (r y),满足sup£b|voo,定义算子T：X T X为7\ = y,其中
')-1
oo
x={a i}>y={b i}9且切
证明：TeL(x,x),且||r|| = sup^|f,|0
5.®：x = r,r = r,,在xv上定义范数
H= EM x=a“2,…，暫)wR”
1-1
m
恻=EI^I 丘肥
矩阵A =（呦〃定义算子为y = Tx = Ax
nt
证明：n = max£|«y.|o
i
6.设f: R T R连续且可加，即对任意x,,x2e/?有/（%!+x2） = /（xi） =
/（x2） » ilE明：/必为/'（/）=久兀色已/?,其中2e7?为常数。
7.设X和丫都是Banach空间，Te（X,K）且是满射，证明：对X中任意稠密子集£,成立T（E） = Y。
&设X是Banach空间，化（X,X）,且|T| < 1,定义
ft
T n =冗了;…亍
X
为T的“次复合，厂=/为单位算子，证明算子级数£厂在Te（X,X）中收敛，
n-0
且TJ8（零算子）（”ts）。
3.2共鸣定理及其应用
许多数学问题的研究都涉及有界线性算子列的收敛性与一致有界问题，Banach-Steinhaus定理对这一问题给出了回答。
［定义 3.4］设T,F e£（X,r）（/i = l,2,3,•••）称｛£｝一致收敛于T,是指眄一冲tO"ts）,即在算子范数意义下收敛，记为瞪-丁⑺-切；称｛7；｝强收敛于T,是指对Vxe X,||7；（x）-T（x）|| ^0（M ^oo）,记为兀」^（心8）。
由定义易知，7；T7'STs）=>7；」^T（nTs）。
但是，反之不成立。
例如，X訂=/2,*（鼻鼻…疵,…）* ,定义町（力=（久也+2,…），则T n—^&（“TS）,但是，若记
© =（0.0,・・・,0丄0,・・・）
hll=^ll^hll^ll=hll=i
IMF1
所以对任意自然数”，有|町|| = 1,即|町-&11 = 1，故町亠⑺卄）不成立。
容易证明，有界线性算子列｛7；｝—致收敛于有界线性算子T的充要条件是｛7；｝在X的单位球上一致收敛于T。
［定义3・5］设X是一个度量空间，A uX,称A是X中的稀疏集，是指A在
X中的任何一个非空开集中均不稠密。
乂称X是第一纲的，是指X可表示成至多可列个稀疏集的并，不是第一纲的度量空间称为第二纲的。
例3.8 X=有理数集，定义度量Q（Gd） = k-引，则X是第一纲的，因为
X
x=UU｝»而单点集匕｝是X中的稀疏集。
n-1
下面是关于完备度量空间的一个重要定理，即Baire纲定理，它是证明共鸣定理的关键。
［定理3・7］设X是完备的度量空间，则X是第二纲的。
X
证明：用反证法。
若存在一列稀疏集｛A｝使X=U A”，任取一个闭球n-1
“巾（勺）=｛兀：。
（兀,勺）"）｝,由于A］在开球^（勺）中不稠密,从而可取一个闭球瓦（坷）（0<7］ vl）,满足Afl可（西）=0,瓦（xju瓦（勺）;又每在开球8冶|）中不稠密，同理，取闭球以（兀2）［ ° V「2 V*，满足（吃）= 0'3、（£）<=耳（州），按上述过程一直进行下去，可得出闭球列｛瓦（爲）｝满足如下条件：（1）瓦（勺）二瓦（坷）二瓦（勺）二…；
（2）瓦（兀）0人=00 = 1,2,3,…）；
（3）Ovqv丄。
n
由条件（3）知，瓦代）的直径〃（瓦（捡））弓T O（“TS）,由闭球套定理，存在“X,
且介瓦（兀）= ｛#,但是从条件（2）中又有A瓦（兀）=0,矛盾，故
H-l H-1
X是第二纲的。
证毕。
应用上述定理来证明共鸣定理。
[定理3.8](共鸣定理)设X 是banach 空间，Y 是赋范线性空间，算子簇
{7} :2eA}c=L(X,y),若对任意x 已X ,满足
sup||7>||v+oo
A€A
那么
sup||7；||<+oo
X€A
证明：定义X 上的泛函p(x)为p(x) = sup||7>||,则P ：X T [0,4O ]且容易
26 A
验证p(x)满足
p(x+N) < p(x)+p(x f )9p(ax) = p| p(x)(a e F)
记
4 ={xwX :p(x)5"}(“ = 1,2,3,…)
则X =C M ”。
H-l
首先证九是闭集。
设忑W&,电对每个2e A ,因3是连续的, 所以||巧竝-加|—0
仕f 8）,更有辰丽又||7＞』"（切G,故 ||巧却"，即因X 是完备的，由定理3.7,必存在自然数叫, 使去不是稀疏集，从而存在开球號（勺）仏＞0）使佻在竝（勺）中稠密，比是闭 的，所以A n ）i o B t （x 0）o 对任_x w g （&） = {尤:恻5 1},注意到
+ «/) 5®P(Xo 一心X )< 77O
P （2护）S （勺+护）+卩（一勺+ 2）
=”（勺+閲+”（勺_詢5加（）
II 引= sup{||加|:xe 可(&)}芈
所以/；（x ）＜^o 对每个兄 "杞刈B|j
r
o
进一步有
sup||7；x||<^<+oo
Z€A
证毕。
上述共鸣定理说明，对每个x e X,{||7)x||: 2e A} W界，则{||巧||: A e A}有界。
这蕴含算子簇每点有界，可推出在单位球上一致有界。
因此，共鸣定理乂称一致有界原理。
一致有界原理解决了关于算子列的强收敛的有关问题，如算子列满足什么条件时是强收敛的？L(x,r)在强收敛意义下是否完备？下面儿个定理回答了这些问题。
［定理3・9］设X是Banach空间，Y是赋范线性空间，｛7；,｝ c= L(X,r),若对
丁丘厶(X#),且｛［7；, ||｝有界。
证明：由lim7>在Y中存在，知sup||T n x||<+oOo据定理3.8知,存在常数” n11 11 M>0,使sup||T n||<M ,故
㈣=J^T#®P||TJ|)卜卜M| 卜||
即TeL(X,r)。
证毕。
［定理3・10］设X是赋范线性空间，Y是Banach空间，｛7；,｝ c= L(X,r),如果满足下列条件：
(1)｛|町||｝是有界数列；
(2)在X中某一稠密子集G中每个元素x,｛7/｝收敛。
则｛7；｝强收敛于某一有界线性算子T,且||T|| < lim||7；||o
证明：因｛||7；r||｝有界，故存在M>0,使对一切” = 1,2,3,・・・,||7；」
|5M。
任取
x已X ,注意到G在X中稠密，故对于任给£>0,存在ywG,使卜一< £/3M。
由条件(2)可知，｛£』｝收敛，故存在自然数使对一切“AN以及任意自然数“有
于每个x^XAimT n x在Y中存在, 定义线性算子TiX^Y为7> = lim7>,则
||3-础|<£/3
于是
氐/-瑚国氐产忙沙-础|+g -喇
SM ・仝一+ w/3 + M —^ = £ 3M / 3M
故｛7>｝是Cauchy 列，由于Y 是完备的，故｛7>｝收敛。
令％門蹙7>(x w X), 则了是定义在X 上而值域包含在丫中的线性算子。
再由
Tx = ^K4 * 皿(| 阳制)S (Jim||7；||)H
可知T 有界，且
卩卜啊||
证毕。
本章3.1节定理3.6证明了当丫是Banach 空间时，L (X,K )依算子范数是完
备的。
现在我们可以证明当XV 都是完备时，L(X,K)对于算子列的强收敛也是 完备的。
［定理3・11］设X,丫都是Banach 空间，则厶(X, Y)在强收敛意义下是完备
的。
证明：设｛7>｝uMX,Y)S = l,2,3…)是给定算子列,对每个xeX,｛7；x ｝是
Cauchy 列，故｛||7詞｝有界，再由一致有界原理可推知｛||7>||｝有界。
注意到Y 是 Banach 空间，故对每个xeX,｛T n x ｝收敛。
因此，亿｝满足定理3.10的条件(1) 和条件(2),故｛7；｝强收敛于某一有界线性算子TeL(X,y)o
下面介绍儿个关于共鸣定理应用的例子。
例3・9 (Fourier 级数的发散问题)存在以2兀为周期的连续函数，其Fourier 级
数再给定点发散。
证明：用C2#表示定义在(YO ,P )上以2兀为周期的连续函数全体，赋予范
那么，c 話是一个Banach 空间。
对每个xwC* ,其前n+1项Fourier 级数的部分 和为IWI = max
S,x ，/) = * + £
(绞 cos kt+ b k
令uo,即S n (x,O)=丄匸K” (s 90)x(s)ds t S n (x,O)^C 2#到R 的有界线性泛函，且可 计算其范数为
注意到
I 2
打斗|sin“|
所以sup||S n || = +oo,从而由共鸣定理,必存在某个周期为2兀的连续函数x o eC 2T , n
使极限limS”(x,O)不存在，这意味着兀(/)的Fourier 级数在/二0点发散。
同理， n 对每一固定点心，也必存在x,o G C 2a ,其Fourier 级数在/ =山点发散。
证毕。
例3.10 (.Lagrange 插值公式的发散性定理)给定区间［0, 1］内插入点 这里,
sin(2?? + l)-
ds
=—L T K” (s,F )x(s)ds
2
2 2
（牢））（1 "G M = 123,…）构成三角矩阵H 为
I ⑴ 0 0 ...
；2＞『0 ...
0・・・
那么必存在x （r ）eC10J|,使其与插值点相应的〃次插值Lagrange 多项式
%）（山1>（『灯）（『）
其中
当/7 ->oo 时，不一致收敛于X （/）o
证明：在C[OJ]上定义算子序列7； : C[OJ] -> C[OJ]为
[7；⑴]（xi>（/）cy ）⑴ 2
通过计算得出
低円翱 £|W)| S = l,2,3,...)
从而｛人｝时有界线性算子序列，在函数逼近论中已经知道
因此，sup||7；|| = +吟于是由共鸣定理必存在x （）eC[OJ],使盜（勺）不收敛于
/I
即人（无）⑴不一致收敛于x 0（/）o 证毕。
例3・11（机械求积公式的收敛性）在积分近似计算中，通常我们考虑形如
e b 91
（也3 工恥仏）（«</0<^1 <•••<—"）
的求积公式，例如矩形公式，梯形公式就是类似的公式，由于只用一个公式不能 保证足够的精确度，故需考虑机械求积公式系列
其中 a 5<•••</：" </?,n = 0,1,2,••-
需讨论的使在什么条件下，当“TOO 时，式（3.4）误差趋向于0,这就是机械求 积公式(n)严) y 上上（心郭詡）…卜叨 k 伴）"”））…性
""-七肱）-喈）…伴）-凹）
07 = 123,…)
牢））（3.4）的收敛性问题。
现证明，机械求积公式（3.4）对于每一个连续函数xeC[O,l]都收敛，即
f T J〉⑴力（“Too）（3.5）
当且仅当以下两个条件成立：
（1）存在常数M>0,使f Aj 5M（n = 0,l,2,..・）；
（2）公式（3.5）对于每个多项式函数都是收敛的。
证明：考虑Banach空间C[u,b]±的线性泛函
f…（x）=乞），（” = 0,1,2,…）
1-0
对于每个x w C[a,b],
因此，
另一方面，对于每个呛? = 1,2,..・），取[d,b]上连续函数勺（/）,使得卜,」| = 1且
&（『） = sgn 八（& = 1,2,…，“）
于是
所以
由条件（2）若x（/）是多项式函数结论成立，乂由于多项式全体是C[O,1]的稠
密子集，由定理3.10,对每一个xeC[0,l],公式(3.5)成立。
注：本例中条件(2),多项式集合可用C[0,l]中稠密子集来代替，如果逐段线性函数集合来代替，结论仍然成立。
习题3・2
1.设X是Banach空间，丫是赋范线性空间，7；丘厶(X,Y)(” = 1,2,3,…)，若sup们
| = *0 ,证明：存在x n eX ,使得sup]町对1 = 2。
ft n
2.设X是Banach空间，丫是赋范线性空间，7；, eL(X,/)(/? = 1,2,3,...),如果Vxe
X,｛7>｝是丫中的Cauchy列，则｛||7；||｝是有界的。
3.设X为多项式全体构成的集合，按通常的函数加法与数乘运算成为一个线性空间，乂对任意•¥(/)="()+如+••• + ◎/" WX,定义
倒= max｛|du|,|q|,..阀｝
(1)证明X是一个赋范线性空间；
(2)证明X不完备；
(3)取Y = R,定义算子列T K X = q +q +••• + ①(k = 1,2,...)
证明是有界线性算子，且对任意x已X ,成立sup||7｝x|<+oo,但是sup||T；.A-|| =
+oo k k
x
4.给定数列｛肉｝,若满足对任意收敛数列｛匕｝,级数工色0”收敛，证明：级
n-l
x
数刃加V+C0。
n-1
5.给定数列，若对任意x = (/]』2,…)丘儿级数为a£收敛，证明：sup||a…||<+coo
H-I °
3.3 Hahn-Banach 定理
已知X是〃维赋范线性空间，在X中取一组基｛©©.…务｝，设(44.…，％)是一组数，当x = x i e i e X ,定义f(x) = '^x i e i ,易知，/是X上的线性泛函，记
当兀=£兀耳时，由/的线
/-I
性可得和、总和飞
J(x) = ^x.f(e.)=2^a.x.
/-I r-l
这告诉我们"维赋范线性空间上的线性泛函与数组(44.…,①)一一对应，而且有具体的泛函表达式，本章3.1节例3」告诉我们，有限维赋范线性空间上的任何线性泛函都是连续的，因此，对于有限维赋范线性空间上的连续线性泛函的情况，我们已经有了一个基本了解。
那么，我们自然要问：任何一个无限维赋范线性空间上是否一定有非零连续线性泛函呢？如果有，是否足够多？本节将从线性泛函的延拓入手，讨论这个问题。
【定义3・6】若X是实线性空间，称p.X—R为次可加正齐次泛函，如果满
足：
⑴ p(x+刃Sp(x) + p(y);
(2) p(ax) = a p(x)(a >O,x,y e X).
注：这里所给出的“次可加，正齐次泛函”对我们并不陌生，实际上，在赋
范线性空间中，元x的范数卜||就是这种泛函，一般说来，它未必是“加法” 的或
“齐次”的。
【定理3・12】(Hahn-Banach定理)设X是实线性空间,p：X—R是次可加正齐次泛函。
MuX是一子空间，/是M上定义的一个实线性泛函，且/(〃?) < e M),那么存在X上的实线性泛函F ,满足：
(1)F(m) = e A/);
(2)F{x) < p(x)(x e X).
证明：我们仅来证明一种特殊情况，当X比M仅多一维，此时，
X可表示为X ={x =加 + &.*): we A/, <7 e/?}
这里如e X-M o
定义X上的线性泛函F为
F(x) = F(m + ax0) = f (m) + aC
C是一个待选择的常数。
曲于/是M上的线性泛函，那么F是X上的线性泛函, 且
显然满足(1)・为满足(2),我们来确定常数C,若满足(2),则对一切(meM) 及<ze7?成立不等式
f (m) + aC < p(m + ax0)
这个不等式乂等价于下面两个不等式：
/(—) + C< /7(x0 +—) a>0
(1){ a 仪
/(-—)~C< /?(-x0-—) a v0
a a
因为对任何有
/(〃?')+ /(〃?")= /(〃?' +加")
< p(m' + /?/*) < -兀)+ p(m" + x0)
即
(2)f(m')- /?(/?/-x0) < p(nr + x0)-/(/n*)
于是，令
K] = sup{/(/??')- p(m' -x0): m e M}
K2 = inf{ p(nf + XQ)— f (〃?"): in" e M}据(2)式，〜<KfK严+s,从而选取Cw[K「K2],则这样的C满足(1)式,
于是F(x)在X上满足F(x)< p(x)。
证毕。
对于一般情况，由于涉及到超限归纳法，这里略去其证明。
山定理3.12,我们可得出下面的有界线性泛函的存在定理和连续线性泛函的“保范延拓”定理。
【定理3・13】设X是实赋范线性空间，如果XH{。
},则在X上必存在非零的连续线性泛函。
证明：因XH{&},故X—{&}H0，任取x o eX-{0},令M={a.q:ae/?}, 乂取c = ||x0||,作M上的泛函
f0: ax Q -> ac y(f0(ax0) = ac)
显然,人是M上的非零有界线性泛函，只要将定理3.12中p取为P(A-)=||A-||,便可知厶必可延拓成x上的有界线性泛函/•，显然/•不是零泛函。
证毕。
【定理3.14] (Banach保范延拓定理)设X是实赋泛线性空间，M是X的
子空间，/是M上的有界线性泛函，则存在X上的有界线性泛函F满足：
(1) F(肋=f(m)9 m e M；
⑵ kll=ll/ILr
证明：由于/•是M上的有界线性泛函，那么
这里也b =sup{|/(w)|:/HeA/}是f在M上的范数。
令PW=||/||JW H»则“是X I咋1
上定义的次可加正齐次泛函，由式(3.6)对m e M ,有f(m) < p(m)。
根据定理
3.12,存在X上连续线性泛函F满足结论(1),且F(m) < p(m).乂
i/ii JHIH I/IIJWI
F(-.)<P(-.)=
所以
可见，尸式X上有界线性泛函，且||F||<||/||A/,乂F是/的延拓，所以
IlFlI = sup {|F(x)|:xeX}>sup{|F(m)|: m e M }
||v|<l |A||<1
=溜{|/»|""}=|几
I网》
即l F l=WL °证毕。
注：从定理3.12证明过程中，我们知道多讨论的延拓并不惟一，由此可知, 赋范线性空间的子空间上连续线性泛函的保范延拓一般也不惟一。
例3.12设X =疋,对x = (x p x2),规定恻=|时+ |对以按此范数卜||成为赋范线性空间。
乂设M={(x1,O):x1e/?},设厶是定义在M上的连续线性泛函，人(3,0))=西，即H/oll,^ 1 -然而，对任何数0,X上的连续线性泛函/(3，吃))=X] +0七，(州，尤2)W X都是九的延拓，由于
If©，勺))| = R + 0对5 忖 | +10 帆 |
<max(l,|/?|)||(X|,x>)||
并且I 加皿=1,所以，只要|0|<1丿都是几的保范延拓。
【推论3.1］设X 是实赋范线性空间，M 是X 的一个真闭子空间, 比wX —M,令
J = inf^-w||: me Af}
则存在X 上有界线性泛函F 满足 ||F|| = i HF(x) = <
• 1 X = X x
0 x^M
证明：首先证〃>0。
若d = 0,由下确界定义，存在/n ;r e M ,满足
|卜i-"」|Td=O （HTs ）,即 m n ->^（77 ->co ） o 而 M 是闭的，所以 e M ,这与 x {eX-M 矛盾。
记山M 及召张成的子空间为则//可表示成
M ］ = {m + ax }: in V M,a e R}
在上定义泛函J\m + ax {） = a,显然，/是岡上有界线性泛函，且
f(m) = 0(m e A/), /(x t ) = 1
下面来计算/在A/】上的范数。
对于aHO,由于
所以7几肿十。
另一方面，取m n e M ,使卜］-〃训T 〃⑺->s ）,而
ll/IIA/'-/（p^）=h-^ll 在上式中令26得II 几肿.故叫十
最后，山定理3.12,存在X 上有界线性泛函F,满足F （〃?） = /（加）
（〃?uM ］）, 且MI = ||/|l W1 >根据f 得构造,F 显然满足 证毕。
注：推论3.1说明有界线性泛函可分离一点和一个闭子空间。
【推论3・2】设X 式实赋范线性空间，心eX 且则存在X 上有界线 性泛函F
\f(m + ax {)\ = \a\ =
-止叫豪皈+如I
$ 一叫
满足F(x°)=||对且||F|| = lo
证明:取X得一维子空间M = {&无：a e出，在M上定义有界线性泛函f为
/(ax0) = a||A-0||,则/式M上线性泛函，且/(无)=闯，又
|/<^o)|=Hhll=1^11
所以
|/|[V f =sup{『a®)|: | 陶<i}=i
由定理3.12,存在X上有界线性泛函F,它是/得保范延拓，因此，F仍然满足尸(兀)=||对|,且||鬥| = 1。
证毕。
推论3.2表明，只要XH{&},则X上必存在不为零的连续线性泛函。
【推论3・3】设X是实赋范线性空间，x o eX,若对于X上任意连续线性泛函八都有fM = O,则x o=0o
证明：用反证法，由定理3.13易得。
推论3.3表明，当X式无限维实赋范线性空间时，在c上必存在无限多个连续线性泛函。
当X时复线性空间时，上述定理和推论同样成立。
习题3・3
1.设X是实线性空间，M是X的子空间，x o eX-M，证明：
Afj = {m + ax0 :加w M, a w R}是X 的子空间。
2.设X是实赋范线性空间，x,yeX,且xHy，证明：存在X上有界线性泛函F 满足
F(x)丰F(y) o
3.设X是实赋范线性空间，证明：V A0 e X ,必有
ho||= sup |/(A«)|
/eX\|/||=l
(X"为X上全体连续线性泛函组成的集合)。
4.在C[a,b]上定义泛函
F(x) = J x(f)山,x e C[a,b]
证明：F是有界线性泛函，且||可=—_
5.设X是实赋范线性空间，％e X ,若对任意X上的有界线性泛函f ,且||/|| = 1, ||/(Ao)||</l,证明：h||<2o
6.设/•是线性空间X上的非零线性泛函，取x o eX-ker(/),证明：
X = {y + ax Q : y e ker(/),a e F) o
7.设几厶是线性空间X上的两个线性泛函，且ker(/,) = ker(/2)，证明：存在常数兄，使得f{=Af1O
3・4共轨空间与共钝算子
本章第3.1节我们介绍了有界线性算子空间厶(X,Y),特别地当Y = R时，我们便得到X上有界线性汉化地全体L(X、R),称L(X,R)为X的共觇空间，记为X"。
本节我们将研究x•空间的有关问题。
3.4.1共辄空间
一般来说，对于赋范线性空间，即使是Banach空间，其上连续线性汉化的具体形式仍然相当复杂。
下面我们用Hahn-Banach定理，给出儿个具体的Banach 空间上所有连续线性泛函的具体形式。
为此，我们将引入下面等距同构概念。
【定义3・7】设XV是赋范线性空间，称X是丫的嵌入子空间，如果存在线性算子T-.X^Y满足||7x|| = ||x||(xeX);称X与Y是等距同构的，如果存在线性算子
T-.X^Y是满射,且||7x|| = ||x||(xeX)o
注：当x是丫的嵌入子空间时，x是丫的子空间7X结构完全相同，因此，可记为XuY；当X与Y等距同构时，这两个空间结构也完全相同，可记为X=Y a
例 3.13 c Q = {x:x = {q},limq =0,q eR],在c（）中赋予范数||x|| = sup|a f.|,则5 ff x
i
是赋范线性空间。
l i={x-.x = {b i}.X\b i\<+^b l eR},赋予范数恻=$>|，则『f-1 r-1
也是赋范线性空间，我们有（c°）・=P。
证明：对于任一"={$}訂，定义5上线性泛函F n为：耳⑴=坊（仏}）=工（也于是
|坊(尤)|=|打({训=<sup|«f|(xi^|)=HH
r-l i i・l
所以，||F||刪I，即恥（c『
另一方面，对Fe（c°）・，令® = F（e⑴）,这里e o）=（0, 0,.^.,0, l,0,...）o 记〃 ={切}，对每个x = {t/, ） ec0 ,由于 ^e'" -（a. }||= SU P\a i I 0（/? -> co）,而F 是连续线性泛函，因此，
F(x) = F({q}) = lim F(V 竽⑴)=limY a i F(e(i))
n^X r-l r-1
下面证明z/e/'o令列={/>},其中
、"一[0 n>N
这里sgnx是符号函数，则lim畀2=0,即严鼻"，且严仁1，由式（3.7）
II
知
土臥卜sgn@J = F（{骅}）引刊|严卜||刊
/r-1 n-1
由N的任意性，土阳vf, 乂是得到M<||F||o根据上述两步，定义
n-1
WQ 为八〃）=打,〃"，则T是线性算子，是满射，而且p（〃）|H恻（因而是一一映射）。
这说明『与（cj是等距同构的，即（cj=『。
例3・14 （/*）• =/X o
证明：令e”是『中第k项为1,其它项为0的数列，任取/e （/*）-,令
5 =/© ）,M = span{e k
在M上
X ft
fW =工5灵Vx = e M
JI i-i
且|/（A-）|<sup|cJ||x||,而M在卩中稠密，由Hahn-Banach定理可得
k
|y（x）|Ssup|cJ||x||,D"『
k
故|/W|<sup\c k I,令a = {q},因为c k = f{e k）,所以
KI=|/^）l^ll/|lkhMI
因此，aeT,且||a||<||/||o
反之，对任意a已广，a = {q},定义f e （/'）*如下
/（x） = £c点.x = {^k}el l
则|/（A-）|<i|cJ|^|<M.|x||
1】
所以，也牛卜
再由上述论证可得,11/1=Hb从而（门•与广等距同构，KP（z'）*=r。
证毕。
例3・15 （叮=儿其中丄+丄= 1，P，@>1。
p q
证明：对每个〃 = {々}€〃，由级数形式的Holder不等式，对{讣卩,有
自础曙（£研;（勺研；<3.8）
r-1 i-l i
X
因此，定义严上的线性泛函你为你（{如）=£如，那么由式（3.8）得
巧（｛训刪I」｛讥,即hhhi（/
另一方面,设Fe（/L）\记耳=（0,…0丄0,…）（第i个坐标为1,其余为0）,
对每个｛qH由于
->0,（7?->oO） II j lip （■"+】F是连续线性泛函，所以
(3.9)
F({q}) = lim F(工 g) = lim 工=工％F(q)
/-I “T" /.I r-1。
