【名师一号】2016届高考数学一轮总复习 10.8二项分布及其应用练习

第八节二项散布及其应用 ( 理)时间： 45 分钟分值：100分基础必做一、选择题1．(2015 ·唐山市期末 ) 如图，△ ABC和△ DEF都是圆内接正三角形，且BC∥EF.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在△ ABC 内”， B 表示事件“豆子落在△ DEF 内”，则 P(B|A) ＝ ( ). 33 . 3A4πB2πC.31D.32分析△ABC≌△ DEF，设边长为3，△ABC与△ DEF重叠部分是边长为 1 的正六边形 P(B|A)S正六边形S 3 32S圆 2＝＝正六边形＝，选D.＝＝ 3S S 2 3△ABC △ABCS ·34圆答案 D2．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6 和 0.5 ，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为( )A．0.45 B．0.6． 0.65 ． 0.75C D分析设目标被击中为事件B，目标被甲击中为事件A，则由 P(B) ＝0.6 ×0.5 ＋0.4 ×0.5＋0.6 ×0.5 ＝ 0.8 ，又因为 A? B，所以 P(AB) ＝ P(A) ＝ 0.6 ，得 P(A|B) ＝＝0.6＝ 0.75.0.8答案 D3．国庆节放假，甲去北京旅行的概率为1，乙、丙去北京旅行的概率分别为1，1 . 假设3 4 5三人的行动互相之间没有影响，那么这段时间内起码有1 人去北京旅行的概率为 ()593A . 60B . 5. 1. 1C 2D601 1 1分析 因甲、乙、丙去北京旅行的概率分别为 3，4， 5. 所以，他们不去北京旅行的概率2 3 4 1 人去北京旅行的概率为P ＝2 3 4 3分别为 ， ， ，起码有 1－×× ＝ .3 4 53 4 5 5 答案 B4．一个平均小正方体的六个面中，三个面上标明数1，两个面上标明数 2，一个面上标注数 3，将这个小正方体投掷2 次，则向上的数之和为3 的概率为 ()A . 61B . 41C . 31D . 21分析 设第 i 次向上的数是 1 为事件 A ，第 i 次向上的数是 2 为 B ， i ＝ 1,2 ，则 P(A )ii1＝P(A ) ＝2， P(B ) ＝P(B ) ＝ 3，则所求的概率为 P(A B ) ＋ P(A B ) ＝P(A )P(B) ＋ P(A )P(B )2 1 1 211 22 112211 1 1 1 1＝ 2× 3＋ 2× 3＝ 3.答案 C5．一个口袋中有 5 个白色乒乓球和 5 个黄色乒乓球 ( 乒乓球除颜色不一样外其余均同样 ) ， 从中任取 5 次，每次拿出 1 个后又放回， 则抽取的 5 次中恰有3 次取到白球的概率是 (). 1. 3A 2B 53C 535C CD ． C ·0.555分析 由题意知，任取一次取到白球和黄球的概率均为0.5. 随意取球 5 次，恰有 3 次取到白球的概率为 P 5(3) 33·(1 － 0.5) 5－ 335.＝ C 5·0.5 ＝ C 5·0.5答案 D6．如图，用 K ，A 1，A 2 三类不一样的元件连结成一个系统．当K 正常工作且 A 1，A 2 起码有 一个正常工作时，系统正常工作．已知K ， A ， A 正常工作的概率挨次为 0.9 、 0.8 、 0.8 ，12则系统正常工作的概率为 ()A ． 0.960B ． 0.864C ． 0.720D ． 0.576分析 可知 K ，A 1， A 2 三类元件正常工作互相独立．所以当A 1， A 2 起码有一个能正常工作的概率为 P ＝ 1－ (1 － 0.8) 2，所以系统能正常工作的概率为 K×0.96 ＝＝ 0.96 P ·P ＝0.9 0.864.答案 B二、填空题37．设 A 、 B 为两个事件，若事件 A 和 B 同时发生的概率为10，在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率为 1，事件 A 发生的概率为 __________．2分析 由题意知： P(AB) ＝ 3 ， P(B|A) ＝ 1，10 2 310 3∴P(A) ＝＝1＝5.2答案358．有一批种子的抽芽率为 0.9 ，出芽后的幼苗成活率为0.8 ，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为__________ ．分析 设种子抽芽为事件 A ，种子成长为幼苗为事件 AB(抽芽，又成活为幼苗 ) ，出芽后的幼苗成活率为： P(B|A) ＝ 0.8 ， P(A) ＝ 0.9.依据条件概率公式 P(AB) ＝P(B|A) ·P(A) ＝0.9 ×0.8 ＝ 0.72 ，即这粒种子能成长为幼苗的概率为 0.72.答案 0.729．连续掷一枚平均的正方体骰子(6 个面分别标有 1,2,3,4,5,6) ．现定义数列 {a } ：当n向上边上的点数是 3 的倍数时， a n ＝1；当向上边上的点数不是 3 的倍数时， a n ＝－ 1. 设 S n是其前 n 项和，那么 S 5＝ 3 的概率是 ________．分析 由 S ＝3 知：投掷 5 次中向上边上的点数是3 的倍数发生4 次，其概率为： P ＝54 1 4 · 1－ 110533 ＝ .C243答案10243三、解答题10．投掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1) 求 P(A) ， P(B) ， P(AB)；(2) 当已知蓝色骰子的点数为3 或 6 时，求两颗骰子的点数之和大于 8 的概率．2 1解 (1)P(A) ＝6＝ 3.∵两颗骰子的点数之和共有36 个等可能的结果，点数之和大于 8 的结果共有 10 个．105∴ P(B) ＝ 36＝ 18.当蓝色骰子的点数为3 或 6 时，两颗骰子的点数之和大于 8 的结果有 5 个，故 P(AB) ＝5 36.536 5(2) 由 (1) 知 P(B|A) ＝＝ 1 ＝ 12.311．2013 年 6 月“神舟”发射成功．此次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、讲课、返回．据统计，因为时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分3 1 1 2 别为 ，， ， ，而且各个环节的直播收看互不影响．4 32 3(1) 现有该班甲、 乙、丙三名同学， 求这 3 名同学起码有 2 名同学收看发射直播的概率；(2) 若用 X 表示该班某一位同学收看的环节数，求 X 的散布列．解 (1) 设“这 3 名同学起码有2 名同学收看发射直播”为事件A ，232333 32734 × 1－34＝32.则 P(A) ＝C 4 ＋ C (2) 由条件可知 X 可能取值为 0,1,2,3,4.3 11 2 1 3 1 1P(X ＝ 0) ＝ 1－ 4 × 1－3 × 1－2 × 1－ 3 ＝36；P(X ＝1) ＝ 4 × 1－3 × 1－22 3 × 1－3 ＋ 1－41 2 3 12 3 1 1 ×1×1－ ×1－ ＋1－ ×1－ ×1×1－ ＋1－ ×1－ ×1－ ×2＝323432343231372；3 1 1 23111－ 2 3 × 1－ 1 1 2P(X ＝2)＝ × × 1－2 × 1－ ＋ × 1－ × ×3 ＋ 3 × 1－ × ＋433 4 3 2 42 3 3 1 1 2311231 12 71－ 4 ×3×2× 1－3 ＋ 1－4 ×3× 1－2 ×3＋ 1－4 × 1－3 ×2× 3＝18；3 1 1 2 3 1 1 2 3 11 2 3 1 1 2P(X ＝ 3) ＝ 1－4 ×3×2×3＋ 4× 1－ 3 ×2× 3＋4×3× 1－2 ×3＋4×3× 2× 1－ 323＝ 72；3 1 1 21P(X ＝ 4) ＝ 4× 3× 2× 3＝ 12.即 X 的散布列X 0 1 2 3 4 P1 137 23 1 3672187212培 优 演 练1．某次数学测试共有 10 道选择题， 每道题共有四个选项， 且此中只有一个选项是正确的，评分标准规定： 每选对 1 道题得 5 分，不选或选错得 0 分．某考生每道题都选并能确立此中有 6 道题能选对， 其余 4 道题没法确立正确选项， 但这 4 道题中有 2 道题能清除两个错误选项， 另 2 道只好清除一个错误选项， 于是该生做这 4 道题时每道题都从不可以清除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．(1) 求该考生本次测试选择题得50 分的概率；(2) 求该考生本次测试选择题所得分数的散布列．解 (1) 设选对一道“能清除2 个选项的题目”为事件A ，选对一道“能清除 1 个选项的题目”为事件 B ，则P(A) ＝ 1 ， P(B) ＝1.该考生选择题得 50 分的概率为23P(A) ·P(A) ·P(B) ·P(B) ＝ 1 2 1 21. 2 × 3 ＝36 (2) 该考生所得分数 X ＝ 30,35,40,45,50.121 2 1P(X ＝ 30) ＝ 2 × 1－ 3 ＝ 9 ， 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 P(X ＝ 35) ＝ C 2 2 · 3 ＋ 2 · C 2·3×3＝ 3，1 2 2 2 1 1 2 11 2 1 2 1 2 13P(X ＝ 40) ＝ 2 × 3 ＋C 2· 2 · C 2 · 3×3＋ 2 × 3 ＝ 36，1 1 21 2 1 2 1 1 2 1P(X ＝ 45) ＝ 2· ＋· 2·×＝，C 23 2C 33 6121 2 1 P(X ＝ 50) ＝ 2 ×3 ＝36. 该考生所得分数 X 的散布列为X 30 35 40 45 50P11 13119 3 366362．(2014 ·陕西卷 ) 在一块耕地上栽种一种作物，每季栽种成本为 1 000 元，此作物的市场价钱和这块地上的产量均拥有随机性，且互不影响，其详细状况以下表：作物产量 ( kg) 300 500概率0.5 0.5作物市场价钱 ( 元 / kg) 6 10概率0.4 0.6(1)设 X 表示在这块地上栽种 1 季此作物的收益，求 X 的散布列；(2) 若在这块地上连续 3 季栽种此作物，求这 3 季中起码有 2 季的收益许多于 2 000 元的概率．解(1) 设 A 表示事件“作物产量为300 kg”，B 表示事件“作物市场价钱为 6 元 / kg”，由题设知 P(A) ＝ 0.5 ， P(B) ＝ 0.4 ，∵收益＝产量×市场价钱－成本，∴X全部可能的取值为500×10－ 1 000 ＝4 000,500 ×6－ 1 000 ＝2 000 ，300×10－ 1 000 ＝2 000,300 ×6－ 1 000 ＝800.P(X＝ 4 000) ＝ P( A )P( B ) ＝ (1 －0.5) ×(1 － 0.4) ＝0.3 ，P(X＝ 2 000) ＝ P( A )P(B) ＋P(A)P( B ) ＝ (1 －0.5) ×0.4 ＋0.5 ×(1 － 0.4) ＝ 0.5 ，P(X＝ 800) ＝ P(A)P(B) ＝0.5 ×0.4 ＝ 0.2 ，所以 X 的散布列为X 4 000 2 000 800P 0.3 0.50.2(2) 设 C i表示事件“第i 季收益许多于 2 000 元” (i ＝ 1,2,3) ．由题意知C1， C2， C3互相独立，由(1) 知，P(C i ) ＝ P(X＝ 4 000) ＋ P(X＝ 2 000) ＝0.3 ＋ 0.5 ＝ 0.8(i ＝ 1,2,3) ，3 季的收益均许多于 2 000 元的概率为P(C1C2C3) ＝ P(C1)P(C 2)P(C 3) ＝ 0.8 3＝0.512；3 季中有 2 季收益许多于 2 000 元的概率为P( C1 C2C3) ＋ P(C1 C2 C3) ＋ P(C1C2 C3 ) ＝3×0.8 2×0.2＝0.384，所以，这 3 季中起码有 2 季的收益许多于 2 000 元的概率为0.512 ＋ 0.384 ＝ 0.896.。

第八节 二项分布及其应用1.(2010湖北高考,理4)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记”硬币正面向上”为事件A,”骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B 中至少有一件发生的概率是( ) A.512B.12C.712D.34答案:C解析:事件A,B 中至少有一件发生的概率是 1-P(A B ⋅)7111(1)(1)2612=--⨯-=.1.已知P(B|31)()105A P A =,=,则P(AB)等于 ( )A.12B.32C.23D.350答案:D解析:由P(B|())()()P AB A P AB P A =,= P(B|A) P(A)=33110550⨯=.2.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45,且各次射击相互独立,若按甲、乙、甲、乙……的次序轮流射击,直到有一人击中目标就停止射击,则停止射击时,甲射击了两次的概率是( ) A.380B.920C.925D .19400答案:D解析:分两种情况来考虑(1)甲在第二次射击时命中,结束射击;(2)甲在第二次射击时未命中乙命中,结束射击.∴概率为3191114()45445400⨯+⨯=.3.一口袋内装有5个黄球,3个红球,现从袋中往外取球,每次取出一个,取出后记下球的颜色,然后放回,直到红球出现10次时停止,停止时取球的次数X 是一个随机变量,则P(X=12)= (填计算式). 答案:C1010235()()12884.一张储蓄卡的密码共有6位数,每位数字都可从0 9中任选,某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:(1)按第一次不对的情况下,第二次按对的概率; (2)任意按最后一位数字,按两次恰好按对的概率;(3)若他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次就按对的概率. 解:设事件(12)i A i =,表示第i 次按对密码,2(1)(P A |11)9A =;(2)事件12A A 表示恰好按两次按对密码,则 1212()()(P A A P A P A =|1911)10910A =⨯=;(3)设事件B 表示最后一位是偶数,事件112A A A A =+表示不超过2次就按对密码,因为事件1A 与事件12A A 为互斥事件,由概率的加法公式得,P(A|1)(B P A =|12)(B P A A +|141)554B ⨯=+=⨯25.见课后作业A题组一 条件概率问题1.由”0”、”1” 组成的三位数组中,若用事件A 表示”第二位数字为0”,用事件B 表示”第一位数字为0”,则P(A|B)等于( ) A.12B.13C.14D.18答案:A解析:由题知111()()()224P A P B P AB =,=,=,P(A|B)1()41()122P AB P B ===. 2.据某地区气象台统计,该地区下雨的概率是415,刮三级以上风的概率为215,既刮三级以上风又下雨的概率为110,则在下雨天里,刮三级以上风的概率为 ( )A.8225B.12C.38D.34答案:C解析:记”下雨”为事件A, “刮三级以上风”为事件B,则P(A)= 415()P B ,= 211510()P AB ,=,则所求的概率为P(B|A).于是P(B|1()103)()4815P AB A P A ===. 3.设某种动物从出生算起活20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4.现有一个20岁的这种动物,它能活到25岁以上的概率是. 答案:0.5解析:记”能活到20岁以上”为事件A, “能活到25岁以上”为事件B,则P(A)=0.8,P(B)=0.4,则所求的概率为P(B|A).由于BA ,故A B B ⋂=. 于是P(B|()()04)0()()08P AB P B A P A P A .====..5. 题组二 相互独立事件同时发生的概率问题4.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于. 答案:0.128解析:若该选手恰好回答4个问题晋级,则该选手第3个,第4个问题回答均正确而第2个问题回答一定错误,第1个问题回答正确与否可不计(正确、错误都会因第2个问题回答错误而无法晋级),故其概率为0.20⨯.80⨯.8=0.128. 题组三 独立重复试验与二项分布问题5.在四次独立重复试验中事件A 发生的概率相同,若事件A 至少发生1次的概率是6581,则事件A 在一次试验中出现的概率为( ) A.13 B.25C.56D.以上全不对答案:A解析:设事件A 在一次试验中发生的概率为p,∵事件A 全不发生为事件A 至少发生一次的对立事件,∴有1-C 44465(1)81p -=,即416(1)81p -=.∴213p -=,即13p =.6.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9,则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为 (用数字作答). 答案:0.947 7解析:记共有3人被治愈为事件A,则P(A)=C 34(0.39)(10⨯-.9)=0.291 6;记共有4人被治愈为事件B,则P(B)=(0.49)0=.656 1,故至少有3人被治愈的概率为P(A)+P(B)=0.947 7.7.一位学生每天骑车上学,从他家到学校共有5个交通岗,假设他在每个交通岗遇到红灯是相互独立的,且首末两个交通岗遇红灯的概率均为p,其余3个交通岗遇红灯的概率为12.(1)若23p =,求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率;(2)若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过518,求p 的值.解:(1)记该学生在第i 个交通岗遇到红灯为事件(12i A i =,,3,4,5)且它们相互独立,则这名学生在第三个交通岗第一次遇到红灯为事件123A A A ⋅⋅.又123123()()()()(P A A A P A P A P A ⋅⋅==1-2111)(1)32212-⋅=,所以这名学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率为112.(2)除过首末两个路口,中间三个路口可分别看作三次独立重复试验,记A={该学生没有遇到红灯},B={该学生恰好遇到一次红灯},则A 与B 为互斥事件.P(A)=C 222(1)p -⋅C 332311(1)(1)28p -=-,P(B)=C 222(1)p -⋅C 12311(1)22-+C 12(1)p p -⋅C 3323311(1)(1)(1)284p p p -=-+-,21()()()(1)8P A B P A P B p ⋃=+=-+238(1)p -211(1)(32)44p p p p +-=-+. 故251(32)418p p -+≤,即292780p p -+≤, ∴8133p ≤≤. 又∴0<p<1,所以p 的取值范围为1[1)3,.8.设飞机A 有两个发动机,飞机B 有四个发动机,如有半数或半数以上的发动机没有故障,飞机就能安全飞行.现设各发动机发生故障的概率p 是 t 的函数p=1-etλ-,其中t 为发动机启动后所经历的时间λ,为正常数,试讨论飞机A 与飞机B 哪一个安全(这里不考虑其他故障). 解:设飞机A 能安全飞行的概率为1p ,飞机B 能安全飞行的概率为2p ,则1p =C 12(1)p p -+C 2222(1)1p p -=-,21p =-C 334(1)p p --C 443434414(1)143p p p p p p =---=-+,432222134(341)p p p p p p p p -=-+=-+=2(31)p p -213(1)3()(1)p p p p -=--.又 p=1-etλ-,所以213(1p p -=-e 2)t λ-⋅e t λ-⋅(e 23)t λ--,当1t λ>ln 32时,0<e 2121203tp p p p λ-<,-<,<;当1t λ=ln 32时,e 2121203tp p p p λ-=,-=,=; 当1t λ<ln 32时,e 2121203tp p p p λ->,->,>. 故当1t λ>ln 32时,飞机A 安全;当1t λ=ln 32时,飞机A 与飞机B 一样安全;当1t λ<ln 32时,飞机B 安全.题组四 综合应用9.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是1p ,乙解决这个问题的概率是2p ,那么其中至少有一人解决这个问题的概率是( ) A.12p p + B.12p p C.121p p -D.121(1)(1)p p ---答案:D解析:至少有1人能解决这个问题的对立事件是两人都不能解决,两人解决问题是相互独立的,故所求概率为121(1)(1)p p ---. 10.将4个不相同的小球放入编号为1、2、3的3个盒子中,当某个盒子中球的个数等于该盒子的编号时称为一个和谐盒,则恰有两个和谐盒的概率为 ( ) A.281B.481C.1281D.1681答案:D11.有甲、乙二人按下列规则掷骰子:甲先掷,如果出现1点,则下一次还由甲掷;否则由乙掷,依此类推.设第n 次是甲掷的概率为n p ,第n 次是乙掷的概率为n q ,则下列结论正确的是( )A.112()(2)23n n p n -=-≥B.121(2)36n n p p n -=-+≥C.1121()(2)232n n p n -=-+≥D.12()(2)23nn p n =-≥答案:C解析:随机事件发生的概率满足01p ≤<,而题中选项A, D 的值可能为负数, 选项B 中若11p =,则20p <,故选C.12.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625,则该队员每次罚球的命中率为 . 答案:35解析:设该队员每次罚球的命中率为p,则216125p -=,解得35p =.。

一、选择题1．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2，3)的概率是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫125B ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125C ．C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123D ．C 25C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125 【解析】 质点P 从原点到点(2，3)需右移两次上移三次，故C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125. 【答案】 B2．(2014·广州调研)设事件A 在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A .14B .34C .964D .2764【解析】 假设事件A 在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p ，由题意得，事件A 发生的次数X ～B(3，p)，则有1－(1－p)3＝6364，得p ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＝964. 【答案】 C3．盒中有红球5个，蓝球11个，其中红球中有2个玻璃球，3个木质球；蓝球中有4个玻璃球，7个木质球，现从中任取一球，假设每个球被摸到的可能性相同．若已知取到的球是玻璃球，则它是蓝球的概率为( )A .23B .13C .1116D .516【解析】 记“取到蓝球”为事件A ，“取到玻璃球”为事件B ，则已知取到的球为玻璃球，它是蓝球的概率就是B 发生的条件下A 发生的条件概率，记作P(A|B)．因为P(AB)＝416＝14，P(B)＝616＝38，所以P(A|B)＝P （AB ）P （B ）＝1438＝23.【答案】 A4．如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为( )A .18B .14C .12D .116【解析】 理解事件之间的关系，设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则灯亮应为事件A·C·B ，且A ，C ，B 之间彼此独立，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝12.所以P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝18.【答案】 A5．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎨⎧－1，（第n 次摸取红球），1，（第n 次摸取白球），如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235B ．C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135 C ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫135 D ．C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232 【解析】 由S 7＝3知在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取 白球，而每次摸取红球的概率为23，摸取白球的概率为13，则S 7＝3的概率为C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135.【答案】 B6．某篮球决赛在广东队与山东队之间进行，比赛采用7局4胜制，即若有一队先胜4场，则此队获胜，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以往资料统计，第一场比赛组织者可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元，则组织者在此次决赛中要获得的门票收入不少于390万元的概率为( )A .38B .13C .58D .516【解析】 依题意，每场比赛获得的门票收入数组成首项为40，公差为10的等差数列，设此数列为{a n }，则易知a 1＝40，a n ＝10n ＋30，∴S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （10n ＋70）2.由S n ≥390得n 2＋7n ≥78，∴n ≥6.∴若要获得的门票收入不少于390万元，则至少要比赛6场．①若比赛共进行了6场，则前5场比赛的比分必为2∶3，且第6场比赛为领先一场的球队获胜，其概率P(6)＝2×C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＝516；②若比赛共进行了7场，则前6场胜负为3∶3，其概率P(7)＝2×C 36×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×12＝516.∴门票收入不少于390万元的概率P ＝P(6)＋P(7)＝1016＝58. 【答案】 C 二、填空题7．(2013·九江一模)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．【解析】 记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P(B)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P(A)＝1－P(B)＝1－14＝34.【答案】 348．某人有5把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把．于是，他逐把不重复地试开，则：恰好第三次打开房门锁的概率是________；三次内打开的概率是________．【解析】 5把钥匙，逐把试开有A 55种等可能的结果．(1)第三次打开房门的结果有A44种，因此第三次打开房门的概率P(A)＝A44A55＝15.(2)三次内打开房门的结果有3A44种，因此，所求概率P(A)＝3A44A55＝35.【答案】15359．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝59，则P(Y≥1)＝________．【解析】∵X～B(2，p)，∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C02(1－p)2＝5 9，解得p＝1 3.又Y～B(3，p)，∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C03(1－p)3＝19 27.【答案】19 2710．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的序号)．①P(B)＝2 5；②P(B|A1)＝5 11；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．【解析】根据题意可得P(A1)＝510，P(A2)＝210，P(A3)＝310，可以判断④是正确的；A1，A2，A3为两两互斥事件，P(B)＝P(B|A1)＋P(B|A2)＋P(B|A3)＝510×511＋210×411＋310×411＝922， 则①是错误的；P(B|A 1)＝P （A 1B ）P （A 1）＝510×511510＝511，则②是正确的；同理可以判断出③和⑤是错误的．【答案】 ②④ 三、解答题11．如图，一圆形靶分成A ，B ，C 三部分，其面积之比为1：1：2.某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚．假设他每次投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的．(1)求该同学在一次投掷中投中A 区域的概率；(2)设X 表示该同学在3次投掷中投中A 区域的次数，求X 的分布列； (3)若该同学投中A ，B ，C 三个区域分别可得3分，2分，1分，求他投掷3次恰好得4分的概率．【解析】 (1)设该同学在一次投掷中投中A 区域的概率为P(A)，依题意知P(A)＝14.(2)依题意知，X ～B⎛⎪⎫3，1，从而X 的分布列为：(3)设B i 表示事件“第i 次击中目标时，击中B 区域”，C i 表示事件“第i 次击中目标时，击中C 区域”，i ＝1，2，3.依题意知P ＝P(B 1C 2C 3)＋P(C 1B 2C 3)＋P(C 1C 2B 3)＝3×14×12×12＝316.12．(2014·深圳调研)深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球)．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．(1)设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； (2)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．【解析】(1)ξ的所有可能取值为0，1，2.设“第一次训练时取到i个新球(即ξ＝i)”为事件A i(i＝0，1，2)．∵集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，∴P(A0)＝P(ξ＝0)＝C23C26＝1 5，P(A1)＝P(ξ＝1)＝C13C13C26＝35，P(A2)＝P(ξ＝2)＝C23C26＝1 5.∴ξ的分布列为ξ的数学期望为E(ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.(2)设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B.则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B＋A1B＋A2B.而事件A0B，A1B，A2B互斥，∴P(A0B＋A1B＋A2B)＝P(A0B)＋P(A1B)＋P(A2B)．由条件概率公式，得P(A0B)＝P(A0)P(B|A0)＝15×C13C13C26＝15×35＝325，P(A1B)＝P(A1)P(B|A1)＝35×C12C14C26＝35×815＝825，P(A2B)＝P(A2)P(B|A2)＝15×C11C15C26＝15×13＝115，∴第二次训练时恰好取到一个新球的概率为P(A0B＋A1B＋A2B)＝325＋825＋115＝3875.13．(2014·浙江绍兴模拟)A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为23，服用B 有效的概率为12.(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数．求ξ的分布列和数学期望．【解析】 (1)设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0，1，2.B i 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0，1，2.依题意有P(A 1)＝2×13×23＝49，P(A 2)＝23×23＝49， P(B 0)＝12×12＝14，P(B 1)＝2×12×12＝12.所求的概率为P ＝P(B 0·A 1)＋P(B 0·A 2)＋P(B 1·A 2) ＝14×49＋14×49＋12×49＝49.(2)ξ的可能值为0，1，2，3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，49.P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫593＝125729，P(ξ＝1)＝C 13×49×⎝ ⎛⎭⎪⎫592＝100243，P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫492×59＝80243，P(ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫493＝64729. ξ的分布列为数学期望Eξ＝3×49＝43.。

10.8.2 二项分布及其应用A 级 基础达标1．『2014·石家庄质检』甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是( )A ．0.48B ．0.52C ．0.8D ．0.922．『2014·太原模拟』已知随机变量X 服从二项分布，X ～B (6，13)，则P (X ＝2)等于( )A.316B.4243C.13243D.802433．『2014·厦门质检』甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )A.827B.6481C.49D.894．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.345．『2014·平顶山模拟』已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A.310B.29C.78D.796．在高三的一个班中，有14的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数学成绩优秀的学生数ξ～B (5，14)，则P (ξ＝k )取最大值的k 值为( )A ．0B ．1C ．2D ．37．在国庆期间，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14、15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有一人去北京旅游的概率________．8．已知数列{a n }是单调递增的等差数列，从a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中取走任意三项，则剩下四项依然构成单调递增的等差数列的概率是________．9．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．当已知蓝色骰子的点数为3或6时，则两颗骰子的点数之和大于8的概率为________．10．『2014·烟台模拟』一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字．求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．11．『2014·鹰潭一中联考』小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品(不重复得奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为45，34，23，且每个问题回答正确与否相互独立．(1)求小王过第一关但未过第二关的概率；(2)用X 表示小王所获得奖品的价值，写出X 的概率分布列，并求X 的数学期望． 12．『2014·深圳调研』深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球)．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．(1)设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； (2)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．B 级 知能提升1．『2014·德阳诊断』一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意抽取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是________．2．某篮球决赛在广东队与山东队之间进行，比赛采用7局4胜制，即若有一队先胜4场，则此队获胜，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以往资料统计，第一场比赛组织者可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元，则组织者在此次决赛中要获得的门票收入不少于390万元的概率为________．3．某工厂生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分，指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100个进行检测，检测结果统计如下：(2)生产1个元件A ，若是正品则盈利40元，若是次品则亏损5元；生产1个元件B ，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元．在(1)的前提下，(ⅰ)X 为生产1个元件A 和1个元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；(ⅱ)求生产5个元件B 所得利润不少于140元的概率．解析及答案05限时规范特训A 级 基础达标1．『解析』1－0.2×0.4＝0.92，选D 项．『答案』D2．『解析』已知X ～B (6，13)，P (X ＝k )＝C k np k (1－p )n －k ，当X ＝2，n ＝6，p ＝13时，有P (X ＝2)＝C 26×(13)2×(1－13)6－2＝80243. 『答案』D3．『解析』第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，所以所求的概率为P ＝C 23(23)2×13×23＝827. 『答案』A4．『解析』甲队若要获得冠军，有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率为12，也可以乙队先胜一局，甲队再胜一局，概率为12×12＝14，故甲队获得冠军的概率为14＋12＝34.『答案』D5．『解析』设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730.则所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝730310＝79.『答案』D6．『解析』依题意，C k 5(34)5－k (14)k ≥C k －15(34)5－(k －1)·(14)k －1且C k 5(34)5－k (14)k ≥C k ＋15(34)5－(k ＋1)(14)k ＋1，解得12≤k ≤32，∴k ＝1，故选B.『答案』B7．『解析』依题意，三个人都不去北京旅游的概率为(1－13)(1－14)(1－15)＝25，所以至少有一人去北京旅游的概率为1－25＝35.『答案』358．『解析』从a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中取走任意三项，有C 37＝35种不同方法，剩下四项依然构成单调递增的等差数列的取法有3种，即取走a 1，a 2，a 3；a 5，a 6，a 7；a 2，a 4，a 6.所以所求概率P ＝335.『答案』3359．『解析』本题考查了古典概率，独立事件概率和条件概率． P (A )＝26＝13.∵两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个． ∴P (B )＝1036＝518.当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P (AB )＝536. ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝53613＝512.『答案』51210．『解』设第i 次按对密码为事件A i (i ＝1,2)， 则A ＝A 1∪(A 1A 2)表示不超过2次按对密码． (1)事件A 1与A 1A 2互斥，由概率的加法公式得 P (A )＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＝110＋9×110×9＝15. (2)用B 表示最后一位按偶数的事件， 则P (A |B )＝P (A 1|B )＋P (A 1A 2|B )＝15＋4×15×4＝25.11． 『解』(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为P 1， 则P 1＝(45)2×(14＋34×14)＝725.(2)X 的所有可能取值为0,1000,3000,6000，则P (X ＝0)＝15＋45×15＝925，P (X ＝1000)＝(45)2×(14＋34×14)＝725，P (X ＝3000)＝(45)2×(34)2×『(13)2＋23×(13)2×2』＝775，P (X ＝6000)＝(45)2×(34)2×『(23)2＋C 12(23)2×13』＝415， ∴X 的分布列为∴X 的数学期望E (X )＝0×925＋1000×725＋3000×775＋6000×415＝2160.12． 『解』(1)ξ的所有可能取值为0,1,2.设“第一次训练时取到i 个新球(即ξ＝i )”为事件A i (i ＝0,1,2)． ∵集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球， ∴P (A 0)＝P (ξ＝0)＝C 23C 26＝15，P (A 1)＝P (ξ＝1)＝C 13C 13C 26＝35，P (A 2)＝P (ξ＝2)＝C 23C 26＝15.∴ξ的分布列为ξ的数学期望为E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.(2)设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B .则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A 0B ＋A 1B ＋A 2B .而事件A 0B ，A 1B ，A 2B 互斥，∴P (A 0B ＋A 1B ＋A 2B )＝P (A 0B )＋P (A 1B )＋P (A 2B )． 由条件概率公式，得P (A 0B )＝P (A 0)P (B |A 0)＝15×C 13C 13C 26＝15×35＝325，P (A 1B )＝P (A 1)P (B |A 1)＝35×C 12C 14C 26＝35×815＝825，P (A 2B )＝P (A 2)P (B |A 2)＝15×C 11C 15C 26＝15×13＝115，∴第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 P (A 0B ＋A 1B ＋A 2B )＝325＋825＋115＝3875.B 级 知能提升1．『解析』记事件“甲取到2个黑球”为A ，“乙取到2个黑球”为B ，则有P (B |A )＝P ABP A＝C 28·C 26C 28·C 28＝1528，即事件“甲取到2个黑球，乙也取到2个黑球”的概率是1528. 『答案』15282．『解析』依题意，每场比赛获得的门票收入数组成首项为40，公差为10的等差数列，设此数列为{a n }，则易知a 1＝40，a n ＝10n ＋30，∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (10n ＋70)2.由S n ≥390得n 2＋7n ≥78，∴n ≥6.∴若要获得的门票收入不少于390万元，则至少要比赛6场．①若比赛共进行了6场，则前5场比赛的比分必为2∶3，且第6场比赛为领先一场的球队获胜，其概率P (6)＝C 35×(12)5＝516；②若比赛共进行了7场，则前6场胜负为3∶3，其概率P (7)＝C 36×(12)6＝516.∴门票收入不少于390万元的概率P ＝P (6)＋P (7)＝1016＝58. 『答案』583． 『解』(1)由题意知，元件A 为正品的概率约为40＋32＋8100＝45.元件B 为正品的概率约为40＋29＋6100＝34.(2)(ⅰ)随机变量X 的所有可能取值为90,45,30，－15.P (X ＝90)＝45×34＝35；P (X ＝45)＝15×34＝320；P (X ＝30)＝45×14＝15；P (X ＝－15)＝15×14＝120.所以，随机变量X 的分布列为数学期望E (X )＝90×35＋45×320＋30×15＋(－15)×120＝66.(ⅱ)设生产的5个元件B 中正品有n 个，则次品有(5－n )个． 依题意，得50n －10(5－n )≥140，解得n ≥196，所以n ＝4或n ＝5.设“生产5个元件B 所得利润不少于140元”为事件A ， 则P (A )＝C 45(34)4×14＋(34)5＝81128.。

《二项分布及其应用》练习题一、单选题1．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%， 已知一学生语文不及格，则他数学也不及格的概率是 ( ) A ．0.2 B ．0.33 C ．0.5 D ．0.62．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．353．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到两个数均为偶数”，则()|P B A = ( )A ．18B ．14C ．25D ．124．已知P (B )>0，A 1A 2＝∅，则下列成立的是( )A ．P (A 1|B )>0 B ．P (A 1∪A 2|B )＝P (A 1|B )＋P (A 2|B )C ．P (A 12A )≠0D ．()12P A A ＝15．设A 与B 是相互独立事件，则下列命题中正确的命题是( )A ．A 与B 是对立事件 B ．A 与B 是互斥事件C ．A 与B 不相互独立D ．A 与B 是相互独立事件 6．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有1人解决这个问题的概率是A ．12p pB ．1221(1)(1)p p p p -+-C ．121p p -D ．121(1)(1)p p ---7．袋中有大小相同的3个红球，7个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取得红球的概率是 ( )A ．15B ．13C ．38D ．378．已知()13P B A =，()25P A =，则()P AB 等于( ) A ．56 B ．910C ．215D ．1159．设A,B 为两个事件，且P(A)>0，若P(AB)=13，P(A)=23，则P(B|A)= ( )A ．B ．C ．D ．10．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，在已知第一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是A ．14B ．34C ．12 D ．1811．下列说法正确的是( )A ．()()PB A P AB < B ．()()()P B P B A P A =是可能的 C ．()()()P AB P A P B =⋅ D ．()0P A A =12．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )A ．56B ．34C ．23D ．1313．有一匹叫Harry 的马，参加了100场赛马比赛，赢了20场，输了80场．在这100场比赛中，有30场是下雨天，70场是晴天,在30场下雨天的比赛中，Harry 赢了15场．如果明天下雨，Harry 参加赛马的胜率是A ．15B ．12 C ．34D ．310 14．盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（ ）A ．35B ．110C ．59D ．2515．一袋中装有5只白球,3只黄球,在有放回地摸球中,用A 1表示第一次摸得白球,A 2表示第二次摸得白球,则事件A 1与2A 是( )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件16．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( ) A ．0.02 B ．0.08 C ．0.18 D ．0.7217．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )A ．119B ．1718 C ．419D ．21718．某种电子元件用满3000小时不坏的概率为34，用满8 000小时不坏的概率为12，现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是( )A ．34B ．23C ．12 D ．1319．若()34P A =，()12P B A =，则()P A B ⋂等于( ) A ．23 B ．38 C ．13 D ．5820．如图所示，两个圆盘都是六等分，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A ．49B ．29 C ．23 D ．1321．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A ．12p pB ．1221(1)(1)p p p p -+-C ．121p p -D ．121(1)(1)p p ---二、填空题22．以集合{}2,4,6,7,8,11,12,13A＝中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，已知取出的一个数是12，则取出的数构成可约分数的概率是______．23．如图,J A ,J B 两个开关串联再与开关J C 并联,在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.5,计算在这段时间内线路正常工作的概率为___.24．在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．25．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为__________． 26．已知A 、B 、C 相互独立，如果()16P AB =，()18P BC =，()18P ABC =，()P AB =_________. 27．一个袋中装有7个大小完全相同的球，其中4个白球，3个黄球，从中不放回地摸4次，一次摸一球，已知前两次摸得白球，则后两次也摸得白球的概率为________． 28．某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A ＝_______，()P A B ＝__________三、解答题29．现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为34,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为23,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立,假设该射手完成以上三次射击. (1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列.30．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。

第8讲 二项分布及其应用1．2.事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )P (B )．②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立．1．若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝14，则P (EF )的值等于________．答案：1162．设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)等于________． 答案：5161．辨明两个易误点(1)两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．(2)P (B |A )是在A 发生的条件下B 发生的概率，而P (A |B )是在B 发生的条件下A 发生的概率．2．理解事件中常见词语的含义：(1)A ，B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ； (2)A ，B 都发生的事件为AB ；(3)A ，B 都不发生的事件为A －B －；(4)A ，B 恰有一个发生的事件为A B －∪A －B ； (5)A ，B 至多一个发生的事件为A B －∪A －B ∪A －B －. [做一做]3．已知P (B |A )＝12，P (AB )＝38，则P (A )等于( )A.316 B.1316 C.34D.14解析：选C.由P (AB )＝P (A )P (B |A )，可得P (A )＝34.4．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34解析：选C.依题意，得P (A )＝12，P (B )＝16，且事件A ，B 相互独立，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率为1－P (A －·B －)＝1－P (A －)·P (B －)＝1－12×56＝712，故选C.考点一__条件概率____________________________如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________．[解析] 依题意得，P (A )＝2×2π＝2π，P (AB )＝12×1×1π＝12π，则由条件概率的意义可知，P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝14.[答案] 14[规律方法] 条件概率的两种求解方法： (1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P （AB ）P （A ）求P (B |A )．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n （AB）n （A ）.1.在10个球中有6个红球和4个白球(除颜色外完全相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸到红球的条件下，求第二次也摸到红球的概率．解：记A 表示“第二次摸到红球”，B 表示“第一次摸到红球”，则A |B 表示“第一次摸到红球，第二次又摸到红球”．法一：直接利用A |B 的含义求解．由题意，事件B 发生后，袋中还有9个球，其中5个红球，4个白球，则A 发生的概率为59，即P (A |B )＝59. 法二：用公式求解．P (B )＝610＝35，而AB 表示两次都摸到红球，则P (AB )＝C 26C 210＝13，所以P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝1335＝59. 考点二__相互独立事件的概率__________________(2014·高考陕西卷)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此(1)设X (2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．[解] (1)设A 表示事件“作物产量为300 kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4，∵利润＝产量×市场价格－成本． ∴X 所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000，500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000，300×6－1 000＝800.P (X ＝4 000)＝P (A －)P (B －)＝(1－0.5)×(1－0.4) ＝0.3，P (X ＝2 000)＝P (A －)P (B )＋P (A )P (B －) ＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2， 所以X 的分布列为(2)设C i 表示事件“第i 季利润不少于2 000元”(i ＝1，2，3)，由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝4 000)＋P (X ＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1，2，3)， 3季的利润均不少于2 000元的概率为P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季利润不少于2 000元的概率为P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896. [规律方法] 求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．(2)正面计算较繁琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．2.(2015·湖北武汉调研)某次飞镖比赛中，规定每人至多发射三镖．在M 处每射中一镖得3分，在N 处每射中一镖得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止发射，否则发射第三镖．某选手在M 处的命中率q 1＝0.25，在N 处的命中率为q 2.该选手选择先在M(1)求随机变量X 的分布列；(2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率的大小．解：(1)设该选手在M 处射中为事件A ，在N 处射中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，且P (A )＝0.25，P (A －)＝0.75，P (B )＝q 2，P (B －)＝1－q 2.根据分布列知：当X ＝0时，P (A － B － B －)＝P (A －)P (B －)P (B －)＝0.75(1－q 2)2＝0.03， 所以1－q 2＝0.2，q 2＝0.8.当X ＝2时，P 1＝P (A － B B －＋A －B － B )＝P (A －)P (B )P (B －)＋P (A －)P (B －)P (B )＝0.75q 2(1－q 2)×2＝0.24，当X ＝3时，P 2＝P (A B －B －)＝P (A )P (B －)P (B －) ＝0.25(1－q 2)2＝0.01， 当X ＝4时，P 3＝P (A －BB )＝P (A －)P (B )P (B )＝0.75q 22＝0.48， 当X ＝5时，P 4＝P (A B －B ＋AB )＝P (A B －B )＋P (AB ) ＝P (A )P (B －)P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.25q 2(1－q 2)＋0.25q 2＝0.24. 所以随机变量X 的分布列为：(2)该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率为0.48＋0.24＝0.72. 该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率为 P (B －BB ＋B B －B ＋BB )＝P (B －BB )＋P (B B －B )＋P (BB )＝2(1－q 2)q 22＋q 22＝0.896.所以该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率大． 考点三__独立重复试验与二项分布(高频考点)____独立重复试验与二项分布是高中数学的重要内容，也是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，试题难度较大，多为中高档题目．高考对独立重复试验与二项分布的考查主要有以下两个命题角度： (1)已知二项分布，求二项分布列；(2)已知随机变量服从二项分布，求某种情况下的概率．(2014·高考四川卷节选)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列．(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ [解] (1)X 可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有 P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1，2，3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.[规律方法] (1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)二项分布满足的条件：①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．3.某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．解：令X 表示5次预报中预报准确的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫5，45，故其分布列为P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫45k ⎝⎛⎭⎫1－455－k(k ＝0，1，2，3，4，5)．(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P (X ＝2)＝C 25×⎝⎛⎭⎫452×⎝⎛⎭⎫1－453＝10×1625×1125≈0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝1－C 05×⎝⎛⎭⎫450×⎝⎛⎭⎫1－455－C 15×45×⎝⎛⎭⎫1－454＝1－0.000 32－0.006 4≈0.99. (3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C 14×45×⎝⎛⎭⎫1－453×45≈0.02.方法思想——辨明事件的属性，正确求解概率的综合问题(2014·高考山东卷)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为 35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．[解] (1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)， 则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16.记B j 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为j 分”(j ＝0，1，3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性，得 P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋P (A 0)P (B 3) ＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310， 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6，由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝13×15＋16×35＝16，P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12×15＋16×15＝215，P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝1130，P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ的分布列为：所以数学期望E (ξ)＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.[名师点评] 对于概率问题的综合题，首先要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次判断事件是A ＋B 还是AB 事件，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解．甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床生产的正品率是0.9，乙机床生产的正品率是0.95.(1)从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率(用数字作答)；(2)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率(用数字作答)．解：(1)任取甲机床生产的3件产品中恰有2件正品的概率为p ＝C 23×0.92×0.1＝0.243. (2)法一：设“任取甲机床生产的1件产品是正品”为事件A ，“任取乙机床生产的1件产品是正品”为事件B ，则任取甲、乙两台机床生产的产品各1件，其中至少有1件正品的概率为：P (AB )＋P (A B －)＋P (A －B )＝0.9×0.95＋0.9×0.05＋0.1×0.95＝0.995.法二：设“任取甲机床生产的1件产品是正品”为事件A ，“任取乙机床生产的1件产品是正品”为事件B ，运用对立事件的概率公式，可知所求的概率为：1－P (A － B －)＝1－0.1×0.05＝0.995.1．(2015·包头模拟)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是( )A.12125 B.16125 C.48125D.96125解析：选C.用X 表示发芽的粒数，独立重复试验服从二项分布X ～B ⎝⎛⎭⎫3，45，P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫452⎝⎛⎭⎫151＝48125.2．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45 解析：选A.已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P ＝0.60.75＝0.8.3．(2015·广州调研)设事件A 在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A.14B.34C.964D.2764解析：选C.假设事件A 在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p ，由题意得，事件A 发生的次数X ～B (3，p )，则有1－(1－p )3＝6364，得p ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝⎛⎭⎫1－342＝964.4．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.12解析：选B.P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (B )＝C 22C 25＝110，又A ⊇B ，则P (AB )＝P (B )＝110，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝P （B ）P （A ）＝14. 5．如果X ～B ⎝⎛⎭⎫15，14，则使P (X ＝k )取最大值的k 值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．3或4 解析：选D.观察选项，采用特殊值法． ∵P (X ＝3)＝C 315⎝⎛⎭⎫143⎝⎛⎭⎫3412，P (X ＝4)＝C 415⎝⎛⎭⎫144⎝⎛⎭⎫3411， P (X ＝5)＝C 515⎝⎛⎭⎫145⎝⎛⎭⎫3410， 经比较，P (X ＝3)＝P (X ＝4)＞P (X ＝5)，故使P (X ＝k )取最大值时k ＝3或4.6．事件A ，B ，C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B －C )＝18，P (AB C －)＝18，则P (B )＝________，P (A －B )＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）·P （B ）＝16，P （B －）·P （C ）＝18，P （A ）·P （B ）·P （C －）＝18， 得P (A )＝13，P (B )＝12.∴P (A －B )＝P (A －)P (B )＝23×12＝13.答案：12 137．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率都为13，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (ξ＝4)＝________．解析：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，即有P (ξ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k×⎝⎛⎭⎫235－k，k ＝0，1，2，3，4，5.故P (ξ＝4)＝C 45⎝⎛⎭⎫134×⎝⎛⎭⎫231＝10243. 答案：102438．已知甲有5张红卡、2张蓝卡和3张绿卡，乙有4张红卡、3张蓝卡和3张绿卡．他们分别从自己的10张卡片中任取一张进行打卡游戏比赛．设事件A 1，A 2，A 3表示甲取出的一张卡分别是红卡、蓝卡和绿卡；事件B 表示乙取出的一张卡是红卡，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝13；②P (A 1|B )＝23；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是彼此相互独立的事件；⑤A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件．解析：因为P (B )＝410＝25，所以①错误；因为事件B 与事件A 1相互独立，所以P (A 1|B )＝P (A 1)＝510＝12，所以②错误，③正确；A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件，所以④错误，⑤正确．答案：③⑤9．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P (A )，P (B )，P (AB )；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．解：(1)P (A )＝26＝13.∵两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个． ∴P (B )＝1036＝518.当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P (AB )＝536. (2)由(1)知P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝53613＝512.10．在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名考生选做每一道题的概率均为12.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布列．解：(1)设事件A 表示“甲选做第21题”，事件B 表示“乙选做第21题”，则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB ＋A －B －”，且事件A 、B 相互独立．故P (AB ＋A － B －)＝P (A )P (B )＋P (A －)P (B －) ＝12×12＋(1－12)×(1－12)＝12. (2)随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4， 且ξ～B (4，12)．则P (ξ＝k )＝C k 4(12)k (1－12)4－k ＝C k 4(12)4(k ＝0，1，2，3，4)． P (ξ＝0)＝C 04(12)4＝116， P (ξ＝1)＝C 14(12)4＝14，P (ξ＝2)＝C 24(12)4＝38， P (ξ＝3)＝C 34(12)4＝14， P (ξ＝4)＝C 44(12)4＝116. 故变量ξ1．某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动，活动规则如下：顾客消费额每满100元就可抽一次奖，例如：顾客消费额为299元可抽奖两次，所得奖金金额是两次抽奖获得的奖金金额的和．顾客每一次抽奖，得100元奖金的概率为110，得50元奖金的概率为15，得10元奖金的概率为710.(1)如果某位顾客恰好消费了100元，并按规则参与抽奖活动，求该顾客得到的奖金金额不低于20元的概率；(2)假设某位顾客消费额为230元，并按规则参与抽奖活动，所获得的资金金额为X (元)，求X 的分布列．解：设顾客抽奖一次，获得奖金为100元、50元、10元分别为事件A 、B 、C ，根据题意得P (A )＝110，P (B )＝15，P (C )＝710.(1)如果某位顾客恰好消费了100元，根据规则，该顾客可抽一次奖，得到的奖金金额不低于20元为事件“A ∪B ”，根据题意得P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝310，∴该顾客得到的奖金金额不低于20元的概率为310.(2)假设某位顾客消费额为230元，由题意，该顾客可抽奖两次，设所获得的奖金金额为X (元)，则X 的所有可能取值为：20，60，100，110，150，200.根据题意得：P (X ＝20)＝P (C )P (C )＝49100；P (X ＝60)＝2P (B )P (C )＝725；P (X ＝100)＝P (B )P (B )＝125；P (X ＝110)＝2P (A )P (C )＝750；P (X ＝150)＝2P (A )P (B )＝125；P (X ＝200)＝P (A )P (A )＝1100.故X 的分布列为：2.(2015·四川成都模拟)某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为13.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．(1)设X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列； (2)若目标被击中2次，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P (A )．解：(1)依题意知X ～B (4，13)，P (X ＝0)＝C 04(13)0(1－13)4＝1681， P (X ＝1)＝C 14(13)1(1－13)3＝3281， P (X ＝2)＝C 24(13)2(1－13)2＝2481， P (X ＝3)＝C 34(13)3(1－13)1＝881， P (X ＝4)＝C 44(13)4(1－13)0＝181. 即X(2)设A i 表示事件“第一次击中目标时，击中第i 部分”，i ＝1，2.B i 表示事件“第二次击中目标时，击中第i 部分”，i ＝1，2.依题意知P (A 1)＝P (B 1)＝0.1， P (A 2)＝P (B 2)＝0.3，A ＝A 1B －1∪A －1B 1∪A 1B 1∪A 2B 2， 所求的概率为P (A )＝P (A 1B －1)＋P (A －1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B －1)＋P (A －1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 2)·P (B 2)＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28.3．一个口袋中有2个白球和n 个红球(n ≥2，且n ∈N *)，每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球放回袋中)，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．(1)试用含n 的代数式表示一次摸球中奖的概率； (2)若n ＝3，求三次摸球恰有一次中奖的概率；(3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为f (p )，当n 为何值时，f (p )取最大值？解：(1)一次摸球从n ＋2个球中任选两个，有C 2n ＋2种选法，其中两球颜色相同有C 2n ＋C 22种选法，因此一次摸球中奖的概率为C 2n ＋C 22C 2n ＋2＝n 2－n ＋2n 2＋3n ＋2.(2)若n ＝3，则一次摸球中奖的概率为25，三次摸球是独立重复试验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是C 13·25·(1－25)2＝54125. (3)设一次摸球中奖的概率是p ，则三次摸球恰有一次中奖的概率是f (p )＝C 13·p ·(1－p )2＝3p 3－6p 2＋3p ，0＜p ＜1.∵f ′(p )＝9p 2－12p ＋3＝3(p －1)(3p －1)，∴f (p )在(0，13)上是增函数，在(13，1)上是减函数，∴当p ＝13时，f (p )取最大值，∴p ＝n 2－n ＋2n 2＋3n ＋2＝13(n ≥2，且n ∈N *)，∴n ＝2.故n ＝2时，f (p )取最大值．。

专题10.6 二项分布及其应用A 基础巩固训练1. 将三颗骰子各掷一次，设事件A 为“三个点数都不相同”，事件B 为“至少出现一个6点”，则概率P （A|B ）的值为( ) A ．6091 B ．12 C ．518 D ．91216【答案】A2. 已知随机变量X ～B(n ，0.8)，D(X)=1.6，则n 的值是( ) A ．8B ．10C ．12D ．14【答案】B【解析】由106.12.08.0)1()(=⇒=⨯=-=n n p np X D ,故选B.3. 设某种产品分两道工序生产，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的次品率为3%．生产这种产品只要有一道工序出次品就出次品，则该产品的次品率是( )A ．0．13B ．0．03C ．0．127D ．0．873 【答案】C4. 一批产品的二等品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次， X 表示抽到的二等品件数，则DX =__________． 【答案】2.91【解析】由于是有放回的抽样，所以是二项分布()~100,0.03X B ，1000.030.97 2.91DX npq ==⨯⨯=,填2.91.5.【2016山东模拟】一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的。

（Ⅰ）从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；（Ⅱ）一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”（每次操作完成后将球放回），某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。

【解析】（Ⅰ）设从袋子中任意摸出3个球, 摸出的球均为白球的概率是P343101.30C P C == 4分（Ⅱ）由一次”摸球成功”的概率32166431023C C C P C +==． 8分 随机变量ξ服从二项分布)2,3(B ,分布列如下 12分272E ξ=． 13分．B 能力提升训练1. ．在一个投掷硬币的游戏中，把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B|A)等于( ) A.12 B.14 C.16 D.18【答案】A2. 某一批花生种子，若每1粒发芽的概率为35，则播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为（ ）. A. 18125 B. 36125 C.48125 D.54125【答案】D【解析】由题意得，发芽种子的粒数),(~p n B X ，其中53,3==p n ；则播下3粒种子恰有2粒发芽的概率12554)531()53()2(223=-⨯⨯==C X P . 3. 某人射击，一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（结论写成小数的形式） _________ ． 【答案】0.648.【解析】由题意，得：经过3次射击中击中目标的次数为X ，则)6.0,3(~B X ，所以此人至少有两次击中目标的概率为648.04.06.04.06.0)3()2(0333223=⨯⨯+⨯⨯==+==C C X P X P P .4. 已知随机变量ξ服从二项分布1~6,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则(2)P ξ=的值为 .【答案】802435. 春节期间，某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品进行促销活动. （1）试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率；（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高100元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会；若中一次奖，则获得数额为m 元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为3m 元的奖金；若中3次奖，则共获得数额为6m 元的奖金.假设顾客每次抽奖中奖的概率都是13，请问：商场将奖金数额m 最高定位多少元，才能使促销方案对商场有利？C 思维扩展训练1. 一个电路如图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F 为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.164 B.5564 C.18D.116【答案】B【解析】设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为T ，E 与F 至少有一个不闭合的事件为R ，则P (T )＝P (R )＝1－12×12＝34，所以灯亮的概率P ＝1－P (T )P (R )P (C )P (D )＝5564.2. 甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为________． 【答案】343.在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0．9，0．9，0．8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（ ）A. 0．998B. 0．046C. 0．002D. 0．954 【答案】D4.在5道题中有3道历史类，两道诗词鉴赏类，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到历史题的条件下，第二次抽到历史类问题的概率为 _________ ． 【答案】21【解析】思路1:在第一次抽到历史题的条件下,剩下四道题中两道历史类，两道诗词鉴赏类抽一道为历史类的概率为21;思路2:在第一次抽到历史题记为事件A ，第二次抽到历史类问题记为事件B,则21)()()|(15132523===C C C C A P AB P A B P ,所以答案为21.5. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为求：（1）甲恰好击中目标2次的概率；（2）乙至少击中目标2次的概率； （3）乙恰好比甲多击中目标2次的概率 【答案】（1）（2）;（3）试题解析：（1）甲恰好击中目标2次的概率为 （2）乙至少击中目标2次的概率为（3）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A ，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B 1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B 2，则A=B 1+B 2，B 1，B 2为互斥事件 P （A ）=P （B 1）+P （B 2）所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为X 的数学期望为 13()355E X =⨯=.。

高考数学提分秘籍 必练篇 二项分布及其应用1.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) A.310 B.29C.78D.79解析：设事件A 为“第1次抽到是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝2190＝730.在已知第1次抽到螺口灯泡的条件下，第2次抽到卡口灯泡的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝730310＝79.答案：D2．设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________________．解析：由题意知，P (AB )＝310，P (B |A )＝12，∴P (A )＝P (AB )P (B |A )＝31012＝35.答案：353．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．解析：设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件AB (发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9.根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 答案：0.724.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( ) A.5960 B.35C.12 D.160解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15.因此，他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P ＝1－23×34×45＝35.答案：B5．如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率 都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为( )A.18B.14C.12D.116解析：理解事件之间的关系，设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则灯亮应为事件ACB －，且A ，C ，B 之间彼此独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，所以P (AB －C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝18. 答案：A6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率． 解：(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )＝413428310C C C C +213646310C C C C +＝23. P (B )＝213828310C C C C +＝1415. (2)因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝(1－23)(1－1415)＝145，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P ＝1－P (A －·B －)＝1－145＝4445.7.向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A ．(12)3B ．25C (12)5C ．35C (12)3D ．25C 35C (12)5解析：质点由原点移动到(2,3)，需要移动5次，且必须有2次向右，3次向上，所以质点的移动方法有25C 种，而每一次移动的概率都是12，所以所求的概率等于25C (12)5.答案：B8．2009年12月底，一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被该考生正确做出的概率都是34.(1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；(2)若该考生至少正确作出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．解：(1)记“该考生正确做出第i 道题”为事件A i (i ＝1,2,3,4)，则P (A i )＝34，由于每一道题能否被正确做出是相互独立的，所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率为P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝34×34×14＝964. (2)记“这名考生通过书面测试”为事件B ，则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道题或4道题，故P (B )＝34C ×(34)3×14＋44C ×(34)4＝189256.9.在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为________．解析：A 至少发生一次的概率为6581，则A 的对立事件A ：事件A 都不发生的概率为1－6581＝1681＝(23)4，所以，A 在一次试验中出现的概率为1－23＝13. 答案：1310．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； (3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？解：(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A 1.由题意，射击4次，相当于作4次独立重复试验．故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)4＝6581，所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为6581.(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝24C ×(23)2×(1－23)42－＝827，P (B 2)＝34C ×(34)3×(1－34)43－＝2764.由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝P (A 2)·P (B 2)＝827×2764＝18.所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为18.(3)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中”为事件D i (i ＝1,2,3,4,5)，则A 3＝D 5D 4·D 3·(D 2D 1)，且P (D i )＝14.由于各事件相互独立，故P(A3)＝P(D5)·P(D4)·P(D3)·P(D2D1)＝14×14×34×(1－14×14)＝451 024.所以乙恰好射击5次后被中止射击的概率为451 024.。

一、选择题1．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.34B.23C.35D.12解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34.答案：A2．位于直角坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，则质点P 移动五次后位于点(1,0)的概率是( )A.4243 B.8243 C.40243D.80243解析：依题意得，质点P 移动五次后位于点(1,0)，则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，因此所求的概率等于C 25·(13)2·(23)3＝80243.答案：D3．(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18 B.14 C.25D.12解析：P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P ABP A ＝110410＝14.答案：B4．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥2)的值为( )A.3281B.1127C.6581D.1681解析：因为随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，又P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－p )2＝59，解得p ＝13，所以η～B (4，13)，则P (η≥2)＝1－P (η＝0)－P (η＝1)＝1－(1－13)4－C 14(1－13)3(13)＝1127. 答案：B5．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )A.5960B.35C.12D.160解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15.因此，他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P ＝1－23×34×45＝35.答案：B6．(2012·广州模拟)箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )A.16625B.96625C.624625D.4625解析：依题意得某人能够获奖的概率为1＋5C 26＝25(注：当摸的两个球中有标号为4的球时，此时两球的号码之积是4的倍数，有5种情况；当摸的两个球中有标号均不是4的球时，此时要使两球的号码之积是4的倍数，只有1种情况)，因此所求概率等于C 34·(25)3·(1－25)＝96625.答案：B 二、填空题7．某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率为________(用数值作答)．解析：P ＝C 310(12)3(1－12)7＝15128.答案：151288．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________．解析：设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品；事件B ：乙实习生加工的零件为一等品，则P (A )＝23，P (B )＝34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为：P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×(1－34)＋(1－23)×34＝512.答案：5129．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件．解析：由题意知P (B )的值是由A 1，A 2，A 3中某一个事件发生所决定的，故①③错误； ∵P (B |A 1)＝P A 1BP A 1＝12×51112＝511，故②正确；由互斥事件的定义知④正确，故正确结论的编号是②④. 答案：②④三、解答题10．某种植企业同时培育甲、乙两个品种的杉树幼苗，甲品种杉树幼苗培育成功则每株获利润80元，培育失败，则每株亏损20元；乙品种杉树幼苗培育成功则每株获利润150元，培育失败，则每株亏损50元．统计数据表明：甲品种杉树幼苗培育成功率为90%，乙品种杉树幼苗培育成功率为80%.假设每株幼苗是否培育成功相互独立．(1)求培育3株甲品种杉树幼苗成功2株的概率；(2)记X 为培育1株甲品种杉树幼苗与1株乙品种杉树幼苗可获得的总利润，求X 的分布列．解：(1)P ＝C 23×0.92×(1－0.9)＝0.243. (2)ξ的可能取值为230,130,30，－70.ξ的分布列为即：11．(2012·皖南八校联考)一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片．(1)从盒中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数的概率；(2)若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为偶数的概率；(3)从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当抽到记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X 的分布列和期望．解：(1)因为1,3,5是奇数，2,4是偶数，设事件A 为“两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数” P(A )＝C 13·C 12C 25＝35或P (A )＝1－C 23＋C 22C 25＝35.(2)设B 表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”，由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为25，则P (B )＝C 23·(25)2·(1－25)＝36125.(3)依题意，X 的可能取值为1,2,3. P(X ＝1)＝35，P(X ＝2)＝2×35×4＝310，P(X ＝3)＝2×1×35×4×3＝110，所以X 的分布列为E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.12．(2011·山东高考改编)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列．解：(1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D －，E －，F －分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5， 由对立事件的概率公式知P (D －)＝0.4，P (E －)＝0.5，P (F －)＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：DEF －，DE －F ，D －EF ，DEF . 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (DE －F )＋P (D －EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知D －E －F 、D －EF －、DE －F －是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P (ξ＝0)＝P (D －E －F －)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (D －E －F )＋P (D －EF －)＋P (DE －F －)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为。