【重点推荐】2019高中数学 第三章 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学案 新人教A版必修4

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式疱工巧解牛知识•巧学 一、倍角公式1.公式的推导：倍角公式是和角公式的特例，只要在和角公式中令α=β，就可得出相应的倍角公式.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ−−→−=βα令sin2α=2sinαcosα；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ−−→−=βα令cos2α=cos 2α-sin 2α.由于sin 2α+cos 2α=1，显然，把sin 2α=1-cos 2α代入cos2α=cos 2α -sin 2α，得cos2α=cos 2α-sin 2α=cos 2α-(1-cos 2α)=2cos 2α-1. 同理，消去cos 2α，得cos2α=1-2sin 2α. tan(α+β)=αααβαβαβα2tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan -=−−→−•-+=令. 综上，我们把公式叫做二倍角公式.2.二倍角公式中角α的范围由任意角的三角函数的定义可知S 2α、C 2α中的角α是任意的，但公式T 2α即tan2α=αα2tan 1tan 2-中的角是有条件限制的. 要使tan2α有意义，需满足1-tan 2α≠0且tanα有意义.当tanα有意义时，α≠2π+kπ(k∈Z )；当1-tan 2α≠0，即tanα≠±1时，α≠±4π+kπ(k∈Z ).综上,可知要使T 2α有意义，需α≠±4π+kπ且α≠2π+kπ(k∈Z ).特别地，当α=2π+kπ(k∈Z )时，虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值，可用诱导公式进行，即tan2(2π+kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0. 学法一得 二倍角的切函数是用单角的切函数表示出来的，它的角α除了使解析式有意义外，还应使函数自身也有意义. 3.倍角公式中的倍角是相对的二倍角公式不仅仅可用于将2α作为α的2倍的情况，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，4α是2α的二倍角，3α是23α的二倍角，2α是4α的二倍角，3α是6α的二倍角等. 在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时，无论正用还是逆用，都可直接使用这一公式.例6cos6sin23sinααα=，6cos 26sin 6cos 3cos222αααα=-=-1=1-2sin26α；sin3α·cos3α=21 (2sin3αcos3α)=21sin6α；cos 22α-sin 22α=cos4α；ααα3sin 4123cos 23sin 21=；︒-︒35tan 135tan 22=tan70°等. 4.倍角公式的几种变形形式(sinα±cosα)2=1±sin2α；1+cos2α=2cos 2α；1-cos2α=2sin 2α；cos 2α=22cos 1α+；sin 2α=22cos 1α-. 学法一得 我们常把1+co sα=2cos 22α，1-cosα=2sin 22α称为升幂换半角公式，利用该公式消去常数项，便于提取公因式化简三角函数式；把cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-称为降幂换倍角公式，利用该公式能使之降次，便于合并同类项化简三角函数式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.对于该公式不仅要会正用，还应会逆用和变用.5.倍角公式与和角公式的内在联系只有理清公式的来龙去脉及公式的变形形式，才能及时捕捉到有价值的信息，完成问题的解答. 典题•热题知识点一 直接应用倍角公式求值 例1 求下列各式的值：(1)2sin15°sin105°；(2)︒-15sin 731432；(3)︒-︒5.22tan 15.22tan 2；(4)12cos24cos 24sin πππ. 解：(1)原式=2sin15°·sin(90°+15°)=2sin15°cos15°=sin30°=21.(2)原式=143(1-2sin 215°)=143cos30°=283323143=⨯. (3)原式=.2112145tan 215.22tan 15.22tan 2212=⨯=︒=︒-︒•. (4)原式=8121416sin 4112cos 12sin 21=⨯==πππ.方法归纳 倍角公式中的角是相对的，对它应该有广义上的理解，即112cos 2sin22++=n n nααα(n∈N *)，12sin 2cos 2cos212+-=+n n nααα(n∈N *)，1212tan 12tan 22tan++-=n n nααα (n∈N *).知识点二 利用倍角公式给值求值例2 已知x∈(2π-，0)，cosx=54，则tan2x 等于( ) A.247 B.247- C.724 D.724- 思路分析：运用三角函数值在各个象限的符号及倍角公式求解. 解法一：∵x∈(2π-，0)，cosx=54， ∴sinx=53)54(1cos 122-=--=--x . 由倍角公式sin2x=2sinxcosx=2524-，cos2x=2cos 2x-1=2×(54)2-1=257. 得tan2x=7242cos 2sin -=x x .解法二：∵x∈(2π-，0)，cosx=54，∴sinx=53)54(1cos 122-=--=--x .∴tanx=43cos sin -=x x . ∴tan2x=724)43(1)43(2tan 1tan 222-=---⨯=-xx . 答案：D方法归纳 ①解好选择题的关键在于能否针对题目的特点，选择合理而适当的解法，最忌对任何题目都按部就班地演算求解，小题大做，应力求做到“小题小做”“小题巧做”. ②像这种从题目的条件出发，通过正确地运算推理，得出结论，再与选择肢对照确定选项的方法叫做定量计算法；像这样通过对题干和选择肢的关系进行观察、分析，再运用所学知识，通过逻辑推理作出正确选择的方法叫做定性分析法. 例3 已知sin(4π+α)sin(4π-α)=161，α∈(2π，π)，求sin4α的值.思路分析：要求sin4α的值，根据倍角公式可知只需求出sin2α、cos2α的值或sinα、cosα的值即可.由于(4π+α)+(4π-α)=2π，可运用二倍角公式求出cos2α的值. 解：由题设条件得sin(4π+α)sin(4π-α)=sin(4π+α)cos［2π-(4π-α)］ =sin(4π+α)cos(4π+α)=21sin(2π+2α)=21cos2α=61，∴cos2α=31.∵α∈(2π，π)，∴2α∈(π，2π).又∵cos2α=31>0，∴2α∈(23π，2π).∴sin2α=322)31(12cos 122-=--=--α. ∴sin4α=2sin2α·cos2α=2×92431)322(-=⨯-. 例4 已知cos(4π+x)=53，47127ππ<<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.思路分析：由于结论中同时含有切、弦函数，所以可先对结论切化弦，化简后不难发现，只需求出sin2x 和tan(4π+x)的值即可，注意到2(4π+x)=2π+2x ，这样通过诱导公式就容易找到sin2x 同cos(4π+x)的关系了. 解：∵47127ππ<<x ，∴πππ2465<+<x .又∵cos(4π+x)=53>0，∴23π＜4π+x ＜2π.∴sin(4π+x)=54)53(1)4(cos 122-=--=+--x π，345354)4cos()4sin()4tan(-=-=++=+x x x πππ.∵sin2x=-cos2(4π+x)=1-2cos 2(4π+x)=25725181=-， ∴原式=x x x x x x x x x x x xx x x sin cos )sin (cos 2sin sin cos cos sin 2cos 2sin cos sin 1sin 22sin 22-+=-•+•=-+7528)34(257)4tan(2sin tan 1tan 12sin -=-⨯=+•=-+•=x x x x x π.例5 在△ABC 中，已知AB=AC=2BC(如图3-1-10)，求角A 的正弦值.图3-1-10思路分析：由于所给三角形是等腰三角形，所以可通过底角的三角函数值或顶角一半的三角函数值来求解.解：作AD⊥BC 于点D ，设∠BAD=θ，那么A=2θ.∵BD=21BC=41AB ，∴sinθ=41=AB BD . ∵0＜2θ＜π，∴0＜θ＜2π.于是cosθ=415)41(1sin 122=-=-θ. 故sinA=sin2θ=2sinθcosθ=815415412=⨯⨯. 巧解提示:作AD⊥BC 于点D ，∵BD=21BC=41AB,又∵AB=AC， ∴∠B=∠C.∴cosB=cosC=41=AB BD . ∵0＜B ＜2π，∴sinB=415.又∵A+B+C=π，∴A=π-(B+C)=π-2B. ∴sinA=sin(π-2B)=sin2B=2sinBcosB=815414152=⨯⨯. 方法归纳 在△ABC 中，由于A+B+C=π，所以A=π-(B+C)，222CB A +-=π.由诱导公式可知：sinA=sin(B+C)；cosA=-cos(B+C)；tanA=-tan(B+C)；2cot2tan ;2sin 2cos ;2cos 2sinC B A C B A C B A +=+=+=. 任意变换A 、B 、C 的位置，以上关系式仍然成立. 例6 已知sin 22α+sin2αcosα-cos2α=1，α∈(0，2π)，求sinα、tanα的值. 思路分析：已知是二倍角，所求的结论是单角；已知复杂，结论简单，因此可从化简已知入手，推出求证的结论.解：把倍角公式sin2α=2sinαcosα，cos2α=2cos 2α-1代入已知得 4sin 2αcos 2α+2sinαcos 2α-2cos 2α=0， 即2cos 2α(2sin 2α+sinα-1)=0， 即2cos 2α(2sinα-1)(sinα+1)=0.∵α∈(0，2π)，∴sinα+1≠0，cos 2α≠0. ∴2sinα-1=0，即sinα=21.又∵α∈(0,2π),∴α=6π.∴tanα=33.知识点三 利用倍角公式化简三角函数式例7 利用三角公式化简sin50°(1+3tan10°).思路分析：本题给我们的感觉是无从下手，很难看出有什么公式可直接利用.从角的角度去分析，10°、50°除了它们的和60°是特殊角外，别无特点；从函数名称的角度去分析，由于该式子有弦，有切，我们可从化切为弦入手去尝试解决，转化成弦函数.通分后出现asinθ+bcosθ的形式，由于3是一特殊角的三角函数值，可把它拼凑成两角和(差)的正、余弦展开式的形式逆用公式求值.若把50°转化成(60°-10°)从同一角入手，也可以求值. 解：原式=sin(60°-10°)(1+3tan10°)=(23cos10°-21sin10°)(1+3tan10°) =23cos10°+23cos10°tan10°-21sin10°-23sin10°tan10° =23cos10°+sin10°-23sin10°·tan10°=23(cos10°-︒︒10cos 10sin 2)+sin10° =︒︒︒+︒•=︒+︒︒•10cos 10cos 10sin 33220cos 2310sin 10cos 20cos 23 ︒︒+︒••=︒︒+︒•=10cos 20sin 2120cos 233322310cos 20sin 3320cos 23180sin 80sin 10cos 80sin 10cos 20sin 60cos 20cos 60sin =︒︒=︒︒=︒︒︒+︒︒=.巧解提示:原式=︒︒+︒•︒=︒︒+︒10cos )10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin ︒︒︒+︒︒︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2110cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin 40cos 2=︒︒=︒︒=︒︒︒=.方法归纳 对于三角整式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对二次根式，要设法使被开方数升次，通过开方进行化简.另外，还可用切割化弦、变量代换、角度归一等方法.对于形如1±sinα、1±cosα的形式，我们可采取升幂换半角的形式，消去常数项1，通过提取公因式化简有理式或通过开方化简无理式. 例8 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值. 解：由于cos60°=21，所以原式=21cos20°cos40°cos80° ︒︒︒︒︒•=20sin 80cos 40cos 20cos 20sin 21 ︒︒︒•=︒︒︒︒•=20sin 80cos 80sin 8120sin 80cos 40cos 40sin 41 16120sin 160sin 161=︒︒•=. 方法归纳 对于可化为cosαcos2αcos4α…cos2n-1α(n∈N 且n>1)的三角函数式，由于它们的角是以2为公比的等比数列，可将分子、分母同乘以最小角的正弦，运用二倍角公式进行化简.巧解提示:此外，本题也可构造一对偶式求解. 设M=cos20°·cos40°·cos60°·cos80°， N=sin20°·sin40°·sin60°·sin80°， 则MN=161sin40°·sin80°·sin120°·sin160° =161sin20°·sin40°·sin60°·sin80° =161N ，∴M=161,即cos20°·cos40°·cos60°·cos80°=161. 知识点四 利用倍角公式证明三角恒等式例9 求证：θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+. 证明：原式等价于1+sin4θ-cos4θ=αθ2tan 1tan 2-(1+sin4θ+cos4θ)， 即1+sin4θ-cos4θ=tan2θ(1+sin4θ+cos4θ). ① 而①式右边=tan 2θ(1+cos4θ+sin4θ)=θθ2cos 2sin(2cos 22θ+2sin2θcos2θ)=2sin2θcos2θ+2sin 22θ =sin4θ+1-cos4θ=左边.所以①式成立，原式得证. 例10 求证：︒=︒-︒10sin 3240cos 140sin 322. 思路分析：由于分母是三角函数值平方的形式，通分后转化成3cos 240°-sin 240°，按平方差公式展开得(3cos40°+sin40°)(3cos40°-sin40°)，恰好是两个辅助角公式的形式，可运用三角函数的和差公式求值；此外，也可对它的分母降幂换倍角进行化简. 证明：左边=︒•︒︒-︒︒+︒=︒︒︒-︒40cos 40sin )40sin 40cos 3)(40sin 40cos 3(40cos 40sin 40sin 40cos 32222222)40cos 40sin 2()40sin 2140cos 23(2)40sin 2140cos 23(24︒︒︒-︒⨯︒+︒⨯=︒︒︒-︒︒︒︒+︒︒=80sin )40sin 60cos 40cos 60)(sin 40sin 60cos 40cos 60(sin 162︒︒-︒︒+︒=80sin )4060sin()4060sin(162 ︒=︒︒︒⨯=︒︒=︒︒︒=10sin 3210cos 10cos 10sin 21680sin 20sin 1680sin 20sin 100sin 162=右边， 所以原式成立.方法归纳 对于三角函数式的化简、求值和证明，可从角的角度、运算的角度或函数名称的角度去考虑，其中通过通分，提取公因式、约分、合并同类项等运算的手法去化简是非常必要的.例11 已知3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：cos(α+2β)=0.思路分析：从求证的结论看，cos(α+2β)的展开式中含有cosα、cos2β、sinα、sin2β这样的函数值.由已知条件结合倍角公式的特点，恰好能转化出cos2β、sin2β这样的函数值.证明：由3sin 2α+2sin 2β=1，得1-2sin 2β=3sin 2α，∴cos2β=3sin 2α. 又∵sin2β=23sin2α， ∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα·3sin 2α-sinα·23sin2α=23sinαsin 2α-23sinαsin2α=0.方法归纳 首先观察条件与结论的差异，从解决某一差异入手.确定从结论开始，通过变换将已知条件代入得出结论；或通过变换已知条件得出结论；或同时将条件与结论变形，直到找到它们间的联系.如果上述方法都难奏效的话，可采用分析法；如果已知条件含有参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法，等等. 问题•探究 材料信息探究问题 倍角和半角公式：sinα=2tan12tan22αα+，cosα=2tan12tan 122αα+-，tanα=2tan12tan 22αα-，这组公式称为“万能公式”，那么“万能公式”是怎样来的？它真的是“万能”的吗？探究过程:万能公式是一组用tan2α来表示sinα、cosα和tanα的关系式. 这组公式可以利用二倍角公式推导，其中正切tanα=2tan 12tan22αα-，可以由倍角公式直接获得；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再分子、分母同除以cos 22α可得： 2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2sin 222ααααααααα+=+==， 2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos cos 22222222ααααααααα+-=+-=-=. 这组“万能公式”为一类三角函数的求值提供了一座方便可行的桥梁，如要计算cosα或sin(α+β)的值，可以先设法求得tan2α或2tan βα+的值.由于公式中涉及角的正切，所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义.探究结论:所谓的“万能”，是说不论角α的哪一种三角函数，都可以表示成tan 2α的有理式，这样就可以把问题转化为以tan 2α为变量的“一元有理函数”，即如果令tan 2α=t ，则sinα、cosα和tanα均可表达为关于t 的分式函数，这就实现了三角问题向代数问题的转化，为三角问题用代数方法求解提供了一条途径.如tan15°+cot15°=tan15°+=︒+︒=︒15tan 115tan 15tan 12430sin 2115tan 15tan 222=︒=+︒︒，就较方便的解决了问题.再如求函数2sin cos +=x x y 的值域.令t x =2tan ，则t∈R ，利用万能公式有sinx=212t t +,cosx=2211t t +-，所以=+++-=21211222tt t t y 222221t t t ++-，由此可以建立关于t 的一次或二次函数(2y+1)t 2+2yt+2y-1=0，进一步分类讨论可得函数的值域.。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式整体设计一、教学分析“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α=β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”.在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改精神.二、教学目标1．知识与技能：通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2．过程与方法：通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神.三、重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.四、课时安排1课时五、教学设想（一）导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sinα=53,α∈(2,π),求sin2α，cos2α的值.学生会很容易看出：sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式.（二）推进新课、新知探究、提出问题①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写)②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？③在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos 2( )-sin 2( ).⑦思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sinα吗？cos2α=2cosα吗？tan2α=2tanα？活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉.（S 2α）;cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsi 2α-sin 2α(C 2α); tan(α+β)=)(tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan 22ααααβαβαT -=⇒-+ 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③，点拨学生结合sin 2α+cos 2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.问题④,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.问题⑤,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠21kπ+4π和α≠kπ+2π(k ∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当α=kπ+2π,k ∈Z 时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2a 是4a 的二倍,3α是23a 的二倍,3a 是6a 的二倍，2π-α是4π-2a 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.例如:sin 2a =2sin 4a cos 4a ,cos 3a =cos 26a -sin 26a 等等. 问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α=21sin6α，4sin 4a cos 4a =2(2sin 4a cos 4a )=2sin 2a ,40tan 140tan 22-=tan80°，cos 22α-sin 22α=cos4α，tan2α=2tanα(1-tan 2α)等等. 问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.若sin2α=2sinα,则2sinαcosα=2sinα,即sinα=0或cosα=1,此时α=kπ(k ∈Z ).若cos2α=2cosα,则2cos 2α-2cosα-1=0,即cosα=231-(cosα=231+舍去). 若tan2α=2tanα,则aa 2tan 1tan 2-=2tanα,∴tanα=0,即α=kπ(k ∈Z ). 解答：①—⑧（略）（三）应用示例思路1例1 已知sin2α=135,4π<α<2π,求sin4α,cos4α,tan4α的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成.解:由4π<α<2π,得2π<2α<π. 又∵sin2α=135, ∴cos2α=a 2sin 12--=1312)135(12-=--. 于是sin 4α=sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α=2×135×(1312-)=169120-; cos4α=cos[2×(2α)]=1-2sin 22α=1-2×(135)2=129119; tan4α=a a 4cos 4sin =(-169120)×119169=119120-. 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.变式训练1.不查表,求值解:原式=2615cos 15sin 215sin )15cos 15(sin 222=++=+点评：本题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力.2.(2007年高考海南卷,9) 若22)4sin(2cos -=-πa a,则cosα+sinα的值为 A.27- B.21- C.21 D.27 答案:C3.(2007年高考重庆卷,6) 下列各式中,值为23的是( ) A.2sin15°-cos15° B.cos 215°-sin 215° C.2sin 215°-1 D.sin 215°+cos2答案:B例2 证明θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+=tanθ. 活动：先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解.教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等.对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发.点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励.强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它.证明:方法一:左=)1cos 21(cos sin 2)cos 211(cos sin 2)2cos 1(2sin )2cos 1(2sin 22-++-++=+-+θθθθθθθθθθ =θθθθθθ22cos cos sin cos 1cos sin +-+ =θθθθθθ22cos cos sin sin cos sin ++ )cos (sin cos )sin (cos sin θθθθθθ++=tanθ=右. 所以,原式成立.方法二:左=θθθθθθθθθθθθθθ22222222222cos 22sin sin 22sin sin cos 2sin cos sin cos sin sin cos sin ++=-+++-+++=)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2θθθθθθ++=tanθ=右. 方法三:左=)sin (cos )cos sin 2cos (sin )sin (cos )cos sin 2cos (sin 2cos )2sin 1(2cos )2sin 1(22222222θθθθθθθθθθθθθθθθ-+∙++--∙++=++-+ =)sin )(cos sin (cos )cos (sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 22θθθθθθθθθθθθ-+++-+-+ =)sin cos cos )(sin cos (sin )cos sin cos )(sin cos (sin θθθθθθθθθθθθ-+++-+++ =θθθθθθcos 2)cos (sin sin 2)cos (sin ∙+∙+=tanθ=右. 点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点.在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是.思路2例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题.本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式.教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式.并点拨学生结合诱导公式思考.学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°,40°,60°,80°余弦的积,其中60°是特殊角,很容易发现40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考虑逆用二倍角公式.解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20° =20sin 2280cos 40cos 20cos 20sin 233∙∙ =.16120sin 1620sin 20sin 16160sin == 点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律.例2 在△ABC 中,cosA=54,tanB=2,求tan(2A+2B)的值. 活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性,同时也是和与差公式的应用问题.教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题,会带来一些隐含的条件,如A+B+C=π,0<A<π,0<B<π,0<C<π,就是其中的一个隐含条件.可先让学生讨论探究，教师适时点拨.学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系.由于对2A+2B 与A,B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路,所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别.不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预.在学生自己尝试解决问题后,教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结.基础较好的班级还可以把求tan(2A+2B)的值改为求tan2C 的值.解：方法一:在△ABC 中,由cosA=54,0<A<π,得 sinA=.53)54(1cos 122=-=-A 所以tanA=A A cos sin =53×45=43, tan2A=724)43(1432tan 1tan 222=-⨯=-A A 又tanB=2,所以tan2B=.342122tan 1tan 222-=-⨯=-B B 于是tan(2A+2B)=.17744)34(7241347242tan 2tan 12tan 2tan =-⨯--=-+B A B A 方法二:在△ABC 中,由cosA=54,0<A<π,得 sinA=.53)54(1cos 122=-=-A 所以tanA==A A cos sin 53×45=43.又tanB=2, 所以tan(A+B)=2112431243tan tan 1tan tan -=⨯-+=-+B A B A 于是tan(2A+2B)=tan[2(A+B)] =.11744)211(1)211(2)(tan 1)tan(222=---⨯=+-+B A B A 点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用,本质上没有区别,其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考,以拓展学生的视野.变式训练 化简：.4sin 4cos 14sin 4cos 1aa a a +-++ 解：原式＝aa a a a a 2cos 2sin 22sin 22cos 2sin 22cos 222++ =)2cos 2(sin 2sin 2)2sin 2(cos 2cos 2a a a a a a ++=cot2α.（四）知能训练(2007年高考四川卷,17) 已知cosα=71,cos(α-β)=1413,且0<β<α<2π, (1)求tan2α的值;(2)求β.解:(1)由cosα=71,0<α<2π,得sinα=a 2cos 1-=.734)71(12=- ∴tanα=a a cos sin =17734⨯=43.于是tan2α=.4738tan 1342tan 1tan 222-=-⨯--aa a (2)由0<α<β<2π,得0<α-β<2π. 又∵cos(α-β)=1413,∴sin(α-β)=.1433)1413(1)(cos 122=-=--βa 由β=α-(α-β),得cosβ=cos ［α-(α-β)］=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=71×1413+1433734⨯=21. ∴β=3π. 点评:本题主要考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值求角以及计算能力.（五）课题小结1.先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.(高考全国卷Ⅱ，理2)函数y=sin2xcos2x 的最小正周期是( )A.2πB.4πC.4π D.2π 解析：y=sin2xcos2x=21sin4x,所以最小正周期为T=42π=2π.答案：D2.(高考全国卷Ⅱ，理10)若f(sinx)=3-cos2x ，则f(cosx)等于( )A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x解析：f(sinx)=3-(1-2sin 2x)=2sin 2x+2,所以f(x)=2x 2+2.因此f(cosx)=2cos 2x+2=(2cos 2x-1)+3=3+cos2x. 答案：C3.已知α为锐角，且sinα∶sin 2α=8∶5，则cosα的值为( ) A.2512 B.258 C.257 D.54 解析：由2sin2cos2sin 22sin sin ααααα==2cos 2α=58，得cos 2α=54， cosα=2cos 22α-1=2×(54)2-1=257. 答案：C4.求下列各式的值：(1)cos 12πcos 125π=______________； (2)(cos 12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π)=______________；(3)21-cos 28π=______________； (4)-32+34cos 215°=______________；(5)︒-︒5.22tan 15.22tan 2=_________________解析：(1)原式=cos 12πsin 12π=21sin 6π=41；(2)原式=cos212π-sin 212π=cos 6π=23； (3)原式=21-(2cos 28π-1)=21-cos 4π=42-；(4)-32+34cos 215°=32(2cos 215°-1)=32cos30°=33；(5)原式=21tan45°=21. 答案：(1)41 (2)23 (3)42- (4)33 (5)2110分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.若tanx=2，则tan2(x-4π)等于( ) A.34 B.-34 C.43 D.43- 解析：tan(2x-2π)=-tan(2π-2x)=-cot2x=x 2tan 1-,而tan2x=4122-⨯=-34,∴原式=43.答案：C2.当0＜x ＜2π时，函数f(x)=x x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为( )A.2B.32C.4D.34解析：f(x)=x x x x cos sin 2sin 8cos 222+=x tan 1+4tanx≥42=4，当且仅当tanx=21时，取“=”.答案：C3.化简cos72°cos36°=________________. 解析：原式=︒︒=︒︒︒=︒︒•︒︒36sin 4144sin 36sin 472sin 72cos 236sin 236sin 236cos 72cos =41. 答案：414.在△ABC 中，tanA+tanB+33+tanAtanB 且sinAcosA=43，判断三角形的形状. 解：由sinAcosA=43，得21sin2A=43，即sin2A=23， ∴2A=60°或120°.∴A=30°或60°.又由tanA+tanB=3-(1-tanAtanB)，得tan(A+B)=3tan tan 1)tan tan 1(3-=---BA B A ，∴A+B=120°.当A=30°时，B=90°，tanB 无意义，∴A=60°,B=60°，即三角形为等边三角形. 5.平面上两塔相距120 m ，一人分别在两塔的底部测得一塔顶的仰角为另一塔顶仰角的2倍，又在两塔底的连线中点测得两塔顶的仰角互余.求两塔的高.解析：如图所示，设两塔的高分别为x m 、y m ，且∠ADB=α，∠AMB=θ.由题意，得∠CBD=2α，∠AMC=90°， ∠AMB=∠MCD=θ， 所以x=60tanθ，y=θtan 60， x=120tan α，y=120tan2α.所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.12012,360022x x y xy 解得x=40，y=90.答：两塔高分别是90 m 和40 m.6.(2006高考北京卷，理15)已知函数f(x)=xx cos )42sin(21π--， (1)求f(x)的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tanα=-34，求f(α)的值. 解：(1)由cosx≠0,得x≠kπ+2π(k ∈Z ). 故f(x)的定义域为{x|x≠kπ+2π,k ∈Z }.(2)因为tanα=54-,cosα=53，且α为第四象限的角，所以sinα=54-,cosα=53.故f(α)=αααααααπαcos 2cos 2sin 1cos )2cos 222sin 22(21cos )42sin(21+-=--=--=ααααcos cos sin 2cos 22-=2(cosα-sinα)=514. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.已知θ是第三象限的角，若sin 4θ+cos 4θ=95，那么sin2θ等于( ) A.322 B.322- C.32 D.-32解析：(sin 2θ+cos 2θ)2=sin 4θ+cos 4θ+2sin 2θcos 2θ=sin 4θ+cos 4θ+21(sin2θ)2，而(sin 2θ+cos 2θ)2=1，可以得到sin2θ=±322，又由于θ是第三象限的角，所以sin2θ=322. 答案：A2.已知tanα=71，tanβ=2π，0＜α＜β＜2π,则α+2β等于( ) A.45π B.4π C.45π或4π D.47π解析：∵tan2β=43tan 1tan 2=-ββ，∴tan(α+2β)=28314371-+=1.∵tanα=71＜1,∴0＜α＜4π.tan2β=43＜1,∴0＜2β＜4π.∴0＜α+2β＜43π.∴α+2β=4π.答案：B3.(2006高考上海卷，理17)求函数y=2cos(x+4π)cos(x-4π)+3sin2x 的值域和最小正周期.解：y=2(cosxcos4π-sinxsin 4π)(cosxcos 4π-sinxsin 4π)+3sin2x =cos 2x-sin 2x+3sin2x=cos2x+3sin2x=2sin(2x+6π).∴原函数的值域是［-2,2］，周期T=22π=π. 4.化简︒-+︒+10sin 110sin 1. 解：原式=︒︒-︒+︒+︒︒+︒+︒5cos 5sin 25cos 5sin 5cos 5sin 25cos 5sin 2222=|sin5°+cos5°|+|sin5°-cos5°|=sin5°+cos5°+cos5°-sin5°=2cos5°. 5.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解：原式=21cos20°cos40°cos80° =︒︒︒=︒︒︒=︒︒︒︒︒20sin 1680cos 80sin 2880cos 40cos 40sin 220sin 480cos 40cos 20cos 20sin 2 =16120sin 16160sin =︒︒. 6.已知sin 22α+sin2αcos α-cos2α=1，α∈(0,2π)，求sin α,tan α.解：由题意知4sin 2αcos 2α+2sin αcos 2α-2cos 2α=0，即2cos 2α(2sin α-1)(sin α+1)=0. 又α∈(0,2π)，∴sinα+1≠0,cos 2α≠0. 由2sin α-1=0得sin α=21，∴α=6π,tan α=33.7.已知sin(α-4π)=1027，cos2α=257，求sin α及tan(α+3π).解：由sin(α-4π)=1027,得22(sin α-cos α)=1027，即sin α-cos α=57. ① 又由cos2α=257得cos 2α-sin 2α=257，即(cos α+sin α)(cos α-sin α)=257，∴cosα+sin α=-51. ②由①②得sin α=53，cos α=54-,∴tanα=-43.tan(α+3π)=1132548343344331433tan 313tan -=+-=+-=-+αα. 8.当x∈［-2π,2π］时，求f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的周期、最大值及此时的x 值. 解：f(x)=1+cos2x+1+sin2x=2sin(2x+4π)+2.周期T=π.当x ∈［-2π,2π］时，2x+4π∈［-43π,45π］,sin(2x+4π)∈［-1,1］. ∴f(x)∈［22-,22+］.∴f(x)max =22+.由2x+4π=2k π+2π得x=k π+8π. 又∵x∈［-2π,2π］，∴x=8π,即当x=8π时，f(x)的最大值为22+.9.(2006高考安徽卷，理17)已知43π＜α＜π,tanα+cosα=310-.(1)求tanα的值；(2)求)4sin(282cos 112cos2sin82sin 522πααααα--++的值.解：(1)∵tanα+cosα=310-,∴3tan 2α+10tanα+3=0,解得tanα=-31或tanα=-3.∵43π＜α＜π,∴-1＜tanα＜0.∴tanα=-31.(2)∵tanα=-31,∴)4(sin 282cos 112cos2sin82sin 522παααααα--++=451tan 3tan 4cos sin 82cos 16sin 4)2cos 2(sin 522-=-+=--+•+++αααααααα. 10.(2006高考四川卷，理17)已知A 、B 、C 是△ABC 三内角，向量m =(-1,3)，n =(cosA,sinA),且m ·n =1. (1)求角A ； (2)若BB B22sin cos 2sin -+1=-3，求tanC. 解：(1)∵m ·n =1,∴(-1,3)·(cosA,sinA)=1,即3sinA-cosA=1,2(sinA·23-cosA·21)=1,sin(A-6π)=21. ∵0＜A ＜π,-6π＜A-6π＜65π,∴A-6π=6π.∴A=3π.(2)由题知BB B B 22sin cos cos sin 21-+=-3，整理得sin 2B-sinBcosB-2cos 2B=0. ∵cosB≠0,∴tan 2B-tanB-2=0. ∴tanB=-2或tanB=-1.而tanB=-1使cos 2B-sin 2B=0，舍去. ∴tanB=2.∴tanC=tan［π-(A+B)］=-tan(A+B)=11358321322tan tan 1tan tan +=-+⨯-=-+-B A B A .。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（二）课堂导学三点剖析1.二倍角公式在证明题中的应用【例1】 求证:x x cos 22sin （1+tanx·tan 2x ）=tanx. 思路分析：本题的目标是把等式的左端统一成角x 的正切函数.可能用的公式有sin2x=2sinxcosx ，tan 2x =x x x x x x x sin cos 12cos 2sin 22sin 22cos 2sin2-==. 证法1：左端=x x x cos 2cos sin 2（1+xx x x sin cos 1cos sin -•) =sinx （1+xx cos cos 1-） =xx cos sin =tanx=右端. 证法2：左端=x x x x x x x x x x x x x x x cos sin 2tan 2cos cos 2sin cos 2cos sin 2)2tan(2tan tan cos 22sin =••=--• =x x cos sin =tanx=右端. 温馨提示证明恒等式就是要根据所证等式两端的特征（结构、名称、角度等）来选择最佳方法，本题就是抓住左右两端的次数差异作为突破口，使问题得以解决.2.二倍角公式在化简题中的应用【例2】 已知函数f （x ）=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x.（1）求f （x ）的最小正周期；（2）若x∈［0，2π］，求f （x ）的最大值，最小值. 解：（1）因为f （x ）=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=（cos 2x+sin 2x ）（cos 2x-sin 2x ）-sin2x =cos2x-sin2x=2cos （2x+4π），所以f （x ）的最小正周期T=22π=π. （2）因为0≤x≤2π，所以4π≤2x+4π≤π45. 当2x+4π=4π时，cos （2x+4π）取得最大值22； 当2x+4π=π时，cos （2x+4π）取得最小值-1. 所以f （x ）在［0，2π］上的最大值为1， 最小值为2-.温馨提示（1）将cos2x-sin2x 变形为sin （4π-2x ），也会有同样的结果; （2）像这类高次三角函数，首先利用倍角公式通过降幂化为y=Asin （ωx+φ）或y=Acos （ωx+φ）（A ，ω，φ均为常数，A ＞0）的形式，然后再求周期和最值.3.公式的综合、灵活运用【例3】 已知函数f （x ）=3-sin 2x+sinxcosx （1）求f （625π）的值； （2）设α∈（0，π），f （2α）=41-23，求sinα的值 解：（1）∵sin 625π=21，cos 625π=23， ∴f（625π）=-3sin 2625π+sin 625πcos 625π=0 （2）f （x ）=23cos2x-23+21sin2x ∴f（2α）=23cos α+21sin α-23=41-23， 16sin 2α-4sin α-11=0解得sin α=8531±. ∵α∈（0，π），∴sinα＞0故sinα=8531+ 温馨提示要注意公式变形的重要性，不能死记公式，更不能只会正用，同时逆用、变形也要学会只有灵活运用公式，才能灵活解决问题各个击破类题演练1求证：3+cos4α-4cos2α=8sin 4α.证法1：∵左边=2+1+cos4α-4cos2α=2+2cos 22α-4cos2α=2（cos 22α-2cos2α+1）=2（cos2α-1）2=2（-2sin 2α）2=8sin 4α=右边.∴等式成立.证法2：右边=2×4sin 4α=2（1-cos2α）2=2（1-2cos2α+cos 22α）=2-4cos2α+2cos 22α =2-4cos2α+1+cos4α=3+cos4α-4cos2α=左边.∴等式成立.变式提升1 求证:.tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 12θθθθθθ-++=-+ 证明：左边=θθθtan 24sin )4cos 1(+- =θθθθθcos sin 22cos 2sin 22sin 22+=θθθθθsin sin cos 2)2cos 2(sin 2+ =2cos 2θ（sin2θ+cos2θ） 右边=θθθ2tan 14sin )4cos 1(-++ =θθθθθθ2222cos sin cos 2cos 2sin 22cos 2•-+ =θθθθθ2cos 2cos )2sin 2(cos 2cos 2•+ =2cos 2θ（sin2θ+cos2θ）∴左边=右边，故等式成立.类题演练2设函数f （x ）=sin 2x+3sinxcosx+α， （1）写出函数f （x ）的单调递增区间;（2）求f （x ）的最小正周期.解：（1）f （x ）=2322cos 1+-x sin2x+a =23sin2x-21cos2x+a+21 =sin （2x-6π）+a+21, 2k π-2π≤2x -6π≤2kπ+2π，k∈Z ， k π-6π≤x≤kπ+3π,k∈Z , ∴f（x ）的单调递增区间是［kπ-6π，kπ+3π］，k∈Z （2）T=222πωπ==π， ∴f（x ）的最小正周期为π.变式提升2已知函数y=sin2x-2（sinx+cosx ）+a 2设t=sinx+cosx ，t 为何值时，函数y 取得最小值；解：∵t=sinx+cosx=2sin （x+4π），-2≤t≤2， ∴t 2=1+2sinxcosx=1+sin2x ，sin2x=t 2-1，∴y=t 2-1-2t+a 2=（t-1）2+a 2-2∵-2≤t≤2，∴当t=1时，函数y 取得最小值a 2-2类题演练3 已知α为第二象限角，且sinα=415，求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 解：∵sinα=415，α为第二象限角，∴cosα=-41. ∴sin2α=2sinαcosα=815-. ααπαπαααπα2cos 22sin 4sin cos 4cos sin 12cos 2sin )4sin(++=+++ =151230)41(28152241224152--=-⨯+-⨯-⨯ =.2151)115(2-=--变式提升3函数f （x ）=sin 2（x+4π）-sin 2（x-4π）是（ ） A.周期为π的偶函数 B.周期为π的奇函数C.周期为2π的偶函数D.周期为2π的奇函数解析：f （x ）=2)22cos(12)22cos(1ππ---+-x x =22sin 122sin 1x x --+=sin2x.∴T=22 =π,f（x ）为奇函数. 答案：B。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式预习课本P132～134，思考并完成以下问题(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式是什么？公式如何推导？(2)S2α，C2α，T2α中角α的取值范围分别是什么？[新知初探]二倍角公式[点睛](1)二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍，α是α2的二倍等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想．(2)对于S 2α和C 2α，α∈R ，但是在使用T 2α时，要保证分母1－tan 2α≠0且tan α有意义，即α≠k π＋π4且α≠k π－π4且α≠k π＋π2(k ∈Z)．当α＝k π＋π4及α＝k π－π4(k ∈Z)时，tan 2α的值不存在；当α＝k π＋π2(k ∈Z)时，tan α的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求tan 2α.(3)倍角公式的逆用更能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用，如sin 3αcos 3α＝12sin6α.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (3)对任意角α，总有tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( )★答案★：(1)× (2)√ (3)×2．已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( )A.75 B.125 C.1225 D.2425★答案★：D3．计算cos 215°－sin 215°结果等于( ) A.12 B.22 C.33D.32 ★答案★：D 4．已知cos α＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin 2α＝________，cos 2α＝________，tan 2α＝________.★答案★：120169 119169 120119[典例](1)sin π12cosπ12；(2)1－2sin2750°；(3)2tan 150°1－tan2150°；(4)cos 20°cos 40°cos 80°.[解](1)原式＝2sinπ12cosπ122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝1 2.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝1 8.此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或逆用公式较为简单．而(4)小题通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得问题中可连用正弦二倍角公式，所以在解题过程中要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运用公式及其变形，从而使问题迎刃而解．[活学活用]求下列各式的值．(1)sin π8sin3π8；(2)cos215°－cos275°；(3)2cos25π12－1；(4)tan 30°1－tan230°.解：(1)∵sin 3π8＝sin⎝⎛⎭⎫π2－π8＝cosπ8，∴sin π8sin3π8＝sinπ8cosπ8＝12·2sinπ8cosπ8＝12sinπ4＝24.(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝3 2.(3)2cos25π12－1＝cos5π6＝－32.(4)tan 30°1－tan 230°＝12×2tan 30°1－tan 230°＝12tan 60°＝32.[典例] 化简：(1)11－tan θ－11＋tan θ；(2)2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.[解] (1)原式＝(1＋tan θ)－(1－tan θ)(1－tan θ)(1＋tan θ)＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ.(2)原式＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π2－π4－α＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫2×π4－2α＝cos 2αcos 2α＝1.(1)化简三角函数式的常用方法：①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次． (2)化简三角函数式的常用技巧： ①特殊角的三角函数与特殊值的互化；②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；③对于二次根式，注意倍角公式的逆用； ④利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等；⑤利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等． [活学活用]化简：(1)1＋sin 20°＋1－sin 20°； (2)1＋sin 4α＋cos 4α1＋sin 4α－cos 4α. 解：(1)原式＝sin 210°＋cos 210°＋2sin 10°cos 10°＋ sin 210°＋cos 210°－2sin 10°cos 10° ＝(sin 10°＋cos 10°)2＋(sin 10°－cos 10°)2 ＝|sin 10°＋cos 10°|＋|sin 10°－cos 10°| ＝sin 10°＋cos 10°＋cos 10°－sin 10° ＝2cos 10°.(2)原式＝1＋2sin 2αcos 2α＋2cos 22α－11＋2sin 2αcos 2α＋2sin 22α－1＝2cos 22α＋2cos 2αsin 2α2sin 22α＋2sin 2αcos 2α＝2cos 2α(cos 2α＋sin 2α)2sin 2α(sin 2α＋cos 2α)＝1tan 2α.[典例] 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． [解] ∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725.∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725 ＝－31250.[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，求cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值．解：原式＝cos 2α－sin 2αsin π4cos α＋cos π4sin α＝2(cos α－sin α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝65. 2．[变条件，变设问]若本例条件变为：若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝35，求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的值．解：由sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝35， 得sin x cos π6－cos x sin π6＝35，两边平方，得12sin 2x ＋14－34sin 2x ＝925， ∴12·1－cos 2x 2＋14－34sin 2x ＝925， 即sin 2x ·32＋cos 2x ·12＝725，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝725.解决给值求值问题的方法给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．层级一 学业水平达标1．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13.2．化简tan 14°1－tan 214°·cos 28°的结果为( )A.sin 28°2B ．sin 28°C ．2sin 28°D ．sin 14°cos 28° 解析：选A tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12×2tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12tan 28°·cos 28°＝sin 28°2，故选A.3．已知α为第三象限角，且cos α＝－55，则tan 2α的值为( ) A ．－43B.43 C ．－34D ．－2解析：选A 由题意可得，sin α＝－1－cos 2 α＝－255，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，故选A.4．已知cos x ＝－14，x 为第二象限角，那么sin 2x ＝( )A ．－154B ．±158C ．－158D.158解析：选C 因为cos x ＝－14，x 为第二象限角，所以sin x ＝154，所以sin 2x ＝2sin x cosx ＝2×154×⎝⎛⎭⎫－14＝－158，故选C. 5．设sin α＝13，2π<α<3π，则sin α2＋cos α2＝( )A ．－233B.233C.43D ．－33解析：选A ∵sin α＝13，∴⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43. 又2π<α<3π，∴π<α2<3π2，∴sin α2＋cos α2＝－233.6．已知tan x ＝2，则tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝________. 解析：∵tan x ＝2， ∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x＝－43. tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x ＝34.★答案★：347．已知sin α－2cos α＝0，则sin 2α＝________. 解析：由sin α－2cos α＝0，得tan α＝sin αcos α＝2，则sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45.★答案★：458．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ＝________. 解析：由已知，得1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.所以sin 2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝2×12－2⎝⎛⎭⎫122＋1＝－45.★答案★：－459．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin α，1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0. (1)求sin α＋cos α的值． (2)求sin 2αsin α－cos α的值．解：(1)因为m 与n 为共线向量， 所以⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)因为1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2＝29，所以sin 2α＝－79，因为(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2， 所以(sin α－cos α)2＝2－⎝⎛⎭⎫232＝169. 又因为α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0， 所以sin α－cos α<0，sin α－cos α＝－43.因此，sin 2αsin α－cos α＝712.10．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝255，求α＋2β的值． 解：∵β为锐角，且cos β＝255，∴sin β＝55. ∴tan β＝12，tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∴0<2β<π2，0<α＋2β<π，又tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋431－7×43＝－1，∴α＋2β＝3π4. 层级二 应试能力达标1．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于( ) A ．30°或60° B ．45° C ．60°D ．30°解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝12，所以α＝30°.2．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α的值为( ) A.78 B ．－78C ．－47D.47解析：选A 因为cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，所以cos 2α－sin 2α22sin α＋22cos α＝12，所以cos α－sin α＝24， 平方得1－2cos αsin α＝18，所以sin 2α＝78，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2α＝78.3．已知函数f (x )＝cos 2x －1cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2⎝⎛⎭⎫0<x ≤π3，则( )A ．函数f (x )的最大值为3，无最小值B ．函数f (x )的最小值为－3，最大值为0C ．函数f (x )的最大值为33，无最小值 D ．函数f (x )的最小值为－3，无最大值解析：选D 因为f (x )＝cos 2x －1cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos 2x －1sin 2x ＝－2sin 2x 2sin x cos x ＝－tan x,0<x ≤π3，所以函数f (x )的最小值为－3，无最大值，故选D. 4．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13D ．－79解析：选D ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝79， ∴cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－79. 5．等腰三角形一个底角的余弦为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53.所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. ★答案★：4596．已知角α，β为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan(β－α)＝13，则β＝________.解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin 2α)＝sin αcos α，即2sin 2α＝sin αcos α. ∵α为锐角，∴sin α≠0，∴2sin α＝cos α，即tan α＝12.法一：由tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan β tan α＝tan β－121＋12tan β＝13， 得tan β＝1.∵β为锐角，∴β＝π4.法二：tan β＝tan(β－α＋α)＝tan (β－α)＋tan α1－tan (β－α)tan α＝13＋121－13×12＝1.∵β为锐角，∴β＝π4.★答案★：π47．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R. (1)求f (π)的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求f (2α)的值． 解：(1)f (π)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－2cos π6＝－2×32＝－ 3. (2)因为f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－2sin α＝65，所以sin α＝－35. 又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝45， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725. 所以f (2α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝2cos 2αcos π6＋2sin 2αsin π6＝2×725×32＋2×⎝⎛⎭⎫－2425×12＝73－2425.8．已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值； (2)求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )的值．解：(1)由sin x 2－2cos x2＝0，知cos x2≠0，∴tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)，知tan x ＝－43，∴cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )＝cos 2x－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x (－sin x )＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )22(cos x －sin x )sin x＝2×cos x ＋sin xsin x＝2×1＋tan xtan x＝24.。

3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标 1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点一 二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，2α≠π2＋k π，k ∈Z . 知识点二 二倍角公式的变形 1．公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α.2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α， 1＋cos α＝2cos 2α2,1－cos α＝2sin 2α2 .降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.1．sin α＝2sin α2cos α2.( √ )2．cos 4α＝cos 22α－sin 22α.( √ ) 3．对任意角α，tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( × )提示 公式中所含各角应使三角函数有意义．如当α＝π4及α＝π2时，上式均无意义．4．cos 2α＝1－cos 2α2.( × )题型一 给角求值例1 (1)计算：cos 2π12－sin 2π12；考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值 解 原式＝cos π6＝32.(2)计算：1－tan 275°tan 75°；考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正切的二倍角公式化简求值解 1－tan 275°tan 75°＝2·1－tan 275°2tan 75°＝2·1tan 150°＝－2 3.(3)计算：cos 20°cos 40°cos 80°. 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值解 原式＝12sin 20°·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°＝12sin 20°·sin 40°·cos 40°cos 80°＝122sin 20°sin 80°cos 80°＝123sin 20°·sin 160°＝sin 20°23sin 20°＝18.反思感悟 对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．跟踪训练1 (1)cos π7cos 3π7cos 5π7的值为( )A.14 B ．－14 C.18 D ．－18考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值 答案 D解析 cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7·⎝⎛⎭⎫－cos 4π7·⎝⎛⎭⎫－cos 2π7 ＝2sin π7cos π7cos 2π7cos4π72sinπ7＝sin 2π7cos 2π7cos 4π72sin π7＝sin 4π7cos 4π74sinπ7＝sin8π78sinπ7＝－18.(2)12－cos 2π8＝ ； 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值 答案 －24解析 原式＝12⎝⎛⎭⎫1－2cos 2π8＝－12cos π4＝－24. 题型二 条件求值例2 (1)若sin α－cos α＝13，则sin 2α＝ .考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案 89解析 (sin α－cos α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α ＝1－sin 2α＝⎝⎛⎭⎫132， 即sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝89.(2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于( )A.6425B.4825 C ．1 D.1625 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案 A解析 cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α.把tan α＝34代入，得cos 2α＋2sin 2α＝1＋4×341＋⎝⎛⎭⎫342＝42516＝6425.引申探究在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝13，求sin 2α.解 由题意，得(sin α＋cos α)2＝19，∴1＋2sin αcos α＝19，即1＋sin 2α＝19，∴sin 2α＝－89.反思感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． (2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练2 (1)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－429B ．－229C.229D.429考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用二倍角公式求二倍角的正弦值 答案 A解析 因为sin(π－α)＝13，所以sin α＝13，又因为π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429.(2)已知α为第三象限角，cos α＝－35，则tan 2α＝ .考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用二倍角公式求二倍角正切值 答案 －247解析 因为α为第三象限角，cos α＝－35，所以sin α＝－1－cos 2α＝－45，tan α＝43，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－⎝⎛⎭⎫432＝－247.利用二倍角公式化简证明典例 (1)化简：1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ.考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用二倍角公式化简证明三角函数式 解 方法一 原式＝(1－cos 2θ)＋sin 2θ(1＋cos 2θ)＋sin 2θ＝2sin 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(sin θ＋cos θ)2cos θ(cos θ＋sin θ) ＝tan θ.方法二 原式＝(sin θ＋cos θ)2－(cos 2θ－sin 2θ)(sin θ＋cos θ)2＋(cos 2θ－sin 2θ)＝(sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)－(cos θ－sin θ)](sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)＋(cos θ－sin θ)]＝2sin θ2cos θ＝tan θ. (2)求证：4sin αcos α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan 2α.考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明证明 左边＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α＝右边．[素养评析] (1)三角函数式化简、证明的常用技巧 ①特殊角的三角函数与特殊值的互化．②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分． ③对于二次根式，注意二倍角公式的逆用． ④利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等．⑤利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等．(2)通过本例掌握推理的基本形式和规则，学会有逻辑地思考问题，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，提升逻辑推理的数学核心素养.1．(2017·山东)已知cos x ＝34，则cos 2x 等于( )A ．－14 B.14 C ．－18 D.18考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用公式求二倍角的余弦值 答案 D解析 cos 2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝⎛⎭⎫342－1＝18. 故选D.2.1－tan 215°2tan 15°等于( ) A. 3 B.33C ．1D ．－1 考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用公式求二倍角正切值 答案 A 解析 原式＝12tan 15°1－tan 215°＝1tan 30°＝ 3.3．sin 4π12－cos 4π12等于( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值解析 原式＝⎝⎛⎭⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝⎛⎭⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 4．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°等于( ) A.62 B.32 C.54 D ．1＋34考点 利用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦二倍角公式化简求值 答案 C解析 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30°＝1＋14＝54.5．求证：cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B . 考点 利用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦二倍角公式化简证明证明 左边＝1＋cos (2A ＋2B )2－1－cos (2A －2B )2＝cos (2A ＋2B )＋cos (2A －2B )2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B ) ＝cos 2A cos 2B ＝右边，所以等式成立．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n 是α2n ＋1的二倍(n ∈N *)．2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式： (1)1＋cos 2α＝2cos 2α.(2)cos 2α＝1＋cos 2α2.(3)1－cos 2α＝2sin 2α.(4)sin 2α＝1－cos 2α2.1．若sin α＝13，则cos 2α等于( )A.89B.79 C ．－79D ．－89考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用公式求二倍角的余弦值 答案 B解析 ∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79. 2．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α等于( )A ．－79B ．－29 C.29 D.79考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值 答案 A解析 ∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169，∴sin 2α＝－79.故选A.3．(2018·辽宁师范大学附属中学高三期末)化简：cos 25°－sin 25°sin 40°cos 40°等于( )A ．1B ．2 C.12 D ．－1考点 利用二倍角公式化简求值 题点 综合利用二倍角公式化简求值 答案 B解析 cos 25°－sin 25°sin 40°cos 40°＝cos 10°12sin 80°＝cos 10°12cos 10°＝2.故选B.4．(2018·天津和平区高三期末)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2，则cos 2α等于( )A ．－35 B.35 C ．－45 D.45考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用公式求二倍角余弦值 答案 D解析 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2，解得tan α＝13， 则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－191＋19＝45.故选D.5.1＋cos 100°－1－cos 100°等于( ) A ．－2cos 5° B ．2cos 5° C ．－2sin 5°D ．2sin 5°考点 利用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值 答案 C解析 原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos 50°－sin 50°)＝2⎝⎛⎭⎫22cos 50°－22sin 50°＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.6．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D.112考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案 B解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时，f (x )的最大值为5. 7．(2018·北京东城区高三期末)若cos α＋sin α＝23，则2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋11＋tan α的值为( )A.59 B ．0 C ．－518 D ．－59 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用二倍角公式化简三角函数式 答案 D解析 ∵cos α＋sin α＝23，∴1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋11＋tan α＝2×22(sin 2α－cos 2α)＋11＋tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α1＋sin αcos α＝2sin αcos α＝－59.二、填空题8．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ . 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值 答案116解析 原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116.9．(2018·广东茂名高三第一次综合测试)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝12，则cos 2α的值为 ．考点 利用二倍角公式化简求值 题点 综合利用二倍角公式化简求值 答案 －74解析 ∵sin α＋cos α＝12，∴1＋2sin αcos α＝14，∴sin αcos α＝－38.又∵α∈(0，π)，∴sin α>0，∴cos α<0，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝74，∴sin α－cos α＝72，cos 2α＝cos 2α－sin 2α ＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－74. 10．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 4α的值为 ． 考点 利用二倍角公式化简求值题点 综合利用二倍角公式化简求值答案 －429解析 因为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝16， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝13，即cos 2α＝13， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则2α∈(π，2π)，所以sin 2α＝－1－cos 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－223， 故sin 4α＝2sin 2α·cos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－223×13＝－429. 11．已知θ为锐角，cos(θ＋15°)＝35，则cos(2θ－15°)＝ . 考点 利用二倍角公式化简求值题点 综合利用二倍角公式化简求值答案 17250解析 ∵θ为锐角，cos(θ＋15°)＝35，∴sin(θ＋15°)＝45. ∴sin(2θ＋30°)＝2sin(θ＋15°)cos(θ＋15°)＝2425. cos(2θ＋30°)＝2cos 2(θ＋15°)－1＝2×925－1＝－725. ∴cos(2θ－15°)＝cos(2θ＋30°－45°)＝cos(2θ＋30°)cos 45°＋sin(2θ＋30°)sin 45° ＝－725×22＋2425×22＝17250. 三、解答题12．已知3sin β＝sin(2α＋β)，且α≠π2＋k π，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z )，求证：tan(α＋β)＝2tan α. 考点 利用二倍角公式化简求值题点 利用二倍角公式化简三角函数式证明 因为sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α；sin(2α＋β)＝sin [(α＋β)＋α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)·sin α，所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.又α≠π2＋k π，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z )， 所以cos α≠0，cos(α＋β)≠0.于是等式两边同除以cos(α＋β)·cos α，得tan(α＋β)＝2tan α.13．化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)． 考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值解 原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α24cos 2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝cos α2⎝⎛⎭⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2cos α⎪⎪⎪⎪cos α2. 因为180°<α<360°，所以90°<α2<180°， 所以cos α2<0，所以原式＝cos α.14．已知θ∈(0，π)，且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝ . 考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式题点 利用二倍角公式求二倍角的正切值答案 －247 解析 由sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210， 得22(sin θ－cos θ)＝210， 即sin θ－cos θ＝15.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－cos θ＝15，sin 2θ＋cos 2θ＝1， 得⎩⎨⎧ sin θ＝45，cos θ＝35或⎩⎨⎧ sin θ＝－35，cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，所以⎩⎨⎧ sin θ＝－35，cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43， 所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝⎛⎭⎫432＝－247. 15．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin α，1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0. (1)求sin α＋cos α的值；(2)求sin 2αsin α－cos α的值． 考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值解 (1)因为m 与n 为共线向量，所以⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)因为1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2＝29，所以sin 2α＝－79， 因为(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，所以(sin α－cos α)2＝2－29＝169. 又因为α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0， 所以sin α－cos α<0，sin α－cos α＝－43. 因此，sin 2αsin α－cos α＝712.。

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式【知识导航】1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.灵活应用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决有关的求值、化简、证明等问题.【知识梳理】【做一做1】已知sin α=3,cos α=4,则sin 2α等于 ()A.7B.12C.12D.24解析:sin2α=2sinαcosα=2425.答案:D【做一做2】已知cos α=13,则cos 2α等于()A.13B.23C.−79D.79解析:cos2α=2cos2α-1=2−1=−7.答案:C【做一做3】已知tan α=3,则tan 2α等于()A.6B.−34C.−38D.98解析:tan2α=2tanα1-tanα=2×31-32=−3.答案:B二倍角公式的变形公式剖析:(1)公式的逆用:2sinαcosα=sin2α;sinαcosα=1sin2α; cosα=sin2α;cos2α-sin2α=cos2α;2tanα1-tan2α=tan2α.(2)公式的有关变形:1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2;1+cos2α=2cos2α;1-cos2α=2sin2α.(3)升幂和降幂公式:升幂公式:1+sinα=sinα2+cosα22;1-sinα=sinα2-cosα22;1+cosα=2cos2α2;1−cosα=2sin2α2.降幂公式:cos2α=1+cos2α2;sin2α=1-cos2α2.【典例分析】题型一利用二倍角公式求值【例1】求下列各式的值:(1)co sπcos2π;(2)12−cos2π8;(3)ta nπ−1tanπ12.分析:第(1)题可根据2π5是π5的2倍构造二倍角的公式求值;第(2)(3)题需将所求的式子变形,逆用二倍角公式化简求值.解:(1)原式=2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5=sin2π5cos2π52sinπ5=sin4π54sinπ=sinπ54sinπ=14.(2)原式=1-2cos2π8=−2cos2π8-1=−12cosπ4=−24.(3)原式=tan2π12-1tanπ12=−2×1-tan2π122tanπ12=-2×1tanπ6=33=-2 3.【变式训练1】求下列各式的值:(1)si nπ12cos π12; (2)1-2sin 2750°; (3)1sin10°− 3cos10°. 解:(1)原式=2sin π12cos π122=sin π62=14.(2)原式=cos(2×750°)=cos1500° =cos(4×360°+60°)=cos60°=1.(3)原式=cos10°- 3sin10°=2 12cos10°- 32sin10°=4(sin30°cos10°-cos30°sin10°)=4sin20°=4.题型二知值求值【例2】已知si n π4-x =513,0<x <π4,求cos2xcos π4+x的值. 分析:注意角的关系 π4+x + π4-x =π2,注意诱导公式的应用cos2x=si n π2+2x ,利用倍角公式解题.解:原式=sin π2+2x cos π4+x=2sin π4+x cos π4+xcos π4+x=2si n π+x .∵si n π-x =cos π+x =5,且0<x <π,∴π+x ∈ π,π,sin π+x = 1-cos 2 π+x =12,∴原式=2×12=24.反思已知某角的三角函数值求值,要认真观察已知角与所求的和或差是特殊角或二倍角等,用诱导公式变形后,利用有关公式求值.【变式训练2】(1)已知si n α-π6 =35,且α是锐角,则sin 2α-π3 =__________,cos 2α-π3 =__________,tan 2α-π=__________;(2)若si n π+θ =30<θ<π,则cos 2θ=__________. 解析:(1)由题意知co s α-π6 =45,∴si n 2α-π3 =2sin α-π6 cos α-π6 =2425,cos 2α-π3 =725,tan 2α-π3 =247. (2)∵si n π4+θ =35,0<θ<π4,∴co s π4+θ =45.∴cos2θ=si n π+2θ =sin2 π+θ=2si n π+θ cos π+θ =2×3×4=24. 答案:(1)24724(2)24题型三化简与证明【例3】化简:(1 3tan10cos70° 1+cos40°(2)2cos 2α-12tan π4-α sin π4+α. 分析:先把切化弦,再结合三角函数公式求解。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标1.知识与技能：会以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、 余弦和正切公式；理解推导过程，了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换。

2.过程与方法：引导学生积极参与到推导过程当中。

3.情感态度价值观：树立辩证思维的能力，培养学生创新能力。

二、教学重点难点重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式。

难点：二倍角的理解及其灵活运用。

三、教学方法1.自主性学习法：通过自学掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式。

2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程。

3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。

四、设计思路本节课以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程,掌握其应用.运用二倍角公式，首先要准确把握“二倍角”这个概念，明确“倍角”的相对性，它指的是两个角的一个“倍数”关系，不仅仅指2α是α的二倍角，还可以是任意角的二倍角等等。

余弦的二倍角公式有三个，解题时应根据题目条件和需要选取恰当的形式。

本节我们在运用二倍角的正弦、余弦和正切公式时，除了要学生熟记公式外，还要在解题过程中引导学生善于发现规律，学会灵活运用。

五、教学过程 （一）新课导入回忆两角和的正弦、余弦、正切公式：Cos()Cos Cos Sin Sin αβαβαβ+=- Sin()Sin Cos Cos Sin αβαβαβ+=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-（二）新课讲授Sin 2?α=Sin()Sin Cos Cos Sin αβαβαβ+=+ 令αβ=，则：Sin()Sin Cos Cos Sin αααααα+=+ 即Sin 22Sin Cos ααβ=Cos2?α=Cos()Cos Cos Sin Sin αβαβαβ+=- 令αβ=，则：Cos()Cos Cos Sin Sin αααααα+=- 即22Cos 2Cos Sin ααβ=-tan 2?α=tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=- 令αβ=，则：tan tan tan()1tan tan αααααα++=- 即22tan tan 21tan ααα=- 二倍角公式：Sin 22Sin Cos ααβ= R α∈ 22Cos 2Cos Sin ααβ=- R α∈22tan tan 21tan ααα=- 24k ππα≠±，且,()2k k Z παπ≠+∈ 对于2C α能否有其它表示形式？ 2Cos 22Cos1αα=-或2Cos 212Sin αβ=-公式理解：1.二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。