高一数学二倍角的正弦余弦正切

课 题：47二倍角的正弦、余弦、正切（3）教学目的：要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力 教学重点：二倍角公式的应用教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 二倍角公式:αααcos sin 22sin =；)(2αS ααα22sin cos 2cos -=；)(2αCααα2tan 1tan 22tan -=；)(2αT 1cos 22cos 2-=αααα2sin212cos -=)(2αC ' 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 二、讲解新课：1．积化和差公式的推导sin(α + β) + sin(α - β) = 2sin αcos β⇒ sin αcos β =21[sin(α + β) + sin(α - β)] sin(α + β) - sin(α - β) = 2cos αsin β ⇒ cos αsin β =21[sin(α + β) - sin(α - β)] cos(α + β) + cos(α - β) = 2cos αcos β ⇒ cos αcos β =21[cos(α + β) + cos(α - β)] cos(α + β) - cos(α - β) = - 2sin αsin β⇒ sin αsin β = -21[cos(α + β) - cos(α - β)] 2．和差化积公式的推导若令α + β = θ，α - β = φ，则2φ+θ=α，2φ-θ=β 代入得： )sin (sin 21)]22sin()22[sin(212cos 2sin φ+θ=φ-θ-φ+θ+φ-θ+φ+θ=φ-θφ+θ∴2cos2sin 2sin sin φ-θφ+θ=φ+θ 2sin2cos 2sin sin φ-θφ+θ=φ-θ 2cos2cos 2cos cos φ-θφ+θ=φ+θ 2sin2sin 2cos cos φ-θφ+θ-=φ-θ 3．半角公式α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sinαα-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan证：1︒在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α 即得： 2sin 21cos 2α-=α ∴2cos 12sin 2α-=α 2︒在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α 即得：12cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3︒以上结果相除得：α+α-=αcos 1cos 12tan 24︒2tan 2cos2sin2cos2sin2)2sin 21(1sin cos 12αααααααα==--=- 2tan 2cos2sin12cos 212cos2sin2cos 1sin 2αααααααα==-+=+4．万能公式2tan 12tan2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222ααααααααα-=+-=+=证：1︒2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin21sin sin 222α+α=α+ααα=α=α 2︒2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 222222α+α-=α+αα-α=α=α 3︒2tan 12tan22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 222α-α=α-ααα=αα=α 三、讲解范例：例1已知5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ，求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值解：∵5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ ∴cos θ ≠ 0 (否则 2 = - 5 )∴53tan 1tan 2-=-θ+θ 解之得：tan θ = 2∴原式572122421)21(3tan 1tan 24tan 1)tan 1(3222222=+⨯⨯++-=θ+θ⨯+θ+θ-= 例2已知π<α<π2，0<β<π-，tan α =31-，tan β =71-，求2α + β解：43tan 1tan 22tan 2-=α-α=α ∴1tan 2tan 1tan 2tan )2tan(-=βα-β+α=β+α 又∵tan2α < 0，tan β < 0 ∴π<α<π2223，02<β<π- ∴π<β+α<π22 ∴2α + β = 47π例3已知sin α - cos α = 21，π<α<π2，求2tan α和tan α的值解：∵sin α - cos α = 21 ∴212tan 12tan 12tan 12tan2222=α+α--α+α化简得：032tan 42tan 2=-α+α∴722121642tan±-=+±-=α ∵π<α<π2 ∴π<α<π22 ∴02tan <α即722tan --=α374725727410724)72(1)72(22tan12tan2tan 22-=++=----=-----=α-α=α 例4已知cos α - cos β = 21，sin α - sin β = 31-，求sin(α + β)的值解：∵cos α - cos β = 21，∴212sin 2sin 2=β-αβ+α- ①sin α - sin β =31-，∴312sin 2cos 2-=β-αβ+α- ②∵02sin ≠β-α ∴232tan -=β+α- ∴232tan =β+α∴13124912322tan 12tan 2)sin(2=+⨯=β+α+β+α=β+α 例5求证：sin3αsin 3α + cos3αcos 3α = cos 32α 证：左边 = (sin3αsin α)sin 2α + (cos3αcos α)cos 2α= -21(cos4α - cos2α)sin 2α + 21(cos4α + cos2α)cos 2α = -21cos4αsin 2α +21cos2αsin 2α +21cos4αcos 2α +21cos2αcos 2α= 21cos4αcos2α + 21cos2α = 21cos2α(cos4α + 1)=21cos2α2cos 22α = cos 32α = 右边 ∴原式得证 四、课堂练习：1已知α、β为锐角，且3sin 2α＋2sin 2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0求证：α＋2β＝2π证法1：由已知得3sin 2α＝cos2β ①3sin2α＝2sin2β ②①÷②得tan α＝)22tan()22cos()22sin(2sin 2cos βπβπβπββ-=--=∵α、β为锐角∴0＜β＜2π，0＜2β＜π，－π＜－2β＜0， ∴－2π＜2π－2β＜2π∴α＝2π－2β，α＋2β＝2π证法2：由已知可得： 3sin 2α＝cos2β 3sin2α＝2sin2β∴cos （α＋2β）＝cos α·cos2β－sin α·sin2β ＝cos α·3sin 2α－sin α·23sin2α ＝3sin 2αcos α－sin α·3sin αcos α＝0又由α＋2β∈（0，23π） ∴α＋2β＝2π证法3：由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==βαβα2sin 2sin 32cos sin 322∴sin （α＋2β）＝sin αcos2β＋cos αsin2β ＝sin α·3sin 2α＋23cos α·sin2α ＝3sin α（sin 2α＋cos 2α）＝3sin α①②又由②，得3sin α·cos α＝sin2β ③ ①2＋③2，得9sin 4α＋9sin 2αcos 2α＝1∴sin α＝31，即sin （α＋2β）＝1又0＜α＋2β＜23π∴α＋2β＝2π评述：一般地，若所求角在（0，π）上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在（－2π，2π)上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，也可考虑取此角的正切2在△ABC 中，sin A 是cos （B ＋C ）与cos （B －C ）的等差中项， 试求(1)tan B ＋tan C 的值(2)证明tan B ＝（1＋tan C ）·cot （45°＋C ） (1)解：△ABC 中，sin A ＝sin （B ＋C ）∴2sin （B ＋C ）＝cos （B ＋C ）＋cos （B －C ） ∴2sin B cos C ＋2cos B sin C ＝2cos B cos C ∵cos B cos C ≠0 ∴tan B ＋tan C ＝1（2）证明：又由上：tan β＝1－tan C ＝（1＋tan C ）·CCtan 1tan 1+-＝（1＋tan C ）·tan （45°－C ）＝（1＋tan C ）·cot （45°＋C ）3求值：140cos 40cos 2)40cos 21(40sin 2-︒+︒︒+︒解：原式＝︒+︒︒+︒=︒+︒︒︒+︒40cos 80cos 80sin 40sin 40cos 80cos 40cos 40sin 240sin 360tan 20cos 60cos 220cos 60sin 2=︒=︒︒︒︒= 五、小结 通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式（不要另外，要注意半角公式的推导与正确使用 六、课后作业：1如果｜cos θ｜＝51，25π＜θ＜3π,则sin 2θ的值等于( ) 515D. 515C. 510B. 510A.--2设5π＜θ＜6π且cos2θ＝a ,则sin 4θ等于( )21D. 21C. 21B. 21A.aa a a --+---+-3已知tan76°≈4，则tan7°的值约为( )158D. 178C.417B. 417A.+- 4tan12π－cot 12π的值等于 5已知sin A ＋cos A ＝1，0＜Ａ＜π，则tan6A＝ 已知tan α、tan β是方程7ｘ2－8ｘ＋1＝0的两根，则tan2βα+＝7设25sin 2ｘ＋sin ｘ－24＝0且ｘ是第二象限角，求28已知cos2θ＝32，求sin 4θ＋cos 4θ的值 9求证.2tan cos 1cos 2cos 12cos 4cos 14sin xx x x x x x =+⋅+⋅+参考答案：1C 2D 3A －23 52－3 6－221734 8 1811 9 x x x x x x cos 1cos 2cos 12cos 4cos 14sin +⋅+⋅+xx x x x cos 1cos 2cos 12cos 2tan +⋅+⋅= x x x x cos 1cos 2cos 12sin +⋅+=x x x cos 1cos tan +⋅=x x cos 1sin +=.2tan x = 七、板书设计（略） 八、课后记：。