课 题：47
二倍角的正弦、余弦、正切（3）
教学目的：
要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力 教学重点：二倍角公式的应用
教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入： 二倍角公式:
αααcos sin 22sin =；)(2αS ααα22
sin cos 2cos -=；)(2αC
α
α
α2
tan 1tan 22tan -=
；)(2αT 1cos 22cos 2
-=αα
αα2
sin
212cos -=)(2
αC ' 2
2cos 1sin ,2
2cos 1cos 22α
-=
αα+=
α 二、讲解新课：
1．积化和差公式的推导
sin(α + β) + sin(α - β) = 2sin αcos β
⇒ sin αcos β =
2
1
[sin(α + β) + sin(α - β)] sin(α + β) - sin(α - β) = 2cos αsin β ⇒ cos αsin β =
2
1
[sin(α + β) - sin(α - β)] cos(α + β) + cos(α - β) = 2cos αcos β ⇒ cos αcos β =
2
1
[cos(α + β) + cos(α - β)] cos(α + β) - cos(α - β) = - 2sin αsin β
⇒ sin αsin β = -
2
1
[cos(α + β) - cos(α - β)] 2．和差化积公式的推导
若令α + β = θ，α - β = φ，则2φ+θ=α，2
φ
-θ=β 代入得： )sin (sin 2
1)]22sin()22[sin(212cos 2sin φ+θ=φ-θ-φ+θ+φ-θ+φ+θ=φ-θφ+θ
∴2cos
2sin 2sin sin φ
-θφ+θ=φ+θ 2sin
2cos 2sin sin φ
-θφ+θ=φ-θ 2cos
2cos 2cos cos φ
-θφ+θ=φ+θ 2
sin
2sin 2cos cos φ
-θφ+θ-=φ-θ 3．半角公式
α
+α
-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin
α
α
-=
α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan
证：1︒在 α-=α2
sin 212cos 中，以α代2α，
2α
代α 即得： 2sin 21cos 2α-=α ∴2
cos 12sin 2α-=
α 2︒在 1cos 22cos 2
-α=α 中，以α代2α，2
α代α 即得：
12
cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3︒以上结果相除得：α+α-=
αcos 1cos 12tan 2
4︒
2tan 2cos
2sin
2
cos
2
sin
2)
2sin 21(1sin cos 12ααα
α
α
α
α
α
==
--=- 2
tan 2
cos
2sin
12cos 212cos
2
sin
2cos 1sin 2ααα
ααα
α
α
==-+=
+
4．万能公式
2
tan 12tan
2tan ,2
tan 12tan 1cos ,2
tan 12tan
2sin 2
2
22
α
α
αα
ααα
α
α-=+-=
+=
证：1︒2tan 12tan
22cos 2sin 2cos 2sin
21
sin sin 2
22α+α=α+ααα=
α=α 2︒2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1
cos cos 2
2
2222α+α-=α+αα-α=
α=α 3︒2
tan 12tan
22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 2
22α-α=α-ααα=
α
α=α 三、讲解范例：
例1已知
5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ
+θ，求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值
解：∵5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ
+θ ∴cos θ ≠ 0 (否则 2 = - 5 )
∴53
tan 1
tan 2-=-θ+θ 解之得：tan θ = 2
∴原式57
2
122421)21(3tan 1tan 24tan 1)tan 1(32
22222=+⨯⨯++-=θ+θ⨯+θ+θ-= 例2已知
π<α<π2
，0<β<π-，tan α =31-，tan β =71
-，求2α + β
解：43
tan 1tan 22tan 2-
=α
-α=
α ∴1tan 2tan 1tan 2tan )2tan(-=βα-β+α=β+α 又∵tan2α < 0，tan β < 0 ∴
π<α<π2223，02
<β<π
- ∴π<β+α<π22 ∴2α + β = 4
7π
例3已知sin α - cos α = 21，π<α<π2，求2
tan α
和tan α的值
