数学中的归纳类比(填空)

§1归纳与类比1.1 归纳推理学习目标核心素养1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)2．了解归纳推理在数学发展中的作用．(难点) 1．通过归纳推理概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过归纳推理的应用的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗？[提示]不一定正确．因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，其结论还需要证明其正确性．1．下列关于归纳推理的说法错误的是( )①归纳推理是由一般到一般的推理过程；②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．A．①②B．②③C．①③ D．③④A[归纳推理是由特殊到一般的推理，故①②不正确，易知③④均正确，故选A.]2．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5B [n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．]3．由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，……的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为________．2n[集合{a 1}有两个子集和{a 1}，集合{a 1，a 2}的子集有，{a 1}，{a 2}，{a 1，a 2}共4个子集，集合{a 1，a 2，a 3}有8个子集，由此可归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为2n个．]数式中的归纳推理＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199(2)已知f(x)＝x1－x ，设f 1(x)＝f(x)，f n (x)＝f n －1(f n －1(x))(n>1，且n∈N ＋)，则f 3(x)的表达式为________，猜想f n (x)(n∈N ＋)的表达式为________．思路探究：(1)记a n＋b n＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论． (2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果．(1)C (2)f 3(x)＝x 1－4x f n (x)＝x 1－2n －1x [(1)记a n ＋b n ＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11．通过观察不难发现f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. (2)f 1(x)＝f(x)＝x1－x，f 2(x)＝f 1(f 1(x))＝x 1－x 1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x)＝f 2(f 2(x))＝x 1－2x 1－2·x 1－2x＝x1－4x，由f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的表达式，归纳f n (x)＝x1－2n －1x.]已知等式或不等式进行归纳推理的方法1．要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； 2．要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； 3．提炼出等式(或不等式)的综合特点； 4．运用归纳推理得出一般结论．1．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，……根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.当a ＋b ＝20时，有a ＋b<210，a ，b∈R ＋ [从上面几个不等式可知，左边被开方数的和均为20，故可以归纳为a ＋b ＝20时，a ＋b<210.]数列中的归纳推理【例2】 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，则a 2 019等于( )A ．2B ．－12C ．－2D ．1(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n 个三角形数的石子个数．思路探究：(1)写出数列的前几项，再利用数列的周期性解答．(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n 的对应关系，进而归纳出第n 个三角形数．C [(1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 019＝673×3，∴a 2 019＝a 3＝－2．](2)[解] 法一：由1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，可归纳出第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.法二：观察项数与对应项的关系特点如下：项数 1 2 3 4 对应项1×222×323×424×52分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积． 归纳：第n 个三角形数的石子数应为n (n ＋1)2.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前几项和；(2)根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n . [解] (1)当n ＝1时，知a 1＝1， 由a n ＋1＝2a n ＋1， 得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31．(2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1， 可归纳猜想出a n ＝2n－1(n∈N ＋)．几何图形中的归纳推理1．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n 堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值．[提示] 观察图形可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20. 2．上述问题中，试用n 表示出f(n)的表达式．[提示] 由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n －1)＋n (n ＋1)2.将以上(n －1)个式子相加可得 f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋n (n ＋1)2＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n)] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)6.【例3】 有两种花色的正六边形地面砖，按如图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36思路探究：解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论． B [法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 123 … 个数6 1116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31．法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31．]在题干不变的条件下，第6个图案中周围的边有多少条？ [解] 各个图形周围的边的条数如下表：图案123…边条数18 26 34 …由表可知，周围边的条数依次组成一个以18为首项，8为公差的等差数列，解得第6个图形周围的边的条数为18＋8×(6－1)＝58条．归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：3．根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．509 [分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想．图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.]1．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(1)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过理论证明或实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(2)一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真．(3)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2．归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理． (2)由个别到一般的推理称为归纳推理． ( ) (3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× 2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2C [a 1＝8，a 2＝14，a 3＝20，猜想a n ＝6n ＋2．]3．已知12＝16×1×2×3,12＋22＝16×2×3×5,12＋22＋32＝16×3×4×7,12＋22＋34＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n 2＝________.(其中n∈N *)．16n(n ＋1)(2n ＋1) [根据题意归纳出12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)，下面给出证明：(k ＋1)3－k 3＝3k 2＋3k ＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，……，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，累加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n ，整理得12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)．]4．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2， (62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2， (202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2．请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论． [解] 结论为：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac＋bd)2．证明：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd)2＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2－(a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd) ＝a 2d 2＋b 2c 2－2abcd ＝(ad －bc)2≥0.所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2．1.2 类比推理学 习 目 标核 心 素 养1．通过具体实例理解类比推理的意义．(重点) 2．会用类比推理对具体问题作出判断．(难点)1．通过类比推理的意义的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过应用类比推理对具体问题判断的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理． 2．合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．合情推理的结果不一定正确．思考：合情推理的结果为什么不一定正确？[提示] 合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确．1．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a·3＝b·3，则a ＝b ”类比推出“若a·0＝b·0，则a ＝b”B ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c≠0)”D ．“(ab)n＝a n b n”类比推出“(a＋b)n＝a n＋b n” C [由实数运算的知识易得C 项正确．] 2．下列推理是合情推理的是( ) (1)由圆的性质类比出球的有关性质；(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； (3)a≥b，b≥c，则a≥c；(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)×180°.A ．(1)(2)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(4)D ．(2)(4)C [(1)为类比推理，(2)(4)为归纳推理，(3)不是合情推理，故选C.]3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________．(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．①②③ [正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．]类比推理在数列中的应用【例1】 在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100.类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．试写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．思路探究：结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．[解] 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下： ∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.1．本例是由等比类比等差，你能由等差类比出等比结论吗？完成下题：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n (T n ≠0)，则T 4，_______，_______，T 16T 12成等比数列．T 8T 4 T 12T 8[等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．]2．在本例条件不变的情况下，你能写出一个更为一般的结论吗？(不用论证)[解] 对于任意k∈N ＋，都有数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等差数列，且公差为k 2d.1．在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．2．类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处．1．在等差数列{a n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有a m ＋a n ＋a p ＝3a r ，类比该结论，写出在等比数列{b n }中类似的结论，并用数列知识加以证明．[解] 类似结论如下：在等比数列{b n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有b m b n b p＝b 3r .证明如下：设等比数列{b n }的公比为q ，则b m ＝b 1q m －1，b n ＝b 1q n －1，b p ＝b 1qp －1，b r ＝b 1qr －1，于是b m b n b p ＝b 1qm －1·b 1qn －1·b 1q p －1＝b 31qm ＋n ＋p －3＝b 31q3r －3＝(b 1qr －1)3＝b 3r ，故结论成立．类比推理在几何中的应用【例2】 如图所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p ch c＝1．证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．思路探究：三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．[解] p a h a ＝12BC·p a12BC·h a ＝S △PBCS △ABC，同理，p b h b ＝S △P AC S △ABC ，p c h c ＝S △PABS △ABC .∵S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB ＝S △ABC ，∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＝S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB S △ABC＝1． 类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p dh d＝1．证明：p a h a ＝13S △BCD ·p a13S △BCD ·h a ＝V P­BCDV A­BCD，同理，p b h b ＝V P­ACD V A­BCD ，p c h c ＝V P­ABD V A­BCD ，p d h d ＝V P­ABCV A­BCD .∵V P­BCD ＋V P­ACD ＋V P­ABD ＋V P­ABC ＝V A­BCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d ＝V P­BCD ＋V P­ACD ＋V P­ABD ＋V P­ABCV A­BCD＝1．1．在本例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b·cos C＋c·cos B 可类比四面体的什么性质？[解] 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.2．在本例中，若r 为三角形的内切圆半径，则S △＝12(a ＋b ＋c)r ，请类比出四面体的有关相似性质．[解] 四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(r 为四面体内切球的半径，S 1，S 2，S 3，S 4为四面体的四个面的面积．1．平面图形与空间图形类比平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形线面面积体积二面角四面体2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．类比推理在其他问题中的应用1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？[提示] 类比推理．2．已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n 的和．因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1， n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1， ……22－12＝2×1＋1，有(n ＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n ， 所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n 2＝n (n ＋1)2.类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n 2的和． [提示] 因为(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1， n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1， ……23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n ＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n ， 所以12＋22＋…＋n 2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＋3n 2＋3n －3n 2＋5n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.【例3】 已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明． 思路探究：双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论 →双曲线中的相应结论→理论证明[解] 类似性质：若M ，N 为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n)，(x ，y)，则 N(－m ，－n)．因为点M(m ，n)是双曲线上的点， 所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2．同理y 2＝b 2a2x 2－b 2，则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b2a2(定值)．1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征．然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．2．我们知道： 12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，整理得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n ， 所以1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解] 已知： 13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1， 将以上各式的左右两边分别相加，得(13＋23＋…＋n 3)＝[13＋23＋…＋(n －1)3]＋3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ， 整理得n 3＝3(12＋22＋…＋n 2)－3n 2＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ， 将1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2代入整理可得12＋22＋…＋n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6，即12＋22＋…＋n 2＝n (2n ＋1)(n ＋1)6.1．类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握的事物的特征，推测被研究的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能，因此类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确，类比并不等于论证．2．类比推理与归纳推理的比较 归纳推理类比类推相同点 根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，提出猜想，都属于归纳推理不 同 点特点 由部分到整体，由个别到一般 由特殊到特殊推理过程 从一类事物中的部分事物具有的属性，猜测该类事物都具有这种属性两类对象具有类似的特征，根据其中一类对象的特征猜测另一类对象具有相应的类似特征1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误B [根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．]2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( )A.r22 B.l 22 C.lr 2D ．无法确定C [扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.]3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8 [由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.]4．在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)”时，有如下方法：先改写第k 项：k(k ＋1)＝13[k(k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k·(k＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，……n(n ＋1)＝13[n(n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n(n ＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)＝13n(n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n(n ＋2)”，将其结果写成关于n 的一次因式的积的形式．[解] 1×3＝16×(1×2×9－0×1×7)，2×4＝16×(2×3×11－1×2×9)，3×5＝16×(3×4×13－2×3×11)，……n(n ＋2)＝16[n(n ＋1)(2n ＋7)－(n －1)n(2n ＋5)]，各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n ＋2)＝16n(n ＋1)(2n ＋7)．。

第八章《观察、猜想与证明》专项练习专练一：观察猜想知识点一：观察与实验1.观察是获得感性认识的重要途径，可以得到一些结果；但观察得到的结果是否正确，还需要经过验证。

正如恩格斯所说：“单凭观察所得的经验，是决不能充分证明必然性的。

”2.实验是人们认识事物的一种有目的的探索过程，一般是为了检验某种猜想或理论而进行的操作或活动。

知识点二：归纳与类比1.不完全归纳法：以上规律是从几个特殊的情况中归纳出来的。

我们可以根据这个规律去解决类似的问题，这种根据一些（但不是全部）特殊情况归纳出一般性结论的方法，叫做不完全归纳法。

2.类比就是结局问题方法、步骤是相同的，但是细节的内容必须依照前面学过的知识内容，由课本上的例子可知：解一元一次不等式和解一元一次方程的步骤相同，但是不等式在两边同乘以一个负数时，必须改变不等号的方向，而方程不存在这样的问题。

知识点三：猜想与证明1.通过观察、实验、归纳、类比可以得出猜想，这是认识事物的有效途径之一。

2. 通过观察、实验、归纳、类比、猜想得出的结论还需要通过证明来确认它的正确性。

3.证明：就是由已知条件和前面所学的知识通过推理得到结论的一个过程，要有因有果。

例题分析1．为迎接2008年北京奥运会，孝感市某中学课外科技小组的同学们设计制作了一个电动智能玩具，玩具中的四个动物小鱼、小羊、燕子和熊猫分别在1、2、3、4号位置上（如图1），玩具的程序是：让四个动物按图中所示的规律变换位置，第一次上、下两排交换位置；第二次是在第一次换位后，再左、右两列交换位置；第三次再上、下两排交换位置；第四次再左、右两列交换位置；按这种规律，一直交换下去，那么第2 008次交换位置后，熊猫所在位置的号码是（）（A）1号（B）2号（C）3号（D）4号2．探索规律：根据下图中箭头指向的规律，从2 004到2 005再到2 006，箭头的方向是（）3．我们常用的数是十进制的数，而计算机程序处理中使用的是只有数码0和1的二进制数．这两者可以相互换算，如将二进制数1 101换算成十进制数应为1×23+1×22+0×21+1×20=13，按此方式，则将十进制数25换算成二进制数应为_______．4．用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片________张；（2）第n个图案中有白色纸片________张．5．人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上1级台阶或2级台阶，小聪发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级、…逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为1、2、3、5、8、13、21、…．那么小聪上这9级台阶共有________种不同方法．6．德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母为正整数的分数）：根据前五行的规律，可以知道第六行的数依次是：__________．7．如图，每一个图形都是由小三角形“△”拼成的：……⑴⑵⑶⑷观察发现，第10个图形中需要个小三角形，第n个图形需要个小三角形。

归纳推理、类比推理第三周归纳推理、类比推理一、归纳推理(一)归纳推理：以个别或特殊性知识为前提，推出一般性结论的推理。

它包括完全归纳和不完全归纳，两者的区别在于前者考察了一类中的每一个对象，而后者只考察了一类中的部分对象。

其逻辑结构：S1是(不是)P S1是(或不是)PS2是(不是)P S2是(或不是)PS3是(不是)P S3是(或不是)P…………Sn是(不是)P Sn是(或不是)PS1、S2、S3……Sn是S类的全部对象S1、S2、S3……Sn是S类的部分对象所以，所有的S是(不是)P 所以，所有的S都是(或不是)P根据前提中是否考察了事物对象与其属性之间的内在联系，不完全归纳推理分为简单枚举法和科学归纳法。

1.简单枚举归纳推理又叫做简单枚举法，它是根据一类事物对象中部分对象具有(或不具有)某种属性，推出该类对象全体都具有(或不具有)这种属性的推理。

其逻辑形式是：S1是(不是)PS2是(不是)PS3是(不是)P……Sn是(不是)P(S1、S2、S3……Sn是S类的部分对象，并且没有出现反例)———————————————————————————所以，所有的S是(不是)P2.科学归纳法科学归纳推理又叫做科学归纳法，它是根据一类对象中的部分对象与其属性之间的联系具有必然性，推出该类对象的全部都具有这种属性的推理逻辑结构式S1是PS2是PS3是P……Sn是P(S1、S2、S3……Sn是S类的部分对象，并且S与p之间有必然联系)——————————————————所以，所有的S是P(二)因果联系：事物之间引起和被引起的关系。

因果联系的特征有：不能颠倒的先因后果、一个原因可以引起多个结果、一个结果也可以由不同原因引起。

求因果方法：五种基本方法。

1.求同法，即寻求被研究的事物现象出现在若干不同场合，是否具有某种共同原因的方法，其特点是异中求同。

形式结构：场合先行情况被研究现象(1) A、B、C a(2) A、D、E a(3) A、F、G a………………………————————————————所以，A与a有因果联系。

数学归纳法数学归纳法是指根据归纳的原则和方法，按照事物发展和变化有目的地将一些数学问题进行有效地归类，进而达到“从现象到本质”的过程。

归纳法是指根据数学知识本身产生、发展、变化的规律，总结出一些数学规律或结论，用以指导自己进行抽象思维和具体运算，达到抽象概括并联系生活实际的目的。

数学归纳法包括：归类法、类比法、归纳法。

归类法：可以从数组或数列中把不同的变量归类出来，并对每个变量采取与变量相对应的顺序或层次归入其属性之中作为标准。

类比法：可以对每一个与各个数学分支有关的数学问题进行类比分析，然后得出各数学分支之间以及与之相关的其他数学分支之间进行类比，并对这些分类与各数学分支之间的关系进行推理，得出各种数学结论。

归纳法在教育教学中很重要，但对数学知识没有太多认识意义或者不懂得怎样运用归纳方法找到有效信息，是不能很好地解决数学问题的。

归纳法：在教学中运用较为广泛的一种方法。

在教学过程中要根据实际情景，合理地运用归纳方法收集知识、处理问题、解决问题等过程。

归纳主要包括两个方面：一是按照事物特点进行汇总与归类；二是根据所要考察的知识点选择相应的方法加以进行。

1.汇总与归类首先，根据数学概念、公式和基本法则，将其归纳到一个有一定逻辑顺序结构和一定组织形式的总目录，然后对这些目录加以处理，整理出一个数组或者数列，使之便于操作、便于学习应用。

其次，要综合考虑一些因素导致某一元素有其独特属性，在进行相应的分类。

这就是所谓的“按属性分类”，它包括三个方面：一是每个元素都有一个基本的属性；二是各元素有自己独特的属性类型；三是其独特的属性类型与其他元素之间存在着密切的关系。

最后要注意分类的层次性和关联性。

分类首先要对各元素的属性性质做出概括（即归纳）和确定。

其次为不同类别之间建立起合理的逻辑顺序与逻辑层次（即类别）。

但在汇总和归类过程中要注意两点：一是根据一定原则、方法、事物发展演变态势进行汇总或归类；二是必须建立起合理系统且有逻辑层次结构形式和各种不同类别之间是否存在着相互关联关系。

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数学思想与方法分类整理试题答案
一、单项选择题
1．所谓类比，是指( ) B．由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法
2．猜想具有两个显着特点( )。

D．科学性与推测性
3．所谓数学模型方法是( )。

A．利用数学模型解决问题的一般数学方法
4．数学模型具有( )特性。

C．抽象性、准确性和演绎性、预测性
5．概括通常包括两种：经营概括和理论概括。

而经验概括是从事实出发，以对个别事物所作的观察陈述为基础。

上升为普遍的认识——(A.由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性 )的认识。

6.三段论是演绎推理的主要形式，它由（）三部分组成。

D．大前提、小前提和结论
7.传统数学教学只注重———的传授，而忽略对知识发生过程中——的挖掘B．形式化数
学知识，数学思想方法
8.特殊化方法是指在研究问题中，（）的思想方法B．从对象的一个给定集合出发，进而考
虑某个包含于该集合的较小集合
9.分类方法的原则是（）D．不重复，无遗漏，标准同一，按层次逐步划分。

高考达标检测（五十五）推理3方法——类比、归纳、演绎一、选择题1．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③④解析：选A根据题意，依次分析4个推理：对于①，在推理过程中由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理；对于②，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理；对于③，不是合情推理，对于④，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理，所以是合情推理的是①②④.2．已知①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形．由①②③组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是()A．正方形是平行四边形B．平行四边形的对角线相等C．正方形的对角线相等D．以上均不正确解析：选C由演绎推理三段论可得，“平行四边形的对角线相等”为大前提，“正方形是平行四边形”为小前提，则结论为“正方形的对角线相等”．3．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()13 5 791113151719212325272931………A．731 B．809C．852 D．891解析：选B由题意知，前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.4．某校高二(1)班每周都会选出两位“迟到之星”，在“迟到之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，小谭说：“小赵说的对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是()A．小赵、小谭B．小马、小宋C．小马、小谭D．小赵、小宋解析：选A小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”是假话，否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，是真话；小谭说：“小赵说的对”，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“迟到之星”是小赵和小谭．5．将正整数排列如下：123 45678910111213141516…则图中数2 018出现在()A．第44行第83列B．第45行第83列C．第44行第82列D．第45行第82列解析：选D由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因为442＝1 936,452＝2 025，且1 936＜2 018＜2 025，所以2 018在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2 018－1 936＝82，故2 018在第45行第82列，选D.6．单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数，则f(n)＝()A．3n2－3n＋1 B．3n2－3n＋2C．3n2－3n D．3n2－3n－1解析：选A由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，…因此，当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n ＋1.又f(1)＝3×12－3×1＋1＝1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.7．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5 … 2 015 2 016 2 017 2 0183 57 9 …………4 031 4 033 4 03581216 ……………… 8 0648 0682028 …………………… 16 132………………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为()A．2 019×22 015B．2 019×22 016C．2 018×22 017D．2 018×22 016解析：选B当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20；当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21；当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22；当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23；归纳推理得，当第一行为2 018个数时，最后一行仅一个数，为2 019×22 016.8．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O -ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为() A．S2＝S21＋S22＋S23B．S2＝1S21＋1S22＋1S23C．S＝S1＋S2＋S3D．S＝1S1＋1S2＋1S3解析：选A如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2) ＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋14BC 2·OD 2＝⎝⎛⎭⎫12OB ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12OC ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12BC ·OD 2 ＝S 21＋S 22＋S 23.二、填空题9．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ， 又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数， 则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332. 答案：33210．(2018·湛江一模)如图，已知点O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，并延长交对边于A 1，B 1，C 1则OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＝1，类比猜想：点O 是空间四面体A -BCD 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，DO ，并延长分别交平面BCD ，ACD ，ABD ，ABC 于点A 1，B 1，C 1，D 1，则有____________．解析：猜想：若O 为四面体A -BCD 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，DO ，并延长分别交平面BCD ，ACD ，ABD ，ABC 于点A 1，B 1，C 1，D 1，则OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1. 用等体积法证明如下：OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝V O -BCD V A -BCD ＋V O -CAD V B -CAD ＋V O -ABD V C -ABD ＋V O -ABCV D -ABC ＝1. 答案：OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1 11．(2017·北京高考)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(ⅰ)男学生人数多于女学生人数； (ⅱ)女学生人数多于教师人数； (ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________． ②该小组人数的最小值为________．解析：令男学生、女学生、教师人数分别为x ，y ，z ， 则z ＜y ＜x ＜2z .①若教师人数为4，则4＜y ＜x ＜8， 当x ＝7时，y 取得最大值6.②当z ＝1时，1＝z ＜y ＜x ＜2，不满足条件； 当z ＝2时，2＝z ＜y ＜x ＜4，不满足条件；当z ＝3时，3＝z ＜y ＜x ＜6，y ＝4，x ＝5，满足条件． 所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12. 答案：6 12 12．已知cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14， cos π7cos 2π7cos 3π7＝18， ……(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________； (2)若数列{a n }中，a 1＝cos π3，a 2＝cos π5cos 2π5，a 3＝cos π7cos 2π7cos 3π7，…，前n 项和S n ＝1 0231 024，则n ＝________.解析：(1)从题中所给的几个等式可知，第n 个等式的左边应有n 个余弦相乘，且分母均为2n ＋1，分子分别为π，2π，…，n π，右边应为12n ，故可以猜想出结论为cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *)．(2)由(1)可知a n ＝12n ，故S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－12n ＝2n －12n ＝1 0231 024，解得n ＝10.答案：(1)cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *)(2)10三、解答题13．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， ∴sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ， 同理可得sin B ＞cos C ，sin C ＞cos A ， ∴sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .14．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，向按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求f (6)的值； (2)求f (n )的表达式；(3)求证：当n ≥2时，1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＜32.解：(1)f (1)＝1， f (2)＝1＋4＝5， f (3)＝1＋4＋8＝13， f (4)＝1＋4＋8＋12＝25， f (5)＝1＋4＋8＋12＋16＝41， f (6)＝1＋4＋8＋12＋16＋20＝61. (2)∵f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，由上式规律得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . ∴f (n )－f (n －1)＝4×(n －1)， f (n －1)－f (n －2)＝4×(n －2)， f (n －2)－f (n －3)＝4×(n －3)， ……f (2)－f (1)＝4×1，∴f (n )－f (1)＝4[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＝2(n －1)·n ， ∴f (n )＝2n 2－2n ＋1.(3)证明：当n ≥2时，1f (n )－1＝12n 2－2n ＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ，∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n . 由于g (n )＝32－12n 为递增数列，即有g (n )≥g (1)＝1，且g (n )＜32，故1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＜32.1．为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”“书法社”“汉服社”，还满足如下条件：(1)甲同学没有加入“楹联社”； (2)乙同学没有加入“汉服社”；(3)加入“楹联社”的那名同学不在高二年级； (4)加入“汉服社”的那名同学在高一年级； (5)乙同学不在高三年级． 则甲同学所在的社团是( ) A ．楹联社 B ．书法社C ．汉服社D ．条件不足无法判断解析：选C 假设乙在高一，则由(4)知乙加入“汉服社”，与(2)矛盾， 结合(5)知，乙在高二年级．根据(3)，可得乙加入“书法社”． 根据(1)可知甲同学没有加入“楹联社”， 可得甲同学所在的社团是汉服社.2．已知13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3 025，则n ＝( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：选C ∵13＋23＝32＝(1＋2)2， 13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2， 13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，……∴13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝n2(n＋1)24.∵13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，∴n2(n＋1)24＝3 025，∴n2(n＋1)2＝(2×55)2，∴n(n＋1)＝110，解得n＝10.。

第十二章归纳推理、类比推理、回溯推理和科学假说【堂上操练】一、填空题：1．归纳推理是从__________的前提推出__________的结论的推理。

2．概率归纳推理是根据某类事物中的_______具有某种属性的概率，推出该类事物的________都具有该属性概率的推理。

3．___________是根据被考察的样本中百分之几的对象具有（或不具有）某种属性，从而推出总体中百分之几的对象具有（或不具有）某种属性的推理。

4．所谓探求因果联系的方法，就是以____________为手段，考察对象之间因果联系的逻辑方法，包括_____________________________________。

5．类比推理简称类推，是根据两个（或两类）对象在某些属性上_________，从而推出它们在其他属性上也___________的推理。

6．回溯推理是从已知事实出发，借助充分条件假言命题，从后件存在推测前件存在的______________推理。

7．科学假说是指以已有的事实材料和科学原理为依据对未知的事物或规律性所作的______________的思维方法二、指出下列结论是运用哪种归纳推理推出的：1．秋早寒冬必暖矣；春多雨则夏必旱矣。

2．某系99级（1）班所有学生逻辑成绩都及格。

3．人贵有自知之明。

4．一切阶级社会的教育都是为统治阶级的政治路线服务的。

5．骄傲来自浅薄，狂妄出于无知。

6．5个连续自然数之和能被5整除。

三、指出下列推理的种类，并写出其推理形式：1．德国数学家高斯在很小的时候，就表现出非凡的数学天才。

他10岁那年，老师在他班里出了一道算术题：1+2+3+4……+97+98+99+100+？老师刚把题目说完，小高斯就举起手来，报出算题的答案：5050。

小高斯为什么能算得这么快呢？原来他发现1到100这一百个数有一个特点，即依次把头尾两个数加起来都等于101，而这样的数刚好50对。

于是，他就用101×50去计算，很快就得到了答案。

数学思想与文化中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.下列哪个问题的解决与运筹学无关参考答案:哥尼斯堡七桥问题2.如果让跑得很快的阿基里斯和爬得很慢的乌龟一起赛跑，因为追赶的时间这一列数有无穷多个，因而说明阿基里斯在有限的时间内永远追不上乌龟。

参考答案:错误3.如果证明了“弱哥德巴赫猜想”，就可以很容易证明“强哥德巴赫猜想”。

参考答案:错误4.《九章算术》全书共9卷，称为“九章”，较完整地叙述了当时已有的数学成就，标志着以筹算为基础的中国传统数学体系的形成。

参考答案:正确5.20世纪的下半叶，现代生命科学领域中在没有足够定量研究的情况下，仍取得了丰硕的成果，因此，生物科学的研究者不需要具备定量研究的能力和知识了。

参考答案:错误6.19世纪，法国数学家傅里叶的工作使乐声性质的研究达到顶点，他建立的关于声音的数学分析理论代表了19世纪用数学方法研究音乐理论的最高成就。

参考答案:正确7.在热传导过程中，当热运动达到平衡状态时，温度函数满足的调和方程是一种二阶偏微分方程。

参考答案:正确8.数学在数据压缩技术中作用不大。

参考答案:错误9.下列曲线属于“病态曲线”的是参考答案:佩亚诺曲线_加百列喇叭10.群论的创始人是参考答案:伽罗瓦11.《天文学大成》是亚历山大后期的数学著作，作者是参考答案:托勒密12.下面的作品中，反映了拓扑变形在美术中的应用的有参考答案:莫比乌斯带上的蚂蚁13.数学发展史上，提出“数学结构”观念的数学学派是参考答案:布尔巴基学派14.下面的几个数中是完美数的是参考答案:2815.丹麦哥本哈根电话公司的工程师爱尔朗研究电话服务的等候问题，他在1909年发表的论文《概率与电话通话理论》标志着运筹学的重要分支——___________的诞生。

参考答案:排队论16.关于伽利略悖论（对于每一个正整数，都有一个平方数与之对应，且仅有一个平方数与之对应），下列说法哪个是错误的______。

类比知识点归纳总结大全在学习知识的过程中，我们经常会遇到各种各样的知识点，有时候这些知识点繁杂、分散，很难整理和归纳。

因此，我们需要对学习的知识点进行总结和归纳，以便更好地理解、记忆和应用这些知识。

为了帮助大家更好地总结和归纳知识点，本文将通过类比的方式，对一些常见的知识点进行归纳总结。

类比是一种辅助记忆和理解的方法，通过将一个陌生的概念或知识点与一个熟悉的概念或知识点进行比较，从而帮助我们更好地理解和记忆。

希望通过本文的类比知识点归纳总结大全，能够帮助大家更好地掌握和运用各种知识点。

一、数学知识点类比总结1. 代数代数可以类比成一组钥匙，每一个未知数就像是一个锁，通过代数运算可以找到对应的钥匙打开锁。

例如，解方程可以类比成找到未知数对应的值，从而打开锁。

2. 几何几何可以类比成一幅画，通过几何知识可以描述和绘制各种形状和图形。

例如，通过几何知识可以画出圆、矩形、三角形等各种图形。

3. 概率与统计概率与统计可以类比成赌场的游戏，通过概率与统计可以预测各种事件发生的可能性及其规律。

例如，掷骰子的结果就可以用概率统计来描述和分析。

4.微积分微积分可以类比成测量物体体积和面积的工具，通过微积分可以计算曲线下的面积、切线的斜率等各种问题。

例如，通过微积分可以计算出一个图形的面积和体积。

二、物理知识点类比总结1. 力学力学可以类比成运动的规律，通过力学可以描述和分析各种物体的运动状态及其规律。

例如，牛顿的三大运动定律就是力学的基本规律。

2. 热学热学可以类比成温度和热量的规律，通过热学可以描述和分析各种物体的热量变化及其规律。

例如，热传导、热膨胀等都是热学的重要内容。

3. 电磁学电磁学可以类比成电流和磁场的规律，通过电磁学可以描述和分析各种电磁现象及其规律。

例如，电路中的电流、磁铁的磁场等都是电磁学的重要内容。

4. 光学光学可以类比成光线和镜面的规律，通过光学可以描述和分析光的传播及其规律。

例如，通过光学可以解释折射、反射等光学现象。

类比归纳专题：有理数加、减、乘、除中的简便运算——灵活变形，举一反三◆类型一 加减混合运算的技巧 一、相反数相结合1．计算：10－24－28＋18＋24.二、同分母相结合2．计算：1918＋⎝⎛⎭⎫－534＋⎝⎛⎭⎫－918－1.25.三、计算结果成规律的数相结合3．计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋…＋2013＋2014－2015－2016的结果是( ) A ．0 B ．－1 C ．2016 D ．－20164．★阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当a ≥0时，|a |＝a ；当a <0时，|a |＝－a .根据以上阅读完成：(1)|3.14－π|＝________；(2)计算：⎪⎪⎪⎪12－1＋⎪⎪⎪⎪13－12＋⎪⎪⎪⎪14－13＋…＋⎪⎪⎪⎪19－18＋⎪⎪⎪⎪110－19.◆类型二 乘法分配律的解题技巧 一、正用分配律5．计算⎝⎛⎭⎫－56－14×(－12)的结果为( ) A ．－7 B ．7 C ．－13 D ．136．利用分配律计算⎝⎛⎭⎫－1009899×99时，较简便的方法是( ) A ．－⎝⎛⎭⎫100＋9899×99 B ．－⎝⎛⎭⎫100－9899×99 C.⎝⎛⎭⎫100－9899×99 D.⎝⎛⎭⎫－101－199×99 二、逆用分配律7．－1317×19－1317×15＝________．8．计算：4×⎝⎛⎭⎫－367－3×⎝⎛⎭⎫－367－6×367.三、除法变乘法，再利用分配律【方法7】 9．计算：⎝⎛⎭⎫16－27＋23÷⎝⎛⎭⎫－542.【变式题】⎝⎛⎭⎫－130÷⎝⎛⎭⎫23－110＋16－25.参考答案与解析1．解：原式＝(10＋18－28)＋(24－24)＝0. 2．解：原式＝⎝⎛⎭⎫1918－918－⎝⎛⎭⎫534＋114＝10－7＝3. 3．D 解析：原式＝(1－3)＋(2－4)＋(5－7)＋…＋(2013－2015)＋(2014－2016)＝－2×1008＝－2016.4．解：(1)π－3.14(2)原式＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋18－19＋19－110＝1－110＝910.5．D 6.A 7.－268．解：原式＝－367×(4－3＋6)＝－277×7＝－27.9．解：原式＝⎝⎛⎭⎫16－27＋23×⎝⎛⎭⎫－425＝－16×425＋27×425－23×425＝－75＋125－285＝－235. 【变式题】解：原式的倒数为⎝⎛⎭⎫23－110＋16－25÷⎝⎛⎭⎫－130＝⎝⎛⎭⎫23－110＋16－25×(－30)＝－20＋3－5＋12＝－10，故原式＝－110.北师大版九年级数学上册期中测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12C.13D.142. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是A.这个方程是一元二次方程B.方C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解 3.下列说法正确的个数是①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形;③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分 A.1 B.2 C.3 D.4乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..4.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是A.①②B.②③C.①③D.①②③ 6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是A.23B.12C.13D.498.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.240139.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为 A.5 B.4 C.342D.3410.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________.12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，则菱形ABCD 的周长为________.13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P ，再随机摸出一张卡片，其数字记为q ，则关于的方程x 2+px+q ＝0有实数根的概率是________.14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下: 由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..0.1)15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________.16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________.三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程:(1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-12乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..18.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转(1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果; (2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元?乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由.20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F. (1)求证:四边形BEDF 是平行四边形; (2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长.21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求:(1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米?(2)能围成面积为200平方米的鸡场吗?乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律. (1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式; (2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x.23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F. (1)求证:△BDF 是等腰三角形;(2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由; ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。

高中数学中常用的类比推理《新课程标准数学科高考考试大纲》在选修1-2中，明确要求“能利用归纳和类比等进行简单的推理”。

类比是一种思维形式，是根据两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，进而推得它们在另一属性上相同或相似的一种推理方法。

类比是人们对客观事物思维的能动反映，它为科学假设和猜想提供思维模式，因此，类比成为人们发现真理的动力。

物理学家开普勒说过：“我珍爱类比胜于一切，它是我可信赖的主人，它了解自然的所有秘密……”类比推理的形式如下：对象A具有属性a，b，c，d；对象B具有属性a，b，c；所以对象B具有属性d.这里的A，B可以是不同领域的两种事物，只要有某种类似。

由此可知，类比是逻辑推理方法中最富于创造性的一种方法，因为类比法不必像归纳法那样局限于同类事物，更不像演绎法那样受到一般原理的制约。

下面就高中数学类比推理的几种类型举例说明。

一、函数与方程型例1.（2001年上海高考题）已知两个圆x2+y2=1①与x2+（y-3）2=1②，则由①减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即得一个更一般的命题，而已知命题是所推广命题的一个特例，推广的命题为。

解：由对称性知，两圆半径相等，而圆心位置不同时才有对称轴方程，所以可填：已知两圆（x-a）2+（y-b）2=R2和（x-c）2+（y-d）2=R2（a≠c或b≠d），则此两方程相减可得这两个圆的对称轴方程。

二、等差数列与等比数列型请看下表：■等差数列和等比数列的内容有明显的类似性，它们的对应命题之间存在着有趣的对应规律：等差数列各公式中的加、减、乘、除，正好分别对应着等比数列中的乘、除、乘方、开方。

例 2.（选修1-2）在等差数列{an}中，若a10=0，则有：a1+a2+…+an=a1+a2+…a19-n（n解：在等差数列{an}中，由a10=0得，a1+a19=a2+a18=…=an+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0所以，a1+a2+…+a19=19a10=0即a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1又a1=-a19，a2=-a18，…，a19-n=-an+1a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n相应地，在等比数列{bn}中，由b9=1得，b1・b17=b2・b16=…=bn・b18-n=bn+1・b17-n=b29=1所以，b1・b2…b17=b917=1类比等差数列有b1・b2…bn=■・b16…bn+1=■・■…■=b1・b2…b17-n例3.若数列{an}是等差数列，则数列{bn}：bn=（a1+a2+…+a2n+1）/（2n+1）也是等差数列，类比上述性质，相应地，若数列{an}是等比数列，则数列{bn}：bn= 也是等比数列。

小学数学思维——类比训练方法——关系类比三年级：1、单位类比。

例题: 2平方分米=( )平方厘米 40000平方米=( )公顷 8分米=( )厘米=( )米扩展：1千米对于1000米，就好比 1米对于( )分米；1分米对于( )厘米，就好比1厘米对于10毫米；1分米对应10厘米就好比1平方分米对于( )；1公顷对于10000平方米，就好比1平方米对于( )平方分米；1平方分米对于100平方厘米，就好比1( ) 对于100平方毫米；1吨对于1000 千克，就好比1千克对于( )克；2、线和角类比。

例题：直线有（）个端点，它可以向两端无限延长；直线上两点之间的一段叫（），它有（）个端点；射线有（）个端点，它可以向一端无限延长。

扩展：直线对于没有端点、就好比射线对于_____________。

在同一平面内，不相交的两条直线对于平行线就好比相交成直角时对于_____________。

90°对于直角就好比180°对于_____________。

60°对于锐角就好比360°对于_____________。

3、四舍五入法类比。

例题：在圆圈里填上“＞”“＜”或“＝”。

45万○449000 405000○405万709000○709万79万○780000 756420○756542 89500○101210扩展：12.445对于13就好比26.3810000对于__________。

3.996对于4.0就好比5.897对于__________。

433458对于43万就好比3624895对于__________。

1704634对于171万就好比20703296对于__________。

35800200对于3580万就好比74608050对于__________。

四年级1、小数的分类类比。

例题： 5.4％、1120 、0.54按从小到大的顺序排列为：（）扩展：0.368对于纯小数就好比3.25对于_____________。