理论力学11—动量定理

B
mv 0 (P cos 45 mg sin30 F )t (1)

x
45
P
C
0 0 (P sin 45 NC mg cos30 )t
由(2)式得
(2)

NC
F
30
mg
NC P sin 45 mgcos30

A
从而摩擦力为
F fNC f ( P sin 45 mgcos30 )
在应用普遍定理解决实际问题时，不仅运算简单，而且各个量都具有 明确的物理意义，便于更深入地研究机械运动的规律。
几个有意义的实际问题
偏心转子电动机 工作时为什么会左 右运动； 这种运动有什么 规律；
？
会不会上下跳动； 利弊得失。
几个有意义的实际问题
蹲在磅秤上的人站起来时 磅秤指示数会不会发生的变化
解：研究系统，建立坐标系。
Fx(e) 0 px c
设沙箱滑动结束后车速为v，则有
W3
W2
N1
v0
W1 W2 W3 W1 W2 v0 v g g
代入已知数据，解得v＝3 m/s 再以小车为研究对象，由动量定理有
W1
x
N2
px p0 x Ft
p p1 p2 p AB p A pB pOC v 2(m1 m2 )vC m1 C 2 1 (5m1 4m2 )vC 2 因为 vC l
得
y B
p2
p1
C
C
O
t
A
C1
x
1 p (5m1 4m2 )l 2
11 动量定理
动量与冲量 动量定理 质心运动定理
用质点运动微分方程解决质点系动力学问题在数学上会遇到很大困难。 在许多工程问题中并不需要求出每个质点的运动规律，而是只需知道质点 系整体的运动特征就够了。 动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理、动能定理。这些定理建 立了表现运动特征的量（动量、动量矩、动能）和表现力作用效果的量 （冲量、冲量矩、功）之间的关系。
y
G
h
2h t g
0 0 G(t ) N
mv2 y mv y I y 1

* N
1 2h N G( 1) G( 1) g
1 2 1.5 N 3000 9.8( 1) 1656kN 0.01 9.8

t
锤对工件的平均压力与反力N*大小相等，方向相反，与锤的重量 G＝29.4 kN比较，是它的56倍，可见这个力是相当大的。
建立如图直角坐标系，则动量的投影为
m2 vB 2m1vC B C m1vC1 C
O
y
C
t
1
m2 v A A
x
px 2m1vC sin t m1vC1 sin t m2v A l 2m1l sin t m1 sin t m2 2l sin t 2 l (5m1 4m2 ) sin t 2
代入(1)式，求得所需时间为
mv t P cos 45 mg sin 30 f ( P sin 45 mg cos30 ) 0.0941s
11.2 动量定理
11.2.2 质点系的动量定理
设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的 动量为mivi ，作用在该质点上的外力与内力的合力 (i) (e) 为Fi 与 i ，由质点的动量定理有 F (e) (i) d (mi vi ) Fi Fi (i 1, 2, , n) dt 将n个方程相加，即得 (e) (i) d ( mv ) F F dt 改变求和与求导次序，则得 (e) (i) d ( mv ) F F dt
11.2 动量定理
其中： p mv ；由于内力成对出现，故所有内 (i) 力的矢量和恒等于零，即 F 0。于是可得
质点系动量定理的微分形式 (e) dp d mv F dt dt 质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系 的外力的矢量和（或外力的主矢）。 上式也可以写成 (e) (e) d p F dt d I 质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲 量的矢量和。
O
1
R C B
30
p
2
A
O
1
ve C va B v
30

r
vr R2 0.1 4 0.4 m/s
于是
A
3 vC va vr sin 60 0.4 0.3464 m/s 2

所以
p mvC 20 0.3464 6.93N s
p y 2m1vC cost m1vC1 cost m2vB l 2m1l cost m1 cost m2 2l cost 2 l (5m1 4m2 ) cost 2
所以机构动量的大小和方向为
p
2 2 px p y
l (5m1 4m2 ) 2
方向为C点速度的方向。
例3、两均质杆OA和AB质量为m，长为l，铰接于A。图示位 置时，OA杆的角速度为 ，AB杆相对OA杆的角速度亦为 。 求此瞬时系统的动量。
解：由刚体系统的动量公式 其中：
p m1vC1 m2vC 2
C1
O
mvC1 A
l vC1 2 vC 2 vA vC 2 A AB作平面运动
p0 0
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这 段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。
质点系动量定理的积分投影形式
px p0 x I x(e) , py p0 y I y(e) , pz p0 z I z (e)
11.2 动量定理
11.2.3 质点系动量守恒定律
方向水平向右。
动量计算
例2、椭圆规机构的规尺AB的质量为 2m1，曲柄OC的质量为m1，滑块A和 B的的质量均为m2 。已知OC＝AC＝ CB＝l。曲柄和规尺均为均质细直杆。 曲柄以角速度 转动。求机构的动量。 解1：由质点系动量公式有 p 2m1vC m1vC1 m2v A m2vB
2）质点系的动量
质点系中各质点动量的矢量和称为质点系的 动量。
p mi vi
动量
3）质心及用质心速度求质点系动量
定义质点系质量中心(质心) C 的矢径
则
mi ri mi ri rC mi M d ri d p mi vi mi mi ri dt dt d (mrC ) mvC 质点系的动量等于质 dt
0
在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质 点的力在此段时间内的冲量。
例4 锤的质量m＝3000 kg，从高度h＝1.5 m 处自由下落到受锻压的工件上，工件发生变 形历时 t ＝0.01 s ；求锤对工件的平均压力。
解：以锤为研究对象，和工件接触后受力如图。工件 反力是变力，在短暂时间迅速变化，用平均反力 N*表示。 锤自由下落时间
如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，质点系的 动量保持不变。 p＝p0 ＝恒矢量 如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影 恒等于零，质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不 变。 若 Fx (e) 0 ，则
px＝p0x ＝恒量
小兔子向前走时，船会怎么样？
动量守恒定律
例6 如图所示，已知小车重为2 kN，沙箱重1 kN，二者以速度v0＝3.5 m/s 运动。此时有一重为0.5 kN的铅球垂直落入沙中后，测得箱在车上滑动 0.2 s，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦力。
点系的质量与质心速 度的乘积。
已知:圆盘质量为M,半径为r,图示瞬时三种情 况下圆盘的，求各自的动量。P245

C
C

C vC

vC
p Mv C Mr
p0
p Mv C Mr
动量计算
例1 OA杆绕O轴逆时针转动，均质圆 盘沿OA杆纯滚动。已知圆盘的质量m ＝20 kg，半径R＝100 mm。在图示 o 位置时，OA杆的倾角为30 ，其角速 度1＝1 rad/s，圆盘相对OA杆转动的 角速度2＝4 rad/s， 100 3 mm , 求 OB 圆盘的动量。 解:取C为动点，动系与OA固连 ve OC 1 0.2 1 0.2 m/s
例5 滑块C的质量为m＝19.6 kg ，在力P＝866 N的作用下沿倾角为30 的 o 导杆AB运动。已知力P与导杆AB之间的夹角为45 ，滑块与导杆的动摩擦 系数f＝0.2 ，初瞬时滑块静止，求滑块的速度增大到v＝2 m/s 所需的时间。 解：以滑块C为研究对象，建立坐标系。 由动量定理得
o
y
两边对t求导
mAar cos (mA mB )aB (1)
d py dt
再以A为研究对象，受力如图，由
mB g
B
mA g

y A
x
N
mA g
R
d px Fx (e) dt
Fy (e)
x
有
d mA (vr cos vB ) N sin dt d mA ( vr sin ) N cos mA g dt
解：先对系统进行运动分析，建立如图坐标， 设B的速度为vB，A相对B的速度为vr，则 于是
y A B y A
vA vB vr v Ax vr cos vB
v Ay vr sin
vB
vr

x
系统受力如图。因SFx(e)＝0，且初始系统静止，有