平面弯曲3-梁的变形

第九章梁的弯曲第一节平面弯曲一、平面弯曲的概念当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用时（图9-1），杆轴由直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。

以弯曲变形为主的杆件称为梁。

图9-1 受弯杆件的受力形式弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。

例如房屋建筑中的楼面梁，受到楼面荷载和梁自重的作用，将发生弯曲变形（9-2a、b），阳台挑梁（9-2 c、d）等，都是以弯曲变形为主的构件。

工程中常见的梁，其横截面往往有一根对称轴，如图9-3所示，这根对称轴与梁轴所组成的平面，称为纵向对称平面（图9-4）。

如果作用在梁上的外力（包括荷载和支座反力）和外力偶都位于纵向对称平面内，梁变形后，轴线将在此纵向对称平面内弯曲。

这种梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲，称为平面弯曲。

平面弯曲是一种最简单，也是最常见的弯曲变形，本章将主要讨论等截面直梁的平面弯曲问题。

图9-2 工程中常见的受弯构件图9-3 梁常见的截面形状图9-4平面弯曲的特征二、单跨静定梁的几种形式工程中对于单跨静定梁按其支座情况分为下列三种形式：1．悬臂梁： 梁的一端为固定端，另一端为自由端（图9-5a ）。

2．简支梁： 梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座（图9-5b ）。

3．外伸梁： 梁的一端或两端伸出支座的简支梁（图9-5c ）。

(a ) (b ) (c )图9-5 三种静定梁第二节 梁的弯曲内力——剪力和弯矩为了计算梁的强度和刚度问题，在求得梁的支座反力后，就必须计算梁的内力。

下面将着重讨论梁的内力的计算方法。

一、截面法求内力1、剪力和弯矩图9-6 用截面法求梁的内力图9-6a 所示为一简支梁，荷截F 和支座反力R A 、R B 是作用在梁的纵向对称平面内的平衡力系。

现用截面法分析任一截面m-m 上的内力。

假想将梁沿m-m 截面分为两段，现取左段为研究对象，从图9-6b 可见，因有座支反力R A 作用，为使左段满足Σ Y ＝０，截面m-m 上必然有与R A 等值、平行且反向的内力Q 存在，这个内力Q ，称为剪力；同时，因R A 对截面m-m 的形心O 点有一个力矩R A · a 的作用，为满足Σ M o ＝０，截面m-m 上也必然有一个与力矩R A · a 大小相等且转向相反的内力偶矩Ｍ存在，这个内力偶矩M 称为弯矩。

平面弯曲梁的变形计算公式梁是工程结构中常见的构件，用于承担横向载荷和弯矩。

在实际工程中，梁的变形是一个重要的问题，因为变形会影响结构的稳定性和使用性能。

平面弯曲梁是一种常见的梁结构，其变形计算公式是工程设计和分析中的重要内容。

本文将介绍平面弯曲梁的变形计算公式及其应用。

平面弯曲梁的变形是由横向载荷和弯矩引起的。

在计算平面弯曲梁的变形时，需要考虑梁的截面形状、材料性质和受力情况。

根据梁的几何形状和材料性质，可以得到平面弯曲梁的变形计算公式。

下面将介绍平面弯曲梁的变形计算公式及其推导过程。

首先，考虑一根长度为L的平面弯曲梁，在横向载荷和弯矩的作用下发生弯曲变形。

假设梁的截面形状为矩形，材料为弹性材料，横向载荷为P，弯矩为M。

根据弹性力学理论，可以得到平面弯曲梁的变形计算公式如下：1. 梁的挠度计算公式。

梁的挠度是描述梁在弯曲变形下的位移情况的参数。

挠度计算公式可以通过梁的受力分析和材料力学理论推导得到。

对于矩形截面的平面弯曲梁，其挠度计算公式为：δ = (PL^3)/(3EI) + (ML^2)/(2EI)。

其中，δ为梁的挠度，P为横向载荷，L为梁的长度，E为弹性模量，I为梁的惯性矩，M为弯矩。

2. 梁的曲率计算公式。

梁的曲率是描述梁在弯曲变形下曲线形状的参数。

曲率计算公式可以通过挠度计算公式求导得到。

对于矩形截面的平面弯曲梁，其曲率计算公式为：κ = d²δ/dx² = M/(EI)。

其中，κ为梁的曲率，δ为梁的挠度，x为横向坐标，M为弯矩，E为弹性模量，I为梁的惯性矩。

3. 梁的最大挠度计算公式。

梁的最大挠度是描述梁在弯曲变形下最大位移情况的参数。

最大挠度计算公式可以通过挠度计算公式和曲率计算公式求解得到。

对于矩形截面的平面弯曲梁，其最大挠度计算公式为：δmax = (5PL^4)/(384EI) + (3ML^3)/(64EI)。

其中，δmax为梁的最大挠度，P为横向载荷，L为梁的长度，E为弹性模量，I为梁的惯性矩，M为弯矩。

9—1 弯曲变形的概念一、弯曲与平面弯曲1、弯曲：直杆在垂直于杆轴的外力作用下，杆的轴线变为曲线，这种变形叫弯曲。

2、梁：以弯曲为主变形的构件称为梁。

其特点：a、形状：轴线是直的，横截面至少有一个对称3m m由∑x=0 ∑y=0；—Q m+R A=0 Q∑y=0∑m=0 0∑m=0；—R A+M m=0，Q m——剪力 M m——弯曲梁平面弯曲时截面产生两种内力 : 剪力Q二、Q，M正负号的规定四、讨论：1、要正确区别性质符号和运算符号。

所谓正，负Q，M是指性质符号而言2、Q x=∑左·y 或 Q x=∑右·y， M x=∑左·M 或M x=∑右·M3、可用“简便方法”计算截面内力六、求剪力和弯矩的基本规律（1）求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向，转向相反）。

一般取外力比较简单的一段进行分析（2）梁内任一截面上的剪力Q的大小，等于这截面左边（或右边）的与截面平行的各外力的代数和。

若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有与y轴同向的外力使该截面产生正剪力，而所有与y轴反向的外力使该截面产生负剪力；若考虑右段为脱离体时，在此段梁所有与y轴同向的外力梁上作用任意荷载q （x ）：（1）取出梁中一微段d x （d x 上认为荷载是均匀的）；（2）设截面内力：Q （x ），M （x ）。

利用 ∑y =0。

则：Q （x ）+q （x ）d x —[Q （x ）+d Q （x ）]=0d Q （x ）=q （x ）d x即 d Q （x ）/d x =q （x ）剪力对x 的一阶导数等于荷载 ∑0M =0M （x ）—[M （x ）+d M （x ）]+Q （x ）d x +q （x ）d x d x /2=0即； d M （x ）/d x =Q （x ） 弯矩对x 的一次导等于剪力（1） q （x ）=0 （无线荷载）d Q （x ）/d x =q （x ）=0 说明剪力方程是常数。

钢结构梁变形标准
钢结构梁变形标准主要涉及到三种变形：弯曲变形、挤压变形和剪切变形。

1. 弯曲变形：是指钢梁在承受负荷后出现的弯曲变形。

根据标准要求，弯曲变形应符合L/300的标准，其中L为跨度。

也就是说，在台阶承载时，钢梁的弯曲变形不应超过跨度的1/300，否则可能会影响结构的正常使用。

2. 挤压变形：是指钢梁在受压力作用下的长轴方向出现的压缩变形。

根据标准要求，挤压变形应符合L/150的标准，其中L为跨度。

即在台阶承载时，钢梁的挤压变形不应超过跨度的1/150，否则会危及结构的安全。

3. 剪切变形：是指钢梁在承受横向力时发生的剪切变形，一般表现为上下翘起或者下垂。

根据标准要求，剪切变形应符合1/150的标准，即在台阶承载时，钢梁的剪切变形不应超过跨度的1/150，否则会影响结构的正常使用。

另外，对于钢梁平面弯曲，也有明确的允许偏差标准。

根据《建筑钢结构制作和安装技术规范》中的规定，钢梁平面弯曲允许偏差的标准为梁长的1/200或50mm，取其中较小值。

以上信息仅供参考，具体的钢结构梁变形标准可能因不同的设计规范、使用环境和结构要求而有所差异。

在实际应用中，需要参考相关的设计规范和标准，结合实际情况进行判断和评估。

第7章-梁的弯曲变形(总32页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第7章 梁的弯曲变形与刚度梁弯曲变形的基本概念7.1.1 挠度在线弹性小变形条件下，梁在横力作用时将产生平面弯曲，则梁轴线由原来的直线变为纵向对称面内的一条平面曲线，很明显，该曲线是连续的光滑的曲线，这条曲线称为梁的挠曲线（图7-2）。

梁轴线上某点在梁变形后沿竖直方向的位移（横向位移）称为该点的挠度。

在小变形情况下，梁轴线上各点在梁变形后沿轴线方向的位移（水平位移）可以证明是横向位移的高阶小量，因而可以忽略不计。

挠曲线的曲线方程：)(x w w = （7-1）称为挠曲线方程或挠度函数。

实际上就是轴线上各点的挠度，一般情况下规定：挠度沿y 轴的正向（向上）为正，沿y 轴的负向（向下）为负（图7-4）。

必须注意，梁的坐标系的选取可以是任意的，即坐标原点可以放在梁轴线的任意地方，另外，由于梁的挠度函数往往在梁中是分段函数，因此，梁的坐标系可采用整体坐标也可采用局部坐标。

7.1.2 转角梁变形后其横截面在纵向对称面内相对于原有位置转动的角度称为转角（图7-3）。

转角随梁轴线变化的函数：)(x θθ= （7-2）称为转角方程或转角函数。

图7-3 梁的转角)(x 图7-2梁的挠曲线由图7-3可以看出，转角实质上就是挠曲线的切线与梁的轴线坐标轴x 的正方向之间的夹角。

所以有：xx w d )(d tan =θ,由于梁的变形是小变形，则梁的挠度和转角都很小，所以θ和θtan 是同阶小量，即：θθtan ≈，于是有：xx w x d )(d )(=θ （7-3） 即转角函数等于挠度函数对x 的一阶导数。

一般情况下规定：转角逆时针转动时为正，而顺时针转动时为负（图7-4）。

需要注意，转角函数和挠度函数必须在相同的坐标系下描述，由式（7-3）可知，如果挠度函数在梁中是分段函数，则转角函数亦是分段数目相同的分段函数。