新北师大版九年级数学上册1-2矩形的性质与判定(2) 学案(无答案)

第2课时整体设计教学目标【知识与技能】1.经历并了解矩形判定方法的探索过程,使学生逐步掌握说理的基本方法.2.掌握矩形的判定方法,能根据判定方法进行初步运用.【过程与方法】1.在探索判定方法的过程中培养学生的合情推理意识、主动探究的习惯.2.在画矩形的过程中,培养学生动手实践能力,积累数学活动经验.【情感态度与价值观】1.激发学生学习数学的热情,培养学生勇于探索的精神和独立思考合作交流的良好习惯,体验数学活动来源于生活又服务于生活,提高学生的学习兴趣.2.通过与他人的合作,培养学生的合作意识和团队精神.教学重难点【重点】矩形的判定定理.【难点】矩形的判定定理的证明及灵活应用.教学准备【教师准备】直尺、演示教具.【学生准备】直尺、白纸.教学过程新课导入导入一:【问题1】投影图片展示门窗、建筑物墙砖、数学教材,观察所展示物体的形状都是什么图形?【问题2】一天,小丽和小娟到一个商店准备给今天要过生日的小华买生日礼物,选了半天,她们最后决定买相框送给她,在里面摆放她们三个人的合影,为了相框摆放的美观性,她们选择了矩形的相框,那么用什么方法可以确定她们拿的就是矩形的相框呢?[设计意图]利用学生感兴趣的生活事例,贴近生活,培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣,这也为本课时的后续学习做好铺垫.导入二:【问题】什么是矩形?它具有哪些性质?[处理方式]根据学生的回答,将矩形的定义和性质主动呈现出来,同时强化知识之间的联系,根据学生的回答,借助多媒体课件呈现用文字语言、符号语言和图形语言表述的矩形的性质.【师】日常生活中矩形随处可见,但是有的时候需要判断一个四边形是不是矩形?如教室的黑板、数学教材……那么如何判断一个四边形是矩形呢?这就是本课时我们所要研究的重要内容.教师板书课题.[设计意图]复习矩形的性质,为后续的判定定理的学习奠定基础.因为判定定理与性质定理是互逆的,运用多媒体课件将性质的符号语言投射出来,便于学生更好地将图形语言、符号语言与文字语言有机结合;通过谈话和日常生活的实际需要,转到矩形的判定,符合学习数学的真正目的.新知构建一、矩形的判定(一)[处理方式]边说明、边演示,用上、下一样长,左、右一样长的四根木条,长对长,短对短,首尾相接,做成一个木条框一定是矩形吗?还要满足什么条件?教具演示由平行四边形矩形平行四边形的过程,得出“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”.【学生活动】观察教师演示木条框由平行四边形矩形平行四边形的操作过程,明确变为矩形时的条件.知道“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可以作为判定矩形的方法,这种方法就是矩形的定义法.二、矩形的判定(二)【教师活动】提出问题,激发学生探索的积极性,还有没有其他的判定方法呢?下面我们再来做一做这样的试验,用刚才演示的木条框,对角线用橡皮筋连接.教师逐渐演示,配合多媒体课件的呈现,引导学生得出结论.如下图所示的是一个平行四边形的木条框,拉动一对不相邻的顶点,平行四边形的形状会发生变化.(1)随着∠α的变化,两条对角线的长度将发生怎样的变化?【学生活动】观察教师的演示,随着∠α的变化,两条对角线(两条橡皮筋)的长度将发生的变化:当∠α由小变大时,其中一条对角线变长,而另一条对角线变短;当∠α是直角时,两条对角线长度相等.这就是矩形的对角线的性质.【教师活动】进一步提出问题,通过学生的观察得出结论,然后理性的引导学生证明结论的正确性.(2)当两条对角线的长度相等时,平行四边形有什么特征?由此你能得到一个怎样的猜想?【学生活动】通过观察、思考提出猜想,得出结论,再证明结论的正确性.从而得到矩形的判定方法:对角线相等的平行四边形是矩形.【教师活动】引导学生明确证明文字命题的步骤:(1)弄清命题的题设和结论;(2)依据命题的题设和结论,画出图形;(3)根据图形写出已知、求证;(4)证明.根据分析,多媒体课件逐步演示.定理:对角线相等的平行四边形是矩形.已知:如图所示,在▱ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,且AC＝DB.求证▱ABCD是矩形.〔解析〕依据矩形的定义,只要证出有一个角是直角即可.由平行四边形的性质可知AB∥DC,AB＝CD,条件有AC＝DB,再加上公共边BC＝CB,可得ΔABC≌ΔDCB.从而∠ABC＝∠DCB.再依据两直线平行,同旁内角互补,可得∠ABC＝∠DCB＝90°.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝DC,AB∥DC.又∵BC＝CB,AC＝DB,∴ΔABC≌ΔDCB.∴∠ABC＝∠DCB.∵AB∥DC,∴∠ABC＋∠DCB＝180°.∴∠ABC＝∠DCB＝×180°＝90°.∴▱ABCD是矩形(矩形的定义).【学生活动】在上述过程中,明确文字命题的证明方法和步骤及规范的书写格式.确定此结论是正确的,并可以作为判定定理来使用.三、矩形的判定(三)【教师活动】通过谈话,引导探索其他判定方法,判定方法2实际上是矩形的对角线性质定理的逆定理,那么矩形的其他性质的逆命题,能否作为矩形的判定方法呢?引导从矩形性质的逆命题中探索.得出结论之后,引导证明结论.设置问题:想一想:矩形的四个角是直角,反过来,一个四边形至少有几个角是直角时,这个四边形就是矩形呢?【学生活动】积极探索,多生互相补充、完善得出结论:“有三个角是直角的四边形是矩形”.【教师活动】给出完整的证明过程,给学生以示范引领.[设计意图]这三种判定方法学生呈现的顺序可能不同,根据具体情况及时调整,让学生确信这三种方法切实可行、正确无疑.当学生知道判定方法后,自然引入实际应用,即教材中的议一议,又与导入的问题相对称,起到前呼后应的作用.[知识拓展]判定矩形的方法有两个思路,可以由四边形直接判定是矩形,方法有:有三个角是直角的四边形是矩形.也可以先判断是平行四边形,再由平行四边形判定是矩形,方法有:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;(2)对角线相等的平行四边形是矩形.(教材例2)如图所示,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,ΔABO是等边三角形,AB＝4,求▱ABCD的面积.【教师活动】引导分析解题方法,鼓励学生利用多种方法解决问题.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC,OB＝OD.又∵ΔABO是等边三角形,∴OA＝OB＝AB＝4,∠BAC＝60°.∴OA＝OB＝OC＝OD＝4,∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.∴▱ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).∴∠ABC＝90°(矩形的四个角都是直角).在RtΔABC中,由勾股定理,得AB2＋BC2＝AC2,∴BC＝-＝-＝4.∴S▱ABCD＝AB·BC＝4×4＝16.【学生活动】积极探索多种解题方法,尝试用不同的方法解决问题,小组合作交流探索的成果,体验成功的喜悦.[设计意图]一方面想通过例题的示范引领,规范书写的具体格式;另一方面通过一题多法,开拓学生的思维,提高学生的解题能力,小组合作交流既有利于培养学生的语言表达能力,又有利于多种解题方法的形成与选择,还可以增强学生集体荣誉感及相互配合、相互协作的能力.课堂小结1.矩形的判定方法(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)对角线相等的平行四边形是矩形.(3)有三个角是直角的四边形是矩形.2.判定一个四边形是矩形的方法与思路是:检测反馈1.下列说法正确的是()(1)对角线相等的四边形是矩形;(2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;(3)有一个角是直角的四边形是矩形;(4)有三个角是直角的四边形是矩形;(5)四个角都相等的四边形是矩形;(6)对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形;(7)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形.A.(1)(2)(3)B.(2)(4)(5)C.(4)(5)(6)D.(3)(4)(7)答案:B2.如图所示,工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行:(1)先截出两对符合规格的铝合金窗框,如图①所示,即AB＝CD,EF＝GH;(2)摆放成如图②所示的四边形,则这时窗框的形状是,根据的数学道理是.(3)将直角尺靠紧窗框的一个角,如图③所示,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时,如图④所示,说明窗框合格.这时窗框是,根据的数学道理是.答案:平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形3.如图所示,在▱ABCD中,AB＝6,BC＝8,AC＝10,求证四边形ABCD是矩形.证明:∵在ΔABC中,AB＝6,BC＝8,AC＝10,∴AC2＝AB2＋BC2,∴∠ABC＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是矩形.板书设计第2课时1.矩形的判定(一)2.矩形的判定(二)3.矩形的判定(三)例2布置作业【必做题】教材第16页习题1.5的1,2题.【选做题】教材第16页习题1.5的3题.。

1.2 矩形的性质与判定第1课时【教学目标】1.了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质.2.经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法.【教学重难点】重点:掌握矩形的性质，并学会应用.难点:理解矩形的特殊性.把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形.【教学过程】一、联系生活，形象感知【显示投影片】教师活动:将收集来的有关长方形图片播放出来，让学生进行感性认识，然后定义出矩形的概念.矩形定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.（也就是小学学习过的长方形）教师活动:介绍完矩形概念后，为了加深理解，也为了继续研究矩形的性质，拿出教具，同学生一起探究下面问题：问题1：改变平行四边形活动框架，将框架夹角α变为90°，平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？（教师提问）学生活动:观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现:矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质.问题2：既然它具有平行四边形的所有性质，那么矩形是否具有它独特的性质呢？（教师提问）学生活动：由平行四边形对边平行以及刚才α变为90°，可以得到α的补角也是90°从而得到:矩形的四个角都是直角.评析:实际上，在小学学生已经学过长方形四个角都是90°，这里学生不难理解.教师活动:用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系，并要求学生证明（口述).学生活动：观察发现:矩形的两条对角线相等.口述证明过程是:充分利用(SAS)三角形全等来证明.口述：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB = 90°,AB=DC.又∵ B C为公共边，∴ΔABC≌ΔDCB(SAS),∴AC=BD.教师提问:AO= AC, BO= BD呢？BO是RtΔABC的什么线？由此你可以得到什么结论？学生活动：观察、思考后发现AO=1/2AC，BO=1/2BD，BO是RtΔABC的中线.由此归纳直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半(师生回忆）.【设计意图】采用观察、操作、交流、演绎的手法来解决重点，突破难点.二、范例点击例1:如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2. 5,这个矩形对角线的长. (投影显示）分析：利用矩形对角线相等且平分得到OA=OB，由于∠AOB= 60°，因此，可以发现ΔAOB为等边三角形，这样可求出OA=AB =2. 5，∴AC= BD= 2OA=5.【活动方略】教师活动:板书例1，分析例1的思路，教会学生解 题分析法，然后板书解题过程(课本P 13).学生活动:参与教师讲例，总结几何分析思路. 【问题探究】(投影显示）如图，ΔABC 中，∠A =2∠B ，CD 是ΔABC 的高，E 是AB 的中点，求证：:D E=1/2AC .分析：本题可从E 是AB 的中点切入，考虑应用三角形中位线定理.应用三角形中位线必需找到另一个中点.分析可知：可以取BC 中点F ，也可以取AC 的中点G 为尝试.教师活动:操作投影仪，引导、启发学生的分析思路，教会学生如何书写辅助线.学生活动：分四人小组，合作探索，想出几种不同的证法.证法一:取BC 的中点F ，连接EF 、DF ，如图（1).【设计意图】补充这道演练题是训练学生的应用能力，提高一题多解的意识，形成几何思路.三、随堂练习教材P 13随堂练习四、应用拓展已知:如图，从矩形ABCD 的顶点C 作对角线BD的垂线与∠BAD 的平分线相交于点E ，求证:AC =CE.∠FAB .现在只要证明∠BAF = ∠DAC 即可，而实际上，∠BAF =∠BDA=∠DAC ，问题迎刃而解.五、 课堂小结本节课应掌握：1.矩形定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此矩 形是平行四边形的特例，具有平行四边形所有性质。

第一章特殊的平行四边形1.2 矩形的性质与判定第2课时一、教学目标1．理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系．2．经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力．3．能够用综合法证明矩形的判定定理，以及其他相关结论，进一步发展演绎推理能力．4．进一步体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想．二、教学重点及难点重点：探索矩形的判定方法．难点：合理应用矩形的判定定理解决问题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。

四、相关资《四边形到平行四边形再到矩形的变化》动画，《矩形的判定》微课.五、教学过程设计【复习引入】1．什么叫做矩形？答：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形与平行四边形及四边形有什么从属关系？3．矩形有什么特有的性质呢？答：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等．4．你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？答：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义判定）．5．那么除了矩形的定义外，还有没有其他判定矩形的方法呢？这节课我们就共同来探究一下．师生活动：教师出示问题，学生回答，让学生复习前面学过的内容．设计意图：通过复习，巩固旧知，铺垫新知，设置问题，引出新课．【探究新知】做一做如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？师生活动：教师出示“做一做”并操作演示，学生思考、讨论、交流，猜想出矩形的一个判定方法．答：（1）当∠α增大到90°时，两条对角线的长度相等．当∠α超过90°时，以∠α的顶点为端点的一条对角线逐渐变短，另一条对角线逐渐变长．（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形的四个角都等于90°．得到的猜想是：对角线相等的平行四边形是矩形．思考你能证明你的猜想吗？师生活动：教师出示问题，学生思考，教师引导学生写出已知、求证并完成证明过程．答：已知：如图，在四边形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB．求证：□ABCD是矩形．分析：利用全等三角形证明平行四边形的某两个相邻的角相等，而这两个角又互补，所以它们都是直角，从而得证．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC．又∵BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌△DCB．∴∠ABC=∠DCB．∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°．∴∠ABC=∠DCB=．∴□ABCD是矩形（矩形的定义）．设计意图：培养学生发现规律的能力和逻辑推理能力．判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．该判定定理的两个适用条件：（1）对角线相等；（2）是平行四边形．想一想：我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论．师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论、交流，形成猜想并证明猜想．猜想：一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形．已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵∠A=∠B=90°，∴∠A+∠B=180°．∴AD∥BC．∵∠B+∠C=180°，∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．设计意图：培养学生的归纳猜想，推理论证的能力．判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．几何语言：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形．归纳:矩形的判定方法：方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形；方法2：对角线相等的平行四边形是矩形；方法3：有三个角是直角的四边形是矩形．议一议你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流．师生活动：教师出示问题，学生思考，教师找学生代表回答．答：可以用直角尺检查安装的门框的四个角是否为直角．如果有三个角是直角，那么刚安装的门框一定是矩形．也可以用直尺（或皮尺）分别量出门框两组对边的长度，如果两组对边长度分别相等，则门框一定是平行四边形，再测量门框的对角线的长度，如果两条对角线的长度相等，那么刚安装的门框一定是矩形．如果仅有一根较长的绳子，可以先用绳子分别测量出门框的两组对边的长度，做上记号．如果两组对边的长度分别相等，那么这个门框一定是平行四边形，再用绳子量出门框的对角线的长度．如果这两条对角线的长度相等，那么这个刚安装的门框一定是矩形，否则不是矩形．理由是对角线相等的平行四边形是矩形．设计意图：让学生运用所学知识解决实际问题．【典例精析】例1 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积．师生活动：教师出示例题，学生思考，教师引导学生完成本题．分析：教师先带学生从已知条件入手，对平行四边形对角线的性质进行分析，再结合△ABO是等边三角形的条件，很容易推出对角线相等，从而利用刚学的矩形的判定定理“对角线相等的四边形是矩形”证得是矩形，再利用勾股定理求出边长BC，进而求出矩形的面积．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．又∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°．∴OA=OB=OC=OD=4．∴AC=BD=2OA=2×4=8．∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，∴．∴S□ABCD=AB·BC=4×=．设计意图：培养学生应用所学知识解决问题的能力．【课堂练习】1．下列命题错误的是（）．A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形B．对角互补的平行四边形是矩形C．对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形D．四个角都相等的四边形是矩形参考答案C2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为__________．参考答案12．3．已知：如图，在□ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC．求证：四边形ABCD是矩形．师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．答案证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC．∵M是AD边的中点，∴AM=DM．又∵MB=MC，∴△ABM≌△DCM（SSS）．∴∠A=∠D．又∵AB∥DC，∴∠A+∠D=180°．∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．4．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是□ABCD外一点，且∠AEC=∠BED=90°．求证：□ABCD是矩形．师生活动：教师出示题目，学生思考，教师请有思路的学生讲述解题思路，然后订正，最后教师写出解题过程．证明：如图，连接OE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵∠AEC=∠BED=90°，∴OE=AC=BD．∴AC=BD．∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识，进一步加深对所学知识的理解．六、课堂小结请同学们回顾一下，我们学过的矩形的判定方法有哪些？答：我们学过的矩形的判定方法有：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形；（3）判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．师生活动：教师出示问题，引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计1.2 矩形的性质与判定（2）1．矩形的判定方法：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形（3）判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。

1.2 矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质1．掌握矩形的定义，理解矩形与平行四边形的关系．2．理解并掌握矩形的性质定理；会用矩形的性质定理进行推导证明．(重点)3．会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．(难点)阅读教材P11～13，完成下列问题： (一)知识探究1．有______________的平行四边形叫做矩形． 2．生活中你见到过的矩形有________、________.3．矩形是________的平行四边形，具有平行四边形的________性质． 4．矩形的________都是直角． 5．矩形的对角线________．6．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________． (二)自学反馈1．矩形是轴对称图形吗？如果是的话，它有几条对称轴？2．请用所学的知识诊断下面的语句，若正确请在括号里打“√”，若“有病”请开药方： (1)矩形是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一个角是直角．( ) (2)平行四边形是矩形．( )(3)平行四边形具有的性质(如平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分)矩形也具有．( )3．已知△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°，BD 是斜边AC 上的中线．若BD ＝3 cm ，则AC ＝________cm.活动1 小组讨论例 如图，在矩形ABCD 中，两条对角线相交于点O ，∠AOD ＝120°，AB ＝2.5 cm ，求矩形对角线的长．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD(矩形的对角线相等)，OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD.∴OA ＝OD.∵∠AOD ＝120°，∴∠ODA ＝∠OAD ＝12×(180°－120°)＝30°.又∵∠DAB ＝90°(矩形的四个角都是直角)， ∴BD ＝2AB ＝2×2.5＝5.利用矩形的对角线相等及直角三角形的性质是解决这类问题的关键．活动2 跟踪训练1．矩形具有一般平行四边形不具有的性质是( ) A ．对边相互平行 B ．对角线相等 C ．对角线相互平分 D ．对角相等2．如果矩形的两条对角线所成的钝角是120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为( ) A ．3∶2 B ．2∶1 C ．1.5∶1 D ．1∶13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，AC ，BD 相交于点O ，则图中等腰三角形的个数是( ) A ．8 B ．6C ．4D ．24．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 为AB 、AC 的中点．则下列结论中错误的是( ) A ．CD ＝AD B ．∠B ＝∠BCD C ．∠AED ＝90° D ．AC ＝2DE5．在直角三角形中，两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线长为________．6．矩形的一条对角线长10 cm ，且两条对角线的一个夹角为60°，则矩形的宽为________cm.7．如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF ⊥AE ，垂足为F.求证：DF ＝DC. 活动3 课堂小结1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【预习导学】 (一)知识探究1．一个角是直角 2.五星红旗 毛巾 3.特殊 一切 4.四个角 5.相等 6.一半 (二)自学反馈1．是轴对称图形，有两条对称轴． 2.(1)√ (2)× (3)√ 3.6 【合作探究】 活动2 跟踪训练1．B 2.B 3.C 4.D 5.1326.57．证明：连接DE.∵AD ＝AE ，∴∠AED ＝∠ADE.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠C ＝90°.∴∠ADE ＝∠DEC.∴∠DEC ＝∠AED.又∵DF ⊥AE ，∴∠DFE ＝∠C ＝90°.∵DE ＝DE ，∴△DFE ≌△DCE.∴DF ＝DC.第2课时 矩形的判定能运用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力．(重难点)阅读教材P14～16，完成下列问题： (一)知识探究1．对角线________的平行四边形是矩形． 2．有三个角是________的四边形是矩形． (二)自学反馈1．能够判断一个四边形是矩形的条件是( )A ．对角线相等B ．对角线垂直C ．对角线互相平分且相等D ．对角线垂直且相等2．矩形的一组邻边分别长3 cm和4 cm，则它的对角线长________cm.3．如图，直线EF∥MN，PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠NCA、∠FAC 的平分线．(1)判断AB和CD、BC和AD的位置关系？(2)∠ABC、∠BCD、∠CDA、∠DAB各等于多少度？(3)四边形ABCD是( )A．菱形 B．平行四边形C．矩形 D．不能确定(4)AC和BD有怎样的大小关系？为什么？活动1 小组讨论例1 如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4.求▱ABCD的面积．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵△ABO是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°.∴OA＝OC＝OB＝OD＝4.∴AC＝BD＝2OA＝8.∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．∴∠ABC＝90°(矩形的四个角都是直角)．∴由勾股定理得：BC＝82－42＝4 3.∴▱ABCD的面积是BC×AB＝43×4＝16 3.先通过对角线相等证明此平行四边形为矩形，再通过矩形的面积公式求．活动2 跟踪训练1．下列说法错误的是( )A．有一个内角是直角的平行四边形是矩形B．矩形的四个角都是直角，并且对角线相等C．对角线相等的平行四边形是矩形D．有两个角是直角的四边形是矩形2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )A．AB＝CD B．AD＝BCC．AB＝BC D．AC＝BD3．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想使该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是________．(填上你认为正确的一个答案即可)4．如图，直角∠AOB 内的任意一点P 到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为________．5．如图，在▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F. 求证：(1)△ADE ≌△CBF ； (2)四边形BFDE 为矩形．活动3 课堂小结 矩形的判定方法：1．有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．对角线相等的平行四边形是矩形． 3．有三个角是直角的四边形是矩形．【预习导学】 (一)知识探究 1．相等 2.直角 (二)自学反馈1．C 2.5 3.(1)AB ∥CD ，BC ∥AD.(2)90°.(3)C (4)相等．因为矩形的对角线相等． 【合作探究】 活动2 跟踪训练1．D 2.D 3.答案不唯一，如：∠A ＝90° 4.125．证明：(1)∵DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，∴∠AED ＝∠CFB ＝90°.∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ＝BC ，∠A ＝∠C.在△ADE 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AED ＝∠CFB ，∠A ＝∠C ，AD ＝CB ，∴△ADE ≌△CBF(AAS)．(2)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD∥AB.∴∠CDE ＋∠DEB ＝180°.∵∠DEB ＝90°，∴∠CDE ＝90°.∴∠CDE ＝∠DEB ＝∠BFD ＝90°.∴四边形BFDE 为矩形．第3课时 矩形的性质与判定的运用能够运用严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论．(重难点)阅读教材P16～18，完成下列问题： 自学反馈1．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，已知∠AOD ＝120°，AB ＝2.5 cm ，则∠DAO ＝________，AC ＝________cm ，S 矩形ABCD ＝________.2．如图，四边形ABCD 是平行四边形，添加一个条件________，可使它成为矩形．活动1 小组讨论例1 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，对角线AC 与BD 交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED ＝3BE.求AE 的长．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AO ＝BO ＝DO ＝12BD(矩形的对角线相等且互相平分)，∠BAD ＝90°(矩形的四个角都是直角)．∵ED ＝3BE ，∴BE ＝OE. 又∵AE ⊥BD ，∴AB ＝AO.∴AB ＝AO ＝BO ，即△ABO 是等边三角形． ∴∠ABO ＝60°.∴∠ADB ＝90°－∠ABO ＝30°. 在Rt △AED 中，∵∠ADB ＝30°，∴AE ＝12AD ＝12×6＝3.例2 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线，AN 为△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为E.求证：四边形ADCE 是矩形．证明：∵AD 平分∠BAC ，AN 平分∠CAM ，∴∠CAD ＝12∠BAC ，∠CAN ＝12∠CAM.∴∠DAE ＝∠CAD ＋∠CAN ＝12(∠BAC ＋∠CAM)＝12×180°＝90°.在△ABC 中，∵AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线， ∴AD ⊥BC.∴∠ADC ＝90°. 又∵CE ⊥AN ， ∴∠CEA ＝90°.∴四边形ADCE 为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)． 活动2 跟踪训练1．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以下说法错误的是( ) A ．∠ABC ＝90° B ．AC ＝BD C ．OA ＝OB D ．OA ＝AD2．如图，矩形的两条对角线的一个夹角为60°，两条对角线的长度的和为20 cm ，则这个矩形的一条较短边的长度为( )A．10 cm B．8 cm C．6 cm D．5 cm3．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )A．AB＝BEB．DE⊥DCC．∠ADB＝90°D．CE⊥DE4．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝________.5．在四边形ABCD中，AB∥DC，∠C＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是________________．(写出一种情况即可)6．如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F.(1)求证：△AOE≌△COF；(2)请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．活动3 课堂小结1．说说你的收获．2．说说你的困惑．3．说说你的方法．【预习导学】自学反馈1．30° 5 2543 cm2 2.答案不唯一，如：AC＝BD【合作探究】活动2跟踪训练1．D 2.D 3.B 4.5 5.答案不唯一，如：AB＝CD.6．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，AB∥CD.∴∠E＝∠F.又∠AOE＝∠COF.∴△AOE≌△COF.(2)连接EC、AF，则EF与AC满足EF＝AC时，四边形AECF是矩形，理由：由(1)可知△AOE≌△COF，∴OE＝OF.∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．∵EF＝AC，∴四边形AECF是矩形.。

1.2 矩形的性质与判定第1课时 矩形的性质教学目标 1．知道矩形的概念与有关性质，会用这些知识进行简单的推理与计算。

2. 在了解矩形与平行四边形之间的关系，掌握、运用矩形性质的过程中，渗透数形结合、转化化归与方程思想，进一步提高分析问题与解决问题的能力。

重点 矩形概念的理解；掌握并会运用矩形的性质 难点运用矩形的性质进行简单的推理与计算。

一、定义：矩形的定义： 。

由此可见，矩形是特殊的 ，它具有 的所有性质。

二、探究矩形的性质：1．四个角都是直角.2．对角线相等且平分. ． ．三、知识延展：（1）、由矩形性质有OA=OC=21AC OB=OD=21BD 且AC=BD得OA= = = ∴矩形对角线的交点O 到各顶点的距离 。

（2）由图可知，在矩形中有 个直角三角形，它们分别是 有 个等腰三角形，它们分别是∴我们通常在直角三角形、等腰三角形中求有关边与角。

（3）、由矩形性质有∠ABC=900，OA=OB=OC这说明：Rt△ABC中，若OB是斜边AC的，则OB= AC ∴直角三角形斜边上的中线等于斜边长的（4）思考：矩形是轴对称图形吗？将矩形作业纸对折，我们发现：矩形是图形，有条对称轴。

对称轴是。

∴矩形既是对称图形，又是对称图形，对称中心为四、应用1、例题：（P13例1，先看题目自己完成证明过程，再对照课本检查）2、课堂检测：(1)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有( )A．2条B．4条C．5条D．6条(2)下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分(3)将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形。

若∠CED′=56°,则∠AED的大小是_______.。

学生自主学习学案 审核人：第一章 特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定（二）一、 学法指导1．能运用综合法证明矩形判定定理。

2．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。

二、回顾旧知前面我们已经知道矩形具有一般平行四边形的所有性质，它还具有特殊的性质：矩形的四个角都是直角。

矩形的对角线相等。

三、新课引入观察教材P14的做一做中的图片，按照要求探索其中的规律。

猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。

已知：在平行四边形ABCD 中，AC,DB 是它的两条对角线，AC=DB.求证：平行四边形AB CD 是矩形。

证明：由此得出判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形。

交流讨论： 一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。

证明：四、巩固练习1．下列条件中，不能判定四边形ABCD 为矩形的是（ ）．A ．AB ∥CD ，AB=CD ，AC=BD B ．∠A=∠B=∠D=90°C ．AB=BC ，AD=CD ，且∠C=90° D ．AB=CD ，AD=BC ，∠A=90°2．已知点A 、B 、C 、D 在同一平面内，有6个条件：①AB ∥CD ，②AB=CD ，③BC ∥AD ，•④BC=AD ，⑤AC=BD ，⑥∠A=90°．从这6个条件中选出（直接填写序号）_______3个，能使四边形ABCD 是矩形．3．已知：如图，在ABCD 中，O 为边AB 的中点，且∠AOD=∠BOC ． 求证：ABCD 是矩形．BACD O4．已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N•分别为BC、AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形．拓展与延伸5．已知：如图，在ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，且∠BED为直角．•求证：•四边形ABCD是矩形．参考答案:1．C2．（答案不唯一，只要写出一组即可）①②⑥，①③⑥，①②⑤，①③⑤，②④⑤，②④⑥．3．由ABCD，可得AD∥BC，AB∥DC，∴∠A+∠B=180°，∴∠AOD=∠CDO，∠BOC=∠DCO．又∵∠AOD=∠BOC，∴∠CDO=∠DCO．∴OD=OC．又∵AO=BO，∴△ADO≌△BCO．∴∠A=•∠B=90°，∴ABCD是矩形．4．由等边三角形的性质，可推出∠DMB=∠MBN=∠BND=90°，可得四边形BMDN是矩形．5．证明：连接OE ．在ABCD中，OA=OC，OB=OD．以AC为斜边的Rt△ACE中，OE•为斜边AC上的中线，∴OE=12AC，即AC=2OE．以BD为斜边的Rt△BDE中，OE为斜边BD上的中线，∴OE=12BD，即BD=2OE，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．BACDNMBACEDO。

1.2 矩形的性质与判定【学习目标】课标要求：1. 知识与技能:(1) 掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。

(2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;(3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．2. 过程与方法：(1)经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；（2）通过灵活运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法，并渗透运动联系、从量变到质变的观点．3. 情感态度与价值观：(1)在观察、测量、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。

(2) 通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心。

(3)从矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关系，渗透集合的思想。

目标达成：1、掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系2、理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明学习流程：【课前展示】1.什么叫做平行四边形2.平行四边形有什么性质3.什么叫做菱形4.菱形有什么性质5.如何判定一个四边形是平行四边形6.如何判定一个平行四边形是菱形【创境激趣】活动内容：1、平行四边形具有哪些性质？2、探究矩形的定义。

利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，让学生注意观察。

在演示过程中让学生思考：（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？（2）在运动过程中四边形不变的是什么？（3）在运动过程中四边形改变的是什么？不变：对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形变：角的大小（4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的平行四边形是什么图形。

（矩形）矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形AB C D AB CD 一个角变形成直角【自学导航】1、矩形的定义2 矩形的性质3.例题【合作探究】活动内容：1. 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？在同学回答的基础上进行归纳：2.但矩形是特殊的平行四边形，它还具有一些特殊性质。

矩形的性质与判定学习目标1、会证明矩形的判定定理。

2、能运用矩形的判定定理进行计算与证明。

3、能运用矩形的性质定理与判定定理进行综合推理与证明。

学习过程一、自研自探 (一)、温故知新矩形的特殊性质：矩形的对角线 矩形的四个角都是 。

它们的逆命题是：对角线相等的平行四边形是 个角都是直角的四边形是矩形。

它们是真命题吗？问：什么样的四边形是矩形呢？怎样判断一个四边形是矩形？（二）、探究新知 请你先认真研读课本p14至p15页，然后解答下列问题。

知识点一:1 、 会用矩形的定义判定一个四边形是否是矩形，并会用该种方法进行有关的证明。

定义 有一个角是的叫做矩形数学表达 ∵ 四边形ABCD 是四边形=∴ 四边形ABCD 是矩形知识点二:2 、探究并掌握矩形的判定方法二 （猜想）两条对角线相等的平行四边形是. （证明）利用右图证明你猜想的结论。

如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，如果AC=BD 求证：ABCD 是矩形。

结论 定理：数学表达 ：∵ 四边形ABCD 是四边形 且=∴ 四边形ABCD 是矩形知识点三:3、探究并掌握矩形的判定方法三 （猜想）有三个角是直角的四边形是矩形吗？为什么？（证明）利用右图证明你猜想的结论。

已知： 在四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90︒求证：四边形ABCD 矩形结论 定理：数学表达 : ∵在四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90°∴四边形ABCD 是形二、互动合作 小组成员之间交换导学案，看看同学的结论(答案)与你的有什么不同。

把你的修改意见在导学案上直接写(标注)下来。

【内容一】1、在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点o,△ABO 是等边三角形,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.【内容二】1．已知：如图，在ABCD中，O为边AB的中点，且∠AOD=∠BOC．求证：ABCD是矩形．矩形的判定方法角：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(2)三个角是直角的四边形是矩形对角线：(1)对角线相等的平行四边形是矩形五、巩固训练一、基础题1、若矩形两对角线相交所成的角等于120°，较长边为6cm，则该矩形的对角线长为 cm；2、直角三角形两直角边长分别为6cm和8cm, 则斜边上的中线长为 cm，斜边上的高为cm.3、下列命题是真命题的是（）；A.有一个角是直角的四边形是矩形B.两条对角线相等的四边形是矩形C.有三个角是直角的四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形是矩形4、若矩形两邻边的长度之比为2︰3，面积为54cm2, 则其周长为（）.A. 15cmB. 30cmC. 45cmD. 90cm二、发展题5、如图3-12， ABCD中，∠DAC =∠ADB, 求证：四边形ABCD是矩形.二、提高题6、如图3-14，平行四边形ABCD的四个内角的平分线相交于点E、F、G、H. 求证：EG = FH.B图3-12BACDO图3-14HGFEB AD。

数学九年级北师大版 1.2 矩形的性质与判定教学案（无答案）- 1 - / 2导（学）补充导学案编号 （ 10） 【课 题】1.2矩形的判定（1分钟）【学习目标】：（1分钟）1．能探索出矩形的判定定理，并记住矩形的判定方法。

（重点） 2．会灵活运用矩形的判定方法解题。

（重难点）3．通过独立完成证明的过程，增强对待科学的严谨治学态度，养成良好的习惯。

预习案（约10分钟） 评价：【自学导航】用５分钟认真阅读课本14—15页的内容，独立完成1—3题。

1. 矩形的定义： 叫做矩形.2. 已知：如图，四边形ABCD 中，090=∠=∠=∠CDA BCD ABC 求证：四边形ABCD 是矩形3.已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC=BD. 求证：四边形ABCD 是矩形4.归纳出矩形的判定方法：1）矩形的定义： 叫做矩形；数学符号语言： ∴2）矩形的判定定理1: 的四边形是矩形.数学符号语言： ∴3）矩形的判定定理2：对角线 是矩形；数学符号语言： ∴探究案（23分钟）探究（一）5. 已知：如图，菱形ABCD 中，对角线AC 和BD 相较于点O ，CM ∥BD,DM ∥AC . 求证:四边形OCMD 是矩形.6.已知：如图□ABCD 各角的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H.MOADCB学法指导： 1.巩固矩形的定义；2.应用矩形的定完成2.3.3.学生通过2.3.两题归纳矩形的判定方法。

学法指导： 1.审清题意，由已知条件联想相关结论；2. 结合题目要求的结论找思路，明确要证明的目标；3.小组交流，整合思路，完成过程的规范书写.导（学）补充求证：四边形EFGH是矩形.强化训练：7. 如图,在□ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）求□ABCD的面积.检测案（共20分，10分钟完成，15分合格）得分：8．（5分）四边形ABCD的对角线AC和BD互相平分，要使它成为矩形应添加的条件是 .9. （5分）下列说法错误的是（）A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形B、三个角是直角的四边形是矩形C、对角线相等的四边形是矩形D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3.（10分）已知，如图在△ABC中AB=AC,D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.【作业】课本16页第1、2题ODAB C学法指导：1.审清题意，由已知条件联想相关结论；2. 结合题目要求的结论找思路，明确要证明的目标；3.小组交流，整合思路，完成过程的规范书写.- 2 -。

2．矩形的性质与判定（三）一、学生起点分析学生在八年级已经学习了平行四边形的性质和判定，本学期也学习了一种特殊的平行四边形——菱形的性质和判定；本节前两课时，学生学习了矩形的性质与判定；本课时在前面学习的基础上进行矩形知识的综合应用。

在前面相关知识的学习中，学生已经经历了大量的证明活动，特别是平行四边形的相关证明推理，学生已经逐渐体会到了证明的必要性和证明在解决实际问题时的作用，同时，在前面的相关活动中，学生已经初步了解了归纳、概括及转化等数学思想方法，大量的活动经验丰富了学生的数学思想，锻炼了学生的能力，使学生具备了在解题中合理运用方法的能力。

二、教学任务分析课本基于目前学生的知识和能力水平，对本课内容提出了具体的学习任务：进一步发展推理论证能力，运用综合法证明矩形的性质和判定定理，进一步体会证明的必要性和作用，体会归纳等数学思想方法。

对于本节课的知识，教科书提出的学习任务，重点集中在了学生的能力培养上，因为本节课的知识，对学生来说从认知角度上缺乏挑战性，大部分学生都已经能够熟练运用矩形的性质和判定方法，所以，在教学时，我们应该把目标上升一个层次，从关注学生是否能证明这些定理提高到关注学生如何找到解题思路，从关注学生是否能顺利证明提高到关注学生是否合理严密的使用数学语言严格证明，从关注学生合作解题提高到让每一个学生都能独立完成证明的过程。

能力培养不仅是本节课教学过程中的近期目标，更是为今后学生学习数学知识打下基础的远景目标，能力的培养也必然带动学生情感态度目标的达成。

同时，在教学中，还必须注意对不同层次的学生制定不同的教学任务，做到让每一个学生都能在课堂上有所收获。

为此，本节课我们要达到的具体教学目标为：知识与技能：①知识目标：能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；提高实际动手操作能力。

②能力目标：经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；过程与方法：通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。

第一章特殊平行四边形2. 矩形的性质与判定(二)一、学生知识状况分析学生在初二平行四边形一章中，已经认识了三种特殊平行四边形矩形、菱形和正方形，同时，通过平行四边形和菱形的学习，进行了对平行四边形和菱形性质和判定的证明，学生已经有了一定的推理论证能力，掌握了独立证明特殊平行四边形性质及判定定理的基本技能；在相关知识的学习中，学生已经经历了大量的证明活动，特别是平行四边形的相关证明推理，学生已经逐渐体会到了证明的必要性和证明在解决实际问题时的作用，从而初步具备了证明特殊平行四边形性质和判定定理的能力；同时，在前面的相关活动中，学生已经初步了解了归纳、概括及转化等数学思想方法，大量的活动经验丰富了学生的数学思想，锻炼了学生的能力，使学生具备了在解题中合理运用方法的能力。

二、教学任务分析课本基于目前学生的知识和能力水平，对本课内容提出了具体的学习任务：进一步发展推理论证能力，运用综合法证明矩形的性质和判定定理，进一步体会证明的必要性和作用，体会归纳等数学思想方法。

对于本节课的知识，教科书提出的学习任务，重点集中在了学生的能力培养上，在教学时，我们应该把目标上升一个层次，从关注学生是否能证明这些定理提高到关注学生如何找到解题思路，从关注学生是否能顺利证明提高到关注学生是否合理严密的使用数学语言严格证明，从关注学生合作解题提高到让每一个学生都能独立完成证明的过程。

能力培养不仅是本节课教学过程中的近期目标，更是为今后学生学习数学知识打下基础的远景目标，能力的培养也必然带动学生情感态度目标的达成。

同时，在教学中，还必须注意对不同层次的学生制定不同的教学任务，做到让每一个学生都能在课堂上有所收获。

为此，本节课我们要达到的具体教学目标为：1．能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；2．经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；3．学生通过对比前面所学知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法；4．通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。

第2课时矩形的判定教学目标1．理解并掌握矩形的判定定理，能有理有据的推理证明，精练准确地书写表达。

2. 能熟练应用矩形的性质、判定等知识进行有关证明和计算.重点掌握并会运用矩形的判定难点运用矩形的判定进行简单的推理与计算。

一、旧知回顾1、想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中那些是平行四边形所没有的？列表进行比较.平行四边形矩形边对边平行且相等对边平行且相等角对角相等，邻角互补四个角都是直角对角线对角线互相平分对角线相等且互相平分2、矩形对称性：二、合作探究仿照平行四边形的判定猜想，你能猜出矩形的判定有哪些吗？（分别从边、角、对角线几个方面考虑。

）1、定义可以作为判定2、四个角都是直角的四边形3、对角线相等的平行四边形或对角线互相平分且相等的四边形。

你能证明所写出的判定命题吗？备注（教师复备栏）三、应用例1. 如图，□ ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，△AOB 是正三角形，AB=4cm.(1) 求证□ ABCD 是矩形. (2) 求□ ABCD 的面积.2．已知：如图 ，在△ABC 中，∠C ＝90°， CD 为中线，延长CD 到点E ，使得 DE ＝CD ．连结AE ，BE ，则四边形ACBE 为矩形吗？说明理由。

答案：四边形ACBE 是矩形.因为CD 是Rt △ACB 斜边上的中线，所以DA=DC=DB,又因为DE=CD ，所以DA=DC=DB=DE,所以四边形ABCD 是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形）。

四、课堂检测：1．下列说法正确的是（ ）A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C.对角线互相平分的四边形是矩形D.对角互补的平行四边形是矩形备注（教师复备栏）ODC BA2. 矩形各角平分线围成的四边形是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形3. 下列判定矩形的说法是否正确（1）有一个角是直角的四边形是矩形（）（2）四个角都是直角的四边形是矩形（）（3）四个角都相等的四边形是矩形（）（4）对角线相等的四边形是矩形（）（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形（）（6）对角线相等且互相平分的四边形是矩形（）4.在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是.(写出一种即可)。

ODACOEDCBAAB CDO矩形ABCD中若∠ABD=60°时，则OA=OB=AB；△AOB为等边三角形矩形的判定矩形的性质：①矩形的四个角都是_______；②矩形的对角线_________；推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；矩形的常用判定方法:、有______角是直角的四边形是矩形；②、对角线相等的_____________是矩形；③、对角线相等且互相平分的四边形是矩形结论：如果一个三角形一边上的_____等于这边的一半，那么这个三角形是_______________.★：如图：在矩形ABCD中，若∠ABD=60°，则这个矩形的宽AB是对角线AC的一半，长BC是宽AB的3倍例4：已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC=2AB.求证：△AOB是等边三角形变式练习3：1.已知，在矩形ABCD中，AE⊥BD，E是垂足，∠DAE∶∠EAB=2∶1，求∠CAE的度数。

2.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，•边BC=•8cm，•则△ABO的周长为________．3.如图1，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）．（A）98 （B）196 （C）280 （D）284（1） (2) (3)4.如图2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（•小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为___ _____．5.如图3,在矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，且MA ⊥MD ．•若矩形ABCD•的周长为48cm ，•则矩形ABCD 的面积为_______cm 2．6、如图6，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一点且AE=AD ，又AE DF ⊥于点F ，证明：EC=EF.7、如图7，已知P 是矩形ABCD 的内的一点.求证：2222PD PB PC PA +=+.。

最新北师大版数学精品教学资料第一章特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定（二）教学目标：1．理解并掌握矩形的判定方法．2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。

重点、难点：1．重点：矩形的判定．2．难点：矩形的判定及性质的综合应用．3．难点的突破方法：矩形是有一个角是直角的平行四边形，在判定一个四边形是不是矩形时，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义作用的双重性、性质和判定）．而其它判定都是以“定义”为基础推导出来的．因此本节课要从复习矩形定义下手，并指出由平行四边形．．．．．得到矩形只需要添加一个独立条件，然后让学生思考讨论，如果小华做出的是一个平行四边形，再加一个什么条件可以说明它是一个矩形呢？从而导出矩形判定方法．对于判定方法1，要着重说明这个性质包括两个条件：（1）是平行四边形；（2）两条对角线相等．对于判定2，只要求是四边形即可，因为有三个角是直角，可以推出四边形是平行四边形，而由对角线相等却推不出四边形是平行四边形．为了加深印象，我们安排了例1，在教学中可以适当地再增加一些判断的题目．要让学生知道（1）矩形的判定方法有以下三种：①一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③有三个角是直角的四边形．（2）而由矩形和平行四边形及四边形的从属关系将矩形的判定方法又可分为两类：①从四边形出发必须增加三个特定的独立条件；②从平行四边形出发只需再增加一个特定的独立条件．（3）特别地：①如果所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；②所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．在教学中，除教材中所举的门框或矩形零件外，还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值．三、例的意图分析本节课的三个例题都是补充题，例1的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的条件，老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的目；例2是利用矩形知识进行计算；例3是一道矩形的判定题，三个题目从不同的角度出发，来综合应用矩形定义及判定等知识的．四、课堂引入1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？2．矩形有哪些性质？3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？通过讨论得到矩形的判定方法．矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形． （指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）五、例习题分析例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形； （×）（2）有四个角是直角的四边形是矩形； （√）（3）四个角都相等的四边形是矩形； （√）（4）对角线相等的四边形是矩形； （×） （5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （×）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （√）（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （×）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√）（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． (√)指出：（l ）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．例2 （补充）已知平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 是等边三角形，AB=4 cm ，求这个平行四边形的面积．分析：首先根据△AOB 是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD 是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AO=21AC ，BO=21BD ． ∵ AO=BO ，∴ AC=BD ．∴ ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．在Rt △ABC 中，∵ AB=4cm ，AC=2AO=8cm ，∴ BC=344822=-（cm ）．例3 （补充） 已知：如图（1），ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ．求证：四边形EFGH是矩形．分析：要证四边形EFGH 是矩形，由于此目可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC ．∴ ∠DAB ＋∠ABC=180°．又 AE 平分∠DAB ，BG 平分∠ABC ，∴ ∠EAB ＋∠ABG=21×180°=90°． ∴ ∠AFB=90°．同理可证 ∠AED=∠BGC =∠CHD=90°．∴ 四边形EFGH 是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．六、随堂练习1．（选择）下列说法正确的是（ ）．（A ）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B ）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形（C ）对角线互相平分的四边形是矩形 （D ）对角互补的平行四边形是矩形2．已知：如图 ，在△ABC 中，∠C ＝90°， CD 为中线，延长CD 到点E ，使得 DE ＝CD ．连结AE ，BE ，则四边形ACBE 为矩形．七、课后练习1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB ＝CD ，EF ＝GH ；⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是： ； ⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： ；2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2AC ，求∠A 、∠B 的度数．。

1.2.1 矩形的性质与判定教学目标：(1) 掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。

(2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;(3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．重点：掌握矩形的性质及证明方法难点：运用综合法证明矩形性质教学建议：1.矩形：有一个角是直角的平行四边形.注：（1）解读定义：作为性质和判别；（2）用几何语言表示.2.探索矩形的性质：可让学生以命题的证明形式加以证明.概括矩形的性质：从边来说，矩形的对边平行且相等；从角来说，矩形的四个角都是直角；从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分；从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。

练习：①矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ）A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分②下列说法错误的是（）．A.矩形的对角线互相平分B. 有一个角是直角的四边形是矩形C. 矩形的对角线相等D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形③已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为__________.3. 定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.两个条件：（1）直角三角形（2）斜边的中点。

练习：已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3㎝,则AC＝_____㎝;(2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____㎝,BD＝_____㎝.4.例题讲解：讲解时，要把推理过程规范进行板书。

5.随堂练习：6.补充练习：（1）若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 .（2）如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若∠AOD=60°，OB=•4，•则DC=________．（3）若矩形的对角线长为4cm ，一条边长为2cm ，则此矩形的面积为___________.(4) 矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过顶点C 作CE ∥BD ，交A•孤延长线于点E ，求证：AC=CE ．7.作业布置：P13 1 3 4选做题：矩形ABCD 中，E 是CD 上一点，且AE=CE ，F 是AC 上一点AE FH ⊥于H ，CD FG ⊥于G ，求证：AD FG FH =+B1.2.2 矩形的性质与判定教学目标：1.能够运用综合法判定定理以及其他相关结论；2.经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用.重点：掌握矩形的判定定理以及证明方法难点：运用综合法证明矩形判定定理.教学建议：1.复习：矩形的定义及性质.2.定理两条对角线相等的平行四边形是矩形.（1）学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；（2）对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；（3）请学生交流大体思路；（4）用规范的数学语言写出证明过程；注：判别定理的条件：①平行四边形②对角线相等练习：（1）下列命题是真命题的是（）；A.有一个角是直角的四边形是矩形B.两条对角线相等的四边形是矩形C.有三个角是直角的四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形是矩形(2)已知平行四边形ABCD，添加条件______________,使得已知平行四边形ABCD成为矩形.3.想一想：结合矩形的性质，证明判别定理2.4.例题讲解：注意分析题意和书写规范.5. 补充练习：（1）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，CM∥BD,DM∥AC.求证:四边形OCMD是矩形.（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC.(1)求证：△ADC≌△ECD；(2)若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．6.布置作业：P16 1 2 3选做题：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF ⊥BC，求证：四边形AFCE是矩形1.2.3矩形的性质与判定教学目标：1.能够运用矩形的性质和判定定理以及其他相关结论解决问题.2.经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；重点：综合运用矩形的性质和判别定理.难点：用综合法解决有关问题.教学建议：1.复习：矩形的性质和判别定理（1）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，已知∠AOD= 120°，AB=2.5cm ，则∠DAO= ,AC= cm ，ABCD S =矩形_______.（2）如图，四边形ABCD 是平行四边形，添加一个条件 ，可使它成为矩形.2. 例题讲解：注：（1）结合图形，充分分析条件（2）写出规范的解题过程.3. 想一想：学生做出猜想并证明.4. 补充练习：①如图，已知在▱ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥BD 交CB 的延长线于点G .(1)求证：△ADE ≌△CBF ；(2)若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？证明你的结论．②如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD， BC，AC的中点。