精选2019届中考数学复习第七章视图与变换7-3图形的对称、平移与旋转练习

初三数学图形的对称平移与旋转试题1.如图，在Rt△ABC中，，AC=4，BC=3，点D为AB的中点，将△ACD绕着点C 逆时针旋转，使点A落在CB的延长线处，点D落在点处，则长为．【答案】【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵点D为AB的中点，∴CD=AD=BD=AB=2.5，过D′作D′E⊥BC，∵将△ACD绕着点C逆时针旋转，使点A落在CB的延长线A′处，点D落在点D′处，∴CD′=AD=A′D′，∴D′E==1.5，∵A′E=CE=2，BC=3，∴BE=1，∴BD′=，故答案为：．【考点】旋转的性质．2.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．【考点】中心对称图形；轴对称图形3.下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是A．⑴、⑵B．⑴、⑶C．⑴、⑷D．⑵、⑶【答案】B.【解析】（1）是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；（2）不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；（3）是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；（4）是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选B．【考点】1.中心对称图形；2.轴对称图形．4.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．矩形B．平行四边形C．角D．等边三角形【答案】A．【解析】等边三角形、角是轴对称图形，不是中心对称图形；平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；矩形是轴对称图形，也是中心对称图形．故选A．【考点】1.轴对称图形；2.中心对称图形．5.在平面直角坐标系中，∆ABC的顶点坐标是A（-7,1）、B（1,1）、C（1,7），线段DE的端点坐标是D（7，-1）、E（-1，-7）（1）试说明如何平移线段AC，使其与线段ED重合将线段AC先向______（上，下）平移_______个单位，再向_______（左，右）平移 _______个单位；（2）将∆ABC绕坐标原点逆时针旋转，使AC的对应边为DE，请直接写出点B的对应点F的坐标；（3）画出（2）中的∆DEF，并和∆ABC 同时绕坐标原点O逆时针旋转90o，画出旋转后的图形.【答案】(1)下，8，右，6；（2）F（-l，-1）；（3）画图见解析.【解析】（1）将线段AC先向右平移6个单位，再向下平移8个单位即可得出符合要求的答案；（2）根据A，C对应点的坐标特点，即可得出F点的坐标；（3）分别将D，E，F，A，B，C绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图象即可．试题解析：（1）将线段AC先向下平移8个单位．，再向右平移6个单位（其它平移方式也可以）；（2）根据A，C对应点的坐标即可得出F（-l，-1）；（3）画出如图所示的正确图形．考点: 1.作图-旋转变换；2.作图-平移变换．6.在Rt△POQ中，OP=OQ，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B.求证：MA=MB.【答案】证明见解析.【解析】过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，可得四边形OEBF是矩形，根据三角形的中位线定理可得ME=MF，再根据同角的余角相等可得∠AME=∠BMF，再利用“角边角”证明△AME和△BMF全等，根据全等三角形对应边相等即可证明.试题解析：证明：如图，过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，∵∠O=90°，∴四边形OEMF是矩形，∵M是PQ的中点，OP=OQ=4，∠O=90°，∴ME=OQ=2，MF=OP=2，∴ME=MF，∴四边形OEMF是正方形，∵∠AME+∠AMF=90°，∠BMF+∠AMF=90°，∴∠AME=∠BMF，在△AME和△BMF中，，∴△AME≌△BMF（ASA），∴MA=MB；考点: 1.旋转的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.等腰直角三角形.7.下列图形中，是中心对称图形的是 ( )A．B．C．D．【答案】C.【解析】中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，因此符合的是选项C.故选C.【考点】中心对称图形.8.如图所示，直角坐标系内，A(－4，3)，B（－2，0），C（－1，2），请你在图中画出△ABC 关于原点O的对称的图形即△A′B′C′,并写出A′、B′、C′的坐标，求出△A′B′C′的面积.【答案】作图见解析,A′(4,-3)、B′(2,0)、C′(1,-2),.【解析】试题解析：作图如下:A′(4,-3)、B′(2,0)、C′(1,-2).△A′B′C′的面积=3×3-×1×2-×1×3-×2×3=.【考点】1.作图-中心对称变换；2.转换思想的应用.9.已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形 ,且AB>CE．（1）如图1,连接BG、DE．求证：BG=DE；（2）如图2,如果正方形ABCD的边长为,将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG//BD,BG=BD.①求的度数；②请直接写出正方形CEFG的边长的值.【答案】（1）BG=DE；（2）①②正方形的边长为.【解析】解：（1）证明：∵四边形和为正方形,∴,,.∴..∴△≌△.∴.（2）①连接BE .由（1）可知：BG="DE."∵,∴.∴.∵,∴.∴∵,∴△≌△.∴.∵,∴.∴△.∴②正方形的边长为.【考点】三角形全等.10.如图所示，△ABC与△A’B’C’关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（）A．点A与点A’是对称点B．BO＝B’O’C．∠ACB＝∠C’A’B’D．△ABC≌△A’B’C’【答案】C．【解析】成中心对称的图形的性质：中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等,由题,A正确；B正确；C根据OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′，得到△AOB≌△A′OB′．则∠ACB=∠A’C’B’，C不正确；D正确，故选C．【考点】1.中心对称；2.平行线的判定；3.全等三角形的判定与性质．11.如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，CD的长为．【答案】1.6.【解析】由旋转的性质得到AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，因为BC=3.6，所以CD=BC-BD=3.6-2=1.6.故填1.6.【考点】旋转的性质.12.如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．（1）请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90度．画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【答案】（1）（2，3）；（2）作图见试题解析，B（0，﹣6）；（3）D的坐标为（﹣7，3）或（﹣5，﹣3）或（3，3）．【解析】（1）关于y轴的轴对称问题，对称点的坐标特点是：横坐标互为相反数，纵坐标相等；（2）坐标系里旋转90°，充分运用两条坐标轴互相垂直的关系画图；（3）分别以AB，BC，AC为平行四边形的对角线，考虑第四个顶点D的坐标，有三种可能结果．试题解析：（1）点A关于y轴对称的点的坐标是（2，3）；（2）图形如下，点B的对应点的坐标是（0，﹣6）；（3）以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（﹣7，3）或（﹣5，﹣3）或（3，3）．【考点】1．作图-旋转变换；2．作图题．13.下列图形中，不是中心对称图形的是( ).A. B. C. D.【答案】D【解析】根据中心对称图形的定义：如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形。

初三数学图形的对称平移与旋转试题答案及解析1.下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）【答案】D．【解析】A、不是中心对称图形，故A选项错误；B、不是中心对称图形，故B选项错误；C、不是中心对称图形，故C选项错误；D、是中心对称图形，故D选项正确．故选D．【考点】中心对称图形．2.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1；（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1；（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请直接写出对称轴所在直线的解析式．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）是，y=x．【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点D、E、F绕点O按顺时针方向旋转90°后的对应点D1、E1、F1的位置，然后顺次连接即可；（3）根据轴对称的性质确定出对称轴的位置，然后写出直线解析式即可．试题解析：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△D1E1F1如图所示；（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形，对称轴为直线y=x．【考点】1.作图-旋转变换；2.待定系数法求一次函数解析式；3.作图-平移变换.3.下列图形一定是轴对称图形的是（）A．平行四边形B．正方形C．三角形D．梯形【答案】B【解析】A、不一定是轴对称图形．故本选项错误；B、是轴对称图形．故本选项正确；C、不一定是轴对称图形．故本选项错误；D、不一定是轴对称图形．故本选项错误．故选B．【考点】轴对称图形4.如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】∵将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，∴∠ECN=75°，∵∠ECD=45°，∴∠NCO=180°﹣75°﹣45°=60°，∵AO⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠ONC=30°，设OC=a，则CN=2a，∵等腰直角三角形DCE旋转到△CMN，∴△CMN也是等腰直角三角形，设CM=MN=x，则由勾股定理得：x2+x2=（2a）2，x=a，即CD=CM=a，∴=．故选C．【考点】1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形3.等腰直角三角形．5.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的为（）【答案】B.【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．故选B．【考点】1.中心对称图形；2.轴对称图形．6.下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（）【答案】B【解析】本题考查了简单几何体的三视图及中心对称的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．先判断出各图形的主视图，然后结合中心对称的定义进行判断即可．解：A、主视图是矩形，矩形是中心对称图形，故本选项错误；B、主视图是三角形，三角形不是中心对称图形，故本选项正确；C、主视图是圆，圆是中心对称图形，故本选项错误；D、主视图是正方形，正方形是中心对称图形，故本选项错误；故选B．7.如图，A（，1），B（1，），将∆AOB绕点O旋转1500后，得到∆A’OB’，则此时点A 的对应点A’的坐标为（）A．（-，1）B．（-2，0）C．（-1，-）或（-2,0）D．（-，-1）或（-2,0）【答案】C.【解析】∵A（，1），B（1，），∴tanα=，∴OA与x轴正半轴夹角为30°，OB与y轴正半轴夹角为30°，∴∠AOB=90°-30°-30°=30°，根据勾股定理，，，①如图1，顺时针旋转时，∵150°+30°=180°，∴点A′、B关于原点O成中心对称，∴点A′（-1，-）；②如图2，逆时针旋转时，∵150°+30°=180°，∴点A′在x轴负半轴上，∴点A′的坐标是（-2，0）．综上所述，点A′的坐标为（-1，-）或（-2，0）．故选C．考点: 坐标与图形变化-旋转．8.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是 ()【答案】A【解析】这是一道较容易的题目，主要考查了轴对称图形的概念：对折后直线两侧的部分完全重合，其中B、D显然不是轴对称图形，易产生错误的是C，正确的答案应选A.本题渗透了保护环境思想，这也是出题人指出的方向．9.如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是 ()A．①B．②C．⑤D．⑥【答案】A【解析】如图，球最后落入①球洞：10.民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）【解析】A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误；C、既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误．故选C．【考点】1.轴对称图形2.中心对称图形．11.如图,在平面直角坐标系中,将四边形ABCD称为“基本图形”,且各点的坐标分别为A（4,4）,B （1,3）,C（3,3）,D（3,1）.（1）画出“基本图形”关于原点O对称的四边形A1B1C1D1,并求出A1,B1,C1,D1的坐标.A1( , ),B1( , ),C1( , ),D1( , ) ;（2）画出“基本图形”关于x轴的对称图形A2B2C2D2;（3）画出四边形A3B3C3D3,使之与前面三个图形组成的图形既是中心对称图形又是轴对称图形.【答案】（1）（﹣4,﹣4）,（﹣1,﹣3）,（﹣3,﹣3）,（﹣3,﹣1）;（2）（3）图形见解析．【解析】（1）根据已坐标系中点关于原点对称的坐标特点,横纵坐标互为相反数,即可得出答案; （2）关于x轴对称的;两个点的坐标特点是：横坐标相等,纵坐标互为相反数,根据坐标关系画图,写坐标．（3）将图形顶点逆时针旋转90度即可得出答案．试题解析：（1）根据已坐标系中点关于原点对称的坐标特点,即可得出答案：（﹣4,﹣4）,（﹣1,﹣3）,（﹣3,﹣3）,（﹣3,﹣1）;（2）如图：图形A2B2C2D2;（3如图：图形A3B3C3D3．画的三个图形与原“基本图形”组成的整体图案既是中心对称图形又是轴对称图形．．【考点】旋转变换与轴对称变换．12.下列图形中，是中心对称图形的是 ( )A．B．C．D．【解析】中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，因此符合的是选项C.故选C.【考点】中心对称图形.13.如图，C在线段BD上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE与AD有什么关系？请用旋转的性质证明你的结论。

第26讲 图形的平移、对称、旋转与位似第1课时 图形的对称重难点1 轴对称(折叠)的有关计算与证明一张矩形纸片ABCD ，现将它的一个角∠B 折叠．(1)若AB ＝6，BC ＝10.①如图1，若沿AF 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，则线段FC 的长为4； ②如图2，若沿EC 折叠，使点B 落在AD 边上的点F 处，则线段AE 的长为83；③如图3，若沿AC 折叠，使点B 落在矩形ABCD 外的点E 处，CE 交AD 于点F ，则线段DF 的长为165．图1 图2 图3(2)若AB ＝6，BC ＝8.①如图4，若沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，则线段BE 的长为3；图4 图5 图6②如图5，若沿AE 折叠，使点B 落在矩形ABCD 内的点F 处，且点E 恰为BC 的中点，则线段CF 的长为161313；③如图6，若沿EF 折叠，使点B 落在矩形ABCD 的顶点D 处，点A 落在矩形ABCD 外的点G 处，则折痕EF 的长为152． 方法指导1．图形的轴对称(折叠)变换属于全等变换，在解题时应充分运用其性质解题．2．折叠中求线段长一般需要构造(找寻)直角三角形，利用勾股定理计算未知线段长．【变式训练1】 (xx·宁夏)如图，将▱ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点A′处．若∠1＝∠2＝50°，则∠A′为105°．【变式训练2】 (xx·黔西南)如图，将边长为6 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，点C落在点Q 处，折痕为FH ，则线段AF 的长是94cm .【变式训练3】 (xx·南宁)如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，AC ＝2，BD ＝23，将菱形按如图方式折叠，使点B 与点O 重合，折痕为EF ，则五边形AEFCD 的周长为7．重难点2 利用轴对称求最短路径问题(xx·滨州)如图，∠AOB＝60°，点P 是∠AOB 内的定点，且OP ＝3，若点M ，N 分别是射线OA ，OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是(D )A .362 B .332C ．6D ．3【思路点拨】 作点P 分别关于OA ，OB 的对称点C ，D ，连接CD 分别交OA ，OB 于M ，N ，如图，利用轴对称的性质，得MP ＝MC ，NP ＝ND ，OP ＝OD ＝OC ＝3，∠BOP＝∠BOD，∠AOP＝∠AOC，所以∠COD ＝2∠AOB＝120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN 周长最小，为CD 的长．作OH⊥CD 于点H ，则CH ＝DH ，然后利用含30°角的直角三角形三边的关系计算CD 即可．方法指导在几何图形中求两(三)条线段之和的最小值，通常根据轴对称的性质和两点之间线段最短，将两(三)条线段的长转化为一条线段的长，然后计算这条线段的长，即两(三)条线段之和的最小值．【变式训练4】 (xx·天津)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，P 为对角线BD 上的一个动点，则下列线段的长等于AP ＋EP 最小值的是(D )A ．AB B . DEC . BD D ．AF【变式训练5】 如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8 cm ，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，M 是AB 上一动点，CM ＋DM 的最小值为8__cm ．考点1 轴对称图形与中心对称图形1．(xx·淄博)下列图形中，不是轴对称图形的是(C ),A ) ,B ) ,C ) ,D )2．(xx·长沙)下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(A )A B C D3．(xx·黄石)下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(C )A B C D4．(xx ·广州)如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有(C )A ．1条B ．3条C ．5条D ．无数条5．(xx·河北)图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是(C )A ．①B ．②C ．③D ．④考点2与对称有关的作图6．(xx·枣庄)如图，在4×4的方格中，△ABC的三个顶点都在格点上．(1)在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；(2)在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；(3)在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．图1 图2 图3考点3图形的折叠7．(xx·天津)如图，将一个三角形纸ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处．折痕为BD，则下列结论一定正确的是(D)A．AD＝BD B．AE＝ACC．ED＋EB＝DB D．AE＋CB＝AB8．(xx·内江)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE 的度数为(D)A．31° B．28° C．62° D．56°9．(xx·仙桃)如图，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是(C)A．1 B．1.5 C．2 D．2.510．(xx·威海)如图，将矩形ABCD(纸片)折叠，使点B 与AD 边上的点K 重合，EG 为折痕；点C 与AD 边上的点K 重合，FH 为折痕，已知∠1＝67.5°，∠2＝75°，EF ＝3＋1.求BC 的长．解：由题意，得∠3＝180°－2∠1＝45°，∠4＝180°－2∠2＝30°，BE ＝EK ，KF ＝FC. 过点K 作KM⊥EF，垂足为M.设KM ＝x ，则EM ＝x ，MF ＝3x ， ∴x＋3x ＝3＋1，解得x ＝1. ∴EK＝2，KF ＝2.∴BC＝BE ＋EF ＋FC ＝EK ＋EF ＋KF ＝3＋2＋3， 即BC 的长为3＋2＋ 3.考点4 利用轴对称求最短路径11．(xx·新疆)如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M ，N 分别是AB ，BC 边上的中点，则MP ＋PN 的最小值是(B )A .12B ．1C . 2D ．212．(xx·泸州)如图，等腰△ABC 的底边BC ＝20，面积为120，点F 在边BC 上，且BF ＝3FC ，EG 是腰AC 的垂直平分线．若点D 在EG 上运动，则△CDF 周长的最小值为18．13．(xx·菏泽)如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为(－4，5)，D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是(B )A ．(0，43)B ．(0，53)C ．(0，2)D ．(0，103)14．(xx·遵义)如图，在菱形ABCD 中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处(不与B ，D 重合)，折痕为EF.DG ＝2，BG ＝6，则BE 的长为2.8．15．(xx·潍坊)如图，将一张矩形纸片ABCD 的边BC 斜着向AD 边对折，使点B 落在AD 上，记为B′，折痕为CE ；再将CD 边斜向下对折，使点D 落在B′C 上，记为D′，折痕为CG ，B′D′＝2，BE ＝13BC.则矩形纸片ABCD 的面积为15．16．(xx·眉山)在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1.格点三角形ABC(顶点是网格线交点的三角形)的顶点A ，C 的坐标分别是(－4，6)，(－1，4)．(1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系； (2)请画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；(3)请在y 轴上求作一点P ，使△PB 1C 的周长最小，并写出点P 的坐标．解：(1)(2)如图．(3)作点B 1关于y 轴的对称点B 2，连接B 2C 交y 轴于点P ，点P 即为所求．点P 的坐标为(0，2)．第2课时图形的平移、位似与旋转重难点1平移的相关计算(xx·株洲)如图，点O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为(0，22)，将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为(22，22)，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为4．【思路点拨】如图，由点B的坐标为(0，22)，且平移后点B′的坐标为(22，22)，可知沿x轴平移的距离为22，且线段OA与平移后的线段O′A′的关系是平行且相等，所以线段OA在平移过程中扫过的部分是平行四边形OO′A′ A，故可由等腰直角三角形中边的关系，求得平行四边形的高，进而求得面积．方法指导解决平移相关的问题，关键要紧扣平移的性质特征：①对应线段平行(或共线)且相等；②对应点的连线平行且相等；③平移前后的图形全等．【变式训练1】如图，将边长为2个单位长度的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD的周长为8个单位长度．重难点2旋转的计算与证明(xx·烟台节选)在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3.你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【思路点拨】两种思路的出发点相同，都是通过旋转得到全等三角形，从而构建直角三角形使问题得以解决．【自主解答】图1解：选择思路一，如图1.∵将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，∴BP′＝BP＝2，∠PBP′＝90°，AP′＝PC＝3.∴PP′＝BP2＋BP′2＝22，∠P′PB＝45°.∴AP′2＋PP′2＝1＋(22)2＝9＝AP′2.∴∠APP′＝90°.∴∠APB＝∠APP′＋∠P′PB ＝135°.图2选择思路二，如图2.∵将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，∴BP′＝BP＝2，P′C＝PA＝1，∠APB＝∠BP′C，∠PBP′＝90°.∴PP′＝BP2＋BP′2＝22，∠PP′B＝45°.∴P′C2＋PP′2＝12＋(22)2＝9＝PC2.∴∠PP′C＝90°.∴∠APB＝∠BP′C ＝∠PP′B＋∠PP′C ＝135°.方法指导图形的旋转变换为全等变换，在解题时应充分运用其性质，抓住以下几点：①找准旋转中的“变”与“不变”；②找准旋转前后的“对应关系”；③充分挖掘旋转过程中线段之间的位置和数量关系．如：旋转前、后的两个三角形全等，利用全等的性质就可以求出线段的长或角的度数，旋转角为60°的旋转考虑有没有等边三角形，旋转角为45°的旋转考虑有没有等腰直角三角形．【变式训练2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C.若点B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′相交于点O，则∠COA′的度数是(B)A．50° B．60° C．70° D．80°【变式训练3】如图，在Rt△A BC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是(A)A.7 B．2 2 C．3 D．2 3重难点3 网格作图如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(－3，5)，B(－2，1)，C(－1，3)． (1)若△ABC 经过平移后得到△A 1B 1C 1，已知点C 1的坐标为(4，0)，写出顶点A 1，B 1的坐标； (2)若△ABC 和△A 2B 2C 2关于原点O 成中心对称，写出△A 2B 2C 2的各顶点的坐标；(3)若△ABC 和△A 3B 3C 3关于x 轴对称，画出△A 3B 3C 3，并写出△A 3B 3C 3各顶点的坐标；(4)若△ABC 和△A 4B 4C 4关于点(－1，1)位似，位似比为1∶2，画出△A 4B 4C 4，并写出△A 4B 4C 4各顶点的坐标； (5)将△ABC 绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到△A 5B 5C 5，写出△A 5B 5C 5的各顶点的坐标，并求出点C 旋转的路径长．【自主解答】 解：(1)如图，△A 1B 1C 1为所作． ∵点C(－1，3)平移后的对应点C 1的坐标为(4，0)，∴△ABC 先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A 1B 1C 1. ∴点A 1的坐标为(2，2)，点B 1的坐标为(3，－2)． (2)∵△ABC 和△A 2B 2C 2关于原点O 成中心对称， ∴A 2(3，－5)，B 2(2，－1)，C 2(1，－3)．(3)如图，△A 3B 3C 3为所作，A 3(－3，－5)，B 3(－2，－1)，C 3(－1，－3)． (4)如图，△A 4B 4C 4为所作，A 4(3，－7)，B 4(1，1)，C 4(－1，－3)． (5)如图，△A 5B 5C 5为所作，A 5(5，3)，B 5(1，2)，C 5(3，1)． ∵OC＝32＋12＝10，∴点C 旋转的路径长为90×π×10180＝102π.方法指导1．平移、对称、旋转与位似作图的一般步骤：(1)确定原图形中的关键点；(2)按要求作出原图形中各关键点的对应点；(3)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.2.点的坐标变化规律： (1)点的坐标对称规律：点A(x ，y)――→关于x 轴对称点A′(x，－y)；点A(x ，y)――→关于y 轴对称点A′(－x ，y)； 点A(x ，y)――→关于原点对称点A′(－x ，－y)；点A(x ，y)――→关于原点位似位似比为k 点A′(kx，ky)或(－kx ，－ky)． (2)点的坐标平移规律(上加下减，右加左减)：(3)点的坐标旋转规律(以原点O 为旋转中心，旋转角为特殊角)： 点A(x ，y)――→绕原点O 顺时针旋转90°点A′(y，－x)； 点A(x ，y)――→绕原点O 逆时针旋转90°点A′(－y ，x)；点A(x ，y)――→绕原点O 顺（逆）时针旋转180°点A′(－x ，－y)．Ｋ考点1 图形的平移1．(xx·温州)如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A ，B 的坐标分别为(－1，0)，(0，3)．现将该三角板向右平移使点A 与点O 重合，得到△OCB′，则点B 的对应点B′的坐标是(C ) A ．(1，0) B ．(3，3) C ．(1，3) D ．(－1，3)2．如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C 平移的距离CC′＝5．考点2 图形的旋转3．如图，在平面直角坐标系中，点B ，C ，E 在y 轴上，Rt △ABC 经过变换得到Rt △ODE.若点C 的坐标为(0，1)，AC ＝2，则这种变换可以是(A )A ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移3个单位长度B ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移1个单位长度 C ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移1个单位长度D ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移3个单位长度4．(xx·海南)如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为(C)A．6 B．8 C．10 D．125．(xx·衡阳)如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上．若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为90°．6．(xx·张家界)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B 的度数为15°．7．(xx·北京)如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变换(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：先向左平移2个单位长度，再绕原点O顺时针旋转90°．8．已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F.(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴BC＝DC ，∠BCG＝90°. ∵∠BCG＋∠DCE＝180°， ∴∠BCG＝∠DCE＝90°. 在△BCG 和△DCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCG＝∠DCE ，CG ＝CE ，∴△BCG≌△DCE (SAS )．(2)四边形E′BGD 是平行四边形．理由：∵△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′， ∴CE＝AE′.∵CG＝CE ，∴CG＝AE′.∵四边形ABCD 是正方形，∴BE′∥DG，AB ＝CD.∴AB－AE′＝CD －CG ，即BE′＝DG. ∴四边形E′BGD 是平行四边形．考点3 图形的位似9．(xx·潍坊)在平面直角坐标系中，点P(m ，n)是线段AB 上一点，以原点O 为位似中心把△AOB 放大到原来的两倍，则点P 的对应点的坐标为(B )A ．(2m ，2n)B ．(2m ，2n)或(－2m ，－2n)C ．(12m ，12n)D ．(12m ，12n)或(－12m ，－12n)10．(xx·兰州)如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心是点O ，OE OA ＝35，则FG BC ＝35．考点4 网格作图11．(xx·广西六市)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(1，1)，B(4，1)，C(3，3)．(1)将△ABC 向下平移5个单位长度后得到△A 1B 1C 1，请画出A 1B 1C 1； (2)将△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°后得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2； (3)判断以O ，A 1，B 为顶点的三角形的形状．(无须说明理由)．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求． (2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求． (3)三角形的形状为等腰直角三角形．12．(xx·山西)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC ＝6，将△ABC 绕点C 逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB 边上，则点B′与点B 之间的距离为(D )A ．12B ．6C ．6 2D ．6 313．(xx·荆门)如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，I 是△ABC 的内心，将△ABC 绕原点逆时针旋转90°后，I 的对应点I′的坐标为(A )A ．(－2，3)B ．(－3，2)C ．(3，－2)D ．(2，－3)14．(例2变式)(xx·淄博)如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到是三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC 的面积为(A )A ．9＋2534 B ．9＋2532 C ．18＋253 D ．18＋2532。

7.3 图形的对称、平移与旋转命题点1轴对称与中心对称1.下列四个图案，不是轴对称图案的是（）2.下列图形，属于中心对称图形的是（）3.下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A.圆B.菱形C.平行四边形D.等腰三角形拓展变式1.下列图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）命题点2图形的平移（8年1考）命题解读：题型为填空题，分值为3分，考查平移线段求点的坐标。

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A0），B（1，1）。

若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则平移方法正确的是（）A.先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度B.先向左平移（）个单位长度，再向上平移1个单位长度C.位长度，再向上平移1个单位长度D.先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度5.（2013·陕西中考）在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（-2，1），B（1，3），将线段AB经过平移后得到线段A′B′。

若点A的对应点为A′（3，2），则点B 的对应点B′的坐标是。

拓展变式2.（2017·西安雁塔区校级模拟）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，B C=10，点A，B的坐标分别为（1，0），（7，0），将Rt△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x-12时，线段BC扫过的面积为（）A.16B.32C.72D.3命题点3图形的旋转（8年1考）命题解读：题型为填空题，分值为3分，考查利用旋转的性质求线段的长度。

6.如图，在边长为a的正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于点N，连接MC，则△MNC的面积为（）7.（2014·陕西中考）如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD相交于点E，则DE的长度为。

第三节图形的对称、平移与旋转姓名： ________班级：________限时：______分钟1． ( 2018·河北 ) 图中由“”和“”构成轴对称图形，该图形的对称轴是直线()A．l1B．l2C．l3D．l42．( 2018·重庆 A 卷) 以下图形中必定是轴对称图形的是()3．( 2018·衡阳 ) 以下生态环保标记中，是中心对称图形的是()4．( 2018·泉州质检 ) 以下图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是()5．( 2018·永州 ) 誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭记着500多方古今名家碑文，此中悬针篆文拥有较高的历史意义和研究价值．下边四个悬针篆文文字显然不是轴对称图形的是()6 ． ( 2018·黔南州 ) 以下图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()7．( 2017·呼和浩特 ) 图中序号 (1)(2)(3)(4)对应的四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换以后获得的，此中是经过轴对称获得的是()A. (1)B. (2)C. (3)D. (4)8．( 2018·漳州质检) 如图，点A，B在方格纸的格点上，将线段AB先向右平移3 格，再向下平移 2 格，得线段 DC，点 A 的对应点为 D，连结 AD，BC，则对于四边形 ABCD的对称性，以下说法正确的选项是()A．既是轴对称图形，又是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．是轴对称图形，但不是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形9．( 2018·福州质检 ) 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度， A，B在格点上，现将线段 AB向下平移 m个单位长度，再向左平移 n 个单位长度，获得线段则 m＋n 的值是 (A′B′，连结)AA′， BB′，若四边形AA′B′B是正方形，A．3B．4C．5D．610．( 2018·宁德质检 ) 如图，已知等腰△ ABC，AB＝BC，D 是 AC 上一点，线段BE与 BA对于直线 BD对称，射线 CE交射线 BD于点 F，连结 AE，AF. 则以下关系正确的选项是 ()1A．∠ AFE＋∠ ABE＝180°B．∠ AEF＝2∠ABCC．∠ AEC＋∠ ABC＝180°D．∠ AEB＝∠ ACB11．( 2018·济宁 ) 如图，在平面直角坐标系中，点A、C在 x 轴上，点 C的坐标为(－1，0) ，AC＝2，将Rt△ABC先绕点 C顺时针旋转 90°，再向右平移 3 个单位长度，则变换后点 A 的对应点坐标是 ()A．(2 ，2) B ．(1 ，2) C ．( －1，2) 12．( 2018·甘肃省卷 ) 如图，点 E是正方形D ．(2 ，－ 1)ABCD的边 DC上一点，把△ADE绕点A 顺时针旋转90°到△ ABF的地点，若四边形AECF的面积为25，DE＝2，则AE的长为 ()A．5 B.23C．7 D.2913．( 2018·莆田质检 ) 如图，在四边形ABCD中，∠ A＝120°，∠ C＝80°，将△BMN沿着 MN翻折，获得△ FMN若. MF∥AD，FN∥DC，则∠F 的度数为 ()A．70°B．80°C．90°D．100°14．( 2018·山西 ) 如图，在Rt△ABC中，∠ ACB＝90°，∠ A＝60°， AC＝6，将△ABC绕点 C按逆时针方向旋转获得△ A′B′C，此时点 A′恰幸亏 AB边上，则点 B′与点 B之间的距离为 ()A．12B．6C．6 2D．6 315．( 2019·原创 ) 如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段 AB绕某点逆时针旋转角α获得的，点 A′与 A 对应，则角α的大小为 ()A. 30 °B. 60°C. 90°D. 120°16.如图，△ ABC的面积为 12，将△ ABC沿 BC方向平移到△ A′B′C′的地点，使 B′与 C重合，连结 AC′交 A′C于 D，则△ C′DC的面积为 ()A．10B．8C．6D．417．( 2018·三明质检 ) 如图，将△ ABC绕点 A顺时针旋转 60°获得△ AED，若 AB ＝4，AC＝3，BC＝2，则 BE的长为 ()A．5B．4C．3D．218．( 2018·宁德质检 ) 如图，将△ OAB绕 O点逆时针旋转 60°获得△ OCD，若 OA ＝4，∠ AOB＝35°，则以下结论错误的选项是()A．∠ BDO＝60°B．∠ BOC＝25°C．OC＝4D．BD＝419．( 2018·天津 ) 如图，在正方形ABCD中，E，F 分别为 AD，BC的中点， P 为对角线 BD上的一个动点，则以下线段的长等于AP＋EP最小值的是 ()A ．AB B ．DE C．BD D．AF20．( 2018·泉州质检 ) 如图，将△ ABC绕点 A顺时针旋转 120°，获得△ ADE.这时点 D，E，B 恰幸亏同向来线上，则∠ ABC的度数为 ________．21．( 2018·常德 ) 如图，将矩形 ABCD沿 EF折叠，使点 B落在 AD边上的点 G处，点C落在点 H处，已知∠ DGH＝30°，连结 BG，则∠ AGB＝ ________．22．( 2018·龙岩质检 ) 如图，在△ ABC中，∠ ACB＝90°，∠ A＝30°， AB＝2，将△ ABC绕着点 C 逆时针旋转到△ DEC地点时，点 B 恰巧落在 DE边上，则在旋转过程中，点 B 运动到点 E 的路径长为 ________．23．( 2018·镇江 ) 如图，△ ABC中，∠ BAC＞90°， BC＝5，将△ ABC绕点 C按顺9时针方向旋转 90°，点 B对应点 B′落在 BA的延伸线上，若sin ∠B′AC＝10，则AC＝______．24．( 2018·枣庄 ) 如图，在 4×4的方格纸中，△ ABC的三个极点都在格点上．(1)在图①中画出一个与△ ABC成中心对称的格点三角形；(2)在图②中，画出一个与△ ABC成轴对称且与△ ABC有公共边的格点三角形；(3)在图③中，画出△ ABC绕着点 C按顺时针方向旋转 90°后的三角形．1．( 2018·内江 ) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的极点 A 在第一象限，点B，C 的坐标分别为 (2 ，1) ，(6 ，1) ，∠ BAC＝90°， AB＝AC，直线 AB交 y 轴于点 P，若△ ABC与△ A′B′C′对于点 P 成中心对称，则点A′的坐标为 ()A．( －4，－ 5)B．(－5，－4)C．( －3，－ 4)D．(－4，－3)2．( 2018·随州 ) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 OABC的边长为 2，点 A 在第一象限，点 C 在 x 轴正半轴上，∠ AOC＝60°，若将菱形 OABC绕点 O顺时针旋转 75°，获得四边形 OA′B′C′，则点 B 的对应点 B′的坐标为___________.3．( 2018·泉州质检 ) 在平行四边形 ABCD中， AB＝2，AD＝3，点 E 为 BC 的中点，连结 AE，将△ ABE沿 AE折叠到△ AB′E的地点，若∠ BAE＝45°，则点 B′到直线 BC的距离为 ________．4．( 2018·厦门质检 ) 在△ ABC中， AB＝AC，将△ ABC沿∠B的均分线折叠，使点 A 落在 BC边上的点 D 处，设折痕交 AC边于点 E，持续沿直线 DE折叠，若折叠后，BE与线段DC订交，且交点不与点C重合，则∠BAC的度数应知足的条件是________．5．( 2018·宁波 ) 如图，在△ ABC中，∠ ACB＝90°， AC＝BC，D是 AB边上一点 ( 点 D与 A，B 不重合 ) ，连结 CD，将线段 CD绕点 C 按逆时针方向旋转 90°获得线段 CE，连结 DE交 BC于点 F，连结 BE.(1)求证：△ ACD≌△ BCE；(2)当 AD＝BF 时，求∠ BEF的度数．6．( 2018·广东省卷 ) 如图，矩形 ABCD中， AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点 B 落在点 E 处， AE交 CD于点 F，连结 DE.(1)求证：△ ADE≌△ CED；(2)求证：△ DEF是等腰三角形．参照答案【基础训练】：1．C 2.D 3.B 4.A 5.C 6.D7.A8.A 9.A 10.B11．A12.D13.B14.D15.C16.C17.B 18.Dπ25 219．D20.30 °21.75 °22. 323.924．解： (1) 如解图①和解图②；【解法提示】：以 C 为对称中心，作点 A、 B 对于 C 的对称点 A′、 B′，连结A′C、B′C、A′B′即可画出三角形；或以 AB的中点 O为对称中心，作出点 C 对于 O的对称点 C′，连结 BC ′、 AC′即可画出三角形；(2)如解图③和解图④；(3)如解图⑤.【拔高训练】：1．A 【分析】：∵点 B，C的坐标分别为 (2 ，1) ，(6 ，1) ，∠ BAC＝90°， AB ＝AC，∴△ ABC是等腰直角三角形，∴ A(4， 3) ，设直线 AB的分析式为 y＝kx＋4k＋b＝3解得k＝1b，将 A(4，3) ，B(2，1) 代入，则，∴直线 AB的分析式2k＋b＝1b＝－ 1为 y＝x－1，令 x＝0，则 y＝－ 1，P(0，－ 1) ，又∵点 A与点 A′对于点 P成中m＋43＋n心对称，∴点 P 为 AA′的中点，设 A′(m， n) ，则2＝0，2＝－1，∴ m＝－4，n＝－ 5，即 A′( － 4，－ 5) ．2. ( 6，－ 6) 【分析】：如解图，延伸 BA与 y 轴订交于点 D，连结OB，OB′，过点B′作B′E⊥y轴于点E. 依据“∠AOC＝60°，若将菱形 OABC绕点 O 顺时针旋转 75°，获得四边形 OA′B′C′”，可得∠ AOD＝∠ OBD＝30°，∠B′OE＝45°， OB＝OB′.3在Rt△OAD中，OD＝OA· cos∠AOD＝2×2＝3，因此OB′＝OB＝2OD＝2 3.22由于∠ B′OE＝45°，因此 OE＝B′E＝2 OB′＝2×2 3＝6，故点 B′的坐标为 (6，－ 6) ．2 23.3【分析】：如解图，连结BB′，过点 B′作 B′H⊥BC于H，∵∠ BAE＝∠ EAB′＝ 45°，∴∠ BAB′＝ 90°，∵AB＝AB′＝ 2，∴ BB′＝ 2 2，∵ AE⊥BB′，∴ OB＝OB′＝ 2，∵E为 BC中点，∴ BE＝ EC＝1.5 ，∴ OE ＝22BE－OB＝0.5 ，∵∠ EBO＝∠ HBB′，∠ BOE＝∠ BHB′＝ 90°，∴△ BOE∽△ BHB′，∴B′H BB′OE＝BE，即B′H 2 2 2 20.5 ＝1.5，∴ B′H＝3 .4．100°＜∠ BAC＜180°【分析】：如解图，∵沿 DE折叠后， BE 与 DC订交且交点不与点 C 重合，∴∠ 2＞∠ 1. 由折叠可知，∠ 1＝∠ BED，∴ 2∠1＋∠ 2＝180°，即∠2＝180°－ 2∠1. ∴180°－ 2∠1＞∠ 1，即∠ 1＜60°. ∵折叠后点 A落在线段BC 上，∴∠ CBE＝∠ 3. ∵AB＝ AC，∴∠ ACB＝∠ ABC＝2∠3，在△ ABC 中，∠ BAC ＝180°－ 4∠3，在△ BAE 中，∠ BAC＝180°－∠ 1－∠ 3，∴ 4∠3＝∠ 1＋∠3，即∠ 1＝3∠3. ∵∠ 1＜60°，∴ 3∠3＜60°，即∠ 3＜20°，∴∠ BAC＝180°－4∠3＞100°. ∵∠ BAC 在△ BAC 中，因此∠ BAC＜180°，∴ 100°＜∠BAC＜ 180°.5．(1) 证明：∵线段 CD绕点 C按逆时针方向旋转90°获得线段 CE，∴∠ DCE＝90°， CD＝CE.又∵∠ ACB＝90°，∴∠ ACB＝∠ DCE，∴∠ ACD＝∠ BCE.CD＝CE在△ ACD和△ BCE中，∠ACD＝∠ BCE，AC＝BC∴△ ACD≌△ BCE(S A S) ．(2)解：∵∠ ACB＝90°， AC＝BC，∴∠ A＝45°.∵△ ACD≌△ BCE，∴AD＝BE，∠ CBE＝∠ A＝45°.又∵ AD＝ BF，∴ BE＝BF.∴∠ BEF＝∠ BFE＝180°－ 45°＝67.5 °.26．证明： (1) ∵四边形 ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD.由折叠的性质可得BC＝CE，AB＝AE，故AD＝CE，AE＝CD.AD＝CE，在△ ADE和△ CED中，AE＝CD，DE＝ED，∴△ ADE≌△ CED(SSS)．(2) 由(1) 得△ ADE≌△ CED，∴∠ DEA＝∠ EDC，即∠ DEF＝∠ EDF，∴ EF＝ DF，∴△ DEF是等腰三角形．。