高考数学复习专题一三角函数与解三角形第1讲三角函数的图象与性质练习

(6)若求出2x －的范围，再求函数的最值，同样得分．1．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．解：(1)f(x)＝4cos ωxsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π4＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋ 2＝2sin ＋.因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，所以＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin ＋.若0≤x≤，则≤2x＋≤.当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减．类型二 学会审题[例2] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x ＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ＝，求cos 的值．审题路线图(1)条件：f x 图象上相邻两个最高点距离为π(2)条件：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝343．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(2b,1)，n ＝(2a －c ，cos C)，且m∥n.(1)若b2＝ac ，试判断△ABC 的形状；(2)求y ＝1－的值域．解：(1)由已知，m∥n，则2bcos C ＝2a －c ，由正弦定理，得2sin Bcos C ＝2sin(B ＋C)－sin C ，即2sin Bcos C ＝2sin Bcos C ＋2cos Bsin C －sin C ， 在△ABC 中，sin C≠0，因而2cos B ＝1，则B ＝.又b2＝ac ，b2＝a2＋c2－2accos B ，因而ac ＝a2＋c2－2accos ，即(a －c)2＝0，所以a ＝c ，△ABC 为等边三角形．(2)y ＝1－2cos 2A 1＋tan A＝1－2cos2A －sin2A1＋sin A cos A＝1－2cos A(cos A －sin A)＝sin 2A －cos 2A＝sin ，由已知条件B ＝知A∈.所以，2A －∈.因而所求函数的值域为(－1，]．4．已知函数f(x)＝2sinsin ，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在△ABC 中，若A ＝，c ＝2，且锐角C 满足f ＝，求△ABC 的面积S.解：(1)由题意得，。

第四章三角函数、解三角形第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式练好题·考点自测1.已知下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关;③若sin α=sin β，则α与β的终边相同；④若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确的个数是（）A.1B.2 C。

3 D。

42。

sin 2·cos 3·tan 4的值（）A。

小于0 B。

大于0C。

等于0 D.不存在3.已知点P(cos 300°,sin 300°)是角α终边上一点,则sin α—cos α= （）A.√32+12B。

-√32+12C。

√32−12D。

-√32−124.[2019全国卷Ⅰ,7，5分]tan 255°= （）A.-2—√3B。

—2+√3C。

2—√3 D.2+√35.[2020全国卷Ⅱ，2,5分］［理]若α为第四象限角,则 （ ) A 。

cos 2α>0 B 。

cos 2α〈0 C 。

sin 2α>0 D.sin 2α<06。

已知sin α+cos α=12，α∈(0,π),则1-tanα1+tanα= ( )A.—√7B.√7C.√3 D 。

-√3图4-1—17。

[2019北京,8,5分］如图4—1-1，A ，B 是半径为2的圆周上的定点,P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 （ ） A 。

4β+4cos β B.4β+4sin β C.2β+2cos β D.2β+2sin β8.[2018全国卷Ⅰ，11，5分］已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A （1，a ）,B （2,b )，且cos 2α=23，则｜a -b ｜=（ ）A.15B .√55C 。

2√55D.1拓展变式1.在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB 中用电焊切割成扇形，现有如图4-1—3所示两种方案,既要充分利用废料,又要切割时间更短，则方案更优.2.（1）［2021洛阳市联考］已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合，终边与直线y=3x重合,且sin α<0，P（m，n）是角α终边上一点，且｜OP｜=√10(O为坐标原点）,则m-n 等于（）A.2B.-2C.4 D。

第1讲 三角函数的图象与性质高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象,涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题,主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等,主要以解答题的形式考查.真 题 感 悟1.(全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A (1,a ),B (2,b ),且cos 2α＝23,则|a －b |＝( ) A.15B.55C.255D.1解析 由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23,所以cos α＝306,sin α＝±66,得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2,所以|a －b |＝55. 答案 B2.(全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3,则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 A 项,因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0),所以f (x )的一个周期为－2π,A 项正确.B 项,因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z ),当k ＝3时,直线x ＝8π3是其对称轴,B 项正确.C 项,f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3,将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0,所以x ＝π6是f (x ＋π)的一个零点,C 项正确.D 项,因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z ),递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z ),所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间,⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间,D 项错误. 答案 D3.(全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2,则( ) A.f (x )的最小正周期为π,最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π,最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π,最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π,最大值为4解析 易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52,则f (x )的最小正周期为π,当2x ＝2k π,即x ＝k π(k ∈Z )时,f (x )取得最大值,最大值为4. 答案 B4.(全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ,a ]是减函数,则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4,且函数y ＝cos x 在区间[0,π]上单调递减,则由0≤x ＋π4≤π,得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ,a ]上是减函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4,所以0<a ≤π4,所以a 的最大值是π4. 答案 A考 点 整 合1.常用三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z )图象递增 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π,2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π,2k π＋π] 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心 (k π,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π2 x ＝k π 周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ),当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得.(2)y ＝A cos(ωx ＋φ),当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ),当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换热点一 三角函数的定义【例1】 (1)(北京卷)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝13,则cos(α－β)＝________.(2)如图,以Ox 为始边作角α(0<α<π),终边与单位圆相交于点P ,已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45,则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________.解析 (1)法一 由已知得β＝(2k ＋1)π－α(k ∈Z ). ∵sin α＝13,∴sin β＝sin[(2k ＋1)π－α]＝sin α＝13(k ∈Z ). 当cos α＝1－sin 2α＝223时,cos β＝－223,∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝223×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＋13×13＝－79. 当cos α＝－1－sin 2α＝－223时,cos β＝223,∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－79.综上可知,cos(α－β)＝－79.法二 由已知得β＝(2k ＋1)π－α(k ∈Z ),∴sin β＝sin[(2k ＋1)π－α]＝sinα, cos β＝cos[(2k ＋1)π－α]＝－cos α,k ∈Z .当sin α＝13时,cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝－(1－sin 2α)＋sin 2α＝2sin 2α－1＝2×19－1＝－79.(2)由三角函数定义,得cos α＝－35,sin α＝45,∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α（sin α＋cos α）sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825. 答案 (1)－79 (2)1825探究提高 1.当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决,机械地使用三角函数的定义就会出现错误.2.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关,而与角α终边上点P 的位置无关.若角α已经给出,则无论点P 选择在α终边上的什么位置,角α的三角函数值都是确定的.【训练1】 (1)(潍坊三模)在直角坐标系中,若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 23π，cos 23π,则sin(π－α)＝( ) A.12B.32C.－12D.－32(2)(北京卷)在平面直角坐标系中,AB ︵,CD ︵,EF ︵,GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图),点P 在其中一段上,角α以Ox 为始边,OP 为终边.若tan α<cos α<sin α,则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵解析 (1)∵角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 23π，cos 23π,且|OP |＝1.∴由三角函数定义,知sinα＝cos 2π3＝－12.因此sin(π－α)＝sin α＝－12.(2)设点P 的坐标为(x ,y ),由三角函数的定义得yx <x <y ,所以－1<x <0,0<y <1.所以P 所在的圆弧是EF ︵. 答案 (1)C (2)C 热点二 三角函数的图象 考法1 三角函数的图象变换【例2－1】 (1)要想得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象,只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )A.向左平移π4个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.向右平移π4个单位长度,再向上平移1个单位长度 C.向左平移π2个单位长度,再向下平移1个单位长度D.向右平移π2个单位长度,再向下平移1个单位长度(2)(湖南六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2,其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2,将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后,得到的图象关于y 轴对称,那么函数y ＝f (x )的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称C.关于直线x ＝π12对称D.关于直线x ＝－π12对称解析 (1)因为y ＝sin 2x ＋1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1,故只需将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度,再向上平移1个单位长度,即可得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象. (2)由题意,T ＝π,ω＝2.又y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋2π3的图象关于y 轴对称.∴φ＋2π3＝k π＋π2,k ∈Z . 由|φ|<π2,取φ＝－π6,因此f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6,代入检验f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0,A 正确.答案 (1)B (2)A探究提高 1.“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ,令z ＝0,π2,π,3π2,2π,求出x 的值与相应的y 的值,描点、连线可得.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x 而言的,如果x 的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.考法2 由函数的图象特征求解析式【例2－2】 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示,则函数f (x )的解析式为( )A.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6B.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12D.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(2)(济南调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示,若x 1,x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3,且f (x 1)＝f (x 2),则f (x 1＋x 2)＝( )A.1B.12C.22D.32解析 (1)由题意知A ＝2,T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π,ω＝2,因为当x ＝5π12时取得最大值2,所以2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ, 所以2×5π12＋φ＝2k π＋π2,k ∈Z ,解得φ＝2k π－π3,k ∈Z , 因为|φ|<π2,得φ＝－π3. 因此函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)观察图象可知,A ＝1,T ＝π,则ω＝2. 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是“五点法”中的始点,∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0,φ＝π3. 则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1,x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3,且f (x 1)＝f (x 2),所以x 1＋x 22＝π12,则x 1＋x 2＝π6,因此f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32. 答案 (1)B (2)D探究提高 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练2】 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0,ω＞0,|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的12倍,再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度,得到函数y ＝g (x )的图象,求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.解 (1)设函数f (x )的最小正周期为T ,由题图可知 A ＝1,T 2＝2π3－π6＝π2,即T ＝π,所以π＝2πω,解得ω＝2,所以f (x )＝sin(2x ＋φ),又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0,由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π,k ∈Z , 则φ＝2k π－π3,k ∈Z ,因为|φ|＜π2,所以φ＝－π3,故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)根据条件得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时,4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6,所以当x ＝π8时,g (x )取得最小值,且g (x )min ＝12. 热点三 三角函数的性质 考法1 三角函数性质【例3－1】 (合肥质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4,且T ＝π,∴ω＝2,于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z ),得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z ),得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2,所以令k ＝0,得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理,其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.探究提高 1.讨论三角函数的单调性,研究函数的周期性、奇偶性与对称性,都必须首先利用辅助角公式,将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,ω>0)的单调区间,是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间),求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间),但是当A ＞0,ω＜0时,需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ),则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间,减区间即为原函数的增区间. 考法2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间.(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位,再向上平移1个单位,得到函数y ＝g (x )的图象,若y ＝g (x )在[0,b ](b >0)上至少含有10个零点,求b 的最小值. 解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1) ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.由最小正周期为π,得ω＝1, 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2,k ∈Z ,整理得k π－π12≤x ≤kx ＋5π12,k ∈Z ,所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12,k ∈Z . (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位,再向上平移1个单位,得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0,得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z ),所以在[0,π]上恰好有两个零点,若y ＝g (x )在[0,b ]上有10个零点,则b 不小于第10个零点的横坐标即可.所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.探究提高 1.研究三角函数的图象与性质,关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式,利用正余弦函数与复合函数的性质求解. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|.【训练3】 (湖南师大附中质检)已知向量m ＝(2cos ωx ,－1),n ＝(sin ωx －cos ωx ,2)(ω>0),函数f (x )＝m·n ＋3,若函数f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2. (1)求函数f (x )的单调增区间；(2)若将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12倍,得到函数g (x )的图象,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时,求函数g (x )的值域.解 (1)f (x )＝m·n ＋3＝2cos ωx (sin ωx －cos ωx )－2＋3 ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4.依题意知,最小正周期T ＝π.∴ω＝1,因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π,k ∈Z ,求得f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π,k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位,得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象. 然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12倍,得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4的图象.故g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4,由π4≤x ≤π2,知5π4≤4x ＋π4≤9π4.∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤22.故函数g (x )的值域是[－2,1].1.已知函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B(A＞0,ω＞0)的图象求解析式(1)A＝y max－y min2,B＝y max＋y min2.(2)由函数的周期T求ω,ω＝2πT.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.2.运用整体换元法求解单调区间与对称性类比y＝sin x的性质,只需将y＝A sin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”,采用整体代入求解.(1)令ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z),可求得对称轴方程；(2)令ωx＋φ＝kπ(k∈Z),可求得对称中心的横坐标；(3)将ωx＋φ看作整体,可求得y＝A sin(ωx＋φ)的单调区间,注意ω的符号.3.函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝A sin(ωx ＋φ)＋B(一角一函数)的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体,借助复合函数性质求y＝A sin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.一、选择题1.(全国Ⅲ卷)函数f(x)＝tan x1＋tan2x的最小正周期为()A.π4 B.π2 C.π D.2π解析f(x)＝tan x1＋tan2x＝sin xcos x1＋sin2xcos2x＝sin x cos xcos2x＋sin2x＝sin x cos x＝12sin 2x,所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.答案 C2.(全国Ⅲ卷)函数f(x)＝15sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π3＋cos⎝⎛⎭⎪⎫x－π6的最大值为()A.65 B.1 C.35 D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3,则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3,函数的最大值为65. 答案 A3.(湖南六校联考)定义一种运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ,将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 2sin x 3 cos x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则φ的最小值是( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 f (x )＝2cos x －23sin x ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3,依题意g (x )＝f (x ＋φ)＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ是偶函数(其中φ>0).∴π3＋φ＝k π,k ∈Z ,则φmin ＝23π. 答案 C4.偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,其中△EFG 是斜边为4的等腰直角三角形(E ,F 是函数与x 轴的交点,点G 在图象上),则f (1)的值为( )A.22B.62C. 2D.2 2解析 依题设,T 2＝|EF |＝4,T ＝8,ω＝π4. ∵函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数,且0<φ<π. ∴φ＝π2,在等腰直角△EGF 中,易求A ＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝2cos π4x ,则f (1)＝ 2.答案 C5.(天津卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减解析 把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度得函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin 2x 的图象,由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z ),令k ＝1,得3π4≤x ≤5π4,即函数g (x )＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4.答案 A 二、填空题6.(江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称,则φ的值是________.解析 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称,得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.因为－π2<φ<π2,所以π6<2π3＋φ<7π6,则2π3＋φ＝π2,φ＝－π6.答案 －π67.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示,其中|PQ |＝2 5.则f (x )的解析式为________.解析 由题图可知A ＝2,P (x 1,－2),Q (x 2,2),所以|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（－2－2）2＝（x 1－x 2）2＋42＝2 5.整理得|x 1－x 2|＝2,所以函数f (x )的最小正周期T ＝2|x 1－x 2|＝4,即2πω＝4,解得ω＝π2.又函数图象过点(0,－3),所以2sin φ＝－3,即sin φ＝－32.又|φ|<π2,所以φ＝－π3,所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π3.答案 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π38.(北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立,则ω的最小值为________.解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立,故当x ＝π4时,函数f (x )有最大值,故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1,πω4－π6＝2k π(k ∈Z ),∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0,∴ωmin ＝23.答案 23 三、解答题9.已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性.解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π,k ∈Z },f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π,k ∈Z , 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π,k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4,B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ,易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时,f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.10.(西安模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0,π)上的解为x 1,x 2,求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z ),即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时,函数f (x )取最大值,且最大值为1.(2)由(1)知,函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π,k ∈Z ,∴当x ∈(0,π)时,对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0,π)上的解为x 1,x 2.∴x 1＋x 2＝56π,则x 1＝56π－x 2,∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3, 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23,故cos(x 1－x 2)＝23.11.设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2,其中0＜ω＜3,已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位,得到函数y ＝g (x )的图象,求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值.解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2,所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0,所以ωπ6－π3＝k π,k ∈Z ,故ω＝6k ＋2,k ∈Z . 又0＜ω＜3,所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4,所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3,当x －π12＝－π3,即x ＝－π4时,g (x )取得最小值－32.。

专项一解三角形考点1 三角函数的图象与性质及三角恒等变换大题拆解技巧【母题】(2020年天津卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2√2,b=5,c=√13.(1)求角C的大小;(2)求sin A的值;(3)求sin (2A+π4)的值.【拆解1】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2√2,b=5,c=√13,求角C的大小.【解析】在△ABC中,由a=2√2,b=5,c=√13及余弦定理,得cosC=a 2+b2-c22ab=2×2√2×5=√22,又因为C∈(0,π),所以C=π4.【拆解2】在△ABC中,已知C=π4,a=2√2,c=√13,求sin A的值.【解析】在△ABC 中,由C=π4,a=2√2,c=√13及正弦定理,可得sinA=asinC c=2√2×√22√13=2√1313.【拆解3】在△ABC 中,已知a<c,sin A=2√1313,求sin 2A,cos 2A 的值.【解析】由a<c 知角A 为锐角,由sin A=2√1313,可得cosA=√1-sin 2A =3√1313, 所以sin 2A=2sin Acos A=1213,cos 2A=2cos2A-1=513.【拆解4】已知sin 2A=1213,cos 2A=513,求sin (2A+π4)的值.【解析】因为sin 2A=1213,cos 2A=513,所以sin (2A+π4)=sin 2Acos π4+cos 2Asin π4=1213×√22+513×√22=17√226.小做 变式训练设函数f(x)=2sin 2x-sin(2x-π6).(1)当x∈[0,π2]时,求f(x)的值域;(2)若函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到g(x)的图象,且存在x 0∈[-π2,0],使g(x 0)=23,求cos 2x 0的值.【拆解1】已知函数f(x)=2sin 2x-sin(2x-π6).化简该函数解析式.【解析】f(x)=1-cos 2x-(√32sin 2x-12cos 2x)=1-sin (2x+π6).【拆解2】已知函数f(x)=1-sin(2x+π6),当x∈[0,π2]时,求f(x)的值域. 【解析】已知函数f(x)=1-sin(2x+π6),∵x∈[0,π2],∴2x+π6∈[π6,7π6],∴sin(2x+π6)∈[-12,1],∴f(x)的值域为[0,32].【拆解3】已知函数f(x)=1-sin(2x+π6),若函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到g(x)的图象,求g(x)的解析式. 【解析】g(x)=f(x-π6)=1-sin[2(x-π6)+π6]=1-sin(2x-π6).【拆解4】已知函数g(x)=1-sin(2x-π6),且存在x 0∈[-π2,0],使g(x 0)=23,求cos 2x 0的值.【解析】∵g(x0)=1-sin(2x0-π6)=23,∴sin(2x0-π6)=13.又x0∈[-π2,0],sin(2x0-π6)>0,∴2x0-π6∈[-7π6,-π),∴cos(2x0-π6)=-2√23,∴cos 2x0=cos[(2x0-π6)+π6]=cos(2x0-π6)cosπ6-sin(2x0-π6)sinπ6=-2√23×√32-13×12=-2√6+16.通法 技巧归纳1.求解三角函数的值域(最值)常见的三种类型:(1)形如y=asin x+bcos x+c 的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c 的形式,再求值域(最值);(2)形如y=asin 2x+bsin x+c 的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t 的二次函数求值域(最值);(3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c 的三角函数,可先设t=sin x±cos x,化为关于t 的二次函数求值域(最值).2.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的变换.突破 实战训练 <基础过关>1.已知函数f(x)=1-2cos 2x+2√3sin xcos x(x∈R). (1)求f(2π3)的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.【解析】(1)f(x)=-cos 2x+√3sin 2x=2(-12cos 2x+√32sin 2x)=2sin(2x-π6),则f(2π3)=2sin(2×2π3-π6)=-1.(2)最小正周期T=2π2=π,令-π2+2kπ≤2x -π6≤π2+2kπ,k∈Z,解得-π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z,即单调递增区间为[-π6+kπ,π3+kπ],k∈Z.2.已知函数f(x)=(sin x-1)·(cos x+1). (1)若sin α-cos α=12,求f(α);(2)求f(x)的值域.【解析】(1)因为sin α-cos α=12,所以1-2sin αcos α=14,即sin αcos α=38.从而f(α)=(sin α-1)(cos α+1)=sin αcos α+sin α-cos α-1=-18.(2)令t=sin x-cos x,则sin xcos x=1-t 22,其中t∈[-√2,√2],则原问题转化为求y=-t 22+t-12在[-√2,√2]上的值域. 因为y=-t 22+t-12=-12(t-1)2,所以y∈[-32-√2,0].故f(x)的值域为[-32-√2,0].3.已知函数f(x)=sin 2x+√3sin xcos x. (1)求函数y=f(x)图象的对称中心; (2)若f(α2-π24)=1310,求sin 2α.【解析】(1)由二倍角公式得f(x)=√32sin 2x-12cos 2x+12,故f(x)=sin(2x-π6)+12,令2x-π6=kπ,k∈Z,解得x=12kπ+π12,k∈Z,所以函数y=f(x)图象的对称中心是(π12+12kπ,12),k∈Z.(2)由f(α2-π24)=1310,得sin(α-π4)+12=1310,所以sin(α-π4)=45,故sin 2α=cos(2α-π2)=1-2sin2(α-π4)=-725.4.设向量a=(√3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈[0,π2].(1)若|a|=|b|,求实数x 的值; (2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值. 【解析】(1)|a|2=(√3sin x)2+sin2x=4sin2x,|b|2=cos2x+sin2x=1,根据|a|=|b|,得4sin2x=1,又x∈[0,π2],从而sinx=12,∴x=π6.(2)f(x)=a·b=√3sin x·cos x+sin2x=√32sin 2x-12cos 2x+12=sin(2x-π6)+12,∵x∈[0,π2],∴2x -π6∈[-π6,5π6],∴当2x-π6=π2,即x=π3时,f(x)max=f(π3)=32,∴f(x)的最大值为32.<能力拔高>5.已知函数f(x)=sin 2(x -π3)-12(cos 2x-1).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到的,则当x∈[-π2,π2]时,求满足g(x)≤54的实数x 的集合.【解析】(1)f(x)=sin2(x -π3)-12(cos 2x-1)=1-cos(2x -2π3)2-12cos 2x+12=12-12(-12cos2x +√32sin2x)-12cos 2x+12 =14cos 2x-√34sin 2x-12cos 2x+1=-√34sin 2x-14cos 2x+1=-12sin (2x +π6)+1. 令2x+π6∈[π2+2kπ,3π2+2kπ],k∈Z,则x∈[π6+kπ,2π3+kπ],k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为x∈[π6+kπ,2π3+kπ],k∈Z.(2)由题可知g(x)=-12sin [2(x -π6)+π6]+1=-12sin (2x -π6)+1,由g(x)≤54,得sin (2x -π6)≥-12,由x∈[-π2,π2],得2x-π6∈[-7π6,5π6],由正弦函数的图象与性质可知2x-π6∈[-7π6,-5π6]∪[-π6,5π6],则x∈[-π2,-π3]∪[0,π2],即所求实数x 的取值集合为{x|-π2≤x ≤-π3或0≤x ≤π2}.6.已知θ∈(0,π3)且满足sin θ+sin (θ+π3)=4√35. (1)求cos(2θ+π3)的值;(2)已知函数f(x)=sin xcos(θ+π6)+cos xsin(θ+π6),若方程f(x)=a 在区间[0,π2]内有两个不同的解,求实数a 的取值范围. 【解析】(1)由sin θ+sin (θ+π3)=4√35,得32sin θ+√32cos θ=4√35,即sin(θ+π6)=45,则cos(2θ+π3)=cos (2θ+π6)=1-2sin 2(θ+π6)=1-2×(45)2=-725.(2)由θ∈(0,π3),令φ=θ+π6,则φ∈(π6,π2),得cos(θ+π6)=35,f(x)=sin xcos φ+cos xsin φ=sin(x+φ),当0≤x≤π2时,φ≤x+φ≤π2+φ,当x+φ=π2,即x=π2-φ时,f(x)max =1,当0≤x≤π2-φ时,f(x)是单调递增的,函数值从sin φ=45增到1,当π2-φ≤x≤π2时,f(x)是单调递减的,函数值从1减到sin(π2+φ)=cos φ=35,方程f(x)=a 在区间[0,π2]内有两个不同的解,即f(x)图象与直线y=a 有两个不同的公共点,则45≤a<1,所以实数a 的取值范围是[45,1).<拓展延伸>7.设函数f(x)=asin x+bcos x,其中a,b 为常数.(1)当x=2π3时,函数f(x)取最大值2,求函数f(x)在[π2,π]上的最小值;(2)设g(x)=-asinx,当b=-1时,不等式f(x)>g(x)对x∈(0,π)恒成立,求实数a 的取值范围.【解析】(1)由题意得{√a 2+b 2=2,√32a -12b =2,解得{a =√3,b =-1,∴f(x)=√3sin x-cos x=2sin (x -π6).当x∈[π2,π]时,x-π6∈[π3,5π6],∴f(x)min=2sin 5π6=1.(2)∵f(x)>g(x),∴asin x -cos x>-asinx.当x∈(0,π)时,sin x∈(0,1],∴asin2x -sin xcos x>-a,即a(1-cos 2x)-sin 2x>-2a,整理得3a>sin 2x+acos 2x.又sin 2x+acos 2x=√a 2+1sin(2x+φ),其中tan φ=a,∴(sin 2x+acos 2x)max=√a 2+1,∴3a>√a 2+1,解得a>√24,∴不等式f(x)>g(x)对x∈(0,π)恒成立时,a∈(√24,+∞).8.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)（A>0,ω>0,-π2<φ<π2）的图象与y 轴的交点为(0,1),它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2). (1)求函数f(x)的解析式;(2)将函数f(x)的图象向左平移a(a∈(0,2π))个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若g(x)是奇函数,求实数a 的值.新高考数学 大题专项训练 学科精品资源11 / 11【解析】(1)由题意得A=2,T 2=x0+2π-x0=2π, 即T=2πω=4π,解得ω=12, ∴f(0)=2cos (12×0+φ)=1,即cos φ=12. ∵-π2<φ<π2,∴φ=-π3或φ=π3, 若φ=π3,当x>0时,函数先取得最小值,后取得最大值,不符合图象, ∴φ=-π3, ∴函数f(x)的解析式为f(x)=2cos (12x -π3). (2)由题意得g(x)=2cos [12(x +a )-π3]. ∵y=g(x)是奇函数,∴g(0)=2cos (a 2-π3)=0, ∴a 2-π3=kπ-π2(k∈Z),即a=2kπ-π3(k∈Z). 又a∈(0,2π),∴a=5π3. 当a=5π3时,g(x)=2cos [12(x +5π3)-π3]=2cos (12x +π2)=-2sin 12x, 此时有g(-x)=-g(x),即函数g(x)为奇函数,故a=5π3.。

专题三 第一讲A 组1．(2017·某某模拟)已知sin φ＝35，且φ∈(π2，π)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f (π4)的值为导学号 52134381( B )A ．－35B ．－45C ．35D ．45[解析] 由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，得到其最小正周期为π，所以ω＝2，f (π4)＝sin(2×π4＋φ)＝cos φ＝－1－sin 2φ＝－45．2．(2015·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为导学号 52134382( D )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z[解析] 由五点作图知，⎩⎪⎨⎪⎧14ω＋φ＝2k π＋π2，54ω＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，可得ω＝π，φ＝π4，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.令2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，k ∈Z ，解得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，故单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D ．3．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f (π8＋t )＝f (π8－t )，且f (π8)＝－3，则实数m 的值等于导学号 52134383( C )A ．－1B ．±5C ．－5或－1D ．5或1[解析] 依题意得，函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，于是x ＝π8时，函数f (x )取得最值，因此有±2＋m ＝－3，∴m ＝－5或m ＝－1，选C ．4．函数y ＝cos(x ＋π2)＋sin(π3－x )具有性质导学号 52134384( B )A ．最大值为1，图象关于点(π6，0)对称B ．最大值为3，图象关于点(π6，0)对称C ．最大值为1，图象关于直线x ＝π6对称D ．最大值为3，图象关于直线x ＝π6对称[解析] y ＝－sin x ＋32cos x －12sin x ＝－3(32sin x －12cos x )＝－3sin(x －π6)， ∴最大值为3，图象关于点(π6，0)对称．5．(2017·某某测试)设x 0为函数f (x )＝sin πx 的零点，且满足|x 0|＋f (x 0＋12)<33，则这样的零点有导学号 52134385( C )A ．61个B ．63个C ．65个D ．67个[解析] 依题意，由f (x 0)＝sin πx 0＝0，得πx 0＝k π，k ∈Z ，x 0＝k ，k ∈Z .当k 是奇数时，f (x 0＋12)＝sin[π(k ＋12)]＝sin(k π＋π2)＝－1，|x 0|＋f (x 0＋12)＝|k |－1<33，|k |<34，满足这样条件的奇数k 共有34个；当k 是偶数时，f (x 0＋12)＝sin[π(k ＋12)]＝sin(k π＋π2)＝1，|x 0|＋f (x 0＋12)＝|k |＋1<33，|k |<32，满足这样条件的偶数k 共有31个．综上所述，满足题意的零点共有34＋31＝65个．故选C ．6．(2017·某某市高三一模)已知函数f (x )＝2sin(π＋x )sin(x ＋π3＋φ)的图象关于原点对称，其中φ∈(0，π)，则φ＝__π6__.导学号 52134386[解析] 本题主要考查三角函数的奇偶性，诱导公式． 因为f (x )＝2sin(π＋x )sin(x ＋π3＋φ)的图象关于原点对称，所以函数f (x )＝2sin(π＋x )sin(x ＋π3＋φ)为奇函数，则y ＝sin(x ＋π3＋φ)为偶函数，又φ∈(0，π)，所以φ＝π6．7．如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出下列四个函数：①f (x )＝sin x ＋cos x; ②f (x )＝2(sin x ＋cos x )； ③f (x )＝sin x; ④f (x )＝2sin x ＋2．其中为“互为生成”函数的是__①④__.(填序号).导学号 52134387 [解析] 首先化简题中的四个解析式可得：①f (x )＝2sin(x ＋π4)，②f (x )＝2sin(x ＋π4)，③f (x )＝sin x ，④f (x )＝2sin x ＋2，可知③f (x )＝sin x 的图象要与其他的函数图象重合，单纯经过平移不能完成，必须经过伸缩变换才能实现，所以③f (x )＝sin x 不能与其他函数成为“互为生成”函数，同理①f (x )＝2sin(x ＋π4)的图象与②f (x )＝2sin(x ＋π4)的图象也必须经过伸缩变换才能重合，而④f (x )＝2sin x ＋2的图象向左平移π4个单位，再向下平移2个单位即可得到①f (x )＝2sin(x ＋π4)的图象，所以①④为“互为生成”函数．8．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos 4x .导学号 52134388(1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且f (α)＝22，求a 的值．[解析] (1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x＝cos2x sin2x ＋12cos4x＝12(sin4x ＋cos4x ) ＝22sin(4x ＋π4) 所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22．(2)因为f (α)＝22，所以sin(4α＋π4)＝1． 因为α∈(π2，π)，所以4α＋π4∈(9π4，17π4)，所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π16．9．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：导学号 52134389(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为(5π12，0)，求θ的最小值．[解析] (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin(2x －π6)．(2)由(1)知f (x )＝5sin(2x －π6)，则g (x )＝5sin(2x ＋2θ－π6)．因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ． 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z ． 由于函数y ＝g (x )的图象关于点(5π12，0)成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12， 解得θ＝k π2－π3，k ∈Z ．由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6．B 组1．(2016·某某卷)为了得到函数y ＝sin(2x －π3)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点导学号 52134390( D )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度[解析] 因为y ＝sin(2x －π3)＝sin[2(x －π6)]，所以只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度即可，故选D ．2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，它的最小正周期为π，则函数f (x )图象的一个对称中心是导学号 52134391( B )A ．(π3，1)B ．(π12，0)C ．(5π12，0)D ．(－π12，0)[解析] 由题意知T ＝π，∴ω＝2，由函数图象关于直线x ＝π3对称，得2×π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，即φ＝－π6＋k π(k∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝－π6，∴f (x )＝A sin(2x －π6)，令2x －π6＝k π(k ∈Z )，则x ＝π12＋k2π(k ∈Z )．∴一个对称中心为(π12，0)，故选B ．3．已知函数f (x )＝1＋cos2x －2sin 2(x －π6)，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是导学号 52134392( D )A ．f (x )是最小正周期为π的偶函数B ．f (x )的一条对称轴是x ＝π3C ．f (x )的最大值为2D ．将函数y ＝3sin2x 的图象向左平移π6得到函数f (x )的图象[解析] f (x )＝cos2x ＋cos(2x －π3)＝cos2x ＋12cos2x ＋32sin2x＝3sin(2x ＋π3)，故选D ．4．(2017·某某一模)定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1a 2a 3a 4＝a 1a 4－a 2a 3.将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin ωx 1 cos ωx (ω>0)的图象向左平移5π6个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是导学号 52134393( B )A ．15B ．1C ．115D ．2[解析] 本题主要考查三角函数的图象和性质．由题意可得f (x )＝3cos ωx －sin ωx ＝2cos(ωx ＋π6)，将函数f (x )的图象向左平移5π6个单位后得到g (x )＝2cos[ω(x ＋5π6)＋π6]＝2cos[ωx ＋5ω＋1π6]的图象，g (x )为偶函数，所以5ω＋1π6＝k π，k ∈Z ，所以ω的最小值是1，故选B ．5．给出下列四个命题：①f (x )＝sin(2x －π4)的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ；②函数f (x )＝sin x ＋3cos x 最大值为2； ③函数f (x )＝sin x cos x －1的周期为2π；④函数f (x )＝sin(x ＋π4)在[－π2，π2]上是增函数．其中正确命题的个数是导学号 52134394( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] ①由2x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即f (x )＝sin(2x －π4)的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，故①正确；②由f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)知，函数的最大值为2，故②正确；③f (x )＝sin x cos x －1＝12sin2x －1，函数的周期为π，故③错误；④函数f (x )＝sin(x ＋π4)的图象是由f (x )＝sin x 的图象向左平移π4个单位得到的，故④错误．6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示，则函数f (x )的解析式为__f (x )＝2sin(π4x ＋π4)__.导学号 52134395[分析] 观察图象，由最高点与最低点确定A ，由周期确定ω，由特殊点的坐标确定φ．[解析] 由图象知A ＝2，T ＝8＝2πω，所以ω＝π4，得f (x )＝2sin(π4x ＋φ)．由对应点得当x ＝1时，π4×1＋φ＝π2⇒φ＝π4．所以f (x )＝2sin(π4x ＋π4)．7．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值X围是__[12，54]__.导学号 52134396[解析] f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π4)，令2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω(k ∈Z )．由题意，函数f (x )在(π2，π)上单调递减，故(π2，π)为函数单调递减区间的一个子区间，故有⎩⎪⎨⎪⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z )．由4k ＋12<2k ＋54，解得k <38．由ω>0，可知k ≥0，因为k ∈Z ，所以k ＝0，故ω的取值X 围为[12，54]．8．已知函数f (x )＝sin(2x ＋π3)＋sin(2x －π3)＋2cos 2x ，x ∈R .导学号 52134397(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．[解析] (1)∵f (x )＝sin2x ·cosπ3＋cos2x ·sin π3＋sin2x ·cos π3－cos2x sin π3＋cos2x ＋1＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π．(2)由(1)知，f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋1．∵x ∈[－π4，π4]，∴令2x ＋π4＝π2得x ＝π8，∴f (x )在区间[－π4，π8]上是增函数；在区间[π8，π4]上是减函数，又∵f (－π4)＝0，f (π8)＝2＋1，f (π4)＝2，∴函数f (x )在区间[－π4，π4]上的最大值为2＋1，最小值为0．9．(2017·某某质检)已知函数f (x )＝sin x cos x ＋12cos 2x .导学号 52134398(1)若tan θ＝2，求f (θ)的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由函数y ＝f (x )的图象上所有的点向右平移π4个单位长度而得到，且g (x )在区间(0，m )内是单调函数，某某数m 的最大值．[解析] (1)因为tan θ＝2， 所以f (θ)＝sin θcos θ＋12cos 2θ＝sin θcos θ＋12(2cos 2θ－1)＝sin θcos θ＋cos 2θ－12＝sin θcos θ＋cos 2θsin 2θ＋cos 2θ－12 ＝tan θ＋1tan 2θ＋1－12＝110． (2)由已知得f (x )＝12sin 2x ＋12cos 2x＝22sin(2x ＋π4)． 依题意， 得g (x )＝22sin[2(x －π4)＋π4]， 即g (x )＝22sin(2x －π4)． 因为x ∈(0，m )，所以2x －π4∈[－π4，2m －π4]，又因为g (x )在区间(0，m )内是单调函数，所以2m －π4≤π2，即m ≤3π8，故实数m 的最大值为3π8．。

数学高考《三角函数与解三角形》复习资料一、选择题1．在ABC ∆中，若2sin sin cos 2CA B =，则ABC ∆是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形【答案】B 【解析】试题分析：因为2sin sin cos2CA B =，所以，1cos sin sin 2C A B +=，即2sin sin 1cos[()],cos()1A B A B A B π=+-+-=,故A=B ，三角形为等腰三角形，选B 。

考点：本题主要考查和差倍半的三角函数，三角形内角和定理，诱导公式。

点评：简单题，判断三角形的形状，一般有两种思路，一种是从角入手，一种是从边入手。

2．已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示，其中()01f =，5||2MN =，则点M 的横坐标为（ ）A ．12B ．25-C ．1-D ．23-【答案】C 【解析】 【分析】 由(0)1f =求出56πϕ=，由5||23MN πω=⇒=，再根据()2f x =可得答案.【详解】由函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象，可得(0)2sin 1f ϕ==，56πϕ∴=， 22512||2243MN ππωω⎛⎫==+⋅= ⎪⎝⎭，∴函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 得52,0362x k k ππππ+=+=得1x =-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合思想的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程求出3πω=，属于中档题.3．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年【答案】D 【解析】 【分析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项． 【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β， 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan 1.610α==，169.4tan 0.6610β-==， tan tan 1.60.66tan()0.4571tan tan 1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯g ．0.4550.4570.461<<Q ，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D ． 【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．4．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论． 【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ），sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1，∴d 8π=．∴f （x ）8π=cosωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，， 所以f （x ）在（0，23π）上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34＞． 故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦故选D 【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．5．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（）A ．B ．CD 【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式可确定()max f x =sin 2cos θθ-=平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】()()sin 2cos f x x x x ϕ=-=+Q ，其中tan 2ϕ=-()max f x ∴sin 2cos θθ-=又22sin cos 1θθ+= cos θ∴=【点睛】本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.6．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，则5π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A ．12-B ．2C ．D ．12【答案】B 【解析】 分析：要求53f π⎛⎫⎪⎝⎭，则必须用()sin f x x =来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，再应用其解析式求解 详解：()f x Q 的最小正周期是π552333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x Q 是偶函数33f f ππ⎛⎫⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，533f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()sin f x x =，则5 sin 3332f f πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．7．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2b C c B b +=，则ab=( )A ．B ．2CD ．1【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理及题设可知，sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，又A B C π++=，可得sin 2sin A B =，再由正弦定理，可得解【详解】由正弦定理：2sin sin b cR B C==，又cos cos 2b C c B b += 得到sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=在ABC ∆中，A B C π++=故sin()2sin A B π-=，即sin 2sin A B =故sin 2sin a A b B == 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理在边角互化中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题8．已知πππsin()cos()0,322ααα++-=-<<则2πcos()3α+等于（ ）A B ．35-C ．45D ．35【答案】C 【解析】 【分析】首先根据等式化简，得到4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式化简2cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求值. 【详解】解析：∵ππsin cos 32αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13sin sin sin 22ααααα+==6πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ∴π4sin 65()α+=-.又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+，∴2π4co (s 35)α+=. 故选：C 【点睛】本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.9．函数y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图象是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】首先根据二倍角余弦公式化简得到函数的解析式，再由函数表达式得到函数的单调性和周期，进而得到选项. 【详解】根据两角和差公式展开得到： y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22πππcos sin cos 2424x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎝⎭⎭=-sin2x ,函数在0的右侧是单调递减的，且周期为π，故选B. 故答案选B . 【点睛】这个题目考查了三角函数的恒等变换，题型为已知函数表达式选择函数的图像，这种题目，一般是先根据函数的表达式得到函数的定义域，或者值域，进行排除；也可以根据函数的表达式判断函数的单调性,周期性等，之后结合选项选择.10．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-， 解得：2ω=． 再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象， 故选B ． 【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．11．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2cos2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．78-B ．78C ．18-D ．18【答案】A【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin 4αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】解：因为2cos2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭所以()222cos sin sincos cossin 44ππαααα-=-所以()())2cos sin cos sin cos sin 2αααααα-+=- ,cos sin 02παπαα⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭Q ，所以cos sin αα+=所以()21cos sin 8αα+=，即221cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28α+= 所以7sin 28α=- 故选：A 【点睛】本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；12．函数()2sin sin cos y x x x =+的最大值为（ ）A ．1B 1CD ．2【答案】A 【解析】由题意，得()22sin sin cos 2sin 2sin cos sin2cos21y x x x x x x x x =+=+=-+π2114x ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭；故选A.13．直线y a =与函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两个交点的距离为2π，若()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，则m 的取值范围是（ ）A ．(0,]4πB ．(0,]2πC ．3(0,]4π D ．3(0,]2π【解析】 【分析】根据直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，得到12ω=，则()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后求得其单调增区间，再根据()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，由(,)m m -是增区间的子集求解. 【详解】因为直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期， 所以12ω=，()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由12242k x k πππππ-<+<+，得322()22k x k k ππππ-<<+∈Z ， 所以()f x 在3,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数， 由3(,),22m m ππ⎛⎫-⊆- ⎪⎝⎭， 解得02m π<≤.故选：B 【点睛】本题主要考查正切函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题14．已知2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．35-C ．35D ．53【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式计算得到35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3tan tan 1472πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得答案. 【详解】由诱导公式可知24333sin 3sin 33sin 777πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得333sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，313tan tan 314725tan 7πππααπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝⎭. 故选：B . 【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.15．函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则()f x 的最大值为（ ） A ．2BC．D或【答案】D 【解析】 【分析】根据函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则有()(0)2f f π-=，解得a ，得到函数再求最值.【详解】因为函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称， 所以()(0)2f f π-=，即220a a +-=， 解得2a =-或1a =，当2a =-时，()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π⎛⎫=--=-⎪⎝⎭，此时()f x的最大值为；当1a =时，()sin cos 2cos 4f x x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，此时()f x；综上()f x或. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是（ ） A ．152km B ．30kmC ．15kmD ．153km【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，根据题意求出BAC ∠与BAC ∠的大小，在三角形ABC 中，利用正弦定理算出AC 的长，可得该时刻船与灯塔的距离． 【详解】设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，如图所示，可得60DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，45BC =30ABC ∴∠=︒，120BAC ∠=︒在三角形ABC 中，利用正弦定理可得：sin sin AC BCABC BAC=∠∠，可得sin 1153sin 23BC ABC AC km BAC ∠===∠ 故选D 【点睛】本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．17．已知曲线1:sin C y x =，21:cos 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项. 【详解】A 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向右平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 错误；B 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向右平移3π个单位长度后得：11121sin sin cos cos 232622632y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错误；C 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向左平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；D 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向左平移3π个单位长度后得：1111sin sin cos cos 232622623y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.18．40cos2d cos sin xx x xπ=+⎰（ ）A ．1)B 1C 1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分. 【详解】因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x xx x x x x x-==-++，∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0xx x x x x x x x πππ=-=+=+⎰⎰，故选C ． 【点睛】本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.19．在ABC △中，若a ＝3，c ＝7，∠C ＝60°，则边长b 为 A ．5 B ．8 C ．5或－8 D ．－5或8【答案】B 【解析】由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得24993b b =+-，即()()850b b -+=， 因为b ＞0，所以b ＝8.故选B ．20．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为6x π=【答案】D 【解析】 【分析】先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6x π=代入 3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断D .【详解】()sin f x x x = 23sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 周期22,1T A ππ==正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，25,,,63326x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q ，()f x ∴在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，C 正确； 6x π=时，1032f x f ππ⎛⎫⎛⎫+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，6x π=不是3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.。

第1讲 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2B ．32 C ．1D ．12解析：选A ．依题意得函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2×(3π4－π4)＝π，解得ω＝2，选A ．2．(2019·某某市诊断测试)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象的一条对称轴的方程为( ) A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝5π12解析：选D ．由题意，令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，当k ＝0时，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3图象的一条对称轴的方程为x ＝5π12.故选D ． 3．(2019·某某省七校联考)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈ZB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈ZC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈ZD ．⎝⎛⎭⎪⎫4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z 解析：选B ．由－π2＋k π<x 2－π6<π2＋k π，k ∈Z ，得2k π－2π3<x <2k π＋4π3，k ∈Z ，则函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z ，故选B ． 4．(2019·某某市学习质量评估)为了得到函数y ＝2cos 2x 的图象，可以将函数y ＝cos 2x －3sin 2x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：选B ．因为y ＝cos 2x －3sin 2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以要得到函数y ＝2cos 2x 的图象，可以将函数y ＝cos 2x －3sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度，故选B ．5．(2019·某某市模拟(一))已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则函数f (x )图象的一条对称轴为( )A ．x ＝－π3B ．x ＝－π12C ．x ＝π18D ．x ＝π24解析：选D ．因为函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)的图象过点A (0，3)，所以2cos φ＝3，即cos φ＝32，所以φ＝2k π±π6(k ∈Z )．因为|φ|<π2，所以φ＝±π6，由函数f (x )的图象知φω<0，又ω>0，所以φ<0，所以φ＝－π6，所以f (x )＝2cos(ωx －π6)．因为f (x )＝2cos(ωx －π6)的图象过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，所以cos (ω－1)π6＝0，所以(ω－1)π6＝m π＋π2(m ∈Z )，所以ω＝6m ＋4(m ∈Z )．因为ω>0，πω>π6，所以0<ω<6，所以ω＝4，所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6.因为x ＝π24时，f (x )＝2，所以x ＝π24为函数f (x )图象的一条对称轴，故选D ． 6．将偶函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π12个单位长度后，得到的曲线的对称中心为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3＋π4，0(k ∈Z )B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3＋π12，0(k ∈Z )C ．⎝⎛⎭⎪⎫k π3＋π6，0(k ∈Z ) D ．⎝⎛⎭⎪⎫k π3＋7π36，0(k ∈Z )解析：选A ．因为函数f (x )＝sin(3x ＋φ)为偶函数且0<φ<π，所以φ＝π2，f (x )的图象向右平移π12个单位长度后可得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象，分析选项知⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3＋π4，0(k ∈Z )为曲线y ＝g (x )的对称中心．故选A ．7．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值X 围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，112∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 解析：选B ．因为ω>0，π<x <2π，所以ωπ＋π6<ωx ＋π6<2ωπ＋π6，又函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在区间(π，2π)内没有最值，所以函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)在区间(π，2π)上单调，所以2ωπ＋π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ＋π6＝ωπ<π，0<ω<1，则π6<ωπ＋π6<7π6.当π6<ωπ＋π6<π2时，则2ωπ＋π6≤π2，所以0<ω≤16；当π2≤ωπ＋π6<7π6时，则2ωπ＋π6≤3π2，所以13≤ω≤23.故选B ． 8．(2019·某某市质量检测)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )为偶函数，则函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的值域是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B ．(－1，1)C ．(0，2]D ．(－1，2]解析：选D ．由f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，得T ＝π，又ω>0，所以2πω＝π，解得ω＝2.将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ的图象．因为函数g (x )为偶函数，所以2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，由|φ|<π2，解得φ＝－π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.因为0<x <π2，所以－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的值域是(－1，2]，故选D ．9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，则ω的最大值为( ) A ．12 B ．1 C ．2D ．4解析：选C ．法一：因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8，所以ωx ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，ωπ8＋π4，因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，所以ωπ8＋π4≤π2，所以ω≤2，即ω的最大值为2，故选C ．法二：逐个选项代入函数f (x )进行验证，选项D 不满足条件，选项A 、B 、C 满足条件f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，所以ω的最大值为2，故选C ． 10．(2019·某某市第一学期抽测)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin 2x －1在[0，m ]上单调递增，则m 的最大值是( )A ．π4B ．π2C ．3π8D ．π解析：选C ．由题意，得f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，k ＝0时，－π8≤x ≤3π8，即函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8上单调递增．因为函数f (x )在[0，m ]上单调递增，所以0<m ≤3π8，即m的最大值为3π8，故选C ．11．(2019·某某省五市十校联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )，且f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则f (x )取最大值时x 的值为( )A ．π3＋k π，k ∈ZB ．π4＋k π，k ∈ZC ．π6＋k π，k ∈ZD ．－π6＋k π，k ∈Z解析：选C ．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )得f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，即当x ＝π6时，f (x )取得最值，所以2×π6＋φ＝n π＋π2，n ∈Z ，φ＝n π＋π6，n ∈Z .又f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以sin (2π＋φ)>sin (π＋φ)，即sin φ>－sin φ，得sin φ>0，所以n ∈Z ，且n 为偶数．不妨取n ＝0，即φ＝π6，当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝π6＋k π，k ∈Z ，故选C ．12．(2019·某某六校第一次联考)已知A 是函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3的最大值，若存在实数x 1，x 2使得对任意实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则A |x 1－x 2|的最小值为( )A ．π2 018B ．π1 009C ．2π1 009D ．π4 036解析：选B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3＝32sin 2 018x ＋12cos 2 018x ＋12cos 2 018x ＋32sin 2 018x ＝3sin 2 018x ＋cos 2 018x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6，故A ＝f (x )max＝2，f (x )的最小正周期T ＝2π2 018＝π1 009.又存在实数x 1，x 2使得对任意实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，所以f (x 2)＝f (x )max ，f (x 1)＝f (x )min ，故A |x 1－x 2|的最小值为A ×12T＝π1 009，故选B ． 二、填空题13．(一题多解)(2019·某某市质量检测)将函数f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b ∈R 且a ≠0)的图象向左平移π6个单位长度后，得到一个偶函数图象，则ba＝________．解析：通解：将f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b ∈R 且a ≠0)的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋b cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ，其中tan φ＝b a ，因为y ＝a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ为偶函数，所以π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝π3＋k π(k ∈Z )，所以ba＝tan φ＝ 3.优解：因为将f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b ∈R 且a ≠0)的图象向左平移π6个单位长度后，得到一个偶函数图象，所以函数f (x )＝a sin x ＋b cos x 图象的一条对称轴为直线x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (0)，所以a sin π3＋b cos π3＝b ，因为a ≠0，所以b a ＝ 3. 答案： 314．已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝________． 解析：因为函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝π2，所以f (x )＝－4sin ωx ，又A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，且|a －b |的最小值是1，所以函数f (x )的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f (x )＝－4sin πx ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2.答案：－215．(2019·某某市质量监测(二))定义在[0，π]上的函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)有零点，且值域M ⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，则ω的取值X 围是________．解析：由0≤x ≤π，得－π6≤ωx －π6≤ωπ－π6，当x ＝0时，y ＝－12.因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6在[0，π]上有零点，所以0≤ωπ－π6，ω≥16.因为值域M ⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以ωπ－π6≤π＋π6，ω≤43，从而16≤ω≤43. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，4316．(2019·蓉城名校第一次联考)已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值X 围是________． 解析：因为2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0， 所以1－cos 2x －3sin 2x ＋m －1＝0， 所以cos 2x ＋3sin 2x －m ＝0，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝m ，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝m 2.方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π的图象与y ＝m 2的图象有2个不同的交点．作出y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π及y＝m2的图象如图所示，则－1<m2<－12，即－2<m<－1，所以m的取值X围是(－2，－1)．答案：(－2，－1)。