2015年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.(1)【2015年安徽,理1,5分】i 为虚数单位,则复数2i1i-在复平面内所对应的点位于( )(A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限 【答案】B【解析】由题意()()()2i 1i 2i 22i1i 1i 1i 1i 2+-+===-+--+,其对应的点坐标为()1,1-,位于第二象限,故选B .【点评】本题考查复数的运算,考查复数的几何意义,考查学生的计算能力,比较基础.(2)【2015年安徽,理2,5分】下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )(A )cos y x = (B )sin y x = (C )ln y x = (D )21y x =+ 【答案】A【解析】由选项可知,B 、C 项均不是偶函数,故排除B 、C ,A 、D 项是偶函数,但D 项与x 轴没有交点,即D项不存在零点,故选A .【点评】本题考查了函数的奇偶性和零点的判断.①求函数的定义域;②如果定义域关于原点不对称,函数是非奇非偶的函数;如果关于原点对称,再判断()f x -与()f x 的关系;相等是偶函数,相反是奇函数;函数的零点与函数图象与x 轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的.(3)【2015年安徽,理3,5分】设:12p x <<,:21x q >,则p 是q 成立的( )(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由0:22x q >,解得0x >,易知,p 能推出q ,但q 不能推出p ,故p 是q 成立的充分不必要条件,故选A .【点评】本题考查充分必要条件的判断,同时考查指数函数的单调性的运用,属于基础题. (4)【2015年安徽,理4,5分】下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是( )(A )2214y x -= (B )2214x y -= (C )2214y x -= (D )2214x y -=【答案】C【解析】由题意,选项A ,B 的焦点在x 轴,故排除A ,B ,C 项渐近线方程为2214y x -=,即2y x =±,故选C .【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法,属于基础题. (5)【2015年安徽,理5,5分】已知m ,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( )(A )若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 (B )若m ,n 平行于同一平面,则m 与n 平行(C )若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线 (D )若m ,n 不平行,则m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D【解析】对于A ,若α,β垂直于同一平面,则α,β不一定平行,如果墙角的三个平面;故A 错误;对于B ,若m ,n 平行于同一平面,则m 与n 平行.相交或者异面;故B 错误; 对于C ,若α,β不平行,则在α内存在无数条与β平行的直线;故C 错误;对于D ,若m ,n 不平行,则m 与n 不可能垂直于同一平面;假设两条直线同时垂直同一个平面,则这 两条在平行;故选D .【点评】空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. (6)【2015年安徽,理6,5分】若样本数据1x ,2x ,⋅⋅⋅,10x 的标准差为8,则数据121x -,221x -,⋅⋅⋅,1021x -的标准差为( )(A )8 (B )15 (C )16 (D )32 【答案】C 【解析】设样本数据1x ,2x ,⋅⋅⋅,10x 的标准差为DX ,则8DX =,即方差64DX =,而数据121x -,221x -,⋅⋅⋅,1021x -的方差()22212264D X DX -==⨯,所以其标准差为226416⨯=,故选C . 【点评】本题主要考查方差和标准差的计算,根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键 (7)【2015年安徽,理7,5分】一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( ) (A )13+ (B )23+ (C )122+ (D )22 【答案】B【解析】由题意,该四面体的直观图如下,ABD ∆,ACD ∆时直角三角形,ABC ∆,ACD ∆是等边三角形,则12212BCD ABD S S ∆∆==⨯⨯=,1322sin 6022ABC ACD S S ∆∆==⨯⨯︒=,所以四面体的表面积3212232BCD ABD ABC ACD S S S S S ∆∆∆∆=+++=⨯+⨯=+,故选B . 【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征,是基础题目.(8)【2015年安徽,理8,5分】ABC ∆是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足2AB a =, 2AC a b =+,则下列结论正确的是( )(A )1b = (B )a b ⊥ (C )1a b ⋅= (D )()4a b BC -⊥【答案】D【解析】依题意,()22BC AC AB a b a b =-=+-=,故2b =,故A 错误,222a a ==,所以1a =,又()2224222cos602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯︒=,所以1a b ⋅=-,故B ,C 错误;设BC 中点为D ,则2AB AC AD +=,且AD BC ⊥,所以()4a b BC +⊥,故选D .【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用;注意:三角形的内角与向量的夹角的关系.(9)【2015年安徽,理9,5分】函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示,则下列结论成立的是( )(A )0a >,0b >,0c < (B )0a <,0b >,0c > (C )0a <,0b >,0c < (D )0a <,0b <,0c < 【答案】C【解析】由()()2ax b f x x c +=+及图像可知,x c ≠-,0c ->;当0x =时,()200bf c =>,所以0b >;当0y =,0ax b +=, 所以0bx a=->,所以0a <.故0a <,0b >,0c <,故选C . 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据函数图象的信息,结合定义域,零点以及()0f 的符号是解决本题的关键.(10)【2015年安徽,理10,5分】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +(A ,ω,ϕ均为正的常数)的最小正周期为π,当23x π=时,函数()f x 取得最小值,则下列结论正确的是( ) (A )()()()220f f f <-< (B )()()()022f f f <<- (C )()()()202f f f -<< (D )()()()202f f f <<-【答案】A【解析】由题意,()()sin f x x ωϕ=A +()0,0,0A ωϕ>>>,22T πππωω===,所以2ω=,则()()sin f x x ωϕ=A +,而当23x π=时,2322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈,解得2,6k k Z πϕπ=+∈,所以()()sin 206f x x A π⎛⎫=A +> ⎪⎝⎭,则当2262x k πππ+=+,即6x k ππ=+时,()f x 取得最大值.要比较()()()2,2,0f f f -的大小,只需判断2,-2,0与最近的最高点处对称轴的距离大小,距离越大,值越小,易知0,2与6π比较近,-2与56π-比较近,所以当0k =时,6x π=,此时00.526π-=,2 1.476π-=,当1k =-时,56x π=-,此时520.66π⎛⎫---= ⎪⎝⎭,所以()()()220f f f <-<,故选A .【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法,三角函数的图象与性质,用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键,属于中档题.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.(11)【2015年安徽,理11,5分】731x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是 (用数字填写答案).【答案】35【解析】由题意()732141771rrr r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令2145r -=,得4r =,则5x 的系数是4735C =.【点评】本题考查二项式定理的应用,本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项,在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具.(12)【2015年安徽,理12,5分】在极坐标中,圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 .【答案】6【解析】由题意2sin ρρθ=,转化为直角坐标方程为228x y y +=,即()22416x y +-=;直线()3R πθρ=∈转化为直角坐标方程为3y x =,则圆上到直线的距离最大值是通过圆心的直线,设圆心到直线的距离为d ,圆心的半径为r ,则圆到直线距离的最大值()2204424613D d r -=+=+=+=+-.【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.(13)【2015年安徽,理13,5分】执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的n 为 . 【答案】4【解析】由题意,程序框图循环如下:①1a =,;1n =②131112a =+=+,2n =;③1713512a =+=+,3n =;④117171215a =+=+,4n =,此时, 171.4140.0030.00512-≈<,所以输出4n =. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的a ,n 的值是解题的关键,属于基础题. (14)【2015年安徽,理14,5分】已知数列{}n a 是递增的等比数列,249a a +=,238a a =,则数列{}n a 的前n 项和等于 . 【答案】21n -【解析】由题意,14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅==⎩,解得11a =,48a =或者18a =,41a =,而数列{}n a 是递增的等比数列,所以11a =,48a =,即3418a q a ==,所以2q =,因而数列{}n a 的前n 项和()111221112n n n n a q S q --===---. 【点评】本题考查等比数列的性质,数列{}n a 的前n 项和求法,基本知识的考查.(15)【2015年安徽,理15,5分】设30x ax b ++=,其中,a b 均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是 __.①3,3a b =-=-;②3,2a b =-=;③3,2a b =->;④0,2a b ==;⑤1,2a b ==. 【答案】①③④⑤【解析】令()3f x x ax b =++,求导得()23f x x a '=+,当0a ≥时,()0f x '≥,所以()f x 单调递增,且至少存在一个数使()0f x <,至少存在一个数使()0f x >,所以()3f x x ax b =++必有一个零点,即方程30x ax b ++=仅有一根,故④⑤正确;当0a <时,若3a =-,则()()()233311f x x x x '=-=+-,易知,()f x 在(),1-∞-,()1,+∞上单调递增,在[]1,1-上单调递减,所以()()1132f x f b b =-=-++=+极大,()()11320f x f b b ==-+=->极小,解得2b <-或2b >,故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系;关键是数形结合、利用导数解之.三、解答题:本大题共6题,共75分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内. (16)【2015年安徽,理16,12分】在ABC ∆中,4A π=,6AB =,AC =D 在BC 边上,AD BD =,求AD 的长.解:设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ,由余弦定理得2222cos a b c bc BAC =+-∠223626cos 4π=+-⨯⨯1836(36)=+--90=,所以a =.又由正弦定理得sin sin b BAC B a ∠===, 由题设知04B π<<,所以cos B = 在ABD ∆中,由正弦定理得sin 6sin 3sin(2)2sin cos cos AB B B AD B B B Bπ===-【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,属于基本知识的考查. (17)【2015年安徽,理17,12分】已知2件次品和3件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X 的分布列和均值(数学期望).解:(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ,1123253()10A A P A A ==.(2)χ的可能取值为200,300,400,22251(200)10A P A χ===;31123232353(300)10A C C A P A χ+===; 136(400)1(200)(300)1101010P P P χχχ==-=-==--=. 故χ的分布列为13200300400350101010E χ=⨯+⨯+⨯=. 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,考查计算能力. (18)【2015年安徽,理18,12分】设*n N ∈,n x 是曲线231n y x +=+在点(12),处的切线与x 轴交点的横坐标.(1)求数列{}n x 的通项公式;(2)记2221221n n T x x x -=,证明14n T n≥. 解:(1)2221(1)(22)n n y x n x ++''=+=+,曲线221n y x +=+在点(12),处的切线斜率为22n +,从而切线方程为2(22)(1)y n x -=+-,令0y =,解得切线与x 轴交点的横坐标1111n nx n n =-=++. (2)由题设和(1)中的计算结果知22222213211321...()()...()242n n n T x x x n--==, 当1n =时,114T =;当2n ≥时,因为2222212221(21)(21)1221()2(2)(2)2n n n n n n x n n n n n -------==>==; 所以211211()...2234n n T n n ->⨯⨯⨯⨯=,综上可得对任意的*n N ∈,均有14n T n≥. 【点评】本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用,属基础题型. (19)【2015年安徽,理19,13分】如图所示,在多面体111A B D DCBA ,四边形11AA B B ,11,ADD A ABCD 均为正方形,E 为11B D 的中点,过1,,A D E 的平面交1CD 于F .(1)证明:11//EF B C ;(2)求二面角11E A D B --余弦值.解:(1)由正方形的性质可知11////A B AB DC ,且11A B AB DC ==,所以四边形11A B CD 为平行四边形,从而11//B C A D ,又1A D ⊂面1A DE ,1B C ⊄面1A DE ,于是1//B C 面1A DE , 又1B C ⊂面11B CD ,面1A DE面11B CD EF =,所以1//EF B C .(2)11,,AA AB AA AD AB AD ⊥⊥⊥,且1AA AB AD ==,以A 为原点,分别以1,,AB AD AA 为x 轴,y 轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系,可得点的坐标(0,0,0)A ,(1,0,0)B ,(0,1,0)D ,111(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1)A B D ,而E 点为11B D 的中点,所以E 点的坐标为()0.5,0.5,1.设面1A DE 的法向量1111(,,)n r s t =,而该面上向量()10.5,0.5,0A E =,()10,1,1A D =-,由11n A E ⊥,11n A D ⊥得111,,r s t 应满足的方程组11110.50.500r s s t +=⎧⎨-=⎩,()1,1,1-为其一组解,所以可取()11,1,1n =-,设面11A B CD 的法向量2222(,,)n r s t =,而该面上向量()110.5,0.5,0A B =,()10,1,1A D =-,由此同理可得2(0,1,1)n =所以结合图形知二面角11E A D B --的余弦值为1212||26||||332n n n n ==⨯.【点评】本题考查空间中线线平行的判定,求二面角的三角函数值,注意解题方法的积累,属于中档题.(20)【2015年安徽,理20,13分】设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>,点O 为坐标原点,点A 的坐标为()0a ,,点B 的坐标为()0b ,,点M 在线段AB 上,满足2BM MA =,直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ;(2)设点C 的坐标为()0b -,,N 为线段AC 的中点,点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72,求E 的方程.解:(1)由题设条件知,点M 的坐标为21(,)33a b ,又510OM k =,从而5210b a =,进而得225,2a b c a b b ==-=,、故255c e a ==.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB 的方程为15x y bb +=,点N 的坐标为51(,)22b b -,设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ,则线段NS 的中点T的坐标为117,)244x b +-+,又点T 在直线AB 上,且1NS AB k k =-,从而有117441,71x b b b +-++=⎨+⎪=解得3b =,所以a =E 的方程为221459x y +=.【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于难题.(21)【2015年安徽,理21,13分】设函数2()f x x ax b =-+.(1)讨论函数(sin )f x 在22ππ(-,)内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;(2)记2000()f x x a x b =-+,求函数0(sin )(sin )f x f x -在22ππ(-,)上的最大值D ;(3)在(2)中,取000a b ==,求24az b =-满足1D ≤时的最大值.解:(1)2(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+,22x ππ-<<,[(sin )](2sin )cos ,22f x x a x x ππ'=--<<,因为22x ππ-<<,所以cos 0x >,22sin 2x -<<,①2,a b R ≤-∈时,函数(sin )f x 单调递增,无极值; ②2,a b R ≥∈时,函数(sin )f x 单调递减,无极值;③对于22a -<<,在(,)22ππ-内存在唯一的0x ,使得02sin x a =,02x x π-<≤时,函数(sin )f x 单调递减;02x x π≤<时,函数(sin )f x 单调递增.因此22a -<<,b R ∈时,函数(sin )f x 在0x 处有极小值20(sin )()24a a f x fb ==-.(2)22x ππ-≤≤时,00000|(sin )(sin )||()sin |||||f x f x a a x b b a a b b -=-+-≤-+-,当00()()0a a b b --≥时,取2x π=,等号成立,当00()()0a a b b --<时,取2x π=-,等号成立.由此可知,0|(sin )(sin )|f x f x -在[,]22ππ-上的最大值为00||||D a a b b =-+-.(3)1D ≤即为||||1a b +≤,此时201,11a b ≤≤-≤≤,从而214a zb =-≤.取0,1a b ==,则||||1a b +≤,并且214a z b =-=,由此可知,24a zb =-满足条件1D ≤的最大值为1.【点评】本题考查函数的性质和运用,主要考查二次函数的单调性和极值、最值,考查分类讨论的思想方法和数形结合的思想,属于难题.。