同济大学第五版高等数学(下)课件D12_5全微分方程

第五节 全微分方程
一,全微分方程 二,积分因子法
第十二章
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一,全微分方程
若 在u(x, y) 使 du(x, y) = P(x, y)dx +Q(x, y)dy 存 则称 P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 ①
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) . 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则 ① 为全微分方程 求解步骤: 1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件. 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
作业
P285 1(2), (4), (7); 4 2(2),
(5);习ຫໍສະໝຸດ 课1 目录上页下页
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备用题 解方程
解法1 解法 积分因子法. 原方程变形为
= 1 取积分因子 y2
故通解为 此外, y = 0 也是方程的解.
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解法2 解法 化为齐次方程. 原方程变形为
积分得
y 将 u = 代入 , 得通解 x 此外, y = 0 也是方程的解.
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解法3 解法 化为线性方程. 原方程变形为
其通解为
即
∫ P(x)dx dx +C] [ ∫Q(x)e y= e 此外, y = 0 也是方程的解.
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∫ P(x)dx
�
2) xdy + ydx = d( xy )
x y ydx xdy ydx xdy 5) = d( ) 4) = d( ) 2 2 y x y x ydx xdy x 积分因子不一定唯一 . 6) = d( ln ) xy y 例如, 对 ydx xdy = 0 x ydx xdy 7) = d( arctan ) 可取 2 2 y x +y
x y
1 ) +d(ln x ) d(ln y ) = 0 d( 即 xy 1 1 x x 因此通解为 +ln = ln C , 即 = Cexy xy y y 因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 .
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d(xy) d x d y + =0 2 x y (xy)
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例1. 求解
(5x4 +3xy2 y3)dx +(3x2 y 3xy2 + y2)dy = 0 P Q 2 = 6xy 3y = , 故这是全微分方程. 解: 因为 y x 取x0 = 0, y0 = 0, 则有
+ ∫ (3x2 y 3xy2 + y2) dy u(x, y) = ∫ 5x dx 0
用凑微分法求通解. 将方程改写为
xdy ydx xdx =0 2 x 1 2 y 1 2 y 即 d( x ) d( ) = 0, 或 d( x ) = 0 2 x 2 x 1 2 y 故原方程的通解为 x = C 2 x
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思考: 思考 如何解方程
1 这不是一个全微分方程 , 但若在方程两边同乘 2 , x 就化成例2 的方程 .
8) xdx + ydy x2+ y2 = d( x2 + y2 )
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例3. 求解 解: 分项组合得 ( ydx +xdy)+ xy( ydx xdy) = 0 2 2 dx dy 即 d( xy) + x y ( ) = 0 x y 1 选择积分因子 (x, y) = 2 2 , 同乘方程两边 , 得
4 0 x
y
3 2 2 3 1 3 = x + x y xy + y 3 2 因此方程的通解为 5 3 2 2 3 1 3 x + x y xy + y = C 2 3
5
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y
(x, y)
o (x,0) x
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例2. 求解
P 1 Q 解: ∵ = 2 = , ∴ 这是一个全微分方程 . x y x
二,积分因子法
若存在连续可微函数 = (x, y) ≠ 0, 使 为全微分方程, 则 (x, y)为原方程的积分因子. 称 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子.
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常用微分倒推公式: 常用微分倒推公式
1 dx ±dy = d( x±y ) ) 3) xdx + ydy = d( 1 (x2 +y2)) 2