一集合
（一）集合的有关概念
1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东
西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
3.关于集合的元素的特征（判定集合的依据）
（1）确定性：
（2）互异性：
（3）无序性:
（4）集合相等：
4.元素与集合的关系；
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a∉A
5.常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作
正整数集，记作
整数集，记作
有理数集，记作
实数集，记作
（二）集合的表示方法
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}
说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。
（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}
注意：
说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4）Venn图
二、集合间的基本关系
1、填空：
（1）0 N；（2
；（3）-1.5 R
2、思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（一）集合与集合之间的“包含”关系；
A={1，2，3}，B={1，2，3，4}
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；
∈
如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
记作：)(A B B A ⊇⊆或
读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A
当集合A 不包含于集合B 时，记作
A B
用Venn )(A B B A ⊇⊆或
（二） 集合与集合之间的 “相等”关系；
A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =
即 ⎩
⎨⎧⊆⊆⇔=A B B A B A （证明集合相等常用方法） 结论：任何一个集合是它本身的子集
（三）空集的概念
不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（四）真子集的概念
若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。
记作：A B （或B A ）
读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）
真子集个数：
（五）结论：
○1A A ⊆ ○
2B A ⊆，且C B ⊆，则C A ⊆
（1） 写出集合{a ，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
（2）化简集合A={x|x-3>2},B={x|x ≥5}，并表示A 、B 的关系；
注
两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法；
○
1 已知集合}5|{<<=x a x A ，x x B |{=≥}2，且满足B A ⊆，求实数a 的取值范围。
○2 设集合}{}{}{矩形平行四边形四边形===，C ，B A ，}{正方形=D ，试用Venn 图表示它们之间的关系。
⊆
三、集合的基本运算
1. 并集
一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ）
记作：A ∪B 读作：“A 并B ”
即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}
Venn 图表示：
说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。
问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。
2. 交集
一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。
记作：A ∩B 读作：“A 交B ”
即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B}
交集的Venn 图表示
说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合
A 与
B 的公共元素组成的集合。
拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集
说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集
3.
补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。
补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A
的所有元素组成的集合称A
为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集，
记作：C U A
即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A}
补集的Venn 图表示
说明：补集的概念必须要有全集的限制
4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
5. 集合基本运算的一些结论：
A ∩
B ⊆A ，A ∩B ⊆B ，A ∩A=A ，A ∩∅=∅,A ∩B=B ∩A
A ⊆A ∪
B ，B ⊆A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪∅=A,A ∪B=B ∪A
（C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=∅
若A ∩B=A ，则A ⊆B ，反之也成立
若A ∪B=B ，则A ⊆B ，反之也成立
若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B
若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B
6. 课堂练习
（1）设A={奇数}、B={偶数}，则A ∩Z=A ，B ∩Z=B ，A ∩B=∅
（2）设A={奇数}、B={偶数}，则A ∪Z=Z ，B ∪Z=Z ，A ∪B=Z
___;
__________C B A _____,__________C B A }2
5x 0x |x {C }3x 1|x {B }2x 4|x {A )4(__________B A }Z 2
1m |m {B }Z 2n |n {A )3(==≥≤=≤≤-=≤≤-==∈+=∈= 那么，或，，集合，则，集合 一、作业
（1） 已知X={x|x 2+px+q=0，p 2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，且
X B X ,A X =∅= ，试求p 、q ；
（2） 集合A={x|x 2+px-2=0},B={x|x 2-x+q=0},若A B={-2，0，1}，求p 、q ；
（3） A={2，3，a 2+4a+2}，B={0，7，a 2+4a-2，2-a}，且A B ={3，7}，求B。
