以 f'(x)在(0,+∞)单调递增.又 f'(a)>0,当 b 满足 0<b<���4���且 b<14时,f'(b)<0,
故当 a>0 时,f'(x)存在唯一零点.
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(2)证明 由(1),可设f'(x)在(0,+∞)的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)
时,f'(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0.
f(a)=aln a+1a2-(a+1)a=aln a-1a2-a.
2
2
当0<a<1时,f(a)<0,即在x∈(0,1)时,f(x)<0.
而f(x)在x∈(1,+∞)时为增函数,且x→+∞时,f(x)→+∞,
所以此时f(x)有一个零点.
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③当 a=1 时,f'(x)=(������-���1��� )2≥0 在(0,+∞)内恒成立,
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解题策略二 分类讨论法
例2已知函数f(x)=x3+ax+
1 4
,g(x)=-ln
x.
(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;
(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数
h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.
难点突破 (1)设切点(x0,0),依题意f(x0)=0,f'(x0)=0,得关于a,x0的方 程组解之.
4
若 a<-54,则 f(1)<0,h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0,故 x=1 不是 h(x)的零 点.
