04、2020版高考数学大二轮专题突破理科通用版专题突破练4 从审题中寻找解题思路 Word版含解析

2020版高考数学大二轮专题突破理科通用解答题综合试题B1.已知函数f(x)=x2+mx(m>0),数列{a n}的前n项和为S n.点(n,S n)在f(x)图象上,且f(x)的最小值为-.(1)求数列{a n}的通项公式;,记数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n<1.(2)数列{b n}满足b n=--2.(2019河南南阳一中高三一模,理18)在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=2CD=2BC=2AD=4,∠DAB=60°,AE=BE,△PAD为正三角形,且平面PAD ⊥平面ABCD.(1)求二面角P-EC-D的余弦值;(2)线段PC上是否存在一点M,使异面直线DM和PE所成角的余弦值为?若存在,指出点M的位置;若不存在,请说明理由.3.(2019安徽江淮十校高三最后一卷,理19)某销售公司在当地A、B两家超市各有一个销售点,每日从同一家食品厂一次性购进一种食品,每件200元,统一零售价为每件300元,两家超市之间调配食品不计费用,若进货不足食品厂以每件250元补货,若销售有剩余食品厂以每件150回收.现需决策每日购进食品数量,为此搜集并整理了A、B两家超市往年同期各50天的该食品销售记录,得到如下数据:0000以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率,记X表示这两家超市每日共销售食品件数,n表示销售公司每日共需购进食品的件数.(1)求X的分布列;(2)以销售食品利润的期望为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选哪个?4.(2019河北石家庄高三模拟,文20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(x0,2)到焦点F的距离|PF|=2x0.(1)求抛物线C的方程;(2)过点P引圆M:(x-3)2+y2=r2(0<r≤)的两条切线PA,PB,切线PA,PB与抛物线C的另一交点分别为A,B,线段AB中点的横坐标记为t,求t的取值范围.5.(2019山东潍坊高三二模,理)已知函数f(x)=x e x-1-a ln x(无理数e=2.718…).(1)若f(x)在(1,+∞)单调递增,求实数a的取值范围;(2)当a=0时,设g(x)=·f(x)-x2-x,证明:当x>0时,g(x)>1--2.6.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ,直线l与圆C交于A,B 两点.(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长;(2)动点P在圆C上(不与A,B重合),试求△ABP的面积的最大值.7.已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.(1)求函数f(x)的值域M;(2)若a∈M,试比较|a-1|+|a+1|,-2a的大小.参考答解答题综合练B1.(1)解f(x)=(x+m)2-,故f(x)的最小值为-=-,又m>0,所以m=,即S n=n2+n,所以当n≥2时,a n=S n-S n-1=n;当n=1时,a1=1也适合上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=n.(2)证明由(1)知b n=----,所以T n=1-+…+--=1--,所以T n<1.2.解(1)设O是AD的中点,连接PO,OE,△PAD为正三角形,则PO⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD.∵AD=AE=2,∠DAB=60°,故△ADE为正三角形.∴OE⊥AD.建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,则P(0,0,),E(0,,0),C(-2,,0),D(-1,0,0),于是=(-2,,-),=(0,,-),=(1,0,), 设平面PEC的法向量为n1=(x,y,z),由得---不妨取y=1,则z=1,x=0.∴n1=(0,1,1).平面EDC的一个法向量为n2=(0,0,1),设二面角P-EC-D的平面角为θ, 则|cos θ|=|cos<n1,n2>|=由图知θ为锐角,所以二面角P-EC-D的余弦值为(2)设= 0≤λ≤1 则=(-2λ,,-),=(1-2λ,,),=(0,,-),所以|cos<>|=-,解得λ=或λ=, 所以存在点M为线段PC的三等分点.3.解(1)由已知两家超市销售食品件数8,9,10,11的概率分别为X取值为16,17,18,19,20,21.P(X=16)=;P(X=17)=2=;P(X=18)=2=;P(X=19)=2+2=;P(X=20)=2=;P(X=21)=2=;P(X=22)=所以X的分布列为(2)当n=19时,记Y1为A,B两家超市销售该食品的利润,则Y1的分布列为E(Y1)=1 450+1 600+1 750+1 900+1 950+2 000+2 050=1 822.当n=20时,记Y2为A,B两家超市销售该食品的利润,则Y2的分布列为E(Y2)=1 400+1 550+1 700+1 850+2 000+2 050+2 100=1 804.因为E(Y1)>E(Y2),故应选n=19.4.解(1)由抛物线定义,得|PF|=x0+,由题意得解得所以抛物线的方程为y2=4x.(2)由题意知,过P引圆(x-3)2+y2=r2(0<r)的切线斜率存在,且不为0.设切线PA的方程为y=k1(x-1)+2,则圆心M(3,0)到切线PA的距离d==r,整理得,(r2-4)-8k1+r2-4=0.设切线PB的方程为y=k2(x-1)+2,同理可得(r2-4)-8k2+r2-4=0.所以,k1,k2是方程(r2-4)k2-8k+r2-4=0的两根,k1+k2=-,k1k2=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由-得k1y2-4y-4k1+8=0,由韦达定理知,2y1=-,所以y1=--2=4k2-2,同理可得y2=4k1-2.设点D的横坐标为x0,则x0=--=2( )-2(k1+k2)+1=2(k1+k2)2-2(k1+k2)-3.设t=k1+k2,则t=-[-4,-2),所以x0=2t2-2t-3,对称轴t=>-2,所以9<x0≤37.5.(1)解由题意可得f'(x)=(1+x)e x-1---0在(1,+∞)内恒成立.∴a≤ x+x2)e x-1.令h(x)=(x+x2)e x-1,则h'(x)=(1+3x+x2)e x-1>0, ∴函数h(x)=(x+x2)e x-1在(1,+∞)内单调递增.∴a≤h(1)=2.∴实数a的取值范围是(-∞,2].(2)证明当a=0时,g(x)=f(x)-x2-x=e x-x2-x.g'(x)=e x-2x-1.令u(x)=g'(x)=e x-2x-1,则u'(x)=e x-2,可得x=ln 2时,函数u(x)取得极小值,g'(ln 2)=u(ln 2)=1-2ln 2<0.∵g'(0)=0,又g'1+ln 2=-21+ln 2-1=e-3-ln 2>0.∴存在x0∈ln 2,1+ln 2,使得g'(x0)=-2x0-1=0,=2x0+1.由单调性可得,当x=x0时,函数g(x)取得极小值,即最小值,∴g(x ≥g(x0)=-x0=2x0+1--x0=-+x0+1=-x0-2+由x0∈ln 2,1+ln 2,可得函数y=g(x0)单调递减,故g(x ≥g(x0)>-1+ln 2-2+>1--2.∴当x>0时,g(x)>1--2.6.解(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,所以x2+y2-4x=0,所以圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.将直线l的参数方程代入圆C:(x-2)2+y2=4,并整理得t2+2t=0,解得t1=0,t2=-2, 所以直线l被圆C截得的弦长为|t1-t2|=2(2)直线l的普通方程为x-y-4=0.圆C的参数方程为(θ为参数),可设圆C上的动点P(2+2cos θ,2sin θ),则点P到直线l的距离d==-当cosθ+=-1时,d 取最大值,且d 的最大值为2+,所以S△ABP2(2+)=2+2,即△ABP的面积的最大值为2+27.解(1)f(x)=----根据函数f(x)的单调性可知,当x=时,f(x)min=f=所以函数f(x)的值域M=,+∞.(2)∵a∈M,∴a,∴0<1.又|a-1|+|a+1|=a-1+a+1=2a≥3 ∴a,知a-1>0,4a-3>0,-->0,-2a,所以|a-1|+|a+1|>-2a.。

姓名，年级：时间：高考解答题突破（二）数列的综合应用突破“两归”——化归、归纳1．由于数列是一个特殊的函数，也可根据题目特点，将其化归为函数问题，或通过对式子的改造，使其化归为可运用数列问题的基本方法．2．对于不是等差或等比的数列，可从简单的个别的特殊的情景出发,从中归纳出一般性的规律、性质，这种归纳思想便形成了解决一般性数学问题的重要方法：观察、归纳、猜想、证明．考向一等差、等比数列的证明证明数列是等差(比）数列的两种基本方法（1）定义法：a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*）⇒｛a n}是等差数列；错误!＝q（q是非零常数)⇒｛a n｝是等比数列．（2）等差（比）中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N＊)⇒{a n}是等差数列；a2，n＋1＝a n·a n＋2(n∈N＊，a n≠0)⇒｛a n}是等比数列．[解] （1)由题意知,2S n＝（n＋1）2a n－n2a n＋1，2S n＋1＝（n＋2）2a n＋1－（n＋1)2a n＋2，(2）由题意知，b n b n＋1＝λ·2a n＝λ·22n，b n＋1b n＋2＝λ·2a n＋1＝λ·22(n＋1)，两式相除,可得b n＋2＝4b n,即｛b2n｝和{b2n－1｝都是以4为公比的等比数列．∵b1b2＝λ·2a1＝4λ，b1＝1,∴b2＝4λ，b3＝4b1＝4,∴b2n＝2·4n－1＝22n－1,b2n－1＝22n－2,即b n＝2n－1，则b n＋1＝2b n，因此存在λ＝错误!，使得数列｛b n}是等比数列．巧造等差或等比判定方法（1)判断一个数列是等差(等比）数列，还有通项公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法；(2）若要判断一个数列不是等差（等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比）数列即可；（3）a错误!＝a n－1a n＋1（n≥2,n∈N*)是｛a n｝为等比数列的必要而不充分条件，也就是要注意判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0。

热门 (四 ) 数列中的奇偶分类和最值1． (偶数项 ) 已知等差数列 { a } 的前 9 项和为 27，a ＝8，则 a＝ ()n10100A ．100B ．99C ．98D ． 97 答案： C分析： 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，因为 { a n } 为等差数列，且 S 9＝9a 5＝ 27，所以 a 5＝ 3. 又 a ＝ 8，所以 5d ＝ a － a ＝ 5，所以 d ＝ 1，所以 a ＝ a ＋ 95d ＝ 98，应选 C.1010 5 100 52．(项数的最值 ) 已知 S是等差数列 { a } 的前 n 项和， a ＝ 2，a ＋ a ＝ a ，若 S >32，则nn1 1 4 5 nn 的最小值为 ( )A ．3B ．4C ．5D ． 6答案： D分析： 由 a 1＝1 45，可得公差 5 662 且 a ＋ a＝ad ＝ 2，所以 S ＝ 30， S ＝ 42，即 S >32，应选D.3．(奇数项和 )已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，a 1＝ 1，当 n ≥2 时，a n ＋ 2S n － 1＝n ，则 S 2 017的值为()A ．2 017B ．2 016C ．1 009D ．1 007答案： C分析： 因为 a nn －1＝ n ，n ≥ 2，所以 a n ＋ 1n*，两式相减得 a n ＋ 1n＋ 2S ＋ 2S ＝n ＋ 1，n ∈ N＋ a＝ 1， n ≥ 2.又 a 1＝ 1，所以 S 2 017＝a 1＋( a 2＋ a 3 )＋ ＋ (a 2 016＋ 22 017)＝ 1 009，应选 C.4． (项数的最值问题 )设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和，若a 8<0，且 a 9 >|a 8 |，则使 S n >0建立的最小正整数 n 为 ()A ．15B ．16C ．17D ． 18 答案： B分析： 因为 a 8<0 ，且 a 9 >|a 8 |，所以此等差数列从第一项到第八项都是负数，从第九项开始是正数，因为 a 89710 1 16 8 9 8 n建立的最小正＋ a ＝ a ＋ a ＝ ＝ a ＋ a ，a ＋ a >0 ，a <0 ，所以使 S >0整数 n ＝ 16，应选 B.5．(数列中奇偶分类问题 )已知数列 { b n } 知足 b 1＝2n π n π1，b 2＝ 4，b n ＋ 2＝ 1＋ sin 2 b n ＋ cos 2，23 项的和为 ( )2则该数列的前A ．4 194B ．4 195C ．2 046D ．2 047 答案： A分析： b 1 2n ＋22n π 2n π＝ 1＋ sinn2，＝1， b ＝ 4， b 2 b ＋ cos当 n 为奇数时， b n ＋2＝ 2b n ，数列为以 2 为公比的等比数列，当 n 为偶数时， b n ＋2＝ b n ＋ 1，数列为以 1 为公差的等差数列，∴前 23 项和 S 23132324221－ 21211× 11－1＋ 11× 4＋＝( b ＋b ＋ ＋ b ) ＋(b ＋ b ＋ ＋ b )＝1－ 22×1＝ 212－ 1＋ 44＋55＝ 4 194，应选 A. 6． (奇数项和 )已知等差数列 nn≠ 0，若 n ≥2 且 an －1n ＋ 122n －1n{ a } 中， a ＋ a－ a ＝0， S＝ 38，则 n 等于 ________．答案： 10分析： ∵ { a n } 是等差数列， ∴2a n ＝ a n －1 ＋ a n ＋1，又 ∵a n － 1＋ a n ＋12＝0，∴ 2a2－a n n － a n ＝ 0， 即 a n (2 －a n )＝0.∵ a n ≠ 0，∴ a n ＝ 2，∴ S 2n － 1＝ (2n － 1)a n ＝ 2(2n － 1)＝ 38，解得 n ＝ 10.7．(范围问题 )在等差数列 { a } 中， a ＝ 7，公差为 d ，前 n 项和为 S ，当且仅当 n ＝8 时，n1nS n 获得最大值，则 d 的取值范围为 ________．答案： － 1，－78d<0 ，d<0 ，分析： 由题意可得8即7＋ 7d>0 ，解得－ 1<d<－7a >0，8.a <0，7＋ 8d<0，98． (奇偶项和 )一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为 1，且中间两项的和为 24，则等比数列的项数为 ________．答案： 8分析： 由题意可知公比 q ＝ 2，设该数列为 a 1， a 2 ，a 3， ， a 2n ，则 a n ＋ a n ＋1＝24，又 a 1＝1， ∴ qn －1＋q n ＝ 24，即 2n －1＋ 2n ＝ 24，解得 n ＝ 4， ∴等比数列的项数为8.9． (和的最值问题 )已知数列 { a n } 知足 2a n ＋ 1＝a n ＋a n ＋ 2(n ∈ N * )，前 n 项和为 S n ，且 a 3＝110， S 6＝ 72，若 b n ＝ 2a n － 30，设数列 { b n } 的前 n 项和为 T n ，求 T n 的最小值．分析： ∵ 2a n ＋1 n n ＋2 n ＋1 n ＝ a n ＋ 2 n ＋ 1 n＝ a ＋ a ， ∴ a －a － a ，故数列 { a } 为等差数列．设数列a ＋ 2d ＝ 10，1{ a n } 的公差为 d ，由 a 3＝ 10，S 6 ＝72 得6a 1 ＋15d ＝ 72， 解得 a 1＝ 2，d ＝ 4.故 a n ＝ 4n － 2，b ≤ 0，2n － 31≤ 0，1n29≤ n ≤31则 b n ＝ 2a n － 30＝ 2n － 31，令则 解得 22，b n ＋1≥ 0， 2n ＋ 2－ 31≥0，∵ n ∈N * ， ∴ n ＝ 15，即数列 { b n } 的前 15 项均为负值， ∴ T 15 最小．∵ 数列 { b n } 的首项为－ 29，公差为 2， ∴T 15＝－ 29× 15＋15× 14× 2＝－225， 2 ∴ T n 的最小值为－ 225.10． [2019 湖·南省联考 ]设 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和， a 1＝ 1， 2S n ＝ 5－ 3a n ＋1.(1)求数列 { a n } 的通项公式；n1(2)设 b n ＝ (－ 1) log 3a n ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .分析： (1)当 n ＝ 1 时， 2S 1＝ 5－ 3a 2＝ 2a 1＝2，求得 a 1＝ a 2＝ 1.当 n ≥2 时， 2S n ＝ 5－ 3a n ＋ 1， 2S n －1＝ 5－ 3a n ，则 2S n － 2S n － 1＝ (5－3a n ＋1)－ (5－ 3a n )，a n ＋1 1整理得 2a n ＝ 3a n － 3a n ＋1，即 a n ＝3，1可知数列 { a n} 从第 2 项起为等比数列，且a2＝ 1，公比为3，1 n即当 n≥ 2 时， a n＝－ 23 .易知 a1＝1 不知足上式，所以数列 { a n} 的通项公式为1，n＝ 1，a n＝1 n－2*.3 ， n≥ 2，n∈ N0， n＝1，(2)由 (1) 得 b n＝－1 n n－ 2 ， n≥ 2，n∈ N*，则当 n≥ 2 时， T n＝ 0＋ 0－ 1＋ 2－ 3＋ 4－＋(－1)n(n－2)．n－ 2 当 n 为偶数时， T n＝ (－1＋ 2)＋ (－ 3＋4)＋＋ [－ (n－ 3)＋ (n－2)] ＝2；n－ 3 1－ n当 n 为奇数时， T n＝2－( n－ 2)＝2，且当 n＝1 时，知足该式．1－ n综上可得，数列 { b n2， n为奇数，n ＝} 的前 n 项和 Tn－ 22，n为偶数.。

姓名，年级：时间：考前强化练4客观题12+4标准练D一、选择题的共轭1.（2019山西临汾一中、忻州一中、长治二中等五校高三联考,理2)复数2+i1+i复数z在复平面内对应的点位于(）A.第一象限B。

第二象限C。

第三象限 D.第四象限2。

(2019河北邢台二中二模,理1）已知集合A={(x,y）|x2+y2=1｝,B=｛（x,y)｜y=x｝，则A∩B的真子集个数为（)A。

0 B.1 C。

2 D.33。

若实数x，y满足｜x—1｜-ln y=0,则y关于x的函数图象的大致形状是（）4.（2019辽宁丹东高三质检二,文7)据中国古代数学名著《九章算术》中记载,公元前344年,先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器-—商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸）,其体积为12.6立方寸。

若取圆周率π=3,则图中的x值为（)A。

1.5 B。

2 C.3 D。

3。

15。

若数列{a n｝是正项数列,且√a1+√a2+…+√a n=n2+n,则a1+a22+…+a nn等于(）A。

2n2+2n B。

n2+2n C。

2n2+n D.2（n2+2n）6.将函数f（x)=cosωx22sinωx2—2√3cosωx2+√3（ω〉0）的图象向左平移π3ω个单位长度,得到函数y=g(x）的图象,若y=g(x）在0,π12上为增函数,则ω的最大值为（)A。

2 B。

4 C.6 D.87。

(2019黑龙江齐齐哈尔高三二模，理7)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a〉b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1作垂直于x轴的直线交椭圆E于A,B两点，点A在x轴上方.若｜AB|=3,△ABF2的内切圆的面积为9π16，则直线AF2的方程是（)A.2x+3y-5=0B.2x+3y-2=0C.4x+3y—4=0D.3x+4y-3=08.如图是计算函数y={-x,x≤-1,0,-1<x≤2,x2,x>2的值的程序框图,则在①②③处应分别填入的是（）A.y=-x，y=0，y=x2B.y=-x，y=x2，y=0C.y=0，y=x2,y=-xD。

2020版高考数学大二轮专题突破理科通用解答题组合练B 1.(2019山东临沂高三三模,文)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin(B+C)+2cos+B cos C=0.(1)求证:B=C;(2)若cos A=,△ABC的外接圆面积为,求△ABC的周长.2.△ABC中的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知. (1)求角B;(2)若b=,求△ABC面积的最大值.3.(2019黑龙江哈尔滨三中高三四模,理19)2019年4月,甲、乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考,现对这两校参加考试的学生的数学成绩进行统计分析,数据统计显示,考生的数学成绩X服从正态分布N(110,144),从甲、乙两校100分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20份试卷,并将这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图:(1)试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数;(2)若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀,根据茎叶图中的数据,能否在犯错误的概率不超过0.100的前提下认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关?(3)从所有参加此次联考的学生中(人数很多)任意抽取3人,记数学成绩在134分以上的人数为ξ,求ξ的数学期望.附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<x≤μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4.参考公式与临界值表:K2=-,其中n=a+b+c+d.4.(2019山东安丘、诸城、五莲、兰山高三联考)某手机公司生产某款手机,如果年返修率不超过千分之一,则生产部门当年考核优秀,现获得该公司2010~2018年的相关数据如下表所示:修量(台)(1)从该公司2010~2018年的相关数据中任意选取3年的数据,以X表示3年中生产部门获得考核优秀的次数,求X的分布列和数学期望;(2)根据散点图发现2015年数据偏差较大,如果去掉该年的数据,试用剩下的数据求出年利润y(千万元)关于年生产量x(万台)的线性回归方程(精确到0.01).[附部分计算数据:y i=6.2,=509,x i y i=434.1.]附:年返修率=年返修量台年生产量台;线性回归方程x+中,-----x.5.(2019湖北十堰高三调研,理21)已知函数f(x)=ln x.(1)当a>0时,讨论函数F(x)=x2-(6+a)x+2af(x)的单调性;(2)设函数g(x)=,若斜率为k的直线与函数y=g'(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,证明:x1<<x2.6.(2019山东栖霞高三模拟,理21)设函数f(x)=x ln x-a e x,其中a∈R,e是自然对数的底数.(1)若f(x)在(0,+∞)上存在两个极值点,求a的取值范围;(2)若a≥,证明:f(x)<0.参考答案考前强化练6解答题组合练B1.(1)证明∵sin(B+C)+2cos+B cos C=0,∴sin(B+C)-2sin B cos C=0.∴sin B cos C+cos B sin C-2sin B cos C=0.∴cos B sin C-sin B cos C=0.∴sin(B-C)=0.∴B=C.(2)解设△ABC的外接圆半径为R,由已知得πR2=,∴R=∵cos A=,0<A<π,∴sin A=∴a=2R sin A=4.∵B=C,∴b=c.由a2=b2+c2-2bc·cos A,得16=2b2-b2,解得b=2,∴a+b+c=4+4.∴△ABC的周长为4+4.2.解(1)利用正弦定理,得=1+,即sin(B+C)=cos C sin B+sin C sin B,∴sin B cos C+cos B sin C=cos C sin B+sin C sin B,∴cos B sin C=sin C sin B,又sin B≠0,∴tan B=1,B=(2)由(1)得B=,由余弦定理可得:b2=a2+c2-2ac cos B,则有2=a2+c2-ac,即有2+ac=a2+c2,又由a2+c2≥2ac,则有2+ac≥2ac,变形可得:ac=2+,-则S=ac sin B=ac即△ABC面积的最大值为3.解(1)由茎叶图可知:甲校学生数学成绩的中位数为=131.5,乙校学生数学成绩的中位数为=128.5,所以比较这40份试卷的成绩,甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的中位数高.(2)由题意,作出2×2列联表如下:计算得K2的观测值k=-0.920 7<2.706,所以在犯错误的概率不超过0.100的前提下认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关.(3)因为X~N(110,144),所以μ=110,σ==12,所以P(86<X≤134 =0.954 4,所以P(X>134)=-=0.022 8,由题意可知ξ~B(3,0.022 8),所以Eξ=3×0.022 8=0.068 4.4.解(1)由数据可知,2012,2013,2016,2017,2018五个年份考核优秀,所以X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,故X的分布列为:E(X)=0+1+2+3(2)因为x6==7,--,-所以去掉2015年的数据后不影响的值,-所以-=--≈0.64.去掉2015年数据后,=7,-=6,所以=6-7≈1.52,故回归方程为:=0.64x+1.52.5.(1)解∵F(x)=x2-(6+a)x+2a ln x,∴F'(x)=3x-(6+a)+--(其中x>0).令F'(x)=0可得,x=2或x=a.①当a>2即a>6时,当x∈a,+∞∪(0,2)时,F'(x)>0,函数在(0,2),a,+∞内单调递增,当2<x<a时,F'(x)<0,函数在2,a内单调递减.②当a=6时,F'(x ≥0在(0,+∞)内恒成立,即F(x)在(0,+∞)上单调递增.③当0<a<2即0<a<6时,x∈(2,+∞)∪0,a时,F'(x)>0,函数在0,a,(2,+∞)内单调递增,在a,2内单调递减.(2)证明g(x)==x ln x,则g'(x)=1+ln x.故k=--,x1<<x2⇔x1<--<x2⇔1<-令t=(t>1),要证明x1<<x2,只要证1<-<t,由t>1可知ln t>0,故只要证明ln t<t-1<t ln t(t>1).①设h(t)=t-1-ln t,t>1,则h'(t)=1->0,故h(t)在(1,+∞)上单调递增,∴h(t)>h(1)=0,即ln t<t-1.②设m(t)=t ln t-(t-1),t>1,则m'(t)=ln t>0,故m(t)在(1,+∞)上单调递增.∴m(t)>m(1)=0,即t-1<t ln t.综上可得,x1<<x2.6.(1)解由题意可知,x>0,f'(x)=ln x+1-a e x=0,f(x)在(0,+∞)上存在两个极值点等价于f'(x)=0在(0,+∞)有两个根, 由ln x+1-a e x=0可得,a=令g(x)=,则g'(x)=--令h(x)=-ln x-1,可得h'(x)=-当x>0时,h'(x)<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,且h(1)=0,当x∈(0,1)时,h(x)>0,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,g'(x)<0,g(x)单调递减;所以x=1是g(x)的极大值也是最大值,又当x→0时,g(x →-∞,当x→+∞,g(x)大于0趋向于0,要使f'(x)=0在(0,+∞)有两个根,只需0<a<g(1),所以a的取值范围为0<a<(2)证明f(x)<0即x ln x-a e x<0,等价于ln x-<0.令F(x)=ln x-,F'(x)=---当0<x≤1时,F'(x)>0,单调递增,所以F(x ≤F(1)=-a e<0.当x>1时,F'(x)=--e x--,令G(x)=e x--,G'(x)=e x+->0.又G(2)=e2--0∵a,取m∈(1,2),且使->e2,即1<m<-,则有G(m)=e m--<e2-e2=0.因为G(m)G(2)<0,故G(x)存在唯一零点x0,x0∈(1,2), 即F(x)有唯一的极值点且为极小值点x0∈(1,2).由G(x0)=0可得,-,故F(x0)=ln x0--因为F'(x0)=->0,故F(x0)在(1,2)内为增函数,所以F(x0)<F(2)=ln 2-ln 2-1<0∵a.综上,当a时,总有f(x)<0.。

80分小题精准练(四)(建议用时：50分钟)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x2－x－2＜0}，则A∩B＝()A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－1,2) D．(1,2)A[B＝{x|x2－x－2＜0}＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B＝{x|－1＜x＜1}＝(－1,1)，故选A.]2．“a＝2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)i(a∈R)为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[复数z＝(a＋2i)(－1＋i)i＝－a－2＋(a－2)ii＝a－2＋(a＋2)i(a∈R)为纯虚数，则a－2＝0，a＋2≠0.∴“a＝2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)i(a∈R)为纯虚数”的充要条件．故选C.]3．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，且(a＋b)(a－2b)＝4，则向量a，b 的夹角为()A.π6 B.π4C.π3 D.2π3D[∵(a＋b)(a－2b)＝4，∴a2－a·b－2b2＝4，a·b ＝9－2×4－4＝－3，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝－33×2＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝2π3.故选D.]4．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34 C. 3D ．2A [因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.]5．(x －1)7(x ＋1)3的展开式中x 的系数是( ) A ．10 B ．4 C ．－10D ．－4B [(x －1)7(x ＋1)3的展开式含x 的项是：C 77(－1)7·C 13x ·C 22·12＋C 17x C 66(－1)6·C 33·13＝4x . ∴(x －1)7(x ＋1)3的展开式中x 的系数是4.故选B.]6．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ＝log 2 0.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜aB [∵a ＝log 20.2＜0，b ＝20.2＞1，c ＝0.20.3∈(0,1)，∴a <c <b .故选B.] 7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝13，若a n (a n －1＋2a n ＋1)＝3a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝( )A.12n －1B.12n －1C.13n －1D.12n －1＋1B [由a n (a n －1＋2a n ＋1)＝3a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)， 可得1a n ＋1－1a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n－1a n －1， 1a 2－1a 1＝3－1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1－1a n 是首项为2，公比为2的等比数列． ∴1a n ＋1－1a n＝2n .∴1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1－1a n －2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋1a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝2n －12－1＝2n －1.∴a n ＝12n －1.故选B.]8．(2019·浙江高考)设0＜a ＜1.随机变量X 的分布列是则当a 在A ．D (X )增大 B ．D (X )减小C ．D (X )先增大后减小 D ．D (X )先减小后增大D [E (X )＝0×13＋a ×13＋1×13＝a ＋13，D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a ＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋132×13＝127[(a ＋1)2＋(2a －1)2＋(a －2)2] ＝29(a 2－a ＋1)＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋16.∵0＜a ＜1，∴D (X )先减小后增大，故选D.]9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝5，C ＝60°，且△ABC 的面积为53，则△ABC 的周长为( )A ．8＋21B ．9＋21C ．10＋21D ．14B [由题意，根据三角形面积公式，得12ab sinC ＝53，即12a ×5×32＝53，解得a ＝4.根据余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝16＋25－2×4×5×12，c＝21，所以△ABC 的周长为9＋21.故选B.]10．已知抛物线C ：y 2＝8x 与直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则AB 的中点的横坐标为( )A ．52B ．3C ．5D ．6A [根据题意，设AB 的中点为G ，抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ：x ＝－2，焦点为F (2,0)， 直线y ＝k (x ＋2)恒过定点P (－2,0)．如图过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ， 由|F A |＝2|FB |，则|AM |＝2|BN |，即点B 为AP 的中点．连接OB ，则|OB |＝12|AF |， 又由|F A |＝2|FB |，则|OB |＝|BF |，点B 的横坐标为1， 又B 为P 、A 的中点，则A 的横坐标为4，故AB 的中点G 的横坐标为1＋42＝52，故选A.]11．已知三棱锥O -ABC 的底面△ABC 的顶点都在球O 的表面上，且AB ＝6，BC ＝23，AC ＝43，且三棱锥O -ABC 的体积为43，则球O 的体积为( )A.32π3B.64π3C.128π3D.256π3D [由O 为球心，OA ＝OB ＝OC ＝R ， 可得O 在底面ABC 的射影为△ABC 的外心，AB ＝6，BC ＝23，AC ＝43，可得△ABC 为AC 斜边的直角三角形，O 在底面ABC 的射影为斜边AC 的中点M ，可得13·OM ·12AB ·BC ＝16OM ·123＝43，解得OM ＝2，R 2＝OM 2＋AM 2＝4＋12＝16，即R ＝4， 球O 的体积为43πR 3＝43π·64＝2563π.故选D.]12．(2019·兰州模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(0＜ω＜1，|φ|＜π2)的图象经过点(0,1)，且关于直线x ＝2π3对称，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，2π3上是减函数B ．若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则一定有f ′(x 0)≠0C ．f (x )≥1的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π3，k ∈ZD ．f (x )图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0D [由f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象经过点(0,1)，得sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.因为f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称，所以存在m ∈Z 使得2π3ω＋π6＝m π＋π2，得ω＝3m 2＋12(m ∈Z )，又0＜ω＜1，所以ω＝12，则f (x )＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.令2n π＋π2≤12x ＋π6≤2n π＋3π2，n ∈Z ，得4n π＋2π3≤x ≤4n π＋8π3，n ∈Z ，故A 错误；若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则f (x )在x ＝x 0处取得极值，所以一定有f ′(x 0)＝0，故B 错误；由f (x )≥1得4k π≤x ≤4k π＋4π3，k ∈Z ，故C 错误；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0是其图象的一个对称中心，故D 正确．选D.] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是“中华诗词”“社会主义核心价值观”“依法治国理念”“中国戏剧”“创新能力”．某参赛队从中任选2个主题作答，则“中华诗词”主题被该队选中的概率是________．25 [由于知识竞赛有5个版块，某参赛队从中任选2个主题作答，基本事件总数有C 25＝10种，“中华诗词”主题被该队选中的对立事件是“社会主义核心价值观”“依法治国理念”“中国戏剧”“创新能力”选2个主题，∴“中华诗词”主题被该队选中的概率为1－C 24C 25＝25.]14．直线y ＝3b 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两支分别交于B ，C 两点，A 为双曲线的右顶点，O 为坐标原点，若OC 平分∠AOB ，则该双曲线的离心率为________．5 [∵OC 平分∠AOB ，∴∠AOC ＝∠COB ， 由双曲线的对称性可知∠BOy ＝∠COy ， ∴∠AOC ＝2∠COy ， ∴∠AOC ＝60°，故直线OC 的方程为y ＝3x ，令3x ＝3b 可得x ＝b ，即C (b ，3b )，代入双曲线方程可得b 2a 2－3＝1，即ba ＝2，∴b ＝2a ， ∴c ＝a 2＋b 2＝5a ，∴e ＝ca ＝ 5 . ]15．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n ＋3恒成立，则a 1的值为________．－3或1 [设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1，由S n ＋2＝4S n ＋3，得(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n ，3a 1n ＝2a 1－3恒成立，则a 1＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ，S n ＋2＝a 1(1－q n ＋2)1－q，代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n ＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 4－q 2＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，q ＝－2，故a 1＝－3或1.] 16．函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x 在x ＝2处取得极大值，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 [f (x )的导数为f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(x －2)(ax －1)e x ， 若a ＝0则x ＜2时，f ′(x )＞0，f (x )递增；x ＞2，f ′(x )＜0，f (x )递减． x ＝2处f (x )取得极大值，满足题意；若a ＝12，则f ′(x )＝12(x －2)2e x ≥0，f (x )递增，无极值，不满足题意； 若a ＞12，则0＜1a ＜2，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上递减；在(2，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a 上递增，可得f (x )在x ＝2处取得极小值，不满足题意；当0＜a ＜12，则 1a ＞2，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a 上递减；在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，(－∞，2)上递增，可得f (x )在x ＝2处取得极大值，满足题意；若a ＜0，则1a ＜0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上递增；在(2，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a 上递减，可得f (x )在x ＝2处取得极大值，满足题意．综上可得，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12.]。

2020高考理科数学二轮专题提分全国通用中难提分突破试题三1．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝BB1，∠B1BC＝60°，B1C1⊥AB1.(1)证明：AB＝AC；(2)若AB⊥AC，且AB1＝BB1，求二面角A1－CB1－C1的余弦值．解(1)证明：如图，取BC的中点O，连接AO，OB1.因为BC＝BB1，∠B1BC＝60°，所以△BCB1是等边三角形，所以B1O⊥BC，又BC∥B1C1，B1C1⊥AB1，所以BC⊥AB1，所以BC⊥平面AOB1，所以BC⊥AO，由三线合一可知△ABC为等腰三角形，所以AB＝AC.(2)设AB1＝BB1＝2，则BC＝BB1＝2.因为AB⊥AC，所以AO＝1.又因为OB1＝3，所以OB21＋AO2＝AB21，所以AO⊥OB1.→的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直以O为坐标原点，向量OB角坐标系Oxyz ，则O (0,0,0)，C (－1,0,0)，A 1(－1，3，1)，B 1(0，3，0)，CA 1→＝(0，3，1)，CB 1→＝(1，3，0)，设平面A 1B 1C 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧CA 1→·n ＝0，CB 1→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋z ＝0，x ＋3y ＝0，可取n ＝(3，－1，3)， 由(1)可知，平面CB 1C 1的法向量可取OA →＝(0,0,1)， 所以cos 〈OA →，n 〉＝OA →·n |OA →||n |＝217， 由图示可知，二面角A 1－CB 1－C 1为锐二面角， 所以二面角A 1－CB 1－C 1的余弦值为217. 2．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)锐角△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于D ，直线x ＝A 是函数f (x )图象的一条对称轴，AD ＝2BD ＝2，求边a .解 (1)∵f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∴f (x )＝2sin x sin x ·12＋2sin x cos x ·32＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＋12 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得 －π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z .(2)∵x ＝A 是函数f (x )图象的一条对称轴， ∴2A －π6＝π2＋k π，k ∈Z .∴A ＝π3＋k π2，k ∈Z . 又△ABC 是锐角三角形，∴A ＝π3.在△ABD 中，∠BAD ＝π6，BD ＝2，AD ＝2， 由正弦定理，得212＝2sin B ，∴sin B ＝22.∴B ＝π4.∴C ＝π－π3－π4＝5π12.∠CDA ＝π4＋π6＝5π12. ∴AC ＝AD ＝2.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin60°＝2sin45°， ∴BC ＝a ＝ 6.3．绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额．分组如下：[0,20)，[20,40)，…，[100,120]，得到如图所示的频率分布直方图：(1)请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；(2)若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”．填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？(3)为吸引顾客，商家特推出两种促销方案．方案一：每满80元可立减10元；方案二：金额超过80元可抽奖三次，每次中奖的概率为12，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若每斤水果10元，你打算购买12斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．参考公式和数据：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .临界值表：解 (1)x －＝(10×0.005＋30×0.0075＋50×0.010＋70×0.0125＋90×0.010＋110×0.005)×20＝62.估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元． (2)列联表如下：K 2＝100×(10×30－20×40)250×50×30×70≈4.762>3.841，因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系． (3)若选方案一：则需付款10×12－10＝110元；若选方案二：设付款X 元，则X 的可能取值为84,96,108,120. P (X ＝84)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18， P (X ＝96)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＝38，P (X ＝108)＝C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38，P (X ＝120)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，所以E (X )＝84×18＋96×38＋108×38＋120×18＝102. 因为102<110，所以选择方案二更划算．4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ＝π6(ρ∈R )，θ＝2π3(ρ∈R )，设直线l 1，l 2与曲线C 的交点为O ，M ，N ，求△OMN 的面积．解 (1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)，得普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ. (2)不妨设直线l 1：θ＝π6(ρ∈R )与曲线C 的交点为O ，M ，则ρM ＝|OM |＝4sin π6＝2，又直线l 2：θ＝2π3(ρ∈R )与曲线C 的交点为O ，N ， 则ρN ＝|ON |＝4sin 2π3＝2 3. 又∠MON ＝π2，所以S △OMN ＝12|OM |·|ON |＝12×2×23＝2 3. 5．已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式：f (x )<4－|x －1|；(2)已知m >0，n >0，m ＋n ＝1，若对任意的x ∈R ，m >0，n >0，不等式|x －a |－f (x )≤1m ＋1n (a >0)恒成立，求正数a 的取值范围．解 (1)由题意得不等式为|3x ＋2|＋|x －1|<4.①当x ≥1时，原不等式化为4x ＋1<4，解得x <34，不符合题意；②当－23<x <1时，原不等式化为2x ＋3<4，解得x <12，∴－23<x <12； ③当x ≤－23时，原不等式化为－4x －1<4，解得x >－54，∴－54<x ≤－23. 综上可得－54<x <12，∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，12.(2)∵m >0，n >0，m ＋n ＝1， ∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋mn ≥2＋2n m ·m n ＝4.当且仅当m n ＝nm 且m ＋n ＝1，m >0，n >0，即m ＝n ＝12时等号成立，∴⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋1n min ＝4.由题意得|x －a |－|3x ＋2|≤4(a >0)恒成立，①当x ≥a 时，可得x －a －3x －2≤4恒成立，即－a ≤2x ＋6恒成立，∴－a ≤(2x ＋6)min ＝2a ＋6，由a >0，可得上式显然成立；②当－23<x <a 时，可得a －x －3x －2≤4恒成立，即a ≤4x ＋6恒成立，∵4x ＋6>103，∴a ≤103；③当x ≤－23时，可得a －x ＋3x ＋2≤4恒成立，即a ≤2－2x 恒成立，∴a ≤(2－2x )min ＝103.综上可得0<a ≤103，∴正数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，103.。

2020版高考数学大二轮专题突破理科通用解答题综合练A1.(2019安徽黄山高三质检,文17)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bc=1,a2-bc=(b-c)2.(1)求sin B+sin C的最大值;(2)若cos B cos C=,求b+c.2.某校组织的古典诗词大赛中,高一一班、二班各有9名学生参加,得分情况如茎叶图所示:该活动规定:学生成绩、获奖等次与班级量化管理加分情况如上表.(1)在一班获奖的学生中随机抽取2人,求能够为班级量化管理加4分的概率;(2)已知一班和二班学生的平均成绩相同,求x的值,并比较哪个班的成绩更稳定.3.(2019安徽定远中学高三预测卷,文18)如图1,在边长为4的正方形ABCD中,E 是AD的中点,F是CD的中点,现将△DEF沿EF翻折成如图2所示的五棱锥P-ABCFE.(1)求证:AC∥平面PEF;(2)求五棱锥P-ABCFE的体积最大时△PAC的面积.4.(2019广东东莞高三冲刺模拟,文19)工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测,一共抽取了48件产品,并得到如下统计表.该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关,具体见下表.需维护次数(1)以每个区间的中点值作为每组指标的代表,用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值(保留两位小数);(2)用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品,再从6件产品中随机抽取2件产品,求这2件产品的指标Y都在[9.8,10.2]内的概率;(3)已知该厂产品的维护费用为300元/次,工厂现推出一项服务:若消费者在购买该厂产品时每件多加100元,该产品即可一年内免费维护一次.将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用.假设这48件产品每件都购买该服务,或者每件都不购买该服务,就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用,并以此为决策依据,判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务?5.(2019陕西汉中高三全真模拟,理18)如图,四边形ABCD为矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,EF∥AB,∠BAF=90°,AD=2,AB=AF=1,点P在线段DF上.(1)求证:AF⊥平面ABCD;(2)若二面角D-AP-C的余弦值为,求PF的长度.6.(2019河北邢台二中高三二模,文21)已知函数f(x)=[x2+(a+1)x+1]e x.(1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与x轴平行,求a的值;(2)若f(x)在x=-1处取得极大值,求a的取值范围;(3)当a=2时,若函数g(x)=mf(x)-1有3个零点,求m的取值范围.(只需写出结论)7.已知直线l的参数方程为-(t为参数,0≤φ<2π),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=,且l与C交于不同的两点P1,P2.(1)求φ的取值范围;(2)若φ=,求线段P1P2中点P0的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).8.已知函数f(x)=|2x-a|-|x+3|,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)的最小值;(2)当x∈[0,3]时,f(x)≤4恒成立,求a的取值范围.参考答案考前强化练8解答题综合练A 1.解(1)∵a2-bc=b2+c2-2bc,∴b2+c2-a2=bc.∴cos A=-∴A=,∴B+C=∴sin B+sin C=sin B+sin -B=sin B+sin cos B-cos sin B=cos B+sin B=cos B+sin B=sin B+.所以当B=时,sin B+sin C取得最大值(2)由(1)可得,cos A=-cos(B+C)=sin B sin C-cos B cos C=, 因为cos B cos C=,所以sin B sin C=因为bc=1,由正弦定理知=k(k>0),∴a=k sin A,b=k sin B,c=k sin C,∴bc=k2sin B sin C.∴k=∴a=sin =1.所以由b2+c2-a2=2bc cos A,得(b+c)2-2bc-1=bc,∴(b+c)2=4.∴b+c=2.2.解(1)一班获奖的学生共6位,随机抽取2人的情况有(77,82),(77,83),(77,86),(77,93),(77,9x),(82,83),(82,86),(82,93),(82,9x),(83,86),(83,93 ),(83,9x),(86,93),(86,9x),(93,9x),共15种情况.能够为班级量化管理加4分的情况有(77,93),(77,9x),(82,83),(82,86),(83,86),共5种情况.∴能够为班级量化管理加4分的概率为(2)由已知(93+9x+82+83+86+77+67+68+69)=(90+94+97+84+72+76+76+63+68),解得x=5,一班成绩的方差(132+152+22+32+62+32+132+122+112)=,二班成绩的方差(102+142+172+42+82+42+42+172+122)=,故一班更稳定.3.(1)证明在图1中,连接AC.又E,F分别为AD,CD中点,所以EF∥AC.即图2中有EF∥AC.又EF⊂平面PEF,AC⊄平面PEF,所以AC∥平面PEF.(2)解在翻折的过程中,当平面PEF⊥平面ABCFE时,五棱锥P-ABCFE的体积最大.在图1中,取EF的中点M,DE的中点N.由正方形ABCD的性质知,MN∥DF,MN⊥AD,MN=NE=1,AE=DF=2,AM=在图2中,取EF的中点H,分别连接PH,AH,取AC中点O,连接PO.由正方形ABCD的性质知,PH⊥EF.又平面PEF⊥平面ABCFE,所以PH⊥平面ABCFE,则PH⊥AH.由AB=4,有PF=AE=PE=2,EH=PH=HF=,AC=4,PA==2同理可知PC=2又O为AC中点,所以OP⊥AC.所以OP=-=-=2.所以S△PAC=OP×AC=2×4=44.解(1)指标Y的平均值=9.6+10+10.410.07.(2)由分层抽样法知,先抽取的6件产品中,指标Y在[9.8,10.2)内的有3件,记为A1、A2、A3;指标Y在(10.2,10.6]内的有2件,记为B1、B2;指标Y在[9.4,9.8)内的有1件,记为C.从6件产品中随机抽取2件产品,共有基本事件15个,分别为:(A1,A2)、(A1,A3)、(A1,B1)、(A1,B2)、(A1,C)、(A2,A3)、(A2,B1)、(A2,B2)、(A2,C)、(A3,B1)、(A3,B2)、(A3,C)、(B1,B2)、(B1,C)、(B2,C).其中,指标Y都在[9.8,10.2]内的基本事件有3个:(A1,A2)、(A1,A3)、(A2,A3).所以由古典概型可知,2件产品的指标Y都在[9.8,10.2]内的概率为P=(3)不妨设每件产品的售价为x元,假设这48件样品每件都不购买该服务,则购买支出为48x元.其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件,有8件产品一年内的维护费用为600元/件,此时平均每件产品的消费费用为η=(48x+16×300+8×600)=x+200元.假设这48件产品每件产品都购买该项服务,则购买支出为48(x+100)元,一年内只有8件产品要花费维护,需支出8×300=2 400元,平均每件产品的消费费用ξ=[48(x+100)+8×300]=x+150(元).所以该服务值得消费者购买.5.(1)证明∵∠BAF=90°,∴AB⊥AF.又平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB,AF⊂平面ABEF,∴AF⊥平面ABCD.(2)解以A为原点,以为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),F(0,0,1),=(0,2,-1),=(1,2,0),=(1,0,0).由题知,AB⊥平面ADF,=(1,0,0)为平面ADF的一个法向量.设= 0≤λ<1),则P(0,2λ,1-λ),=(0,2λ,1-λ).设平面APC的一个法向量为m=(x,y,z),则,令y=1,可得m=-2,1,-∴|cos<m,>|=,-解得λ=或λ=-1(舍去负值),∴PF=6.解(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞).f'(x)=[x2+(a+3)x+a+2]e x.因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与x轴平行,所以f'(0)=(a+2)e x=0,解得a=-2.此时f(0)=1≠0 所以a的值为-2.(2)因为f'(x)=[x2+(a+3)x+a+2]e x=(x+1)[x+(a+2)]e x.①若a<-1,-(a+2)>-1,则当x∈(-∞,-1)时,x+1<0,x+(a+2)<x+1<0,所以f'(x)>0;当x∈(-1,-(a+2))时,x+1>0,x+(a+2)<0,所以f'(x)<0.所以f(x)在x=-1处取得极大值.②若a≥-1,-(a+2 ≤-1,则当x∈(-1,0)时,x+1>0,x+(a+2 ≥x+1>0,所以f'(x)>0.所以-1不是f(x)的极大值点.综上可知,a的取值范围为(-∞,-1).(3)当a=2时,g(x)=mf(x)-1=m(x2+3x+1)e x-1(x∈R),∴g'(x)=m(2x+3)e x+m(x2+3x+1)e x=m(x2+5x+4)e x=m(x+1)(x+4)e x.当m=0时,函数g(x)=mf(x)-1=-1,不可能有3个零点;①当m<0时,令g'(x)=m(x+1)(x+4)e x=0,解得x1=-4,x2=-1.令g'(x)>0,得-4<x<-1,则g(x)在区间(-4,-1)上单调递增;令g'(x)<0,解得x<-4或x>-1,则g(x)在区间(-∞,-4)和(-1,+∞)上单调递减; 由于当x<-4时,x2+3x+1<0恒成立,m<0,e x>0,则当x<-4时,g(x)=m(x2+3x+1)e x-1<0恒成立,所以函数g(x)=mf(x)-1最多只有两个零点,即m<0不满足题意;②当m>0时,令g'(x)=m(x+1)(x+4)e x=0,解得x1=-4,x2=-1.令g'(x)>0,得x<-4或x>-1,则g(x)在区间(-∞,-4)和(-1,+∞)上单调递增; 令g'(x)<0,解得-4<x<-1,则g(x)在区间(-4,-1)上单调递减;要使函数g(x)=mf(x)-1有3个零点,则--解得:m>综上所述,m的取值范围为,+∞.7.解(1)∵曲线C的极坐标方程为ρ=,∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2,将-代入x2+y2=2,得t2-4t sin φ+2=0,由Δ=16sin2φ-8>0,得|sin φ|>,又0≤φ<2π,∴φ的取值范围为∪.(2)当φ=时,直线l的参数方程为-消去参数t,得直线l的普通方程为x-y-2=0,设P0(ρ0,θ0),则ρ0==1,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入l的普通方程,得l的极坐标方程为cos θ-ρsin θ-2=0,当ρ0=1时,得cos θ0-sin θ0-2=0,即得sinθ0-=-1.由0≤θ<2π,得θ0-,∴θ0=,即P0的极坐标为1,.8.解(1)当a=1时,函数f(x)=|2x-1|-|x+3|,当x≤-3时,f(x)=1-2x+(x+3)=4-x,此时f(x)min=f(-3)=7,当-3<x<时,f(x)=1-2x-(x+3)=-3x-2,此时f(x)>f=-3-2=-,当x时,f(x)=2x-1-(x+3)=x-4,此时f(x)min=f=-4=-,综上,f(x)的最小值为-(2)当x∈[0,3]时,f(x ≤4恒成立,可化为|2x-a|≤x+7, 即-x-7≤2x-a≤x+7恒成立,得x-7≤a≤3x+7恒成立,由x∈[0,3],得3x+7≥7 x-7≤-4,∴-4≤a≤7即a的取值范围为[-4,7].。

中难提分突破特训（四）1．在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b,c，其面积S ＝b2sin A。

(1)求错误!的值;（2)设内角A的平分线AD交BC于D，AD＝错误!，a＝错误!,求b.解(1)由S＝错误!bc sin A＝b2sin A,可知c＝2b，即错误!＝2。

（2）由角平分线定理可知，BD＝错误!，CD＝错误!，在△ABC中，cos B＝错误!，在△ABD中，cos B＝错误!，即错误!＝错误!，解得b＝1.2．现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化,前臂表面肌电频率(sEMG)等指标．(1）10名实验对象实验前、后握力（单位：N）测试结果如下：实验前：346，357，358，360,362,362,364，372,373，376实验后:313,321,322，324，330,332，334,343,350,361完成下列茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少N?(2）实验过程中测得时间t（分）与10名实验对象前臂表面肌电频率（sEMG)的中位数y(Hz）的9组对应数据（t,y)为(0,87)，（20,84）,（40，86），（60,79)，（80,78），（100，78)，(120，76），(140，77），(160,75）．建立y关于时间t的线性回归方程；(3)若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态,根据(2)中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：错误!（t i－错误!)(y i－错误!）＝－1800;参考公式：回归方程y，^＝b^x＋错误!中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：错误!＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!.解(1)根据题意得到茎叶图如下图所示,由图中数据可得错误!1＝错误!×（346＋357＋358＋360＋362＋362＋364＋372＋373＋376）＝363，x，－2＝错误!×（313＋321＋322＋324＋330＋332＋334＋343＋350＋361)＝333，∴错误!1－错误!2＝363－333＝30(N），∴故实验前后握力的平均值下降了30 N.（2）由题意得错误!＝错误!×(0＋20＋40＋60＋80＋100＋120＋140＋160）＝80，错误!＝错误!×(87＋84＋86＋79＋78＋78＋76＋77＋75）＝80，错误!（t i－错误!)2＝(0－80)2＋（20－80）2＋（40－80)2＋(60－80）2＋(80－80）2＋(100－80）2＋(120－80）2＋(140－80）2＋（160－80）2＝24000，又错误!(t i－错误!)（y i－错误!）＝－1800，∴错误!＝错误!＝错误!＝－0.075，∴错误!＝错误!－错误!错误!＝80－（－0。