2020版高考数学一轮复习课后限时集训20函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用含解析理

课后限时集训(二十)
(建议用时：60分钟) A 组 基础达标
一、选择题
1．(2018·天津高考)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )
A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增
B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递减
C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增
D ．在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π上单调递减 A [y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10，将其图象向右平移π10个单位长度，
得到函数y ＝sin
2x 的图象．由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π
4
，k ∈Z .令k ＝0，
可知函数y ＝sin 2x 在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4上单调递增．故选A.]
2．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) A ．向右平移π
12个单位
B ．向右平移π
4个单位
C ．向左平移π
12
个单位
D ．向左平移π
4
个单位
A [由于y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，y ＝2cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3x ＋π2
，因此只需将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位，即可得到y ＝2sin3x －π12＋π
2
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象．]
3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫11π24
的值为( )
A ．－6
2 B ．－
32
C ．－
22
D ．－1
D [由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f 7π
12＝2
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫11π12＋π3＝2
sin 5π
4
＝－1，选项D 正确．]
4．电流强度
I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωx ＋
φ)⎝
⎛⎭
⎪⎫
A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2
的图象如图所示，则当t ＝
1
100
秒时，电流强度是( ) A ．－5安 B ．5安 C ．53安
D ．10安
A [由图象知A ＝10，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪
⎫4300－1300＝150
，
则ω＝100π，将点⎝
⎛⎭
⎪
⎫1300，10代入I ＝10sin(100πt ＋φ)得
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，则π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z . 所以φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又0＜φ＜π2知，φ＝π
6
.
所以I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，当t ＝1100时，I ＝10sinπ＋π6＝－5.故选A.]
5．(2019·西安模拟)将函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点
P ⎝
⎛⎭
⎪⎫π
4，t 向左平移s (s >0)个单
位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )
A ．t ＝12，s 的最小值为π6
B ．t ＝
32，s 的最小值为π6
C ．t ＝12，s 的最小值为π3
D ．t ＝
32，s 的最小值为π3
A [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin
π6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4
－s ，12.
因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝1
2，即cos 2s ＝12，所以2s ＝
2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z )，所以s 的最小值为π
6
.]
二、填空题
6．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原
来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度．得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝________.
2
2 [y ＝sin x
y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π6 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，
即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋π6，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12＋π6＝sin π4＝22.]
7．已知函数f (x )＝A t a n(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.
3 [由题图可知，T ＝2⎝
⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π2
，
所以ω＝2，所以2×π8＋φ＝k π＋π
2(k ∈Z )．
又|φ|＜π2，所以φ＝π
4
.
又f (0)＝1，所以A t a n π
4＝1，得A ＝1，
所以f (x )＝t a n ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝t a n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12＋π4＝t a n π3＝ 3.]
8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋
A cos ⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤π6x －6(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12
月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃.
20.5 [依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，
∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤π6x －6， 当x ＝10时，
y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
6
×4＝20.5.]
三、解答题
9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.
(1)求它的振幅、最小正周期、初相；
(2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2上的图象． [解] (1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π
4.
(2)图象如图所示．
10．如图所示，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3，23)，赛道的后一部分为折线段MNP ，求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．
[解] 依题意，有A ＝23，T
4＝3，
又T ＝2πω，所以ω＝π6，
所以y ＝23sin π
6x ，x ∈[0,4]，
所以当x ＝4时，y ＝23sin 2π
3
＝3， 所以M (4,3)，又P (8,0)， 所以MP ＝
8－4
2
＋0－3
2
＝42
＋32
＝5(km)，
即M ，P 两点间的距离为5 km.
B 组 能力提升
1．(2019·孝义模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．
如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A (33，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋φ)(t ≥0，ω＞0，|φ|＜π
2
)．则下列叙述错误的是( )
A ．R ＝6，ω＝π30，φ＝－π
6
B ．当t ∈[35,55]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6
C ．当t ∈[10,25]时，函数y ＝f (t )单调递减
D ．当t ＝20时，|PA |＝6 3
C [由题意，R ＝27＋9＝6，T ＝60＝2πω，∴ω＝π
30，当t ＝0时，y ＝f (t )＝－3，代
入可得－3＝6sin φ，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π
6
.故A 正确；
f (t )＝6sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π30t －π6，当t ∈[35,55]时，π30t －π6
∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π，53π，∴点P 到x 轴的距离的
最大值为6，B 正确；
当t ∈[10,25]时，π30t －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1
6
π，2π3，函数y ＝f (t )不单调，C 不正确；
当t ＝20时，π30t －π6＝π
2，P 的纵坐标为6，|PA |＝27＋81＝63，D 正确，故选C.]
2．(2019·大同模拟)函数f (x )＝33·sin ωx (ω＞0)的部分图象如图所示，点A ，B 是图象的最高点，点C 是图象的最低点，且△ABC 是等边三角形，则f (1)＋f (2)＋f (3)的值为( )
A.9
2 B.93
2 C ．93＋1
D.
9
3＋12
D [由题意知，AB ＝T ，则
3
2
T ＝63， ∴T ＝12，由T ＝2πω＝12得ω＝π
6.
∴f (x )＝33sin π
6x ，
∴f (1)＋f (2)＋f (3) ＝33sin
π6＋33sin 2π6＋33sin 3π6
＝33×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2＋32＋1＝
93＋1
2
，故选D.]
3．(2019·辽宁五校联考)设ω＞0，函数y ＝2cos ωx ＋π5的图象向右平移π
5个单位长度
后与函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5的图象重合，则ω的最小值是________．
52 [函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5的图象向右平移π5个单位长度后，得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5＋π5＝2cos ωx ＋π5－π5ω的图象，由已知得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5－π5ω＝
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5，所以sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5－π5ω＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5，所以π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5－π5ω＋
2k π＝ωx ＋π5，k ∈Z ，所以ω＝52＋10k ，k ∈Z ，又因为ω＞0，所以ω的最小值为5
2
.]
4．(2017·山东高考)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ωx －π2，其中0<ω<3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4
，3π4上的最小值．
[解] (1因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，
所以f (x )＝32sin ωx －1
2
cos ωx －cos ωx ＝
32sin ωx －3
2
cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx
＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，
所以ω＝6k ＋2，k ∈Z . 又0<ω<3，所以ω＝2.
(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3，
所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3
＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.
因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4
，3π4，
所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π3
，2π3.
当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－3
2.。