信号与系统期中考试答案
一、共八小题 1、
⎰
-=++2
3
2
)2()(dt t t t δ 2
⎰
∞
-=-+t
d ττδτ)2()1( 3u(t-2)
3、判别下列系统是否线性。其中x (t 0)为初始状态，f (t )为输入。
)(7)(d )(d 3
)(t f t ty t
t y a =+
线性系统
)(6)(5)( )(0t tf t x t y b +=
线性系统
4、求下列信号的奈奎斯特抽样频率和抽样间隔 (1))70100cos(︒-t π
最大的角频率ωm=100π rad/s
奈奎斯特抽样频率fs=2fm=100Hz 奈奎斯特抽样间隔Ts=1/fs=0.01s; (2) )20()100(2t sa t sa ππ-
最大的角频率ωm=100π rad/s
奈奎斯特抽样频率fs=2fm=100Hz 奈奎斯特抽样间隔Ts=1/fs=0.01s; 5、一个系统的系统频域函数ωωω3sin 23cos 2)(j j H -=，该系统是否为无失真传输系统？
ω
ωωω323s i n 23c o s 2)(j e
j j H -=-=，是无失真传输系统 6、已知一线性系统的输入)1(3)(-=t t f δ，系统的单位冲激响应)(2)(3t u e t h t -=， 求系统的零状态响应。
零状态响应)1(3)(2*)1(3)(*)()()1(33-=-==---t u e t u e t t h t f t y t t f δ
7、已知一线性系统当输入)(2)(t u t f =时，系统的零状态响应)(2)(3t u e t y t f -=，当输入)1()(2)(--=t u t t f δ时， 求系统的零状态响应。 系统的零状态响应是： )1()(6)(22
)]
1(2[)](2[)()
1(33)
1(33---=--
=
------t u e
t u e
t t u e
t u e
dt d t y t t
t t
f δ
8、已知某一理想低通滤波器系统函数⎩
⎨⎧><=- 50|| 050|| 5.0)(2πωπωωωj e j H ，系统的输
入)30100cos(4)1020cos(2)(︒-+︒+=t t t f ππ，求系统的零状态响应。
解：输入f(t)中的)30100cos(4︒-t π部分不能通过理想低通滤波器，
理想低通滤波器在ω<50π时能做到无失真传输，此时零状态响应和输入之间满足)3(5.0)(-=t f t y f ，因而系统的零状态响应)10)3(20cos()( +-=t t y f π。 二、(1) 已知系统的微分方程是)()(2d )(d 3
d )(d 2
2
t f t y t
t y t
t y =++,求系统的传输算子
和系统频域传递函数。 系统的传输算子2
31)(2
++=
p p p H
系统频域传递函数2
3)(1
)(2
++=
ωωωj j j H
(2)已知f(t)的傅立叶变换是ω
ω
ω211)(2
-∠+=j F ，请画出信号f(t)的振幅频
谱和相位频谱图。 振幅频谱2
11|)(|ω
ω+=
j F 相位频谱ωωϕ2)(-=
振幅频谱图如下: 相位频谱图如下:
w
1/(w 2 + 1)1/2
-4-2
024
w
-2 w
(3)已知)()(2)(t t u t f δ-+=,求f(t-1)的傅立叶变换。
f(t-1)的傅立叶变换是：ω
ω
ω
ωπδωπδ---++e
e
j )1)(()(2
三、共三小题 1、传输算子
4
431
11)
1//1(33
)(2
++=
+⨯
+
+=
p p p p p p p H
2、单位冲激响应)()()()(52t u e e t t h t t --+-=δ
3、2
)
cos 1(4)(ω
ωω-=j F
四、已知系统的微分方程是
)
()(2d )(d t f t y t
t y =+，输入)()(t u e t f t -=，分别用时域
分析法和频域分析法求零状态响应y f (t)。
时域分析法用卷积求响应，即)(][)(*)()(2t u e e t h t f t y t t f ---== 频域分析法用傅立叶变换响应，即：
先求得)()()(ωωωj H j F j Y f = 再作傅立叶反变换)(][)(2t u e e t y t t f ---= 五、已知周期信号f(t)周期是T=3,它在一个周期内的波形如图所示， (1) 求其指数形式的傅立叶级数，并写出它的一次和二次谐波： (2) 求其傅立叶变换
(1) f(t)的周期T=3，基波角频率ω1=2π/T=2π/3 rad/s
指数形式的傅立叶级数系数
]2)1([3
1)(13
3
2
111⎰⎰
⎰
---+
-=
=
dt e
dt e
t dt e
t f T
F t
jn t
jn T
t
jn n ωωωδ
][32311
1
231
ωωωn j n j n e
e
n j
F ---+=
1]2)1([3
1)(13
3
2
0=+
-=
=
⎰⎰
⎰
dt dt t dt t f T
F T
δ
其指数形式的傅立叶级数∑∞
-∞
==
n t
jn n
e
F
t f 1)(ω
3
/223
/23231
13878.0][3
/2323
1][323
11
1
∠=-⨯+=-+=
⨯-⨯---ππωωπωj j j j e
e
j
e
e
j F
一次谐波是：)38cos(278.00
1+⨯t ω
3
/243
/2622231
251
31.0][3
/2623
1][2323
11
1
∠=-⨯+=
-⨯+=
⨯-⨯-⨯-⨯-ππωωπωj j j j e
e
j
e
e
j
F 二次谐波是：)512cos(231.00
1+⨯t ω
