甘肃省兰州一中2013届高三12月月考数学(理)试题

西和三中2012—2013学年度期末考试试卷 高三数学（理）命题： 审核;一、选择题（每题5分，共60分）1．设全集R =Y ，集合{}{}0log ,02>=>=x x B x x A ，则=B C A U I （ ） A ．{}10<≤x x B ．{}10≤<x x C ．{}0<x x D ．{}1>x x2．已知iiz +=12，是虚数单位，则=z （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．23．设数列{}n a 是等差数列，若++43a a 125=a ，则=+++721a a a Λ（ ） A ．14 B ．21 C ．28 D ．354．设0)1()12(:,134:2≤+++-≤-a a x a x q x p ，若非p 是非q 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 B ．)21,0( C ．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∞-,210,Y D ．),21()0,(∞+-∞Y5．个值是（ ） A 6．由直线x y 2=及曲线23x y -=围成的封闭图形的面积为（ ） A ．32 B ．329- C ．335 D ．3327．已知某程序框图如图所示，则输出的i 的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．108．设非零向量c b a ,,==，c b a =+，则b a ，的夹角为（ A ．︒150 B ．︒120 C ．︒60 D ．︒309是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥于点D ,且DB AD 3=,设COD θ∠=,( )A B D ．310A 、F ，点B （0，b ），若e 的值为（ ）A ．215+ C 11．点P 是曲线2ln 0x y x --=上的任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小距离为（ ）A ． 1B ．12．一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为3的球，则该棱柱体积的最大值为（ ） A ．332 B ．233 C ．33 D ．36 二、填空题（每题5分，共20分）13[)0](,>-t t t 上的最大值与最小值的和为 ．14．ABC ∆中，三边c b a ,,成等比数列，︒=60A ，则=cBb sin 15．若y x ,满足111≤-+-y x ，则x y x 422++的最小值为 。

兰州一中2013届高三第三次模拟考试数学理试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B = ( )A .{3,4,5}B .{4,5,6}C .{|36}x x <≤D .{|36}x x ≤< 2．已知i 是虚数单位，则i i+-221等于（ ） A ．i -B ．i -54C ．i 5354-D ．i3．公差不为零的等差数列第2，3， 6项构成等比数列，则这三项的公比为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，设A 表示事件“取到的2个数之和为偶数”，B 表示事件“取到的2 个数均为偶数”，则P （B |A ）=( ) A ．101 B ．41 C ．52 D ．21 5.在ABC V 中,已知2AD DB =uuu r uu u r ,且13CD CA CB λ=+u u u r u u r u u r,则λ=( )A.23 B . 13 C . 13- D . 23- 6．执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．5021- B ． 5121-C ．252(41)3- D ． 262(41)3-7. 某几何体的三视图如下，则几何体的表面积为（）A. 28+65B. 30+65C. 56+125D. 60+1258．函数f(x)=ln (x-1x)的图象是( )9. 已知函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω>0)，如果存在实数x 1，使得对任意的实数x ，都有11()()(2013)f x f x f x ≤≤+成立，则ω的最小值为( )A ．14026B ．4026πC ．12013D ．2013π10．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD =2AB =6, 则该球的表面积为( )A ．16πB ．24πC ．48πD ． 323π11. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点)0)(0,(>-c c F ，作圆：2224a x y += 的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为( )A .102B .105C . 10D . 212．已知函数32()132x mx m n x y +++=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1∈(0, 1)，x 2∈(1, +∞)，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点P (m ,n )表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,3]B ．(1,3)C ． (3,)+∞D ．[3,)+∞第Ⅱ卷(共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．13．某市有A 、B 、C 三所学校共有高三文科学生1500人，且A 、B 、C 三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取_____人. 14．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线l 与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF FB =，36BA BC ⋅=，则抛物线的方程为 .15. 设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则1299a a a +++ 的值为 ． 16．观察下列算式：13 =1, 23 =3+5, 33 = 7+9+1143 =13 +15 +17 +19 ，… …若某数n 3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n = ．三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17. （本题满分12分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a , b , c , 且2(a 2+b 2-c 2)= 3ab . （Ⅰ）求2sin 2A B +；（Ⅱ）若c =2，求△ABC 面积的最大值．18.（本小题满分12分）在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10 人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=2，D为AA1中点，BD 与AB1交于点O，CO丄侧面ABB1A1.(Ⅰ )证明：BC丄AB1；(Ⅱ)若OC=OA,求二面角C1-BD-C的余弦值.20．（本小题满分12分）如图，已知椭圆22143x y +=的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D 、E 两点．（Ⅰ）若点G 的横坐标为14-，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）记△GFD 的面积为S 1，△OED （O 为原点）的面积为S 2．试问：是否存在直线AB ，使得S 1=S 2？说明理由．21．（本小题满分12分） 已知函数1ln(1)()(0)x f x x x++=>． （Ⅰ）函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数？证明你的结论； （Ⅱ）当0x >时，()1kf x x >+恒成立，求整数k 的最大值； （Ⅲ）试证明：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e-+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++> .请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知P A 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于B 、C 两点，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于点E ，F 为CE 上一点，且DE 2 = EF ·EC . （Ⅰ）求证：CE ·EB = EF ·EP ；（Ⅱ）若CE :BE = 3:2，DE = 3， EF = 2，求P A 的长.23. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=ty t x 541531(t 为参数）.若以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为)4sin(2πθρ+=.(Ⅰ) 求曲线C 的直角坐标方程; (Ⅱ) 求直线l 被曲线C 所截得的弦长.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．设函数f (x )=|2x -1|+|2x -3| , x ∈R. (Ⅰ)解不等式f (x )≤5； (Ⅱ)若mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，求实数m 的取值范围.2013年兰州一中高考三模参考答案数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．。

备战2014年高考之2013届全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选理科试题（大部分详解）分类汇编2：函数一、选择题1 ．（云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）理科数学）定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是 （ ）A ．)22,0(B ．)33,0(C ．)55,0(D ．)66,0( 【答案】B 【解析】因为函数是偶函数，所以(2)()(1)()(1)f x f x f f x f -+=--=-，即(2)(2)f x f x +=-+，所以函数()f x 关于直线2x =对称，又(2)(2)(2)f x f x f x +=-+=-，所以(4)()f x f x +=，即函数的周期是4.由()log (||1)0a y f x x =-+=得，()log (||1)a f x x =+，令()log (||1)a y g x x ==+，当0x >时，()log (||1)log (1)a a g x x x =+=+，过定点(0,1).由图象可知当1a >时，不成立.所以01a <<.因为(2)2f =-，所以要使函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则有(2)2g >-，即2(2)log 32log a a g a -=>-=，所以23a -<，即213a <，所以03a <<，即a 的取值范围是(0,3，选B,如图 2 ．（云南省部分名校2013届高三第一次统一考试理科数学（玉溪一中、昆明三中、楚雄一中））函数()()ax x f a -=6log 在[]2,0上为减函数，则a 的取值范围是（ ）A.()1,0B.()3,1C.(]3,1D. [)+∞,3【答案】B 【解析】当02a ≤≤时，函数()6t g t ax ==-单调递减，所以要使函数()f x 为减函数，所以函数log a y x =为增函数，所以有1a >且(2)620g a =->，即13a <<，所以a 的取值范围是(1,3)，选B.3 ．（甘肃省兰州一中2013届高三上学期12月月考数学（理）试题）设()f x 是定义在R 上的增函数，且对任意x ，都有()()0f x f x -+=恒成立，如果实数,m n 满足不等式22(621)(8)0f m m f n n -++-<，那么22m n +的取值范围是.A （9，49） .B （13，49） .C （9，25） .D （3，7）【答案】A 【解析】对任意x ，都有()()0f x f x -+=恒成立，所以函数()f x 是奇函数，又因为()f x 是定义在R 上的增函数，所以由22(621)(8)0f m m f n n -++-<得：()222(621)(8)8f m m f n n f n n -+<--=-+，所以226218m m n n -+<-+，即()()22344m n -+-≤，所以22m n +的最大值为()22r +，即49；因此最小值为()22r -，即9，22m n +的取值范围是（9，49），故选A 。

河南省鹤壁市综合高中2013-2014学年高二物理下学期第二次段考试题（无答案）新人教版本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分， 考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{}{}1,1,124x A B x =-=≤<,则A B I 等于 （ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,1-C ．{}1D ．{}0,12．已知i 为虚数单位,则复数21ii-+在复平面上所对应的点在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-=r r ,若a b ⊥r r ,则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于 （ ）A ．13-B ．13C ．3-D ．34．已知等差数列{}n a 中，37101140,4a a a a a +-=-=，记12n n S a a a =+++L ，S 13=( )A ．78B ．68C ．56D ．525．给出如下四个命题：①yz xy z y x >⇒>>； ②y x y a x a >⇒>22； ③d b c a abcd d c b a >⇒≠>>0,,； ④2011b ab ba <⇒<<． 其中正确命题的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．46．已知平面向量,m n u r r 的夹角为，在ABC ∆中，22AB m n =+uu u r u r r ，26AC m n =-uuu r u r r，D 为BC 中点，则A .2 B .4 C .6 D .87．如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是 ( ) A ．2(2442)cm +B ．212cm C ．2(2042)cm +D ．242cm8．下列说法错误．．的是 （ ） A ．已知函数()xxf x e e-=+，则()f x 是偶函数B ．若非零向量a r ，b r 的夹角为θ，则“0a b ⋅>r r”是“θ为锐角”的必要非充分条件C ．若命题2:,10p x R x x ∃∈-+=,则 2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠D ．若0'()f x ＝0，则函数()y f x =在0x x =处取得极值9．已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=L ( )A ． 2nB ．2(1)n +C ． (21)n n -D ． 2(1)n -10.设,x y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 （ ） A ．256B ．83C ．113D ．411．已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ﹣ABC 的高为2且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，则球O 的表面积为 （ ） A ．24π B . 32π C . 48π D . 192π12.设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， （ ） A ．有极大值,无极小值B ．有极小值,无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.2俯视主视图 左视图 212二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知角α的终边经过点()4,3,5p m m α-且cos =-，则等于_______________. 14．若1123ln 2ax dx x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰，则a 的值为 __________.15．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知10150,25S S ==,则n nS 的最小值为________.16．对于三次函数d cx bx ax x f +++=23)()0(≠a ，给出定义：）（x f /是函数)(x f 的导函数，//()f x 是）（x f /的导函数，若方程0)(//=x f 有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心。

2013年甘肃省兰州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集{}1,2,3,4,5U =，已知U 的子集M 、N 满足集{}1,4M =，{}1M N ⋂，{}()3,5U N M C M ⋂=，则N =（ ）A. {}1,3B. {}3,5C. {}1,3,5D.{}1,2,3,52．（5分）设i 为虚数单位，复数12ai i+-为纯虚数，则实数a 为（ ） A. 1- B. 2- C. 1 D. 2 根据复数为纯虚数，可得==3．（5分）（2013•兰州一模）曲线311y x =+在点(1,12)P 处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是（ ）A. 75B. 75C. 27D. 27S=4．（5分）（2008•四川）若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b-=则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.）到此渐近线的距离为α5．（5分）已知命题： 1:p 函数1()(1)1f x x x x =+>+的最小值为3 2:p 不等式11x>的解集是{}1x x < 3:p ,R αβ∃∈，使得sin()sin sin αβαβ+=+成立4:p tan tan ,,tan()1tan tan R αβαβαβαβ+∀∈+=-⋅成立 其中的真命题是（ ） A. 1p B. 13,p p C. 24,p p D. 134,,p p p ，因为当且仅当时，，此时正切无意义，所以6．（5分）数列{}n a 满足11a =，223a =，且11112(2)n n n n a a a -++=≥，则n a =（ ） A. 2 B. 2 C. 2()n D. 12()n - =（{{（（}，=}=1+=（7．（5分）（2013•兰州一模）执行右面的程序框图，若输入的6,4n m ==那么输出的p 是（ ）A. 120B. 240C. 360D. 7208．（5分）（2013•兰州一模）有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.16B. 20C. 24D. 32××9．（5分）（2013•兰州一模）已知动点P到两定点,A B的距离和为8，且AB AB的中点为O，过点O的所有直线与点P的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有（）A.5条B. 6条C. 7条D. 8条．根据椭圆的几何性质，过点＜2c=4=210．（5分）将函数()2sin()(0)3f x x πωω=->的图象向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象．若()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1个单位，得到函数]≥））的图象向左平移个单位，，≥，即： 11．（5分）（2013•兰州一模）已知函数()f x 是R 上的偶函数，且满足(5)(5)f x f x +=-，在[]0,5上有且只有(1)0f =，则()f x 在[]2003,2003-上的零点个数为（ ）A. 808B. 806C. 805D. 80412．（5分）定义：{},min ,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩．在区域0206x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，则,x y 满足{}22min 2,42x x y x y x x y ++++=++的概率为（ ）A. 5B. 4C. 1D. 2 （x |=，P=．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2013•兰州一模）已知向量(,2),(2,2),a k b a b =-=+为非零向量，若()a a b ⊥+，则k = ． 可得，14．（5分）三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有 种．×=36 15．（5分）（2013•兰州一模）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在以O 为球心的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，若三棱锥S ABC -的体积为6，则球O 的表面积为 ． 【分析】×==，=2，××=16．（5分）已知各项为正的数列{}n a 中，122121,2,log log ()n n a a a a n n N ++==+=∈，则10081220132a a a +++-= ． ，得==2三、解答题：本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．17．（12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，222a b c bc =++．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =2b =，求c 的值． cosA=∴）由正弦定理．可得．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠=︒ （Ⅰ）求证：BD PC ⊥；（Ⅱ）若PA AB =，求二面角A PD B --的余弦值．∴．19．（12分）某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站．∈）的函（Ⅰ）若售报亭一天购进270份报纸，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量x（单位：份，x N数解析式．（Ⅱ）售报亭记录了100天报纸的日需求量（单位：份），整理得下表：以100天记录的需求量的频率作为各销售量发生的概率．（1）若售报亭一天购进270份报纸，ξ表示当天的利润（单位：元），求ξ的数学期望；（2）若售报亭计划每天应购进270份或280份报纸，你认为购进270份报纸好，还是购进280份报纸好？说明理由．20．（12分）已知点P 为y 轴上的动点，点M 为x 轴上的动点，点(1,0)F 为定点，且满足102PN NM +=，0PM PF ⋅=．（Ⅰ）求动点N 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）过点F 且斜率为k 的直线l 与曲线E 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点C ，使得222||||||CA CB AB +=成立，请说明理由．，得，由．，， ．的方程有解．21．（12分）已知函数22()2,()3ln (2f x x ex g x e x b x R +=+=+∈，e 为常数），且这两函数的图象有公共点，并在该公共点处的切线相同．（Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）若1x e ≤≤时，222[()2][2()](2)a f x ex g x e a x -++≤+恒成立，求实数a 的取值范围． 与）知．．22．（10分）选修4﹣1：《几何证明选讲》∆的外接圆，直线l为O的切线，切点为B，直线AD l，交BC于D、交O于E，已知：如图，O为ABCF为AC上一点，且EDC FDC∠=∠，求证：（Ⅰ）2=⋅；AB BD BC（Ⅱ）点A、B、D、F共圆．23．（2013•丰南区）在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩． （1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)2π，判断点P 与直线l 的位置关系； （2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． ，，的极坐标为，4sin ）：24．（2013•贵阳二模）选修4﹣5：不等式选讲 已知函数()|2||5|f x x x =---．（1）证明：3()3f x -≤≤；（2）求不等式2()815f x x x ≥-+的解集． ﹣。

2013年高三上册理科数学12月月考试题（附答案）甘肃省金昌市二中2013---2014学年度12月月考高三数学（理科）试题第I卷（共60分）一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的选项填在答题卡上）1.设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，（）A.8B.6C.4D.22.已知，若，则的取值范围是A.B.C.D.3．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是()4.设均为正数，且则()A.B.C.D.5．已知数列为等比数列，且.,则=（）．.．．6．由直线x=1，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（）A．B．C．ln2D．7.已知，则的取值范围是（）A.B.C.D.8．已知等差数列中，，记，S13=()A．78B．68C．56D．529.如果是二次函数,且的图象开口向上,顶点坐标为（1,）,那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．10.设>0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是()A.B.C.D.311．在△ABC中，若，则△ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形12．已知定义在R上的函数对任意的都满足，当时，，若函数至少6个零点，则取值范围是（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（共90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上。

）13.若，则的值为__________________．14．在△ABC中，∠B=300，AC=1，，则BC的长度为__________________.15.类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：。

若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为____________.16．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中真命题的序号是___________________．三．解答题：（本题共6小题，总70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）17．（本小题满分12分）已知向量。

兰州一中2013届高三第三次模拟考试数学理试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损.5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B =( )A .{3,4,5}B .{4,5,6}C .{|36}x x <≤D .{|36}x x ≤< 2．已知i 是虚数单位，则i i+-221等于（ ） A ．i -B ．i -54C ．i 5354-D ．i3．公差不为零的等差数列第2，3， 6项构成等比数列，则这三项的公比为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，设A 表示事件“取到的2个数之和为偶数”，B 表示事件“取到的2 个数均为偶数”，则P （B |A ）=( ) A ．101 B ．41 C ．52 D ．215.在ABC V 中,已知2AD DB =uuu ruu u r,且13CD CA CB λ=+u u u ru u ru u r,则λ=( ) A.23 B . 13 C . 13- D . 23- 6．执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．5021- B ． 5121-C ．252(41)3- D ． 262(41)3-7. 某几何体的三视图如下，则几何体的表面积为（ ） A . 28+65B . 30+65C . 56+125D . 60+1258．函数 f (x )=ln (x -1x)的图象是( )9. 已知函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω>0)，如果存在实数x 1，使得对任意的实数x ，都有11()()(2013)f x f x f x ≤≤+成立，则ω的最小值为( )A ．14026B ．4026πC ．12013D ．2013π10．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD =2AB =6, 则该球的表面积为( )A ．16πB ．24πC ．48πD ． π11. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点)0)(0,(>-c c F ，作圆：2224a x y += 的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为( )A .B .C .D . 12．已知函数32()132x mx m n x y +++=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1∈(0, 1)，x 2∈(1, +∞)，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点P (m ,n )表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,3]B ．(1,3)C ． (3,)+∞D ．[3,)+∞第Ⅱ卷(共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．13．某市有A 、B 、C 三所学校共有高三文科学生1500人，且A 、B 、C 三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取_____人. 14．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线l 与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF F B =，36BA BC ⋅=，则抛物线的方程为 .15. 设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则1299a a a +++的值为 ．16．观察下列算式：13 =1, 23 =3+5, 33 = 7+9+1143 =13 +15 +17 +19 ，… …若某数n 3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n = ． 三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17. （本题满分12分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a , b , c , 且2(a 2+b 2-c 2)= 3ab . （Ⅰ）求2sin 2A B +；（Ⅱ）若c =2，求△ABC 面积的最大值．18.（本小题满分12分）在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A ,B ,C ,D ,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人.（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10 人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=2，D为AA1中点，BD与AB1交于点O，CO丄侧面ABB1A1.(Ⅰ )证明：BC丄AB1；(Ⅱ)若OC=OA,求二面角C1-BD-C的余弦值.20．（本小题满分12分）如图，已知椭圆22143x y+=的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D、E（Ⅰ）若点G的横坐标为14-，求直线AB的斜率；（Ⅱ）记△GFD的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由．21．（本小题满分12分） 已知函数1ln(1)()(0)x f x x x++=>． （Ⅰ）函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数？证明你的结论； （Ⅱ）当0x >时，()1kf x x >+恒成立，求整数k 的最大值； （Ⅲ）试证明：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e -+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++>.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知P A 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于B 、C 两点，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于点E ，F 为CE 上一点，且DE 2 = EF ·EC . （Ⅰ）求证：CE ·EB = EF ·EP ；（Ⅱ）若CE :BE = 3:2，DE = 3， EF = 2，求P A 的长.23. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=ty t x 541531(t 为参数）.若以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为)4sin(2πθρ+=.(Ⅰ) 求曲线C 的直角坐标方程; (Ⅱ) 求直线l 被曲线C 所截得的弦长.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．设函数f (x )=|2x -1|+|2x -3| , x ∈R. (Ⅰ)解不等式f (x )≤5； (Ⅱ)若mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，求实数m 的取值范围.数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．。

兰州一中2013届高三上学期期中考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分， 考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合M ＝{x |(x ＋3)(x －1)＜0}，N ＝{x |x ≤－3}，则C R (M ∪N )＝（ ） A ．{x |x ≤1} B ． {x |x ≥1} C ． {x |x ＞1} D ． {x |x ＜1} 【答案】B2．若复数12z =-+，则z 2=（ ）A ．12-B ．12-C 12i -D 12i【答案】B3．已知向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a +b 等于（ ） A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-【答案】A4. 条件甲“a ＞1”是条件乙“a ＞a ”成立的 （ ） A ．既不充分也不必要条件 B ．充要条件 C ．充分不必要条件 D ．必要不充分条件 【答案】B5. 函数2()log f x x =与11()()2x g x -=在同一直角坐标系中的图象是( )【答案】D6．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出 16人参加一项活动，则一班和二班分别被抽取的人数是 ( )A 8，8B 9，7C 10，6D 12，4【答案】B7．函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y = 的图象上所有点 ( ) A . 向左平移12π个单位长度 B . 向右平移12π个单位长度 C . 向左平移6π个单位长度 D . 向右平移6π个单位长度 【答案】D8.函数)(x f 在定义域R 上不是常数函数，且)(x f 满足条件：对任意x R ∈ ，都有)()1(),2()2(x f x f x f x f -=+-=+,则)(x f 是( )A . 奇函数但非偶函数B . 偶函数但非奇函数C . 既是奇函数又是偶函数D . 是非奇非偶函数【答案】B9．如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中M 为数字0—9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数依次为12,a a ，则一 定有 ( )A ．12a a >B ．21a a >C ．12a a =D ．12,a a 的大小不确定【答案】B10．设123log 2,ln 2,5a b c -===，则 ( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a << 【答案】C11. 设)0(25)(,12)(2>-+=+=a a ax x g x x x f ，若对于任意]1,0[1∈x ，总存在]1,0[0∈x ，使得)()(10x f x g =成立，则a 的取值范围是 ( )A ． ),4[+∞B ．]25,0(C ．]4,25[D ．),25[+∞ 【答案】C12. 设α是锐角，若3tan()64πα+=，则sin(2)12πα+的值为 ( )A B C D 【答案】B第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()2log ,0,3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则18f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ____ ____． 【答案】12714．函数()sin f x x x =在区间[,]63ππ-上的最大值是_______________．答案：215．若,,a b c 均为正数, 且346a b c ==, 则2c ca b+的值是_______________． 【答案】216．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩．设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 . 【答案】(](]2,11,2--．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分) 已知A ，B ，C 为ABC ∆三内角，其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4a b c =+=，求ABC ∆的面积． 解：（Ⅰ）1cos cos sin sin 2B C B C -=，1cos()2B C ∴+=……………………………3分 又0B C π<+<，3B C π∴+=. A B C π++=，23A π∴=.…………………6分（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅，得 222()22cos3b c bc bc π=+--⋅ ，…………………………………………8分 即：1121622()2bc bc =--⋅-， 4bc ∴=. (10)分11sin 422ABC S bc A ∆∴=⋅=⋅=. …………………………………………12分18．（本小题共12分）已知向量(1,7)OA =，(5,1)OB =，(2,1)OP =，点Q 为直线OP 上一动点.（Ⅰ）当QA OP ⊥时，求OQ 的坐标； （Ⅱ）当QA QB ⋅取最小值时，求OQ 的坐标.所以OQ 的坐标是189(,).55……………………………………..6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得22520125(2)8QA QB t t t ⋅=-+=--, ………………………..9分,t ∈∴R 当2t =时, QA QB ⋅取得最小值.此时OQ 的坐标是(4, 2) . …………………… …..12分19. （本题满分12分）为迎接我校建校110周年，某班开展了一次“校史知识”竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，分数为均匀整数）进行统计，制成如右图的频率分布表：（Ⅰ）求,,,a b c d 的值；（Ⅱ）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖.某同学进入决赛，每道题答对的概率P 的值恰好与频率分布表中不少于90分的频率的值相同.设该同学决赛中答题个数为X ，求X 的分布列以及X 的数学期望.解：(Ⅰ)15500.15,0.3,10,0.250a b c d =⨯===== ………………………4分 (Ⅱ)X 的可能取值为2，3，4. 12(2)0.20.20.04,(3)0.20.80.20.064,P X P X C ==⨯===⨯⨯=1233(4)0.20.80.80.896P X C ==⨯+=所以分布列为：()20.0430.06440.896 3.856E X =⨯+⨯+⨯= ……………………………12分 20. (本小题满分14分) 已知()sin f x =x+a x ． (Ⅰ) 若=2a ，求()f x 在[]0,π上的单调递减区间； （Ⅱ）当常数0a ≠时，设()()f xg x x =，求()g x 在566ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值.（Ⅱ）()sin ()1f x a x g x x x ==+， ∴2(cos sin )()a x x x g x x -'=，……………6分 记()cos sin (0)h x x x x x π=-∈，，，则()sin 0h x x x '=-<对(0)x π∈，恒成立，∴()h x 在(0)x π∈，上是减函数，∴()(0)0h x h <=，即()0g x '<， ……………………8分① 当0a >时，()()f x g x x =在()π0，上是减函数，得()g x 在5 66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数. ∴当6x π=时，()g x 取得最大值31a π+. ……13分② 当<0a 时，()()f x g x x =在()π0，上是增函数，得()g x 在5 66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数. ∴当6x π=时，()g x 取得最大值315a π+. …………………12分21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1af x x x=+-（a 是常数， 2.71828e ≈）.（Ⅰ）若2x =是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a =时,方程()f x m =在∈x 21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两解，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求证: 1ln1n n n>-1(>n ，且)*N n ∈． 解：（Ⅰ） 2()x af x x -'=．切线方程为10x y +-=． ………….4分 （Ⅱ）当1=a 时，211()lg 1,()x f x x f x xx -'=+-=，其中21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,1e x 时，0)(<'x f ；(21,x e ⎤∈⎦时，0)(>'x f ， ∴1=x 是)(x f 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上唯一的极小值点，∴[]0)1()(min ==f x f ． 又2222111()2,()lg 11,f e f e e e e e=-=+-=+ 2211()210f f e e e e ⎛⎫-=---< ⎪⎝⎭，综上，所求实数m 的取值范围为{|02}m m e <≤-. …………8分（Ⅲ）若1=a 时，由（2）知x xxx f ln 1)(+-=在[)+∞,1上为增函数， 当1>n 时，令1-=n nx ，则1>x ，故0)1()(=>f x f ， 即01ln 11ln 1111>-+-=-+---=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n n n n n n n n n f ，∴1ln n >．…….12分 四．选考题:（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.请在答题卷上注明题号；满分10分.）22. （本小题满分10分） 《选修4—1：几何证明选讲》如图，在Rt △ABC 中，C 90∠=, BE 平分∠ABC 交AC 于点E ， 点D 在AB 上，DE EB ⊥．(Ⅰ)求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线；(Ⅱ)若6AD AE ==，求EC 的长．解： （Ⅰ）设线段DB 的中点为O ，连接EO ，DE EB ⊥∴点O 是圆心，,OB OE OEB OBE ∴=∴∠=∠ (2)分又BE 平分,,//ABC CBE OBE OEB CBE OE BC ∠∴∠=∠∴∠=∠∴.又90,90C AEO ∠=︒∴∠=︒.AC ∴是△BDE 的外接圆的切线 (5)分(Ⅱ) 由（Ⅰ）知AC 是圆O 的切线,222,AE AE AD AB AB AD ∴=⋅∴===BD AB AD ∴=-==OB OD ∴==. ………………8分又由（Ⅰ）知//,AE AOOE BC EC OB∴=.3AE OB EC AO ⋅∴===. ………………10分 23．（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》在直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线θθρc o s 2s i n :2a C =)0(>a ，已知过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为：直线错误！未找到引用源。

2009-2010学年度兰州一中高三年级12月月考数学试题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

请将答案填在答题卡上。

第Ⅰ卷 选择题（单项选择，每小题2分，共50分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效。

一、选择题：本大题共12小题，第小题5分，共60分，在第小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线0133=-+y x 的倾斜角是（ ）A ．6π-B ．6π C ．3π D ．35π 2．若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若22,bc ac b a >>则 B ．若22,0b ab a b a >><<则C ．若b a b a 11,0<<<则D ．若ba ab b a ><<则,0 3．在三角形ABC 中，已知⋅=2，则三角形一定（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．已知t a y t a x t y x t <-<-<->||||"2||",0且是则的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知数列}{n a 是等差数列，且π41371=++a a a ，则)cos(122a a +=（ ）A ．21-B ．23-C ．23 D ．216．已知απαπαπsin ,53)4cos(,23则=+<<的值为 （ ）A ．102 B ．102-C ．1027 D ．1027-7．若1cos sin 3sin ,cos 3sin 2+-=ααααα则的值是 （ ）A ．-1B ．0C ．1D ．28．已知向量a 、b 满足|2|),(4||,3||b a b a a b a --⊥==则且的值为 （ ）A ．4B ．16C ．52D ．549．定义在实数集R 上的函数)1()1(),()()(x f x f x f x f x f -=+-=-且满足，则)6(f = （ ）A ．2B ．1C ．0D ．-1 10．已知⎩⎨⎧≤+-≥-022,02y x y x 则yx +)31(的最大值是（ ）A ．2B ．21 C ．9 D ．91 11．如图是函数)0,30,0)(sin()(πϕωϕω<<<<>+=A x A x f 的图象的一部分，则ωϕ=（ ）A ．3πB ．35πC ．125πD ．65π12．设10+<<a b ，若关于x 的不等式22)()(ax b x >-的解集中的整数个数恰好有3个，则（ ）A ．01<<-aB ．10<<aC ．31<<aD ．63<<a第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案在答题卡上。

兰州一中高三12月考试试题数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={2，3，4，5}，N={x |sin x ＞0}，则M∩N 为（ ）A ．{2，3，4，5}B ．{2，3，4}C ．{3，4，5}D ．{2，3} 2．设a ，b 为实数，则“ab ＞1”是“ab 1>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）A ．54钱B ．43钱C ．32钱D ．53钱 4．已知1是lg a 与lg b 的等比中项，若a ＞1，b ＞1，则ab 有（ ）A ．最小值10B ．最小值100C ．最大值10D ．最大值1005．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．2π﹣23B ．2π﹣43C ．53π D ．2π﹣2 6．在△ABC 中，G 是△ABC 的重心，AB ，AC 的边长分别为2,1，∠BAC ＝60°，则AG BG ⋅=＝( )．A ．－89B ．－109C ．5－39D ．－5－397．若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )．A ．π8B ．π4C ．3π8D ．3π4⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 1218．设实数x ，y 满足约束条件且目标函数z=x-y 的最小值为-1，则m =( )．A ．6B ．5C ．4D ．39．若函数f （x ）=log a （2x -ax +12）有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（0，1）（1C ．（1D ．10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，3 C ．(1,3) D ．(2,3) 11．已知函数f (x )是R 上的偶函数，在（-3，-2）上为减函数且对任意实数x 都有f (2-x )=f (x ），若A ,B 是钝角三角形ABC 的两个锐角，则（）A ．f (sin A )<f (cosB ) B ．f (sin A )>f (cos B )C ． f (sin A )= f (cos B )D ．f (sin A )与f (cos B )的大小关系不确定12．设定义域为R 的函数12510(),440x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m =( )A ．2B ．4或6C ．2或6D ．6第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数0()(1)0x e x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则f （1ln 4）= ． 14．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且b cos C =3a cos B ﹣c cos B ，2BA BC ⋅=，则△ABC 的面积为 ．15．如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为线段A 1B 上的动点，则下列结论正确的有___________①三棱锥M ﹣DCC 1的体积为定值②DC 1⊥D 1M③∠AMD 1的最大值为90° ④AM +MD 1的最小值为2．16.定义在R 上的奇函数()f x 的导函数满足()()f x f x '<，且()()31f x f x ⋅+=-，若()2015f e =-，则不等式()x f x e <的解集为__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(cos x,3)．(1)当m ∥n 时，求sin x ＋cos x 3sin x －2cos x的值； (2)已知在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，3c ＝2a sin(A ＋B )，函数f (x )＝(m ＋n )·m ，求f ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π8的取值范围．18．已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若12log n n n b a a =，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1＜0恒成立，试求m 的取值范围.19．（本小题满分12分）某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．20．（本小题满分12分）已知在多面体SP ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB =PC =1，AD =AS =2，且AS ∥CP 且AS ⊥面ABCD ，E 为BC 的中点．(1)求证：AE ∥面SPD ；(2)求二面角B ﹣PS ﹣D 的余弦值．21．（本小题满分12分）设函数f （x ）=e x ﹣a （x +1）（e 是自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）若()'00f =，求实数a 的值，并求函数f （x ）的单调区间；（2）设g （x ）=f （x ）+xa e ，且A （x 1，g （x 1）），B （x 2，g （x 2））（x 1＜x 2）是曲线y =g （x ）上任意两点，若对任意的a ≤﹣1，恒有g （x 2）﹣g （x 1）＞m （x 2﹣x 1）成立，求实数m 的取值范围；（3）求证：())()13212n n n n n n n N *+++-<∈． 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=6sin θ．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若点P （1，2），设圆C 与直线l 交于点A ，B ，求|PA |+|PB |的最小值．23．（本小题满分10分）已知函数f （x ）=|x +a |+|x -2|（1）当a =-3时，求不等式f （x ）≥3的解集；（2）若f （x ）≤|x-4|的解集包含，求a 的取值范围．甘肃省兰州一中高三12月考试题答案（理）第I 卷 （选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2013年兰州一中高考三模参考答案数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．13. 40 14. 2y = 15. -2 16. 45 三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17. （本题满分12分）解：（Ⅰ）22222233,cos 224a b c a b c ab C ab +-+-=∴== ()21cos 1cos 7,sin 2228A B A B C A B C π-++++=-∴=== …………６分（Ⅱ）ab ，b a ，c ab c b a 2342,2322222=-+∴==-+且 又2232,24,82a b ab ab ab ab +≥∴≥-∴≤3cos ,sin 44C C =∴===,7s i n 21≤=∴∆C ab S ABC 当且仅当22==b a 时，△ABC 面积取最大值，最大值为7. …………12分 18.（本小题满分12分）解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=………………3分(II ) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……7分（Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，202621015(16)45C P C ξ===， 116221012(17)45C C P C ξ=== 11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222104(19)45C C P C ξ=== 222101(20)45C P C ξ===所以ξ的分布列为所以161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以ξ的数学期望为865.………………12分19. (本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为11ABB A 是矩形，D 为1AA 中点，1AB =，1AA =2AD =, 所以在直角三角形1ABB 中,11tan 2AB AB B BB ∠==, 在直角三角形ABD 中,1tan 2AD ABD AB ∠==, 所以1AB B ∠=ABD ∠,又1190BAB AB B ∠+∠= ， 190BAB ABD ∠+∠=， 所以在直角三角形ABO 中，故90BOA ∠=，即1BD AB ⊥， ………………………4分 又因为11CO ABB A ⊥侧面，111AB ABB A ⊂侧面, 所以1CO AB ⊥所以，1AB BCD ⊥面,BC BCD ⊂面, 故1BC AB ⊥…………………………6分 （Ⅱ）解法一：如图，由（Ⅰ）可知，,,OA OB OC 两两垂直，分别以,,OA OB OC 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -. 在Rt ∆ABD中，可求得OB =OD =,OC OA ==，在Rt ∆ABB 1中，可求得1OB =，故0,,06D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,0,3B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,0,0,3C ⎛ ⎝⎭,13B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,BC ⎛= ⎝⎭,1BB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭可得，11BC BC BB ⎛=+= ⎝⎭……………………………8分 设平面1BDC 的法向量为(),,x y z =m ，则 10,0BD BC ⋅=⋅=m m ，即03330x y z y ⎧-++=⎪⎪=， 取1,0,2x y z ===，则()1,0,2=m ，…10分 又BCD 面()1,0,0=n ，故cos ,==m n ，所以，二面角1C BD C --…………………………………12分 解法二：连接1CB 交1C B 于E ,连接OE ，因为11CO ABB A ⊥侧面，所以BD OC ⊥，又1BD AB ⊥， 所以1BD COB ⊥面，故BD OE ⊥所以EOC ∠为二面角1C BD C --的平面角 ……………………8分BD =，1AB =，1112AD AO BB OB ==，1123OB AB ==1133OC OA AB ===， 在Rt ∆COB 1中，13B C === ， …………10分 又EOC OCE ∠=∠1c o sOC EOC CB ∠== 故二面角1C BD C --的余弦值为. …………12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，直线AB 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =+．将其代入22143x y +=， 整理得 2222(43)84120k x k x k +++-=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 所以 2122843k x x k -+=+．…………4分 故点G 的横坐标为21224243x x k k +-=+． 依题意，得2241434k k -=-+，解得 12k =±． ………………6分 （Ⅱ）解：假设存在直线AB ，使得 12S S =，显然直线AB 不能与,x y 轴垂直．由（Ⅰ）可得 22243(,)4343k kG k k -++．因为 DG AB ⊥，所以 2223431443Dk k k kx k +⨯=---+， 解得 2243D k x k -=+， 即 22(,0)43k D k -+． 因为 △GFD ∽△OED ，所以 12||||S S GD OD =⇔=． 所以2243k k -=+， 整理得 2890k +=． 因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得 12S S =． …………12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题21[ln(1)]10,()0,x x x f x x+++'>=-< 故()f x 在区间(0,)+∞上是减函数; …………3分 （Ⅱ）当0x >时，()1kf x x >+恒成立， 即1[1ln(1)]x k x x+<++在(0,)+∞上恒成立， 取1()[1ln(1)]x h x x x +=++，则′()21ln(1)(x x h x x--+=，…………………5分 再取()1ln(1),g x x x =--+则1()10,11xg x x x '=-=>++故()g x 在(0,)+∞上单调递增，而(1)ln 20,(2)1ln 30,(3)22ln 20g g g =-<=-<=->， 故()0g x =在(0,)+∞上存在唯一实数根(2,3),1ln(1)0a a a ∈--+=， 故(0,)x a ∈时，()0;(,)g x x a <∈+∞时，()0,g x > 故[]min 1()1ln(1)1(3,4),3,a h x a a k a +=++=+∈≤故max 3k =…………………7分（Ⅲ）由（Ⅱ）知：1ln(1)3333(0)ln(1)122111x x x x x x x x x++>>⇒+>-=->-+++令311(1),ln[1(1)]223()(1)1x n n n n n n n n =+++>-=--++，又ln[(112)(123)(134)(1(1))]n n +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++ln(112)ln(123)ln(1(1))n n =+⨯++⨯+++⨯+ 1111123[(1)()()]2231n n n >--+-++-+1323(1)232311n n n n n =--=-+>-++ 即：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e -+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++> ………………12分22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 （I ）∵EC EF DE ⋅=2，∴C EDF ∠=∠，又∵C P ∠=∠，∴P EDF ∠=∠， ∴EDF ∆∽PAE ∆ ∴EP EF ED EA ⋅=⋅ 又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅ ………………5分 （II ）29=CE ，3=BE ，415=BP PA 是⊙O 的切线，PC PB PA ⋅=2，4315=PA ………………10分 23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)由)4πρθ=+得：ρ=cos θ+sin θ两边同乘以ρ得：ρ2=ρcos θ+ρsin θ ∴x 2+y 2-x -y =0 即(x -12)2+(y -12)2=12………………5分 (Ⅱ) 将直线参数方程代入圆C 的方程得: 5t 2-21t +20=0 ∴t 1+t 2=215, t 1t 2=4 ∴∣MN ∣=∣t 1-t 2∣=5………………10分 24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲． 解：(Ⅰ)∵ f (x )=|2x -1|+|2x -3| , f (x )≤5∴有12445x x ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩ 或132225x ⎧≤≤⎪⎨⎪≤⎩或32445x x ⎧>⎪⎨⎪-≤⎩ 解得：11,42x -≤<或13,22x ≤≤或39,24x <≤∴不等式的解集为：{x ∣19,44x -≤≤}. ………………5分(Ⅱ) 若mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，则f (x )+m ≠0恒成立，即f (x )+m =0在R 上无解.又f (x )=|2x -1|+|2x -3|≥|2x -1-2x +3|=2， ∴f (x )最小值为2,∴m >-2 ………………10分。

兰州一中2015-2016-1学期高三月考（12月）数学(理)试题一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.1.已知集合{}2,0x M y y x ==>，{}lg N x y x ==，则MN 为A . (0，＋∞)B . (1，＋∞)C . [2，＋∞)D .［1，＋∞)2.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则它的体积为A . 16B . 13C . 23D . 563.已知倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-=垂直， A B C . 2 D . 4.已知,m n 是两条不同．．的直线，,,αβγ是三个不同．．的平面，则下列命题中正确的是 A . 若,,//αγαβγβ⊥⊥则 B . 若//,,,//m n m n αβαβ⊂⊂则 C . 若//,,,//m n m n αβαβ⊥⊥则 D . 若//,//,//m n m n αα则5.如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ωϕω=+∈>图象的最 高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若0PM PN ⋅=，则ω等于.A 8 .B 8π.C4π.D2π6.ABC ∆外接圆圆心O ，半径为1，2AO AB AC =+且OA AB =，则向量BA 在向量BC 方向的投影为A .21 B . 23C . 21-D . 23-7.若非零向量,a b 22a b =，且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为 A . π B . 2π C . 34π D . 4π8.不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为M ，不等式组220x y y x -+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为N ，在M 中任取一点P ，则P ∈N 的概率为 A .732 B . 932C . 916 D .7169.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若该球的体积是323π，则这个三棱柱的体积是A .B .C .D .10.已知函数1()n n f x x +=,n ∈N *的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标n x ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 的值为A . 1B . 1－log 20132012C . -log 20132012D . －111.已知函数0()ln(1),0x f x x x ≥=⎪--<⎩,若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点,则k 的取值范围为A . (0,1)B . 1(0,)2 C . 1(,1)2D . (1,)+∞12.已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+> (其中()f x '是函数()f x 的导函数)，则下列不等式成立的是A ()()34f ππ-<- ()()34f ππ< C.(0)2()3f f π> D.(0)()4f π>二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

新东方兰州学校—优能中学个性化学习中心2013年甘肃省兰州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设全集{}1,2,3,4,5U =，已知U 的子集M 、N 满足集{}1,4M =，{}1M N ⋂，{}()3,5U N M C M ⋂=，则N =（ ）A. {}1,3B. {}3,5C. {}1,3,5D.{}1,2,3,5【分析】 先求出集合M 的补集，有条件可知3∈N ，5∈N ，2∉N ，然后由M∩N={1}可知1∈N 4∉N ，即可得出答案． 【答案】 解：∵全集U={1，2，3，4，5}，M={1，4}，∴∁U M={2，3，5} ∵N∩（∁U M ）={3，5}， ∴3∈N ，5∈N ，2∉N 又∵M∩N={1} ∴1∈N 4∉N ∴N={1，3，5} 故选：C ．2．（5分）设i 为虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为（ ） A. 12- B. 2- C. 12D. 2【分析】 根据复数=为纯虚数，可得 2﹣a=0，由此求得a 的值．【答案】解：由于复数==为纯虚数，∴2﹣a=0，a=2， 故选D ．3．（5分）（2013•兰州一模）曲线311y x =+在点(1,12)P 处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是（ ） A. 75 B.752C. 27D. 272【分析】 先对函数求导，然后根据导数的几何意义求出曲线在P 处的切线斜率，进而求出切线方程即可求解 【答案】 解：∵y′=3x 2∴y=f （x ）=x 3+11在点P （1，12）处的切线斜率k=f′（1）=3 ∴所求的切线方程为y ﹣12=3（x ﹣1）即3x ﹣y+9=0 令x=0可得y=9，令y=0可得x=﹣3 与两坐标轴围成三角形的面积是S=故选D4．（5分）（2008•四川）若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b-=的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为（ ）A.2 B.3 C. 22 D. 23【分析】先设过一、三象限的渐近线倾斜角，根据点P （2，0）到此渐近线的距离为，可求出倾斜角α的值，进而得到a ，b 的关系，再由双曲线的基本性质c 2=a 2+b 2得到a 与c 的关系，得到答案．【答案】 解：设过一、三象限的渐近线倾斜角为α所以⇒a=b ，因此，故选A ．5．（5分）已知命题：1:p 函数1()(1)1f x x x x =+>+的最小值为3 2:p 不等式11x>的解集是{}1x x < 3:p ,R αβ∃∈，使得sin()sin sin αβαβ+=+成立4:p tan tan ,,tan()1tan tan R αβαβαβαβ+∀∈+=-⋅成立其中的真命题是（ ）A. 1pB. 13,p pC. 24,p pD. 134,,p p p【分析】分别利用相关的知识进行判断．p 1：用基本不等式的性质判断．p 2：用分式不等式的解法判断．p 3：特称命题的判断．p 4：利用两角和的正切公式判断．【答案】解：p 1：，因为x ＞1，所以，当且仅当，即x=2时取等号，所以p 1正确．p 2：因为当x=0时，不等式无意义，所以p 2错误．p 3：当α=β=0时，sin （α+β）=sinα+sinβ=0成立，所以p 3正确． p 4：当α=β=时，α+β=，此时正切无意义，所以p 4：不正确．故选B ．6．（5分）数列{}n a 满足11a =，223a =，且11112(2)n n n n a a a -++=≥，则n a =（ ） A.21n + B. 22n + C. 2()3nD. 12()3n - 【分析】 由题意将题中等式变形为=（n≥2），得到数列{}构成等差数列．再求出{}的首项和公差d ，结合等差数列通项公式即可求出数列{a n }的通项公式．【答案】 解：∵数列{a n }中，（n≥2），∴=（n≥2），因此，数列{}构成等差数列∵a 1=1，a 2=， ∴=1，==即等差数列{}的首项为1，公差d=∴=1+（n ﹣1）=，可得a n =（n=1时也成立）故选：A7．（5分）（2013•兰州一模）执行右面的程序框图，若输入的6,4n m ==那么输出的p 是（ ）A. 120B. 240C. 360D. 720【分析】 由框图输入的n ，m 的值及对k 和p 的赋值，首先进行了一次运算，然后判断k ＜m 是否成立，成立继续执行运算k=k+1，p=p （n ﹣m+k ），不成立算法结束，输出p 的值．【答案】 解：框图首先输入n=6，m=4，给循环变量k 赋值1，累积变量p 赋值1，执行运算p=1×（6﹣4+1）=3；判断1＜4成立，执行k=1+1=2，p=3×（6﹣4+2）=12； 判断2＜4成立，执行k=2+1=3，p=12×（6﹣4+3）=60； 判断3＜4成立，执行k=3+1=4，p=60×（6﹣4+4）=360； 判断4＜4不成立，跳出循环，输出p 的值为360，算法结束． 故选C ．8．（5分）（2013•兰州一模）有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.16B. 20C. 24D. 32【分析】先由三视图画出几何体的直观图，再由图中所给数据及柱体、锥体体积计算公式计算此几何体体积即可．【答案】解：由三视图可知此几何体为组合体：长方体去掉一角，其直观图如图：∵长方体的三边长分别为2，3，4，∴长方体的体积为24去掉的三棱锥的体积为××24=4∴此组合体的体积为24﹣4=20．故选B．AB ，线段AB的中点为O，过9．（5分）（2013•兰州一模）已知动点P到两定点,A B的距离和为8，且43点O的所有直线与点P的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有（）A.5条B. 6条C. 7条D. 8条【分析】根据题意，P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，得到它的方程为．根据椭圆的几何性质，过点O 的所有直线与点P的轨迹相交而形成的线段，其长度介于2b与2a之间，由此即可算出长度为整数的条数．【答案】解：∵|AB|=4＜8，动点P到两定点A、B的距离和为8，∴P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，得 2a=8，2c=4，可得b==2∴椭圆的方程为因此，过点O 的所有直线与点P 的轨迹相交而形成的线段， 其长度l ∈[2b ，2a]，即l ∈[4，8]， 长度为整数的有4、5、6、7、8，共5条 故选：A10．（5分）将函数()2sin()(0)3f x x πωω=->的图象向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象．若()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【分析】 函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g （x ）的表达式，然后利用在[]上为增函数，说明 ≥，利用周期公式，求出ω的不等式，得到ω的最大值． 【答案】 解：函数f （x ）=2sin （ϖx ﹣）（ϖ＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y=g （x ）=2sinωx ，y=g （x ）在[0，]上为增函数，所以≥，即：ω≤2，所以ω的最大值为：2．故选C ．11．（5分）（2013•兰州一模）已知函数()f x 是R 上的偶函数，且满足(5)(5)f x f x +=-，在[]0,5上有且只有(1)0f =，则()f x 在[]2003,2003-上的零点个数为（ ）A. 808B. 806C. 805D. 804【分析】 确定函数关于直线x=5对称且以10为周期，利用函数在[0，5]上只有f （1）=0，可得在[0，10]上有两个零点，结合偶函数的对称性及周期，由此可得结论．【答案】 解：∵f （5+x ）=f （5﹣x ），∴函数关于直线x=5对称，f （10+x ）=f （﹣x ），∵函数f （x ）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，f （﹣x ）=f （x ） ∴f （10+x ）=f （x ），即函数以10为周期∵在[0，5]上只有f （1）=0，∴在[0，10]上有两个零点 ∵2012=201×10+2∴f （x ）在[0，2012]上的零点的个数为403 ∵函数f （x ）是（﹣∞，+∞）上的偶函数， ∴f （x ）在[﹣2012，2012]上的零点的个数为806 故选B12．（5分）定义：{},min ,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩．在区域0206x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，则,x y 满足{}22min 2,42x x y x y x x y ++++=++的概率为（ ）A.59 B. 49 C. 13 D. 29【分析】 本题是一个几何概型，试验包含的所有事件对应的集合Ω={（x ，y ）|0≤x≤2，0≤y≤6}，满足条件的事件A={（x ，y ）|0≤x≤2，0≤y≤6，x 2+x+2y≤x+y+4}，算出两个集合对应的面积，面积之比就是要求的概率．【答案】 解：本题是一个几何概型，∵试验包含的所有事件对应的集合Ω={（x ，y ）|0≤x≤2，0≤y≤6}， ∴S Ω=1×1=1，∵满足条件的事件A={（x ，y ）|0≤x≤2，0≤y≤6，x 2+x+2y≤x+y+4}，即A={（x ，y ）|0≤x≤2，0≤y≤6，y≤4﹣x 2}，∴S A =（4﹣x 2）dx=（4x ﹣x 3）|=，∴由几何概型公式得到P==．故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2013•兰州一模）已知向量(,2),(2,2),a k b a b =-=+为非零向量，若()a a b ⊥+，则k = ． 【分析】 由可得=0，结合向量的数量积的坐标表示即可求解【答案】 解：∵，∴=（k+2，0）∵∴=k （k+2）=0∵为非零向量，即k+2≠0∴k=0 故答案为：014．（5分）三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有 种．【分析】 分类讨论，一个贫困村去一位老师；一个村有两个老师，另一个村有一个老师，利用加法原理可得结论． 【答案】 解：一个贫困村去一位老师，有=24种；一个村有两个老师，另一个村有一个老师，有×=36种，∴不同的分配方法有60种 故答案为：60．15．（5分）（2013•兰州一模）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在以O 为球心的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，若三棱锥S ABC -的体积为26，则球O 的表面积为 ． 【分析】根据题意作出图形，欲求球O 的表面积，只须求球的半径r ．利用截面圆的性质即可求出OO 1，进而求出底面ABC 上的高SD ，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题．【答案】 解：根据题意作出图形：设球心为O ，球的半径r ．过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ， 延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ． ∵CO 1=×=，∴OO 1==，∴高SD=2OO 1=2，∵△ABC 是边长为1的正三角形， ∴S △ABC =，∴V 三棱锥S ﹣ABC =××2=，∴r=1．则球O 的表面积为 4π 故答案为：4π．16．（5分）已知各项为正的数列{}n a 中，122121,2,log log ()n n a a a a n n N ++==+=∈，则10081220132a a a +++-= ．【分析】 根据对数的运算性质，结合题意算出a n+1a n =2n ，从而证出{a n }的奇数项、偶数项分别构成以2为公比的等比数列，由此结合等比数列的求和公式即可算出所求式子的值．【答案】 解：∵log 2a n+1+log 2a n =n∴log 2（a n+1a n ）=n=log 22n ，可得a n+1a n =2n 由此可得a n+1a n+2=2n+1，得∴a 1、a 3、…a 2013和a 2、a 4、…、a 2012分别构成以2为公比的等比数列 则a 1+a 3+…+a 2013==21007﹣1；a 2+a 4+…+a 2012==21007﹣2∴a 1+a 2+…+a 2013﹣21008=（21007﹣1）+（21007﹣2）﹣21008=2•21007﹣3﹣21008=21008﹣3﹣21008=﹣3 故答案为：﹣3三、解答题：本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．17．（12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，222a b c bc =++． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若23a =，2b =，求c 的值．解：（Ⅰ）∵a 2=b 2+c 2+bc ，∴根据余弦定理，得cosA=．…（3分）∵0＜A ＜π，∴．…（6分）（Ⅱ）由正弦定理，得 ．…（9分）∵，0＜B ＜π， ∴．可得．…（11分）∴B=C ，可得c=b=2．…（12分）18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠=︒ （Ⅰ）求证：BD PC ⊥；（Ⅱ）若PA AB =，求二面角A PD B --的余弦值．解：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ． 又∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BD ．又∵PA∩AC=A ，∴BD ⊥平面PAC ． ∵PC ⊂平面PAC ，∴BD ⊥PC…（6分）（Ⅱ）依题意，知平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 与平面ABCD 的交线为AD ，过点B作BM⊥AD，垂足为M，则BM⊥平面PAD．在平面PAD内过M作MN⊥PD，垂足为N，连BN，则PD⊥平面BMN，∴∠BNM为二面角A﹣PD﹣B的平面角．…（9分）∵AB=AD，∠BAD=60°，∴，DM=1．…（10分）又∵PA=AB，得，∴．…（11分）∴Rt△BMN中，．即二面角A﹣PD﹣B的余弦值为．…（12分）19．（12分）某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站．∈）的函（Ⅰ）若售报亭一天购进270份报纸，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量x（单位：份，x N数解析式．（Ⅱ）售报亭记录了100天报纸的日需求量（单位：份），整理得下表：日需求量x 240 250 260 270 280 290 30010 20 16 16 15 13 10频数以100天记录的需求量的频率作为各销售量发生的概率．（1）若售报亭一天购进270份报纸，ξ表示当天的利润（单位：元），求ξ的数学期望；（2）若售报亭计划每天应购进270份或280份报纸，你认为购进270份报纸好，还是购进280份报纸好？说明理由．解：（Ⅰ）当x≥270时，y=270×（1﹣0.4）=162；当x ＜270时，y=（1﹣0.4）x+（270﹣x ）×0.1﹣（270﹣x ）×0.4=0.9x ﹣81， ∴…（5分）（Ⅱ）（1）ξ可取135、144、153、162， 则P （ξ=135）=0.1，P （ξ=144）=0.2， P （ξ=153）=0.16，P （ξ=162）=0.54．∴Eξ=135×0.1+144×0.2+153×0.16+162×0.54=154.26．…（9分） （2）购进报纸280张，当天的利润为y=（0.6×240﹣40×0.3）×0.1 +（0.6×250﹣30×0.3）×0.2+（0.6×260﹣20×0.3）×0.16（0.6×270﹣10×0.3） ×0.16+280×0.6×0.38=154.68＞154.26，所以每天购进280张报纸好 …（12分）20．（12分）已知点P 为y 轴上的动点，点M 为x 轴上的动点，点(1,0)F 为定点，且满足102PN NM +=，0PM PF ⋅=．（Ⅰ）求动点N 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）过点F 且斜率为k 的直线l 与曲线E 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点C ，使得222||||||CA CB AB +=成立，请说明理由．解：（Ⅰ）设N （x ，y ），则由，得P 为MN 的中点．∴，M （﹣x ，0）．∴，．∴，即y 2=4x ．∴动点N 的轨迹E 的方程y 2=4x ． （Ⅱ）设直线l 的方程为y=k （x ﹣1），由，消去x 得．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 ，y 1y 2=﹣4．假设存在点C （m ，0）满足条件，则，，∴===．∵，∴关于m 的方程有解．∴假设成立，即在x 轴上存在点C ，使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立．21．（12分）已知函数221()2,()3ln (2f x x exg x e x b x R +=+=+∈，e 为常数），且这两函数的图象有公共点，并在该公共点处的切线相同． （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）若1x e ≤≤时，222[()2][2()](2)6a f x ex g x e a x e-++≤+恒成立，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）f'（x ）=x+2e ，，设与g （x ）=3e 2lnx+b 的公共点为（x 0，y 0），则有…（3分）解得．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以．∴由1≤x≤e时，x2+alnx≤（a+2）x恒成立，即a（x﹣lnx）≥x2﹣2x恒成立．∵1≤x≤e，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时成立，∴x﹣lnx＞0．∴在1≤x≤e时恒成立．…（8分）设（1≤x≤e），则．显然x﹣1≥0，又lnx≤1，∴x+2﹣2lnx＞0．所以h'（x）≥0（仅当x=1时取等号）．∴在[1，e]上为增函数．…（11分）故．所以实数a的取值范围是．…（12分）22．（10分）选修4﹣1：《几何证明选讲》∆的外接圆，直线l为O的切线，切点为B，直线AD l，交BC于D、交O于E，已知：如图，O为ABC∠=∠，求证：F为AC上一点，且EDC FDC（Ⅰ）2=⋅；AB BD BC（Ⅱ）点A、B、D、F共圆．证明：（I）∵直线l为⊙O的切线，∴∠1=∠ACB．∵AD∥l，∴∠1=∠DAB．∴∠ACB=∠DAB ， 又∵∠ABC=∠DBA ， ∴△ABC ∽△DAB ． ∴．∴AB 2=BD•BC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠BAC=∠ADB ． ∵∠EDC=∠FDC ，∠EDC=∠ADB ，∴∠BAC=∠FDC ．∴∠BAC+∠FDB=∠FDC+∠FDB=180°． ∴点A 、B 、D 、F 共圆．23．（2013•丰南区）在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)2π，判断点P 与直线l 的位置关系；（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：（1）∵曲线C 的参数方程为，∴曲线C 的普通方程是， ∵点P 的极坐标为， ∴点P 的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），把（0，4）代入直线l ：x ﹣y+4=0， 得0﹣4+4=0，成立，故点P 在直线l 上． （2）∵Q 在曲线C ：上，（0°≤α＜360°）∴到直线l ：x ﹣y+4=0的距离：=，（0°≤α＜360°） ∴．24．（2013•贵阳二模）选修4﹣5：不等式选讲 已知函数()|2||5|f x x x =---． （1）证明：3()3f x -≤≤；（2）求不等式2()815f x x x ≥-+的解集．解：（1）f （x ）=|x ﹣2|﹣|x ﹣5|=．当2＜x ＜5时，﹣3＜2x ﹣7＜3． 所以﹣3≤f （x ）≤3． （2）由（1）可知，当x≤2时，f （x ）≥x 2﹣8x+15的解集为空集； 当2＜x ＜5时，f （x ）≥x 2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x ＜5}；当x≥5时，f （x ）≥x 2﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}． 综上，不等式f （x ）≥x 2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x≤6}．。

某某省某某一中2013届高三数学上学期期末考试试题 理 新人教A 版本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟.请将答案填在答题卡上.注意事项：1.答题前，务必用黑色签字笔将自己的某某、某某号考场号、座位号填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数212i i-=+ A. i B.i - C.4355i -- D.4355i -+ 2. 已知函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩ 的零点个数为A ．3 B.2 C ．1 D ．03. 已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈.下列命题中真命题是A ．若∀n ∈N *总有n c ∥n b 成立，则数列{a n }是等差数列; B ．若∀n ∈N *总有n c ∥n b 成立，则数列{a n }是等比数列; C ．若∀n ∈N *总有n c ⊥n b 成立，则数列{a n }是等差数列; D ．若∀n ∈N *总有n c ⊥n b 成立，则数列{a n }是等比数列. 4. 如右图给出的是计算2011151311+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A ．2011≤iB ．2011>iC ．1005≤iD ．1005>i5. 已知数列{}{},n n a b 满足*11111,2,n n n n b a b a a n N b ++==-==∈，则数列{}n a b 的前10项和为A.()101413-B. ()104413-C.()91413-D.()94413-参照附表，得到的正确结论是A.有99%的把握认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系”;B.有97.5%的把握认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少无关系”;C.在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少无关系”;D.在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系”.7. 若曲线1:C 22(0)y px p =>的焦点F 恰好是曲线22222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，且12C C 与交点的连线过点F ，则曲线2C 的离心率为A.21-B.21+C.622+D.212+ 8. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中,{0,1,2,3,4,5}a b ∈，若||1a b -≤，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为A ．29B ．718C ．49D ．1910. 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(3)()f x f x -=-,且在区间3[0,]2上是增函数,若方程 ()(0)f x a a =<在区间[6,6]-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++=A.6B.6-C.18D.011. 在ABC ∆中，设,AB AC =c =b ,点D 在BC 边上且()()sin sin AD R B C λλ+∈c b =c b ，则 A.12AD +=c b B .1122AD +=c b C .1122AD -=c b D .12AD -=c b 12. 点(,)P x y 是曲线1:(0)C y x x=>上的动点，曲线C 在点P 处的切线与,x y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点.给出三个结论：①PA PB =;②△OAB 的周长有最小值422+；③曲线C 上存在两点,M N ，使得△OMN 为等腰直角三角形.其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．0第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ，且(6)0.98P ξ<=，则(03)P ξ<<=. 14. 已知不等式组2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域为M ，直线y x =与曲线212y x =所围成的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为.15. 对大于或等于2的自然数m 的3 次方幂有如下分解方式：3235=+,337911=++,3413151719=+++,……则（1）38的分解中最小的数是(2分)；（2）按以上规律，第n 个式子可以表示为(3分).16. 正三棱锥S ABC -中，2SA =,,SC BC 的中点分别为,M N ，且MN AM ⊥，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积为 .三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共70分)17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 不等式2cos 4sin 60x C x C ++≥对于一切实数x 恒成立．（Ⅰ）求角C 的最大值.（Ⅱ）当角C 取得最大值时，若2a b +=，求c 的最小值.（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ．（19）（本小题满分12分）某建筑物的上半部分是多面体MN ABCD -, 下半部分是长方体1111ABCD A B C D -（如图）. 该建筑物的正视图和侧视图（如图）, 其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成.（Ⅰ）求直线AM 与平面1111A B C D 所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角A MN C --的余弦值；（Ⅲ）求该建筑物的体积.（20）（本小题满分12分）如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似.已知椭圆C 与椭圆22:184x y Γ+=相似，且椭圆C 的一个短轴端点是抛物线214y x =的焦点. （Ⅰ）试求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设椭圆E 的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线:(0,0)l y kx t k t =+≠≠与椭圆C 交于,A B 两点，且与椭圆E 交于,H K 两点.若线段AB 与线段HK 的中点重合，试判断椭圆C 与椭圆E 是否为相似椭圆？并证明你的判断.21．（本小题满分12分）设定义在区间[]12,x x 上的函数()y f x =的图象为C ，M 是C 上的任意一点，O 为坐标原点，设向量OA =()()11x f x ，，()()22OB x f x =，，(,)OM x y =，当实数λ满足x =λ x 1+(1－λ) x 2时，记向量ON =λOA +(1－λ)OB ．定义“函数()y f x =在区间[]12,x x 上可在标准K 下线性近似”是指“MN ≤K 恒成立”，其中K 是一个确定的正数．（1）求证：,,A B N 三点共线;（2）设函数2()f x x =在区间[0，1]上可在标准K 下线性近似，求K 的取值X 围；（3）求证：函数()ln g x x =在区间1e e ()m m m +⎡⎤∈⎣⎦R ，上可在标准18K =下线性近似. （参考数据：e =2.718，ln(1)0.541e -=）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦AP CD //，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且EF DE =2·EC .（1）求证：EDF P ∠=∠；（2）求证：CE ·EB =EF ·EP .23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数）m x x x f --++=|2||1(|log )(2．（1）当5=m 时，求函数)(x f 的定义域；（2）若关于x 的不等式1)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值X 围．24．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程是2=ρ，曲线2C 的参数方程是1(0,[,],1622sin 2x t y t ππθθθ=⎧⎪>∈⎨=+⎪⎩是参数）. （1）写出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）求t 的取值X 围，使得1C ，2C 没有公共点.某某一中2012-2013-1学期期末考试高三数学参考答案（理科）18.（本小题满分12分）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：（1）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ．（19）（本小题满分12分）某建筑物的上半部分是多面体MN ABCD -, 下半部分是长方体1111ABCD A B C D -（如图）. 该建筑物的正视图和侧视图如图, 其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成.（2）延长PO 交CD 于点Q ，连接MQ ，由（1）知AB ⊥平面MOP∵MQ ⊂平面MOP ，∴AB ⊥MQ .∵//MN AB ，∴,MN MP MN MQ ⊥⊥. ∴PMQ ∠是二面角A MN C --的平面角.……………………………………… 6分在△PMQ 中，2,2MQ MP PQ ===，∵2224MP MQ PQ +==，∴90PMQ ︒∠=. ∴二面角A MN C --的余弦值为0. (8)分解法2：（参照解法1评分）21．（本小题满分12分）设定义在区间[]12,x x 上的函数()y f x =的图象为C ，M 是C 上的任意一点，O 为坐标原点，设向量OA =()()11x f x ，，()()22OB x f x =，，(,)OM x y =，当实数λ满足x =λ x 1+(1－λ) x 2时，记向量ON =λOA +(1－λ)OB ．定义“函数()y f x =在区间[]12,x x 上可在标准K 下线性近似”是指“MN ≤K 恒成立”，其中K 是一个确定的正数．（1）求证：,,A B N 三点共线（2）设函数2()f x x =在区间[0，1]上可在标准K 下线性近似，求K 的取值X 围；（3）求证：函数()ln g x x =在区间1e e ()m m m +⎡⎤∈⎣⎦R ，上可在标准18K =下线性近似 （参考数据：e =2.718，ln(1)0.541e -=）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分。