一元一次不等式
考点一、不等式的概念 （3分）
1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不
等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的
解的集合，简称这个不等式的解集。
4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5、用数轴表示不等式的方法
考点二、不等式基本性质（3~5分）
1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随
着加或乘的运算改变。②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；
考点三、一元一次不等式 （6--8分）
1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知
数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项
（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1
考点四、一元一次不等式组 （8分）
1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了
一个一元一次不等式组。
2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次
不等式组的解集。
第九章 不等式与不等式组
9.2 一元一次不等式
基础过关全练
知识点1 一元一次不等式
1.下列式子中,是一元一次不等式的有
( )
①3a -2=4a +9;②3x -6>3y +7;③5<3
2x ;④x 2>1;⑤2x +6>x ;⑥1
x +5≤5.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.【新独家原创】当m = 时,不等式(m -2 023)x |m |-2 022+2 021>0是关于x 的一元一次不等式. 知识点2 一元一次不等式的解法
3.(2022辽宁大连中考)不等式4x <3x +2的解集是 ( )
A .x >-2
B .x <-2
C .x >2
D .x <2
4.若关于x 的不等式(a -2)x >2a -5的解集是x <4,则关于y 的不等式2a -5y >1的解集是( )A.y <5
2 B.y <2
5 C.y >5
2 D.y >2
5
5.(2021四川自贡中考)请写出不等式x +2>7的一个整数解: .
6.若关于x 的不等式
2x ―0.5
3
>
a 2与
5(1-x )<a -20的解集完全相同,则它
们的解集为 .
7.(2022江苏连云港中考)解不等式2x -1>3x ―1
2
,并把它的解集在数轴上表示出来.
8.请根据小明同学解不等式的过程,完成各项任务.
解不等式:x+1
6≥2x―5
4
+1.
解:去分母,得2(x+1)≥3(2x-5)+1,①
去括号,得2x+2≥6x-5+1,②
人教版七年级数学下册第九章第三节一元一次不等式组复
习练习题（含答案)
(1)
计算题：0011 -330(2017)()3
π-+-+ (2)计算题: 124(2)22
x x x x ---÷++ (3)解不等式组：3(2)4112
3x x x x --≤⎧⎪-+⎨<⎪⎩ 【答案】（1）4（2）答案见解析（3）答案见解析
【解析】
试题分析：（1）根据绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以解答本题；
（3）根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题．
试题解析：解：（1）原式
﹣2﹣1+3 =3+1﹣2﹣1+3
=4；
（2）原式=2212224x x x x x
-+-+⋅+-（）（） =44224x x x x x （）（）+-+⋅+- =﹣（x +4）
=﹣x ﹣4；
（3）324{1123x x x x --≤-+（）①
＜②，解不等式①，得：x ≥1，解不等式②，得：x ＜
5，∴原不等式组的解集是1≤x ＜5．
32．（1）化简：（31a +﹣a+1）÷2441
a a a -++. （2）解不等式组：1422123
x x x x ->+⎧⎪+⎨>⎪⎩ 【答案】（1）22
a a +-
- ，（2）x ＜﹣1 【解析】
【分析】（1）括号内先进行通分，然后进行分式的加减法运算，最后再进行分式的乘除法运算即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，然后再确定出解集的公式部
分即可得不等式组的解集.
【详解】（1）原式=()()()23111·12a a a a a --+++- =()()()
9．2 一元一次不等式 第1课时 一元一次不等式的解法
1．下列不等式中，是一元一次不等式的是( ) A ．2x －3y ＞4 B ．－2＜3 C ．3x －1＜0 D ．y 2
－3＞2
2．若(m ＋1)x |m|
＋2＞0是关于x 的一元一次不等式，则m ＝1． 3．不等式1－2x ≥0的解集是( ) A ．x ≥2 B ．x ≥1
2
C ．x ≤2
D ．x ≤1
2
4．不等式2x －1≤3的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C.
D.
5．当x 时，式子x －3的值是正数． 6．不等式x －3＜6－2x 的解集是 ． 7．解不等式，并把解集在数轴上表示出来： (1)5x －2≤3x ；
(2)5x －5＜2(2＋x)；
(3)2－x 4≥1－x 3.
8．小明解不等式1＋x 2－2x ＋1
3≤1的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写
出正确的解答过程.
9．与不等式2x －4≤0的解集相同的不等式是( ) A ．－2x ≤x －1 B ．－2x ≤x －10 C ．－4x ≥x －10 D ．－4x ≤x －10 10．不等式6－4x ≥3x －8的非负整数解为( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
11．若关于x 的一元一次方程x －m ＋2＝0的解是负数，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥2 B ．m ＞2 C ．m ＜2 D ．m ≤2
12．如果a<2，那么不等式ax>2x ＋5的解集是x<5
a －2
．
13．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a △b ＝2a －b.已知不等式x △k ≥1的解集在数轴上如图表示，则k 的值是 ．
第11章《一元一次不等式》考点+易错
知识梳理
重难点分类解析
考点1 不等式及其性质
【考点解读】理解实数的运算法则，确定相关量的取值范围，然后用不等式来表示;要熟练掌握不等式的性质，特别注意当不等式两边同时乘(或除以)同一个负数时，不等号方向要改变.
例1 下列说法不一定成立的是( ) A.若a b >，则a c b c +>+ B.若a c b c +>+，则a b > C.若a b >，则2
2
ac bc > D.若2
2
ac bc >，则a b >
分析:在不等式a b >的两边同时加上c ，不等式仍成立，即a c b c +>+，故选项A 一定成立;在不等式a c b c +>+的两边同时减去c ，不等式仍成立，即a b >，故选项B 一定成立;当0c =时，若a b >，则不等式2
2
ac bc >不成立，故选项C 不一定成立;因为2
2
ac bc >，所以0c ≠，所以2
0c >.在不等式2
2
ac bc >的两边同时除以2
c ，该不等式仍成立，即a b >，故选项D 一定成立. 答案:C
【规律·技法】应用不等式的性质解决问题时，特别要注意当不等式的两边同乘或同除以同一个负数时不等号要改变方向. 【反馈练习】
1. (2018·南京期末)若x y >，则下列式子错误的是( ) A.33x y ->- B.
33
x y >
C.33x y +>+
D.33x y ->-
点拨:在不等式两边同时乘(或除以)同一个负数时，不等号方向要改变. 2.下列不等式变形正确的是( )
A.由a b >，得ac bc >
专题9.3 一元一次不等式组【九大题型】
【人教版】
【题型1 一元一次不等式组的概念】...................................................................................................................1【题型2 解一元一次不等式组】...........................................................................................................................3【题型3 求一元一次不等式组的整数解】...........................................................................................................6【题型4 根据一元一次不等式组的解集求参数值】...........................................................................................8【题型5 根据不等式组的解集求参数范围】.....................................................................................................10【题型6 方程组的解构造不等式组求字母范围】.............................................................................................13【题型7 利用整数解求字母取值范围】.............................................................................................................16【题型8 根据程序框图列不等式组】.................................................................................................................18【题型9 不等式组中的新定义问题】.. (21)
一元一次不等式
考点一、不等式的概念（3分）
1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的
值，都叫做这个不等式的解。
3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称
这个不等式的解集。
4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5、用数轴表示不等式的方法
考点二、不等式基本性质（3~5分）
1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算
改变。②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；
考点三、一元一次不等式（6--8分）
1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，
且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项
（5）将x项的系数化为1
考点四、一元一次不等式组（8分）
1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不
等式组。
2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
专题14 一元一次不等式（组）的解法
知识网络
重难突破
知识点一 解一元一次不等式（组）
1、一元一次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．一般形式0ax b +>（0a ≠）． 注意：
一元一次不等式应满足三个条件：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是1．另外，判断不等式是不是一元一次不等式，需先化简再判断．
2、不等式的解（解集）
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．不等式的解集也可以在数轴上表 示．求不等式的解集的过程叫做解不等式．
3、一元一次不等式的解法
基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
注意：
解一元一次不等式，最后系数化为1时，如果未知数前面的系数是负数，那么不等号的方向要改变．
4、一元一次不等式组及解集
把含有同一个未知数的两个（或以上）一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫做该一元一次不等式组的解集．当几个不等式的解集没有公共部分时，称这个不等式组无解（解集为空集）．
注意：
一元一次不等式组应满足三个条件：①含有两个或两个以上的不等式；②不等式中的未知数相同；③未知数的最高次数是1．
5、一元一次不等式组的解法
第一步：先分别求出不等式组中各个不等式的解集；
第二步：利用数轴求出这些解集的公共部分；
第三步：写出不等式组的解集的结论．
>）
由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型：（表中a b
人教版七年级数学下册第九章第三节一元一次不等式组复
习练习题（含答案) 解不等式组2x 1125x 23x
-⎧<⎪⎨⎪+≥⎩，并将它的解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为31x 2
-≤<
． 【解析】
【分析】
首先解每个不等式，然后把每个解集在数轴上表示出来，确定不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】 解不等式2x 112-<，得：3x 2<， 解不等式5x 23x +≥，得：x 1≥-，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
所以不等式组的解集为31x 2-≤<
． 【点睛】
本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(,>≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
82．阅读下列材料：
小明在一本课外读物上看到一道有意思的数学题：例1、解不等式：1
x<，根据绝对值的几何意义，到原点距离小于1的点在数轴上集中在－1和+1之间，如图:
所以，该不等式的解集为－1<x<1．
因此，不等式1
x>的解集为x<－1或x>1．
根据以上方法小明继续探究：例2：求不等式：25
<<的解集，即求到原
x
点的距离大于2小于5的点的集合就集中在这样的区域内，如图：
所以，不等式25
<<的解集为－5<x<－2或2<x<5．
第九章 不等式与不等式组
9.3 一元一次不等式组
基础过关全练
知识点1 一元一次不等式组及其解法
1.(2022山东潍坊中考)不等式组x+1≥0,
x―1<0的解集在数轴上表示正确的是( )
A B C D
2.(2021广西贵港中考)不等式1<2x-3<x+1的解集是( )
A.1<x<2
B.2<x<3
C.2<x<4
D.4<x<5
3.(2020四川广元中考)关于x的不等式组x―m>0,
7―2x>1的整数解只有4个,则m的取值范围是( )
A.-2<m≤-1
B.-2≤m≤-1
C.-2≤m<-1
D.-3<m≤-2
4.如图所示,点C位于点A、B之间(点C不与A、B重合),点C表示1-2x,则x的取值范围是 .
5.(2022天津中考)解不等式组2x≥x―1,①
x+1≤3.②
请结合题意填空,完成本题的解答.
(1)解不等式①,得 ;
(2)解不等式②,得 ;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(4)原不等式组的解集为 .
6.(2020山东聊城中考)
<7―3
2
x,
≥x
3
+x―4
4
,
并写出它的所有
整数解.
7.(2019湖北黄石中考)若点P,2x―9,其中x满足不
―10≥2(x+1),
x―1≤7―3
2
x,求点P所在的象限.
知识点2 列一元一次不等式组解决实际问题
8.李华爸爸计划以60 km/h的平均速度行驶4 h从家去往某地开会,因路上堵车,实际行驶2 h时只行驶了100 km,但是前方路段限速80 km/h.为了按时参会,他在后面的行程中的平均速度为v km/h,则v的取值范围是 .
一元一次不等式的解法（基础）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）.
A.5+4＞8
B.2x －1
C.2x ≤5
D.1x
－3x ≥0 2．已知a ＞b ，则下列不等式正确的是( ).
A ．-3a ＞-3b
B ．33
a b ->- C ．3-a ＞3-b D ．a-3＞b-3
3.下列说法中，正确的是( ).
A ．x ＝3是不等式2x ＞1的解
B ．x ＝3是不等式2x ＞1的唯一解
C ．x ＝3不是不等式2x ＞1的解
D ．x ＝3是不等式2x ＞1的解集
4.在下列解不等式的过程中，错误的一步是（ ）
A ．去分母得5（2+x ）＞3（2x ﹣1）
B ．去括号得10+5x ＞6x ﹣3
C ．移项得5x ﹣6x ＞﹣3﹣10
D ．系数化为1得x ＞3
5.不等式6x 2x 34-≥-的非负整数解有（ ）.
A ． 1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6.（2016•六盘水）不等式3x+2＜2x+3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
7．用“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式的哪条基本性质：
(1)如果x+2＞5，那么x_______3；根据是_______．
(2)如果314a -
<-，那么a_______43
；根据是________． (3)如果233x <-，那么x________92-；根据是________． (4)如果x-3＜-1，那么x_______2；根据是________．
8. 若a ＞0，则关于x 的不等式ax ＞b 的解集是________；
人教版七年级数学下册
一元一次不等式组（基础）知识讲解
【学习目标】
1.理解不等式组的概念；
2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；
3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．
【要点梳理】
要点一、不等式组的概念
定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式
组．如
25
62010
x
x
->
⎧
⎨
-<
⎩
，
70
2116
3159
x
x
x
->
⎧
⎪
+>
⎨
⎪+<
⎩
等都是一元一次不等式组．
要点诠释：
(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．
(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．
要点二、解一元一次不等式组
1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．
要点诠释：
(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．
(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．
2.一元一次不等式组的解法
解一元一次不等式组的方法步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．
要点三、一元一次不等式组的应用
列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．
要点诠释：
(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．
(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．
人教版七年级数学下册第九章第三节一元一次不等式组作
业复习题（含答案)
解不等式(组)
(1)解不等式 114136
x x x +-+≤-，并把解集在数轴上．．．．表示出来． (2)解不等式835113
x x x x ->⎧⎪+⎨≥-⎪⎩，并写出它的所有整数解． 【答案】（1）x ≤2，图见详解；（2）22x -≤<；-2、-1、0、1.
【解析】
【分析】
（1）由题意直接根据解不等式的步骤逐步进行计算求解，并把解集在数轴上表示出来即可．
（2）根据题意分别解出两个不等式，取公共部分得出其解集从而写出它的所有整数解即可．
【详解】
解：（1）去分母，得 6x+2（x+1）≤6-（x-14），
去括号，得 6x+2x+2≤6-x+14，
移项，合并同类项，得 9x ≤18，
两边都除以9，得 x ≤2.
解集在数轴上表示如下：
（2）835113x x x x ->⎧⎪⎨+≥-⎪⎩
①②
解①得：2x <，
解②得：2x ≥-，
则不等式组的解集是：22x -≤<.
它的所有整数解有：-2、-1、0、1.
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式（组）的解法，注意掌握求不等式（组）的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
82．解下列方程组和一元一次不等式组：
（1）13x-y=022x+y=2
⎧⎪⎨⎪⎩； （2）z=x+y 2x-3y+2z=5x+2y-z=3⎧⎪⎨⎪⎩
； （3）2x-1x+1x+84x-1>⎧⎨<⎩
； （4）-1＜3x-132
＜2． 【答案】（1）1432x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
一元一次不等式典型例题
题型一：求不等式的特殊解
例１）求x+3＜6的所有正整数解
２）求10-4（x-3）≥2（x-1）的非负整数解，并在数轴上表示出来。
４）设不等式２ｘ－ａ≤０只有３个正整数解，求正整数
题型二：不等式与方程的综合题
例关于Ｘ的不等式２ｘ－ａ≤－１的解集如图，求ａ的取值范围。
不等式组{
1
5
9
1
+
+
+
x
x
m
x
的解集是ｘ＞２，则ｍ的取值范围是？
若关于Ｘ、Ｙ的二元一次方程组{
31
3
5
=
+
=
-
+
y
x
p
y
x的解是正整数，求整数Ｐ的值。
题型三确定方程或不等式中的字母取值范围
例ｋ为何值时方程５ｘ－６＝３（ｘ＋ｋ）的值是非正数
已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围
已知在不等式３ｘ－ａ≤０的正整数解是１，２，３，求ａ的取值范围。
若方程组{
k
y
x
y
x
=
-
=
+
3
4
5
3
2的解中x>y，求K的范围。
如果关于x的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，求m的范围。若|2a+3|＞2a+3,求a的范围。
若（a+1）x＞a+1的解是x＜1,求a的范围。
若{
1
4
8-
+x
x
a
x
的解集为＞３，求ａ的取值范围。
如果{
9
8
≥
-
-
a
x
b
x 的整数解为１、２、３，求整数ａ、ｂ的值。
题型五求最小值问题
题型六不等式解法的变式应用
例根据下列数量关系，列不等式并求解。
X除以2的商加上2，至多为5。 A与b两数和的平方不可能大于3。
例ｘ取何值时，２（ｘ－２）－（ｘ－３）－６的值是非负数？
题型七解不定方程
例求方程４ｘ＋ｙ－２０＝０的正整数解。
已知{
a
x
a
x
>
-
-
<
-
2
2
3无解，求ａ的取值范围。
题型八比较两个代数式值的大小
