北师大版九年级数学上名校课堂小专题(十一)(含答案)

思维特训(十一)相似三角形中的辅助线作法归类在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段，或得出等角、等边，从而为证明三角形相似或进行有关的计算找到等量关系．作辅助线的方法主要有以下几种：(1)作平行线构造“A”型或“X”型相似；(2)作平行线转换线段比；(3)作垂直证明相似．图11－S－1类型一作平行线构造“A”型或“X”型相似1．如图11－S－2，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB 延长线上一点，OE交BC于点F，若AB＝a，BC＝b，BE＝c，求BF的长．图11－S－22．如图11－S－3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CF为任一直线，CF交AD 于点E，交AB于点F.求证：AEDE＝2AFBF.图11－S －33．在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：如图11－S －4，在△ABC 中，D 是BA 延长线上一动点，点F 在BC 上，且CF BF ＝12，连接DF 交AC 于点E .(1)如图①，当E 恰为DF 的中点时，请求出ADAB的值；(2)如图②，当DE EF ＝a (a ＞0)时，请求出ADAB 的值(用含a 的代数式表示)．思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：甲：过点F 作FG ∥AB 交AC 于点G ，构造相似三角形解决问题； 乙：过点F 作FG ∥AC 交AB 于点G ，构造相似三角形解决问题；丙：过点D 作DG ∥BC 交CA 的延长线于点G ，构造相似三角形解决问题． 老师说：“这三位同学的想法都可以”．请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问中ADAB的值．图11－S －4类型二 作平行线转换线段的比4．如图11－S －5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，求AFAE的值．图11－S －55．如图11－S －6，已知等边三角形ABC ，D 为AC 边上的一动点，CD ＝nDA ，连接BD ，M 为线段BD 上一点，∠AMD ＝60°，连接AM 并延长交BC 于点E .(1)若n ＝1，则BE CE ＝______，BMDM ＝______；(2)若n ＝2，如图②，求证：BM ＝6DM ；(3)当n＝________时，M为BD的中点(直接写出结果，不要求证明)．图11－S－66．2017·朝阳已知：如图11－S－7，在△ABC中，点D在AB上，E是BC的延长线上一点，且AD＝CE，连接DE交AC于点F.(1)猜想证明：如图①，在△ABC中，若AB＝BC，学生们发现：DF＝EF.下面是两位学生的证明思路：思路1：过点D作DG∥BC，交AC于点G，可通过证△DFG≌△EFC得出结论；思路2：过点E作EH∥AB，交AC的延长线于点H，可通过证△ADF≌△HEF得出结论．……请你参考上面的思路，证明DF＝EF(只用一种方法证明即可)．(2)类比探究：在(1)的条件下(如图①)，过点D作DM⊥AC于点M，试探究线段AM，MF，FC之间满足的数量关系，并证明你的结论．(3)延伸拓展：如图②，在△ABC中，若AB＝AC，∠ABC＝2∠BAC，ABBC＝m，请你用尺规作图在图②中作出AD 的垂直平分线交AC 于点N (不写作法，只保留作图痕迹)，并用含m 的代数式直接表示FNAC的值．图11－S －7类型三 作垂直证相似7．如图11－S －8，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 为边AB 的中点，M ，N 分别为边AC ，CB 上的点，且DM ⊥DN .(1)求证：DM DN ＝BCAC；(2)若BC ＝6，AC ＝8, CM ＝5，直接写出CN 的长．图11－S －88．如图11－S －9，在△ABC 中，D 是BC 边上的点(不与点B ，C 重合)，连接AD . 问题引入：(1)如图①，当D 是BC 边的中点时，S △ABD ∶S △ABC ＝________；当D 是BC 边上任意一点时，S △ABD ∶S △ABC ＝________(用图中已有线段表示)．探索研究：(2)如图②，在△ABC 中，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连接BO ，CO ，试猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．拓展应用：(3)如图③，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连接BO 并延长交AC 于点F ，连接CO 并延长交AB 于点E .试猜想OD AD ＋OE CE ＋OFBF的值，并说明理由．图11－S －99．如图11－S －10，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别是AC ，AB 边上的点，连接EF .(1)如图①，若将直角三角形纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，则AE ＝________；(2)如图②，若将直角三角形纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且MF ∥CA ，求EF 的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线相交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AFBF的值．图11－S －10详解详析1．解：如图，过点O 作OM ∥BC 交AB 于点M .∵O 是AC 的中点，OM ∥BC ， ∴M 是AB 的中点，即MB ＝12a ，∴OM 是△ABC 的中位线，OM ＝12BC ＝12b .∵OM ∥BC ， ∴△BEF ∽△MEO ， ∴BF MO ＝BEME， 即BF 12b ＝c a 2＋c ，∴BF ＝bc a ＋2c . 2．证明：如图，过点D 作DG ∥CF 交AB 于点G .∵DG ∥CF ，D 为BC 的中点， ∴G 为BF 的中点，FG ＝BG ＝12BF .∵EF ∥DG ，∴AE DE ＝AF GF ＝AF 12BF ＝2AFBF.3．解：(1)甲同学的想法：如图①，过点F 作FG ∥AB 交AC 于点G ，∴△AED ∽△GEF ，∴AD GF ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴AD ＝GF . ∵FG ∥AB ，∴△CGF ∽△CAB ，∴GF AB ＝CFCB .∵CF BF ＝12，∴CF CB ＝13，∴AD AB ＝GF AB ＝CF CB ＝13. 乙同学的想法：如图②，过点F 作FG ∥AC 交AB 于点G ，∴AD AG ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴AD ＝AG . ∵FG ∥AC ，∴AG AB ＝CFCB .∵CF BF ＝12，∴CF CB ＝13，∴AD AB ＝AG AB ＝CF CB ＝13. 丙同学的想法：如图③，过点D 作DG ∥BC 交CA 的延长线于点G ，∴∠C ＝∠G ，∠CFE ＝∠GDE ，∴△GDE ∽△CFE ，∴GD CF ＝ED EF .∵E 为DF 的中点， ∴ED ＝EF ， ∴GD ＝CF .∵DG ∥BC ，∴∠C ＝∠G ，∠B ＝∠ADG ， ∴△ADG ∽△ABC ， ∴AD AB ＝DG BC .∵CF BF ＝12，∴CF BC ＝13.∴AD AB ＝DG BC ＝CF BC ＝13. (2)如图④，过点D 作DG ∥BC 交CA 的延长线于点G ，∴∠C ＝∠G ，∠CFE ＝∠GDE ，∴△GDE ∽△CFE ，∴GD CF ＝EDEF .∵DEEF＝a ，∴ED ＝aEF ， ∴DG ＝aCF .∵DG ∥BC ，∴∠C ＝∠G ，∠B ＝∠ADG ， ∴△ADG ∽△ABC ， ∴AD AB ＝DG BC. ∵CF BF ＝12，∴CF BC ＝13，即BC ＝3CF . ∴AD AB ＝DG BC ＝aCF 3CF ＝a 3. 4．解：取CF 的中点G ，连接BG . ∵B 为AC 的中点，∴BG AF ＝12，且BG ∥AF .又E 为BD 的中点，∴F 为DG 的中点， ∴EF BG ＝12，∴EF AF ＝14， ∴AF AE ＝43. 5．解：(1)当n ＝1时，CD ＝DA . ∵△ABC 是等边三角形，∴BD ⊥AC ，∠BAC ＝60°，∴∠ADM ＝90°. 又∵∠AMD ＝60°， ∴∠MAD ＝30°，∴∠BAE ＝∠BAC －∠MAD ＝30°，即∠BAE ＝∠EAD ，∴AE 为△ABC 的中线，∴BE CE＝1. 在△AMD 中，DM ＝12AM (30°角所对的直角边等于斜边的一半)． ∵∠BAM ＝∠ABM ＝30°，∴AM ＝BM ，∴BM DM＝2. (2)证明：∵∠AMD ＝∠ABD ＋∠BAE ＝60°，∠CAE ＋∠BAE ＝60°，∴∠ABD ＝∠CAE .又∵BA ＝AC ，∠BAD ＝∠ACE ＝60°，∴△BAD ≌△ACE (ASA)，∴AD ＝CE ，∴CD ＝BE .如图，过点C 作CF ∥BD 交AE 的延长线于点F ，∴FC BM ＝CE BE ＝AD CD ＝12①，DM FC ＝AD AC ＝13②， 由①×②得DM BM ＝16，∴BM ＝6DM . (3)∵M 为BD 的中点，∴BM ＝MD .∵△BAD ≌△ACE ，∴AD ＝CE ，∴CD ＝BE .∵△AMD ∽△ACE ，△BME ∽△BCD ，∴AD AE ＝MD CE ，BM BC ＝ME CD， ∴AD ＝MD ·AE CE ③，CD ＝BC ·ME BM④，由③×④得CD＝5－12DA，∴n＝5－12.6．解：(1)思路1：如图①，过点D作DG∥BC，交AC于点G.∵AB＝BC，∴∠A＝∠BCA.∵DG∥BC，∴∠DGA＝∠BCA，∠DGF＝∠ECF，∴∠A＝∠DGA，∴DA＝DG.∵AD＝CE，∴DG＝CE.又∵∠DFG＝∠EFC，∴△DFG≌△EFC，∴DF＝EF.思路2：如图②，过点E作EH∥AB，交AC的延长线于点H.∵AB＝BC，∴∠A＝∠BCA.∵EH∥AB，∴∠A＝∠H.∵∠ECH＝∠BCA，∴∠H＝∠ECH，∴CE＝EH.∵AD＝CE，∴AD＝EH.又∵∠AFD＝∠HFE，∴△DF A≌△EFH，∴DF＝EF.(2)结论：MF＝AM＋FC.证明：如图③，由思路1可知：DA＝DG，△DFG≌△EFC，∴FG＝FC.∵DM⊥AG，∴AM＝GM.∵MF＝FG＋GM，∴MF＝AM＋FC.(3)AD的垂直平分线交AC于点N，如图④所示．连接DN，过点D作DG∥CE交AC于点G.设DG＝a，BC＝b，则AB＝AC＝mb，AD ＝AG＝ma.∵∠ABC＝2∠BAC，设∠BAC＝x，则∠B＝∠ACB＝2x，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°.∵NA＝ND，∴∠A＝∠ADN＝36°.∵∠ADG＝∠B＝72°，∴∠NDG＝∠A＝36°.又∵∠DGN＝∠AGD，∴△GDN∽△GAD，∴DG2＝GN·GA.易知DG＝DN＝AN＝a，∴a2＝(ma－a)·ma，两边同除以a，得m2a－ma－a＝0.∵DG∥CE，∴DG∶CE＝FG∶FC＝DG∶DA＝1∶m.∵CG＝mb－ma，∴FG＝1m＋1·m(b－a)，∴FN＝GN＋FG＝ma－a＋1m＋1m(b－a)＝m2a－a＋mb－mam＋1＝mbm＋1，∴FNAC＝mbm＋1mb＝1m＋1.7．解：(1)证明：如图，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q，∴∠DQM ＝∠DPN ＝90°.又∵∠C ＝90°，∴四边形CPDQ 为矩形，∴∠QDP ＝90°，即∠MDQ ＋∠MDP ＝90°. ∵DM ⊥DN ，∴∠MDN ＝90°，即∠MDP ＋∠NDP ＝90°，∴∠MDQ ＝∠NDP ，∴△DMQ ∽△DNP ，∴DM DN ＝DQ DP. ∵D 为AB 的中点，DQ ∥BC ，DP ∥AC ，∴DQ ＝12BC ，DP ＝12AC ，∴DQ DP ＝BC AC ，∴DM DN＝BC AC. (2)由题意得AQ ＝CQ ＝4，MQ ＝CM －CQ ＝5－4＝1，DQ ＝12BC ＝3，DP ＝12AC ＝4. ∵△DMQ ∽△DNP ，∴MQ NP ＝DQ DP ，∴NP ＝43. 又CP ＝PB ＝3，∴CN ＝3－43＝53. 8．解：(1)1∶2 BD ∶BC(2)猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于OD ∶AD .理由：如图，分别过点O ，A 作BC 的垂线OE ，AF ，垂足分别为E ，F ，∴OE ∥AF ，∴OD ∶AD ＝OE ∶AF .∵S △BOC ＝12BC ·OE ，S △ABC ＝12BC ·AF ， ∴S △BOC ∶S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫12BC ·OE ∶⎝⎛⎭⎫12BC ·AF ＝OE ∶AF ＝OD ∶AD .(3)猜想OD AD ＋OE CE ＋OF BF的值是1.理由如下：由(2)可知：OD AD ＋OE CE ＋OF BF ＝S △BOC S △ABC ＋S △BOA S △ABC ＋S △AOC S △ABC ＝S △BOC ＋S △BOA ＋S △AOC S △ABC ＝S △ABC S △ABC＝1. 9．解：(1)∵将△ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S △ABC ＝4S △AEF .在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5.∵∠EAF ＝∠BAC ，∴Rt △AEF ∽Rt △ABC ，∴S △AEF S △ABC ＝(AE AB)2，即(AE 5)2＝14，∴AE ＝2.5. (2)连接AM 交EF 于点O ，如图①，∵将△ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，∴AE ＝EM ，AF ＝MF ，∠AFE ＝∠MFE .∵MF ∥CA ，∴∠AEF ＝∠MFE ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AE ＝AF ，∴AE ＝EM ＝MF ＝AF ，∴四边形AEMF 为菱形．设AE ＝x ，则EM ＝x ，CE ＝4－x .∵四边形AEMF 为菱形，∴EM ∥AB ，∴△CME ∽△CBA ，∴CM CB ＝CE CA ＝EM AB， 即CM 3＝4－x 4＝x 5，解得x ＝209，CM ＝43. 在Rt △ACM 中，AM ＝AC 2＋CM 2＝4103.∵S 菱形AEMF ＝12EF ·AM ＝AE ·CM ， ∴EF ＝2×43×2094103＝4109. (3)如图②，过点F 作FH ⊥BC 于点H ，∵EC ∥FH ，∴△NCE ∽△NHF ，∴CN ∶NH ＝CE ∶FH ，即1∶NH ＝47∶FH ，∴FH ∶NH ＝4∶7. 设FH ＝4x ，NH ＝7x ，则CH ＝7x －1，BH ＝3－(7x －1)＝4－7x .∵FH ∥AC ，∴△BFH ∽△BAC ，∴BH ∶BC ＝FH ∶AC ，即(4－7x )∶3＝4x ∶4，解得x＝0.4，∴FH ＝4x ＝85，BH ＝4－7x ＝65. 在Rt △BFH 中，BF ＝（65）2＋（85）2＝2， ∴AF ＝AB －BF ＝5－2＝3，∴AF BF ＝32.。

北师大版数学九年级上册解答题专题训练50题含答案1．如图，点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边作一个菱形AEFG ，且菱形AEFG ∽菱形ABCD ，连接,EB GD ，求证：GD EB =．【答案】证明见解析．【分析】由相似多边形的性质可得∠DAB=∠EAG ，根据角的和差关系可得∠EAB=∠GAD ，根据菱形的性质可得AE=AG ，AB=AD ，利用SAS 可证明∠EAB∠∠GAD ，即可证明GD=EB ．【详解】∠菱形AEFG ∽菱形ABCD ，∠∠DAB=∠EAG，∠∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB ，即∠EAB=∠GAD ，∠四边形ABCD 、AEFG 都是菱形，∠AE=AG ，AB=AD ，在∠EAB 和∠GAD 中AE AG EAB GAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠EAB∠∠GAD ，∠GD=EB ．【点睛】本题考查相似多边形的性质及全等三角形的判定与性质，根据多边形的性质得出∠DAB=∠EAG 是解题关键．52．如图，点O 是△ABC 内一点，连结OB 、OC ，并将AB 、OB 、OC 、AC 的中点D 、E 、F 、G 依次连结，得到四边形DEFG ．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．53．如图，一次函数y＝ax＋5的图象与y轴相交于点C，与反比例函数y＝kx的图象相交于点A(m，4)，B(2，1)，点D为OC中点，连接OA，OB，连接BD交OA于E．(1)求a ，k ，m 的值；(2)求直线OA 的方程；(3)求直线BD 的方程；(4)求△OBE 的面积． -OBE OBD ODE SS S =即可求得．1-=2OBE OBD ODE S S S ⨯＝【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，两条直线的交点，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．54．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，点F 是AE 上一点且B AFD ACD ∠=∠=∠，连接CF ．(1)求证：AD AB AF AE⋅=⋅；(2)求证：AFC ACB∠=∠．直接证明ADF AEB∽根据相似三角）的结论得出2=AC AF∽，即可得证．，证明AFC ACE=∠，DAF EAB∠ADF AEB∽，AD AF=，AE AB⋅=⋅；AD AB AF AE∠=∠，（2）∠B ACD△∽△，ADC ACBAC AD∽，∠AFC ACE∠=∠，AFC ACE∠=∠．即AFC ACB【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，题的关键．55．ABC 中，1AB AC ==，45BAC ∠=，将ABC 绕点A 按顺时针旋转α得到AEF ，连接BE ，CF ，它们交于D 点，①求证：BE CF =．②当120α=，求FCB ∠的度数．③当四边形ACDE 是菱形时，求BD 的长．37.5；③AE=AB ；∵ABC 绕点得到AEF ，EAF ∠=∠FAB +∠，即在AEB 和AFC 中，AE AF EAB FAC AB AC =∠=∠=，∴AEB AFC ≅，BE CF =；120，120，，30，，45BAC∠，67.5，-=；67.53037.5四边形ACDE是菱形，DE AE AC===，145，∴ABE为等腰直角三角形，=2BE AB=-BD BE【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．56．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．（1）求证：AG=CE；（2）求证：AG∠CE．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【详解】试题分析：（1）由ABCD、BEFG均为正方形，得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠CBE，从而得到∠ABG∠∠CBE，即可得到结论；（2）由∠ABG∠∠CBE，得出∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．试题解析：（1）∠四边形ABCD、BEFG均为正方形，∠AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，∠∠ABG=∠CBE，在∠ABG和∠CBE中，∠AB=CB，∠ABG=∠CBE，BG=BE，∠∠ABG∠∠CBE（SAS），∠AG=CE；（2）如图所示：∠∠ABG∠∠CBE，∠∠BAG=∠BCE，∠∠ABC=90°，∠∠BAG+∠AMB=90°，∠∠AMB=∠CMN，∠∠BCE+∠CMN=90°，∠∠CNM=90°，∠AG∠CE．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质．57．如图，在Rt∠ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，AB∠BD(1)求tan∠DAC的值.(2)若BD＝4，求S△ABC.1AC BC=⨯22258．把一根长80cm的绳子剪成两段，并把每段绳子围成一个正方形．要使这两个正方形的面积和等于2250cm．应该怎样剪？即剪成一段长60cm，一段长为20cm的两段即可．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系并表示出两个正方形的边长是关键．59．如图，在∠ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，点D在AB边上，∠CDE是等边三角形．（1）如图1，当点E在AB边上时，CE与BE有何数量关系，请说明理由；（2）如图2，当点E在∠ABC内时，猜想CE与BE的数量关系，并加以证明；（3）再另画一种情况，写出相应结论．（不用证明）【答案】（1）CE＝BE，理由详见解析；（2）CE＝BE，证明详见解析；（3）详见解析【分析】（1）证出∠BCE＝∠ABC，即可得出CE＝BE；（2）取AB的中点O，连接OC、OE，证∠ACD∠∠OCE（SAS），得出∠A＝∠COE，证出∠COE＝∠BOE，证∠COE∠∠BOE（SAS），即可得出CE＝BE；（3）当点E在∠ABC外时，CE＝BE成立；取AB的中点O，连接OC、OE，同（2）得∠ACD∠∠OCE（SAS），得出∠A＝∠COE＝60°，证出∠COE＝∠BOE，证∠COE∠∠BOE （SAS），即可得出CE＝BE．【详解】解：（1）CE＝BE，理由如下：∠∠CDE是等边三角形，∠∠ACE＝60°，∠∠ACB＝90°，∠∠BCE＝90°﹣60°＝30°，∠∠ABC＝30°，∠∠BCE＝∠ABC，∠CE＝BE；（2）CE＝BE，理由如下：取AB的中点O，连接OC、OE，如图2所示：∠∠A ＝∠COE ＝60°， ∠∠BOE ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠∠COE ＝∠BOE ，在∠COE 和∠BOE 中，OC OB COE BOE OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠COE ∠∠BOE （SAS ），∠CE ＝BE ．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．60．（1）已知234xy z ==，求23x y z+的值； （2）已知2x=3y=4z ，求23x y z +的值．61．（1）计算：2(2)2|--（2）已知2(3)4x -=，求x 的值． (2)2(3)x -=32x -=±解得5x =或【点睛】本题考查了根式的化简运算，二次根式的加减运算，利用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握和运用各运算法则是解决此类题的关键．62．用小正方体搭一个几何体,使从前面、上面看到的图形如图所示,这样的几何体需要小正方体最多几块最少几块?【答案】最多9块;最少7块.【详解】试题分析:从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状,从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数,从而算出总的个数.试题解析:由俯视图可得最底层有5个小正方体,由主视图可得第一列和第三列最多有4个小正方体,那么最多需要9个小正方体, 由俯视图可得最底层有5个小正方体, 由主视图可得第一列和第三列最少有2个小正方体, 那么最少需要7个小正方体,故答案为:最多9个和最少7个.点睛:本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力方面的考查,解决本题关键要掌握口诀:”俯视图打基础,正视图疯狂盖,左视图拆违章”就容易得到答案.63．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF ＝BD ，连接BF ．（1）求证：BD ＝CD ；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？并说明理由；（3）在（2）的条件下，如果矩形AFBD 是正方形，确定△ABC 的形状并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）当△ABC 满足：AB ＝AC 时，四边形AFBD 是矩形，见解析；（3）当矩形AFBD是正方形，△ABC 是等腰直角三角形，见解析【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE ＝∠DCE ，然后利用“角角边”证明△AEF 和△DEC 全等，根据全等三角形对应边相等可得AF ＝CD ，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD 是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB ＝90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB ＝AC ．（3）根据正方形的性质和等腰直角三角形的判定定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∠AF∠BC ，∠∠AFE ＝∠DCE ，∠E 是AD 的中点，∠AE ＝DE ，在△AEF 和△DEC 中，AFE DCE AEF DEC AE DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠AEF∠∠DEC （AAS ），∠AF ＝CD ，∠AF ＝BD ，∠DB ＝CD ；（2）当△ABC 满足：AB ＝AC 时，四边形AFBD 是矩形．理由如下：∠AF∠BD ，AF ＝BD ，∠四边形AFBD 是平行四边形，64．如图，一次函数y kx b =+与反比例函数4y x =的图象交于(),4A m 、()2,B n 两点，与坐标轴分别交于M 、N 两点．(1)求一次函数的解析式；(2)根据图象直接写出40kx b x+->中x 的取值范围； (3)求AOB 的面积．【答案】(1)y=-2x+6；(2) 0x <或12x <<；(3)3．【分析】（1）将点A 、点B 的坐标分别代入解析式即可求出m 、n 的值，从而求出两点坐标；（2）由图直接解答；（3）将∠AOB 的面积转化为S △AON -S △BON 的面积即可．65．解方程：（1）270x x-=（2）2310-+=x x66．某种商品标价500元/件，经过两次降价后售价为405元/件，并且两次降价的百分率相同．求这种商品每次降价的百分率． 【答案】这种商品每次降价的百分率是10%.【分析】设每次降价的百分率为x ，用含有x 的代数式表示两次降价后的售价，与已知变化后的售价是相等的，从而列方程求解即可.【详解】设商品每次降价的百分率为x ，根据题意，得()25001405x -=，解得10.110x ==%，2 1.9x =（不合题意，舍去）．答：这种商品每次降价的百分率是10%．【点睛】本题考查了一元二次方程的降低率问题，熟练掌握解题模型()21a x b -=是解题的关键.67．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC=10cm ，BC=6cm ，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点C 同时出发，沿边AB ，CB 向终点B 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2cm/s ，1cm/s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于16cm 2若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】2【分析】根据四边形APQC 的面积＝∠ABC 的面积−∠PBQ 的面积，列出方程，根据解的情况即可判断．【详解】解：∠∠B ＝90°，AC ＝10，BC ＝6，∠AB ＝8．∠BQ ＝6−x ，PB ＝8−2x ；假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于16cm 2，68．如图，已知菱形ABCD 中，分别以C 、D 为圆心，大于12CD 的长为半径作弧，两弧分别相交于M 、N 两点，直线MN 交CD 于点F ，交对角线AC 于点E ，连接BE 、DE ．（1）求证：BE CE =；（2）若72ABC ∠=︒，求ABE ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）18°．【分析】（1）根据作图可知直线MN 是线段CD 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得CE=DE ，根据菱形的性质，利用SAS 可证明BCE ∠DCE △，可得BE=DE ，即可得结论；（2）根据菱形及等腰三角形的性质可得BAC ACB ∠=∠=54°，根据BE CE =可得54EBC ACB ∠=∠=°，根据角的和差关系即可得答案．【详解】（1）由作图可知直线MN 是线段CD 的垂直平分线，∠CE DE =∠四边形ABCD 是菱形∠ACB ACD ∠=∠，BC CD =∠CE CE =∠BCE ∠DCE △∠BE DE =∠BE CE =（2）∠四边形ABCD 是菱形∠AB BC =∠BAC ACB ∠=∠，69．用指定方法解方程：（1）2x 2+4x ﹣3＝0（配方法解）（2）5x 2﹣8x ＝﹣2（公式法解） 11012，1012；（）根据配方法解方程的步骤求解即可；）根据公式法解方程的步骤求解即可.11012，1012；）整理得：5x 2﹣8x+2＝0，b ＝﹣8，c ＝270．如图，在四边形ABCD 中，AB //CD ，90ABC ∠=︒，13cm AD CD ==，12cm BC =，M 、N 是线段AB 、CD 上两动点，M 点从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿AB 方向运动，N 点从点D 出发，以每秒1cm 的速度沿DC 方向运动，M 、N 同时出发，同时停止，当M 运动到点B 时，M 、N 同时停止运动，设运动时间为t 秒．(1)求AB的长；(2)当t为何值时，四边形AMCN为平行四边形？(3)在M、N运动的过程中，是否存在四边形MBCN是矩形，若存在，请求出的t值；若不存在，请说明理由．371．解方程或不等式组（1）解方程：()()2323x x -=-；（2）解不等式组：12112x x -<⎧⎪⎨+≥⎪⎩．【答案】（1）13x =，25x =；（2）13x ≤< 【分析】(1)先移项再提取公因式即可. (2)分别解出各个不等式，再求出公共解即可. 【详解】（1）解：（x -3）（x -3-2）=0 x -3=0，x -5=0 13x =，25x =.（2）解：由∠得：3x < 由∠得：1x ≥∠原不等式组的解集13x ≤<【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程和方程组，解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程和方程组.72．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点B 的坐标为（1，0），顶点C 的坐标为（4，2），对角线AC ∥x 轴，边AB 所在直线y 1＝ax +b 与反比例函数y 2＝kx（k＜0）的图象交于A ，E 两点；（1）求y 1和y 2的函数解析式； （2）当y 1＞y 2时，求x 的取值范围；（3）点P 是x 轴上一动点，当△P AC 是以AC 为斜边的直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．73．对于平行线，我们有这样的结论：如图1，AB∠CD，AD，BC交于点O，则=．请利用该结论解答下面的问题：如图2，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．【答案】3【详解】试题分析: 根据PQ∠BC可得，进而得出，再解答即可．试题解析:解：过点C作CE∠AB交AD的延长线于E，则=，又BD=2DC，AD=2，∠DE=1，∠CE∠AB，∠∠E=∠BAD=75°，又∠CAD=30°，∠ACE=75°，∠AC=AE=3．74．先化简，再求值：222111a a a a a +⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，其中a 是方程2230x x +-=的解．75．如图，一次函数y ＝mx +2与x 轴、y 轴分别交于点A （﹣1，0）和点B ，与反比例函数y ＝kx的图象在第一象限内交于点C （1，c ）．(1)求m的值和反比例函数的表达式；(2)过x轴上的点D（a，0）作平行于y轴的直线l（a>1），分别与直线AB和双曲线y＝k交于点P、Q，且PQ＝2QD，求点D的坐标．x解得a1＝2，a2＝﹣3（舍去），∠D（2，0）．【点睛】本题考查一次函数，反比例函数的解析与图形，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．76．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度：y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：x≥时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；(1)在整改过程中，当3(2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？）解：3 4.5⨯=的反比例函数，该企业所排污水中硫化物的浓度可以在13.50>∴y 随x 的增大而减小，∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在【点睛】本题考查了反比例函数解析式的求法以及反比例函数图象性质，正确求出反比例函数解析式并且熟练掌握反比例函数以及有关性质．77．用适当的方法解下列方程 (1)()220x x x -+-=(2)((2x x x x =法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．78．已知关于x 的一元二次方程2250x mx m --+= (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根．(2)若该一元二次方程有一个根大于3，另一个根小于3，求m 的取值范围．(3)若12x x ，是该方程的两个根，且()()1211x x n --=，试判断动点()P m n ，所形成的图像是否经过()62，，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)4m >(3)动点()P m n ，所形成的图像经过()62，，理由见解析【分析】（1）直接利用一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）设该方程的两个实数根为12x x ，，则由根于系数的关系得到121225x x m x x m +==-，，再根据题意得到()()12330x x --<，由此建立关系m 的一元一次不等式，解不等式即可；（3）同（2）可以推出251m m n --+=，求出当6m =时，2n =即可得到结论． 【详解】（1）解：∠关于x 的一元二次方程为2250x mx m --+=， ∠()()()22242582044m m m m m ∆=---=-+=-+， ∠()240m -≥， ∠()2444m ∆=-+≥，∠该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设该方程的两个实数根为12x x ，， ∠121225x x m x x m +==-，，∠该一元二次方程有一个根大于3，另一个根小于3， ∠()()12330x x --<， ∠()1212390x x x x -++<， ∠25390m m --+<， 解得4m >；（3）解：动点()P m n ，所形成的图像经过()62，，理由如下： 同（2）得121225x x m x x m +==-，， ∠()()1211x x n --=， ∠()12121x x x x n -++=， ∠251m m n --+=， ∠4n m =-， 当6m =时，2n =，∠动点()P m n ，所形成的图像经过()62，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元一次方程，一次函数图象的性质，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． 79．问题背景：如图1，在四边形ABCD 中AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒，E 、F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连接AG ，先证明ABE ADG ≌△△，再证明AEF AGF △△≌，可得出结论，他的结论应是______．实际应用：如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD ，四周修有步行小径，且AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，在小径BC ，CD 上各修一凉亭E ，F ，在凉亭E 与F 之间有一池塘，不能直接到达，经测量得12EAF BAD ∠=∠，BE ＝10米，DF ＝15米，试求两凉亭之间的距离EF ．【答案】问题背景：EF ＝BE ＋FD ；实际应用：两凉亭之间的距离EF为25米【分析】（1）根据△ABE ∠∠ADG 可得BE =DG ，根据△AEF ∠∠AGF 得EF =GF ，进而求得结果；（2）延长CD 至H ，使DH =BE ，可证得△ADH ∠∠ABE ，进而证得△F AH ∠∠F AE ，进一步求得EF ．【详解】解：问题背景：∠∠ADC =90°，∠ADC +∠ADG =180°，∠∠ADG =90°，在△ABE 和△ADG 中，BE DG B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABE ∠∠ADG （SAS ），∠AE =AG ，∠BAE =∠DAG ，∠∠EAF =60°，∠BAD =120°，∠∠BAE +DAF =120°-60°=60°，∠∠GAF =∠DAG +∠DAF =∠BAE +∠DAF =60°=∠EAF ，在△AEF 和△AGF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠AEF ∠∠AGF （SAS ），∠EF =FG ，∠FG =DG +DF =BE +DF ，∠EF =BE +DF ，故答案为：EF =BE +DF ；实际应用：如图2，延长CD 至H ，使DH =BE ，连接AH ，∠∠B +∠ADC =180°，∠ADH +∠ADC =180°，∠∠ADH =∠B ，80．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF＝45°．（1）求证：EF＝BE+DF；（2）若DF＝4，EF＝10，求四边形ABCD的边长．【答案】（1）见解析；（2）12【分析】（1）延长CD到点E′使DE′＝BE，利用正方形的性质证明∠BAE∠∠DAE′，进而证明∠EAF∠∠E′AF（SAS），即可解决问题；（2）设正方形ABCD的边长为x，在Rt∠ECF中，CF＝x﹣4，CE＝x﹣6，利用勾股定理可得（x﹣4）2+（x﹣6）2＝100，求出x即可解决问题．【详解】（1）延长CD 到点E ′使DE ′＝BE，如图，∠四边形ABCD 为正方形，∠∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，∠ABE ＝∠ADE ′＝90°，在∠BAE 和∠DAE ′中，90AB ADE ABE ADE BE DE ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=''⎩'，∠∠BAE ∠∠DAE ′（SAS ），∠AE ＝AE ′，∠BAE ＝∠DAE ′，∠∠EAF ＝45°，∠BAD ＝90°，∠∠BAE +∠DAF ＝45°，∠∠DAE ′+∠DAF ＝45°，∠∠F AE ′＝45°，在∠EAF 和∠E ′AF 中，45AE AE EAF E AF AF AF ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪='⎩'，∠∠EAF ∠∠E ′AF （SAS ），∠EF ＝E ′F ，∠E ′F ＝DF +DE ′，E ′D ＝BE ，∠EF ＝BE +DF ；（2）设正方形ABCD 的边长为x ，则CF ＝x ﹣4，∠BE =EF −DF =10−4=6，∠CE ＝x ﹣6，在Rt ∠ECF 中，由勾股定理得：（x ﹣4）2+（x ﹣6）2＝100，整理得，x 2﹣10x ﹣24＝0，解得x＝12 或x=﹣2（舍去），∠正方形的边长为12．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的解法等知识，第（1）问是典型的证线段的和差问题，常常有两种证法：截长法与补短法，本题用到补短法，因此关键是作适当的辅助线并证三角形全等，这也是难点所在；第（2）问把线段关系归结到Rt∠ECF中，用勾股定理建立方程解决．81．如图∠，四边形ABCD是边长为4的正方形，M是正方形对角线BD（不含B、D 两个端点）上任意一点，将∠BAM绕点B逆时针旋转60°得到∠BEN，连接EA、MN；P 是AD的中点，连接PM．（1）AM+PM的最小值等于；（2）求证：∠BNM是等边三角形；（3）如图∠，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，若点M使得AM+BM+CM的值最小，求M点的坐标．四边形P 是AD PA PD ∴=PC DP ∴=BA BC =ABM ∴∆≅AM CM ∴=AM PM ∴+PM CM PC +，25AM PM ∴+，AM PM ∴+的最小值为故答案为：25．）证明：由旋转的性质可知60︒，BMN ∆是等边三角形，BM MN =∴AM BM ∴+EN NM MC EC +，E ∴，N ，，C 共线时，AB BE =，ABE ∠6030EBP ∴∠=︒=︒，12EP BE ∴=，3PB =(4,0) C，设直线EC解得k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩82．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB 上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°．（1）当DF∠AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；（2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．)232x；（的长，再由三角形的中位线定理求出的长，由锐角三角函数的定义即可求出，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出的表达式，再由相似三角形的判定定理求出∠HDE∠∠3283．如图，正方形ABCD和正方形OPEF中，边AD与边OP重合，8AB=，1 4OF AB=，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且45CNM︒∠=.将正方形OPEF以每秒2个单位的速度向右平移，当点F与点B重合时，停止平移．设平移时间为t秒.(1)请求出t的取值范围；(2)猜想：正方形OPEF的平移过程中，OE与NM的位置关系．并说明理由．(3)连结DE、BE．当BDE∆的面积等于7时，试求出正方形OPEF的平移时间t的值．备用图84．数学活动课上，励志学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD=120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．（1）初步尝试如图1，若AD=AB，求证：∠∠BCE∠∠ACF，∠AE+AF=AC；（2）类比发现如图2，若AD=2AB，过点C作CH∠AD于点H，求证：AE=2FH；在证明这道题时，励志学习小组成员小颖同学进行如下书写，请你将此证明过程补充完整，证明:设DH=x，由由题意，CD=2x，Array∴AD=2AB=4x，∴AH=AD ﹣DH=3x ，∴CH∴AD ，，（3）深入探究在（2）的条件下，励志学习小组成员小漫同学探究发现2AE AF +=，试判断小漫同学的结论是否正确，并说明理由【答案】（1）∠见解析，∠见解析；（2）见解析；（3）正确【详解】（1）先证△ABC ，△ACD 都是等边三角形，再证△BCE 和△ACF 全等即可； （2）先证△ACE ∠∠HCF ，再利用相似三角形的性质即可得出答案；（3）利用（2）中证得的结论利用等量代换即可得出答案.解：（1）∠∠四边形ABCD 是平行四边形，∠BAD =120°，∠∠D =∠B =60°，∠AD =AB ，∠∠ABC ，△ACD 都是等边三角形，∠∠B =∠CAD =60°，∠ACB =60°，BC =AC ，∠∠ECF =60°，∠∠BCE +∠ACE =∠ACF +∠ACE =60°，∠∠BCE =∠ACF ，在△BCE 和△ACF 中，B CAF BC ACBCE ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠BCE ∠∠ACF ．∠∠∠BCE ∠∠ACF ，85．如图，在ABC ∆中，90A ∠=，3AB =，4AC =，点,M Q 分别是边,AB BC 上的动点（点M 不与,A B 重合），且MQ BC ⊥，过点M 作BC 的平行线MN ，交AC 于点N ，连接NQ ，设BQ 为x ．（1）试说明不论x 为何值时，总有QBM ∆∠ABC ∆；（2）是否存在一点Q ，使得四边形BMNQ 为平行四边形，试说明理由；（3）当x 为何值时，四边形BMNQ 的面积最大，并求出最大值．86．如图，ABC为正三角形，2AB=，AD为ABC的BC边上中线，点P为中线AD 上一动点，连接CP，取CP的中点F，将线段CF以点C为旋转中心，逆时针旋转60︒，得到线段CE，连接AE，DE．（1）如图1，若AP CP =，求CED ∠；（2）在点P 运动过程中，探究直线DE 与AB 的位置关系，请就图2给出证明； （3）若将题目中“点P 在中线AD 上运动”改为“点P 为射线DA 上一动点”，其他条件不变，在点P 运动过程中，线段AE 是否存在最小值？若存在，说明理由并求出AE 的最小值；若不存在，请说明理由． ∠ABC 为正三角形，°，60=︒，BCF -∠∠ABC 是正三角形，12CAD ∠=AP CP =，ACP ∠=∠180APC ∠=∠ABC 是正三角形，30CAD =︒2AB =，12==BD AB 1111,3012DE AB BDE BE AE AB ⊥∠∴∠=∴=∴=∠AE 的最小值为87．在学完菱形后，某数学兴趣小组尝试利用手中的数学工具一三角板和圆规作出一个内角为60°的菱形，下面是他们探究过程中的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：可以尝试利用含60°角的三角板和圆规作出菱形．如图，将三角极ABC 放置在图纸上、延长直角边BA ．以点C 为圆心、CA 长为半径作弧，以点A 为圆心、AC 长为半径作弧，交BA 的延长线于点E ，交上弧于点D ，连楼CD ，DE ，则四边形ACDE 即为所求作的菱形．小华：我可以在不利用三角板的前提下，作出符合要求的菱形，如图∠，作半圆O 及其直径AB 、分到以点OB 为圆心、大于12OB 的长为半径作弧，两弧交于点MN ，作直线MN 交半圆O 于点C ；以点C 为圆心、OC 长为半径作弧，交半圆O 于点D ，连接AD ，CD ，CO ，则四边形AOCD 即为所求作的菱形．任务：(1)小明的做法中，判断四边形ACDE 是菱形的依据可能是______（填序号） ∠四条边都相等的四边形是菱形 ∠对角线互相垂直的四边形是菱形∠有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∠对角线互相垂直的平行四边形是菱形(2)你认为小华作出的四边形AOCD 是有一个角为60°度的菱形吗？请判断并说理由．(3)如图∠，小齐利用含45°角的三角板ABC 和圆规构造了菱形ABMN ，已知点P 是线段MC 上的一个点，AB =10，当15PAB ∠=︒时，请直接写出点P 到直线MN 的距离．四条边均相等．（2）连接BC、OD，可证明∠OBC、∠OCD、∠OAD均为等边三角形，进而可得结论．（3）P点可能在线段MB或线段BC上，分两种情况讨论，分别过点P作MN的垂线，结合特殊直角三角形的三边比例关系可快速求解答案．(1)如图，连接AD，由题意得：AC=CD=AD，∠三角形ACD为等边三角形，∠∠CAD=60°，∠∠BAC=60°，∠∠EAD=60°，∠AD=AE，∠∠ADE为等边三角形，∠AD=AE=DE，∠四边形ACDE是菱形；此依据是四边都相等的四边形是菱形，故答案为：∠．(2)四边形AOCD是有一个角为60°度的菱形，理由如下：如图，连接BC、OD，由题意可得：MN为OB的中垂线，∠BC=OC，∠OB=OC，。

专题训练(一) 矩形中的折叠问题(本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做)1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为()A．12 B．10 C．8 D．62．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＝60°.现沿直线GE将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则图中与∠BEG相等的角的个数为()A．5个B．4个C．3个D．2个3．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于________．4．把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB ＝3 cm，BC＝5 cm，则重叠部分△DEF的面积是________cm2.5．如图，折叠矩形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC＝10 cm，AB＝8 cm，求：(1)FC的长；(2)EF的长．6．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF，且AB＝10 cm，AD＝8 cm，DE＝6 cm.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求BF的长；(3)求折痕AF长．7．将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m＞0)，点D(m，1)在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B 的对应点为点E.(1)当m＝3时，求点B的坐标和点E的坐标；(自己重新画图)(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．8．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10.(1)求矩形ABCD的周长；(2)E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．①求DE的长；②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．(3)M是AD上的动点，在DC上存在点N，使△MDN沿折痕MN折叠，点D落在BC边上点T处，求线段CT长度的最大值与最小值之和．参考答案1.B2.A3.56°4.5.15.(1)由题意可得AF＝AD＝10 cm，在Rt△ABF中，AB＝8 cm，AF＝10 cm，∴BF＝6 cm.∴FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm)．（2）由题意可得EF＝DE，可设EF的长为x，则在Rt△EFC中，(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，即EF的长为5 cm.6.(1)证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，∴AE＝AB＝10，AE2＝102＝100.又∵AD2＋DE2＝82＋62＝100，∴AD2＋DE2＝AE2.∴△ADE是直角三角形，且∠D＝90°.又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）设BF＝x，则EF＝BF＝x，EC＝CD－DE＝10－6＝4(cm)，FC＝BC－BF＝8－x，在Rt△EFC中，EC2＋FC2＝EF2，即42＋(8－x)2＝x2.解得x＝5.故BF＝5 cm.(3)在Rt△ABF中，由勾股定理得AB2＋BF2＝AF2，∵AB＝10 cm，BF＝5 cm，∴AF＝102＋52＝55(cm)．7．(1)如图，点B的坐标为(3，4)．∵AB＝BD＝3，∴△ABD是等腰直角三角形．∴∠BAD＝45°.∴∠DAE＝∠BAD＝45°.∴E在y轴上．AE＝AB＝BD＝3，∴四边形ABDE是正方形，OE＝1.∴点E的坐标为(0，1)．（2）点E能恰好落在x轴上．理由如下：∵四边形OABC为矩形，∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCO＝90°.由折叠的性质可得：DE＝BD＝OA－CD＝4－1＝3，AE＝AB＝OC＝m. 假设点E恰好落在x轴上，在Rt△CDE中，由勾股定理可得EC＝DE2－CD2＝32－12＝2 2.则有OE＝OC－CE＝m－2 2.在Rt△AOE中，OA2＋OE2＝AE2.即42＋(m－22)2＝m2.解得m＝3 2.8.(1)周长为2×(10＋8)＝36.(2)①∵四边形ABCD是矩形，由折叠对称性得AF＝AD＝10，FE＝DE.在Rt△ABF中，由勾股定理得BF＝6，∴FC ＝4.在Rt △ECF 中，42＋(8－DE)2＝EF 2，解得DE ＝5.②分三种情形讨论：若AP ＝AF ，∵AB ⊥PF ，∴PB ＝BF ＝6；若PF ＝AF ，则PB ＋6＝10.解得PB ＝4；若AP ＝PF ，在Rt △APB 中，AP 2＝PB 2＋AB 2，设PB ＝x ，则(x ＋6)2－x 2＝82.解得x ＝73. ∴PB ＝73. 综合得PB ＝6或4或73. （3）当点N 与C 重合时，CT 取最大值是8，当点M 与A 重合时，CT 取最小值为4，所以线段CT 长度的最大值与最小值之和为12.。

北师大版九年级数学上册期末数学试卷一、选择题1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．3（x+1）2＝2（x+1）B．C．ax2+bx+c＝0D．x2+2x＝x2﹣12．已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形（）A．一定不相似B．不一定相似C．一定相似D．不能确定3．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos B的值为（）A．B．C．D．4．对于抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，3）B．开口向上，顶点坐标（5，3）C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3）D．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）5．在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（）A．4.8米B．6.4米C．9.6米D．10米6．如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是（）A．2：1B．4：1C．：1D．1：7．如图，在△ABC中，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，下列四个判断中不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形C．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形8．已知关于x的函数y＝k（x+1）和y＝﹣（k≠0）它们在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．9．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD、BC上，且EF∥CD，G为边AD 延长线上一点，连接BG，则图中与△ABG相似的三角形有（）个．A．1B．2C．3D．410．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（实数m≠1）．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题：（每题3分，共15分）11．方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）＝0的一般形式是．12．在△ABC中，若，则△ABC是三角形．13．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC 的周长之比为2：3，AD＝4，则DB＝．14．如图，平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A．B分别在x轴、y轴的正半轴，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝的图象上．若AB＝2，则k的值为．15．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE＝1，F为AB上一点，AF＝2，P为AC上一点，则PF+PE的最小值为．三、解答题：（本题共有8小题，计55分）16．（8分）计算（1）（π﹣2014）0+2sin45°﹣|﹣2|+（2）tan30°﹣2tan45°•cos30°+4cos60°17．（6分）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．18．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连接BE、CF．求证：BE＝CF．19．（6分）举世瞩目的港珠澳大桥已于2018年10月24日正式通车，这座大桥是世界上最长的跨海大桥，被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”，车辆经过这座大桥收费站时，从已开放的4个收费通道A、B、C、D中可随机选择其中一个通过．（1）一辆车经过收费站时，选择A通道通过的概率是．（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．20．（7分）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）21．（7分）如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3．（1）求一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）写出不等式kx+b＞﹣的解集．22．（7分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．23．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c＝0与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；（2）判断△BCD的形状．2019-2020学年陕西省宝鸡市岐山县九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．3（x+1）2＝2（x+1）B．C．ax2+bx+c＝0D．x2+2x＝x2﹣1【解答】解：A、3（x+1）2＝2（x+1）化简得3x2+4x+1＝0，是一元二次方程，故正确；B、方程不是整式方程，故错误；C、若a＝0，则就不是一元二次方程，故错误；D、是一元一次方程，故错误．故选：A．2．已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形（）A．一定不相似B．不一定相似C．一定相似D．不能确定【解答】解：∵一个三角形的两个内角分别是40°，60°，∴第三个内角为80°，又∵另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，∴这两个三角形有两个内角相等，∴这两个三角形相似．故选：C．3．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos B的值为（）A．B．C．D．【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB＝4，BD＝4，∴cos∠B＝＝．故选：B．4．对于抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，3）B．开口向上，顶点坐标（5，3）C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3）D．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3，∴a＜0，∴开口向下，∴顶点坐标（5，3）．故选：A．5．在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（）A．4.8米B．6.4米C．9.6米D．10米【解答】解：根据同一时刻，列方程即，解方程得，大树高＝9.6米故选：C．6．如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是（）A．2：1B．4：1C．：1D．1：【解答】解：根据矩形相似，对应边的比相等得到：，即：，则b2＝∴＝2，∴＝：1矩形的长边与短边的比是：1．故选：C．7．如图，在△ABC中，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，下列四个判断中不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形C．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形【解答】解：因为DE∥CA，DF∥BA，所以四边形AEDF是平行四边形．故A正确．∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B正确．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形，故C正确；因为AD平分∠BAC，所以AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故D错误．故选：D．8．已知关于x的函数y＝k（x+1）和y＝﹣（k≠0）它们在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：当k＞0时，反比例函数的系数﹣k＜0，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、三象限，原题没有满足的图形；当k＜0时，反比例函数的系数﹣k＞0，所以反比例函数过一、三象限，一次函数过二、三、四象限．故选：A．9．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD、BC上，且EF∥CD，G为边AD 延长线上一点，连接BG，则图中与△ABG相似的三角形有（）个．A．1B．2C．3D．4【解答】解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，∴△DGM∽△AGB，△DGM∽△CBM，∵EF∥CD，∴△DGM∽△EGN，△CBM∽△FBN，∴△DGM∽△AGB∽△FBN∽△CBM∽△EGN．故选：D．10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（实数m≠1）．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧，∴ab＜0，由图象可知：c＞0，∴abc＜0，故①不正确；②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴b﹣a＞c，故②正确；③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故③正确；④∵x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，3a＜﹣c，故④不正确；⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正确．故②③⑤正确．故选：B．二、填空题：（每题3分，共15分）11．方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）＝0的一般形式是x2﹣5x+5＝0．【解答】解：由x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）＝0，得x2﹣6x+4+x+1＝0，整理，得x2﹣5x+5＝0．故答案是：x2﹣5x+5＝0．12．在△ABC中，若，则△ABC是等腰三角形．【解答】解：∵，∴sin A﹣＝0，tan B﹣＝0，∴sin A＝，tan B＝，∴∠A＝30°，∠B＝30°，∴△ABC是等腰三角形，故答案为：等腰．13．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC 的周长之比为2：3，AD＝4，则DB＝2．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵△ADE与△ABC的周长之比为2：3，∴AD：AB＝2：3，∵AD＝4，∴AB＝6，∴DB＝AB﹣AD＝2，故答案为：2．14．如图，平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A．B分别在x轴、y轴的正半轴，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝的图象上．若AB＝2，则k的值为4．【解答】解：作BD⊥AC于D，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB＝2，∴BD＝AD＝CD＝，∵AC⊥x轴，∴C（，2），把C（，2）代入y＝得k＝×＝4．故答案为4．15．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE＝1，F为AB上一点，AF＝2，P为AC上一点，则PF+PE的最小值为．【解答】解：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥CD于G，在Rt△E′FG中，GE′＝CD﹣BE﹣BF＝4﹣1﹣2＝1，GF＝4，所以E′F＝．故答案为：．三、解答题：（本题共有8小题，计55分）16．（8分）计算（1）（π﹣2014）0+2sin45°﹣|﹣2|+（2）tan30°﹣2tan45°•cos30°+4cos60°【解答】解：（1）原式＝1+2×﹣（2﹣）+2＝1+﹣2++2＝；（2）原式＝﹣2×1×+4×＝﹣+2＝﹣+2．17．（6分）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．【解答】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．（2）解：由已知可得，＝，∴＝，∴OD＝4m．∴灯泡的高为4m．18．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连接BE、CF．求证：BE＝CF．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝BC，∴∠A＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴BE＝CF．19．（6分）举世瞩目的港珠澳大桥已于2018年10月24日正式通车，这座大桥是世界上最长的跨海大桥，被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”，车辆经过这座大桥收费站时，从已开放的4个收费通道A、B、C、D中可随机选择其中一个通过．（1）一辆车经过收费站时，选择A 通道通过的概率是．（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．【解答】解答：（1）一辆车经过收费站时，选择A通道通过的概率是，故答案为：．（2）列表如下：A B C DAA AB AC ADAB BA BB BC BDC CA CB CC CDD DA DB DC DD由表可知，共有16种等可能结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，所以选择不同通道通过的概率为＝．20．（7分）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【解答】解：如图所示：连接MN，由题意可得：∠AMN＝90°，∠ANM＝30°，∠BNM ＝45°，AN＝8km，在直角△AMN中，MN＝AN•cos30°＝8×＝4（km）．在直角△BMN中，BM＝MN•tan45°＝4km≈6.9km．答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9km．21．（7分）如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3．（1）求一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）写出不等式kx+b＞﹣的解集．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3，∴3＝﹣，解得：x＝﹣4，y＝﹣＝﹣4，故B（﹣4，3），A（3，﹣4），把A，B点代入y＝kx+b得：，解得：，故直线解析式为：y＝﹣x﹣1；（2）y＝﹣x﹣1，当y＝0时，x＝﹣1，故C点坐标为：（﹣1，0），则△AOB的面积为：×1×3+×1×4＝；（3）不等式kx+b＞﹣的解集为：x＜﹣4或0＜x＜3．22．（7分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，∴∠AMB＝∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，∴AM＝＝13，AD＝12，∵F是AM的中点，∴AF＝AM＝6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE＝16.9，∴DE＝AE﹣AD＝4.9．23．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c＝0与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；（2）判断△BCD的形状．【解答】解：（1）设此抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），∵点C（0，﹣3）在该抛物线上，∴﹣3＝a（0+1）（0﹣3），得a＝1，∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，即该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），（2）∵B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4），∴BC2＝32+32＝18，CD2＝12+12＝2，BD2＝22+42＝20，∴BC2+CD2＝BD2∴△BCD是直角三角形.。

北师大版九年级数学上名校课堂期末测试（含答案）
期末测试(BJ)
(满分：150分，考试用时120分钟)
一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分)
1.已知一元二次方程x2－5x＋3＝0的两根为x1，x2，则x1x2＝()
A．5 B．－5 C．3 D．－3
2．下列几何体中，俯视图与主视图完全相同的几何体是()
A．圆锥B．球C．圆柱D．长方体
3．已知2是关于x的方程x2－3x＋a＝0的一个解，则a的值是()
A．5 B．4 C．3 D．2
4．(黔西南中考)如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AO＝4，BO＝3，则菱形的边长AB等于()
A．10 B.7 C．6 D．5
5．如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则可添加的条件是()
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
6．关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等实数根，则k的取值范围是() A．k>－1 B．k≥－1 C．k≠0 D．k>－1且k≠0 7．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是()。

周周练(1.1～1.2.1 ）(时间：45分钟 满分：100分）一、选择题(每小题4分，共32分）1．下列是矩形与菱形都具有的性质的是( ） A ．各角都相等 B ．各边都相等 C ．对角线相等 D ．有两条对称轴2．(青岛中考）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O 点，E 、F 分别是AB 、BC 边上的中点，连接EF.若EF ＝3，BD ＝4，则菱形ABCD 的周长为( ） A ．4 B.12C ．47D ．283．如图是一张矩形纸片ABCD ，AD ＝10 cm ，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE ＝6 cm ，则CD ＝( ） A ．4 cm B ．6 cm C ．8 cm D.10 cm4．下列说法中正确的是( ） A ．四边相等的四边形是菱形B ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形C ．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．对角线互相平分的四边形是菱形5．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转后得到矩形A ′BC ′D ′.若边A ′B 交线段CD 于H ，且BH ＝DH ，则DH 的值是( ）A.74 B ．8－2 3 C.254 D ．6 26．顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是( ） A ．平行四边形 B ．对角线相等的四边形 C ．矩形D ．对角线互相垂直的四边形7．如图，菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点(点P 不与点A 、C 重合 ）且PE ∥BC 交AB 于E ，PF ∥CD 交AD 于F ，则阴影部分的面积是( ） A ．2 B.52 C ．3 D.538．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，动点P 从点B 出发，沿着BC 匀速向终点C 运动，则线段EF 的值大小变化情况是( ） A ．一直增大 B ．一直减小 C ．先减小后增大 D ．先增大后减少二、填空题(每小题4分，共16分）9．(铜仁中考）已知一个菱形的对角线长分别为 6 cm 和8 cm ，则这个菱形的面积是________cm 2.10．(三明中考）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，添加一个条件使四边形ABCD 是菱形，那么所添加的条件可以是____________________________________(写出一个即可）．11．(毕节中考）将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半(木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为________度．12．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC 于点E，F，连接CE，已知△CDE的周长为24 cm，则矩形ABCD的周长是________cm.三、解答题(共52分）13．(12分）在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、AF.求证：AE＝AF.14．(12分）如图，在矩形ABCD中，以顶点B为圆心、边BC长为半径作弧，交AD边于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE于F.猜想线段BF与图中现有的哪一条线段相等？然后再加以证明．15．(13分）(雅安中考）如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB ⊥BC，BE＝CE，连接DE.(1）求证：△BDE≌△BCE；(2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由．16．(15分）如图，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，将△BCE沿BE翻折后点C恰好落在AD边上的点F处，将线段EF绕点F旋转，使点E落在BE上的点G处，连接CG. (1）证明：四边形CEFG是菱形；(2）若AB＝8，BC＝10，求四边形CEFG的面积；(3）试探究当线段AB与BC满足什么数量关系时，BG＝CG，请写出你的探究过程．参考答案1.D2.C3.A4.A5.C6.B7.B8.C9.24 10.AB ＝AD(答案不唯一） 11.30 12.4813.证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠B ＝∠D. ∴12BC ＝12CD. ∵E 、F 分别是BC 、CD 的中点， ∴BE ＝12BC ，DF ＝12CD.∴BE ＝DF.在△ABE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF(SAS ）． ∴AE ＝AF. 14.猜想：BF ＝AE.证明：∵四边形ABCD 是矩形． ∴∠A ＝90°，AD ∥BC. ∴∠AEB ＝∠FBC. ∵CF ⊥BE ，∴∠A ＝∠BFC ＝90°. ∵BC ＝BE ， ∴△BFC ≌△EAB. ∴BF ＝AE.15.(1）证明：∵△BAD 是由△BEC 绕点B 旋转60°而得， ∴DB ＝CB ，∠ABD ＝∠EBC ，∠ABE ＝60°.又∵AB ⊥BC.∴∠ABC ＝90°.∴∠DBE ＝∠CBE ＝30°. 在△BDE 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧DB ＝CB ，∠DBE ＝∠CBE ，BE ＝BE ，∴△BDE ≌△BCE.（2）四边形ABED 是菱形．由(1）得△BDE ≌△BCE.又∵△BAD 是由△BEC 旋转得到，∴△BAD ≌△BEC.∴BA ＝BE ，AD ＝ED ＝EC. 又∵BE ＝CE ，∴AB ＝BE ＝ED ＝DA. ∴四边形ABED 是菱形．16.(1）证明：根据翻折的方法可得EF ＝EC ，∠FEG ＝∠CEG . 又∵GE ＝GE ，∴△EFG ≌△ECG .∴FG ＝GC. ∵线段FG 是由EF 绕F 旋转得到的， ∴EF ＝FG.∴EF ＝EC ＝FG ＝GC. ∴四边形FGCE 是菱形． （2）连接FC 交GE 于O 点． 根据折叠可得BF ＝BC ＝10. ∵AB ＝8，∴在Rt △ABF 中，根据勾股定理得AF ＝BF 2－AB 2＝6. ∴FD ＝AD －AF ＝10－6＝4. 设EC ＝x ，则DE ＝8－x ，EF ＝x ，在Rt △FDE 中，FD 2＋DE 2＝EF 2，即42＋(8－x ）2＝x 2， 解得x ＝5.即CE ＝5.S 菱形CEFG ＝CE ·FD ＝5×4＝20. （3）当AB BC ＝32时，BG ＝CG ，理由：由折叠可得BF ＝BC ，∠FBE ＝∠CBE ，∵在Rt △ABF 中，AB BF ＝32，∴BF ＝2AF.∴∠ABF ＝30°.又∵∠ABC ＝90°，∴∠FBE ＝∠CBE ＝30°，EC ＝12BE.∵∠BCE ＝90°，∴∠BEC ＝60°. 又∵GC ＝CE ，∴△GCE 为等边三角形． ∴GE ＝CG ＝CE ＝12BE.∴G 为BE 的中点．∴CG ＝BG ＝12BE.。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为（1，-2），则下列选项中正确的是（）A. a>0，b>0，c>0B. a>0，b<0，c<0C. a<0，b>0，c<0D. a<0，b<0，c>0答案：B解析：二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，说明a>0；顶点坐标为（1，-2），则b=2a，c=a-2，因为a>0，所以b<0，c<0。

2. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是底边BC的中点，则下列选项中正确的是（）A. ∠B=∠CB. ∠B=∠C=∠AC. ∠B=∠C，∠A=∠DD. ∠B=∠C，∠A=∠D=∠B答案：A解析：等腰三角形ABC中，AB=AC，所以∠B=∠C。

3. 若关于x的一元二次方程x^2-4x+3=0的解为x1和x2，则下列选项中正确的是（）A. x1+x2=4B. x1+x2=-4C. x1x2=4D. x1x2=-4答案：A解析：根据一元二次方程的求根公式，x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，所以x1+x2=4。

4. 在平面直角坐标系中，点P（2，3）关于y轴的对称点坐标为（）A.（-2，3）B.（2，-3）C.（-2，-3）D.（2，3）答案：A解析：点P（2，3）关于y轴的对称点坐标为（-2，3）。

5. 若a，b，c是等差数列的连续三项，且a+b+c=0，则下列选项中正确的是（）A. b=0B. c=0C. a=0D. a+b=c答案：A解析：等差数列的连续三项a，b，c满足b=a+d，c=a+2d，所以a+b+c=3a+3d=0，解得a=-d，所以b=0。

二、填空题（每题5分，共25分）6. 若x^2-6x+9=0的解为x1和x2，则x1+x2的值为______。

答案：6解析：根据一元二次方程的求根公式，x1+x2=-b/a，所以x1+x2=6。

单元测试(三) 概率的进一步认识(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．将一枚质地均匀的硬币抛掷两次，则两次都是正面向上的概率为（ ） A.12B.13C.23D.142．(新疆中考)在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④.随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（ ） A.116B.316C.14D.5163．(玉林中考)一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ） A.12B.14C.16D.1124．(南通中考)在一个不透明的盒子中装有a 个除颜色外完全相同的球，这a 个球中只有3个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a 的值大约为（ ） A ．12 B ．15C ．18D ．215．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是（ ） A.14B.34C.13D.126．(台湾中考)有一箱子装有3张分别标示为4，5，6的号码牌，已知小武以每次取一张且取后不放回的方式，先后取出2张牌，组成一个两位数，取出第1张牌的号码为十位数，第2张牌的号码为个位数，若先后取出2张牌组成两位数的每一种结果发生的机会都相同，则组成的两位数为6的倍数的概率为（ ） A.16B.14C.13D.127．(临沂中考)从1，2，3，4中任取两个不同的数，其乘积大于4的概率是（ ） A.16B.13C.12D.238．如图，直线a ∥b ，直线c 与直线a 、b 都相交，从所标识的∠1、∠2、∠3、∠4、∠5这五个角中任意选取两个角，则所选取的两个角互为补角的概率是（ ） A.35B.25C.15D.239．某口袋中有20个球，其中白球x 个，绿球2x 个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜．则当x ＝________时，游戏对甲、乙双方公平（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．610．(大庆中考)如图，一个质地均匀的正四面体的四个面上依次标有数字－2，0，1，2，连续抛掷两次，朝下一面的数字分别是a ，b ，将其作为M 点的横、纵坐标，则点M(a ，b)落在以A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)为顶点的三角形内(包含边界)的概率是（ ）A.38B.716C.12D.916二、填空题(每小题4分，共20分)11．学校要从小明、小红与小华三人中随机选取两人作为升旗手，则小明和小红同时入选的概率是____．12．(扬州中考)色盲是伴X 染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下表：根据上表，估计在男性中，男性患色盲的概率为________(结果精确到0.01)．13．(襄阳中考)从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是________．14．(凉山中考)“服务社会，提升自我”凉山州某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的5名同学(三男两女)成立了“交通秩序维护”小分队．若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是________．15．如图，小明和小丁做游戏，分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明得2分，当所转到的数字之积为偶数时，小丁得1分，这个游戏公平吗？________. 三、解答题(共50分)16．(8分)一枚棋子放在边长为1个单位长度的正六边形ABCDEF的顶点A处，通过摸球来确定该棋子的走法，其规则是：在一只不透明的袋子中，装有3个标号分别为1、2、3的相同小球，搅匀后从中任意摸出1个，记下标号后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个，摸出的两个小球标号之和是几，棋子就沿边按顺时针方向走几个单位长度．棋子走到哪一点的可能性最大？求出棋子走到该点的概率．(用列表或画树状图的方法求解)17．(10分)(陕西中考)某中学要在全校学生中举办“中国梦·我的梦”主题演讲比赛，要求每班选一名代表参赛．九年级(1)班经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级第一，现在他们都想代表本班参赛．经班长与他们协商决定，用他们学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛(胜者参赛)．规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点数都是奇数，则小亮胜；向上一面的点数都是偶数，则小丽胜；否则，视为平局．若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止．如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子，那么请你解答下列问题：(1)小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？(2)该游戏是否公平？请用列表或树状图等方法说明理由．(骰子：六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6个小圆点的小正方体)18．(10分)一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有3、4、5、x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个小球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验，试验数据如表：解答下列问题：(1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x 的值可以取7吗？请用列表法或画树状图说明理由；如果x 的值不可以取7，请写出一个符合要求的x 值．19．(10分)(曲靖中考)为决定谁获得仅有的一张电影票，甲和乙设计了如下游戏：在三张完全相同的卡片上，分别写上字母A ，B ，B ，背面朝上，每次活动洗均匀． 甲说：我随机抽取一张，若抽到字母B ，电影票归我；乙说：我随机抽取一张后放回，再随机抽取一张，若两次抽取的字母相同电影票归我． (1)求甲获得电影票的概率；(2)求乙获得电影票的概率；(3)此游戏对谁有利？20．(12分)“五一”假期，黔西南州某公司组织部分员工分别到甲、乙、丙、丁四地考察，公司按定额购买了前往各地的车票，如图所示是用来制作完整的车票种类和相应数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：(1)若去丁地的车票占全部车票的10%，请求出去丁地的车票数量，并补全统计图(如图所示)；(2)若公司采用随机抽取的方式发车票，小胡先从所有的车票中随机抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同、均匀)，则员工小胡抽到去甲地的车票的概率是多少？(3)若有一张车票，小王和小李都想去，决定采取摸球的方式确定，具体规则：“每人从不透明袋子中摸出分别标有1、2、3、4的四个球中摸出一球(球除数字不同外完全相同)，并放回让另一人摸，若小王摸得的数字比小李的小，车票给小王，否则给小李．”试用列表法或画树状图的方法分析这个规则对双方是否公平？参考答案1．D 2.C 3.C 4.B 5.D 6.A 7.C 8.A 9.B 10.B 11.13 12.0.07 13.12 14.3515.公平 16.用列表法表示为由表格可知，两数和为4出现的次数最多，棋子走到E 点的可能性最大，P(走到E 点)＝39＝13. 17.(1)P ＝36＝12.(2)游戏公平．理由如下：由上表可知，共有36种等可能的结果，其中小亮、小丽获胜各有9种结果．∴P(小亮胜)＝936＝14，P(小丽胜)＝936＝14.∴该游戏是公平的． 18.(1)0.33 (2)不可以取7.∵当x ＝7时，列表如下(也可以画树状图)：∴两个小球上数字之和为9的概率是212＝16≠13，当x ＝5时，两个小球上数字之和为9的概率是13.(答案不唯一，也可以是4、6)．19.(1)P(甲获得电影票)＝23.(2)可能出现的结果如下(列表法)：共有9种等可能结果，其中两次抽取字母相同的结果有5种．∴P(乙获得电影票)＝59.(3)∵23＞59，∴此游戏对甲更有利． 20.(1)根据题意得：(20＋40＋30)÷(1－10%)＝100(张)，则去丁地车票数为100－(20＋40＋30)＝10(张)，补全图形，如图所示．(2)总票数为100张，去甲地票数为20张，则员工小胡抽到去甲地的车票的概率为20100＝15.(3)列表如下：所有等可能的情况数有16种，其中小王掷得数字比小李掷得的数字小的有6种：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．∴P(小王掷得的数字比小李小)＝616＝38，P(小王掷得的数字不小于小李)＝1－38＝58.∴这个规则不公平．。

单元测试(二) 一元二次方程(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列方程中，关于x的一元二次方程是( )A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B.1x2＋1x－2＝0C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝x2－12．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为( )A．(x＋1)2＝6 B．(x－1)2＝6C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝93．根据下面表格中的对应值：判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是( ) A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.264．解方程(x＋1)(x＋3)＝5较为合适的方法是( )A．直接开平方法B．配方法C．公式法或配方法D．分解因式法5．(湘西中考)下列方程中，没有实数根的是( )A．x2－4x＋4＝0 B．x2－2x＋5＝0C．x2－2x＝0 D．x2－2x－3＝06．下列说法不正确的是( )A．方程x2＝x有一根为0B．方程x2－1＝0的两根互为相反数C．方程(x－1)2－1＝0的两根互为相反数D．方程x2－x＋2＝0无实数根7．(烟台中考)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是( )A．－1或5 B．1 C．5 D．－18．对二次三项式x2－10x＋36，小聪同学认为：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11；小颖同学认为：可以取两个不同的值，使它的值等于11.你认为( )A．小聪对，小颖错B．小聪错，小颖对C．他们两人都对D．他们两人都错9．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为( )A．100×80－100x－80x＝7 644B．(100－x)(80－x)＋x2＝7 644C．(100－x)(80－x)＝7 644D．100x＋80x＝35610．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( )二、填空题(每小题4分，共20分)11．(柳州中考)若x＝1是一元二次方程x2＋2x＋m＝0的一个根，则m的值为______．12．若(m＋n)(m＋n＋5)＝6，则m＋n的值是______．13．一件工艺品进价100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得的利润为3 596，每件工艺品需降价______元．14．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是______．15．已知关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2<ab；③x21＋x22<a2＋b2.则正确结论的序号是______．(填上你认为正确的所有序号)三、解答题(共50分)16．(12分)解方程：(1)x2－4x－1＝0; (2)x2＋3x－2＝0；(3)2x2＋3x＋3＝0; (4)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.17．(8分)小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由．18．(8分)(南充中考)已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，p为实数．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)p为何值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明理由)19．(10分)观察下列一元二次方程，并回答问题：第1个方程：x2＋x＝0；第2个方程：x2－1＝0；第3个方程：x2－x－2＝0；第4个方程：x2－2x－3＝0；…(1)第2 016个方程是____________________；(2)直接写出第n个方程，并求出第n个方程的解；(3)说出这列一元二次方程的解的一个共同特点．20．(12分)(株洲中考)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c 分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．参考答案1．A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.C 7.D 8.D 9.C 10.B 11.－3 12.－6或1 13.6 14.3 15.①②16.(1)x 1＝5＋2，x 2＝－5＋2. (2)x 1＝－3＋172，x 2＝－3－172.(3)∵a ＝2，b ＝3，c ＝3，∴b 2－4ac ＝32－4×2×3＝9－24＝－15<0，∴原方程无实数根． (4)原方程可化为4x 2－4x ＋1＝3x 2＋2x －7，∴x 2－6x ＋8＝0.∴(x －3)2＝1.∴x －3＝±1.∴x 1＝2，x 2＝4.17.(1)设其中一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长为(10－x)cm.由题意，得x 2＋(10－x)2＝58.解得x 1＝3，x 2＝7.4×3＝12，4×7＝28.答：小林把绳子剪成12 cm 和28 cm 的两段．(2)假设能围成．由(1)得x 2＋(10－x)2＝48.化简得x 2－10x ＋26＝0.∵b 2－4ac ＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，∴此方程没有实数根．∴小峰的说法是对的．18.(1)证明：化简方程，得x 2－5x ＋(4－p 2)＝0.Δ＝(－5)2－4(4－p 2)＝9＋4p 2，∵p 为实数，p 2≥0，∴9＋4p 2＞0，即Δ＞0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)当p 为0，2，－2时，方程有整数解．19.(1)x 2－2 014x －2 015＝0 (2)第n 个方程是x 2－(n －2)x －(n －1)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝n －1.(3)这列一元二次方程的解的一个共同特点：有一根是－1.20.(1)△ABC 是等腰三角形．理由：∵x ＝－1是方程的根，∴(a ＋c)×(－1)2－2b ＋(a －c)＝0.∴a ＋c －2b ＋a －c ＝0.∴a －b ＝0.∴a ＝b.∴△ABC 是等腰三角形．(2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a ＋c)(a －c)＝0.∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0.∴a 2＝b 2＋c 2.∴△ABC 是直角三角形．(3)∵△ABC 是等边三角形，∴(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0可整理为2ax 2＋2ax ＝0.∴x 2＋x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－1.。

单元测试(一) 特殊平行四边形(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．在Rt△ABC中，CD是斜边AB边的中线，若AB＝8，则CD的长是( )A．6 B．5 C．4 D．32．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6 cm，则对角线的长为( )A．3.6 cm B．7.2 cmC．1.8 cm D．14.4 cm3．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－3，0)、B(0，2)、C(3，0)、D(0，－2)，则四边形ABCD是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形4．如果要证明□ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( )A．AB＝AD且AC⊥BD B．AB＝AD且AC＝BDC．∠A＝∠B且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分5．已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是( ) A．当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB＝AD，CB＝CD时，四边形ABCD是菱形C．当AB＝AD＝BC时，四边形ABCD是菱形D．当AC＝BD，AD＝AB时，四边形ABCD是正方形6．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( ) A．75°B．60°C．55°D．45°7．(临沂中考)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )A．AB＝BE B．DE⊥DCC ．∠ADB ＝90°D ．CE ⊥DE8．如图，菱形纸片ABCD 中，∠A ＝60°，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP(P 为AB 中点)所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE.则∠DEC 的大小为( )A ．78°B ．75°C ．60°D ．45°9．(丽水中考)如图，小红在作线段AB 的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A ，B 为圆心，大于线段AB 长度一半的长为半径画弧，相交于点C ，D ，则直线CD 即为所求，连接AC ，BC ，AD ，BD ，根据她的作图方法可知，四边形ADBC 一定是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．不确定10．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，DE ，BF 相交于点G ，连接BD ，CG .有下列结论：①∠BGD ＝120°；②BG ＋DG ＝CG ；③△BDF ≌△CGB ；④S △ABD ＝34AB 2.其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题(每小题4分，共20分)11．如图，菱形ABCD 的边长是2 cm ，E 是AB 的中点，且DE 丄AB ，则菱形ABCD 的面积为________cm 2.12．(赤峰中考)如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AEF，F 在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，∠DAF＝________．13．(宜宾中考)菱形的周长为20 cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线长度是______cm.14．(上海中考)已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝________度．15．(攀枝花中考)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A(10，0)，C(0，4)，D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为________________________________．三、解答题(共50分)16．(8分)如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86 cm，对角线长是13 cm，那么矩形的周长是多少？17．(8分)如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE＝AC，以AE 为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为92，求正方形的边长．18．(8分)(荆州中考)如图1，正方形ABCD的边AB，AD分别在等腰直角△AEF的腰AE，AF上，点C在△AEF内，则有DF＝BE(不必证明)．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α(0°＜α＜90°)后，连接BE，DF.请在图2中用实线补全图形，这时DF＝BE还成立吗？请说明理由．19．(12分)(黔南中考)如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF.(1)求证：△AED≌△CFD；(2)求证：四边形AECF是菱形．(3)若AD＝3，AE＝5，则菱形AECF的面积是多少？20．(14分)已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．(1)求证：△ABM≌△DCM；(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当AD∶AB＝________时，四边形MENF是正方形．参考答案1.C2.B3.B4.B5.C6.B7.B8.B9.B 10.C 11.23 12.20° 13.53 14.22.5 15.(2.5，4)或(3，4)或(2，4)或(8，4)16.∵△AOB 、△BOC 、△COD 和△AOD 四个小三角形的周长和为86 cm ，且AC ＝BD ＝13 cm ，∴AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝86－2(AC ＋BD)＝86－4³13＝34(cm)．即矩形ABCD 的周长是34 cm.17.设正方形的边长为x ，∵AC 为正方形ABCD 的对角线，∴AC ＝2x.∴S 菱形AEFC ＝AE ²CB ＝2x ²x ＝2x 2＝9 2.∴x 2＝9.∴x ＝±3.舍去x ＝－3，即正方形边长为3. 18.还成立．理由：∵四边形ABCD 是正方形，△AEF 是等腰直角三角形，∴AD ＝AB ，AF ＝AE ，∠FAE ＝∠DAB ＝90°.∴∠FAE －∠DAE ＝∠DAB －∠DAE ，即∠FAD ＝∠EAB. 在△ADF 与△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AE ，∠FAD ＝∠EAB ，AD ＝AB ，∴△ADF ≌△ABE(SAS)． ∴DF ＝BE.19.(1)证明：∵PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD. ∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED.在△AED 与△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠FCA ，AD ＝CD ，∠CFD ＝∠AED ，∴△AED ≌△CFD.（2）证明：∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF.∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝FA.∴EC ＝EA ＝FC ＝FA.∴四边形AECF 为菱形．（3）∵AD ＝3，AE ＝5，∴根据勾股定理得ED ＝4.∴EF ＝8，AC ＝6.∴S 菱形AECF ＝8³6÷2＝24.∴菱形AECF 的面积是24.20.(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠A ＝∠D ＝90°. 又∵M 是AD 的中点，∴AM ＝DM. 在△ABM 和△DCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠A ＝∠D ，AM ＝DM ，∴△ABM ≌△DCM(SAS)． （2）四边形MENF 是菱形．证明：∵E ，F ，N 分别是BM ，CM ，CB 的中点，∴NE ∥MF ，NE ＝MF.∴四边形MENF 是平行四边形．由(1)，得BM ＝CM ，∴ME ＝MF.∴四边形MENF 是菱形． （3）当AD ∶AB ＝2∶1时，四边形MENF 是正方形．理由：∵M 为AD 中点，∴AD ＝2AM.∵AD ∶AB ＝2∶1，∴AM ＝AB. ∵∠A ＝90°，∴∠ABM ＝∠AMB ＝45°.同理：∠DMC ＝45°，∴∠EMF ＝180°－45°－45°＝90°. ∵四边形MENF 是菱形， ∴菱形MENF 是正方形． 故答案为2∶1.。

名校课堂九年级上册数学答案一：[名校课堂九班级上册数学答案]九班级上名校课堂数学答案三九班级一模数学在你的学习生涯中已经落下了帷，很快就会迎来2021年高考。

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一、选择题（每题3分，共计30分）1.实数－8，－3，－5，0中最小的数是（）A.0B.－8C.－5D.－32.下列运算中，正确的是( )3．点 A(3，2)在双曲线y=上，则k的值为 ( )A、1B、 2C、3D、64．在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（）A、50°B、80°C、90°D、100°5．将△ABC围着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C．若∠A=40°,∠B′=110°，则∠BCA′的度数是（）.A、110°B、80°C、40°D、30°6．在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A、k＞1B、k＞0C、k≥1D、k＜17 抛物线y=(x-1)2+2与y轴交点坐标为( )A. (0,1)B. (0,2)C. (1,2)D. (0,3)8．下面说法正确的是（）A．圆上两点间的部分叫做弦B．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧C．圆周角度数等于圆心角度数的一半D．90度的角所对的弦是直径9．甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距动身地480km的某地，甲匀速行驶一段时间消失故障，停车检修后又连续行驶，图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程y(km)与甲车动身时间x(h)间的函数关系，以下结论中错误的有( )①乙车比甲车晚动身2h；②乙车的平均速度为60km／h；③甲车检修后的平均速度为l20km／h；④两车其次次相遇时，它们距动身地320km；(A)1个(B)2个(C)3个(D)4二、填空题 (每题3分，共30分)11．长城总长约为 6700 000米，用科学记数法表示为米．12．函数y＝的自变量x的取值范围是________________13. 计算：－=__________.14．把多项式x3－4x分解因式的结果为．15．如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是______________.16.不等式组的解集为______________.17. △ABC内接于⊙O，∠A=50°，则∠OBC的度数为_________.18. 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=2，其函数图象与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为（5,0），则另一个交点坐标为______19.在△ABC中，∠ABC=90°，点D在AC上，△ABD是以AB为腰的等腰三角形，若AB=15，BC=20，则CD的长为。

小专题(二) 特殊平行四边形的性质与判定【例】(邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．【思路点拨】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用勾股定理可求出AE、BE，进而求出AE、DE，即可求出菱形BFDE的面积．【方法归纳】证明平行四边形及特殊平行四边形时，通常要先看题中已知条件的特点，然后根据条件选择合适的判定方法加以证明．1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连接BE.求四边形AEBD的面积．2．如图，E，F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE＝CF.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若∠DAB＝60°，AD＝6，AE＝DE，求菱形BEDF的周长．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC 于点E，F，垂足为点O.(1)连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形；(2)求菱形AFCE的边长．4．E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G.求证：(1)四边形CFEG是矩形；(2)AE＝FG.5．(牡丹江中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB 边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．参考答案【例】．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD. 由翻折得BM ＝AB ，DN ＝DC ，∠A ＝∠EMB ，∠C ＝∠DNF ，∴BM ＝DN ，∠EMB ＝∠DNF ＝90°.∴BN ＝DM ，∠EMD ＝∠FNB ＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠EDM ＝∠FBN.∴△EDM ≌△FBN(ASA)．∴ED ＝BF.又∵DE ∥BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．（2）∵四边形BFDE 是菱形，∴∠EBD ＝∠FBD.∵∠ABE ＝∠EBD ，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝13×90°＝30°. ∴AE ＝12BE. 由勾股定理得AB ＝3AE.在Rt △ABE 中，AB ＝2，∴AE ＝233，BE ＝433. ∴ED ＝433. ∴AD ＝2 3.∴S △ABE ＝12AB ·AE ＝233，S 矩形ABCD ＝AB·AD ＝4 3. ∴S 菱形BFDE ＝43－2×233＝833. 针对训练1.∵AE ∥BC ，DE ∥AC ，∴四边形AEDC 是平行四边形．∴AE ＝CD.在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的高，∴∠ADB ＝90°，BD ＝CD.∴BD ＝AE.∴四边形AEBD 是矩形．在Rt △ADC 中，∠ADC ＝90°，AC ＝5，CD ＝12BC ＝3， ∴AD ＝52－32＝4.∴四边形AEBD 的面积为BD·AD ＝CD·AD ＝3×4＝12.2.(1)证明：连接BD ，交AC 于O.∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD.∵AE ＝CF ，∴OE ＝OF.∴四边形BEDF 是平行四边形．∵EF ⊥BD ，∴四边形BEDF 是菱形．（2）∵∠DAB ＝60°，∴∠DAE ＝30°，∠ADB ＝60°.∵AD ＝6，∴OD ＝12AD ＝3. ∵AE ＝DE ，∴∠DAE ＝∠ADE ，∠ADE ＝∠EDO ＝30°.在Rt △DEO 中，由勾股定理可得DE ＝23，∴菱形BEDF 的周长为4DE ＝8 3.3.(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC.∴∠EAO ＝∠FCO.∵EF 垂直平分AC ，∴OA ＝OC.在△AOE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△AOE ≌△COF(ASA)．∴OE ＝OF.∵OA ＝OC ，∴四边形AFCE 是平行四边形．∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 是菱形．（2）∵四边形AFCE 是菱形，∴AF ＝FC.设AF ＝x cm ，则CF ＝x cm ，BF ＝(8－x)cm ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°.∴在Rt △ABF 中，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x 2，解得x ＝5，即AF ＝5 cm.4.证明：(1)连接EC.∵四边形ABCD 是正方形，EF ⊥BC ，EG ⊥CD ， ∴∠GCF ＝∠CFE ＝∠CGE ＝90°.∴四边形EFCG 为矩形．（2）∵四边形EFCG 为矩形，∴FG ＝CE.又∵BD 为正方形ABCD 的对角线，∴∠ABE ＝∠CBE.在△ABE 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝BE ，∠ABE ＝∠CBE ，AB ＝BC ，∴△ABE ≌△CBE(SAS)．∴AE ＝EC.∴AE ＝FG.5.(1)证明：∵DE ⊥BC ，∴∠DFB ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠DFB.∴AC ∥DE.∵MN ∥AB ，即CE ∥AD ，∴四边形ADEC 是平行四边形．∴CE ＝AD.（2）四边形BECD 是菱形，理由：∵D 为AB 中点，∴AD ＝BD.∵CE ＝AD ，∴BD ＝CE.∵BD ∥CE ，∴四边形CDBE 是平行四边形．∵∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，∴CD ＝BD.∴四边形CDBE 是菱形．（3）当∠A ＝45°时，四边形CDBE 是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC. ∵D为AB中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.∵四边形CDBE是菱形，∴四边形CDBE是正方形，即当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第1单元菱形的性质与判定一、选择题（本大题共12小题，共36分）1.菱形不具备的性质（）A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.对角线互相垂直D.对角线一定相等2.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的周长是（）A.5B.20C.24D.323.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则图中全等的直角三角形共有()A.3对B.4对C.5对D.6对4.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AD,BD的中点,若EF=5,则菱形ABCD的周长为（）A.20B.30C.40D.505.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,AC=8,BD=6,点E是CD上一点,连接OE,若OE=CE,则OE的长是（）6.C.3D.4A.2B.527.已知菱形的周长为8,两邻角的度数比为1:2,则菱形的面积为（）A.83B.8C.43D.238.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,将△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△'''.当点'与点C重合时,点A与点'之间的距离为()A.6B.8C.10D.129.下列条件中,不能判定一个四边形是菱形的是()A.一组邻边相等的平行四边形B.一条对角线平分一组对角的四边形C.四条边都相等的四边形D.对角线互相垂直平分的四边形10.下列条件中,能判定▱ABCD是菱形的是（）A..=B.⊥.C.=D..⊥11.如图,下列四个条件中,能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A.∠=90∘B.=C.=.D.=.12.如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC沿边BC翻转,得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（）A.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.四条边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形13.用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是()A.一组邻边相等的四边形是菱形B.四边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形二、填空题（本大题共7小题，共21分）14.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥AD于点E,交BC于点F,则EF的长为.15.16.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E在线段BO上,连接AE,若CD=2BE,∠DAE=∠DEA,EO=1,则线段AE的长为.17.18.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠ABC=60∘,M为AD的中点,P为对角线BD上一动点,连接PA和PM,则PA+PM的最小值是。

小专题(十一) 角的计算(本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做)类型1直接计算1．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，求∠AOD.2．如图，点A，O，E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，求∠COB的度数．3．已知∠AOB＝40°，OD是∠BOC的平分线．(1)如图1，当∠AOB与∠BOC互补时，求∠COD的度数；4．如图，点O是直线AB上一点，∠EOF＝90°，OP平分∠AOE，OQ平分∠BOF，∠AOE＝130°，求∠POQ的度数．类型2方程思想5．如图，已知∠AOE 是平角，∠DOE ＝20°，OB 平分∠AOC ，且∠COD ∶∠BOC ＝2∶3，求∠BOC 的度数．6．如图，已知∠AOB ＝12∠BOC ，∠COD ＝∠AOD ＝3∠AOB ，求∠AOB 和∠COD 的度数．7.如图，点O为直线AB上一点，将直角三角板OCD的直角顶点放在点O处．已知∠AOC 的度数比∠BOD的度数的3倍多10度．(1)求∠BOD的度数；(2)若OE、OF分别平分∠BOD、∠BOC，求∠EOF的度数．(写出必要的推理过程)8．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD.(1)若∠BOD＝68°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；(2)若OF平分∠COE，∠BOF＝30°，求∠BOD的度数．类型3分类思想9．下面是小明做的一道题目以及他的解题过程：题目：在同一平面上，若∠BOA＝75°，∠BOC＝22°，求∠AOC的度数．解：根据题意可画图，∠AOC＝∠BOA－∠BOC＝75°－22°＝53°.如果你是老师，能判小明满分吗？若能，请说明理由，若不能，请将错误指出来，并给出你认为正确的解法．10．已知：如图，OC是∠AOB的平分线．(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数；(2)在(1)的条件下，∠EOC＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE的度数；(3)当∠AOB＝α时，∠EOC＝90°，直接写出∠AOE的度数．(用含α的代数式表示)11.如图，∠DOE＝50°，OD平分∠AOC，∠AOC＝60°，OE平分∠BOC.(1)用直尺、量角器画出射线OA，OB，OC的准确位置；(2)求∠BOC的度数，要求写出计算过程；(3)当∠DOE＝α，∠AOC＝2β时(其中0°<β<α，0°<α＋β<90°)，用含α，β的代数式表示∠BOC的度数．(直接写出结果即可)类型4角度的旋转12．已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.(1)如图1.①若∠AOC＝60°，求∠DOE的度数；②若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数(用含α的式子表示)；(2)将图1中的∠DOC绕点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．13.点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使∠BOC ＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处．(1)如图1，将三角板MON 的一边ON 与射线OB 重合时，求∠MOC 的度数；(2)如图2，将三角板MON 绕点O 逆时针旋转一定角度，此时OC 是∠MOB 的平分线，求∠BON 和∠CON 的度数；(3)将三角板MON 绕点O 逆时针旋转至图3时，∠NOC ＝14∠AOM ，求∠NOB 的度数．14．如图，在∠AOB 的内部作射线OC ，使∠AOC 与∠AOB 互补．将射线OA ，OC 同时绕点O 分别以每秒12°，每秒8°的速度按逆时针方向旋转，旋转后的射线OA ，OC 分别记为OM ，ON ，设旋转时间为t 秒．已知t ＜30，∠AOB ＝114°. (1)求∠AOC 的度数；(2)在旋转的过程中，当射线OM，ON重合时，求t的值；(3)在旋转的过程中，当∠COM与∠BON互余时，求t的值．15．(1)如图1，若∠AOC＝∠BOC＝90°，OE、OF分别平分∠AOC与∠BOC.求∠EOF的度数；(2)如图2，若∠AOC＝∠BOD＝80°，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC.求∠EOF的度数；(3)若∠AOC＝∠BOD＝α，将∠BOD绕点O旋转，使得射线OC与射线OD的夹角为β，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC.若α＋β≤180°，α＞β，则∠EOC＝________．(用含α与β的代数式表示)参考答案1．因为∠AOC ＝75°，∠BOC ＝30°，所以∠AOB ＝∠AOC －∠BOC ＝75°－30°＝45°.又因为∠BOD ＝75°，所以∠AOD ＝∠AOB ＋∠BOD ＝45°＋75°＝120°. 2.因为∠EOD ＝28°46′，OD 平分∠COE ， 所以∠COE ＝2∠EOD ＝2×28°46′＝57°32′.因为∠AOB ＝40°，所以∠COB ＝180°－∠AOB －∠COE ＝180°－40°－57°32′＝82°28′.3.(1)因为∠AOB 与∠BOC 互补，所以∠AOB ＋∠BOC ＝180°.所以∠BOC ＝180°－40°＝140°.因为OD 是∠BOC 的平分线，所以∠COD ＝12∠BOC ＝70°.(2)因为∠AOB 与∠BOC 互余，所以∠AOB ＋∠BOC ＝90°.所以∠BOC ＝90°－40°＝50°.因为OD 是∠BOC 的平分线，所以∠COD ＝12∠BOC ＝25°.4.因为点O 是直线AB 上一点，∠AOE ＝130°，所以∠BOE ＝180°－∠AOE ＝180°－130°＝50°.因为∠EOF ＝90°，所以∠BOF ＝∠EOF －∠BOE ＝40°.又因为OP 平分∠AOE ，OQ 平分∠BOF ，所以∠POE ＝12∠AOE ＝65°，∠BOQ ＝12∠BOF＝20°.所以∠POQ ＝∠POE ＋∠EOB ＋∠BOQ ＝135°.5.设∠COD ＝2x °，则∠BOC ＝3x °，因为OB 平分∠AOC ，所以∠AOB ＝3x °. 所以2x ＋3x ＋3x ＋20＝180.解得x ＝20.所以∠BOC ＝3×20°＝60°.6.设∠AOB ＝x °，则∠COD ＝∠AOD ＝3∠AOB ＝3x °.因为∠AOB ＝12∠BOC ，所以∠BOC＝2x °.因为∠BOC ＋∠COD ＋∠AOD ＋∠AOB ＝360°，所以2x ＋3x ＋3x ＋x ＝360.解得x ＝40. 所以∠AOB ＝40°，∠COD ＝120°.7.(1)设∠BOD ＝x °，因为∠AOC 的度数比∠BOD 的度数的3倍多10度，且∠COD ＝90°，所以x ＋(3x ＋10)＋90＝180.解得x ＝20，所以∠BOD ＝20°.(2)因为OE 、OF 分别平分∠BOD 、∠BOC ，所以∠BOE ＝12∠BOD ，∠BOF ＝12∠BOC ＝12(∠BOD ＋∠COD)．所以∠EOF ＝∠BOF －∠BOE ＝12(∠BOC －∠BOD)＝12∠COD ＝45°.8.(1)因为∠BOD ＝68°，OE 平分∠BOD ，所以∠DOE ＝12∠BOD ＝34°.因为∠DOF ＝90°，所以∠EOF ＝∠DOF －∠DOE ＝56°. (2)设∠BOD ＝x °，因为OE 平分∠BOD ，所以∠DOE ＝∠EOB ＝12∠BOD ＝12x °.所以∠EOC ＝180°－∠DOE ＝180°－x °2.因为∠EOF ＝∠EOB ＋∠BOF ，所以∠EOF ＝x °2＋30°. 因为OF 平分∠COE ，所以∠EOC ＝2∠EOF.所以180°－x °2＝2(x °2＋30°)．解得x ＝80.所以∠BOD ＝80°.9.小明不会得满分，他忽略了一种情况，正确解法：①如图1，∠AOC ＝∠BOA －∠BOC ＝75°－22°＝53°； ②如图2，∠AOC ＝∠BOA ＋∠BOC ＝75°＋22°＝97°. 所以∠AOC ＝97°.综上所述：∠AOC 的度数为53°或97°.10.(1)因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠AOC ＝12∠AOB.因为∠AOB ＝60°，所以∠AOC＝30°.(2)如图1，∠AOE ＝∠EOC ＋∠AOC ＝90°＋30°＝120°；如图2，∠AOE ＝∠EOC －∠AOC ＝90°－30°＝60°.(3)90°＋α2或90°－α2.11.(1)①当射线OA 在∠DOE 外部时，射线OA ，OB ，OC 的位置如图1所示； ②当射线OA 在∠DOE 内部时，射线OA ，OB ，OC 的位置如图2所示．(2)①当射线OA 在∠DOE 外部时，此时射线OC 在∠DOE 内部，射线OA ，OD ，OC ，OE ，OB 依次排列，如图1.因为OD 平分∠AOC ，∠AOC ＝60°，所以∠DOC ＝12∠AOC ＝30°.因为∠DOE ＝∠DOC ＋∠COE ，∠DOE ＝50°， 所以∠COE ＝∠DOE －∠DOC ＝50°－30°＝20°.因为OE 平分∠BOC ，所以∠BOC ＝2∠COE ＝2×20°＝40°；②当射线OA 在∠DOE 内部时，此时射线OC 在∠DOE 外部，射线OC ，OD ，OA ，OE ，OB 依次排列，如图2.因为OD 平分∠AOC ，∠AOC ＝60°，所以∠COD ＝12∠AOC ＝30°.因为∠DOE ＝50°，所以∠COE ＝∠COD ＋∠DOE ＝30°＋50°＝80°. 因为OE 平分∠BOC ，所以∠BOC ＝2∠COE ＝2×80°＝160°. (3)当射线OA 在∠DOE 外部时，∠BOC ＝2α－2β； 当射线OA 在∠DOE 内部时，∠BOC ＝2α＋2β.12.(1)①因为∠AOC ＝60°，所以∠BOC ＝180°－∠AOC ＝180°－60°＝120°. 因为OE 平分∠BOC ，所以∠COE ＝12∠BOC ＝12×120°＝60°.又因为∠COD ＝90°，所以∠DOE ＝∠COD －∠COE ＝90°－60°＝30°. ②∠DOE ＝90°－12(180°－α)＝90°－90°＋12α＝12α.(2)∠DOE ＝12∠AOC ，理由如下：因为∠BOC ＝180°－∠AOC ，OE 平分∠BOC ，所以∠COE ＝12∠BOC ＝12(180°－∠AOC)＝90°－12∠AOC.所以∠DOE ＝90°－∠COE ＝90°－(90°－12∠AOC)＝12∠AOC.13.(1)因为∠MON ＝90°，∠BOC ＝65°，所以∠MOC ＝∠MON －∠BOC ＝90°－65°＝25°.(2)因为∠BOC ＝65°，OC 是∠MOB 的平分线，所以∠MOB ＝2∠BOC ＝130°.所以∠BON ＝∠MOB －∠MON ＝130°－90°＝40°.所以∠CON ＝∠BOC －∠BON ＝65°－40°＝25°.(3)设∠AOM ＝4x ，则∠NOC ＝14∠AOM ＝x.因为∠AOM ＋∠MON ＋∠NOC ＋∠COB ＝180°，所以4x ＋90°＋x ＋65°＝180°. 解得x ＝5°.所以∠NOC ＝5°.所以∠NOB ＝∠NOC ＋∠BOC ＝70°. 14.(1)因为∠AOC 与∠AOB 互补，所以∠AOC ＋∠AOB ＝180°. 因为∠AOB ＝114°，所以∠AOC ＝180°－114°＝66°.(2)由题意得12t ＝8t ＋66.解得t ＝16.5.所以当t ＝16.5时，射线OM ，ON 重合．(3)当t ＜5.5时，射线OM 在∠AOC 内部射线ON 在∠BOC 内部，由题意得66－12t ＋48－8t ＝90，解得t ＝1.2；当t ＞6时，射线ON 在∠BOC 外部，射线OM 在∠AOC 外部，由题意得12t －66＋8t －48＝90，解得t ＝10.2.综上所述，当∠COM 与∠BON 互余时，t 的值为1.2或10.2. 15.(1)因为OE 平分∠AOC ，所以∠EOC ＝12∠AOC ＝12×90°＝45°.因为OF 平分∠BOC ，所以∠COF ＝12∠BOC ＝12×90°＝45°.所以∠EOF ＝∠EOC ＋∠COF ＝45°＋45°＝90°.(2)因为OE 平分∠AOD ，所以∠EOD ＝12∠AOD ＝12×(80°＋∠COD)＝40°＋12∠COD.因为OF 平分∠BOC ，所以∠COF ＝12∠BOC ＝12×(80°＋∠COD)＝40°＋12∠COD.因为∠COE ＝∠EOD －∠COD ＝40°＋12∠COD －∠COD ＝40°－12∠COD.所以∠EOF ＝∠COE ＋∠COF ＝40°－12∠COD ＋40°＋12∠COD ＝80°.(3)12α±12β。

小专题(十一) 利用“三数”在实际问题中作决策1．为庆祝中国共产党建党90周年，玉溪市举行了聂耳艺术周活动，某单位的合唱成绩如下表：若去掉一个最高分和最低分后，则余下数据的平均分是（）A．9.51分B．9.5分C．9.6分D．9.625分2．(天津中考)某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如下表所示：如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，根据四人各自的平均成绩，公司将录取（）A．甲B．乙C．丙D．丁3．在中国好声音选秀节目中，四位参赛选手的各项得分如下表，如果将专业素质、形象表面、人气指数这三项得分按3∶2∶1的比例确定最终得分，哪位选手最终得分最高进入下一轮比赛(每项按10分制)（）A．小赵B．小王C．小李D．小黄4.假期里小菲和小琳结伴去超市买水果，三次购买的草莓价格和数量如下表所示，从平均价格看，谁买的比较划算？（）A.一样划算B．小菲划算C．小琳划算D．无法比较5．为了考察某同学在一次测验中数学成绩是上等还是下等水平，应关注这次数学成绩的________．6．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋20双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：(1)求出这些尺码鞋的平均数、中位数和众数；(2)如果你是老板，去鞋厂进货时哪个尺码的鞋子可以多进一些？为什么？7．某公司有10名销售业务员，去年3月每人完成的销售额情况如下表：(1)求10名销售员销售额的平均数、中位数和众数；(2)为了调动员工积极性，公司准备采取超额有奖措施，请问把标准定为多少万元时最合适？参考答案1.B2.B3.D4.C5.中位数6.(1)这组数据的平均数是：x ＝(23.5×3＋24×4＋24.5×4＋25×7＋25.5＋26)÷20＝24.55，中位数是24.5，众数是25.(2)去鞋厂进货时25尺码型号的鞋子可以多进一些，原因是这组数据中的众数是25，故销售的女鞋中25尺码的鞋子卖得最好．7.(1)平均数为：110×(3×1＋4×3＋5×2＋6×1＋7×1＋8×1＋10×1)＝5.6(万元)；将这些数据按从小到大的顺序排列3，4，4，4，5，5，6，7，8，10，处于中间位置的两个数分别为5和5，故中位数为：5万元；该组数据中出现次数最多的是4，故众数为：4万元．(2)把标准定为5万元时最合适，这样多数人都能达到这个标准，又不至于让绝大多数人拿到奖金，如果把众数4万元作为标准则太低．。

北师大版数学九年级上册课本答案【篇一：北师版九年级数学上册第一章测试卷(含答案)】卷满分120分考试时间120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）1、下列各组图形中，是全等三角形的一组是（）a.底边长都为15cm的两个等腰三角形b.腰长都为15cm的两个等腰三角形d.边长为12cm的两个等边三角形2、等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为（）a.7b.3c.7或3d.53、一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）a.等腰三角形b.等边三角形c.直角三角形d.等腰直角三角形4、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（）a.有两个角是直角b.有两个角是钝角c.有两个角是锐角d.一个角是钝角，一个角是直角6、如图1-2，在一次强台风中一棵大树在离地面5m处折断倒下，倒a.10mb.15mc.25md.30mcba d 图1-1图1-27、下列命题①对顶角相等②如果三角形中有一个角是钝角，那么另外两个角是锐角③若两直线平行，则内错角相等④三边都相等的三角形是等边三角形。

其中逆命题正确的有（）a.①③b.②④c.①②d.③④8、如图1-3（1）在△abc中，d、e分别是ab,ac的中点，将△ade沿线段de向下折叠，得到图形1-3（2），下列关于图（2）的四个结论中，一定不成立的是（）c.△dba是等腰三角形d.de∥bce c 图1-3 b c （2）（1） aa.1b.2c.3d.4be aa c图1-4图1-5二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）11、已知三条不同的直线a,b,c在同一平面内，下列四个命题：①如果③如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c 其中属于真命题的是（填写所有真命题的序号）12、一个三角形三边之比为2:5:3，这个三角形的形状是13、把“同角的余交相等”改写成“如果??，那么??”的形式为cd=3，则ab的长度为15、如图1-7，p是正方形abcd内一点，将△abp绕点b顺时针方向旋转能与△cbp?重合，若pb=3，则pp?的长度为a p dbd b cc n c a b ?图1-6 图1-7图1-8三、解答题（共6小题，计72分，解答应写过程）ad图1-918、（10分）已知：如图1-10，de为△abc的边ab的垂直平分线，m d cd为△abc的外角平分线，与de交于点d，dm⊥bc的延长线于点m，dn⊥ac于点n，求证：an=bm。