专题4.1.2 圆的一般方程-学易试题君之K三关2017-2018学年高一数学人教版(必修2)

（时间：25分，满分55分）班级 姓名 得分课堂练习： 1．圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的一般方程是( ) A ．228270x y x y +-++= B ．228270x y x y ++-+= C ．2282830x y x y +-+-= D ．2282170x y x y +-++=【答案】A【解析】设圆的标准方程为(x －4)2＋(y ＋1)2＝r 2，把点(5,2)代入可得r 2＝10，即得(x －4)2＋(y ＋1)2＝10，再化为一般方程228270x y x y +-++=，选A.2.若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D3. 若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值 为( )A ． 5B ．5C ．2 5D ．10【答案】B【解析】由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1， 所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5..4．以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的一般方程是_________________. 【答案】22154202x y x y +-+-=【解析】将直线x ＋y ＝6化为x ＋y －6＝0，半径r ＝|2－1－6|1＋1＝52，所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝252，一般形式为22154202x y x y +-+-=. 5．圆过点A (1，－2)，B (－1,4)，求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的一般方程． 【答案】226470x y x y +---=．【解析】AB 的斜率为k ＝－3，则AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x, 即x －3y ＋3＝0由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.即圆心坐标是C (3,2)．r ＝|AC |＝－2＋＋2＝2 5.∴圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20，化为一般方程为226470x y x y +---=. 课后练习：1．圆2220x y x +-=的圆心到直线y ＝33x 的距离是( ) A ．12 B ．32 C ．1 D ． 3【答案】A【解析】先求得圆心坐标(1,0)，再依据点到直线的距离公式求得d ＝331＋13＝12. 2. 若一圆的一般方程为22210230x y x y +-++=，则此圆的圆心和半径长分别为( ) A ．(－1,5)， 3 B ．(1，－5)， 3 C ．(－1,5)，3D ．(1，－5)，3 【答案】B【解析】由题意先化为标准方程(x －1)2＋(y ＋5)2＝3，可知圆心坐标为(1,-5)，r ＝3，故选B ． 3.若点P (1,1)为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0【答案】D4. 已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1,0)， B (5,0)，此圆的一般方程为_________________. 【答案】22650x y x +-+=【解析】由题意可知圆心坐标为(3,0)，r ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，化为一般方程即22650x y x +-+=．5．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程． \【答案】圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0． 【解析】设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.。

4.1.2圆的一般方程一、圆的一般方程 1．圆的一般方程的定义当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F +++=+表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为________________，半径r =_________________. 2．圆的一般方程的推导把以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程222()()x a y b r -+-=展开，并整理得22222220x y ax by a b r +--++-=.取2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，得： 220x y Dx Ey F +++=+ ①.把①的左边配方，并把常数项移到右边，得22224()()224D E D E Fx y +-+++=.当且仅当_______________时，方程表示圆，且圆心为__________，半径长为___________； 当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D Ex y =-=-，所以它表示一个点____________； 当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．3．点与圆的位置关系点00)(,P x y 与圆22220(40)x y Dx Ey F D E F ++=+->++的位置关系是：P 在圆内⇔_______________________， P 在圆上⇔_______________________， P 在圆外⇔_______________________.二、待定系数法求圆的一般方程求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： ①根据题意，选择____________________；②根据条件列出关于a b r 、、或D E F 、、的________； ③解出a b r 、、或D E F 、、，代入标准方程或一般方程． 三、轨迹和轨迹方程 1．轨迹和轨迹方程的定义平面上一动点M ，按照一定规则运动，形成的曲线叫做动点M 的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程. 2．求轨迹方程的五个步骤①________：建立适当的坐标系，用(,)x y 表示曲线上任意一点M 的坐标； ②________：写出适合条件P 的点M 的集合){}(|P M p M =； ③________：用坐标(,)x y 表示条件()p M ，列出方程(,)0F x y =； ④________：化方程(,)0F x y =为最简形式；⑤査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．K 知识参考答案： 一、1．(,)22D E -- 22142D E F +- 2．2240D E F +-> (,)22D E --22142D E F +-(,)22D E -- 3．2200000x y Dx Ey F ++++< 2200000x y Dx Ey F ++++= 2200000x y Dx Ey F ++++>二、①标准方程或一般方程 ②方程组 三、2．①建系 ②设点 ③列式 ④化简K —重点 圆的一般方程、用待定系数法求圆的一般方程K —难点 与圆有关的轨迹问题K —易错忽视圆的一般方程应满足的条件致错1．圆的方程的判断判断二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=是否表示圆的方法: （1）利用圆的一般方程的定义,求出224D E F +-利用其符号判断. （2）将方程配方化为()()22x a y b m -+-=的形式,根据m 的符号判断. 【例1】判断下列方程是否表示圆,若是,化成标准方程. (1)x 2+y 2+2x+1=0; (2)x 2+y 2+2ay-1=0; (3)x 2+y 2+20x+121=0; (4)x 2+y 2+2ax =0.【例2】 方程x 2+y 2+4mx-2y+5m =0表示圆的条件是 A ．14<m <1 B ．m <14或m >1 C ．m <14D ．m >1【答案】B【解析】由于二元二次方程x 2+y 2+4mx-2y+5m =0表示一个圆，则D 2+E 2-4F =16m 2+4-20m >0，解得m >1或m <14. 2．用待定系数法求圆的一般方程应用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：【例3】已知圆经过点(4,2)和(-2,-6),且该圆与两坐标轴的四个截距之和为-2,求圆的方程. 【解析】设圆的一般方程为22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->.由圆经过点(4,2)和(-2,-6),得4220026400　①　②D E F D E F +++=⎧⎨+--=⎩，设圆在x 轴上的截距为x 1,x 2,则x 1,x 2是方程x 2+Dx+F =0的两个根,得x 1+x 2=-D . 设圆在y 轴上的截距为y 1,y 2,则y 1,y 2是方程y 2+Ey+F =0的两个根,得y 1+y 2=-E . 由已知,得-D+(-E )=-2,即D+E-2=0. ③ 联立①②③,解得D =-2,E =4,F =-20, 故所求圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0.【例4】试判断(1,2)A ，(0,1)B ，(76)C -，，(4,3)D 四点是否在同一个圆上.解法二： 因为211611007AB BC k k -+⋅=⨯=---，所以AB BC ⊥， 所以AC 是过,,A B C 三点的圆的直径，22||(17)(26)10,AC =-++=线段AC 的中点M 即圆心2(4,)M -．因为221||(44)(32)5||2DM AC -++===， 所以点D 在圆M 上，所以,,,A B C D 四点在同一个圆上．【名师点睛】判断四点是否在同一个圆上，一般可先求过其中三点的圆的方程，然后把第四个点的坐标代入，若满足方程，则四点在同一个圆上，若不满足方程，则四点不在同一个圆上. 3．与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹方程的常用方法：（1）直接法: 能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：（2）定义法:当动点的轨迹符合圆的定义时,可直接写出动点的轨迹方程.（3）相关点法:若动点,()P x y 随着圆上的另一动点11(),Q x y 运动而运动,且11,x y 可用,x y 表示,则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程,即得动点P 的轨迹方程.【例5】已知点P (x ,y ),A (1,0),B (-1,1),且|PA|=|PB|.(1)求点P 的轨迹方程;(2)判断点P 的轨迹是否为圆,若是,求出圆心坐标及半径;若不是,请说明理由. 【解析】(1)由题意得·,两边同时平方,化简得x 2+y 2+6x-4y+3=0, 即点P 的轨迹方程为x 2+y 2+6x-4y+3=0. (2)解法一：由(1)得(x+3)2+(y-2)2=10, 故点P 的轨迹是圆, 其圆心坐标为(-3,2),半径为.解法二：由(1)得D =6,E =-4,F =3, 所以D 2+E 2-4F =36+16-12=40>0, 故点P 的轨迹是圆. 又32D -=-,22E-=, 所以圆心坐标为(-3,2),半径r =.【例6】已知直角ABC △的斜边为AB ,且1,0,()(,0)3A B -,求: （1）直角顶点C 的轨迹方程; （2）直角边BC 中点M 的轨迹方程.解法二：同解法一得3x ≠且1x ≠-.由勾股定理得222||||||AC BC AB +=，即2222131))6((x y x y +++-+=， 化简得22230x y x +--=.因此,直角顶点C 的轨迹方程为22230(31)x y x x x +--=≠≠-且.解法三：设AB 中点为D ,由中点坐标公式得()1,0D ,由直角三角形的性质知, 122||||CD AB ==, 由圆的定义知,动点C 的轨迹是以()1,0D 为圆心,以2为半径的圆（由于,,A B C 三点不共线,所以应除去与x 轴的交点）.设,()C x y ,则直角顶点C 的轨迹方程为2214))1((3x y x x -+=≠≠-且. （2）设点00,,(),()M x y C x y 点,因为,(3,0)B M 是线段BC 的中点,由中点坐标公式得032x x += (3x ≠且1x ≠), 02yy =, 于是有0023,2x x y y =-=.由（1）知,点C 在圆2214))1((3x y x x -+=≠≠-且上运动,将00,x y 代入该方程得22()(244)2x y -+=,即2221()x y -+=.因此动点M 的轨迹方程为2221))1((3x y x x -+=≠≠且. 4．忽视圆的一般方程应满足的条件致错【例7】已知点()0,0O 在圆2222210x y kx ky k k +++-+=+外，求k 的取值范围.【错解】∵点()0,0O 在圆外，∴2210k k ->+，解得11.2k k ><-或 ∴k 的取值范围是(),1-∞-1(,)2+∞． 【错因分析】本题忽视了圆的一般方程220x y Dx Ey F +++=+表示圆的条件为2240D E F +->，而导致错误．【正解】∵方程表示圆，∴222()(2420)1k k k k +-+>-，即23440k k -<+，解得22.3k -<< 又∵点()0,0O 在圆外，∴2210k k ->+，解得12k >或1k <-. 综上所述，k 的取值范围是1()(22,3)12--，． 【易错点睛】一个二元二次方程是否满足表示圆的条件，这是将二元二次方程按圆的方程处理时应首先考虑的问题．1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为 A ．（4，－6），16 B ．（2，－3），4 C ．（－2，3），4D ．（2，－3），162．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是 A ．1(,)2-∞ B ．(,0)-∞ C ．1(,)2+∞D ．1(,]2-∞3．设圆的方程是22222(10)x y ax y a +++-=+，若01a <<，则原点与圆的位置关系是A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不确定4．与圆224630x y x y +-++=同圆心，且过()1,1-的圆的方程是 A ．224680x y x y +-+-= B ．224680x y x y +-++= C ．224680x y x y ++--=D ．224680x y x y ++-+=5．若Rt △ACB 的斜边的两端点A ,B 的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C 的轨迹方程为 A ．x 2+y 2=25(y ≠0) B ．x 2+y 2=25 C ．(x-2)2+y 2=25(y ≠0)D ．(x-2)2+y 2=256．圆心是（－3，4），经过点M （5，1）的圆的一般方程为 ．7．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，AB 为圆C 的一条直径，点A （0,1），则点B 的坐标为 ．8．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径． （1）2210x y x +++=；（2）222200()x y ax a a +=≠++； （3）222222)0(0x y ax ay a -=≠++．9．已知方程(m ∈R )表示一个圆.(1)求m 的取值范围.(2)若m ≥0，求该圆半径r 的取值范围.10．已知三点坐标分别是A (0,5),B (1,-2),C (-3,-4),求过A ,B ,C 的圆的一般方程,并判断点M (1,4),N (6,4),P (0,1)与所求圆的位置关系.11．若圆22230x y ax by +-=+的圆心位于第三象限，那么直线0x ay b ++=一定不经过A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知两定点A (-2,0),B (1,0),如果动点P 满足|PA |=2|PB |,则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于A ．πB ．4πC ．8πD ．9π13．当a 为任意实数时,直线(a-1)x-y +a +2=0恒过定点C ,则以C 为圆心,为半径的圆的方程为A ．x 2+y 2-2x +6y =0 B ．x 2+y 2+2x +6y =0 C ．x 2+y 2+2x-6y =0 D ．x 2+y 2-2x-6y =014．如图，设定点，动点在圆上运动，以为邻边作平行四边形，求点的轨迹．15．（2016新课标II ）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=A ．43-B ．34- C ．3D ．216．（2016新课标I ）设直线2y x a =+与圆22220C x y ay +--=：相交于,A B 两点,若||23AB =,则圆C 的面积为 .1 2 3 4 5 11 12 13 15 CABBCDBCA1．【答案】C【解析】由圆的一般方程可知圆心坐标为（－2，3），半径2214(6)12 4.2r =+-+=故选C. 2．【答案】A【解析】由方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，可得1140m +->，解得12m <.故选A. 3．【答案】B【解析】将原点坐标(0,0)代入圆的方程得2()1a -，∵01a <<，∴2(10)a ->，∴原点在圆外． 4．【答案】B【解析】把圆224630x y x y +-++=化成标准方程为22(2)(3)10x y -++=，由于两圆共圆心，可设另一个圆的方程为：222(2)(3)x y r -++=，把1,1x y ==-代入所设方程，得：222(12)(13),r -+-+=∴25r =，所以所求的圆的方程为22(2)(3)5x y -++=，化简为：224680x y x y +-++=，故选B.5．【答案】C【解析】线段AB 的中点坐标为(2,0)，因为△ABC 为直角三角形，C 为直角顶点，所以点C 到点(2,0)的距离为|AB|=5,所以点C (x ,y )满足=5(y ≠0),即(x-2)2+y 2=25(y ≠0).8．【解析】（1）∵1,0,1D E F ===，∴2241430D E F =-=--<+.∴方程（1）不表示任何图形．（2）∵220D a E F a ===，，，∴22224440D E F a a +--==.∴方程（2）表示点(),0a -．（3）方程两边同除以2，得220x y ax ay +-=+，∴0D a E a F ==-=,,，∴222420D E F a =->+. ∴方程（3）表示圆，它的圆心为(,)22a a -， 半径22124||22r D E F a =+-=. 9．【解析】(1)依题意，得4(m ＋3)2＋4(2m －1)2－4(5m 2＋2)＞0，即8m ＋32＞0，解得m ＞－4， 所以m 的取值范围是(－4，＋∞). (2)，因为m ∈[0，＋∞)，所以， 所以r 的取值范围是.11．【答案】D【解析】圆22230x y ax by +-=+的圆心为（a ，32b -），则a <0，b >0.直线y ＝1x a -－b a，其斜率k ＝1a ->0，在y 轴上的截距为－b a>0，所以直线不经过第四象限，故选D ． 12．【答案】B【解析】设点P 的坐标为(x ,y ),则(x +2)2+y 2=4[(x -1)2+y 2],即(x -2)2+y 2=4,所以点P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径长的圆,所以点P 的轨迹所包围的图形的面积等于4π.13．【答案】C【解析】直线方程可化为(x +1)a-(x +y-2)=0，直线过定点,即对任意的实数a ，方程恒成立，故有,解得，即直线过定点C (-1,3)，故所求圆的方程为(x +1)2+(y-3)2=10，即x 2+y 2+2x-6y =0.15．【答案】A【解析】圆的方程可化为22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得24111a d a +-==+，解得43a =-，故选A . 16．【答案】4π【解析】圆22:220C x y ay +--=，即222:()2C x y a a +-=+，圆心为(0,)C a ， 由||23,AB =且圆心C 到直线2y x a =+的距离为|02|2a a -+，得22223|02|()()222a a a -++=+，则22,a = 所以圆的面积为2π(2)4πa +=.【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r 、弦长l 、圆心到弦的距离d 之间的关系：222()2lr d =+在求圆的方程时常常用到.。

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4.1.2圆的一般方程一、选择题1.圆22480x y x y +-=+的圆心坐标是A ．(2,4)ﻩＢ.()2,4- C ．(2,4)--ﻩＤ.(2,)4-【答案】D【解析】圆的方程化为22242)0()(x y ++=-,则圆心坐标为(2,)4-,故选Ｄ。

2.若方程220x y Dx Ey F +++=+表示以(2,)4-为圆心,4为半径的圆，则D E F 、、的值分别为A ．4,84-,ﻩＢ．4,8,4- C.84,16-，ﻩﻩ D. 48,16-，【答案】B３.若方程224250x y x y m ++-+=不表示圆，则m 的取值范围是A ．(14，1) B.(—∞,1) C.(—∞,14)D ．[1,+∞） 【答案】D【解析】本题考查二元二次方程表示圆的条件。

由题意知４2+(—2)2—2０m ≤0,得m ≥1,故选D ．4．若直线过圆的圆心,则实数的值为 A.B ．１C ．ﻩD ．３ 【答案】C【解析】因为圆心为（—1,2），且直线过圆心，所以,解得．故选C.５．过三点()1,55,)(62(5,)A B C --、、的圆的方程是A ．2242200x y x y --+=+B.2242200x y x y +--=+C.2242200x y x y ---=+ﻩD ．2244200x y x y +-+=+【答案】C6.若圆22224540x y ax ay a ++-+-=上的所有点都在第二象限，则ａ的取值范围为A.(-∞，2) ﻩB.（—∞,－1) Ｃ.(1,＋∞)D ．(2，＋∞)【答案】Ｄ【解析】由x 2+y 2+2ａx －4ａy+5a 2-４=0得（x+a )２+(y-２ａ)２=4,其圆心坐标为(—ａ,2a ),半径为2，由题意知020222a a a a -<⎧⎪>⎪⎨->⎪⎪>⎩,解得a >2，故选Ｄ. 7.动点P 与定点()()1010A B -，，，的连线的斜率之积为1-，则点P 的轨迹方程是 Ａ.221x y +=ﻩﻩ ﻩﻩ B ．()2210x y x +=≠ C.()2211x y x +=≠±ﻩ ﻩ D.21y x =- 【答案】C【解析】设(,)P x y ，则01PA y k x -=+,01PB y k x -=-,动点P 与定点(1,0),(1,0)A B -的连线的斜率之积为1-,1PA PB k k ∴⨯=-，2211y x ∴=--，即221x y +=，又1x =±时,必有一个斜率不存在，故1x ≠±。

第四章 4.14.1.2A 级 基础巩固一、选择题1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是导学号 09024937( D ) A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)[解析] 圆的一般程化成标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，可知圆心坐标为(2，－3)． 2．(2016～2017·曲靖高一检测)方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,2)，半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为导学号 09024938( A )A ．－2,4,4B ．－2，－4,4C ．2，－4,4D ．2，－4，－4[解析] 配方得(x ＋a )2＋(y －b 2)2＝a 2＋b 24－c ，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝2，b 2＝2，a 2＋b24－c ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，c ＝4.3．(2016～2017·长沙高一检测)已知圆C 过点M (1,1)，N (5,1)，且圆心在直线y ＝x －2上，则圆C 的方程为导学号 09024939( A )A ．x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0B ．x 2＋y 2＋6x －2y ＋6＝0C ．x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋6＝0D ．x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝0[解析] 由条件知，圆心C 在线段MN 的中垂线x ＝3上，又在直线y ＝x －2上，∴圆心C (3,1)，半径r ＝|MC |＝2.方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，即x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0. 故选A ．4．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是导学号 09024940( B )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不确定[解析] 将原点坐标(0,0)代入圆的方程得(a －1)2， ∵0<a <1，∴(a －1)2>0，∴原点在圆外．5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为导学号 09024941( C )A ．－2或2B ．12或32C ．2或0D ．－2或0 [解析] 化圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，则由圆心(1,2)到直线x －y ＋a ＝0距离为22，得|1－2＋a |2＝22，∴a ＝2或0. 6．圆x 2＋y 2－2y －1＝0关于直线y ＝x 对称的圆的方程是导学号 09024942( A ) A ．(x －1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝2C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x ＋1)2＋y 2＝4[解析] 圆x 2＋y 2－2y －1＝0的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝2，圆心(0,1)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(1,0)，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.二、填空题7．圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为__x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0__.导学号 09024943[解析] 只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是__x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0__.导学号 09024944[解析] 设M (x ，y )，A (2，－1)，则P (2x －2,2y ＋1)，将P 代入圆方程得：(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.三、解答题9．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.导学号 09024945[解析] 解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0， 可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，因此，当m ＝2时，D 2＋E 2－4F ＝0，它表示一个点，当m ≠2时，D 2＋E 2－4F >0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.解法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点，当m ≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|.10．求过点A (－1,0)、B (3,0)和C (0,1)的圆的方程.导学号 09024946 [解析] 解法一：设圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(*)把A 、B 、C 三点坐标代入方程(*)得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 1－D ＋F ＝09＋3D ＋F ＝01＋E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝2F ＝－3.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0解法二：线段AB 的中垂线方程为x ＝1，线段AC 的中垂线方程为x ＋y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ＋y ＝0，得圆心坐标为M (1，－1)， 半径r ＝|MA |＝5，∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5.B 级 素养提升一、选择题1．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过导学号 09024947( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a ，－32b )，则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，其斜率k ＝－1a >0，在y 轴上的截距为－ba>0，所以直线不经过第四象限，故选D ．2．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面只为导学号 09024948( B )A ．52B ．102C ．152D ．20 2[解析] 圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心坐标为M (1,3)，半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E 的最长弦AC 为点E 所在的直径，则|AC |＝210.BD 是过点E 的最短弦，则点E 为线段BD 的中点，且AC ⊥BD ，E 为AC 与BD 的交点，则由垂径定理可是|BD |＝2|BM |2－|ME |2＝210－[(1－0)2＋(3－1)2]＝2 5.从而四边形ABCD 的面积为12|AC ||BD |＝12×210×25＝10 2.3．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋y 2－2y －5a 2＝0的内部，则a 的取值范围是导学号 09024949( D )A ．(－∞，45]B ．(－43，43)C ．(－34，＋∞)D ．(34，＋∞)[解析] 化圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝5a 2＋1，点(2a ，a －1)的圆的内部，则(2a )2＋(a －1－1)2＜5a 2＋1，解得a ＞34.4．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为导学号 09024950( B )A ．5B ．5C ．25D ．10[解析] 由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)， 则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5， 所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5. 二、填空题5．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝__－2__.导学号 09024951[解析] 由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心， ∴－1＋a2＋2＝0，∴a ＝－2.6．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是__5＋3__.导学号 09024952[解析] 关键是搞清式子x 2＋y 2的意义．实数x ，y 满足方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，所以(x ，y )为方程所表示的曲线上的动点.x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，表示动点(x ，y )到原点(0,0)的距离．对方程进行配方，得(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，它表示以C (－2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点的圆内．连接CO 交圆于点M ，N ，由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值．C 级 能力拔高1．设圆的方程为x 2＋y 2＝4，过点M (0,1)的直线l 交圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 为AB 的中点，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.导学号 09024953[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )、A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．因为A 、B 在圆上，所以x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4， 两式相减得x 21－x 22＋y 21－y 22＝0，所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 当x 1≠x 2时，有x 1＋x 2＋(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，①并且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，y －1x ＝y 1－y 2x 1－x2，②将②代入①并整理得x 2＋(y －12)2＝14.③当x 1＝x 2时，点A 、B 的坐标为(0,2)、(0，－2)，这时点P 的坐标为(0,0)也满足③.所以点P 的轨迹方程为x 2＋(y －12)2＝14.2．已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆.导学号 09024954(1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆的半径r 的取值范围； (3)求圆心C 的轨迹方程． [解析] (1)要使方程表示圆，则 4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＞0，即4m 2＋24m ＋36＋4－32m 2＋64m 4－64m 4－36＞0， 整理得7m 2－6m －1＜0，解得－17＜m ＜1.(2)r ＝124(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＝－7m 2＋6m ＋1＝－7(m －37)2＋167.∴0＜r ≤477.(3)设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3y ＝4m 2－1.消去m 可得(x －3)2＝14(y ＋1)．∵－17＜m ＜1，∴207＜x ＜4.故圆心C 的轨迹方程为(x －3)2＝14(y ＋1)(207＜x ＜4)．。

4.1.2圆的一般方程隹知识、圆的一般方程 1 •圆的一般方程的定义当D 2 • E 2 -4F 0时，方程x 2 y 2 Dx Ey ^0表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程, 其中圆心为，半径r =______________________ .2 •圆的一般方程的推导把以（a,b ）为圆心，r 为半径的圆的标准方程 （x-a ）2 • （y-b ）2二r 2展开，并整理得 x 2 y 2 -2ax -2by a 2 b 2- r 2 = 0 .取 D - -2a, E - -2b, F 二 a 2 b 2 - r 2，得：2 2x y Dx Ey F =0 ①.当且仅当 _______________ 时，方程表示圆，且圆心为 _____________ ，半径长为 ___________ID E当D +E —4F =0时，方程只有实数解 x = ——,y=——，所以它表示一个点 _____________________2 2当D 2 • E 2 -4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形. 3.点与圆的位置关系点 P （x 0,y 0）与圆 x 2 y 2 Dx Ey F =0（D 2 E 2 -4F - 0）的位置关系是： P 在圆内？ ______________________ P 在圆上？ ______________________ P 在圆外？ ______________________ 、待定系数法求圆的一般方程求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是: ①根据题意，选择________________________②根据条件列出关于 a 、b 、r 或D 、E 、F 的 __________ ③解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程. 三、轨迹和轨迹方程 1 .轨迹和轨迹方程的定义平面上一动点 M 按照一定规则运动，形成的曲线叫做动点 M 的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程 .把①的左边配方，并把常数项移到右边，得D 2E （X D ）（y 石）2 2E 、2 D E -4F2 .求轨迹方程的五个步骤① _____ :建立适当的坐标系，用 (X, y)表示曲线上任意一点 M 的坐标; ② _______ :写出适合条件 P 的点M 的集合P ={ M | p(M )}； ③ _______ :用坐标(x, y)表示条件p(M )，列出方程F(x, y)=0 ； ④ _____ :化方程F(x, y)=0为最简形式；⑤ 査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.K 知识参考答案:三、2.①建系②设点③列式④化简理重点1•圆的方程的判断判断二元二次方程 x y Dx Ey F =0是否表示圆的方法：(1) 利用圆的一般方程的定义，求出D 2 • E 2 -4F 利用其符号判断•2 2(2) 将方程配方化为(x -a ) +(y -b) =m 的形式,根据m 的符号判断 【例1】判断下列方程是否表示圆，若是,化成标准方程• 2 2(1) x +y +2x+1=0; 2 2 (2) x +y +2ay-1=0;1.(—D , 一 -E )1.D 2 E 2 -4F2 222.〜2 一2 _ c D E D E -4F > 0 ( 一, ■ 2-2) 3. 2丄 2 X 。

圆的一般方程检测卷（时间：25分，满分55分）1. （5分）点M 在圆22106250x y x y +--+=上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( )A ．9B ．8C ．5D ．2 【答案】D2.（5分）两圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和x 2＋y 2－6x ＝0的圆心连线方程为( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0 【答案】C3.（5分）若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B ．12或32C ．2或0D ．－2或0 【答案】C4.（5分）若点(2a ，a －1)在圆22240x y y ++-=的内部，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－1,1)C ．(2,5)D ．(1，＋∞) 【答案】B5.（5分）若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则D ，E ，F 分别为( )A ．4,8，－4B ．－4,8,4C ．8，－4,16D ．4，－8,16 【答案】B6.（5分）方程2222220x y ax bx a b +++++=表示的圆形是( )A ．以(a ，b )为圆心的圆B ．点(a ，b )C ．以(－a ，－b )为圆心的圆D ．点(－a ，－b ) 【答案】D7.（5分）若圆C 与圆224240x y x y ++-+=关于原点对称，则圆C 的一般方程是________________.【答案】224240x y x y +-++=8.（5分）圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为________________.【答案】x 2＋y 2＋6x －8y －48＝09.（5分）圆过点A (1，－2)，B (－1,4)，求周长最小的圆的方程为_________________.【答案】22290x y y +--=10．（10分）求圆心在直线4x ＋y ＝0上，且与直线l ：x ＋y －1＝0切于点P (3，－2)的圆的一般方程， 并找出圆的圆心及半径．【解】设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b ＝0，b ＋2a －3＝1， 3－a 2＋ －2－b 2＝r 2.化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b ＝0，b ＝a －5， 3－a 2＋ －2－b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－4，r 2＝8.所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8，它是以(1，－4)为圆心，以22为半径的圆． 将标准方程(x －1)2＋(y ＋4)2＝8化为一般方程222890x y x y +-++=即可.。

一、选择题1．圆x2+y2+4x–6y–3=0的圆心和半径分别为A．（4，–6），r=16 B．（2，–3），r=4C．（–2，3），r=4 D．（2，–3），r=16【答案】C【解析】将圆x2+y2+4x–6y–3=0的方程化成标准形式，得（x+2）2+（y–3）2=16，∴圆x2+y2+4x–6y–3=0的圆心为C（–2，3），半径r=4，故选C．2．由方程x2+y2–4tx–2ty+5t2–4=0（t为参数）所表示的一组圆的圆心轨迹是A．一个定点B．一个椭圆C．一条抛物线D．一条直线【答案】D3．已知圆C的一般方程为x2+y2+2x–4y+1=0，其圆心坐标为（a，b），半径为r，则以下说法中，正确的是A．a=–1，b=2，r=2 B．a=–1，b=2，r=4C．a=1，b=–2，r=2 D．a=1，b=–2，r=4【答案】A【解析】圆C的一般方程为x2+y2+2x–4y+1=0，它的标准方程为（x+1）2+（y–2）2=4，表示以（–1，2）为圆心、半径等于2的圆．再根据其圆心坐标为（a，b），半径为r，可得a=–1，b=2，r=2，故选A．4．方程x2+xy=x表示的曲线是A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线【答案】C【解析】方程x2+xy=x即x（x+y–1）=0，化简可得x=0或x+y–1=0．而x=0表示一条直线，x+y–1=0也表示一条直线，故方程x2+xy=x的曲线是两条直线，故选C．5．已知实数x，y满足x2+y2–2x–2y+1=0，则x2+y2的最小值为A1B C．3-D．2【答案】C【解析】圆x2+y2–2x–2y+1=0，即（x–1）2+（y–1）2=1，表示以C（1，1）为圆心、半径等于1的圆．则x2+y2表示圆上的点和原点连线的距离的平方．由于CO∴CO2=2，∴x2+y2的最小值为)21=3–C．6．过三点A（–3，2），B（3，–6），C（0，3）的圆的方程为A．x2+y2+4y–21=0 B．x2+y2–4y–21=0C．x2+y2+4y–96=0 D．x2+y2–4y–96=0【答案】A7．已知方程x2+y2–2x+2y+a=0表示圆，则实数a的取值范围是A．（2，+∞）B．（–2，+∞）C．（–∞，2）D．（–∞，1）【答案】C【解析】∵方程x2+y2–2x+2y+a=0表示圆，∴22+22–4a>0，∴4a<8，∴a<2，故选C．8．曲线x2+y2––4=0关于A．直线x B．直线y=–x轴对称C．点（–2D0）中心对称【答案】B【解析】曲线x2+y2––4=0于圆心在直线y=–x上，∴曲线关于直线y=–x对称．∴A、C、D都不正确．故选B．9．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2+y2+2ax–4ay+5a2–4=0上所有的点均在第二象限内，则实数a取值范围为A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（–∞，–2）D．（–∞，–1）【答案】B10．已知圆x2+y2–4x+6y=0的圆心坐标为（a，b），则a2+b2=A．8 B．16 C．12 D．13【答案】D【解析】圆x2+y2–4x+6y=0化为：（x–2）2+（y+3）2=13的圆心坐标为（2，–3），则a2+b2=4+9=13．故选D．二、填空题11．圆x2+y2–2x+4y=0的面积为___________．【答案】5π【解析】圆的方程即（x–1）2+（y+2）21，–2的圆，故圆的面积为π•r2=5π，故答案为：5π．12．圆x2+y2–2x+6y+8=0的周长为___________．【答案】【解析】圆x2+y2–2x+6y+8=0，即圆（x–1）2+（y+3）2=2，表示以（1，–3）为圆心，．13．圆x2+y2+6x–4y+12=0的圆心坐标是___________．【答案】（–3，2）【解析】圆x2+y2+6x–4y+12=0，即（x+3）2+（y–2）2=1，故圆的圆心为（–3，2），故答案为：（–3，2）．14．若直线3x –4y +12=0与两坐标轴的交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为___________．【答案】x 2+y 2+4x –3y =0【解析】由x =0得y =3，由y =0得x =–4，∴A （–4，0），B （0，3），∴以AB 为直径的圆的圆心是（–2，32），半径r 52=，∴以AB 为直径的圆的方程是（x +2）2+（y –32）2=254，即x 2+y 2+4x –3y =0．故答案为：x 2+y 2+4x –3y =0． 15．若方程x 2+y 2–2mx +（2m –2）y +2m 2=0表示一个圆，且圆心位于第一象限，则实数m 的取值范围是___________． 【答案】（0，12） 【解析】方程x 2+y 2–2mx +（2m –2）y +2m 2=0表示一个圆，可得：圆心为（m ，1–m ），r ．∴12m <，由圆心位于第一象限，010m m >⎧⎨->⎩，解得0<m <1．∴实数m 的取值范围是0<m <12．故答案为：（0，12）． 三、解答题16．若方程x 2+y 2+2mx –2y +m 2+5m =0表示圆，求：（1）实数m 的取值范围； （2）圆心坐标和半径．17．若圆过A（2，0），B（4，0），C（0，2）三点，求这个圆的方程．【解析】设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有420 1640 240D FD FE F++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③，②–①得：12+2D=0，∴D=–6，代入①得：4–12+F=0，∴F=8，代入③得：2E+8+4=0，∴E=–6，∴D=–6，E=–6，F=8，∴圆的方程是x2+y2–6x–6y+8=0．18．求下列满足条件的圆的方程（1）圆心为C（2，–2）且过点P（6，3）的圆的方程；（2）已知点A（–4，–5），B（6，–1），求以线段AB为直径的圆的方程．【解析】（1=故圆的方程为（x–2）2+（y+2）2=41；（2）由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，–3），即圆心的坐标，r=故圆的方程为（x–1）2+（y+3）2=29．19．已知实数x，y满足方程x2+y2–4x+1=0．（1）求yx的最值；（2）求y–x的最值；（3）求x2+y2的最值．（2）令y–x=t，即x–y+t=0对应直线l，将直线l平移，当l与圆C：（x–2）2+y2=3相切时，t达到最大或最小值，由d=t=–2∴t的最小值为–2（3）满足x2+y2–4x+1=0的点P（x，y）在以C（2，0x2+y2=|OP|2，∵当P、O、C三点共线时，|OP|达到最大值或最小值，∴当圆C上的点P在OC延长线上时，|OP|的最大值为|OC得到x2+y2的最大值为（2当圆C上的点P在线段OC上时，|OP|的最小值为|OC|得到x2+y2的最大值为（22=7–综上所述，x2+y2的最大值为7–20．m为何值时，方程x2+y2–4x+2my+2m2–2m+1=0表示圆，并求半径最大时圆的方程．。

4.1.2 圆的一般方程1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(重点) 2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点)3．初步掌握求动点的轨迹方程的方法．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理 圆的一般方程阅读教材P 121至P 122“例4”以上部分，完成下列问题． 1．圆的一般方程的概念当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径长为12D 2＋E 2－4F.3．对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的说明判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．( ) (2)圆的一般方程和标准方程可以互化．( )(3)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( )(4)若点M(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F>0.( )【解析】 (1)正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程． (2)正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的．(3)错误．当a 2＋(2a)2－4(2a 2＋a －1)>0，即－2<a<23时才表示圆．(4)正确．因为点M(x 0，y 0)在圆外，所以⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋E 22>D 2＋E 2－4F 4，即x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F>0.【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√[小组合作型](1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径．【精彩点拨】 (1)根据表示圆的条件求m 的取值范围； (2)将方程配方，根据圆的标准方程求解．【自主解答】 (1)据题意知D 2＋E 2－4F ＝(2m)2＋(－2)2－4(m 2＋5m)＞0，即4m 2＋4－4m 2－20m ＞0，解得m ＜15， 故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15.(2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m)2＋(y －1)2＝1－5m ，故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m.形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义令D 2＋E 2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆. (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解. 应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.[再练一题]1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径． (1)x 2＋y 2＋x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2＝0(a ≠0)； (3)2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)． 【解】 (1)∵D ＝1，E ＝0，F ＝1， ∴D 2＋E 2－4F ＝1－4＝－3＜0， ∴方程不表示任何图形． (2)∵D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2， ∴D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0， ∴方程表示点(－a,0)．(3)两边同除以2，得x 2＋y 2＋ax －ay ＝0， D ＝a ，E ＝－a ，F ＝0，∴D 2＋E 2－4F ＝2a 2＞0， ∴方程表示圆，它的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝22|a|.圆C 6，求圆C 的方程.【精彩点拨】 由条件，所求圆的圆心、半径均不明确，故设出圆的一般方程，用待定系数法求解．【自主解答】 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆过A(1,2)，B(3,4)，∴D ＋2E ＋F ＝－5，① 3D ＋4E ＋F ＝－25.②令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.设圆C 与x 轴的两个交点的横坐标为x 1，x 2，则 x 1＋x 2＝－D ，x 1x 2＝F.∵|x 1－x 2|＝6，∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36， 即D 2－4F ＝36.③由 ①②③得D ＝12，E ＝－22，F ＝27，或D ＝－8，E ＝－2，F ＝7. 故所求圆的方程为x 2＋y 2＋12x －22y ＋27＝0，或x 2＋y 2－8x －2y ＋7＝0.1．利用待定系数法，先设出圆的方程，再根据条件列出方程组求出未知数，这是求方程问题的常用方法．2．如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用设圆的一般方程，再用待定系数法求D 、E 、F.[再练一题]2．已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求三角形ABC 的外接圆的方程． 【解】 设三角形ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎨⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎨⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即三角形ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.[探究共研型]探究1 2倍，你能求出点M 的轨迹方程吗？【提示】 设M(x ，y)，则(x －8)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理可得点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16.探究2 已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A(－1,0)，B(3,0)，请求出直角顶点C 的轨迹方程．【提示】 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|＝12|AB|＝2，由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．设C(x ，y)，则直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)．已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)线段PQ 的端点P 的坐标是(5,0)，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．【精彩点拨】 (1)利用圆的有关几何性质，确定圆心坐标与半径．可求得圆C 的方程．(2)点M 随点Q 运动而运动，将Q 点坐标用P 、M 两点坐标表示，再将Q 点坐标代入(1)中的圆的方程，即得M 点的轨迹方程．【自主解答】 (1)设点D 为线段AB 的中点，直线m 为线段AB 的垂直平分线，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12.又k AB ＝－3，所以k m ＝13，所以直线m 的方程为x －3y －3＝0. 由⎩⎨⎧x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0得圆心C(－3，－2)，则半径r ＝|CA|＝(－3－1)2＋(－2－1)2＝5，所以圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. (2)设点M(x ，y)，Q(x 0，y 0)． 因为点P 的坐标为(5,0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋52，y ＝y 0＋02，即⎩⎨⎧x 0＝2x －5，y 0＝2y.又点Q(x 0，y 0)在圆C ：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25上运动， 所以(x 0＋3)2＋(y 0＋2)2＝25， 即(2x －5＋3)2＋(2y ＋2)2＝25. 整理得(x －1)2＋(y ＋1)2＝254. 即所求线段PQ 的中点M 的轨迹方程为 (x －1)2＋(y ＋1)2＝254.求与圆有关的轨迹问题常用的方法1．直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．2．定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．3．相关点法：若动点P(x ，y)随着圆上的另一动点Q(x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．[再练一题]3．已知定点A(4,0)，P 点是圆x 2＋y 2＝4上一动点，Q 点是AP 的中点，求Q 点的轨迹方程．【解】 设Q 点坐标为(x ，y)，P 点坐标为(x ′，y ′)，则x ＝4＋x ′2且y ＝0＋y ′2，即x ′＝2x －4，y ′＝2y. 又P 点在圆x 2＋y 2＝4上，∴x ′2＋y ′2＝4，将x ′＝2x －4，y ′＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y)2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.故所求的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1.1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3)D ．(2，－3)【解析】 圆的方程化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，圆心为(2，－3)，选D. 【答案】 D2．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 【解析】 方程可化为：(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2＞0，即k ＜－1时才能表示圆．【答案】 A3．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________.【解析】 以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x －2)2＋(y ＋4)2＝16，即x 2＋y 2－4x ＋8y ＋4＝0，故F ＝4.【答案】 44．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程是__________．【解析】 设P(x ，y)是轨迹上任一点， 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B(1,0)， 则|PA|2＋1＝|PB|2， ∴(x －1)2＋y 2＝2. 【答案】 (x －1)2＋y 2＝25．求经过三点A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)的圆的一般方程. 【解】 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，B ，C 三点的坐标代入方程整理可得⎩⎨⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得⎩⎨⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2.故所求的圆的一般方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.()。