基本不等式及其应用-2019年高考数学(文)单元滚动精准测试卷+Word版含解析

2019年高考数学试题及答案word版一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

）1. 若函数f(x)=x^2-4x+m，且f(1)=-3，则m的值为多少？A. 0B. 2C. 5D. 32. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=3，求该数列的第5项a5。

A. 13B. 16C. 19D. 223. 计算三角函数值：sin(π/6) + cos(π/3)。

A. 1B. √3/2C. √2D. 24. 已知圆C的方程为(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9，求圆C的半径。

A. 1B. 2C. 3D. 45. 若直线l的方程为y=2x+3，且点P(1,2)在直线l上，则直线l的斜率是多少？A. 1/2B. 2C. 3D. 46. 已知复数z=3+4i，求|z|的值。

A. 5B. √7C. √13D. √257. 计算定积分∫(0到1) (x^2 - 2x + 1) dx。

A. 0B. 1/3C. 1D. 2/38. 已知向量a=(2, -1)，b=(1, 3)，求向量a与向量b的数量积。

A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分。

）9. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)。

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10. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，且双曲线C的渐近线方程为y=±(b/a)x，求双曲线C的离心率e。

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11. 计算二项式展开式(1+x)^5的第3项。

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12. 已知抛物线y=x^2-4x+4，求抛物线的顶点坐标。

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三、解答题（本题共3小题，共52分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）13. （本题满分12分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求证f(x)在区间[1,2]上单调递增。

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测七 不等式第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·深圳第二次调研)设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3>b 3 B.1a <1b C ．a b >1D ．lg(b －a )<02．已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35∪(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－35，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，1 3．(2015·江西百所重点中学诊断)已知m >0，n >0，且2m ＋3n ＝5，则2m ＋3n 的最小值是( ) A ．25 B.52 C ．4D ．54．(2015·合肥第二次质检)已知f (x )是偶函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝x sin x ，若a ＝f (cos 1)，b＝f (cos 2)，c ＝f (cos 3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <aD ．b <c <a5．某公司一年购买某种货物400 t ，每次都购买x t ，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值为( ) A ．20 B ．40 C ．60D ．806．(2015·北京)若x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1 C.32D ．27．(2016·湖北七市联考)若不等式x 2＋2x <a b ＋16ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,0) B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C ．(－4,2)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)8．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a 的值为( ) A ．－5 B ．3 C ．5D ．79．若不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43 D ．(－1,3)10．(2015·渭南模拟)若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 为半径的圆的面积的最小值为( ) A ．π B ．2π C ．4πD.π211．(2015·浙江杭州二中第一次月考)若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)12．(2015·郑州第一次质量预测)定义在(－1,1)上的函数f (x )满足：f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ，当x ∈(－1,0)时，有f (x )>0.若P ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111，Q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，R ＝f (0)，则P ，Q ，R 的大小关系为( )A ．R >Q >PB ．R >P >QC ．P >R >QD ．Q >P >R第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________.14．(2015·四川资阳第一次诊断)已知点A 是不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x ≥1所表示的平面区域内的一个动点，点B (－1，1)，O 为坐标原点，则OA →·OB→的取值范围是____________．15．(2015·辽宁辽西地区质量检测)若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则x ＋2y xy 的最小值为________． 16．(2015·湖南师大附中第三次月考)设正实数a ，b 满足等式2a ＋b ＝1，且有2ab －4a 2－b 2≤t －12恒成立，则实数t 的取值范围是____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2015·河北高阳中学第二次模拟考试)已知集合A ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]<0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －2a x －(a 2＋1)<0. (1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．18．(12分)已知a ，b 是正常数，x ，y ∈R ＋，且a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．19.(12分)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2<0(a ∈R)．20．(12分)如图所示，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2 (k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．21.(12分)(2015·江西宜春四校联考)变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．22．(12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)．单元滚动检测 不等式答案解析1．D 2.D 3.D 4.B 5.A 6.D 7.C8．D [直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)，且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7.]9．B [根据题意，得不等式|x －m |<1的解集是m －1<x <m ＋1，设此命题为p ，命题13<x <12为q ，则p 的充分不必要条件是q ，即q 表示的集合是p 表示的集合的真子集， 则有⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，m ＋1≥12，(等号不同时成立)．解得－12≤m ≤43.]10．A [因为直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，所以2ab ＝1， 因为|OA |＝a 2＋b 2，所以以坐标原点O 为圆心，OA 为半径的圆的面积为π(a 2＋b 2)≥2πab ＝π，当且仅当a ＝b 时等号成立，故选A.]11．A [x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解可转化为a >2x －x 在[1,5]上有解．而⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x min ＝25－5＝－235，∴a >－235.]12．B [令x ＝y ＝0，得f (0)－f (0)＝f (0)＝0，再令x ＝0，可得f (0)－f (y )＝f (－y )⇒－f (y )＝f (－y )，即函数为奇函数．若－1<x <y <1，则x －y1－xy <0，故由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －y 1－xy >0，即f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －y 1－xy >0，故函数在区间(－1,1)上为减函数．又P ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－111＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋1111＋15×111＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫27，而0<27<12，由单调性可得R ＝f (0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫27＝P >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝Q ，故选B.] 13.32解析 对a 进行分类讨论，通过构造函数，利用数形结合解决．(1)当a ＝1时，不等式可化为：x >0时均有x 2－x －1≤0，由二次函数的图象知，显然不成立，∴a ≠1.(2)当a <1时，∵x >0， ∴(a －1)x －1<0，不等式可化为 x >0时均有x 2－ax －1≤0，∵二次函数y ＝x 2－ax －1的图象开口向上，∴不等式x 2－ax －1≤0在x ∈(0，＋∞)上不能均成立， ∴a <1不成立．(3)当a >1时，令f (x )＝(a －1)x －1，g (x )＝x 2－ax －1，两函数的图象均过定点(0，－1)， ∵a >1，∴f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增， 且与x 轴交点为⎝⎛⎭⎪⎫1a －1，0， 即当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a －1时，f (x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞时，f (x )>0. 又∵二次函数g (x )＝x 2－ax －1的对称轴为x ＝a2>0，则只需g (x )＝x 2－ax －1与x 轴的右交点与点⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0重合，如图所示，则命题成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0在g (x )图象上，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －12－a a －1－1＝0，整理得2a 2－3a ＝0，解得a ＝32，a ＝0(舍去)． 综上可知a ＝32. 14．[－1,1]解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示．设A (x ，y )，z ＝OA →·OB →＝－x ＋y ，则y ＝x ＋z 表示斜率为1，纵截距为z 的一组平行直线，平移直线y ＝x ＋z ，知当直线过点D (2,1)时，直线y ＝x ＋z 的截距最小，z min ＝－2＋1＝－1；当直线y ＝x ＋z 过点E (1,2)时，直线y ＝x ＋z 的截距最大，z max ＝－1＋2＝1，所以OA →·OB→的取值范围是[－1,1]．15．3解析 由2x ＋y －3＝0，得2x 3＋y3＝1， ∴x ＋2y xy ＝2x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋y 3 ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋53≥23×2＋53＝3，当且仅当x ＝y ＝1时取得最小值． 16.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ 解析 ∵2a ＋b ＝1，∴4a 2＋b 2＝(2a ＋b )2－4ab ＝1－4ab .而2a ＋b ＝1≥22ab ，∴ab ≤24，当且仅当2a ＝b ，即a ＝14，b ＝12时等号成立．∴2ab －4a 2－b 2＝2ab ＋4ab －1，令ab ＝u ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，24，f (u )＝4u 2＋2u －1，∴f (u )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫24＝2－12，故只需t －12≥2－12，即t ≥22.17．解 (1)当a ＝2时，A ＝(2,7)，B ＝(4,5)， ∴A ∩B ＝(4,5)．(2)B ＝(2a ，a 2＋1)，当a <13时，A ＝(3a ＋1,2)，要使B ⊆A ，必须⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥3a ＋1，a 2＋1≤2，此时a ＝－1；当a ＝13时，A ＝∅，使B ⊆A 的a 不存在； 当a >13时，A ＝(2,3a ＋1)，要使B ⊆A ， 必须⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥2，a 2＋1≤3a ＋1，此时1≤a ≤3.综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围为[1,3]∪{－1}． 18．解 ∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2ab ，当且仅当bx 2＝ay 2时等号成立． ∴x ＋y 的最小值为a ＋b ＋2ab ＝18. 又a ＋b ＝10.∴2ab ＝8，∴ab ＝16.由a ＋b ＝10，ab ＝16可得a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2. 19．解 原不等式可化为(ax －1)(x －2)<0.(1)当a >0时，原不等式可以化为a (x －2)(x －1a )<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)(x －1a )<0.因为方程(x －2)(x －1a )＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0<a <12时，2<1a ，则原不等式的解集是{x |2<x <1a }；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a >12时，1a <2，则原不等式的解集是{x |1a <x <2}．(2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)<0，解得x >2，即原不等式的解集是{x |x >2}．(3)当a <0时，原不等式可以化为a (x －2)(x －1a )<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·(x －1a )>0，由于1a <2，故原不等式的解集是{x |x <1a 或x >2}．综上所述，当a <0时，不等式的解集为{x |x <1a 或x >2}；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >2}；当0<a <12时，不等式的解集为{x |2<x <1a }；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a >12时，不等式的解集为{x |1a <x <2}．20．解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0. 由实际意义和题设条件知x >0，k >0，由x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10 km.(2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔0<a ≤6.所以当a 不超过6 km 时，可击中目标．21.解 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A (1，225)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29，故z 的取值范围是[2,29]．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8.故z 的取值范围是[16,64]．22．解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，显然v (x )＝ax ＋b 在[20,200]上是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－13，b ＝2003，故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎨⎧ 60 (0≤x <20)，13(200－x ) (20≤x ≤200).(2)依题意并由(1)可得 f (x )＝⎩⎨⎧ 60x (0≤x <20)，13x (200－x ) (20≤x ≤200)，当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x ·(200－x )≤13[x ＋(200－x )2]2＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立，所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时．。

专题09 基本不等式的应用1、【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.2、【2019年高考天津卷文数】设0,0,24x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.3、【2019年高考浙江卷】若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件4、【2018年高考天津卷文数】（2018天津文科）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为 .5、【2018年高考江苏卷】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为___________．6、【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________．一、三个不等式关系：(1)a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．(3)a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2，当且仅当a ＝b 时取等号． 上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 二、.算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 三、.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)四、对于f (x )＝x ＋ax ，当a ≤0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)为增函数；当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)为增函数；在(－a ，0)，(0，a )为减函数． 注意 在解答题中利用函数f (x )＝x ＋ax 的单调性时，需要利用导数进行证明．五、利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.六、对于多元问题的不等式的基本解题思路就是把多元问题转化为单元问题。

第6讲 基本不等式1.不等式x -1x ≥3的解集为 .2.已知单位向量a,b 的夹角为120°,那么|2a-xb|(x ∈R)的最小值是 .3.已知函数f(x)=x+4x ,x ∈[1,5],则函数f(x)的值域为 .4.已知x,y 为正实数,满足2x+y+6=xy,则2xy 的最小值为 .5.设变量x,y 满足{2x +y -4≥0,x -y -2≤0,y -2≤0,则z=3x+y 的最小值为 . 6.已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x>0时, f(x)=x 2-4x,则不等式组{x <0,f(x)>x的解集用区间表示为 .7.设三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知tanA tanB =3c -b b ,则cos A= . 8.将函数y=2cos (2x +π3)的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度后,所得函数为奇函数,则φ= .9.设菱形ABCD 的对角线AC 的长为4,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ = . 10.已知向量a=(cos α,sin 2α),b=(sin α,t),α∈(0,π).(1)若a-b=(15,0),求t 的值;(2)若t=1,a ·b=1,求tan (2α+π4)的值.答案精解精析1.答案 {x|-12≤x <0}解析 x -1x ≥3⇔2x+1x ≤0⇔-12≤x<0. 2.答案 √3解析 a ·b=-12,|2a-xb|=√(2a -xb)2=√x 2+2x +4,当x=-1时,取得最小值√3.3.答案 [4,295]解析 因为f(x)=x+4x ≥2√x ·4x =4,x ∈[1,5],当且仅当x=2时取等号,且f(1)=5, f(5)=5+45=295,所以函数f(x)的值域为[4,295].4.答案 36解析 根据题意,由条件利用基本不等式可得xy=2x+y+6≥2√2xy +6,即xy ≥2√2xy +6.令t=√2xy ,则xy=t 22,则t 22-2t-6≥0,t 2-4t-12≥0,解得t ≥6或t ≤-2.又t ≥0,则t ≥6,即√2xy ≥6,即2xy ≥36,即2xy 的最小值为36.5.答案 5解析 画出{2x +y -4≥0,x -y -2≤0,y -2≤0表示的可行域如图,。

第3节 基本不等式及其应用最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1.基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).[常用结论与微点提醒]1.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号.2.ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22. 3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).4.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( )(2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( )(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( )解析 (1)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ； 不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(2)函数y ＝x ＋1x 值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值. (3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为－5.(4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充分不必要条件. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A .80B .77C .81D .82解析 xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时取等号. 答案 C3.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A .1＋ 2B .1＋ 3C .3D .4 解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3，选C. 答案 C4.(2017·山东卷)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.解析 由题设可得1a ＋2b ＝1，∵a >0，b >0，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝2＋b a ＋4a b ＋2≥4＋2b a ·4a b ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a 时，等号成立. 故2a ＋b 的最小值为8. 答案 85.(必修5P100A2改编)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为______m ，宽为________m 时菜园面积最大. 解析 设矩形的长为x m ，宽为y m .则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号. 答案 15 152考点一 配凑法求最值【例1】 (1)若x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________；(2)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________.解析 (1)因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）15－4x＋3 ＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立. 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝1t ＋4t ＋1， 因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)， 所以y ＝1t ＋4t ＋1≤15， 即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值).答案 (1)1 (2)15 规律方法 1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.【训练1】 (1)(2017·湖北重点中学一联)若对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________. (2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ＋1x －1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )＝x ＋1＋1x ＋1－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )在[1，＋∞)的最小值为g (1)＝12，因此对∀x ≥1不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )最小值＝12，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.(2)y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立.答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 (2)23＋2考点二 常数代换或消元法求最值(易错警示)【例2】 (1)(一题多解)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________；(2)(一题多解)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 解析 (1)法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5. 法二 由x ＋3y ＝5xy ，得x ＝3y5y －1， ∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋95＋45－4y5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋4y ＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15≥135＋23625＝5，当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5. (2)由已知得x ＝9－3y1＋y. 法一 (消元法)因为x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3， 所以x ＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y＋3(y ＋1)－6≥2121＋y·3（y ＋1）－6＝6，当且仅当121＋y ＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 法二 ∵x ＞0，y ＞0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y 时等号成立.设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6. 故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 答案 (1)5 (2)6规律方法 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.易错警示 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致. 【训练2】 (1)已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为( ) A .24B .32C .20D .28(2)(2018·石家庄质检)已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2，3)，则a ＋b 的最小值为________. 解析 (1)∵x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16， 则x ＋y ＝(x ＋2＋y ＋2)－4 ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2＋1y ＋2(x ＋2＋y ＋2)－4 ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x ＋2y ＋2＋y ＋2x ＋2－4 ≥6×⎝⎛⎭⎪⎫2＋2x ＋2y ＋2·y ＋2x ＋2－4＝20， 当且仅当x ＝y ＝10时取等号.∴x ＋y 的最小值为20. 故选C.(2)因为直线l 经过点(2，3)，所以2a ＋3b －ab ＝0，所以b ＝2aa －3>0，所以a －3>0，所以a ＋b ＝a ＋2a a －3＝a －3＋6a －3＋5≥5＋2（a －3）·6a －3＝5＋26，当且仅当a －3＝6a －3，即a ＝3＋6，b ＝2＋6时等号成立. 答案 (1)C (2)5＋2 6考点三 基本不等式在实际问题中的应用【例3】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.解 (1)设所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x＋2×130360x ，x ∈[50，100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 规律方法 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解.【训练3】 2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x 千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x ≤10)，每小时可消耗A 材料kx 2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A 材料10千克. (1)设生产m 千克该产品，消耗A 材料y 千克，试把y 表示为x 的函数. (2)要使生产1 000千克该产品消耗的A 材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A 材料最少为多少？解 (1)由题意，得k ＋9＝10，即k ＝1，生产m 千克该产品需要的时间是m x ， 所以y ＝m x (kx 2＋9)＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋9x ，x ∈[1，10].(2)由(1)知，生产1 000千克该产品消耗的A 材料为y ＝1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋9x ≥1 000×29＝6 000，当且仅当x ＝9x ，即x ＝3时，等号成立，且3∈[1，10].故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A 材料最少，最少为 6 000千克.基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.下列不等式一定成立的是( ) A .lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B .sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C .x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1＜1(x ∈R ) 解析 当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；显然选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，选项D 不正确. 答案 C2.若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A .[0，2]B .[－2，0]C .[－2，＋∞)D .(－∞，－2]解析 22x ＋y ≤2x ＋2y ＝1，所以2x ＋y ≤14，所以x ＋y ≤－2. 答案 D3.(2018·平顶山一模)若对于任意的x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，15 解析 由x >0，得x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x＋3＝15，当且仅当x ＝1时，等号成立，则a ≥15，故选A.答案 A4.若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ≤14 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2D .a 2＋b 2≥8解析 4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D 成立. 答案 D5.若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A .7B .8C .9D .10解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号. 答案 C6.若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43B.53C .2D.54解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2. 答案 C7.若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2B .2C .2 2D .4解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab ，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a时，“＝”成立.因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab ，即ab ≥22，所以ab 的最小值为22，故选C. 答案 C8.(2018·郑州质检)已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋1a ＋1b ＝5，则a ＋b 的取值范围是( ) A .[1，4] B .[2，＋∞) C .(2，4)D .(4，＋∞)解析 因为a ＋b ＋1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab ＝5，又a ，b ∈(0，＋∞)，所以a ＋b ＝51＋1ab≤51＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即(a ＋b )2－5(a ＋b )＋4≤0，解得1≤a ＋b ≤4，故选A. 答案 A 二、填空题9.正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________.解析 ∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， 解得ab ≥3，即ab ≥9.答案 [9，＋∞)10.(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________. 解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 答案 411.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x ≥42，当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞ 12.(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元. 解析 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x (k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋20x 万元， ∵5x ＋20x ≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x ，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元.答案 2 20能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2018·西安模拟)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是( ) A.6－24 B.6＋24 C.6－22 D.6＋22解析 由正弦定理，得a ＋2b ＝2c .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab ＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24. 当且仅当3a 2＝2b 2，即3a ＝2b 时，等号成立.所以cos C 的最小值为6－24.答案 A14.(2018·安徽江南十校联考)已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝(n ＋1)·cos n π2(n ≥2，n∈N *)，S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2 017＋m ＝1 010，且a 1·m >0，则1a 1＋1m 的最小值为( )A .2 B. 2 C .2 2 D .2＋ 2解析 由a n ＋1＋a n ＝(n ＋1)·cos n π2(n ≥2，n ∈N *)得，a 3＋a 2＝－3，a 4＋a 3＝0，a 5＋a 4＝5，a 6＋a 5＝0，a 7＋a 6＝－7，a 8＋a 7＝0，a 9＋a 8＝9，a 10＋a 9＝0，…，∴a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝…＝a 2 014＋a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝2， ∴S 2 017＝504(a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＋a 1＝1 008＋a 1，又S 2 017＋m ＝1 010，∴a 1＋m ＝2，∴1a 1＋1m ＝12(a 1＋m )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1m ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋a 1m ＋m a 1≥2，即1a 1＋1m 的最小值为2，故选A. 答案 A15.(2018·潍坊调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －1，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为________.解析 可行域如图所示，当直线abx ＋y ＝z (a >0，b >0)过点B (2，3)时，z 取最大值2ab ＋3.于是有2ab ＋3＝35，ab ＝16.所以a ＋b ≥2ab ＝8，当且仅当a ＝b ＝4时等号成立，所以(a ＋b )min ＝8.答案 816.正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________.解析 因为a ＞0，b ＞0，1a ＋9b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16.由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，又x 2－4x －2＝(x －2)2－6的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6. 答案 [6，＋∞)。

第四节基本不等式及其应用A组基础题组1.下列不等式一定成立的是( )A.lg>lg x(x>0)B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.>1(x∈R)2.当x>0时,函数f(x)=有( )A.最小值1B.最大值1C.最小值2D.最大值23.(-6≤a≤3)的最大值为( )A.9B.C.3D.4.若正实数x,y满足x+y=2,且≥M恒成立,则M的最大值为( )A.1B.2C.3D.45.已知直线ax+by-6=0(a>0,b>0)被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为2,则ab的最大值是( )A.9B.C.4D.6.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是.7.已知0<x<1,则x(4-3x)取得最大值时x的值为.8.已知y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b等于.9.(1)当x<时,求函数y=x+的最大值;(2)设0<x<2,求函数y=的最大值.10.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.B组提升题组1.若正数a,b满足a+b=2,则+的最小值是( )A.1B.C.9D.162.不等式x2+x<+对任意a,b∈(0,+∞)恒成立,则实数x的取值范围是.3.(2018湖北武汉调研)已知x>0,y>0,且2x+5y=20.求:(1)u=lg x+lg y的最大值;(2)+的最小值.4.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周的围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;(2)若由于地形限制,该水池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.答案精解精析A组基础题组1. C lg>lg x⇒x2+>x(x>0),即4x2-4x+1>0.当x=时,4×-4×+1=0,∴A错;当sin x=-1时,sin x+=-2<2,∴B错;x2+1≥2|x|⇒(|x|-1)2≥0,∴C正确;当x=0时,=1,∴D错.2.B ∵x>0,∴f(x)=≤=1.当且仅当x=,即x=1时取等号.所以f(x)有最大值1.3.B 因为-6≤a≤3,所以3-a≥0,a+6≥0,则由基本不等式可知,≤=,当且仅当a=-时等号成立.4.A 因为正实数x,y满足x+y=2,所以xy≤==1,所以≥1;又≥M恒成立,所以M≤1,即M的最大值为1.5.B 将圆的一般方程化为标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5,圆心坐标为(1,2),半径为,故直线过圆心,即a+2b=6,∴a+2b=6≥2,可得ab≤,当且仅当a=2b=3时等号成立,即ab的最大值是,故选B.6.答案(-∞,-2]解析∵1=2x+2y≥2=2(当且仅当2x=2y时等号成立),∴≤,∴2x+y≤,∴x+y≤-2.7.答案解析x(4-3x)=(3x)(4-3x)≤·=,当且仅当3x=4-3x,即x=时,取等号.8. 答案 3解析y=x-4+=x+1+-5,因为x>-1,所以x+1>0,>0,所以由基本不等式,得y=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即x=2时取等号,所以a=2,b=1,则a+b=3.9.解析(1)y=(2x-3)++=-+. 当x<时,3-2x>0,此时+≥2=4,当且仅当=,即x=-时取等号.于是y≤-4+=-,故函数的最大值为-.(2)∵0<x<2,∴2-x>0,∴y==·≤·=,当且仅当x=2-x,即x=1时取等号,∴函数y=的最大值为.10.解析(1)由2x+8y-xy=0,得+=1,又因为x>0,y>0,所以1=+≥2=,所以xy≥64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立,所以xy的最小值为64.(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,则x+y=·(x+y)=10++≥10+2=18,当且仅当x=12,y=6时,等号成立,所以x+y的最小值为18.B组提升题组1.B +=·= ≥=.当且仅当=,即a=,b=时取等号,故选B.2.答案 (-2,1) 解析 由于不等式x 2+x<+对任意a,b∈(0,+∞)恒成立,则x 2+x<,因为+≥2=2,当且仅当a=b 时等号成立,所以x 2+x<2,求解此一元二次不等式知-2<x<1,所以x 的取值范围是(-2,1). 3.解析 (1)因为x>0,y>0,所以由基本不等式,得2x+5y≥2. 因为2x+5y=20,所以2≤20,xy≤10,当且仅当2x=5y 时,等号成立. 因此有解得 此时xy 有最大值10.所以u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1.所以当x=5,y=2时,u=lg x+lg y 有最大值1.(2)因为x>0,y>0, 所以+=·=≥7+2=. 当且仅当=时,等号成立.由解得所以+的最小值为.4.解析(1)设总造价为f(x)元,污水处理池的宽为x米,则长为米.f(x)=400×+248×2x+80×162=1 296x++12 960=1 296+12 960,∵x>0,∴f(x)≥1 296×2+12 960=38 880,当且仅当x=,即x=10时取等号.∴当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38 880元.(2)由限制条件知∴≤x≤16.设g(x)=x+,则g'(x)=1-,因为g'(x)=1-在上恒大于零,故g(x)在上是增函数,∴当x=时,g(x)取最小值,即f(x)取最小值,为1 296×+12 960=38 882. ∴当污水处理池的长为16米,宽为米时总造价最低,最低总造价为38 882元.。

2019年高中数学单元测试试题 不等式专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．（2013年高考北京卷（理））设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0-2y 0=2,求得m 的取值范围是 （ ）A ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭2．1 ．（2013年高考四川卷（文））若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x=-的最大值为a ,最小值为b ,则a b -的值是 （ ）A ．48B ．30C ．24D ．163．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（ ） A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a(2006江西理)4．不等式0212<---x x 的解集为 . (2009山东理)【解析】:原不等式等价于不等式组①221(2)0x x x ≥⎧⎨---<⎩或②12221(2)0x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-<⎩ 或③12(21)(2)0x x x ⎧≤⎪⎨⎪--+-<⎩不等式组①无解,由②得112x <<,由③得112x -<≤,综上得11x -<<,所以原不等式的解集为{|11}x x -<<.5．设2()f x x ax b =++，且1(1)2,2(1)4f f ≤-≤≤≤，则点(,)a b 在aOb 平面上的区域的面积是--------------------------------------------------------------------------（ ） （A ）12 （B ）1 （C ）2 （D ）926．若|x －2|<a 不等式1|4|2<-x 成立，则函数a 的取值范围为（ ） A.25->a B.250-≤<a C.25-≥a D.以上答案都不对7．不等式(1)(1)0x x +->的解集是----------------------------------（ ） A.{11}x x -<< B.{1}x x < C.{11}x x x <->或 D.{11}x x x <≠-且第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题8．已知实数x y 、满足约束条件002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则24z x y =+的最大值为 ▲ ．8(江苏省泰州中学2011年3月高三调研）9． 已知1()sin xf x e x =，1()(),2n n f x f x n -'=≥，则()201220090ii f ==∑ .10．已知实数,x y 满足21x y +≥，则2242u x y x y =++-的最小值为 。

不等式选讲2019年高考真题和模拟题分项汇编数学理Word 版含解析1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++．所以222111a b c a b c++≤++． （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24．所以333()()()24a b b c c a +++++≥．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞． （2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----．所以，a 的取值范围是[1,)+∞．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-． 【答案】（1）43；（2）见详解． 【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥， 当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型． 4．【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -．【答案】1{|1}3x x x <->或．【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <13-； 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1． 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 5．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】设函数()333()442f x x x g x x a x =-+-=-++，．（1）解不等式()10f x >；（2）若对于任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得12()()f x g x =成立，试求实数a 的取值范围． 【答案】（1）4x >或1x <-；（2）40a -≤≤【解析】（1）不等式等价于34610x x >⎧⎨->⎩或13210x x ≤≤⎧⎨>⎩或36410x x <⎧⎨->⎩解得4x >或1x <-．（2）对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得12()=()f x g x 成立，即()g x 的值域包含()f x 的值域．46,3()3332,1364,1x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪-<⎩，由图可得1x =时，min ()2f x =，所以()f x 的值域为[2,)+∞．()442(4)(42)2g x x a x x a x a =-++≥--+=+，当且仅当4x a -与42x +异号时取等号，所以()g x 的值域为[2,)a ++∞，由题[2,)+∞⊆[2,)a ++∞，所以22a +≤，解得40a -≤≤．【点睛】本题考查绝对值函数和用绝对值不等式求绝对值函数中参数的范围，是常见考题．6．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】已知函数()2f x ax =-，不等式()4f x ≤的解集为{}|26x x -≤≤． （1）求实数a 的值；（2）设()()(3)g x f x f x =++，若存在x ∈R ，使()2g x tx -≤成立，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）1(,1][,)2t ∈-∞-+∞U ．【解析】（1）由42ax -≤得－4≤2ax -≤4，即－2≤ax ≤6，当a >0时，26x a a -≤≤，所以2266a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a ＝1；当a <0时，62x a a ≤≤-，所以6226a a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，无解．所以实数a 的值为1．（2）由已知()()(3)g x f x f x =++＝|x ＋1|＋|x －2|＝()()()211312212x x x x x -+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩，不等式g （x ）－tx ≤2转化成g （x ）≤tx ＋2，由题意知函数()g x 的图象与直线y ＝tx ＋2相交，作出对应图象，由图得，当t <0时，t ≤k AM ；当t >0时，t ≥k BM ， 又因为k AM ＝－1，12BM k =， 所以t ≤－1或12t ≥， 即t ∈（－∞，－1]∪[12，＋∞）． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及分类思想、方程思想，还考查了思想结合思想及转化能力，考查了作图能力及计算能力，属于中档题．7．【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学】设函数()|1|f x x =+． （1）若+2>2f x x （），求实数x 的取值范围；（2）设=+>1g x f x f ax a （）（）（）（），若g x （）的最小值为12，求a 的值． 【答案】（1）13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）2a =． 【解析】（1）()22f x x +>，即1>22x x+-⇔101>22x x x +≥⎧⎨+-⎩或10122x x x+<⎧⎨-->-⎩13x ⇔>， ∴实数x 的取值范围是13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． （2）∵1a >，∴11a -<-，∴()()()()()121111112a x x g x a x x a a x x a ⎧⎪-+-∈-∞-⎪⎪⎡⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩，，，，，，， 易知函数()g x 在1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递减，在1a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增， ∴()min 111g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭． ∴1112a -=，解得2a =． 【点睛】本道题考查了含绝对值不等式的解法，考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式，难度中等．8．【河南省中原名校（即豫南九校）2018届高三第六次质量考评理科数学】已知函数21f x x a g x x =+=-（），（）．（1）若2f x g x +（）（）的最小值为1，求实数a 的值； （2）若关于x 的不等式1f x g x +<（）（）的解集包含112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，求实数a 的取值范围．【答案】（1）8a =-或4．（2）312⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【解析】（1）当1b =时，()()1|||1||1||1|2222a a af xg x x x x x +=-++≥---=+， 因为()()12f xg x +的最小值为3，所以132a +=，解得8a =-或4．（2）当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<，当112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，211x a x -+-<2112x a x x a x ⇔-+-<⇔-<，即3ax a <<， 因为不等式()()1f x g x +<的解集包含112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以1a >且132a <， 即312a <<，故实数a 的取值范围是312⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查不等式的解法及不等式的性质，考查转化思想以及计算能力． 9．【河南省顶级名校2019届高三质量测评数学】已知函数()121f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对12x x ∀∈∃∈R R ，，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}|01x x ≤≤；（2）1544⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．【解析】（1）不等式等价于132x x x ≤-⎧⎨-≤+⎩或11222x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪-+≤+⎩或1232x x x >≤+⎧⎪⎨⎪⎩， 解得x φ∈或102x ≤≤或112x <≤， 所以不等式2f x x ≤+（）的解集为{}|01x x ≤≤．（2）由311()212132x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，知，当12x =时，min 13()()22f x f ==， 323121g x x m x m ≥---=-（）（）（），当且仅当(32)(31)0x m x --≤时取等号，所以3212m -≤，解得1544m -≤≤．故实数m 的取值范围是1544⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． 【点睛】本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力． 10．【吉林省吉大附中2018届高三第四次模拟考试数学（理）试卷】已知函数()f x x a =-．（1）当2a =-时，解不等式()1621f x x ≥--；（2）若关于x 的不等式()1f x ≤的解集为[0,2]，求证：()(2)2f x f x ++≥． 【答案】（1）17{|3x x ≤-或5}x ≥（2）见解析 【解析】（1）当2a =-时，不等式为22116x x ++-≥， 当2x ≤-时，原不等式可化为22116x x ---+≥，解得173x ≤-， 当122x -<≤时，原等式可化为22116x x +-+≥，解得13x ≤-，不满足，舍去； 当12x >时，原不等式可化为22116x x ++-≥，解得5x ≥； 不等式的解集为17{|3x x ≤-或5}x ≥．（2）()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤解集是[]02，，所以1012a a -=⎧⎨+=⎩，解得1a =，从而()1f x x =-． 于是只需证明()(2)2f x f x ++≥， 即证112x x -++≥，因为111x x x -++=-1112x x x ++≥-++= 所以112x x -++≥，证毕．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和证明，主要注意先确定参数的值，进而对定义域进行分类讨论，确定解所在的区间，属于中档题．11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】设函数()2f x x x a =--+．（1）当1a =时，求不等式()2f x <-的解集；（2）当x y ∈R ，时，2()()2()f y f x f y -+≤≤+，求a 的取值范围． 【答案】（1）3{|}2x x >；（2）[]31--，【解析】（1）当a =1时，31()121232x f x x x x ≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪->⎩，，，， 可得()2f x <-的解集为3{|}2x x >； （2）当x y ∈R ，时，[][]ma min 2()()2()()()2()()2x f y f x f y f x f y f x f x -+≤≤+⇔-≤⇔-≤，因为()()222x x a x x a a --+≤--+=+， 所以()222a a +--+≤． 所以21a +≤，所以31a -≤≤-． 所以a 的取值范围是[–3，–1]．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用． 12．【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学】已知函数2f x x =-（）．（1）求不等式1f x x x <++（）的解集；（2）若函数()2log 32f x f x f x a ⎡⎤=++-⎣⎦（）（）的定义域为R ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，．【解析】（1）由已知不等式()1f x x x <++，得21x x x -<++， 当2x >时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得3x >-，所以2x >； 当12x -≤≤时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得13x >，所以123x <≤； 当1x <-时，由21x x x -<--得3x >，此时无解． 综上可得所求不等式的解集为13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．（2）要使函数()()2log 32y f x f x a ⎡⎤=++-⎣⎦的定义域为R ， 只需()()()32g x f x f x a =++-的最小值大于0即可．又()12212232g x x x a x x a a =++--≥+-+-=-，当且仅当[]12x ∈-，时取等号． 所以只需320a ->，即32a <． 所以实数a 的取值范围是32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，． 【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．13．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学】已知函数()211f x x x =-++．（1）解不等式()3f x ≥；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若,,a b c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．【答案】（1）{}11x x x ≤-≥或；（2）914．【解析】（1）由题意，3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，所以()3f x ≥等价于133x x ≤-⎧⎨-≥⎩或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≥⎩或1233x x ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩．解得1x ≤-或1x ≥，所以不等式的解集为{}11x x x ≤-≥或； （2）由（1）可知，当12x =时，()f x 取得最小值32， 所以32m =，即233a b c ++=， 由柯西不等式得2222222()(123)(23)9a b c a b c ++++≥++=， 整理得222914a b c ++≥， 当且仅当123a b c ==时，即369,,141414a b c ===时等号成立． 所以222a b c ++的最小值为914．【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的应用，熟记不等式解法以及柯西不等式即可，属于常考题型．14．【四川省成都市第七中学2019届高三二诊模拟考试数学】已知000a b c >>>，，设函数f x x b x c a x =-+++∈R （），．（1）若1a b c ===，求不等式5f x <（）的解集； （2）若函数f x （）的最小值为1，证明：14918a b c a b b c c a++≥+++++（）． 【答案】（1）(2,2)-；（2）详见解析．【解析】（1）1a b c ===，不等式()5f x <，即|1||1|4x x -++<， 当1x ≤-时，11421x x x ---<⇒-<≤-， 当11x -<<时，11411x x x -+-<⇒-<<， 当1x ≥时，11412x x x -++<⇒≤<，∴解集为(2,2)-；（2）()f x x b x c a =-+++x c x b a ≥+--+（）（）b c a =++，∵000a b c >>>，，，∴min ()1f x a b c =++=， ∴149a b b c c a ++=+++149a b b c c a ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭a b c ++（） 11492a b b c c a ⎛⎫=++ ⎪+++⎝⎭a b b c a c +++++（）22212⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦222⎡⎤++⎣⎦212≥1818a b c ==++（）． 【点睛】考查了含绝对值不等式的解法，考查了基本不等式，考查了不等式的证明，难度中等偏难．15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】已知函数()21f x x x =-+，且a b c ∈R ，，． （1）若1a b c ++=，求()()()f a f b f c ++的最小值；（2）若1x a -<，求证：()()()21f x f a a -<+．【答案】（1）73；（2）见解析 【解析】（1）由柯西不等式得，()22221433a b c a b c ++≥++=（当且仅当23a b c ===时取等号），所以()()()()()222473133f a f b f c a b c a b c ++=++-+++≥+=， 即()()()f a f b f c ==的最小值为73； （2）因为1x a -<，所以()()()()22•11f x f a x a x a x a x a x a -=---=-+-<+-()()()()212112121x a a x a a a a =-+-≤-+-<++=+，故结论成立．【点睛】本题考查了利用柯西不等式求最值，考查了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题．16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】已知函数()25f x x a x =-+，其中实数0a >．（1）当3a =时，求不等式()51f x x ≥+的解集；（2）若不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x ≤-，求a 的值．【答案】（1）不等式()51f x x ≥+的解集为{|12}x x x ≤≥或；（2）3a =【解析】（1）当3a =时，()51f x x ≥+可化为231x -≥，由此可得1x ≤或2x ≥，故不等式()51f x x ≥+的解集为{|12}x x x ≤≥或；（2）法一：（从去绝对值的角度考虑）由()0f x ≤，得25x a x -≤-， 此不等式化等价于2250a x x a x ⎧≥⎪⎨⎪-+≤⎩或()2250a x x a x ⎧<⎪⎨⎪--+≤⎩， 解得27a x a x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或23a x a x ⎧<⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩， 因为0a >，所以不等式组的解集为{|}3ax x ≤-， 由题设可得13a -=-，故3a =． 法二：（从等价转化角度考虑）由()0f x ≤，得25x a x -≤-，此不等式化等价于525x x a x ≤-≤-，即为不等式组5225x x a x a x ≤-⎧⎨-≤-⎩，解得37a x a x ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 因为0a >，所以不等式组的解集为{|}3a x x ≤-， 由题设可得13a -=-，故3a =． 法三：（从不等式与方程的关系角度突破）因为{|1}x x ≤-是不等式()0f x ≤的解集，所以1x =-是方程()0f x =的根，把1x =-代入250x a x -+=得37a a ==-或，因为0a >，所以3a =．【点睛】本题考查解绝对值不等式，不等式问题中求参数范围的问题，难度较小．17．【广东省揭阳市2019届高三高考二模数学】已知正实数x ，y 满足x +y =1．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211(1)(19x y --≥）． 【答案】（1）1[16，）．（2）见解析． 【解析】（1）∵1x y +=，且0x >，0y >， ∴0152522212x x y x y x x <<⎧⎪++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩， 01011112121222x x x x x x x <<<<⎧⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨-≤+-+≤-≤+⎪⎪⎩⎩（）， 解得116x ≤<，所以不等式的解集为1[16，）． （2）解法1：∵1x y +=，且00x y >>，， ∴2222222211()()(1)(1)x y x x y y x y x y+-+---=⋅ 222222xy y xy x x y ++=⋅222222()()y y x x x x y y =++225x y y x =++59≥=． 当且仅当12x y ==时，等号成立． 解法2：∵1x y +=，且00x y >>，， ∴2222221111(1)(1)x y x y x y----=⋅ 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅22(1)(1)x y y x x y ++=⋅1x y xy xy+++=21xy =+2219()2x y ≥+=+，当且仅当12x y ==时，等号成立． 【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题．对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法．而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式．。

2019年高中数学单元测试试题 不等式专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭,则A B 所表示的平面图形的面积为（ ） A ．34π B ．35π C ．47π D ．2π（2012重庆理）2．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入减去总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为A ．50，0B ．30，20C ．20，30D ．0，503．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪⎪--≤⎨⎪≥⎪⎩,则实数m 的最大值为（ ）A ．-1B ．1C ．32D ．2 （2012福建文）4．不等式组⎩⎨⎧<-<-030122x x x 的解集是（ ） A ．{x|－1＜x ＜1}B ．{x|0＜x ＜3}C ．{x|0＜x ＜1}D ．{x|－1＜x ＜3}（2002北京1）5．下列不等式一定成立的是 A.B.C. D.6．不等式|2x －log 2x |＜2x ＋|log 2x |的解集为A ．(1，2)B ．(0，1)C ．(1，+∞)D ．(2，+∞)7．给出下列三个命题：①若1->≥b a ,则bb a a +≥+11；②若正整数m 和n 满足n m ≤,则2)(n m n m ≤-；③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆2O 以),(b a Q 为圆心且半径为1.当1)()(2121=-+-y b x a 时,圆1O 与圆2O 相切其中假命题的个数为（ ）(A) 0(B) 1 (C) 2 (D)3(2005天津理)8．已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ）（陕西卷10）A ．7B ．5C ．4D ．3第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．不等式(1||)(1)0x x -+>的解集是__________________10．关于x 的不等式04)2(2)2(2>+---x a x a 对一切实数x 都成立，则a 的范围是 ；关键字：解一元二次不等式；最高次项系数含参；恒成立问题；求参数的取值范围11．设全集U =R ，2={|<0}+1-x A x x ，B ={x | sin x}，则=B A ▲ ．π[,2)3 12．如果实数.x y 满足不等式组22110,220x x y x y x y ≥⎧⎪-+≤+⎨⎪--≤⎩则的最小值是13．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3,0,06x y x y x 表示的平面区域的面积为 。

单元评估检测(六) 不等式、推理与证明(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．1ab ≥12 B ．1a ＋1b≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤18D2．(2017·新乡模拟)若集合A ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，则A ∩B ＝( ) 【导学号：00090397】A ．(－1,3)B ．(－1,5)C ．(2,5)D ．(2,3)D3．已知a ，b ，x ，y 都是正实数，且1a ＋1b＝1，x 2＋y 2＝8，则ab 与xy 的大小关系为( )A ．ab ＞xyB ．ab ≥xyC ．ab ＜xyD ．ab ≤xyB4．(2017·唐山模拟)不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．14D ．－14D5．(2017·济宁模拟)在坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为( )A ．2 2B ．83C ．223D ．2B6．若－1＜a ＜0，则关于x 的不等式(x －a )·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0的解集是( )A ．{x |x ＞a }B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1aC ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞a 或x ＜1a D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1a 或x ＜aC7．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝( ) A ．(n －m )(nd －mc )B ．(nd －mc )n －mC ．n －m d n c mD ．n －md n ·c mC8．已知函数f (x )＝16x 2－28x ＋114x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜54，则函数f (x )的最大值为( )A ．114B ．54C ．1D ．14C9．(2017·临汾模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 D10．当x ＞0时，x 2＋1≥2x ，在用分析法证明该不等式时执果索因，最后索的因是( )A ．x ＞0B ．x 2≥0 C ．(x －1)2≥0 D ．(x ＋1)2≥0C11．已知实数x ，y 满足x ＞y ＞0且x ＋y ＝14，则2x ＋3y ＋1x －y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．6＋4 2D ．8＋4 2C12．(2017·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知a ＞b ＞0，则a ，b ，ab ，a ＋b2四个数中最大的一个是________．a14．已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．415．(2017·福州模拟)设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n ＞4时，f (n )＝________(用n 表示)． 12(n ＋1)(n －2) 16．已知A (－1,0)，B (0，－1)，C (a ，b )三点共线，若a ＞－1，b ＞－1，则1a ＋1＋1b ＋1的最小值为________． 4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－n .(1)证明{a n }是等差数列． (2)若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，试证明T n ＜14. 【导学号：00090398】 【证明】 (1)因为S n ＝2n 2－n . 所以a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －2(n －1)2＋(n －1)＝4n －3. 对n ＝1也成立．所以a n ＝4n －3.a n ＋1－a n ＝4(n ＋1)－3－4n ＋3＝4，是常数．所以数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1n －n ＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －3－14n ＋1所以T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －3－14n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＋1＜14. 18．(12分)如图1，在四棱锥P ­ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AB 的中点．图1求证：(1)直线EF ∥平面PBC ． (2)平面DEF ⊥平面PAB ． 略19．(12分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋B ．(1)求f (1)＋f (3)－2f (2)．(2)求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.[解] (1)因为f (1)＝a ＋b ＋1，f (2)＝2a ＋b ＋4，f (3)＝3a ＋b ＋9，所以f (1)＋f (3)－2f (2)＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则－12＜f (1)＜12，－12＜f (2)＜12，－12＜f (3)＜12.所以－1＜－2f (2)＜1，－1＜f (1)＋f (3)＜1， 所以－2＜f (1)＋f (3)－2f (2)＜2， 这与f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾， 所以假设错误，即所证结论成立．20．(12分)已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，z ＝2x ＋y .x －1≥0，设z 的最大值、最小值分别为M ，m .(1)若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b＝m ，试求12a ＋36b ＋5的最小值．(2)若m ≤a ＋b ≤M ，试求a 2＋b 2的最小值． (1)21＋8 3 (2)9221．(12分)(2017·保定模拟)给定数列a 1，a 2，…，a n .对i ＝1,2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项(a i ＋1，a i ＋2，…，a n )的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i . (1)设数列{a n }为3,4,7,1，写出d 1，d 2，d 3的值．(2)设a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1＞0，证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列． [解] (1)d 1＝A 1－B 1＝3－1＝2，d 2＝A 2－B 2＝4－1＝3，d 3＝A 3－B 3＝7－1＝6.(2)由a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1＞0，可得{a n }的通项为a n ＝a 1·q n －1且为单调递增数列．于是当k ＝2,3，…，n －1时，d k d k －1＝a k －a k ＋1a k －1－a k ＝a 1q k －1－a 1q ka 1q k －2－a 1q k －1＝q 为定值．因此d 1，d 2，…，d n －1构成首项d 1＝a 1－a 2，公比为q 的等比数列．22．(12分)据市场分析，某绿色蔬菜加工点，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y (万元)可以看成月产量x (吨)的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元．(1)写出月总成本y (万元)关于月产量x (吨)的函数解析式．(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获得最大利润．(3)若x ∈[10，c ](10＜c ≤25)，当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低，最低成本是多少万元？ [解] (1)由题意，设y ＝a (x －15)2＋17.5(a ＞0)，把x ＝10，y ＝20代入，得25a ＝20－17.5，a ＝110，所以y ＝110(x －15)2＋17.5＝110x 2－3x ＋40，x ∈[10,25]．(2)设月利润为g (x )，则g (x )＝1.6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 2－3x ＋40＝－110(x 2－46x ＋400)＝－110(x －23)2＋12.9，因为x ∈[10,25]，所以当x ＝23时，g (x )max ＝12.9. 即当月产量为23吨时，可获最大利润． (3)每吨平均成本为y x ＝110x ＋40x－3≥24－3＝1. 当且仅当x 10＝40x，即x ＝20时“＝”成立．因为x ∈[10，c ]，10＜c ≤25，所以①当20≤c ≤25时，x ＝20时，每吨平均成本最低，最低为1万元．②当10＜c ＜20时，y x ＝110x ＋40x－3在[10，c ]上单调递减，所以当x ＝c 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫y xmin ＝c10＋40c－3. 故当20≤c ≤25时，月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低为1万元； 当10＜c ＜20时，月产量为c 吨时，每吨平均成本最低，最低为⎝⎛⎭⎪⎫c 10＋40c －3万元．。