8正方形的性质与判定

正方形的性质和判定1、互动探索正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角，因此它既是矩形又是菱形，那么今天我们看下面图形来研究下它的性质和判定方法。

知识点一（正方形的性质和判定）【知识梳理】1、定义：有一组邻边并且有一角是的形叫做正方形。

2、性质：①正方形的四个角都是，四条边都。

②正方形的两条对角线，并且互相，每条对角线。

3、判定：①的矩形是正方形。

②的菱形是正方形。

③两条对角线，且互相垂直平分的四边形是正方形。

④两条对角线相等，且互相垂直的平行四边形是正方形。

4.面积：①正方形面积=边长的平方 S=a×a(S表示正方形的面积，a表示正方形的边长)②对角线乘积的一半5.周长：正方形周长=边长×4 用“a”表示正方形的边长，“C”表示正方形的周长，则C=4a【例题精讲】例1.1、如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边重点连线EF为边的正方形EFGH的周长为。

（第1题）（第2题）2、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，正方形ABCD的边长为3，则△ECF的周长为。

3、如图，正方形ABCD的边长为7，点E、F分别在AB、BC上，AE=3，CF=1，P是对角线AC上的个动点，则PE+PF的最小值。

（第3题）（第4题）4、如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为。

【课堂练习】1、如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是。

2、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠BCP度数是。

（第1题）（第2题）（第3题）3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为。

正方形知识精讲一、正方形的定义有一组邻边相等、一个内角是的平行四边形叫做正方形。

二。

正方形的性质１、正方形的四条边都相等,四个角都是直角;2、正方形既是矩形,又是菱形,它既有矩形的性质,又有菱形的性质、3、正方形是轴对称图形,对称轴有４条、三、正方形的判定1、有一组邻边相等的矩形是正方形;2、有一个角是直角的菱形是正方形;3、对角线互相垂直的矩形是正方形;4、对角线相等的菱形是正方形;５、对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形;６、四条边相等且四个角是直角的四边形是正方形、四、弦图模型如图１,Ｒｔ△ＤＣＥ≌Rt△CAF;如图２,Rt△ＢAE≌Rｔ△ＣBF、三点剖析一、考点:１。

正方形的性质;２、正方形的判定;３、弦图模型二、重难点:正方形性质的应用和判定;弦图模型、三。

易错点:正方形、矩形、菱形性质与判定的区别、例题讲解一:性质例2、1、1如图,在正方形ABCD中,点F为ＣＤ上一点,BF与AC交于点E、若∠CBF=20°,则∠AＥD等于度、【答案】65【解析】∵正方形ABCD,∴AB=AＤ,∠BAE=∠DAＥ,在△ABE与△ＡDＥ中,∴△ABE≌△ADE(SAS),∴∠AEB=∠ＡED,∠AＢE=∠ＡＤE,∵∠CBF＝2０°,∴∠ABＥ=7０°,∴∠AED＝∠AEB=１80°﹣45°﹣7０°=6５°,例2。

1、2如图,正方形ABＣＤ的对角线ＡC与ＢＤ相交于点O,∠ACB的角平分线分别交AB、BＤ于M、N两点,若AM=2,则正方形的边长为( )A、4B、3C、２+D、【答案】Ｃ【解析】过点M作MF⊥AＣ于点Ｆ,如图所示、∵ＭＣ平分∠ACB,四边形ABＣD为正方形,∴∠ＣAB=45°,FM=BＭ。

在Rt△AFM中,∠AＦM=90°,∠FAＭ=45°,AM＝２,∴FM=AM•sin∠FＡM=、AB＝ＡM+MＢ=2+、例2、1。

正方形的性质与判定1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2.性质：（1）对边平行；（2）四条边都相等；（3）四个角都是直角；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3.面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形；（3）一组邻边相等的矩形是正方形（4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形随堂练习1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．对角线平分一组对角2. 已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )A ．选①②B ．选②③C ．选①③D ．选②④3.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ ）A ．BC ＝ACB ．CF ⊥BFC ．BD ＝DF D ．AC ＝BF第3题 第4题 第5题 第6题4.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°5.如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，），则点B 的坐标为（ ）A ．（1﹣， +1）B ．（﹣， +1）C ．（﹣1，+1） D ．（﹣1，）6.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A． B． C．1 D．1﹣7.正方形ABCD中E为线段BC上的动点如图①，过A作AF⊥DE，F为垂足，延长AF交DC于G如图②，①求证：AG＝DE②连接BF，当E为BC中点时，求证：AB＝FB．巩固提升1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③C．①③ D．②④2.如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR的值为（）A． B． C．D．第2题第3题第4题3.如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.2B.3C.23 D 34.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 (x)上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…，则正方形A 2019B 2019C 2019D 2019的边长是（ ）A.()201821B ．()201921C ．()201833D ．()2019335.如图，正方形CEFG 的边GC 在正方形ABCD 的边CD 上，延长CD 到H ，使DH ＝CE ，K 在BC 边上，且BK ＝CE ，求证：四边形AKFH 为正方形．。

正方形的性质与判定正方形是一种特殊的四边形，具有特定的性质和判定条件。

本文将对正方形的性质进行分析，并介绍如何判定一个四边形是否为正方形。

一、正方形的定义和性质正方形是一种具有四条相等边和四个直角的四边形。

以下是正方形的一些性质：1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，记为a。

2. 直角：正方形的四个角都是直角，即90度。

3. 对角线相等：正方形的对角线相等，记为d。

4. 对角线垂直：正方形的对角线互相垂直，即两条对角线的夹角是直角。

二、正方形的判定条件如何判定一个四边形是否为正方形呢？下面是几种常见的判定条件：1. 边长相等且对角线相等：如果一个四边形的四条边长度相等且对角线相等，则这个四边形是正方形。

2. 边长相等且对角线互相垂直：如果一个四边形的四条边长度相等且对角线互相垂直，则这个四边形是正方形。

3. 内角相等且边长相等：如果一个四边形的四个内角都是直角（90度），且四条边长度相等，则这个四边形是正方形。

三、应用举例1. 例1：已知一个四边形的边长都是5厘米，并且对角线相等，判断这个四边形是否是正方形。

根据判定条件1，边长相等且对角线相等，则可以判断这个四边形是正方形。

2. 例2：已知一个四边形的边长都是4厘米，并且对角线互相垂直，判断这个四边形是否是正方形。

根据判定条件2，边长相等且对角线互相垂直，则可以判断这个四边形是正方形。

3. 例3：已知一个四边形的内角都是直角，且边长相等，判断这个四边形是否是正方形。

根据判定条件3，内角都是直角且边长相等，则可以判断这个四边形是正方形。

四、正方形的应用领域正方形作为一种特殊的四边形，具有独特的性质，在很多领域都有广泛的应用：1. 建筑设计：正方形的对称性使得它在建筑设计中常用于布局规划，例如正方形的房间、庭院等。

2. 绘画和艺术：正方形作为一种几何图形，在绘画和艺术作品中常常被用作构图元素，营造平衡和和谐感。

3. 数学研究：正方形是数学研究中的重要对象，与其他几何形状有着密切的联系，深入研究正方形的性质可以推广到其他领域。

正方形的性质及判定复习1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E。

（1）求证：四边形AODE是菱形；（2）连接BE，交AC于点F，若BE⊥ED于点E，求∠AOD的度数。

2、已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD。

（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若AB＝4，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积。

知识点一正方形的性质、判定【知识梳理】1、定义：有一组邻边并且有一角是的形叫做正方形。

2、性质：①正方形的四个角都是，四条边都。

②正方形的两条对角线，并且互相，每条对角线。

3、判定：①的矩形是正方形。

②的菱形是正方形。

③两条对角线，且互相垂直平分的四边形是正方形。

④两条对角线相等，且互相垂直的平行四边形是正方形。

4、面积：①正方形面积＝边长的平方 S＝a×a（S表示正方形的面积，a表示正方形的边长）②对角线乘积的一半5、周长：正方形周长＝边长×4 用“a”表示正方形的边长，“C”表示正方形的周长，则C＝4a。

【例题精讲】例1.1、如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为。

（第1题）（第2题）2、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，正方形ABCD的边长为3，则△ECF的周长为。

3、如图，正方形ABCD的边长为7，点E、F分别在AB、BC上，AE＝3，CF＝1，P是对角线AC上的动点，则PE＋PF的最小值。

（第3题）（第4题）4、如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，当PD＋PE的值最小时，PD＝。

【课堂练习】1、如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH。

若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是。

正方形的性质与判定正方形是一种特殊的四边形，它具有独特的性质和判定方法。

本文将详细介绍正方形的性质，并探讨如何准确地判定一个四边形是否为正方形。

一、正方形的性质1.四边相等：正方形的四条边长相等，即AB = BC = CD = DA。

2.四个角相等：正方形的四个内角都是直角，即∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。

3.对角线相等：正方形的对角线互相垂直且相等，即AC = BD。

4.对角线平分角：正方形的对角线将内角平分，即∠BAD = ∠BCD = 45°。

5.对角线平分边：正方形的对角线平分相邻边，即AB = BC = CD = DA = AC = BD。

二、判定一个四边形是否为正方形判定一个四边形是否为正方形通常有两种方法，包括几何性质判定和长度关系判定。

1.几何性质判定若一个四边形满足以下条件之一，那么它是一个正方形：（1）四边相等且四个角都是直角；（2）对角线相等且相互垂直。

2.长度关系判定若一个四边形满足以下条件之一，那么它是一个正方形：（1）四边相等且其中一条对角线的平方等于两条相邻边长度的平方之和；（2）对角线相等且任意一条边的平方等于对角线长度的平方的一半。

三、应用案例案例一：判定四边形ABCD是否为正方形，已知AB = 5cm，∠A = ∠B = 90°。

解析：根据正方形的性质可知，当四边相等且四个角都是直角时，该四边形为正方形。

由已知条件可知AB = BC = CD = DA，并且∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。

因此，四边形ABCD是一个正方形。

案例二：判定四边形EFGH是否为正方形，已知EF = 7cm，GH = 4cm，EG = FH = 5cm。

解析：根据正方形的判定方法可知，当四边相等且其中一条对角线的平方等于两条相邻边长度的平方之和时，该四边形为正方形。

由已知条件可知EF = FG = GH = HE = 5cm，且EG = FH = 5cm。

专题03 正方形的性质与判定（八大类型）【题型1 正方形的性质】【题型2 正方形的判定】【题型3 矩形的性质与判定综合运用】【题型4 正方形中最小值问题】【题型5 正方形-对角互模型】【题型6 正方形-半角互模型】【题型7 正方形-手拉手模型】【题型8 正方形-十字架模型】【题型1 正方形的性质】1．（2023春•增城区期中）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB度数为（）A．10°B．15°C．22.5°D．30°2．（2023春•鼓楼区期中）矩形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．邻边相等C．对角线互相垂直D．对角线平分对角3．（2023春•张北县校级期中）四边形ABCD是正方形，E为CD．上一点，连接AE，过B作BF⊥AE于E，∠ABF＝30°且，则正方形ABCD的周长为（）A．B．C．24D．6 4．（2023•官渡区校级模拟）用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形ABCD，测得BD＝10cm，活动学具成图（2）所示的四边形ABCD，测得∠A＝120°，则图（2）中BD的长是（）A．cm B．cm C．cm D．cm 5．（2023•龙川县一模）如图，P为AB上任意一点，分别以AP，PB为边在AB 同侧作正方形APCD、正方形PBEF，连接AF，BC，设∠CBE＝x°，∠AFP ＝y°，则y与x的关系为（）A．y＝x B．y＝2x C．y＝180﹣x D．y＝90﹣x 6．（2023•巧家县一模）如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，F为线段BC的中点，连接EF，则线段EF的长为（）A．B．C．1D．2 7．（2023•新华区模拟）一个正方形和一个直角三角形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（）A．α﹣45°B．α﹣90°C．270°﹣αD．180°﹣α8．（2023春•苏州期中）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE交对角线于点F，连接DF，若∠ABE＝35°，则∠CFD的度数为（）A．80°B．70°C．75°D．45°9．（2023•碑林区校级二模）如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连接AP，EF，若AP＝5，则EF＝（）A．5B．5C．2.5D．10．（2023•五华区校级模拟）如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得∠B＝60°，对角线AC＝10cm，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接BE，则图3中△BCE的面积为（）A．cm2B．50cm2C．cm2D．25cm2 11．（2023春•天津期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，点F分别是BC，AB上的点，连接DE，DF，EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝1，则EF的长为（）A．B．C．D．12．（2022春•汉阴县期末）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB ＝S四边形DEOF中，正确结论的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个13．（2022春•新泰市期中）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD 的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+CE2＝EF2.其中正确的为.（将正确的序号都填入）14．（2022春•长春期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝40cm，则图1中对角线AC的长为cm．【题型2 正方形的判定】15．（2023春•黄埔区期中）下列说法错误的是（）A．对角线相等的菱形是正方形B．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线垂直且相等的四边形是正方形16．（2023•雁塔区校级二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使该矩形成为正方形，则应添加的条件是（）A．CD＝AD B．OD＝CD C．BD＝AC D．∠AOB＝60°17．（2022春•铁岭县期中）小明在学习了正方形以后，给同桌小文出了道题：从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形．现有下列四种选法你认为错误的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④18．（2022•鼓楼区校级开学）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CM＝DN，则四边形EFMN的形状是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形19．（2022春•河西区期末）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（）A．∠AFP＝∠BPQB．EF∥QPC．四边形EFPQ是正方形D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半20．（2023•莱西市一模）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点，AC ＝EC．（1）求证：△BCD≌△CBE；（2）△ACE添加一个条件，矩形ABCD为正方形．请说明理由．21．（2023春•鼓楼区校级月考）如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．连接EF，若BE⊥EC，EF⊥BC，说明：四边形EGFH是正方形．22．（2022秋•皇姑区期末）如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若∠B＝35°，当∠C＝度时，四边形AEDF为正方形（直接填空）．23．（2022秋•东港市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB 的中点，连接CD，过点C作CE∥AB，过点B作BE∥CD，CE，BE交于点E．（1）判断四边形CDBE是什么特殊的四边形，并证明；（2）直接写出当△ABC再满足什么条件时，四边形CDBE是正方形．24．（2022春•隆阳区期中）如图，点B，C，F在同一条直线上，AC⊥BF于点C，且AC＝BC，连接AB，取AB的中点D，连接CD，过点A作CE的垂线，垂足为E，已知点E到直线AC和CF的距离相等．求证：四边形ADCE是正方形．25．（2021秋•平远县期末）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC 的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（2）当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形．【题型3 正方形的性质与判定综合运用】26．（2023春•任城区校级月考）如图所示△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CEDF为正方形；（2）若AC＝12，BC＝16，求CE的长．27．（2022春•南谯区校级月考）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．（1）求证：BE＝DE；（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．28．（2022春•海阳市期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．（1）求证：矩形ABCD为正方形：（2）若AE：EB＝2：1，△AEG的面积为4，求四边形BEGF的面积．29．（2022春•关岭县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF∥AC，交AB于点F．（1）求证：四边形AFDE是正方形；（2）若AD＝3，求四边形AFDE的面积．30．（2022春•覃塘区期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD 边上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若，BE＝1，求四边形ABCD的面积．31．（2022春•交口县期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．（1）求证：AK＝AH；（2）求证：四边形AKFH是正方形；（3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．【题型4 正方形中最小值问题】32.（2021春•龙口市期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（）A．B．C．4D．333.（河西区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为（）A．2B．4C．D．234．（铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值．35．（2021•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为．36．（2021秋•江汉区月考）已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并证明；（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）如图3，连接BG，N为BG中点，若AB＝13，CE＝5，则MN的最大值为．【题型5 正方形-对角互模型】37.（2021秋•锦江区期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC 于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为（）A．6B．7C．8D．938.（2021•重庆）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（）A．1B．C．2D．2 39．（2022春•龙胜县期中）如图，两个边长相等的正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，则两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（）A．不变B．先增大再减小C．先减小再增大D．不断增大40．（2021春•正阳县期中）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2、…A n分别是正方形对角线的交点，则2021个正方形形成的重叠部分的面积和为（）A．cm2 B．505cm2C．cm2 D．（）2021cm2 41.（2020•呼伦贝尔）已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．求证：CE＝DF．42.（2021•深圳模拟）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON；（2）若正方形ABCD的边长为6，OE＝EM，求MN的长．【题型6 正方形-半角互模型】43．（1）如图①，正方形ABCD①中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF ＝45°，延长CD到点C，使DG＝BE，连接EF、AG，求证：EF＝FG；（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在边BC上，且∠MAN ＝45°，若BM＝2，AB＝AC，CN＝3，求MN的长．44．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．（1）当∠MAN绕点A旋转到（如图1）时，求证：BM+DN＝MN；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图2的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？请直接写出你的猜想．（不需要证明）45．把一个含45°的三角板的锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，然后把三角板绕点A顺时针旋转，它的两边分别交直线CB、DC于点M、N．（1）当三角板绕点A旋转到图（1）的位置时，求证：MN＝BM+DN．（2）当三角板绕点A旋转到图（2）的位置时，试判断线段MN、BM、DN 之间具有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明．【题型7 正方形-手拉手模型】46．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．（1）求证：EB＝GD；（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；（3）若AB＝3，AG＝，求EB的长．47.点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE 和BCFG，连接AF、BD．（1）如图①，AF与BD的数量关系和位置关系分别为，；（2）将正方形BCFG绕着点C顺时针旋转α角（0°＜α＜360°），①如图②，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由；②若AC＝4，BC＝，当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，求DB的长度．【题型8 正方形-十字架模型】48.（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E．若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为（）A．80°B．75°C．70°D．65°49.（2022•灞桥区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（）A．1B．2C．D．250．（2022春•孝南区期中）如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P 与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E．（1）求证：AP⊥BQ；（2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD 之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM的长度．51．（2021春•船营区校级期中）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的点，连接CE，过点D作DF⊥CE，分别交BC，CE于点F、G．（1）求证：CE＝DF；（2）若AB＝3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△DCG的面积为，CG+DG的长为．52．（2020秋•莲湖区期中）（1）如图1，在正方形ABCD中，AE、DF相交于点O且AE⊥DF则AE和DF的数量关系为．（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边AD、BC、CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．（3）如图3，在正方形ABCD中，E、F、M分别是边AD、BC、AB上的点，AE＝2，BF＝5，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点恰好与CD边上的点N重合，求CN的长度．。

正方形的性质与判定正方形是几何学中常见的一个形状，具有许多独特的性质和特点。

本文将探讨正方形的性质与判定方法。

一、正方形的定义正方形是一种四边相等且四个角均为直角的特殊四边形。

它既是矩形，也是菱形，同时也是正多边形。

正方形的特点使其在几何学中具有重要的地位。

二、正方形的性质1. 边长性质正方形的四条边长度相等，即AB=BC=CD=DA。

2. 角度性质正方形的四个内角均为直角，即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°。

3. 对称性质正方形具有各种对称性质。

其中包括中心对称、对角线对称和轴对称。

正方形可绕其中心旋转180°得到一模一样的图形。

4. 对角线性质正方形的对角线相等且垂直平分对方的角。

即AC=BD=2r，且AC⊥BD。

5. 对应边平行性质正方形的对边是平行的，即AB∥CD，BC∥AD。

三、正方形的判定方法确定一个四边形是否是正方形可以根据以下几种常见的判定方法。

1. 边长判定如果一个四边形的四条边长度均相等，则可以判定为正方形。

2. 角度判定如果一个四边形的四个内角均为直角，则可以判定为正方形。

3. 对角线判定如果一个四边形的对角线相等且垂直平分对方的角，则可以判定为正方形。

4. 组合判定可以结合使用边长、角度和对角线的性质来判定一个四边形是否是正方形。

例如，如果一个四边形的对边平行且相等，并且对角线垂直且相等，则可以判定为正方形。

四、应用举例正方形的性质和判定方法在几何学中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景。

1. 建筑设计在建筑设计中，正方形的对称性和稳定性使其成为设计方案中常见的形状之一。

例如，一些公共广场的地面铺装常采用正方形的铺砖方式。

2. 基础几何证明正方形的性质经常被用于解决数学几何证明问题。

例如，可以利用正方形的对角线性质证明勾股定理。

3. 计算机图形学在计算机图形学中，正方形常被用作显示屏幕的基本像素单位，通过在像素网格中填充正方形像素来构建图像。

正方形的性质和判定正方形是几何学中的一种特殊形状，它具有许多独特的性质和判定方法。

本文将详细介绍正方形的性质以及如何准确地判定一个形状是否为正方形。

一、正方形的性质正方形是一种具有四条相等边且四个内角均为90度的四边形。

以下是正方形的主要性质：1. 边长性质：正方形的四条边长度相等，记为a。

2. 内角性质：正方形的每个内角均为90度。

3. 对角线性质：正方形的对角线相等且垂直平分对方顶点的内角。

4. 对称性质：正方形具有对称性，笛卡尔坐标系中以正方形的中心为原点，可以将正方形分为四个相等的象限。

5. 封闭性质：正方形的四条边围成一个封闭的区域。

二、如何判定一个形状是否为正方形判定一个形状是否为正方形的关键在于验证其是否满足正方形的定义和性质。

以下是两种常见的判定方法：1. 边长相等判定：通过测量四条边的长度，如果它们相等，则可以初步判断该形状为正方形。

但该方法仅适用于已知各边长度的情况。

2. 内角度数判定：通过测量四个内角的度数，如果它们均为90度，则可以确定该形状为正方形。

注意，只有测量到了90度的误差范围内，才能断定该形状为正方形。

三、案例分析下面通过一个具体的案例演示如何判定一个形状是否为正方形：假设有一个形状ABCD，已知AB=BC=CD=DA=4厘米，同时角ABC=90度，我们需要判定该形状是否为正方形。

根据判定方法，首先我们测量四条边的长度，已知AB=BC=CD=DA=4厘米，满足正方形的边长性质。

接下来，我们需要测量四个内角的度数，已知角ABC=90度。

如果我们测量到剩余三个角的度数也均为90度，那么可以确定该形状为正方形。

在实际测量中，如果我们测得角BCD、角CDA和角DAB的度数也均为90度（在90度的误差范围内），那么该形状可以被判定为一个正方形。

四、总结正方形作为一种特殊的四边形，具有独特的性质和判定方法。

通过测量边长和角度数，我们可以判断一个形状是否满足正方形的定义。

正确理解和应用正方形的性质和判定方法，有助于我们更好地理解几何学中的基础概念，并能够准确判断形状的类型。

1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．一、正方形的性质【例1】 正方形有 条对称轴．【例2】 已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形【例3】 如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为FE D CBA【例4】 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为 ．正方形的性质及判定正方形菱形矩形平行四边形【例5】 将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为【例6】 如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF =OFE DC BA【例7】 如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连接CE ，P 是CE 上任意一点，PM BC ⊥于M ，PN BD ⊥于N ，则PM PN +的值为PNME DC BA【例8】 如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．EDCBA【例9】 如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.F EPDCB A【例10】 如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．M N CDO B A【例11】 如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=PDCBA【例12】 已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：BEF ∆是等腰直角三角形．GEHDFCBA【例13】 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠= ．NMFEDCBA【例14】 如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，则AFD ∠=FEDCBA【例15】 如果点E 、F 是正方形ABCD 的对角线BD 上两点，且BE DF =，你能判断四边形AECF 的形状吗？并阐明理由．E CDFBA【例16】 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．3142FE GHCDBA【例17】 如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．GFEBDA【例18】 如图所示，在正方形ABCD 中，AK 、AN 是A ∠内的两条射线，BK AK ⊥，BL AN ⊥，DM AK ⊥，DN AN ⊥，求证KL MN =，KL MN ⊥.K NMLDCB A【例19】 如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =.GC FEDBA【例20】 （2007年三帆中学期中考试）如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.BDCAEF【例21】 已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由．【例22】 若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为 ．【例23】 如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ． ⑴ 如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；⑵ 将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．图3图1图2H DGC FEBAOH GFEDC BA【例24】 如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，AQ DP ⊥，求证：（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥.ABCDEF E 'GBO D CA QP【例25】 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：AM AD =．MFEDCBA【例26】 如图，正方形ABCD 中，E F ，是AB BC ，边上两点，且EF AE FC DG EF =+⊥，于G ，求证： DG DA =G FEC DBA【例27】 如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数NMDCBA【例28】 如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，EG 与DF交于H ，求证：AH =正方形的边长．HEG CDF B A【例29】 把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．GCHF EDB A【例30】 如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.lPM FE DC BA【例31】 如图所示，ABCD 是正方形，E 为BF 上的一点，四边形AEFC 恰好是一个菱形，则EAB ∠=______. ABCDEF二、正方形的判定【例32】 四边形ABCD 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH ，求证：⑴四边形EFGH 对角互补；⑵若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形EFGH 为矩形． ⑶四边形ABCD 为长方形，则四边形EFGH 为正方形．HEFG DCBA【例33】 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE∆是等边三角形．⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．OEDCBA【例34】 已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ． ⑴ 求证：四边形ADCE 为矩形；⑵ 当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．M ENCDBA【例35】 如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F ，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形．PMF EDC BA【例36】 如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE a AF b ==，，若23EFGH S =，则b a -=H GFEDCBA【例37】 如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为27cm 和211cm ，则CDE∆ 的面积为GFEDCB A【例38】 如图，在正方形ABCD 中，点1P P ，为正方形内的两点，且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1BPP ∠= P 1PDC BA【例39】 如图，若在平行四边形ABCD 各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．PRQ S NMFEDCBA【例40】已知：PA4PB=，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB的大小.PDCBA。

正方形的性质与判定条件正方形是几何学中一个重要的形状，具有独特的性质和判定条件。

正方形是指具有四条相等边和四个直角的四边形。

本文将探讨正方形的性质与判定条件，以及其在几何学中的重要应用。

一、正方形的性质1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，即AB=BC=CD=DA。

2. 内角为直角：正方形的四个内角都是直角（即90度），即∠BAD=∠CDA=∠DCB=∠ABC=90°。

3. 对角线相等：正方形的对角线相等，即AC=BD。

4. 对角线互相平分：正方形的对角线互相平分，即AC和BD分别平分对方的两个内角，即∠BAD=∠CDA和∠ABC=∠BCD。

5. 对边互相平行：正方形的对边互相平行，即AB∥CD且BC∥DA。

二、正方形的判定条件1. 边长相等的四边形：若一个四边形的四条边长度相等，则它是一个正方形。

2. 直角四边形：若一个四边形的四个内角都是直角，则它是一个正方形。

3. 对角线相等且互相平分：若一个四边形的对角线相等且互相平分对方的两个内角，则它是一个正方形。

三、正方形的应用1. 建筑设计：正方形具有稳定的结构，常被应用于建筑设计中，如平面布局、房间设计等。

2. 四边形研究：正方形是四边形的一种特殊情况，通过了解正方形的性质，有助于深入理解其他类型的四边形。

3. 数学证明：正方形是许多几何学问题的理论基础，通过研究正方形的性质，可以推导出其他几何形状的性质和定理。

总结：正方形是一种具有四条相等边和四个直角的四边形，具有边长相等、内角为直角、对角线相等、对角线互相平分以及对边互相平行的性质。

正方形可以通过边长相等、直角四边形、对角线相等且互相平分的判定条件进行确认。

正方形在建筑设计、四边形研究和数学证明等领域有着广泛的应用。

通过深入了解正方形的性质与判定条件，可以拓展对几何学的认知，提高数学学习的效果。

以上就是关于正方形的性质与判定条件的文章。

正方形作为一种几何图形，其特点和性质在实际生活和学术领域中有着重要的应用和意义。

八年级数学—正方形的性质和应用正方形的性质：正方形同时具备平行四边形，矩形，菱形的所有性质。

①正方形四个角都是直角②四条边都相等③对角线互相垂直平分④每一条对角线平分一组对角⑤正方形是轴对称图形，有四条对称轴。

正方形的判定：同时满足菱形和矩形的判定即可。

常用判定有：①先证菱形后证一个角是直角②先证矩形后证一组邻边相等基础篇：例一、已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC②∠ABC=90°③AC=BD④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，下列选法错误的是（）A、①②B、②③C、①③D、②④例二、如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形。

（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形。

例三、如图，在正方形ABCD中，点P，Q是CD边上的两点，且DP=CQ，过D作DG⊥AP于H，分别交AC、BC于E、G，AP，EQ的延长线相交于R。

（1）求证：DP=CG；（2）判断△PQR的形状，并说明理由例四、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE。

（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？提高篇：例五、如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD于点F。

（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）求∠AFB的度数。

变式练习1：如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED 。

（1）求证：△BEC ≌△DEC（2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED=120°时，求∠EFD 的度数。

例六、如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且AE=EF=FA 。