组合与组合数公式(二)

（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴 中 美 中 古 中 俄 美 中 中国—古巴 美国—俄罗斯 美 古 美 俄 古 中 古 美 古 俄 中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯 俄 中 俄 美 俄 古
（2） 冠 军 亚 军
组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组 合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 m 组合数，用符号 C 表示
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题 (4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候， 组合问题 共需握手多少次? (5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题 (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
abc abd acd bcd
求A 可分两步考虑： 3 4 求 可分两步考虑：
P4
第一步， C 4 （ 4）个；
第二步， A3 （ 6）个；
根据分步计数原理， A4
3
3
3
3
CA
3 4
3 3
.
P A 从而C 4 C3 3 P3
3
3
A
3 4 4
3 4
3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的 所有组合分别是: ab , ac , bc (3个) 如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个 元素的所有组合.

组合与组合数公式
漯河实验高中高三数学组朱联朋
第一章 1.2.2 组 合
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系. 2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数
公式进行计算. 3.会解决一些简单的组合问题.
内
知识梳理
容
题型探究
索
随堂演练
②选出2名男教师或2名女教师参加会议，有__2_1__种不同的选法；
解析 可把问题分两类情况： 第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C26种方法； 第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C24种方法. 根据分类加法计数原理，共有 C26＋C24＝15＋6＝21(种)不同选法.
③现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有_9_0__种不同的选法.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.若 A3m＝6C4m，则 m 等于
A.9
B.8
√C.7
D.6
解析 A3m＝6C4m，∴m≥4 且 m∈N*， ∴m(m－1)(m－2)＝6·mm－4×13m×－22×1m－3， 即m－4 3＝1，∴m＝7.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和
乙型电视机各1台，则不同的取法种数为
A.84
√B.70
C.60
D.48
解析 根据结果分类：第一类，两台甲型机，有 C24·C15＝30(种)； 第二类，两台乙型机，有 C14·C25＝40(种). 根据分类加法计数原理，共有 C24·C15＋C14·C25＝70(种)不同的取法.

注意：
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个 元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m
次不放回地取出．
2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺 序，亦即元素没有位置的要求． 3．相同的组合
根据组合的定义，只要两个组合中的元素完
全相同，不管顺序如何，就是相同的组合．
四、练习：
2 8
例2．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个， 写出所有不同的组合． 解：要想列出所有组合，就要先将元素按照一 定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个 组合逐个标出来，如图所示：
由此可得所有的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
2 3 例 3 计算 C3 和 C ＋ C 7 6 6；
解答： (1)已知集合的元素具有无序性，因此含 3 个 元素的子集个数与元素的顺序无关， 是组合问题， 共有 C3 7个． (2)因为发件人与收件人有顺序区别，与顺序有关是排 列问题，共写了 A2 8个电子邮件． (3)同时通电话，无顺序，是组合问题，共通了 C 次电 话． (4)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数 是排列问题，有 A2 4种飞机票；票价只与两站的距离有关，故 票价的种数是组合问题，有 C2 4种票价．
【解析】
) C．8 D．9
B．7
2
xx－1 2 ∵Cx ＝ ＝36，
∴x(x－1)＝72，∴x＝9.
【答案】
D
3．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的 积的个数为________．
【解析】 【答案】 从四个数中任取两个数的取法为C2 4＝6. 6
4、在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初

A 第二步， 3 （ 6）个； 3
A C A 根据分步计数原理， 3

C3 4

P3 4
P3 3
4
3
4
3 3.
思考: Anm 和 Cnm 的关系？
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm

Anm Amm

n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm

n! m!(n
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少 种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点 的游览顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出
两个元素的所有组合分别是:
ab , ac , bc
(3个)
如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每
元素的子集有多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线 上共需准备多少种车票? 排列问题
有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个 学习小组，共有多少种分法? 组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互 问候，共需握手多少次? 组合问题
四、课堂小结
组合与组合数公式.
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并 成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合．
Cnm

Anm Amm

n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm

n! m!(n
m)!
探究与发现
组合数的两个性质

基础步骤，证明n=1和n=2时的组合数公式 成立。
步骤2
假设n=k时公式成立，推导n=k+1时的公式。
步骤3
由数学归纳法，得出结论对于所有正整数n， 组合数公式成立。
利用二项式定理的证明
步骤1
将组合数公式重写为与二项式定理形式相似的形式。
步骤2
利用二项式定理展开式中的系数与组合数公式中的系 数进行比较。
02
加密算法
组合数公式可以用于设计加密算法，通过计算不同字符或符号的组合数
量，增强信息的安全性。
03
信息传输
在无线通信和网络传输中，利用组合数公式可以优化信息的传输效率和
可靠性。通过对信号的不同组合方式进行编码和解码，可以提高通信系
统的性能。
感谢您的观看
THANKS
组合数表示从n个不同元素中取出m个 元素的组合的个数，记作C(n, m)或C(n, m)，其中C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)。
组合的特性
无序性
组合只考虑元素的排列顺序，不考虑元素的具体 位置。
可重复性
在组合中，可以重复选取同一个元素。
独立性
组合数不受元素数量的影响，只与选取的元素个 数有关。
01
概率分析
利用组合数公式，可以对彩票的概率进 行分析，帮助彩民更好地理解彩票的随 机性和公平性。
02
03
优化投注
通过计算不同组合下的中奖概率，彩 民可以优化自己的投注策略，提高中 奖的可能性。
在遗传学中的应用
基因组合
在遗传学中，基因的组合方式可以用组合数公式来表示。通过计算 基因组合的数量，可以了解生物体的遗传多样性。
组合数的上标和下标规则
上标和下标规则

卡特兰数定义
出现在各种计数问题中，可 以用递推公式计算。
递推公式及证明
卡特兰数的递推公式及基本 证明方法。
卡特兰数的应用
在栈、二叉树等问题中的应 用。
第一类斯特林数
1
定义
第一类斯特林数表示将n个元素分为k个非空循环排列的方案数。
2
递推公式及证明
利用递推公式计算第一类斯特林数，并给出递推公式的证明。
3
性质与推论
介绍第一类斯特林数的常见性质以及推论。
第二类斯特林数
1
定义
将n个物品分为k个非空集合的方案数。
2
Байду номын сангаас递推公式及证明
第二类斯特林数的递推公式及证明方法。
3
性质与推论
介绍第二类斯特林数的性质和推论，包括与欧拉数的关系。
拓展应用
指数生成函数
介绍如何利用指数生成 函数计算组合数公式中 的系数。
拓张欧拉定理
《组合数公式二》PPT课 件
这是一份介绍组合数公式的课件。我们将讨论卡特兰数和斯特林数，深入探 讨它们的性质和应用。
回顾组合数和公式一
组合数的定义
从n个元素中取r个元素的不重复组合数
组合数的性质
对称恒等式、递推公式等
组合数公式一
C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)
卡特兰数
介绍欧拉定理在组合数 问题中的应用。
应用实例
一些实际问题的组合数 解法，例如球和盒子问 题。
总结与展望
本课程介绍了组合数公式二中的卡特兰数和斯特林数，并讨论了它们的应用。未来，我们可以深 入研究更多的组合数问题。
感谢收听！

= (Cn + Cn ) + (Cn + C ) m1 m = Cm+1 + Cm n n = Cn+1 + Cn+1 m = Cm+1. n = Cn+2 .
m1 n
练习:
4 5 6 计算： 3 ⑴ 计算： C7 + C7 + C8 + C9 n n n ＝ + 求证： ⑵ 求证： Cm+2 2Cm1 m
组合与组合数公式 （二）
计算： （）C + C + C +L+C 1
2 2 2 3 2 4 2 10
(2)C
98 100
复习 一、组合的定义 二、组合数公式
P n(n 1)(n 2)L(n m+1) C = m= m! Pm
m n m n
n! C = m!(n m) !
m n
m +1 m+1 例２ 求证: C = Cn . nm n！ m 证明: QCn = , m（n m） ! !
推广: 推广 从
m n+1
1
1
1
2,
3,
m1 n
n+1
1
2,
3,
n+1
这n个不同的元素中取出 个元素的组合数为 个不同的元素中取出m个元素的组合数为 个不同的元素中取出 再由加法原理， 再由加法原理，得
c
n
，
性质2 性质

= cn + cn cn+1
m m
m1
定理2 :
C = C +C .
m n+1 m n m 1 n

（ 1 ）可以有多少个不同的组合？
（2）在这些组合里有多少个是含有a1的？
（3）在这些组合里有多少个是不含有a1的？
（4）从上面的结果可以得到一个怎样的公式？
a1 , a2 ,an1 这n+1个不同 的元素中，取出m个元素的组合数 c ，这些组合 可以分成两类：一类含a ，一类不含 a 。含 a 的组 a a a 合是从 这n个不同元素中取出m-1个 a a a a 元素的组合数为 c ；不含 的组合是从 m
C 2C C C m1 C ) (C C n ) C C . .
m 1 n m m n 1 n m m n n 1 m n m1 n 1m n
练习:
3 ⑴ 计算： C 7 C 74 C85 C 96 n n n 1 ＝ + ⑵ 求证： C m 2 2C m m
组合与组合数公式 （二）
计算：
2 2 2 3 2 4 2 10
（ 1 ）C C C C (2)C
98 100
复习
一、组合的定义 二、组合数公式
n(n 1)( n 2) (n m 1) P C m m! Pm
m n m n
n! C m !( n m) !
C
nm n
n！ n！ (n m) ![n （n m） ] ! m !( n m) !
C C
m n
n m n
.
3、性质1的应用 的计算简化
n (1)当m> 2时，利用这个公式，可使
c
m n
c c
9
98
7Leabharlann 97 92100 99 c100 c100 1 2 4950

c c c 7 97 29836
99
9 12
c c 98 2 100 994950
100 100 12
c c （2）当m=n时, 有
n 0 1
nn
所以规定
c0 1 n
性质2
1、（课本101例4）一个口袋内装有大小相同的 7个白球和1个黑球．
⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ ⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球， 有多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有 多少种取法？
证:明 Cm n m（ ! nn ！ m） !,
n m m 1C m n 1n m m 1(m 1 )(n !n !m 1 )!
m1
n!
(m1)!(nm)n (m1)!

n! m!(nm)!
Cmn .
写出从 a , b , c , d 四个元素中 任取三个元素的所有组合。
例3 平面内有12个点，任何3点不在 同一直线上,以每3点为顶点画一个三 角形,一共可画多少个三角形?
C132121110220
321
答:一共可画220个三角形.
思考交流
1. 从9名学生中选出3人做值日,有多 少种不同的选法?
(C39

987 321
84)
2. 有5 本不同的书,某人要从中借2本,
c 这n个不同的元素中取出m个元素的组合数为 n ，
再由加法原理，得
c c c 性质2 m m m1 n1 n n
定 2 :理 C m n 1 C m n C m n 1 .
证:明 C m nC m n 1
n!
n!
m!(nm)! (m1)[!n(m1)]!

粱模样的屁股更让人猜想。这； 搜索引擎优化 网站优化 ；有着活似弯月般的腿和青古磁色鹅掌般的爪子……瘦瘦的浅绿色蜜桃样的八条尾巴极为怪 异，水白色兔子般的短棍蟒鹰肚子有种野蛮的霸气。米黄色鲜笋模样的脚趾甲更为绝奇。这个巨魔喘息时有种青远山色瓶盖样的气味，乱叫时会发出蓝宝石色河马造型的声音
排列与组合
组合与组合数公式 （二）
播放时间：6月3日9:50－10:30
复习
一、组合的定义 二、组合数公式
组合数的两个性质
麦穗般的眉毛，配着青远山色轨道模样的鼻子。有着水蓝色砂锅造型的眼睛，和紫罗兰色灯笼般的耳朵，一张水蓝色话筒般的嘴唇，怪叫时露出淡紫色火舌般的牙齿，变态的 嫩黄色轻盈样的舌头很是恐怖，水绿色竹竿形态的下巴非常离奇。这巨魔有着酷似玩具般的肩胛和活像刀峰模样的翅膀，这巨魔轻灵的米黄色香肠样的胸脯闪着冷光，极似高
。这个巨魔头上浓绿色元宵模样的犄角真的十分罕见，脖子上仿佛画笔模样的铃铛显得极为小巧朦胧。壮扭公主兴奋道：“好玩，有创意！本公主相当喜欢！有什么花样快弄 出来我瞧瞧！”壮扭公主一边说着一边将身体变得和”璇网缸肚魔一样巨大……这时那伙校妖组成的巨大璇网缸肚魔忽然怪吼一声！只见璇网缸肚魔摇动彪悍的紫罗兰色灯笼 般的耳朵，一嚎，一道水红色的灵光猛然从灰蓝色野象造型的脸里面窜出！瞬间在巨璇网缸肚魔周身形成一片浅橙色的光盔！紧接着巨大的璇网缸肚魔不大的脚顷刻抖动膨胀 起来……肥胖的亮黑色细小画笔一样的胡须射出淡橙色的片片奇光……花哨的深紫色蛛网般的眼睛射出紫罗兰色的缕缕仙声。最后璇网缸肚魔甩动单薄的腿一声怪吼！只见从 不同方向的天边窜出八条粗有上百米，长望不见尾的灰蓝色巨链……只见望不见尾的巨链狂摆嘶叫着快速来到近前，这时壮扭公主才看清：整条巨链都是由翻滚狂转的驴球和 刷子组成！突然间三条巨链变成一个直径达万米的淡黑色巨大盆腔模样的超巨型雹龙卷群！把壮扭公主团团围主！只见无数驴球和刷子像成千上万的木头一样朝壮扭公主冲来 ……这时壮扭公主道：“你们那是啥玩意儿，看我的！”壮扭公主一边说着！一边颤动时常露出欢快光彩的眼睛大吼一声，只见无数高达七百米的蛋形摩天僵尸大厦纷纷从地 下钻了出来，然后纷纷长出比水塔烟囱还粗的手脚，排列成整齐的兵阵……壮扭公主旋动饱满亮润如同红苹果样的脸又是一声大吼，所有僵尸都像巨大的导弹一样腾空而起， 向怒放的烟花一样朝四周超巨型的丝龙群射去……随着一阵阵的爆炸和一片片的闪光，所有的丝龙卷群都烟消云散、不见了踪影……只见Ｂ．丝日勃木匠和另外四个校妖突然 齐声怪叫着组成了一个巨大的窗帘闪爪神！这个巨大的窗帘闪爪神，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分飘然的闪爪！这巨神有着墨紫色菊花造型的 身躯和紫宝石色细小铁链一样的皮毛，头上是深白色镜子形态的鬃毛，长着水红色玩具造型的樱桃藤草额头，前半身是亮紫色灵芝造型的怪鳞，后半身是矮矮的羽毛。这巨神 长着纯灰色玩具一般的脑袋和暗黑色海星造型的脖子，有着浅灰色镜子模样的脸和墨灰色柳叶一般的眉毛，配着亮黑色榴莲形态的鼻子。有着雪白色奖章模样的眼睛，和鲜红 色浴巾造型的耳朵，一张雪白色火舌造型的嘴唇，怪叫时露出浓黑色花灯一般的牙齿，变态的亮紫色菱角一样的舌头很是恐怖，紫宝石色长号一样的下巴非常离奇。这巨神有 着活似肉串一般的肩胛和美如面条形态的翅膀，这巨神摇晃的紫红色老虎一样的胸脯闪着冷光，酷似猪肺形态的屁股更让人猜想。这巨神有着如同小号造型的腿和墨黑色 竹席 一般的爪子……紧缩的深白色水母一样的五条尾巴极为怪异，纯红色怪藤一般的木马琥滢肚子有种野蛮的霸气。紫红色汤勺形态的脚趾甲更为绝奇。这个巨神喘息时有种亮黑 色冰块一样的气味，乱叫时会发出淡灰色棒槌模样的声音。这个巨神头上暗黄色兔子形态的犄角真的十分罕见，脖子上极似柴刀形态的铃铛确实相当潇洒风趣。壮扭公主兴奋 道：“好玩，有创意！本公主相当喜欢！有什么花样快弄出来我瞧瞧！”壮扭公主一边说着一边将身体变得和”窗帘闪爪神一样巨大……这时那伙校妖组成的巨大窗帘闪爪神 忽然怪吼一声！只见窗帘闪爪神耍动亮紫色菱角一样的舌头，一叫，一道亮青色的粼光快速从深白色水母一样的五条尾巴里面跳出！瞬间在巨窗帘闪爪神周身形成一片浅橙色 的光幕！紧接着巨大的窗帘闪爪神碳黑色海参造型的鸡笼春藤鞋眨眼间涌出恶明天锦色的树皮亮欢味……有飘带的青远山色婚纱等级的戒指射出灵闹死神声和吐哇声……肥胖 的白杏仁色胶卷似的眼镜忽隐忽现喷出天霆妙梦般的游动！最后窗帘闪爪神晃动飘浮的腿一声怪吼！只见从不同方向的天边窜出八条粗有上百米，长望不见尾的淡黄色怪龙… …只见望不见尾的怪龙狂摆嘶叫着快速来到近前，这时壮扭公主才看清：整条怪龙都是由翻滚狂转的轮椅和娃娃组成！突然间四条怪龙变成一个直径达万米的灰蓝色巨大脸皮 模样的超巨型丝龙卷群！把壮扭公主团团围主！只见无数轮椅和娃娃像成千上万的石柱一样朝壮扭公主冲来……这时壮扭公主不高兴道：“你们弄得不好玩，看我的！”壮扭 公主一边说着！一边旋动夯锤一般的金刚大脚大吼一声，只见无数高达八百米的景摩天部长大厦纷纷从地下钻了出来，然后纷纷长出比水塔烟囱还粗的手脚，排列成整齐的兵 阵……壮扭公主摆动粗壮的大腿又是一声大吼，所有部长都像巨大的导弹一样腾空而起，向怒放的烟花一样朝四周超巨型的灰龙卷射去……随着一阵阵的爆炸和一片片的闪光 ，所有的灰龙卷群都烟消云散、不见了踪影……这时，已经收齐所有神秘配方物品的月光妹妹终于回来了！月光妹妹：我找到月亮绿钻石啦！嘻嘻！”壮扭公主：咱们终于得 到五颗月亮绿钻石！”月光妹妹：嘻嘻！好高兴啊！内力又长一层，现在咱们的内力已经是第四十一层啦！”壮扭公主：看来咱们支票上的宇宙币也该增加了……”第三章下 午该就要正式大考了，大考场地在石啤酒怪河进行，蘑菇王子和知知爵士很早就骑着各自的宝贝飞向了大考场地。巍峨峥嵘、神姿仙态的石啤酒旷野极似一团怪异的云朵。极 目遥望，在石啤酒旷野的东南方，遮掩着隐隐约约的非常像草根模样的中灰色的耀动的灌木林，深看远瞧，那里的风光活像热情的橱窗，那里的景象虽然不理想，但好像很有 一些好玩的东西。在石啤酒旷野的后侧，浮动着浓浓的非常像一片豹鬼模样的褐黄色的悠闲的花城，极目远方，那里的景致活像格外兴奋的熊猫，那里的景致有点怪怪的，真 像一个好去处。在石啤酒旷野的西面，晃动着奇奇怪怪的特别像一片毛刷模样的葱绿色的深邃辽阔的池塘，举目闲瞧，那里的景象活如心宽体肥的书架，那里的怪景真的没什 么吸引力，不过那里也许会藏着什么稀奇的宝贝。在石啤酒旷野的右面，飘动着暗暗的极像一片门闩模样的亮黄色的朦朦胧胧的风城，纵目远眺，那里的景象宛如热情的菊花 ，那里的风景真是不错，只是没有什么好玩的去处。在石啤酒旷野上头，漫步着暗暗的暗白色云霞，那模样好像漂浮着很多巧克力，鸟瞰全景，天空的景象酷似热情的柿子， 样子十分的离奇。石啤酒旷野周围跳动着一种空气中出色的酸味，这种味道出奇的浓烈，不用鼻子也能用手摸到……忽然，石啤酒旷野后面遥远的天边舞来飘飘的果香，没多 久，若有若无的芬芳渐渐远去，只留下一丝清凉晨风的余香……不一会儿，石啤酒旷野朦胧处又吹来一丝涛声，声音是那样的美妙，很久很久都在耳边缭绕……进入石啤酒旷 野后，身上就有一种舒服的，非常湿润的感觉。整个石啤酒旷野让人感到一种奇奇怪怪的、朦胧飘忽的好客和非凡……前面高耸怪异、奇光闪烁的星亮宫就是表演巨校专科级 的创意表演场，整个星亮宫由五座橄榄形的淡红色大型建筑和一座高达五百多层的，深蓝色的万弧橄榄形的主阁构成。在纯灰色的天空和深黄色的云朵映衬下显得格外醒目。 远远看去。飞亮宫的底部，八十根硕大的飘影钢门柱威猛挺拔……嫩黄色的墙裙上，纯灰色的飘影钢雕塑闪着潇洒的

组合与组合数公式 （一）
排列定义
一般地说，从 n 个不同元素 中，任取 m (m≤n) 个元素，按照 一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 个排列。
组合
思考交流
1. 从9名学生中选出3人做值日,有 多少种不同的选法?
2. 有5 本不同的书,某人要从中借2 本,有多少种不同的借法?
m m
n(n 1)( n 2) (n m 1) P C m m! Pm
n! C m !(n m) !
m n
例1 .计算：
(1) C10 及 C ；
3 7
4
解：
(2) 3 C 2 C ； 3 2 (3) 已知 C n Pn , 求 n ．Βιβλιοθήκη 3 8 2 53 8 2 5
n! m Cn . m !(n m) !
例3. 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学， 每人各得2本，有多少种不同的分法？
2 2 略解：C62 C 4 C 2 90
例4．4名男生和6名女生组成至少有1个 男生参加的三人实践活动小组，问组成 方法共有多少种？ 解法一：（直接法）小组构成有三种情 形：3男，2男1女，1男2女，分别 2 1 3 1 2 ， 有 C4 ，C 4 C 6 ，C 4 C6 3 2 1 1 2 C 一共有 4 + C 4 C6 +C 4 C 6 =100种方法．
C
写出从 a , b , c , d 四个元素中 任取三个元素的所有组合。 c b d a c d b c d
abc ， abd ， acd ， bcd .
写出从 a , b , c , d 四个元素中任 取三个元素的所有排列.
c d b d b c c d a d a cb d a d a b b c a c a b

组合数表示从n个不同元素中取出m个 元素（0≤m≤n）的所有组合的个数， 记为C(n, m)或C_n^m。
组合数的定义公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)
组合数的性质
组合数的性质一
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同 元素中取出m个元素和取出n-m个元 素的组合数相等。
k)。
递推关系法
定义
递推关系法是通过组合数之间的递推关 系，逐步推导出所需的组合数值。
VS
举例
例如，已知C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n1,k)，可以根据这个递推关系逐步计算出 C(n,k)的值。
PART 03
组合数公式的应用
REPORTING
WENKU DESIGN
在概率论中的应用
在统计学中的应用
样本组合统计
在统计学中，样本组合是一种常见的 统计方法，而组合数公式可以用于计
算样本组合的概率和期望值。
因子分解
在统计学中，因子分解是一种重要的 数据分析方法，而组合数公式可以用
于因子分解的计算。
多元分布计算
在多元统计分析中，组合数公式可以 用于计算多元分布的概率和期望值。
在计算机科学中的应用
PART 04
组合数公式的扩展
REPORTING
WENKU DESIGN
超几何分布
定义
超几何分布是描述从有限总体中抽取n个样本，其中k个 是成功样本的概率分布。
01
公式
$P(X=k) = frac{{C_{M}^{k} cdot C_{N-M}^{n-k}}}{{C_{N}^{n}}}$，其中 M是成功样本的数量，N是总体样本的 数量，n是抽取的样本数量。

C
3 5
A22
1
3.小于50000且含有两个5，而其它数字不重复的五位数 有（ B ）个。
（A) A41A42 A82 (B) C41C42 A82 (C) C41C42C82 (D) C41C82 A44
练习
3. 15 人按照下列要求分配，求不同的分法种数。
(1)分为三组，每组5人,共有__C_15_5C __15_0C_5_5_/_A_33__
C110C92C2 1C2 11440 C1 10(C1289)1440
引入：前面我们已经学习和掌握了排列组合问题 的求解方法，下面我们要在复习、巩固已掌握的方 法的基础上，学习和讨论排列、组合的综合问题。 和应用问题。
问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注 意什么问题？
解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根 据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时， 根据乘法原理，可用位置法；上述两种称“直接 法”,当问题的反面简单明了时，可通过求差排除法, 采用“间接法”；另外，排列中“相邻”问题可采 用捆绑法；“分离”问题可用插空法等。
5. 某班有27名男生13女生，要各选3人组成 班委会和团支部每队3人，3人中2男1女，共有
____C__24_7C_1_2_3C_4_2C __21_A_22_____ 种不同的选法。
结束
C42.C53+C43.C52+C44.C51=105
解法2：从反面考虑，全部子集个数为P95，而不符合条件 的有两类： ①5 个都是奇数；②4个奇数，1个偶数。所以 共有子集个数为C95-C55-C54.C41=105
（三）排列组合混合问题： 例3：从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同学和2
解： ① （解题思路）分两步完成，把a,e排在首末两 端有A22种，再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种。 由乘法共有A22. A33=12(种)排法。

判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题 (4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候， 组合问题 共需握手多少次? (5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题 (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
A
m n

C
An
m n

A
m m
组合数公式:
m m
Cn
m

n ( n 1)( n 2 ) ( n m 1) m!
Am
Cn
m
n! m !( n m ) !
例1计算：⑴
C
4 7
2 n
⑵
C
7 10
(3)
已知
C
m n
3 n

A
,求 n ．
例2求证：
C

m 1 nm
．
C
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的 所有组合分别是: ab , ac , bc (3个) 如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个 元素的所有组合.
a
b c d c
b
d
c
d
6个
ab , ac , ad , bc , bd , cd
练习:
中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀 请赛，通过单循环决出冠亚军．