2017组合与组合数公式

如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个
元素的所有组合.
a
b
c
bcd
cd
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd 6个
练习: 中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请
赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
Anm

(n
n! m)!
Cnm

n! m!(n
m)!
规定: 0! 1
Cn0 1
由组合数公式知: Cnn 1
例1: 求证
C
m n

m 1 nm

C m1 n
例2: 求证
(1)
Cnm

C nm n
(2)
Cm n1

C m1 n
Cnm
组合数的两个 重要性质
例3:
求证
C
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候， 共需握手多少次? 组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的 所有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题
排列
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
A 求 3可分两步考虑： 4
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
A C A 根据分步计数原理， 3 4
a
b
c
d
所有的组合为：
abc ， abd ， acd ， bcd .
所有的排列为：
abc bac cab bca acb cba dab abd bad dba adb bda cad dac acd cda dca adc bcd cbd dbc bdc cdb dcb
组合
abc abd acd bcd
Cnm

n! m!(n
m)!
Cnm

Anm Amm

n(n 1)(n 2)L (n m 1) m(m 1)(m 2)L 1
这里m、n N *,且m≤n，这个公式叫组合数公式.
它有以下三个特点： (1)分子和分母都是m个连续正整数连乘; (2)分子的第一个因数是n,后面每一个因数比它前面
一个因数少1,最后一个因数是n－m＋1 (3)分母的第一个因数是m,后面每一个因数比它前面
一个因数少1,最后一个因数是1．
注意区别: Anm n(n 1)(n 2)L (n m 1)
Cnm

Anm Amm

n(n 1)(n 2)L (n m 1) m(m 1)(m 2)L 1
组合与组合数公式
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A32 6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
问题三：从1、2、3三个数字中选两个数字,能 组成多少个没有重复数字的两位数？
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2）
冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古
俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄
中
美
古
组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有 组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素
的组合数，用符号 Cnm 表示
如: C32 3 C42 6
C 思考:如何计算: m n
3
4
3 3.
3
A 从而 3 C4
4 3
A3
A C A m m m
n
nwenku.baidu.com
m
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm

Anm Amm

n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm

Anm Amm

n(n 1)(n 2)L (n m 1) m(m 1)(m 2)L 1
0 n
Cn11

C2 n2

C3 n3





C m1 n m 1

C m1 nm
例4:计算
(1)C33n8n

C 3n n 21
(2)C133nn
C 3n1 12 n
C3n2 11 n





C17n 2n
例5:解不等式
1 Cn3

1 Cn4

2 Cn5
C C C 例6 计算：⑴
4 7
⑵
7 10
⑶
7 35
C A (5) 已知 3 2 ,求 n ．
n
n
C ⑷
197 200
例7.计算:
(1)C929
元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个排列.
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么? 两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
A32 6
有顺序
问题四：从1、2、3三个数字中选两个数字,能 构成多少个不同的集合？
{1,2}；{1,3}；{2,3}
无顺序
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地说，从n个不同元素中取出m (m≤n)个
C 以计算 3 为例,来推导组合数公式 4
写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
c
a
b c
d d
abc ， abd ， acd ， bcd .
b cd
写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有排列.
cdbd bc cdadacbd ad ab bcacab
bcd acd abd abc