2.1曲线与方程

2.1 曲线与方程2：性质1.求曲线方程应注意：（1）.先要判断题干是否给出坐标系；（2）.求出的方程是否与题干的条件等价要验证.2.掌握几种常见的求轨迹方程的方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、待定系数法。

直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。

这是求曲线方程的基本方法。

代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。

即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。

定义法：运用解析几何中一些常用定义，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程。

当堂训练一、选择题1．下列各组方程中表示相同曲线的是( )A．x2＋y＝0与xy＝0B.x＋y＝0与x2－y2＝0C．y＝lgx2与y＝2lgxD．x－y＝0与y＝lg10x2．若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条曲线的交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k＝( )A．±3B．0 C．±2 D. 一切实数3．与x 轴距离等于2的点的轨迹方程是( )A ．y ＝2B ．y ＝±2C ．x ＝2D ．x ＝±24．给出下列曲线，其中与直线y ＝－2x －3有交点的所有曲线是( )①4x ＋2y －1＝0；②x 2＋y 2＝3；③x 22＋y 2＝1；④x 22－y 2＝1.A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④5．曲线y ＝14x 2与x 2＋y 2＝5的交点，是( )A ．(2,1)B ．(±2,1)C ．(2,1)或(22，5)D ．(±2,1)或(±25，5)6．设曲线F 1(x ，y )＝0和F 2(x ，y )＝0的交点为P ，那么曲线F 1(x ，y )－F 2(x ，y )＝0必定( )A ．经过P 点B ．经过原点C ．经过P 点和原点D ．不一定经过P 点7．方程x 2＋xy ＝x 的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线8．曲线y ＝－1－x 2与曲线y ＝－|ax |(a ∈R )的交点个数一定是( )A ．2B ．4C ．0D ．与a 的取值有关9．若曲线y ＝x 2－x ＋2和y ＝x ＋m 有两个交点，则( )A ．m ∈RB ．m ∈(－∞，1)C ．m ＝1D ．m ∈(1，＋∞)10．方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a >1B ．0<a <1C ．∅D ．0<a <1或a >1二、填空题11．方程1－|x |＝1－y 表示的曲线是________．12．圆心为(1,2)且与直线5x －12y －7＝0相切的圆的方程是________．13．已知直线y ＝2x －5与曲线x 2＋y 2＝k ，当k ________时，有两个公共点；当k ________时，有一个公共点；当k ________时，无公共点．14．|x|＋|y|＝1表示的曲线围成的图形面积为____．三、解答题15．已知直线y＝2x＋b与曲线xy＝2相交于A、B两点，且|AB|＝5，求实数b的值．16．求方程(x＋y－1)x－y－2＝0的曲线．17．已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝1－x2有两个公共点，求b的取值范围．18．若直线x＋y－m＝0被曲线y＝x2所截得的线段长为32，求m的值．同步提升1．方程x2＋xy＝x表示的曲线是( ) A．一个点 B．一条直线C．两条直线 D．一个点和一条直线2．下列命题正确的是( )A．方程xy－2＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线B．△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则中线AO的方程是x＝0 C．到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝03．设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，则下列命题正确的是( )A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝04．已知下列曲线：以及编号为①②③④的四个方程：①x－y＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0；④|x|－y＝0.则按曲线(1)(2)(3)(4)的顺序，依次与之对应的方程的编号是( )A．③②①④ B．④②①③C．②④①③ D．①②③④5．曲线x2＋y2＋2Dx＋2Ey＋F＝0与x轴的两个交点位于原点两侧，则D，E，F满足的条件是________．6．若曲线y＝x2－x＋2与直线y＝x＋m有两个交点，则实数m的取值范围是________．7．方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？为什么？8．画出曲线y＝|x－2|－2的图形，并求它与x轴所围成的三角形的面积．9.若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．2.1 曲线与方程参考答案当堂训练 1. [答案] D[解析] ∵lg 10x ＝x ，故x －y ＝0与y ＝lg 10x表示相同的曲线． 2. [答案] A[解析] 两曲线的交点为(0，－k )，由已知点(0，－k )在曲线x 2＋y 2＝9上，故可得k 2＝9，∴k ＝±3.3. [答案] B4. [答案] D[解析] y ＝－2x －3与4x ＋2y －1＝0平行，无交点；将y ＝－2x ＋3代入x 2＋y 2＝3得5x 2＋12x ＋6＝0Δ＝144－4×5×6＝24>0故有两个交点； 同理y ＝－2x －3与x 22±y 2＝1也有交点．故选D.5. [答案] B[解析] 易知x 2＝4y 代入x 2＋y 2＝5得y 2＋4y －5＝0得(y ＋5)(y －1)＝0解得y ＝－5，y ＝1，y ＝－5不合题意舍去，∴y ＝1，解得x ＝±2.6. [答案] A[解析] 设A 点坐标为(x 0，y 0)，∴F 1(x 0，y 0)＝0，F 2(x 0，y 0)＝0，∴F 1(x 0，y 0)－F 2(x 0，y 0)＝0，∴F 1(x ，y )－F 2(x ，y )＝0过定点P .是否有F 1(0,0)＝F 2(0,0)未知，故是否过原点未知．7. [答案] C[解析] 由x 2＋xy ＝x 得x (x ＋y －1)＝0，∴x ＝0或x ＋y －1＝0，∴表示两条直线． 8. [答案] A[解析] 画出图形，易知两曲线的交点个数为2. 9. [答案] D[解析] 两方程联立得x 的二次方程，由Δ>0可得m >1. 10. [答案] A[解析] y ＝a |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ax (x ≥0)－ax (x <0)式中a >0，分别画图象，观察可得a >1时，两曲线有两个交点．11. [答案] 两条线段[解析] 由已知得1－|x |＝1－y,1－y ≥0,1－|x |≥0，∴y ＝|x |，|x |≤1 ∴曲线表示两条线段．12. [答案] (x －1)2＋(y －2)2＝4[解析] 圆心到直线的距离等于半径，则r ＝|5×1－12×2－7|52＋122＝2613＝2 ∴圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4. 13. [答案] k >5；k ＝5；0<k <5[解析] 首先应用k >0，再联立y ＝2x －5和x 2＋y 2＝k 组成方程组，利用“△”去研究． 14. [答案] 2[解析] 利用x ≥0，y ≥0时，有x ＋y ＝1；x ≥0，y ≤0时，x －y ＝1；x ≤0，y ≥0时，有－x ＋y ＝1；x ≤0，y ≤0时，－x －y ＝1，作出图形为一个正方形，其边长为2，面积为2.15. [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，xy ＝2.消去y 整理得2x 2＋bx －2＝0，①运用x 1＋x 2＝－b2，x 1·x 2＝－1及y 1－y 2＝(2x 1＋b )－(2x 2＋b )＝2(x 1－x 2)，得|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋4(x 1－x 2)2＝5·(x 1－x 2)2＝5·b 24＋4＝5.解得b 2＝4，b ＝±2.而①式中Δ＝b 2＋16>0一定成立，故b ＝±2. 16. [解析] 把方程(x ＋y －1)x －y －2＝0写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x －y －2≥0或x －y －2＝0由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x －y －2≥0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x ≥32.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －2≥0，表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32)∴原方程表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32)和直线x －y －2＝0.17. [解析] 解法1：由方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，y ＝1－x 2(y ≥0)，⎩⎪x ＋y ＝1(y ≥0).消去x ，得到2y 2－2by ＋b 2－1＝0(y ≥0)．l 与c 有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，可得⎩⎪⎨⎪⎧△＝4b 2－8(b 2－1)>0，y 1＋y 2＝b >0，y 1y 2＝b 2－12≥0，解得1≤b < 2解法2：在同一直线坐标系内作出y ＝x ＋b 与y ＝1－x 2的图形，如图所示，易得b 的范围为1≤b < 2.18. [解析] 设直线x ＋y －m ＝0与曲线y ＝x 2相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ＝0 ①y ＝x 2②由②代入①得：x 2＋x －m ＝0 ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－1x 1x 2＝－m|AB |＝1＋12|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·1＋4m ∴由2·1＋4m ＝32得 ∴1＋4m ＝9，∴m ＝2. 同步提升1. 解析：选C.由x 2＋xy ＝x ，得x (x ＋y －1)＝0.∴x ＝0或x ＋y －1＝0，它们表示两条直线．2. 解析：选D.对照曲线和方程的概念，A 中的方程需满足y ≠2；B 中“中线AO 的方程是x ＝0(0≤y ≤3)”；而C 中，动点的轨迹方程为|y |＝5，从而只有D 是正确的．3. 解析：选D.“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”不正确，即“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点不都在曲线C 上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况．4. 解析：选B.根据各函数的定义域和值域易知曲线(1)的方程为④|x |－y ＝0； 曲线(2)的方程为②|x |－|y |＝0； 曲线(3)的方程为①x －y ＝0； 曲线(4)的方程为③x －|y |＝0.5. 解析：令y ＝0，得x 2＋2Dx ＋F ＝0， 由题意，方程有两个异号根，⎩⎪F ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧D 2＞F ，F ＜0.∴F ＜0. 答案：F ＜06. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－x ＋2，y ＝x ＋m ，得x 2－2x ＋2－m ＝0，由题意知，4－4(2－m )>0，∴m >1.答案：m >17. 解：方程左边配方后可得方程为2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.两个非负数的和为0，则它们应同时为0，即得⎩⎨⎧2(x －1)＝0，y ＋1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1.即原方程表示的是点(1，－1)．8. 解：(1)当x －2≥0时，原方程可化为y ＝x －4；(2)当x －2＜0时，原方程可化为y ＝－x ，故原方程表示两条共顶点的射线，易得顶点为B (2，－2)，与x 轴交于点O (0,0)，A (4,0)，它与x 轴围成的三角形的面积为S △AOB ＝12|OA |·|y B |＝4.9. 解：∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0，∴k ＝－2a 2－2a ＝－2(a ＋12)2＋12.∴k ≤12，∴k 的取值范围是(－∞，12]．。

第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程 2.1.2求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．二、教材分析1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．三、教学过程学生探究过程：(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，。

2.1 曲线与方程教材知识检索考点知识清单1．在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程0),(=y x f 的实数建立了如下的关系：(1) ① ；(2) ② ，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．若曲线C 的方程是,0),(=y x f 则点),(00y x P 在曲线C 上的充要条件是 ③ ．3．求曲线的方程，有下面几个步骤：(1) ④ ；(2) ⑤ ;(3) ⑥ ;(4) ⑦ ;(5)⑧ ．一般地，步骤(5)可以省略，如有特殊情况，可以适当说明，另外也可以省略(2)直接列出曲线方程，要点核心解读一、曲线与方程概念的理解1．联系平面几何中的轨迹的概念，理解曲线和方程的概念由于曲线和方程的对应关系比较抽象，比较难以理解，因此我们可以先借助于平面几何中有关轨迹的概念，再把曲线和方程的概念与平面几何中的轨迹的概念相比较，从而弄清这两个概念之间的联系和区别，这对掌握曲线和方程的概念是十分必要的， 平面几何中的轨迹就是平面内适合某种条件的点的集合，而解析几何中曲线和方程的概念，就是把平面上的曲线放在，平面直角坐标系中后再建立起来的，由于平面内的点与作为它的坐标的有序实数对建立了一一对应的关系，曲线上的点所满足的关系反映在点的横坐标x 与纵坐标y 之间有一定关系，这个关系通常用关于x 、y 的方程0),(=y x f 表示出来．也就是说，平面轨迹中的几何条件在曲线和方程的概念中被转化成方程了，因此，曲线和力曜的概念与轨迹的概念一样，有它的纯粹性和完备性． “曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，这阐明了曲线上的点的坐标没有不满足方程的（纯粹性）；“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，这阐明了适合条件的所有点都在曲线上（完备性）．只有同时具备了上述两个条件才能称方程0),(=y x f 为曲线C 的方程，同时称曲线C 为方程．0),(=y x f 的曲线，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足，“曲线的方程”和“方 程的曲线”才具备充分性．2．从集合的意义上来理解曲线和方程的概念如果把直角坐标平面上的点所组成的集合记作A ，方程，（x ，y ）=0的解所对应的点的集合记作B ，那么曲线和方程之间的两个关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，反映在集合A 和B 之间的关系上，就是.,B A A B B A =⊆⊆即且从集合相等的意义上来理解上述两条规定的必要性，有助于掌握曲线和方程的概念．[注意] ①理解曲线和方程的概念，必须注意“两性”：定义中的条件(1)阐明曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外；定义中的条件(2)阐明适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏，这个概念的实质是一一对应，即作为曲线C 的点集|{M )}(M p 和方程0),(=y x f 的解集}0),(|),{(=y x f y x 之间的一 一对应关系．由曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程来研究曲线的性质，又可以深刻认识方程的几何背景．②解决“曲线”与“方程”有关命题的真假的判定问题，只要一一检验定义中的“雨性”是否满足，并作出相应的回答即可，二、坐标法与解析几何解析几何是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门数学学科．解析几何的两个基本问题：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质，根据曲线与方程的关系可知，曲线与方程是一关系下的两种不同的表现形式，曲线的性质完全反映在它的方程上，而方程的性质也完全反映在它的曲线上，这正好说明了几何问题与代数问题可以互相转化，这就是解析死何的基本思想方法，也就是数形结合，形与数达到了完美的统一．我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法，又称为解析法．三、用直接法求曲线方程的步骤求曲线方程一般有下列五个步骤：(1)建立适当的直角坐标系，并用（x ，y ）表示曲线上任意一点M 的坐标，在建立坐标系时，应充分考虑平行、垂直、对称等几何因素，使解题更加简化；(2)写出适合条件p 的点M 的集合)};(|{M p M P =(3)用坐标表示条件p(M)，写出方程;0),(=y x f(4)化简方程0),(=y x f （必须是等价变形）；(5)证明以(4)中方程的解为坐标的点都在曲线上．[注意] (1)上面五步可简记为：建系设点→写几何点集→翻译列式→化简方程→查漏除杂．(2)这五步构成一个有机的整体，每一步都有其特点和重要性，第一步在具体问题中有两种情况：①所研究问题中已给定了坐标系，此时就在给定的坐标系中求方程即可；②原题中没有确定坐标系，此时必须首先建立适当的坐．标系，通常选取特殊位置的点为原点，相互垂直的直线为坐标轴等，第二步是求方程的重要一环，应仔细分析曲线特征，注意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意点M 有关的等量关系，列出几何等式．第三步将几何条件转化为代数方程的过程中，常用到一些基本公式，如两点间距离公式、点到直线距离公式、直线斜率公式等．第四步在化简过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“失解”和“增 解”，对于第五步“证明”，从理论上讲是必要的，但在实际处理时常被省略掉，这在多数情况下是没有问题的，如遇特殊情况，可适当予以说明，例如，据审查，某些点虽然其坐标适合方程，但不在曲线上，那么可通过限制方程中x 、y 的取值予以剔除．(3)第五步在峡际中一般省掉了，但由于在化简过程中不一定能保证化简过程是等价的，因而有可能扩大了取值范围或缩小了取值范围．因此必须进行“查漏除杂”的工作， 也就是检查所求轨迹中是否有遗漏的点，是否有多余的点要除掉.四、求轨迹方程常用方法求动点的轨迹方程既是平面解析几何中的主要问题之一，又是高考中的一个热点问题．求动点轨迹方程的方法主要有以下几种：(1)直接法（五步法）：建系设点→写几何点集→翻译列式→化简方程→查漏除杂．(2)待定系数法：已知曲线类型，设相应的曲线方程，再由题设条件确定其系数即可．(3)定义法：曲几何知识及圆锥曲线的定义推断所求曲线的类型，再由待定系数法求之． (4)转代法（代入法或相关点法）：若动点,P(x ，y)随着已知曲线0),(=y x f 上的动点),(//y x Q 而动，则用P 点坐标x 、y 来表示Q 点的坐标,//y x 、将它代入已知曲线方程,0),(=y x f 便可得到所求曲线方程．(5)参数法：若动点P(x ，，，)中的坐标x 、y 之间的关系难以找出，可引进参数t ，用t 分别表示x 、y ，再由两式消去参数t ，便得到所求曲线的普通方程，常见的参数有角参数、斜率参数、长度参数等．(6)几何法：挖掘图形中的几何属性，建立适当的变量关系，然后利用定义，从而简化运算过程．五、建立适当的直角坐标系建立适当的坐标系的原则是？避繁就简”，按如下方法建立坐标系能达到这个目的：(1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系．(2)若已知两定点，常以两定点的中点（或一个定点）为原点，两定点所在的直线为x 轴建立直角坐标系．(3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系．(4)若已知一定点和一定直线．，常以定点到定直线的垂线段的中点为原点，以定点到定直线的反向延长线为x 轴建立直角坐标系．(5)若已知定角，常以定角的顶点为原点，定角的角平分线为x 轴建立直角坐 标系．[注意] 由于建立的坐标系不同，同一曲线在不同坐标系中的方程也不同，但它们始终表示同一曲线，典例分类剖析考点1 曲线与方程的概念命题规律1．涉及曲线与方程概念的命题真假判定．2．判定某方程是否为某曲线盼方程．3．判定某曲线是否为某方程的曲线．4．检验某些点是否在某曲线上．5．画出某方程所表示的曲线．[例1] 已知坐标满足方程0),(=y x f 的点都在曲线C 上，那么( )．A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程0),(=y x fB ．凡坐标不适合0),(=y x f 的点都不在曲线C 上C ．不在曲线C 上的点的坐标必不适合0),(=y x fD ．不在曲线C 上的点的坐标有些适合,0),(=y x f 有些不适合0),(=y x f[解析] 检验条件是否满足曲线和方程关系中的“两性”，然后再作出判断，对照曲线与方程的概念，不能得出0),(=y x f 是曲线c 的方程，如设方程,40),(x ky y x f -==满足该方程的点都在以原点为圆心，2为半径的圆上，而圆上的点)3,1(--的坐标却不适合方程．又原命题的逆否命题是C ，根据原命题与逆否命题的等价性，可知答案应选C ．[答案] C[感悟] 纯粹性的作用是：若点),(00y x M 在方程0),(=y x f 表示的曲线C 上，则;0),(00=y x f 或若,0),(00=/y x f 则),(00y x M 不在方程0),(=y x f 表示的曲线C 上，完备性的作用是：若,0),(00=y x r 则),(00y x M 在方程0),(=y x f 表示的曲线C 上；或若),(00y x M 不在方程0),(=y x f 表示的曲线C 上，则.0),(00=/y x f在判定曲线的方程和方程的曲线时，两个条件缺一不可，是不可分割的整体，解答本题时，应注意不要被问题的表面现象所迷惑，应根据“曲线的方程”与“方程的 曲线”的概念逐一辨别其选项的真假． 母题迁移 1．说明过点A(2，o)平行于y 轴的直线L （图2 -1-2所示）与方程2||=x 之间的关系．[例2] (1)判断点,23(),3,4(---B A )4,32(),2C 是否在方程2522=+y x 的曲线上；(2)方程1||||=+y x 表示的曲线是图2 -1-3中的( )．[解析] (1)将点A 、B 、C 的坐标分别代入方程2522=+yx 中可知，只有A 点坐标符合方程故只有点A 在曲线2522=+y x 上．点B 在曲线内，点C 在曲线外．(2)原方程可化为⎩⎨⎧=+≥≥,1,0,0y x y x 或⎩⎨⎧=-≤≥,1,0,0y x y x 或⎩⎨⎧-=+≤≤,1,0,0y x y x 或⎩⎨⎧=+-≥≤.1,0,0y x y x 作出其图象为D ． [点拨] 一方面，由曲线和方程的定义可知，要判断点是否在曲线上，只需要看点的坐标是否满足方程；而已知点在曲线上，则点的坐标一定满足方程．另一方面，利用曲线与方程的关系，可以判断曲线是否为方程的曲线或方程是不是曲线的方程， 母题迁移 2．画出方程y= ｜｜x ｜-1｜表示的曲线．考点2求曲线方程命题规律1．用直接法求轨迹方程．2．建立恰当的直角坐标系，求曲线方程．3．用其他方法（如转代法、参数法）求曲线方程．[例3] 已知线段AB 与CD 互相垂直平分于,8||,=AB O ,4||=CD 动点M 满足.||||||||MD MC MB MA ⋅=⋅求动点M 的轨迹方程．[答案] 以点0为原点，分别以直线AB ，CD 为x 轴，y 轴建立直角坐标系，则),0,4(-A ).2,0(),2,0(),0,4(-D C B 设M(x ，y)为轨迹上任意一点，则.||||||||MD MC MB MA ⋅=⋅因为 =+-=++=||,)4(||,)4(||22MC y x MB y x MA h .)2(||,)2(2222++=-+y x MD y x 所以])4][()4[(2222y x y x +-++ ⋅++-+=)]2()][2([y y化简，得.0622=+-x y 所以所求轨迹方程为.0622=+-x y[感悟] (1)解决本题的关键是建立恰当的坐标系，若建系不恰当，计算量会大大增加，有时很可能得不出正确的结果．(2)-般地，当直角坐标系未建立时，求曲线方程的第一步是建立恰当的直角坐标系；若直角坐标系已经建立，则“建系”这一步必须省掉，直接“设点”（即设曲线上任意一点的坐标为（x ，y ））．如何判定问题中是否已经建立直角 坐标系呢？依据是看题目中是否有与坐标系相关的内容，也就是看题目中是否涉及坐标系的概念（如坐标轴、原点等），以及点的坐标、方程等．(3)求曲线方程实质上是求曲线上动点的纵坐标、横坐标所满足的等量关系，因此用直接法求曲线方程的关键是寻求几何的等量关系．有时题目中已经给出了明显的几何等量关系 （如本例中”）“MD MC MB MA ⋅=⋅此时只要把它“翻译”成方程即可，但更多的问题是题目中并没有给出明 显的 几何等量关系，此时，应该充分挖掘隐藏在其中的几何等量关系，如有两条互相垂直的直线，则其几何等量关 系可以由斜率之积为-1得到，也可以利用勾股定理得到，还可利用直角三角形的斜边中线长定理得到．(4)注意求“轨迹”与“轨迹方程”的区别，轨迹是指几何图形，轨迹方程是指方程．母题迁移 3．经过点A(3，4)的一条动直线与x 轴和y 轴分别交于Q 、R 点，过Q 、R 点分别作两坐标轴的平行线交于P(x ，y ）点，求点P 的轨迹方程．[例4] △ABC 的顶点A 固定，点A 的对边BC 的长为2a ，边BC 上的高长为b ，边 BC 沿一条定直线移动，求△ABC 外心的轨迹方程．[解析] 首先建立直角坐标系，因BC 在一条定直线上移动，故可选定BC 所在直线为x 轴，过A 点且垂直于x 轴的直线为，，轴，另外，外心到三角形三个顶点的距离相等，利用这个等量关系就可以得出△ABC 外心的轨迹方程．[答案]如图2 -1-4所示，以BC 所在定直线为x 轴，过A 作x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系，则A 点的坐标为(0，b).设△ABC 的外心为M （x ，y ），作MN ⊥BC 于 N ，则MN 则是C 的垂直平分线.|,|||,||,2||y MN a BN a BC ==∴=又M 是△ABC 的外心， |}.||||{MB MA M M =∈∴ 而,)(||2b y x MA -+=,|||||22|22y a MN BN MB +=+=.)(2222y a b y x +=-+∴化简，得所求轨迹方程为.02222=-+-a b by x[点拨] (1)本倒是一道典型的用直接法求曲线方程的题目，难度中等，解本题的关键是建立适当的直角坐标系，充分利用三角形外心的性质．(2)本例的易错处是利用||||CM BM =列方程，而化简后会发现得到的是一个恒等式．原因是在求｜ BN ｜的长时已利用了||||CM BM =这个等量关系．(3)对于本例，在建立直角坐标系时，也可把BC 边所在定直线作为y 轴，过A 点与定直线垂直的直线作为x 轴，此时方程将有所变化．母题迁移 4．已知一条曲线，它上面的每一点到点A(O ，2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．[例5] 已知定点A(4，0)和曲线422=+y x 上的动点B ，点P 分之比为2:1，求点P 的轨迹方程．[答案] 设动点P(x ，y)及点,2),(00y x B =⋅ ⎪⎩⎪⎨⎧+=++=∴,212,212400y y x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅=-=∴23,24300y y x x 将其代入曲线方程,422=+y x 得,449)243(22=+-y x 化简，得⋅=+-916)34(22y x ∴ 所求点p 的轨迹方程为⋅=+-916)34(22y x [解题规律] 如果动点户随着另一个在已知曲线上运动的点Q 而动,则 用点P 坐标（x ，y ）表示点Q的坐标),,(//y x 即⎪⎩⎪⎨⎧==).,(),,(//y x g y y x g x 由于点p 在已知曲线上，因而它满足已知曲线方程，将⎪⎩⎪⎨⎧==),,(),,(//y x g y y x g x 代入已知曲线方程，得到关于x ，y 的方程，即为所求的曲线方程，其过程如下：P(x ，y) 表示Q ),(//y x 代入已知方程化简所求方程，用转代法求曲线方程实质上是方程思想的灵活运用，也就是在寻求动点的纵坐标、横坐标所满足的方程时，由点P 与点Q 之间的关系，用点Q 坐标表示点P ，而点Q 在已知曲线上，由曲线方程的概念可知它一定满足已知曲线方程，从而得到所求的曲线方程，母题迁移 5．已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ：MB =1：2，求动点M 的轨迹方程．[例6] 在正方形ABCD 中，AB 、BC 边上各有一个动点Q 、R 且︱BQ ︱=︱CR ︱，试求直线AR 与DQ 的交点P 的轨迹方程．[答案] 如图2 -1-5所示，取A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为.,,t BR t AQ a ==则直线DQ 、AR 的方程分别为⎪⎩⎪⎨⎧==+②①..,1x a t y a y t x由②有,xay t =将其代入①得,1=+a y xay x 即⋅=+ay y x 22 由①②可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+=+=222222,t a at y t a t a x .0,0,0,0≥≥∴>≥y x a t∴ 所求点P 的轨迹方程为⋅≥≥=-+)0,0(022y x ay y x[点拨] 用参数法求轨迹方程的基本思路是：引入参数，用参数表示动点P 的横、纵坐标，再消去参数便得到所求的曲线方程而常用的消参法有代入消参、加减消参以及三角消参等．用参数法求曲线方程实质上是“迂回包抄”战略思想的具体体现，也就是当问题较为复杂，量与量之间存在较多的依赖关系，不易找到一个仅与所求动点有关（其他点为定点）的几何等量关系，用直接法求解难度较大，较为复杂时，引入参数（也就是变量），利用它就可以描述量与量之间的关系，从而寻求到多个方程，再消去这个参数，就得到所求的曲线方程. 母题迁移 6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2x y =上异于坐标原点0的两不同动点A 、B ，满足AO ⊥BO （如图2-1-6所示）．求△AOB 的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程．考点3两曲线的交点命题规律1．求两曲线的交点坐标．2．已知两曲线交点的个数，确定参数的取值范围．3．求两曲线交点的长度（弦长）．[例7] 已知抛物线,1:2-+-=mx x y C 点,0()0,3B A 、（),3求C 与线段AB 有两个不同交点时m 的取值范围．[答案] 线段).30(03:≤≤=-+x y x AB由⎩⎨⎧-+-==-+.1,032mx x y y x 消去y ，得.04)1(2=++-x m x 令,4)1()(2++-=x m x x f则方程0)(=x f 在[0，3]内有两个不同实数根的充要条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥++-=>=<+<>⨯⨯-+=∆,04)1(33)3(,04)0(,3210,0414)1(22m f f m m 解得 ⋅≤<3103m 故所求m 的取值范围为⋅≤<}3103|{m m [点拨] (1)由曲线方程的定义可知，两曲线的交点 坐标即两曲线的方程所构成方程组的解．于是，求曲线交点坐标的问题，即转化为解二元方程组的问题；确定两曲线交点个数的问题，可转化为讨论方程组的解的组数问题．这类问题的解法，充分体现了几何中利用代数方法解决几何问题的思想．(2)既然曲线的交点问题需转化为二元方程组的求解问题，那么，解二元方程组的一切思路方法和相关知识（如一元二次方程的判别式、根与系数的关系等）都是求两曲线交点的基本依据和方法．关于曲线的交点问题，通常表现为两种类型：一是判定两曲线是否存在交点；二是求解交点及和交点有关的问题，在解决这些问题时，除要用到解方程（组）的方法及相关知识外，有时还需综合运用各种曲线自身所具有的莱些几何性质．(3)曲线交点的个数问题通常转化为方程根的个数问题，对于区间根的问题要利用方程根的分布理论求解．母题迁移 7．讨论直线1:+=kx y l 与曲线1:22=-y x C 的公共点的个数．[例8] 已知直线b x y +=2与曲线2=xy 相交于A 、B 两点，若｜AB ｜ =5，求实数b 的值．[答案] 设⋅),(),,(2211y x B y x A联立方程组⎩⎨⎧=+=.2,2xy b x y 消去y ，整理得①.0222=-+bx x 21x x ∴是关于x 的方程①的两根，.1,22121-=-=+∴x x b x x 又,4)(1|212212x x x x k AB -++=其中,2=k 代入则有.2,4,521621||222±==∴=+⋅+=b b b AB 即 故所求b 的值为土2．[点拨] 若直线)0(=/+=k b kx y 和曲线0),(=y x f 交于),(),(2211y x B y x A 和两点，则 =-+=||1||212x x k AB .||11212y y k -+ 上述公式称为弦长公式，其证明如下：∵ A 、B 两点在直线b kx y +=上，),(,,21212211x x k y y b kx y b kx y -=-∴+=+=∴),(12121y y kx x -=-∴ 221221)()(||y y x x AB -+-=∴2212221)()(x x k x x -+-=|,|1212x x k -+= 或221221)()(||y y x x AB -+-=2212212)()(1y y y y k-+-= .||11212y y k -+= 利用弦长公式及公式||4||221a ac b x x -=-（其中21x x 、为02=++c bx ax 的两根）可回避解方程的复杂运算过程，而且还是解析几何中的“设而不求”（设出2211y x y x 、、、，但并不需要求出它们）思想的具体体现．母题迁移8．直线32+=x y 与抛物线x x y +=22相交于A ，B 两点，求｜ AB ｜.优化分层测训学业水平测试1．下面四组方程表示同一条曲线的一组是( )．x y x y A ==⋅与2 x y x y B lg 2lg 2==⋅与121.=-+x y C 与)2lg()1lg(-=+x y 1.22=+y x D 与21||x y -=2．到两定点)4,3(),0,0(B A 距离之和为5的点的轨迹是( )．A ．圆B ．AB 所在直线C ．线段ABD ．无轨迹3．曲线14)1(:221=++y x C 与曲线22)1(1:+-=x y C 的公共点的个数是( )． 0.A 1.B 2.C 3.D4．直角坐标平面xOy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足,4=⋅OA OP 则点P 的轨迹方程是5．求直线23+=x y 被曲线221x y =所截得的线段的长． 6．曲线4)1(22=-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围？若有一个交点，无交点呢？高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题(本大题共8小题．每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项）1．“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”是“方程0),(=y x f 是曲线C 的方程”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．方程1|1||1|=-+-y x 表示的图形是( )．A ．-个点B ．四条直线C ．正方形D ．四个点3．已知),0,1(),0,1(-B A 动点M 满足,2||||=-MB MA 则点M 的轨迹方程是( )．)11(0≤≤-=⋅x y A )1(0≥=⋅x y B )1(0-≤=⋅x y C )1|(|0≥=⋅x y D4．曲线21x y --=与曲线)(0||R a ax y ∈=+的交点个数一定是( )．A.2个B.4个C.O 个 D ．与a 的取值有关5．设动点P 是曲线122+=x y 上任意一点，定点A （0，-1），点M 分PA 所成的比为2:1，则点M 的轨迹方程是( )． 3162-=⋅x y A 3132+=⋅x y B 132--=⋅x y C 316.2-=y x D6．下列命题中：①设),2,0().0,2(B A 则线段AB 的方程是;02=-+y x②到原点的距离等于5的动点的轨迹方程是;252x y -=③到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是.022=-y x其中正确的命题有( )．A.l 个B.2个 C ．3个 D.O 个7．已知两点),0,2(),0,2(N M -点P 为坐标平面内的动点，满足,0.|||=+则动点P （x ，y ）的轨迹方程为( )．x y A 82=⋅ x y B 82-=⋅ x y C 42=⋅ x y D 42-=⋅8．设过点P(x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，0为坐标原点，若,1.,2=⋅=且则P 点的轨迹方程是( )．)0,0(1233.22>>=+y x y x A )0,0(1233.22>>=-y x y x B )0,0(1323.22>>=-y x y x C )0,0(1323.22>>=+y x y x D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案须填在题中横线上）9．若命题“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”是真命题，则下列命题中是真命题的有 ．（填上相应的序号）①满足方程0),(=y x f 的点都在曲线C 上；②方程．0),(=y x f 是曲线C 的方程；③方程0),(=y x f 所表示的曲线不一定是C ．10．已知曲线,023:=+++ky x xy C 则当k= 时，曲线C 经过点(2，-1)．11．已知两点ABC B A ∆-),0,6()0,2(、的面积为16，则C 点的轨迹方程为12．已知两定点),0,1()0,2(B A 、-如果动点P 满足=||PA |,|2PB 则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.判断下列说法是否正确，若错误，请改正，。

2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)[基础·初探]教材整理1曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34～P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__________，那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线.【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.【答案】 D教材整理2求曲线方程的步骤阅读教材P36“例3”以上部分，完成下列问题.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________.【解析】设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，即x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).【答案】x2＋y2＝4(x≠±2)[小组合作型]对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.【导学号：37792038】【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.[再练一题]1.已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值. 【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上.(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 所以x ＝m 2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.由方程研究曲线(1)(x ＋y －1)x －1＝0；(2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(3)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0中“x ＋y －1”与“x －1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？(3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1).(3)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定.2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.[再练一题]2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x－y＝0对称【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.【答案】 C[探究共研型]求曲线的方程探究1【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.探究2求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【导学号：37792039】【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).1.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.[再练一题]3.已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}.由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋(y－2)2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0).1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()A.在直线l上，但不在曲线C上B.在直线l上，也在曲线C上C.不在直线l上，也不在曲线C上D.不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.【答案】 B2.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()【解析】 当x ＞0时，方程为xy ＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象；当x ＜0时，方程为－xy ＝1，∴y ＞0，故在第二象限有一支图象.【答案】 C3.已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【解析】 设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝84.设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.【导学号：37792040】【解】 法一：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二：如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上. 由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14， 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.。

人教版高中数学精品资料【优化设计】高中数学 2.1曲线与方程课后习题新人教A版选修2-1课时演练·促提升A组1.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”时,不一定能得到“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,但反之,如果“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,必能得出“曲线C上的点的坐标都是f(x,y)=0的解”.答案:B2.方程y=3x-2(x≥1)表示的曲线为()A.一条直线B.一条射线C.一条线段D.不能确定解析:方程y=3x-2表示的曲线是一条直线,当x≥1时,它表示一条射线.答案:B3.曲线xy=2与直线y=x的交点是()A.()B.(-,-)C.()或(-,-)D.不存在解析:由解得即交点坐标为()或(-,-).答案:C4.如图所示的曲线方程是()A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.-1=0D.-1=0解析:∵(0,0)点在曲线上,∴C,D不正确.∵x≥0,y∈R,∴B正确.答案:B5.一动点C在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.+y2=1解析:设C(x0,y0),P(x,y).依题意有所以因为点C(x0,y0)在曲线x2+y2=1上,所以(2x-3)2+(2y)2=1,即点P的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.答案:C6.如果方程ax2+by2=4的曲线过点A(0,-2),B,则a=,b=.解析:由已知解得答案:4 17.已知动点M到点A(9,0)的距离是M到点B(1,0)的距离的3倍,则动点M的轨迹方程是.解析:设M(x,y),则|MA|=,|MB|=.由|MA|=3|MB|,得=3,化简得x2+y2=9.答案:x2+y2=98.已知曲线C的方程是y2-xy+2x+k=0.(1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称?解:(1)因为点(1,-1)在曲线C上,所以(-1)2-1×(-1)+2×1+k=0,解得k=-4.(2)当k=0时,曲线C的方程为y2-xy+2x=0.以-x代替x,y不变,方程化为y2+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称;以-y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0,所以曲线C不关于x轴对称;同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y2-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.9.已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且=2,求动点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(0,y).于是=(-x,0),=(-x,-y),=(--x,-y),=x2-2+y2.由=2,得x2-2+y2=2x2,即y2-x2=2.故动点P的轨迹方程为y2-x2=2.B组1.方程x2+xy=x表示的曲线是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线解析:∵x2+xy=x可化为x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,∴原方程表示两条直线.答案:C2.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是()A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0解析:|AB|==5.∵S△ABC=|AB|·h=10,∴h=4,即顶点C到AB所在直线的距离为4,易求AB所在直线的方程为4x-3y+4=0.设点C(x,y),则=h=4,∴4x-3y+4=±20.故选B.答案:B3.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为.解析:方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形是正方形ABCD(如图),其边长为.故方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为2.答案:24.已知Rt△ABC,|AB|=2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.解法一:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则有A(-a,0),B(a,0),设顶点C(x,y).由△ABC是直角三角形可知|AB|2=|AC|2+|BC|2,即(2a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2,化简得x2+y2=a2.依题意可知,x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).解法二:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0).∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上.∵以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,又∵C与A,B不重合,∴x≠±a.∴顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).5.若直线y=kx+1与曲线mx2+5y2-5m=0(m>0)恒有公共点,求m的取值范围.解:将y=kx+1代入mx2+5y2-5m=0,得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0.由题意得,该方程对k∈R总有实数解,∴Δ=20m(m-1+5k2)≥0对k∈R恒成立.∵m>0,∴m≥1-5k2恒成立.∵1-5k2≤1,∴m≥1.故m的取值范围是[1,+∞).6.已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,P是AB的中点.求动点P的轨迹C的方程.解:设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).∵P是线段AB的中点,∴∵A,B分别是直线y=x和y=-x上的点,∴y1=x1,y2=-x2,∴又∵|AB|=2,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12.∴12y2+x2=12.∴动点P的轨迹方程为+y2=1.。

§2.1.1 曲线与方程1、已知坐标满足方程F （x,y ）=0的点都在曲线C 上，那么（ ）A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程F （x,y ）=0B ．凡坐标不适合F （x,y ）=0的点都不在C 上C ．不在C 上的点的坐标必不适合F （x,y ）=0D ．不在C 上的点的坐标有些适合F （x,y ）=0，有些不适合F （x,y ）=02、方程04)1(22=-+-+y x y x 的曲线形状是（ ）A ．圆B ．直线C ．圆或直线D ．圆或两条射线3、到两定点A （0，0）、B （3、4）距离之和为5的点的轨迹是（ ）A ．圆B ．AB 所在直线C ．线段ABD ．无轨迹4、如图所示，方程01=-+y x 表示的曲线是（ ）5、“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”是“方程0),(=y x f 是曲线C 的方程”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分条件也非必要条件6、已知直线03:=-+y x l ，曲线2)2()3(22=-+-y x ，则点M （2，1）（ ）A ．在直线l 上，但不在曲线上B ．在直线l 上，也在曲线上C ．不在直线l 上，也不在曲线上D ．不在直线l 上，但在曲线上7、如果曲线C 上点的坐标满足方程0),(=y x F ，则有（ ）A ．方程0),(=y x F 表示的曲线是CB ．曲线C 的方程是0),(=y x FC ．点集{}{}0),(),(=⊆∈y x F y x C P PD ．点集{}C P P ∈≠⊂{}0),(),(=y x F y x8、方程111=-+-y x 表示的图形是（ ）A.．一个点 B ．四条直线 C ．正方形 D ．四个点9、如图所示，方程2x x y =表示的曲线是（ ）A ．B ．C ．D ．10、曲线21x y --=与曲线)(0R a ax y ∈=+的交点个数一定是（ ）A ．2个B ．4个C ．0个D ．与a 的取值有关11、已知抛物线1:2-+-=mx x y C ，点A （3，0）、B （0，3），求C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件（用m 的取值范围表示）。

2.1.1曲线与方程学习目标1．结合已知的曲线及其方程实例，了解曲线与方程的对应关系．2．了解数与形结合的基本思想．学习重点：理解曲线的方程和方程的曲线的概念．学习难点：曲线和方程通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系．学习过程自学导引曲线的方程与方程的曲线1．在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做______________；这条曲线叫做________________．2．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，点P的坐标是(x0，y0)，则①点P在曲线C上⇔____________；②点P不在曲线C上⇔____________.3．求曲线方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对________表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝__________；(3)用________表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．想一想：如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，能否认为f(x0，y0)＝0是点P0(x0，y0)在曲线上的充要条件？名师点睛曲线的方程与方程的曲线概念的理解(1)定义中两个条件是轨迹性质的体现．条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外(纯粹性)；而条件“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．(2)定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据，缺一不可．从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立．(3)定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系．由曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以求曲线的方程.例题解析例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k .变式训练1、若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题为真命题的是()．A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点2、判断下列命题是否正确．(1)以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y＝r2－x2；(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2.3、求方程(x＋y－1)x－1＝0所表示的曲线．4、方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲线形状是()．课堂作业一、选择题1．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是( )2．已知直线l 的方程是f (x ，y )＝0，点M (x 0，y 0)不在l 上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线是( )A ．直线lB ．与l 垂直的一条直线C ．与l 平行的一条直线D ．与l 平行的两条直线3．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )A ．y ＝x 与y 2＝xB ．y ＝x 与x y＝1 C ．y 2－x 2＝0与|y |＝|x |D ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x4．已知点A (－2,0)，B (2,0)，C (0,3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是( )A ．x ＝0B ．x ＝0(0≤y ≤3)C ．y ＝0D ．y ＝0(0≤x ≤2)5．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝4 (x >0)C ．y ＝－4－x 2D ．y ＝－4－x 2 (0<x <2)6．如果曲线C 上的点的坐标满足方程F (x ，y )＝0，则下列说法正确的是( )A ．曲线C 的方程是F (x ，y )＝0B ．方程F (x ，y )＝0的曲线是CC ．坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上D ．坐标满足方程F (x ，y )＝0的点都在曲线C 上二、填空题7．若方程ax 2＋by ＝4的曲线经过点A (0,2)和B ⎝⎛⎭⎫12，3，则a ＝________，b ＝________. 8．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为______________________________．9．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|P A |＝3|PO |，则点P 的轨迹方程是________________．三、解答题10．已知平面上两个定点A ，B 之间的距离为2a ，点M 到A ，B 两点的距离之比为2∶1，求动点M 的轨迹方程．11．动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．课堂小结1．曲线C 的方程是f (x ，y )＝0要具备两个条件：①曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解；②以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．2．求曲线的方程时，要将所求点的坐标设成(x ，y )，所得方程会随坐标系的不同而不同．3．方程化简过程中如果破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．参考答案学习过程知识梳理1．(2)曲线的方程 方程的曲线2．①f (x 0，y 0)＝0 ②f (x 0，y 0)≠03．(1)(x ，y ) (2){M |p (M )} (3)坐标想一想： 能．由曲线方程的定义可知，如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0，那么点P 0(x 0，y 0)在曲线C 上的充分必要条件是f (x 0，y 0)＝0.例题解析例1证明：（1）如图，设M (x 0，y 0)是轨迹上的任意一点.因为点M 与x 轴的距离为 0y ，与y 轴的距离为 0x ， 所以00x y k =即(x 0，y 0)是方程xy =±k 的解.设点M 1的坐标（x 1,y 1）是方程xy =±k 的解，则x 1y 1=±k ，即 11x y k =变式训练1、D 【解析】∵题设命题只说明“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，并未指出“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”，∴A ，B ，C 都是假命题，如曲线C ：平面直角坐标系一、三象限角平分线上的点，与方程f (x ，y )＝x 2－y 2＝0，满足题设条件，但却不满足选项A ，B ，C 的结论，根据逆否命题是原命题的等价命题知，D 是正确的．2、解 (1)不正确．设(x 0，y 0)是方程y ＝r 2－x 2的解，则y 0＝r 2－x 20，即x 20＋y 20＝r 2.两边开平方取算术平方根，得x 20＋y 20＝r 即点(x 0，y 0)到原点的距离等于r ，点(x 0，y 0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r的圆上的一点如点(r 2，－32r )在圆上，却不是y ＝r 2－x 2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r 的圆的方程不是y ＝r 2－x 2，而应是y ＝±r 2－x 2.(2)不正确．直线l 上的点的坐标都是方程|x |＝2的解．然而，坐标满足|x |＝2的点不一定在直线l 上，因此|x |＝2不是l 的方程，直线l 的方程为x ＝2.3、解 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x －1≥0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.综上可知，原方程所表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1.规律方法 判断方程表示什么曲线，需对方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解法或化为我们所熟悉的形式，然后根据方程的特征进行判断．4、C【解析】方程x 2＋y 2＝1表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，而约束条件xy <0则表明单位圆上点的横、纵坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分．课堂作业一、选择题1．B 【解析】可以利用特殊值法来选出答案，如曲线过点(－1,0)，(－1,2)两点．2．C 【解析】方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示过点M (x 0，y 0)且和直线l 平行的一条直线．故选C.3．C 【解析】考虑x 、y 的范围．4．B 【解析】直接法求解，注意△ABC 底边AB 的中线是线段，而不是直线．5．D 【解析】注意所求轨迹在第四象限内．6．C 【解析】直接法：原说法写成命题形式即“若点M (x ，y )是曲线C 上的点，则M 点的坐标适合方程F (x ，y )＝0”，其逆否命题是“若M 点的坐标不适合方程F (x ，y )＝0，则M 点不在曲线C 上”，此即说法C.特值方法：作如图所示的曲线C ，考查C 与方程F (x ，y )＝x 2－1＝0的关系，显然A 、B 、D 中的说法都不正确．7．16－83 28．4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0【解析】设动点坐标为(x ，y )，则|4x ＋3y －5|5＝1， 即|4x ＋3y －5|＝5.∴所求轨迹方程为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.9．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝010．解以两个定点A ，B 所在的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．由于|AB |＝2a ，则设A (－a,0)，B (a,0)， 动点M (x ，y )．因为|MA |∶|MB |＝2∶1，所以x ＋a 2＋y 2∶x －a 2＋y 2＝2∶1，即x ＋a 2＋y 2＝2x －a 2＋y 2，化简得⎝⎛⎭⎫x －5a 32＋y 2＝169a 2. 所以所求动点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －5a 32＋y 2＝169a 2. 11．解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵P 为MB 的中点，∴⎩⎨⎧ x ＝x 0＋32y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3y 0＝2y ， 又∵M 在曲线x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1.∴点P 的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.。