湘教版解读-114逆命题

《命题与证明》知识全解教学目标1、知识与能力目标：①结合具体实例，了解原命题与逆命题的概念，会识别两个互逆命题；知道原命题成立但其逆命题不一定成立；了解定理、逆定理和互逆定理；②知道证明的意义和必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达方式，掌握综合法证明的格式。

2、过程与方法：体验、理解证明的必要性。

3、情感态度与价值观：①培养学生树立科学严谨的学习方法；②体验、理解证明的必要性。

教学重点难点重点：说出命题、真命题、假命题、定义、定理、公理的的含义，能够区分命题的条件和结论。

表述反例的作用，知道利用反例可以说明一个命题是错误的．初步体会证明的基本步骤和书写格式。

难点：运用基本事实和相关定理进行简单的证明。

内容解析探究几何图形的性质可以通过观察、操作和实验的方法。

但这些方法得到的结论有时候是近似的、甚至是错误的。

要想结论使人信服就要用到推理、推理就需要思维、思维就需要作出判断，判断的语句就是命题。

1.定义对于一个概念特征特性性质的描述叫做这个概念的定义。

2.命题（1）叙述一件事情的句子（陈述句），要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命题。

（2）真命题与假命题：如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情事假的，那么她是假命题（3）证明及互逆命题的定义：从一个命题的条件出发，通过推理得出它的结论的成立，这个过程叫作证明。

注意：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。

（4）一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆命题，其中一个命题叫作另一个命题的逆命题。

3.公理与定理（1）数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。

（2）以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其它命题的真假，已经判断为真的命题称为定理。

**互逆命题1 课程标准层次要求认识：①互逆命题例1理解：②举反例说明假命题的方法例2掌握：③判断两个命题是否是逆否命题和求一个命题的逆命题的方法（重点）例1 、例3、例62教材知识全面解读知识点1 互逆命题意义举例互逆命题在两个命题中，如果第一个的条件是第二个命题的结论，而第二个命题的条件又是第一个命题的结论，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题叫另一个命题的逆命题．“若a b=，则a b=”的逆命题是“a b=，则a b=”．牢记解读：（1）互逆命题不是指一个命题，而是指两个命题之间的一种关系，它和互为倒数，互为相反数，互为余角，互为补角这些的含义类似．（2）原命题与逆命题是相对的，互逆命题是指两个命题之间的某种关系，这种关系体现在题设与结论的相互交换上．（3）每个命题都可以将它的条件和结论互换得到它的逆命题，因而每个命题都有逆命题．（4）写出一个命题的逆命题的方法：首先找出原命题的条件和结论，然后把结论作为条件，把条件作为结论就可以了．如：“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”．互换题设与结论后是：“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，即“相等的角是对顶角”．拓展：每个命题都有逆命题，但原命题正确，它的逆命题却不一定正确，原命题错误，逆命题不一定错误．巧记乐背互逆命题是两个命题之间的一种特殊关系，它们的条件、结论是互换的关系．基础题型一互逆命题【例1】给出下列命题：（1）直角都相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）如果a+b>0，那么a>0，b>0；（4）两直线平行，同位角相等；（5）相等的角都是直角；（6）如果a>0，b>0，那么ab>0，其中，互为逆命题的是：____________. 分析：根据逆命题的定义，只要找到条件和结论互换的两个命题即可．答案：（1）与（5）、（2）与（4）、（3）与（6）．方法点拨：判断互逆命题关键看在条件与结论有没有相互交换．变式练习：1．写出下列命题的逆命题：（1）两直线平行，内错角相等；逆命题是：_________________________. （2）如果a2=b2，那么a=b；逆命题是：__________________________. （3）内错角相等逆命题是：__________________________. 答案：（1）内错角相等，两直线平行；（2）如果a=b，那么a2=b2；（3）相等的两角是内错角．知识点2 反例内容举例反例举出一个符合命题的条件但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题的例子称为反例．命题若xy=0,则x=0的反例是2x=，y=．牢记注意：数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例．巧记乐背反例，反例，反驳的例子，也就是条件成立结论不成立的例子．基础题型二用反例说明命题是假命题【例2】举反例说明下列命题是假命题：①如果a+b>0，那么a>0,b>0；②两个锐角的和大于90°分析：找出满足条件且结论不成立的例子解：①a=5，b=－2时，有a+b=5＋（－2）=3，但b=－2＜0；②30°的锐角与40°的锐角有30°＋40°=70°＜90°．方法点拨：注意满足条件的例子有多种可能，要在这几种可能中找出符合条件且结论不成立的例子．变式练习：2．举反例说明若a＞b则a2＞b2的逆命题为假命题．解：若a＞b，则a2＞b2的逆命题为：若a2＞b2，则a ＞b，反例：a=-2，b=-1，有a2＞b2，但a＜b．3 典型例题分类解读类型一逆命题的真假判断【例3】写出下列命题的逆命题，并指出其真假(1) 如果a2=b2，那么a=b；(2)对顶角相等．分析：先写出逆命题，再判断其真假．解：（1）如果a2=b2，那么a=b；的逆命题是：如果a=b，那么a2=b2．显然，其逆命题是真命题．(2) 对顶角相等的逆命题是相等的两角是对顶角，其逆命题是假命题，反例如下图的两个角∠AOB，∠BOC，尽管∠AOB=∠BOC，但∠AOB与∠BOC不是对顶角．图12-3-1方法点拨：解本题的前提是写对逆命题，再做出正确判断，注意运用恰当的反例来说明一个命题是假命题．要点总结：逆命题的真假情况与原命题的真假没有必然的联系，所以判断逆命题的真假步骤还是先写出逆命题，再判断其真假．变式练习3．下列定理中，逆命题不正确的是（）A．内错角相等，两直线平行；B．直角三角形中两锐角互余C．相反数的绝对值相等；D．同位角相等，两直线平行答案：C．类型二完成证明、寻找互逆命题【例4】已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．（1）求证：CD⊥AB；（2）在上面的证明过程中应用了哪个互逆的真命题？图12-3-2分析：由∠1=∠ACB，利用同位角相等，两直线平行可得DE∥BC，根据平行线的性质和等量代换可得∠3=∠DCB，故推出CD∥FH，再结合已知FH⊥AB，易得CD⊥AB．⑴证明：∵∠1=∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∠2=∠DCB（两直线平行，内错角相等），又∵∠2=∠3（已知）∴∠3=∠DCB（等量代换），故CD∥FH（同位角相等，两直线平行），∴∠FHB=∠CDB（两直线平行，同位角相等），∵FH⊥AB（已知），∴∠FHB=90°（垂直的定义）∴∠CDB=90°，∴CD⊥AB（垂直的定义）．⑵应用了“同位角相等，两直线平行”与“两直线平行，同位角相等”这两个真命题．方法点拨：本题关键是由角的关系与直线的位置关系互相转化以及等量代换等变换．要点总结：先判定平行再用平行的性质，要判定平行先找角的特殊关系．变式练习4．如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠FED=∠BDE，求证：EF也是∠AED的平分线．图12-3-3证明：∵BD是∠ABC的平分线（已知），∴∠ABD=∠DBC（角平分线定义）；∵ED∥BC（已知），∴∠BDE=∠DBC（两直线平行，内错角相等），∴∠ABD=∠BDE（等量代换）；又∵∠FED=∠BDE（已知），∴EF∥BD（内错角相等，两直线平行），∴∠AEF=∠ABD（两直线平行，同位角相等），∴∠AEF=∠DEF（等量代换），∴EF是∠AED的平分线（角平分线定义）．4 拓展创新能力提升类型三：平行线性质与判定的综合应用【例5】已知，如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试证明∠AED=∠C，分析：先利用补角性质证明∠2=∠4，于是EF∥AB，因而可得∠ADE=∠B，再由DE∥BC，证得∠AED=∠C．证明：∵∠1+∠2=180°（已知），又∠1+∠4=180°（补角的性质），∴∠2=∠4（同角的补角相等），∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行），∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等），又∵∠3=∠B（已知），∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．方法点拨：本题利用补角的性质证等角，从而证平行线，再利用平行线性质解决问题．易错点1 命题的真假性判断错误易错例1 下列说法中真命题的个数有（）（1）若a∥b，b∥c，则a∥c．（2）在同一平面内，不相交的两条线段必平行．（3）相等的角是对顶角．（4）两条直线被第三条直线所截，所得到同位角相等．（5）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．（6）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行．A．1个B．2个C．3个D．4个常见错解：C．【误区分析】产生错解的原因是误以为“两条直线被第三条直线所截，所得到同位角相等”是正确的，事实上，“两条直线被第三条直线所截，所得到同位角相等”是假命题，只有两条平行线被第三条直线所截取得的同位角才相等，（4）是假命题；而根据平行于同一直线的两条直线平行，（1）是真命题；∵如图：AB和CD不平行，∴（2）是假命题；∵在两条平行线被第三条直线所截的同位角相等，但不是对顶角，∴（3）错误；∵若在同一平面内，a⊥b，b⊥c，∴a∥c，∴（5）假命题；如图：∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CFE，∵EN平分∠BEF，FM平分∠CFE，∴∠NEF=12∠BEF，∠MFE=12∠CFE，∴∠MFE=∠NEF，∴EN∥FM，∴（6）是真命题．故选B．正解：B．易错点2 误以为原命题与逆命题的真假性是一致的易错例2 下列说法中，正确的是（）A．每个命题不一定都有逆命题；B．每个定理都有逆定理C．真命题的逆命题仍是真命题；D．假命题的逆命题未必是假命题常见错解：C．【误区分析】误以为一个真命题的逆命题一定是真命题，一个假命题的逆命题一定是假命题．事实上，一个命题的真假与它逆命题的真假并无相关性，如命题“同位角相等，两直线平行”原命题和逆命题都是真命题；命题“对顶角相等”，原命题是真命题，逆命题是假命题；命题“同位角相等”，原命题与逆命题都错误．另外，每个定理的都是真命题，它的逆命题也可能是真命题，也可能是假命题，既是逆命题是真命题，并不一定把逆命题作为定理，故选D．正解：D．6 3年中考3年模拟中考命题方向本节内容在中考中以考察逆命题知识的题目较少，常以填空题、选择题形式出现，在今后的中考中，这部分知识大约考0-3分． 中考典型习题考点一 命题与逆命题真假判断1．(2012•内蒙古包头)已知下列命题：①若a ≤0，则｜a ｜=-a ②若ma 2>na 2，则m >n ; ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④垂直于弦的直径平分弦．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 考点二 写出逆命题 2．（2011•凉山州）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式：考点三 平行线性质与判定的综合应用 3．（2012•恩施州）如图，AB ∥CD ，直线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，EG 平分∠BEF ，交CD 于点G ，∠1=50°，则∠2等于（ ）A ．50°B ．60°C ．65°D ．90°参考解答：1、B 分析：四个命题的原命题均为真命题，①的逆命题为：若｜a ｜=－a ，则a ≤0，也为真命题；②的逆命题为：若m >n ，则ma 2>na 2，是假命题，当a =0时，结论就不成立；③的逆命题是平行四边形的两组对角分别相等，是真命题；④的逆命题是：平分弦的直径垂直于弦，这是个假命题，当这条弦为直径时，结论不一定成立。

1．1.2命题的四种形式1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．2．会判断四种命题的真假．下列四个命题：(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．观察命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？答：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件．对于命题(1)和(3)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)和(4)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．1．命题“若p则q”的四种形式原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若¬p则¬q；逆否命题若¬q则¬p.2．四种命题间的关系3．四种命题的真假判断(1)原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假．(2)原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假．(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真．(4)互为逆否的两个命题是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，所以它们同真同假．要点一四种命题的概念例1分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：(1)实数的平方是非负数；(2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数．解(1)原命题是真命题逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)原命题是真命题逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，是假命题．否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题．逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，是真命题．规律方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论．跟踪演练1写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面；(2)如果x>10，那么x>0；(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.解(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么该直线垂直于平面内的两条相交直线．否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于这个平面．逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．(2)逆命题：如果x>0，那么x>10.否命题：如果x≤10，那么x≤0.逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2.否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0.逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.要点二四种命题的关系例2下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．其中是真命题的是________．答案①②③解析①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.规律方法要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．跟踪演练2有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；③“同位角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．答案 1解析①“若x＋y≠0，则x，y不是相反数”，是真命题．②“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题．③“相等的角是同位角”是假命题．要点三等价命题的应用例3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．解法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．真假判断如下：因为抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，若a<1，则4a－7<0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真．法二先判断原命题的真假．因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，所以a≥1.所以原命题成立．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．规律方法由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．跟踪演练3判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是()A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉B C．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A 答案 B解析命题“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是()A．若A∪B＝B，则A∩B＝AB．若A∩B≠A，则A∪B≠BC．若A∪B≠B，则A∩B≠AD．若A∪B≠B，则A∩B＝A答案 C解析注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”．3．命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是______________________________，它是________命题(填“真”或“假”)．答案若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线假4．给出以下命题：①“若x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．其中为真命题的是________．答案①③解析①否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”．真命题．②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”，假命题．③∵Δ＝1＋4m，若m>0时，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真．∴逆否命题为真．1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定¬p和结论q的否定¬q；(3)按照四种命题的结构写出所有命题．2．每一个命题都有条件和结论组成，要分清条件和结论．3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．。

常用逻辑用语知识点归纳
1. 四种命题，（原命题、否命题、逆命题、逆否命题） （1）四种命题的关系，
（2）等价关系（互为逆否命题的等价性）
（a ）原命题与其逆否命题同真、同假.（b ）否命题与逆命题同真、同假. 2. 充分条件、必要条件、充要条件
（1）定义：若p 成立，则q 成立，即q p ⇒时，p 是q 的充分条件.同时q 是p 的必要条件.
若p 成立，则q 成立，且q 成立，则p 成立 ，即q p ⇒且p q ⇒，则p 与q 互为充要条件.
（2）判断方法： （i ）定义法，
（ii ）集合法：设使p 成立的条件组成的集合是A ，使q 成立的条件组成的集合为B ，若B A ⊆ 则p 是q 的充分条件.同时q 是p 的必要条件.
若A=B ，则p 与q 互为充要条件.
（iii ）命题法：假设命题：“若p 则q ”.当原命题为真时，p 是q 的充分条件. 当其逆命题也为真时，p 与q 互为充要条件. 注意：充分条件与充分非必要条件的区别：
用集合法判断看，前者：集合A 是集合B 的子集；后者：集合A 是集合B 的真子集. 3. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）
（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题. （2）全称量词与存在量词的否定. 关键词 否定词 关键词 否定词 关键词 否定词 关键词 否定词 都是
不都是
至少一个
一个都没有
至多一个
至少两个
属于
不属于
（1）构造复合命题的方式：简单命题+逻辑连结词（或、且、非）+简单命题.
（2）复合命题的真假判断：
条件共同否定.。

** 互逆命题知识点一、互逆命题 内容举例互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是直角”就是一对互逆命题．互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理．如，命题“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”就是一个定理，而它的逆命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等”是一个真命题，即称为逆定理．“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，这两个定理也是互逆定理.牢记 解读：（1）每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可以得到原命题的逆命题．原命题正确，它的逆命题未必正确．如，对于真命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，此命题就是一个假命题．每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理．如，“对顶角相等”就没有逆定理．注意：（2）写一个命题的逆命题并不是简单的条件和结论的互换.还要对其中的一些文字，概念进行调整.例如：命题“如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等“，条件和结论简单互换得到的逆命题是：“如果一个三角形的两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形”，显然这个命题有问题，因为“底角”这个概念是等腰三角形专有概念，所以条件中的“底角”应该更换，这个命题的逆命题应该是“如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”.巧记乐背 条件结论巧交换，互逆命题妙构造②会识别两个互逆命题 例1 ①了解逆命题的概念 例1③理解原命题与逆命题之间的关系（重点） 例1⑤会利用反例可以判断一个命题是假命题（重点） 例2 ④能说出一个命题的逆命题（重点） 例1②教材知识全面解读基本题型一写逆命题【例1】“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是.分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．解：命题的条件是“一个三角形是等腰三角形”，结论是“两腰上的高相等”．将条件和结论互换得逆命题为：如果一个三角形两腰上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．概念解读：本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．变式练习1. 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是.“平行四边形对角线互相平分”的条件是：四边形是平行四边形，结论是：四边形的对角线互相平分．所以逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．知识点二举反例内容举例反例要说明一个命题是假命题，通常可以举一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例. 命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，我们可以举一反例：两个30°的角的和是60°．牢记解读：（1）反例的列举必须符合实际，举反例时，可以用文字语言来表述，也可以用数据来说明，还可以用图形来表示．注意：（2）举反例时要符合命题的条件，但不符合命题的结论巧记乐背这真命题需证明，假命题举反例基本题型二举反例【例2】对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（）A．∠α=60°，∠α的补角∠β=120°，∠β＞∠αB．∠α=90°，∠α的补角∠β=900°，∠β=∠αC．∠α=100°，∠α的补角∠β=80°，∠β＜∠αD．两个角互为邻补角分析：熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．解：举反例应该是证明原命题不正确，即要举出不符合叙述的情况；A、∠α的补角∠β＞∠α，符合假命题的结论，故A错误；B、∠α的补角∠β=∠α，符合假命题的结论，故B错误；C、∠α的补角∠β＜∠α，与假命题结论相反，故C正确；D、由于无法说明两角具体的大小关系，故D 错误．故选C．方法点拨：本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．变式练习2.写出下列假命题的反例：（1）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；（2）相等的角是对顶角．（1）反例是：直角三角形有两个锐角；（2）反例是：两直线平行，同位角相等（等等）．类型一判定逆命题的真假【例3】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明：（1）两直线平行，同旁内角互补；（2）垂直于同一条直线的两直线平行；（3）相等的角是内错角；（4）有一个角是60°的三角形是等边三角形．分析：分别找出各命题的题设和结论将其互换即可．解：（1）同旁内角互补，两直线平行，真命题；（2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线，真命题；（3）内错角相等，假命题；例如：如图11-4-1，∠1与∠2是内错角，但不相等；图11-4-1（4）等边三角形有一个角是60°真命题．方法点拨：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．变式练习3.写出下列两个定理的逆命题，并判断真假（1）在一个三角形中，等角对等边．（2）四边形的内角和等于360°．3.分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论．解：（1）逆命题：在一个三角形中，等边对等角．真命题．（2）内角和等于360°的多边形是四边形．真命题．③典型例题分类解析类型二 构造逆命题并说理【例4】请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，并进行证明. 分析：先写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，再根据等腰三角形的性质得出∠A=∠ACD ，∠BCD=∠B ，根据三角形的内角和定理得出∠BCD+∠B+∠A+∠ACD=180°，代入即可求出∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°，即可推出答案．图11-4-2解：逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角是直角三角形． 已知，如图，△ABC 中，D 是AB 边的中点，且CD=21AB 求证：△ABC 是Rt 三角形 证明：∵D 是AB 边的中点，且CD=21AB ， ∴AD=BD=CD ， ∵AD=CD ， ∴∠ACD=∠A ， ∵BD=CD ， ∴∠BCD=∠B ，又∵∠ACD+∠BCD+∠A+∠B=180°， ∴2（∠ACD+∠BCD ）=180°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠ACB=90°，∴△ABC 是Rt 三角形． 方法点拨：这是一道逆命题构造的综合题，首先写出逆命题，再根据逆命题写出已知，求证，并写出证明过程.变式练习4.（1）若四边形ABCD 的对角线AC 将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC 必平分对角线BD ．（2）写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？图11-4-3 分析：（1）证明BD 被AC 平分，即证明OB=OD ，结合同底等高的三角形面积相等这一性质，不难想到要证明线段相等，可以证明线段所在的三角形全等．（2）将（1）的思路进行倒推，不难解决本小题． 解：（1）证：S △ABC =S △ADC ′且△ABC 与△ADC 有同底AC ，∴两高线相等：BE=DF 设AC 与BD 交于点O ，则Rt △BOE ≌Rt △DOF ，∴OB=OD ，即AC 平分BD ． （2）逆命题：若四边形ABCD 的对角线AC 平分对角线BD ，则AC 必将四边形分成两个面积相等的三角形这个逆命题是正确的． 证明如下：在图中，由于OB=OD ，∠BOE=∠DOF ，∠BEO=∠DFO=Rt ∠，∴△BOE ≌△DOF ．∴BE=DF ，即两高线相等．∴S△ABC=21AC •BE=21AC •DF=S △ADC'．④综合创新能力提升类型四举反例证明命题【例5】已知△ABC，D是BC的中点，将三角板中的90°角的顶点绕D点在△ABC内旋转，角的两边分别与AB、AC交于E、F，且点E、F不与A、B、C三点重合．（1）如果∠A=90°，观察并探索，当E、F点位置变化时，BE、EF、CF三条线段中有否有一条线段始终最长？请指出，并给予证明．（2）请分别∠A＞90°、∠A＜90°两种情况考察BE、EF、CF三条线段中有否有一条线段始终最长？如果有，请指出最长的线段，但不需证明；如果没有，请画草图举出反例．图11-4-4分析：（1）根据旋转的性质，推理得出三角形全等，根据全等的性质及直角三角形斜边最大即可推理得出，（2）根据（1）中结论即可画图反例图示．解：（1）线段EF始终最大，证明如下：将△FDC绕点D顺时针方向旋转180°，如图，∵D是BC的中点，∴点C旋转后与点B重合，△FDC≌△F′DB，∠FCD=F′BD，DF=DF′，FC=F′B，连接EF、EF′，在△EDF和△EDF′中，∵∠EDF=90°=∠EDF，ED=ED，FD=F′D，∴△FDE≌△F′DE，∴EF=EF′，在△EBF′中，∠EBF′=∠EBD+∠F′BD=∠EBD+∠FCD=180°-∠A=90°，EF’是Rt△EBF′斜边EF′＞EB，EF′＞BF′，∴BE、EF、CF三条线段中，EF的长度始终最大，（2）当∠A＜90°，BE、EF、CF三条线段中，EF始终最长，（原因∠EBF′＞180°，当∠A＞90°，BE、EF、CF三条线段中，不存在始终最长的线段，反例如图11-4-5：图11-4-5易错点一 简单交换致错 【例6】“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是 . 【误区分析】写出一个命题的逆命题，只需将命题的条件与结论交换一下，但不是简单的交换.本题中斜边是直角三角形特有的概念，在三角形未知的条件下不能说是斜边. 易错点一 审题不清致错【例7】请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题 ． 【误区分析】本题有两个要求，首先原命题是真命题，其次它的逆命题是假命题.而本解答忽略了逆命题是假命题这个条件.中考命题方向图形与几何是新课标下的一个重要板块，在“图形与几何”的学习中，应帮助学生建立空间观念，注重培养几何直观与推理能力.推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果，演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则（包括逻辑和运算）证明结论，在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性.本章中是演绎推理的起步，是中考重点内容.这一部分在中考中各种图形都有体现，作为初中数学四大板块之一，这一部分仍将是中考重点. 中考典型习题1.（2010年包头）已知下列命题：①若a=b ，则a 2=b 2；②若x ＞0，则|x|=x ；③一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形； ④一组对边平行且不相等的四边形是梯形．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.（2011年四川凉山）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式： .3. （2011年德州）下列命题中，其逆命题成立的是 ．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形． 4.（2011年新疆建设兵团）请判断下列命题是否正确？如果正确，请给出证明；如果不正确，请举出反例．常见 错解 斜边上的中线等于斜边的一半的三角形是直角三角形.正确 解答如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.常见 错解 答案不唯一，例如：两直线平行，同位角相等.正确 解答答案不唯一，例如：对顶角相等.⑥3年中考3年模拟⑤误区易错明析解读（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．5. (2011年襄阳)如图11-4-，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，连接AD ，AE ．①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③BD ＝CE ．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②→③：①③→②；②③→① (1)以上三个命题是真命题的为(直接作答)(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题，然后证明)．图11-4- 1.答案：A分析：①若a=b ，则a 2=b 2，其逆命题为若a 2=b 2，则a=b ，故本选项错误， ②若x ＞0，则|x|=x ，其逆命题为若|x|=x ，则x ＞0，故本选项错误，③例如等腰梯形，满足一组对边平行且两条对角线相等，但它不是矩形，故本选项错误， ④一组对边平行且不相等的四边形是梯形，其逆命题为若四边形是梯形，则它的对边平行且不相等，故本选项正确．故选A ．2.答案：如果三角形三边长a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．3. 答案：①④分析：A 、两直线平行，同旁内角互补，正确，B 、如果两个角相等，那么它们是直角，错误；C 、如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，错误；D 、一个三角形是直角三角形，那么三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，正确.4. （1）已知：如图11-4-，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ， 求证：四边形ABCD 是平行四边形， 证明：连接BD ，∵AB ∥CD ， ∴∠ABD ＝∠BDC ，在△ABD 和△CDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ∠ABD ＝∠BDC BD ＝BD，图11-4-∴△ABD ≌△CDB （SAS ），∴∠ADB ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）， ∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）， ∴四边形ABCD 是平行四边形；（2）一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形不正确． 如图11-4-，∠BAD ＝∠BCD ，对角线AC 被BD 平分，但四边形ABCD 不是平行四边形．图11-4-5.解：(1)①②→③，①③→②，②③→①， (2)选择①③→②， 证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE BD C B AC AB ∴△ABD ≌△ACE ， ∴AD ＝AE ．·基础训练·1.下列命题的逆命题不正确的是（ ）A ．相等的角是对顶角B ．两直线平行，同旁内角互补C ．矩形的对角线相等D ．平行四边形的对角线互相平分 (知识点1例题1)2. 下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ）A ．若a=b ，则a2=b2B ．若ab=1，则a 与b 互为倒数C ．直角三角形两个锐角互余D ．角平分线上的一点到角的两边距离相等3. 逆命题“两直线平行，同旁内角互补”的原命题是（ ） (知识点1例题1 )A ．两直线平行，同位角相等B ．两直线平行，内错角相等C ．同旁内角互补，两直线平行D ．同位角相等，两直线平行 (知识点1例题1 )4.对假命题举反例时，应注意使反例（ ）A ．满足命题的条件，并满足命题的结论B ．不满足命题的条件，但满足命题的结论⑦紧扣教材强化训练C．不满足命题的条件，也不满足命题的结论D．满足命题的条件，但不满足命题的结论(知识点2例题2 )5. “等角的补角相等”的逆命题是.(知识点1例题1 )6. 命题“四个角都是直角的四边形是矩形”的逆命题是.(知识点1例题1 )7. 命题“垂直于同一直线的两直线平行”的逆命题是.(知识点1例题1 )8. 命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是. (知识点1例题1 )9. 写出命题“若a2=b2，则a=b”是假命题的反例是.(知识点2例题2)10.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题举出反例．（1）有两个角和一边对应相等的两个三角形全等；（2）有两边和一角对应相等的两个三角形全等；（3）有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；（4）有一边对应相等的两个等边三角形全等．(知识点2例题2 )11. 已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：①构造一个真命题，画图并给出证明；②构造一个假命题，举反例加以说明．(知识点2例题4 )·能力拓展·12.在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F（如图（1）），则可以得到以下两个结论：①∠AED+∠AFD=180°；②DE=DF．那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的角平分线，点E和点，分别在AB和AC 上”，请探究以下两个问题：（1）若∠AED+∠AFD=180°（如图（2）），则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．（2）若DE=DF，则∠AED+∠AFD=180°是否成立？（只写出结论，不证明）(知识点2例题4 )** 分析：A、逆命题是：对顶角相等．正确；B、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，正确；C、逆命题是：对角线相等的四边形是矩形，错误；D、逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确．故选C．** 分析：A、错误，逆命题是“若a2=b2，则a=b”，因为当a2=b2时a，b可以相等，也可以互为相反数；B、正确，逆命题是“若a与b互为倒数，则ab=1”，是真命题；C、正确，逆命题是“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题；D、正确，逆命题是“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，是真命题．故选A．3. C分析：逆命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是“两条直线平行”，结论是“同旁内角互补”，故原命题是“同旁内角互补，两直线平行”．故选C.** 分析：根据反证法的步骤，∵对假命题举反例，∴应注意使反例：满足命题的条件，但不满足命题的结论．故选D．5. “等角的补角相等”的题设是：两个角相等，结论是：这两个角的补角相等，所以逆命题是：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等．6. 命题“四个角都是直角的四边形是矩形”的题设是“四个角都是直角的四边形”，结论是“矩形”故其逆命题是“矩形的四个角都是直角”．7. 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“垂直于同一直线的两直线平行”的条件是“两条直线垂直于同一直线”结论是“两条直线平行”，故命题“垂直于同一直线的两直线平行”的逆命题是如果两条直线平行，那么它们垂直于同一条直线．8.到角的两边的距离相等的是角平分线上的点分析：把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题，“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的条件是“到角两边距离相等的点”，结论是“角平分线上的点”．9. 22=（-2）2，但是2≠-2等分析：：∵命题是“若a2=b2，则a=b”∴假命题的反例是：∵22=（-2）2，但是2≠-2．故此命题是假命题．10. （1）真命题（2）假命题，如图11-4-，△ABC与△ABD中，AB=AB，∠B=∠B，AD=AC，但△ABC与△ABD不全等；（3）真命题；（4）真命题．11.（1）①④为论断时：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠DBC．又∵OA=OC，∴△AOD≌△COB．∴AD=BC．∴四边形ABCD为平行四边形．（2）②④为论断时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形．12.解析：（1）DE=DF．理由如下：过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，∵∠AED+∠AFD=180°，∠AFD+∠DFN=180°，∴∠DFN=∠AED∴△DME≌△DNF（AAS），∴DE=DF；（2）不一定成立．如图，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段与顶点A的同侧则一定不成立，经过（1）的证明，若在垂线段上或两侧则成立，所以不一定成立．。

苏科版八年级下册数学第十一章**互逆命题I．知识技能达标版学习目标1、了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，通过具体例子理解反例的作用，会利用反例可以判断一个命题是假命题。

2、能使用合情推理和演绎推理证明一个命题；一、相关知识链接1.命题判断一件事情的句子叫做命题．这里强调了“判断”这个条件，也就是说命题是带有肯定或否定语气完整的陈述语句，其它形式的句子，如：疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题．2.真、假命题命题有正确的（真命题），也有不正确的（假命题）．要注意，不一定肯定的就是真命题，否定的就是假命题．3.命题的组成命题是由题设和结论两部分组成．题设是命题的条件，结论则是命题中判断的结果．一般情况下，命题的条件是由“如果”、“若”、“已知”等字样表示，用“那么”、“则”、“求证” 等字样表示出命题的结论．二、教材知识详解(链接例1)【知识点1】互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．如，“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”与“如果两外角相等，那么这两个角是直角”就是一对互逆命题．可见每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可以得到原命题的逆命题．但原命题正确，它的逆命题未必正确．如，对于真命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题“如果两外角相等，那么这两个角是直角”，此命题就是一个假命题．【注意】互逆命题之间的关系：（1）、根据互逆命题的概念，可知每一个命题都有逆命题。

“互逆命题”只是说明两个命题之间的关系，而两个命题的地位可以互换，它们之中可以确定其中任何一个为原命题，但是一旦确定，另一个就是它的逆命题了．（2）、命题有真有假，其中正确的命题叫做真命题；错误的命题叫做假命题．原命题正确，但它的逆命题未必正确．如“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”是真命题，但它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是直角”却是一个假命题．（3）、有些命题的正确性是通过推理证实的，这样的真命题叫定理．定理是我们用来证明的依据。

11. 4互逆命题(1)设计：上会中学夏彪【设计意图】“互逆命题”是在学生学习“命题”概念基础上的新知识，本节课通过创设“等腰三角形等边对等角与等角对等边叩勺情境，让学牛对比两者Z间的联系与区别，从而得出互逆命题的概念。

在此基础上，让学生举出平吋遇到过的命题，并说出它的逆命题，口判定命题与它的逆命题的真假，使学生经历“探索一发现一猜想一证明''的过程，不断发展合乎逻辑的思考能力，最后通过具体例题巩固所学过的知识，体会反面思考问题的方法，让学生懂得任何事物都是正反两方面的对立统一体。

设计关于“反例”的力史故事，旨在让学生了解数学历史，渗透和传播数学文化，同时也引导学生学习数学家严谨治学、追求真理的科学精神。

设计的课堂作业现场反馈，及时巩固所学知识，及时了解学生掌握情况，同时也可有针对性的辅导后进生。

教师的主导作用和学生的主体地位贯穿整堂课始终，最大限度的发挥师生的创造力。

让学生真正成为课堂的主人。

【教学目标】1.了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。

2.通过具体例了理解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是假命题。

3.通过自学、探索、讨论等形式，体会反面思考问题的方法，渗透数学文化教育，培养有学生条理地表述事理的能力和自主学习的习惯。

【教学重、难点】重点：能熟练说出一个命题的逆命题。

难点：举反例说明一个命题是假命题。

【教学过程】(一)情境创设：1、引入情境：在三角形中，“等边对等角”和“等角对等边”的条件、结论2、知识回顾：(1)什么是命题？(2)命题由哪两部分组成？(3)命题有真有假3、考考你：多媒体投影片设计意图：创设情境，冋忆in知，引入新知，口然过渡。

(-)探索活动：1、学生自学(出示自学提示) 自学课本第142-143页的内容：(1)“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”这两个命题的条件和结论有何特点？(2)怎样给互逆命题下定义？(3)若原命题是真命题，则它的逆命题一定是真命题吗？(4)在数学中，如何判断一个命题是假命题？2、师生共同归纳归纳一：关于互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。