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理论力学第十一章冯维明主编

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理论力学常见问题解答：第11章

理论力学常见问题解答：第11章

理论力学常见问题及解答第11单元：动量矩定理及普遍定理综合应用1.直线运动的质点，对一点有动量矩吗？解答：如果该点不在直线上，则运动质点对该点有动量矩。

参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004(美)施皮格尔（M.R.Spiegel）. 《理论力学•理论和习题》，科学出版社1983洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）关键词：直线运动，质点，动量矩2.动量矩一定对定点定义吗？解答：不一定，可对任意点定义动量矩。

参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）关键词：动量矩，定点，任意点3.质点系对质心的绝对动量矩与相对动量矩有何关系？解答：相等。

参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995(美)施皮格尔（M.R.Spiegel）. 《理论力学•理论和习题》，科学出版社1983范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）关键词：质点系，绝对动量矩，相对动量矩，关系4.质点系对定点与对质心动量矩的关系如何？这种关系反映了何种原理？解答：质点系对定点的动量矩（“绝对”动量矩），等于质点系随质心平动时的动量矩（动量对定点的矩，“牵连”动量矩）与质点系相对质心（随质心平动的动系）动量矩（“相对”动量矩）之和，用公式表示：CC C O L v M r L '+⨯= 。

这种关系反映了运动合成（分解）在动量矩定理表达中的应用（类似于动能的表达——柯尼希定理）。

11动量定理

11动量定理

理论力学电子教程
第十一章 动量定理
例11-2 在静止的小船中间站着两个人，其中m1＝50kg， 面向船首方向走动1.5m。另一个人m2＝60kg，面向船尾方 向走动0.5m 。若船重 M ＝150kg ，求船的位移。水的阻力 y 不计。 甲 乙 尾 首 【解】 x 因无水平力 水平方向质心守恒， 又初始静止
（6）
（7）
又 t 0， 0，x A 0 ，代入（7）式得 C 0， 由此存在
ml ml xA sin sin( 0 sin t ) mM mM
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第十一章 动量定理
例11-4 如图所示系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量 均为 m，OA杆的长度为 l1，AB杆的长度为 l 2 ，轮的半径为 R，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时，OA的角速度为 ，则整个系统的动量为多少？
式中 mv——质点动量；矢量，其大小等于质点的 质量m与它在某瞬时速度v的乘积，其单位 kg m / s
或N s 。
写成微分形式
d (mv) Fdt
（11－2）
这是微分形式的质点动量定理
Fdt 称之为冲量。
⒉ 质点动量定理的积分形式
在t1与t2时刻， m v2 m v 1

t2
t1
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第十一章 动量定理
mv2 z mv z Fz dt S z 1
t1
t2
mv2 y mv y Fy dt S y 1
t1
t2
（11－5）
mv2 x mv x Fx dt S x 1
t1
t2
⒊ 质点动量守恒
若 作 用 于 质 点 上 的 力 为 零 ，F 0 ， 则 有 m v2 m v 0 ，则质点动量保持不变。 1 若 Fx 0，则有 mv2 x mv x 0 。 1

《理论力学》课件 第11章

《理论力学》课件 第11章
ds Rd
因此，力F的元功又可表示为 δW F cosds F cos Rd
由静力学可知， F cosR 即为力 F 对轴 Oz 的力矩 Mz (F) ，于是有
δW Mz (F )d
（11-16）
即作用于定轴转动刚体上力的元功，等于该力对转轴的矩（简称 转矩）和微转角的乘积。
图11-5
当刚体在力 F 的作用下，绕轴转过 角时，力 F 所做的功为
v2 v1
d
1 2
mv2
M2 F dr
M1
或
1 2
mv22
1 2
mv12
W12
（11-22）
这就是质点动能定理的积分形式，即质点在某运动过程中动能的改 变，等于作用于质点上的力在同一过程中所做的功。
质点动能定理建立了质点动能和力的功之间的关系，它把质点的速度、作 用力和质点的路程联系在一起，对于需要求解这三个物理量的动力学问题， 应用动能定理是方便的。此外，通过动能定理对时间求导，式中将出现加 速度，因此动能定理也常用来求解质点的加速度。
则这种约束力所做功的总和为零。
图11-8
4．无重刚杆
如图 11-9 所示，无重刚杆 AB 连接两个物体，由于刚杆重量不计，因此其约束 力 FN 与 FN 应是一对大小相等、方向相反，作用线相同的平衡力。设 A，B 两点的 微小位移分别是 drA 和 drB ，则 FN 与 FN 元功之和为
δW FN drA FN drB FN | drA | cosA FN | drB | cosB FN (| drA | cosA | drB | cosB )
当力偶矩 M 常量时，上式可写为
（11-19）
W M
五、约束力的功与理想约束

B 理论力学-第11章 达朗贝尔原理及其应用-2解析

B 理论力学-第11章 达朗贝尔原理及其应用-2解析

本课程有部分内容与《大学物理》重复，如点的运动、刚体 简单运动、质点运动微分方程、质点的动量、动量矩和动能 定理等，对这些内容，本课程只作适当的复习或让学生自学。
第11章 达朗贝尔原理及其应用
引入惯性力的概念，应用达朗贝尔原理，将静力学中求解 平衡问题的方法用于分析和解决动力学问题。这种方法称为 “动静法”。“动”代表研究对象是动力学问题；“静”代表 研究问题所用的方法是静力学方法。 达朗贝尔原理是在18世纪随着机器动力学问题的发展而提 出的，它提供了有别于动力学普遍定理的新方法，尤其适用于 受约束质点系统求解动约束力和动应力等问题。因此在工程技 术中有着广泛应用，并且为“分析力学”奠定了理论基础。 达朗贝尔原理虽然与动力学普遍定理具有不同的思路， 但却获得了与动量定理、动量矩定理形式上等价的动力学方程， 并在某些应用领域也是等价的。
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果
这里仅讨论刚体有质量对称 面且转轴与质量对称面垂直的
情形。这种情形下，可以先将
惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关；惯性力系的主矩 与刚体的运动形式有关。
刚体平移时惯性力系的简化结果
刚体平移时，由于同一瞬时刚体内各质点的加速度都相同， 惯性力系为平行力系，所以，惯性力系简化结果为通过质心C 的合力，用FIR表示：
FIR m a C
其中m为刚体的质量;aC为刚体的质心加速度。
e i Ii e O i
O ( FIi ) 0
这两个矢量式可以写出六个投影方程。 根据达朗贝尔原理，只要在质点系上施加惯性力，就 可以应用上述方程求解动力学问题，这就是质点系的动静法。
11.2 惯性力系的简化
惯性力系的主矢与主矩 刚体平移时惯性力系的简化结果
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果 刚体作平面运动时惯性力系的简化结果

【精品】理论力学参考答案第11章 盛冬发

【精品】理论力学参考答案第11章 盛冬发

理论力学参考答案第11章盛冬发__________________________________________________第11章 动量矩定理一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。

(×)2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。

(√)3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。

(√)4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。

(√)5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。

(×)6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。

(×)7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d nOO i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。

(√)__________________________________________________8. 如图11.23所示，固结在转盘上的均质杆AB ，对转轴的转动惯量为20A J J mr =+ 2213ml mr =+，式中m 为AB 杆的质量。

(×)9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有e 1d()d nP P i i t ==∑L M F 的形式，而不需附加任何条件。

(×)10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。

(×)图11.23二、填空题1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。

2. 质量为m ，绕z 轴转动的回旋半径为ρ，则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。

3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。

__________________________________________________4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的内力无关。

理论力学第十一章,动量定理

理论力学第十一章,动量定理

的投影守恒。
y
α
px px0
vr m2g v

vm1
vr
A
FA m1g
x
vm1
α
B
FB
（b）
（a）
α
vm1
m2g x
p mi v i
p x mi vix
A
FA m1g
B
FB
例 题1
v

考虑到初始瞬时系统处于平衡，即有pox=0，于是有 px = m2vcos m1vm1 = 0 另一方面，对于炮弹应用速度合成定理，可得 v = ve + vr 考虑到 ve = vm1，并将上式投影到轴 x 和 y 上，就得到 vcos = vrcos vm1
质点系冲量定理投影形式
e e p2 y p1 y ( Fiy ) dt I iy t2 t1 e p2 z p1 z ( Fize ) dt I iz t2 t1
dp Fie dt

dpx e Fix dt
3，质点系动量守恒定律
Fi e 0 , 1）
y
α
vr vm1
m2g x
A
FA m1g
B
FB
(a)
例 题1
解: 取火炮和炮弹（包括炸药）这个系统作为研究对象。
设火炮的反座速度是 vm1，炮弹的发射速度是 v，对水平面的仰 角是 （图b）。 炸药（其质量略去不计）的爆炸力是内力，作用在系统上的外力 在水平轴 x 的投影都是零，即有Fx = 0；可见，系统的动量在轴 x 上
(m1 m2 ) C Fy m1 g m2 g y
质心 C 的坐标为

理论力学课本及习题集答案

理论力学课本及习题集答案
西北工业大学理论力学教研室
2009年7月
第一章:静力学的基本概念
第二章:平面基本力系
第三章:平面任意力系
第五章:空间基本力系
第六章:空间任意力系
第七章:重 心
第八章:点的运动
第九章:刚体的基本运动
第十章:点的复合运动
日
啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊
第十一章:刚体的平面运动
第十二章:刚体的转动合成
第十四章:质点动力学基础
第十五章:质点的振动
第七章:动能定理
第十八章:动量定理
第十九章:动量矩定理
第二十章:碰撞理论
第二十一章:达朗伯原理
第二十二章:虚位移原理

理论力学第11章的课后习题答案

轴O的回转半径为
求:重物A下降的加速度以及轮C与地面接触点处的静摩擦力。
C B rO R
D A
C
B
r OR
m2 g Fs
FN
解：分别选轮子和重物A为研究对象，受力分析和运动分析 如图所示。轮子作平面运动，应用刚体平面运动微分方程，有
C B
FT
Fs
m2aO
D
rO
R
FT r Fs R m2 2
JO g W1R2
g
小车上升的加速度为
aห้องสมุดไป่ตู้
R
M W1R sinR
JO g W1R2
gR
a
FT
W1
FN
由小车的运动微分方程，有
FT
W1 sin
W1 g
a
解得绳子的拉力为
FT
W1 sin
W1 g
a
11-18 如图11.52所示结构中，重物A、B的质量分别为m1和m2 B物体与水平面间摩擦系数为f，鼓轮O的质量为M，
重物A的运动微分方程为 A
m1g FT' m1aA
C B r OR
m2 g Fs
FN
FT
F T'
a
A
m1g
其中： aO R
aA (R r)
FT' FT
联立求解，可得重物A下降的加速度为
aA
m1(R
m1(R r)2 r)2 m2 (R2
2)
g
轮C与地面接触点处的静摩擦力为
Fs
(2
m1(R r)2
FT'A
A
aA
Mg
A
m1g
重物A： m1g FTA m1a A

工程力学静力学所有课后习题答案

关于理论力学答案的网友求助帖理论力学第Ⅱ册(和兴锁) 课后答案科学出版社理论力学课后答案本书根据教育部高等工业学校理论力学教学的基本要求编写，分为两册。

第Ⅰ册内容包括静力学、运动学、质点动力学、质点的振动、动力学普遍定理和达朗贝尔原理等；第Ⅱ册内容包括碰撞、虚位移原理、拉格朗日方程、二自由度系统的振动和刚体动力学等。

全书例题丰富，并配有思考题、习题和答案。

7okey 8 小时前理论力学修订版(徐燕侯郭长铭) 课后答案中国科技大学出版社理论力学修订版无课后答案3okey 8 小时前理论力学(罗特军) 课后答案四川大学出版社理论力学课后答案《高等学校工科力学系列教材：理论力学》是四川省教改项目“工程力学精品课程建设”的研究成果，对传统的理论力学体系进行了较大的改进，以适应面向21世纪教学改革及大量培养高等科技人才的需要。

本书以理论力学的基本内容为主，适当提高了起点，力求做到逻辑清晰、易于教学。

本书可作为高等院校工科本科各专业的理论力学教材。

少学时理论力学课程可根据需要对内容进行取舍。

本书可供成人高校、高职高专的师生及有关工程技术人员参考。

4okey 8 小时前理论力学第2版(李卓球) 课后答案武汉理工大学出版社理论力学第2版无课后答案根据高等学校理论力学课程教学的基本要求，《理论力学（第2版）》结合工科相关专业应用基础的特点，在保留理论力学经典内容的前提下，适当更新和精炼了教材内容。

《理论力学（第2版）》主要内容为静力学、运动学、动力学三大部分。

《理论力学（第2版）》适用于高等学校工科力学和工程类各专业的理论力学教材，各专业可以根据需要选用全部或部分内容，也可供有关工程技术人员参考。

okey 8 小时前理论力学第2版课后答案(同济大学航空航天与力学学院基础力学教学研究部) 同济大学出版社理论力学第2版无课后答案《同济大学工程力学系列教材：理论力学（第2版）》共分三篇，分别为静力学、运动学和动力学。

本书保持了同济大学原理论力学教研室1990年版《理论力学》的体系和风格，但对该版教材的内容和习题作了部分调整。

哈尔滨工业大学理论力学第七版W第11章 动量矩定理


m v C
e
d LC dt
r
d rC dt
C
Fi
e
ri ' Fi
由于
vC ,
d rC dt
m vC 0
rC
d dt
m v C
e
rC F i
e

得
rC Fi
d LC dt
rC Fi
r 'i Fi
e
投影式 L M (m v ) L z z i i O

z
* 刚体的动量矩 1．平动刚体
L r m v m r v r mv
O i i i i i C C
C
L z M z ( m vC )
平动刚体对固定点（轴）的动量矩， == 刚体质心的动量(具有刚体的质量）对 该点（轴）的动量矩。
2 2
FOy 2 mg ma C 1 y ma C 2 y
2 8 9 . 8 8 ( 20 . 75 0 . 25 20 . 75 0 . 5 )
32 . 3 N
§11-5 质点系相对于质心的动量矩定理
1．对质心的动量矩
LC
M m v r m v
z1
z
1
a
C
b
z
2
J
z1
z2
J
z2
J M (a b)
2
?
J
z

M L 3
2
z
L
J
zc

M L 3
4M L 3
2
2
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FN2
FI2 F2 m2
ai
质点系的约束力系
FN1 , FN 2 , , FNi , , FNn
a2
质点系的惯性力系
FI1 , FI 2 , , FIi , , FIn
Theoretical Mechanics
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11.2 质点系的达朗贝尔原理
F1 m1 a1 FN2 FI1
FN1 FNi
钢球不脱离筒 1 壁的角速度
Theoretical Mechanics
g r
为了保证钢球在适当的 角度脱离筒壁，故要求
≤ 1
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11.2 质点系的达朗贝尔原理
例 质量为m的均质杆AB用球铰链A和绳子BC 与铅垂轴OD相连，绳子在C点与重量可略去 的小环相连，小环可沿轴滑动，如图所示。 设AC＝BC＝l，CD＝OA＝l/2，该系统以角速 度匀速转动，求绳子的张力、铰链A的约束 力及轴承O、D的附加动约束力。 解：研究AB杆，画受力图 首先将AB杆上三角形分布的惯性力简化
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第十一章 达朗贝尔原理
§ 11.3 刚体惯性力系的简化
Theoretical Mechanics
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11.3 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系的特点
刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及刚体
上各点的绝对加速度有关。 FIi＝-miai 对于平面问题，刚体的惯性力为面积力，组成 平面力系。 对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成 空间一般力系。 在用达朗伯原理研究刚体的运动时，必须研究 其简化问题。 以刚体质心为简化中心。
例 题
1 FI lm 2 2
2 其作用点在距A点 AB处 3
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11.2 质点系的达朗贝尔原理 由达朗贝尔原理
Fx 0
Fy 0
m A (F ) 0
例 题
FAx FI FT 0
FAy mg 0
FT l mg l 2 FI l 0 2 3
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11.3 刚体惯性力系的简化
惯性力系的主矩
MI C
惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关
过C作平动坐标系，将刚体运动分解为平动及转动
ri miai ri mi ae i ar i d ri mi aC ri mi ar i r m v dt m r a mi ri MrC 0
质点的惯性力
FiI mi a i
分解为切向惯性力 法向惯性力 FiIn
第二篇 动 力 学
Theoretical Mechanics
第十一章 达朗贝尔原理
制作与设计 山东大学 工程力学系
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第十一章 达朗贝尔原理
引
言
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量
表示为惯性力，并应用静力学方法研究动力学问
题 —— 达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理将非自由质点系的动力学方程用静 力学平衡方程的形式写出来。这种处理动力学问题 的方法，在工程中获得了广泛的应用。
mi FIi ai
在质点系中。取质量为mi 的质点研究。 在任意瞬时，该质点在 主动力Fi、约束力FN i作用 下，加速度为ai。在此质 点上假想地加上一惯性力 FI i＝–miai
FI2
F2
m2
Fi
a2
由质点的达朗贝尔原理可知，FIi、Fi、FNi将组 成一平衡力系。
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11.2 质点系的达朗贝尔原理
例 题
例 球磨机的滚筒以匀角速度 绕水平轴O转动，内装钢球和
需要粉碎的物料。钢球被筒壁带到一定高度的A处脱离筒壁， 然后沿抛物线轨迹自由落下，从而击碎物料。设滚筒内壁半
径为r，试求脱离处半径OA与铅直线的夹角1（脱离角）。
11.2 质点系的达朗贝尔原理
F1 FI1
m1
a1 FN2 FI2 F2 m2
FN1 FNi
mi
FIi
ai Fi
a2
对于整个质点系来说， 在运动的任意瞬时，虚 加于质点系上各质点的 惯性力与作用于该系上 的主动力、约束力将组 成一平衡力系，即
Fi FN i FI i 0
mO Fi mO FN i mO FI i 0
力偶矩矢的大小、方向。
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11.3 刚体惯性力系的简化
向转轴上任一点O简化
n 主矢 FIR ＝－m a C ＝－m(aτ a C ) C
主矩：以简化中心O为坐标原点。设刚
体的角速度为，角加速度为，刚体内 任一质点的质量为mi，到转轴的垂直距 离为ri，质点的坐标为xi、yi、zi。
i
i ri
i i
C
ri
d LC MI C dt LC为刚体相对质心的动量矩
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11.3 刚体惯性力系的简化
1. 平移 以刚体质心为简化中心
FIR ＝－maC M IC ＝0
刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合 力。其方向与平移加速度的方向相反，大小等于 刚体质量与加速度的乘积。
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11.3 刚体惯性力系的简化
2. 定轴转动
以刚体质心为简化中心
n FIR ＝－m a C ＝－m(aτ a C ) C
d LC MI C dt
M IC I C
结论：当刚体绕定轴转动时，惯性力系向质心简化得一个 力和一个力偶。这个力等于刚体的质量与质心加速度的乘积， 方向与质心加速度方向相反；这个力偶的矩矢等于刚体相对 质心的动量矩对时间的一阶导数。
S —— 运动轨迹；
非自由质点 A m —— 质量； F —— 主动力；
s
O x
FN —— 约束力；
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11.1 惯性力· 质点的达朗贝尔原理
z F FI
根据牛顿定律 m a ＝ F + FN
a FN y FR
m A
F + FN － m a ＝0
惯性力 FI ＝－ m a
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11.2 质点系的达朗贝尔原理 另一种表示
对质点系应用达朗贝尔原理，由动静法得到
Fie FI i 0
mO Fie mi FI i 0


质点系的达朗贝尔原理 ：在运动的任意瞬 时，虚加于质点系上各质点的惯性力与作用 于该系上的外力将组成一平衡力系。
加速度的乘积。
质点的达朗贝尔原理 F＋FN＋FI = 0 ：在质点运动
的任意瞬时，如果在其质点上假想地加上一惯性力
FI，则此惯性力与主动力、约束力在形式上组成一
平衡力系。
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11.1 惯性力· 质点的达朗贝尔原理 惯性力 对于质点本身，惯性力是假想的。但确有大小等 于ma的力-ma存在，它作用在使质点运动状态发生
解：以随着筒壁一起转动、 尚未脱离筒壁的某个钢球为 研究对象，它所受到的力有 重力P、筒壁的法向约束力 FN和切向摩擦力F及惯性力 FI，如图所示。
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11.2 质点系的达朗贝尔原理
钢球随着筒壁作匀速圆周运动，只有法 向惯性力ＦI，大小 F1 mr 2 ，方向背离
例 题
解 截取半个飞轮研究，由对称条 件，两截面处内力相同，即F1T = F2T = FT。飞轮作匀角速度 转动， 半圆环的惯性力分布如图示，对应 于微小单元体积的惯性力dFI为
dFI dm R 2
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11.2 质点系的达朗贝尔原理
m 式中 dm ，为单位弧长的质量。 2π R
1 1 2 1 1 FT mg lm 2 mg ml 2 2 2 3 2 3 1 1 FAx mg ml 2 FAy mg 2 6
Theoretical Mechanics
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11.2 质点系的达朗贝尔原理 研究整体，画受力图，
Fx 0
Fy 0
例 题
i i i
Theoretical Mechanics
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第十一章 达朗贝尔原理
§ 11.2 质点系的达朗贝尔原理
Theoretical Mechanics
返回ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ页
11.2 质点系的达朗贝尔原理
F1 m1 a1
FI1 FN1 FNi mi FIi Fi
质点系的主动力系
F1 , F2 , , Fi , , Fn
例 题
中心 O。列出沿法线方向的平衡方程：
F
ni
0
FN P cos F1 0
FN 0
r 2 脱离角 1 arccos g
r 2 FN P g cos a
r 2 当 1 时，1＝0，钢球始终不脱离筒壁，球磨机不工作。 g
FOx FDx FI 0
FOy mg 0
由达朗贝尔原理
l 2 mO (F ) 0 FDx (CD l OA) mg FI (OA l ) 0 2 3
解得
FDx 1 7 mg lm 2 4 24 FOx 5 1 lm 2 mg 24 4
改变的物体上。