题组训练57 空间向量的应用（二）空间的角与距离 第2课时
1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB 1→，CM →
〉的值等于( ) A.12 B.21015 C.23
D.
1115
答案 B
解析 分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建系， 令AD ＝1，
∴DB 1→＝(1，1，1)，CM →
＝(1，－12
，0)．
∴cos 〈DB 1→，CM →
〉＝
1－123·
52
＝
1515
. ∴sin 〈DB 1→，CM →
〉＝21015
.
2．已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A.1010
B.15
C.31010
D.35
答案 C
解析 如图，以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．
设AA 1＝2AB ＝2，则B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D 1(0，0，2)． ∴BE →＝(0，－1，1)，CD 1→
＝(0，－1，2)． ∴cos 〈BE →，CD 1→
〉＝1＋22·5
＝31010.
3．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( ) A ．120° B ．
60°
C ．30°
D ．150°
答案 C
解析 设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos120°|＝1
2，又0°≤θ≤90°.
∴θ＝30°.
4．(2018·天津模拟)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1与平面DBB 1D 1所成角的正弦值为( ) A.32 B.52 C.105
D.1010
答案 C
解析 由题意，连接A 1C 1，交B 1D 1于点O ，连接BO.∵在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，∴C 1O ⊥B 1D 1.易得C 1O ⊥平面DBB 1D 1，∴∠C 1BO 即为直线BC 1与平面DBB 1D 1所成的角． 在Rt △OBC 1中，OC 1＝22，BC 1＝25，∴直线BC 1与平面DBB 1D 1所成角的正弦值为105
，故选C.
5.(2018·辽宁沈阳和平区模拟)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝4，则直线BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为( ) A.13 B.33 C.63
D.
22
3
答案 A
解析 如图所示，建立空间直角坐标系．
则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D 1(0，0，4)，B(2，2，0)，B 1(2，2，4)，AC →＝(－2，2，0)，AD 1→＝(－2，0，4)，BB 1→
＝(0，0，4)． 设平面ACD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，
n ·AD 1→＝0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，
－2x ＋4z ＝0，取x ＝2，则y ＝2，z ＝1，故n ＝(2，2，1)是平面ACD 1
的一个法向量．
设直线BB 1与平面ACD 1所成的角是θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BB 1→
〉|＝|n ·BB 1→
||n |·|BB 1→|＝49×4＝13.
故选A.
6．若正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所
成角的正弦值为( ) A.35 B.4
5 C.34 D.55
答案 B
解析 间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B 1D ⊥平面ACD ，∴B 1D ⊥DC ，故△B 1DC 为直角三角形． 设棱长为1，则有AD ＝
52，B 1D ＝32，DC ＝52，∴S △B 1DC ＝12×32×52＝158
. 设A 到平面B 1DC 的距离为h ，则有VA －B 1DC ＝VB 1－ADC ， ∴13×h ×S △B 1DC ＝1
3×B 1D ×S △ADC . ∴13×h ×158＝13×32×12，∴h ＝25
. 设直线AD 与平面B 1DC 所成的角为θ，则sin θ＝h AD ＝45.
向量法：
如图，取AC 的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系． 设各棱长为2，
则有A(0，－1，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B 1(3，0，2)． 设n ＝(x ，y ，z)为平面B 1CD 的法向量，
则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CB 1→＝0⇒⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，
3x －y ＋2z ＝0⇒n ＝(0，2，1)．
∴sin 〈AD →
，n 〉＝AD →
·n |AD →|·|n |
＝45.
7．(2018·山东师大附中模拟，理)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝
10
2
，AB ＝10，PA ＝6，DA ⊥AB ，点Q 在PB 上，且满足PQ∶QB＝1∶3，则直线CQ 与平面PAC 所成角的正弦值为________． 答案
130
52
解析 方法一：如图，过点Q 作QH∥CB 交PC 于点H.
