高二数学课件 §6.1 不等式的性质(4)

第34课 不等式的基本性质【考点指津】1．不等式的概念用不等号（>、<或≠）联结而成的式子叫做不等式．2．两个实数大小的比较设a 、b ∈R ，则a>b 0>-⇔b a ，0<-⇔<b a b a ，这是比较两个实数大小和运用比较法的根据．3．不等式的性质性质1 a b b a <⇔> （对称性）性质2 a>b ，c a c b >⇒> （传递性）性质3 a>b ，c b c a +⇒+性质4 a>b ，bc ac c >⇒>0，a>b ，bc ac c <⇒<0以上是不等式的基本性质，以下是不等式的运算性质．性质5 a>b ，d b c a d c +>+⇒> （加法法则）性质6 a>b>0，bd ac d c >⇒>>0 （乘法法则）性质7 a>b>0，n n b a N n >⇒∈* （乘方法则）性质8 a>b>0，n n b a N n >⇒∈* （开方法则）不等式性质在证明不等式和解不等式中有广泛的应用，它也是高考的热点，通常是以客观题形式考查某些性质，有时在证不等式或解不等式过程中间接考查不等式性质． 在复习中，对不等式性质的条件与结论，要彻底弄清，特别是对不等式两边平方、开方或同乘上某个数（或式子）时，要注意所得不等式与原不等式是否同向，否则在解题时往往因忽略了某些条件而造成错误． 从知识的联系上看，不等式的性质与函数的单调性是相互联系的，因此比较一些实数大小的问题，从不等式性质与函数性质结合的角度去认识是必要的．【知识在线】1．下列命题中，正确的命题是（ ）①若a>b ，c>b ，则a>c ； ②a>b ，则0lg >ba ； ③若a>b ，c>d ，则ac>bd ； ④若a>b>0，则b a 11<；⑤若db c a >，则ad>bc ； ⑥若a>b ，c>d ，则a-d>b-c ． A ． ①② B ． ④⑥ C ． ③⑥ D ． ③④⑤2．下列命题中，正确的命题是（ ）A ．a 3>b 3，ab>0ba 11>⇒ B ． m>n>0，a>0a a n m >⇒ C ．b ac b c a >⇒> D ． a 2>b 2，ab>0ba 11<⇒ 3．下列命题中正确的是（ ）A ．若|a|>b ，则a 2>b 2B ． 若a>b>c ，则(a-b)c>(b-a)cC ． 若a>b ，c>d ，则a-b>c-dD ． 若a>b>0，c>d>0，即c bd a > 4．下列命题中，正确的命题是（ ）A ． 若ac>bc ，则a>bB ． 若a 2>b 2，则a>bC ． 若ba 11>，则a<b D ． 若b a <，则a<b 5．设命题甲：x 和y 满足⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x 命题乙：x 和y 满足⎩⎨⎧<<<<3210y x ，那么（ ）A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【讲练平台】例1（2000年全国卷） 若a>b>1，P=b a lg lg ⋅，)lg (lg 21b a Q +=，)2lg(b a R +=，则（ ）．A ． R<P<QB ． p<Q<RC ． Q<P<RD ． P<Q<R分析一 借助对数函数单调性用基本不等式求解．解法一 ∵ a>b>1，∴ lga>lgb>0． ∴2lg lg lg lg b a b a +<⋅，即P<Q ．又∵2b a ab +<， ∴ 2lg lg b a ab +<． ∴ )2lg()lg (lg 21b a b a +<+，即Q<R ． ∴ P<Q<R ，故选B ．分析二 用特殊值法解解法二 取a=10000，b=100，则lga=4，lgb=2．∴ P=22，Q=3，R=lg5050．显然P<Q ，R=lg5050>lg1000=3=Q ．∴可排除A 、C 、D ． 故选B ．点评 不等式性质的考查常与幂函数、指数函数和对数函数的性质的考查结合起来，一般多以选择题的形式出现． 此类题目要求考生有较好、较全面的基础知识，一般难度不大．例2 若函数f(x)，g(x)的定义域和值域为R ，则f(x)>g(x)（x ∈R ）成立的充要条件是（ ）．A ． 有1个x ∈R ，使得f(x)>g(x)B ． 有无穷多个x ∈R ，使得f(x)>g(x)C ． 对R 中任意的x ，都有f(x)>g(x)+1D ． R 中不存在x ，使得f(x)≤g(x)分析 4个命题的关系在证明问题过程中经常使用． 原命题：若A 成立，则B 成立，逆命题：若B 成立，则A 成立；否命题：若A 成立则B 成立；逆否命题：若B 成立，则A 成立． 其中A ⇒B 与A B ⇒互为充要条件．由于对任意x ∈R ，f(x)>g(x)成立的逆否命题为：在R 中不存在x ，使f(x)≤g(x)成立． 答 选D ．点评 本题也可通过构造特殊函数，采用排除法解决． 值得强调的是：不等式的性质的考查方向将更加注重基础性、全面性． 题型灵活多变．例3 已知1≤a+b ≤5，-1≤a-b ≤3，求3a-2b 的取值范围．分析 本题应视a+b 与a-b 为两个整体．解 设a+b=u ，a-b=v ，则2v u a +=，2v u b -=． ∴v u b a 252123+=-． 由已知1≤u ≤5，-1≤v ≤3，易得-2≤3a-2b ≤10．点评 本题常见的错误解法是：由已知，得0≤a ≤4，-1≤b ≤3．进一步，得0≤3a ≤12，-6≤-2b ≤2．从而，得-6≤3a-2b ≤14．由解题过程知，u 与v 各自独立地在区间[1，5]与[-1，3]内取值，从而知v u 2521+可取[-2，10]内的一切值．在错误解法中，得到的0≤a ≤4，-1≤b ≤3已不表明a 与b 可各自独立地在区间[0，4]与[-1，3]内取值了． 如a=4，b=3，a+b=7已不满足1≤a+b ≤5． 得到的区间[0，4]与[-1，3]应这样理解：对于任意给定的p ∈[1，5]与q ∈[-1，3]，存在a ∈[0，4]，b ∈[-1，3]，使得a+b=p ，a-b=q ．不等式的性质与等式的性质不一样，一般不具有可逆性． 掌握不等式性质时要谨防与等式性质做简单类比而致错．【知能集成】1．对不等式性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一性质的条件和结论、注意条件的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系；不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面． 单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础． 因为解不等式要求的是同解变形．2．高考试题中，对不等式性质的考查主要是：(1) 根据给定的条件，利用不等式的性质、判断不等式或与之有关的结论是否成立．(2) 利用不等式的性质与实数的性质、函数性质的结合，进行数值大小的比较．(3) 判断不等式中条件与结论之间的关系，是充分条件或必要条件或充分必要条件．3．要注意不等式性质成立的条件，例如：在应用“a>b ，ab>0b a 11<⇒”这一性质时． 有些同学要么是弱化了条件得a>b b a b 1<⇒． 要么是强化了条件而得ba b a 110<⇒>>． 【训练反馈】1．（2001年上海春招卷）若a 、b 是实数，则a>b>0是a 2>b 2的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分条件也非必要条件2．若a>b ，c>d ，则下列不等关系中不一定成立的是（ ）A ． a-d>b-cB ． a+d>b+cC ． a-c>b-cD ． a-c<a-d3．已知a 、b 、c ∈R ，则下面推理中正确的是（ ）A ． a>b ⇒am 2>bm 2B ．b ac b c a >⇒> C ． a 3>b 3，ab>0b a 11<⇒ D ． a 2>b 2，ab>0ba 11<⇒ 4．（1999年上海卷）若a<b<0，则下列结论中正确的是（ ）A ．不等式b a 11>和||1||1b a >均不能成立 B ．不等式a b a 11>-和||1||1b a >均不能成立 C ．不等式a b a 11>-和22)1()1(ab b a +>+均不能成立 D ．不等式||1||1b a >和22)1()1(a b b a +>+均不能成立 5．当0<a<b<1时，下列不等式中正确的是（ ）A ． b b a a )1()1(1->-B ． (1+a)a >(1+b)bC ． a b a a )1()1(->-D ． b a b a )1()1(->-6．（2001年北京春招卷）若实数a 、b 满足a+b=2，则3a +3b 的最小值是（ ）A ． 18B ． 6C ． 32D ． 4327．a 、b 为不等的正数，k ∈N*，则(ab k +a k b)-(a k+1+b k+1)的符号为（ ）A ． 恒正B ． 恒负C ． 与a 、b 大小有关D ． 与k 是奇数或偶数有关8．不等式2>+xy y x 成立的充要条件是（ ） A ． x>y B ． x ≠y C ． x ≠y 或xy>0 D ． x ≠y 且xy>09．（2000年北京春招卷）已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图，则（ ）A ． )0,(-∞∈bB ． )1,0(∈bC ． )2,1(∈bD ． ),2(+∞∈b10．已知1≤a+b ≤4，-1≤a-b ≤2，则4a-2b 的取值范围为________．11．已知三个不等式：①ab>0，②bd a c ，③bc>ad ． 以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确的命题，请用序号写出它们． 即_______． （把所有正确的命题都填上）12．已知f(x)=ax 2-c ，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，试求f(3)的最大值与最小值．。

第六章不等式在日常生活和生产实践中，我们经常会遇到这样一些问题：1．小丽的家离学校a km，如果步行速度为b km / h ，为了保证上午八点钟以前到校，小丽最晚什么时候出发？2．为什么用相同材料做成圆柱型的容器比做成棱柱型的容器的容积大？在这两个问题中，前者是解不等式问题，后者是证明不等式问题，但它们的解决都离不开不等式知识和方法的系统掌握。

自然界中的等量关系是相对的，而不等量关系是绝对的，不等量关系比等量关系的存在更具有普遍性，所以不等关系的研究具有重要的意义，在中学数学中是重要的内容。

本章将在前面学过的一元一次不等式、一元二次不等式和含绝对值的不等式的解法的基础上，进一步学习不等式的概念、不等式的性质、不等式的证明和一些简单不等式的解法。

§6.1不等式的性质【学习目标要求】1．运用数形结合的观点，认识实数顺序的规定，掌握判断两个实数大小的充要条件。

2．理解不等式的重要性质，掌握这些性质的证明方法。

3．会用不等式的性质解决一些简单问题。

【基础知识导学】1．不等式的定义用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式。

说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠。

（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）（3）不等式研究的范围是实数集R。

2．判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立。

判断两个实数大小的充要条件是a＞b ⇔ a - b＞0a= b ⇔ a - b = 0a＜b ⇔ a - b＜0由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了。

不等式的性质是学好本章的基础，也是重点和难点，要掌握好需要注意以下几个问题： （1）充分重视不等式成立的条件，如a ＞ b,c ＞d ⇒ a+c ＞b+d 成立的条件是a 、b 、c 、d 可以是任何实数； a ＞b ＞0, c ＞d ＞0⇒ ac ＞bd 成立需要的是两个同向不等式；a ＞b ，ab ＞0 ⇒ba 11<成立只要a 、b 同号， 因此，在运用不等式的性质时，多观察、多思考，考虑问题一定要全面细致。

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d>）；：若0a b >>，则n n a b >或nn a b >4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。

如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______（答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭）二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。

不等式的性质本周目标：1. 类比等式的性质得到不等式的性质，理解不等式的性质及其证明；2. 掌握比较两个代数式大小的方法，理解其思维过程。

3. 培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯。

本周重点：1. 类比的思想：2. 不等式的性质及其推论；本周难点：不等式的性质及其推论的证明本周内容：一、不等式的性质及其推论定理1：对称性(反身性)：a>b b<a；定理2：传递性：a>b,b>c a>c；c<b,b<a c<a；定理3：可加性：a>b a+c>b+c；推论：定理4：可乘性：a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac<bc；推论1：推论2：可乘方：a>b>0a n>b n(n∈N，n>1)定理5：可开方：思考1：不等式性质中，容易错的有哪些？答：有条件限制的，如定理4及其推论、定理5，当缺少条件或条件不全时，即可产生假命题。

思考2：不等式性质中哪些条件对结论的成立是充要的？哪些条件对结论的成立是充分非必要的？答：充要的：定理1、定理3加一些条件作为大前提后是充要的：定理4：若c>0，则a>b ac>bc；若c<0，则a>b ac<bc；定理4的推论2：若a>0，b>0，则a>b a n>b n(n∈N，n>1)定理5：若a>0，b>0，则充分非必要的：定理2、定理3推论、定理4推论1。

思考3：不等式中可以推广的性质：推广：在元素个数上。

(1)可加性(推论)：a1>b1,a2>b2,…，a n>b n,n∈N+，a1+a2+…+a n>b1+b2+…+b n；(2)可乘性(推论)：a1>b1>0，a2<b2<0，…,a n>b n>0a1a2…a n>b1b2…b n。