[K12学习]2019年中考数学专题复习小练习 专题19 圆的基本性质

九年级数学《圆的基本性质》知识点复习一、圆1、圆的定义在一个个平面内，线段oA绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点o叫做圆心，线段oA叫做半径。

2、圆的几何表示以点o为圆心的圆记作“⊙o”，读作“圆o”二、圆形的旋转1.图形的旋转定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。

生活中的旋转现象大致有两大类：一类是物体的旋转运动，如时钟的时针、分针、秒针的转动，风车的转动等;另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案，如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。

图形的旋转不改变图形的大小和形状，旋转是由旋转中心和旋转角所决定，旋转中心可以在图形上也可以在图形外。

会找对应点，对应线段和对应角。

三、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

四、圆心角把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角.因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧.圆心角的度数和它们对的弧的度数相等.五、圆周角有关计算公式①L=n/180Xπr；②S=n/360Xπr²③扇形圆心角n=/。

④k=2Rsink=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。

六、圆内接四边形四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。

性质1、圆内接四边形的对角互补。

2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

3、圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

七、正多边形重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系.难点：使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系.[:学,科,网]正多边形的中心：所有对称轴的交点;正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。

圆的基本性质|夯实基础|1.[2019·凉山州]下列命题:①直线外一点到这条直线的垂线段,叫做点到直线的距离;②两点之间线段最短;③相等的圆心角所对的弧相等;④平分弦的直径垂直于弦.其中,真命题的个数为 ()A.1B.2C.3D.4图K26-1 图K26-2 图K26-3 图K27-22.[2019·宜昌]如图K26-1,点A,B,C均在☉O上,当∠OBC=40°时,∠A的度数是()A.50°B.55°C.60°D.65°3.[2018·威海]如图K26-2,☉O的半径为5,AB为弦,点C为AB⏜的中点,若∠ABC=30°,则弦AB的长为()A.12B.5 C.5√32D.5√34.[2019·天水]如图K26-3,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连结AC,AE.若∠D=80°,则∠EAC的度数为()A.20°B.25°C.30°D.35°5.[2019·益阳]如图K27-2,P A,PB为圆O的切线,切点分别为A,B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D,下列结论不一定成立的是()A.P A=PBB.∠BPD=∠APDC.AB⊥PDD.AB平分PD6.[2018·成都]如图K28-2,在▱ABCD中,∠B=60°,☉C的半径为3,则图中阴影部分的面积是()A.πB.2πC.3πD.6π7.[2018·杭州]如图K26-5,AB是☉O的直径,点C是半径OA的中点,过点C作DE⊥AB,交☉O于D,E两点,过点D作直径DF,连结AF,则∠DF A=.图K28-2 图K26-5 图K26-6 图K27-4 图K27-5⏜所对的圆心角∠8.[2019·海南]如图K27-4,☉O与正五边形ABCDE的边AB,DE分别相切于点B,D,则劣弧BDBOD的大小为度.9.[2019·大兴一模]将一块含30°角的三角板如图K28-6放置,三角板的一个顶点C落在以AB为直径的半圆上,⏜的长为(结果保留π).斜边恰好经过点B,一条直角边与半圆交于点D,若AB=2,则BD图K28-610.[2019·台州]如图K26-6,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连结AE,若∠ABC=64°,则∠BAE的度数为.11.[2019·黄石]如图K27-5,在Rt△ABC中,∠A=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,O是BC上一点,经过C,D两点的☉O分别交AC,BC于点E,F,AD=√3,∠ADC=60°,则劣弧CD的长为.12.[2018·绍兴]等腰三角形ABC中,顶角A为40°,点P在以A为圆心,BC长为半径的圆上,且BP=BA,则∠PBC的度数为.13.如图K26-7,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的☉O交AB于点D,交BC于点E.(1)求证:BE=CE;(2)若BD=2,BE=3,求AC的长.图K26-714.[2019·常德]如图K27-8,☉O与△ABC的AC边相切于点C,与AB,BC边分别交于点D,E,DE∥OA,CE是☉O 的直径.(1)求证:AB是☉O的切线;(2)若BD=4,CE=6,求AC的长.图K27-815.[2019·广东]在如图K28-10所示的网格中,每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC的三⏜与BC相切于点D,分别交AB,AC于点E,F.个顶点均在格点上,以点A为圆心的EF(1)求△ABC三边的长;⏜所围成的阴影部分的面积.(2)求图中由线段EB,BC,CF及FE16.[2019·安徽]筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图K26-8,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图②,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米,∠OAB=41.3°.若点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直于AB).求点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据:sin41.3°≈0.66,cos41.3°≈0.75,tan41.3°≈0.88)图K26-8一、单选题1．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（ ）A B ．32C D ．2．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为E ，连接CO ，AD ，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（ ） A ．AD=2OBB ．CE=EOC ．∠OCE=40°D ．∠BOC=2∠BAD第2题 第3题 第4题 第5题3．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB ，D 为圆周上一点，若BC 的度数为50°，则∠ADC 的度数为 （ ） A ．20°B ．25°C ．30°D ．50°4．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，P 为DE 上的一点（点P 不与点D 重合），则CPD ∠的度数为（ ） A ．30B ．36︒C ．60︒D ．72︒5．如图，扇形AOB 中，OA=2，C 为弧AB 上的一点，连接AC ，BC ，如果四边形AOBC 为菱形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．23π- B ．23π-C ．43πD ．43π-6．如图，⊙A 过点O （0，0），C 0），D （0，1），点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°第6题 第7题 第8题 第10题7．如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若 105BAD ∠=︒，则DCE ∠的大小是（ ）A ．25B ．65C ．75D ．1058．如图，以等边ABC ∆的一边AB 为直径的半圆O 交AC 于点D ，交BC 于点E ，若4AB =，则阴影部分的面积是（ ）A ．B ．CD ．29．圆锥的母线长是3，底面半径是1，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为（ ） A ．90°B ．120°C ．150°D ．180°10．如图，ABC 的边AC 与O 相交于,C D 两点，且经过圆心O ，边AB 与O 相切，切点为B ．若30A ∠︒＝，则C ∠的大小是（ ） A ．60︒B ．45︒C ．30D ．20︒11．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA ＝6，则△PCD 的周长为（ ） A ．8B ．6C ．12D ．10第11题 第12题12．如图，等腰直角三角板ABC 的斜边AB 与量角器的直径重合，点D 是量角器上60°刻度线的外端点，连接CD 交AB 于点E ，则∠CEB 的度数为（ ） A ．60° B ．65°C ．70°D ．75°二、填空题13．△ABC 内接于圆O ，且AB ＝AC ，圆O 的半径等于6cm ，O 点到BC 距离等于2cm ，则AB 长为_____cm ． 14．如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 (结果保留π).15．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A ，然后过点A 作AB 与残片的内圆相切于点D ，作CD ⊥AB 交外圆于点C ，测得CD ＝15cm ，AB ＝60cm ，则这个摆件的外圆半径是_____cm ．16．.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是_______．17．如图，已知半圆的直径4㎝，点C 、D 是这个半圆的三等分点，则弦AC 、AD 和弧CD 围成的阴影部分面积为 .18．如图，⊙O 中OA ⊥BC ，∠CDA=25°，则∠AOB 的度数为________．19．在平面直角坐标系中有A ，B ，C 三点，()1,3A ，()3,3B ，()5,1C ．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为_______．20．如图，Rt △ABC 的内切圆与斜边AB 相切于点D ，AD ＝3，BD ＝4，则△ABC 的面积为_____． 三、解答题21．如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，D 是弧BC 的中点，过点D 作EF 垂直于直线,AC 垂足为F ，交AB 的延长线于点E ．()1求证:EF 是O 的切线；()2若6,8AF EF==，求O的半径．22．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在所给的网格中画出与△ABC相似（相似比不为1）的△A1B1C1（画出一个即可）；（2）在所给的网格中，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C，画出△A2B2C，并直接写出在此旋转过程中点A经过的路径长．23．如图，CD是⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，直线AB与CD的延长线相交于点A，AB2＝AD•AC，OE∥BD交直线AB于点E，OE与BC相交于点F．（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，cos A＝45，求OF的长．24．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且∠BDE=∠A．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=16，tanA=34，求⊙O的半径．25．如图，△AB．C内接于⊙0，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．（1）判断直线CD与⊙0的位置关系，并说明理由（2）若⊙0的半径为1，求阴影部分面积．26．如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE为⊙O的切线．。

《圆的基本性质》的知识点及典型例题知识框图1、过一点可作个圆。

过两点可作个圆，以这两点之间的线段的上任意一点为圆心即可。

过三点可作个圆。

过四点可作个圆。

2、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分垂径定理的逆定理1：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分垂径定理的逆定理2：平分弧的直径3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的，所对的圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么都相等。

注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与A B，那么所求的是弧长劣弧相等，优弧与优弧相等。

在题目中，若让你求⌒4.圆周角性质:①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.练习一、 填空题：1、 如图，在⊙O 中，弦AB ∥OC ，115AOC ∠=︒，则BOC ∠=_________2、如图，在⊙O 中，AB 是直径，15C ∠=︒，则BAD ∠=__________3、如图，点O 是ABC ∆的外心，已知40OAB ∠=︒，则ACB ∠=___________（1题图） （2题图） （3题图） （4题图） 4、如图，AB 是⊙O 的直径，弧BC=弧BD ，25A ∠=︒，则BOD ∠= ．（5题图） （6题图） （7题图） 5、如图，⊙O 的直径为8，弦CD 垂直平分半径OA ，则弦CD ＝ ．6、已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB ＝2cm ，P 点为弦AB 上一动点，则线段OP 的范围是 ．7、如图，在⊙O 中，∠B=50º，∠C=20º，则∠BOC 的=____________8、在半径为5cm 的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm 和8cm ，则这两条弦之间的距离为 9、在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 分别是3和2，则∠BAC 的度数为__________________10、如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm ，水面到管道顶部距离为20cm ，则修理工应准备内直径是_________cm 的管道．．半径为5cm 的圆O中有一点P ，OP=4，则过P 的最短弦长_________，最长弦是__________，二、 选择题：12．如图，矩形与⊙O 相交，若AB=4，BC=5，DE=3，则EF 的长为（ ）A ． 3.5B ． 6.5C ． 7D ． 813、如图，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个B OCAO ABCDOABCD BOACDBOACOABPABCON M OFEDC B A1、已知如图,AB 为⊙O 的弦,半径OE 、OF 分别交AB 于点C 、D ，且AC=BD 。

基础知识知识点一、圆的有关概念1. 圆的定义①（动态定义）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆记做“⊙O”.②（静态定义）圆是到定点的距离等于定长的点的集合．即：圆上各点到圆心的距离都等于定长（半径），反之到圆心距离等于半径的点一定在圆上；2.等圆：能够完全重合的圆叫等圆．同圆或等圆的半径相等．3.确定圆的条件确定一个圆有两个基本条件①圆心（定点）——用来确定圆的位置；②半径（定长）——用来确定圆的大小．经过不在同一直线上的三点确定一个圆．知识点二、弦、弧、圆心角等相关概念1. 弦与直径：①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，记做：弦AB，弦CD等．②直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍．直径是圆中最长的弦.2. 弧与半圆①弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，如以A、B为端点的弧记做AB，②半圆：圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中的每条弧都叫做半圆．③劣弧、优弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用弧上的两点表示；大于半圆的弧叫做优弧，用弧上三点表示．④等弧：能够完全重合的弧叫等弧.知识点三、弧、弦、圆心角之间的关系1. 圆的旋转不变性把圆绕着圆心旋转任意一个角度，都与原来的图形重合，我们把这种性质称为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.2. 弧、弦、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.知识点四、垂径定理1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．2. 垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．如图，用符号语言叙述为：∵ CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点E∴ AE＝EB，AC BC，AD DB3. 垂径定理基本图形的性质：（1）有4对全等的直角三角形：Rt△CAD与Rt△CBD；Rt△CAM与Rt△CBM；Rt△OAM与Rt△OBM；Rt△MAD与Rt△MBD；特别在Rt△CAD与Rt△CBD中，直径CD是它们公共的斜边，AM、BM是CD上的高．（2）有3个等腰三角形；△CAB、△OAB、△DAB.弦AB是它们的公共底边，直径CD是它们的顶角平分线和底边AB的垂直平分线．（3）有3对弧相等：AC BC，AD BD，CAD CBD．（4）添加辅助线的方法：连接半径或作垂直于弦的直径，是两种重要的添线方法．知识点五．圆周角定理1. 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角．2. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等，3. 圆周角定理的推论①半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．②圆内接四边形的对角互补．典型例题解析例1.（菏泽）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则BD弧的度数为＿＿＿＿＿．例2. （山西）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为( )A．30° B．40° C．50° D．80°例3. （绍兴）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图，⊙O与矩形ABCD边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点）．已知EF＝CD＝8，则⊙O的半径为___________．例4. （黑龙江）直径为10cm的⊙Ｏ中，弦AB＝5cm,则弦AB所对的圆周角是．例5. (济南) 如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（）A. 2. 3 C. 32D.3例6. （安徽）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE=4，OF=6，求⊙O的半径和CD的长．例7. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC外接圆的周长．巩固练习1. （湖州）如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A. 35 °B.45°C. 55°D.65°2. 如图所示，在⊙O中，，那么（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB=2CD D．无法比较3. （嘉兴）如图，○O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8则AB的长为（）（A）2 （B）4 （C）6 （D）84. （钦州）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，则∠ACO2的度数为（）A．60° B．45° C．30° D．20°5. （南通）如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝_______度．6. （广元）若⊙O的弦AB所对的圆心角∠AOB=50°，则弦AB所对的圆周角的度数为 .7 . (龙岩) 如图，A、B、C是半径为6的⊙O上三个点，若∠BAC=45°，则弦BC= 。

初三数学中考总复习圆的基本性质专题复习练习含答案2019 初三数学中考总复习 圆的基本性质 专题复习练习1. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( A )A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°2．如图，在⊙O 中，直径CD⊥弦AB ，则下列结论中正确的是( B )A ．AC ＝AB B ．∠C ＝12∠BOD C ．∠C ＝∠B D ．∠A ＝∠BOD 3．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦．若∠OBC＝60°，则∠BAC 的度数是( D )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°4．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠A ＝72°，则∠BCO 的度数为( B )A ．15°B ．18°C ．20°D ．28°5．如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过点C 作CD⊥AB交AB 于点D.已知cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，则AC 的长为( D ) A ．1 B.203 C ．3 D.1636.如图，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 分别交⊙O 于C ，D 两点，已知AB ︵和CD ︵所对的圆心角分别为90°和20°，则∠P＝( D )A ．45°B ．20°C ．25°D ．35°7．(2019·南宁)如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB ＝20°，点N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN ＝1，则△PMN 周长的最小值为( B )A ．4B ．5C ．6D ．78．如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，点D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E ，Rt △ACD 和Rt △AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝ED ，AD ＝AD ，∴Rt △ACD ≌Rt △AED(HL)，∴AC ＝AE (2)∵△ABC 为直角三角形，且AC ＝5，CB ＝12，∴根据勾股定理得AB ＝52＋122＝13，由(1)得到∠AED＝90°，则有∠BED＝90°，设CD ＝DE ＝x ，则DB ＝BC －CD ＝12－x ，EB ＝AB －AE ＝AB －AC ＝13－5＝8，在Rt △BED 中，根据勾股定理得BD 2＝BE 2＋ED 2，即(12－x)2＝x 2＋82，解得x ＝103，∴CD ＝103，又AC ＝5，△ACD 为直角三角形，∴根据勾股定理得AD ＝AC 2＋CD 2＝5133 17．如图，等腰三角形ABC 中，BA ＝BC ，以AB 为直径作圆，交BC 于点E ，圆心为O.在EB 上截取ED ＝EC ，连接AD 并延长，交⊙O 于点F ，连接OE ，EF.(1)试判断△ACD 的形状，并说明理由；(2)求证：∠ADE＝∠OEF.解：(1)△ACD 是等腰三角形，连接AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AED ＝90°，∴AE ⊥CD ，∵CE ＝ED ，∴AC ＝AD ，∴△ACD 是等腰三角形(2)∵∠ADE＝∠DEF＋∠F，∠OEF ＝∠OED＋∠DEF，而∠OED＝∠B，∠B ＝∠F ，∴∠ADE ＝∠OEF18．如图，以△ABC 的一边AB 为直径的半圆与其它两边AC ，BC 的交点分别为D ，E ，且DE ︵＝BE ︵.(1)试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)已知半圆的半径为5，BC ＝12，求sin ∠ABD 的值．解：(1)△ABC 为等腰三角形．理由如下：连接AE ，∵DE ︵＝BE ︵，∴∠DAE ＝∠BAE ，即AE 平分∠BAC，∵AB 为直径，∴∠AEB ＝90°，∴AE ⊥BC ，∴△ABC 为等腰三角形(2)∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，∴BE＝CE＝12BC＝12×12＝6，在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，∴AE＝102－62＝8，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴1 2AE·BC＝12BD·AC，∴BD＝8×1210＝485，在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD＝485，∴AD＝AB2－BD2＝145，∴sin∠ABD＝ADAB＝14510＝725。

第六单元圆第24课时圆的基本性质点对点·课时内考点巩固30分钟1. (2019柳州)如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是()A. ∠BB. ∠CC. ∠DEBD. ∠D第1题图2. (2019宜昌)如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是()A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°第2题图3. (2019兰州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝()A. 110°B. 120°C. 135°D. 140°第3题图4. (2019甘肃省卷)如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的2倍，则∠ASB的度数是()A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°第4题图5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第5题图6.(2019西安高新一中模拟)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是()A. 48°B. 96°C. 114°D. 132°第6题图7. (2019陕西黑马卷)如图，在⊙O中，弦AB∥CD，连接BC，OA，OD.若∠BCD＝25°，CD＝OD，则∠AOD的度数是()A. 140°B. 120°C. 110°D. 100°第7题图8. (2019赤峰)如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，点D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC 的度数为( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°第8题图9. (2019贵港)如图，AD 是⊙O 的直径，AB ︵＝CD ︵，若∠AOB ＝40°，则圆周角∠BPC 的度数是( ) A. 40° B. 50° C. 60° D ．70°第9题图10. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，BD 为⊙O 的直径，AD ＝6，则BD 的长为( ) A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 12第10题图11. 如图，AB 为⊙O 的直径，∠CAB ＝30°，CB ＝3，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，则弦AD 的长为( )A. 2 3B. 2 2C. 3 3D. 32第11题图12. 如图，B 、C 是⊙A 上的两点，AB 的垂直平分线与⊙A 交于E 、F 两点，与线段AC 交于点D ，连接BC 、BD 、BF 、CF .若∠BFC ＝20°，则∠DBC ＝( )A. 30°B. 29°C. 28°D. 20°第12题图13. (2019西工大附中模拟)如图，已知△ABC 内接于⊙O ，EF 为⊙O 的直径，且点F 是弧BC ︵的中点．若∠B ＝40°，∠C ＝60°，则∠AFE 的度数为( )A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°第13题图14. (2019西安铁一中模拟)如图，在半径为3的⊙O 中，弦BC 、DE 所对的圆周角分别是∠A 、∠F ，且∠A ＋∠F ＝90°.若BC ＝4，则DE 的长为( )A. 13B. 4C. 5D. 25第14题图15.在圆内接四边形ABCD中，∠ACB＝∠ACD＝60°，对角线AC、BD交于点E.已知BC＝32，CD ＝22，则线段CE的长为()第15题图A. 32 2B. 7 5C. 62 5D. 22 316. (2019株洲)如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB 相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝________度．第16题图17.(2019安徽)如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为________．第17题图18.已知半径为5的⊙O中，弦AB＝52，弦AC＝5，则∠BAC的度数是________．点对线·板块内考点衔接10分钟1. (2019襄阳)如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是()A. AP＝2OPB. CD＝2OPC. OB⊥ACD. AC平分OB第1题图2. (2019西工大附中模拟)如图，已知⊙O的内接五边形ABCDE，连接BE、CE，若AB＝BC＝CE，∠EDC ＝130°，则∠ABE的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°第2题图3.(2019天水)如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为()A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°第3题图4.(2019柳州)在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为________．5.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、OA，则△AOP面积的最大值为________．第5题图点对面·跨板块考点迁移2分钟1. (2019安顺)如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC 为()第1题图A. 13 B. 22 C.223 D.24参考答案第24课时 圆的基本性质点对点·课时内考点巩固1. D 【解析】在⊙O 中，∵∠A 与∠D 都是BC ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠D .2. A 【解析】∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝40°.∴在△OBC 中，∠BOC ＝180°－∠OCB －∠OBC ＝180°－40°－40°＝100°.∴∠A ＝12∠BOC ＝12×100°＝50°.3. D 【解析】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝40°，∴∠C ＝180°－∠A ＝140°.4. C 【解析】如解图，设圆心为O ，半径为r ，则AB ＝2r .连接OA 、OB ，则r 2＋r 2＝(2r )2，∴△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB ＝90°.∴∠ASB ＝12∠AOB ＝45°.第4题解图5. B 【解析】如解图，连接AC ，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠DCB －∠ACB ＝110°－90°＝20°，∴∠AED ＝∠ACD ＝20°.第5题解图6. B 【解析】∵AD ∥BC ，∴∠B ＝180°－∠DAB ＝132°，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠D ＝180°－∠B ＝48°，由圆周角定理得，∠AOC ＝2∠D ＝96°.7. C 【解析】如解图，连接OC ，∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠BCD ＝25°，∴∠AOC ＝50°，∵CD ＝OD ，OD ＝OC ，∴OC ＝OD ＝CD ，∴△COD 为等边三角形，∴∠COD ＝60°，∴∠AOD ＝∠AOC ＋∠COD ＝110°.第7题解图8. D 【解析】∵OC ⊥AB ，∴点C 是AB ︵的中点，即AC ︵＝BC ︵.∴∠BOC ＝∠AOC ＝2∠ADC ＝60°. 9. B 【解析】∵AB ︵＝CD ︵，∴∠COD ＝∠AOB ＝40°，∴∠BOC ＝100°，∴∠BPC ＝12∠BOC ＝50°.10. C 【解析】∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠BCA ＝12×(180°－120°)＝30°.∴∠D ＝∠BCA ＝30°.∵BD为⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°.在Rt △BAD 中，BD ＝AD cos30°＝632＝4 3. 11. D 【解析】如解图，连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴AB ＝2CB ＝6，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝45°，∵∠BAD ＝∠BCD ＝45°，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AD ＝22AB ＝22×6＝3 2.第11题解图12. A 【解析】∵∠BFC ＝20°，∴∠BAC ＝2∠BFC ＝40°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－40°)＝70°.又∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠BAC ＝40°，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°.13. A 【解析】如解图，连接OC 、CF .∵∠B ＝40°，∠ACB ＝60°，∴∠BAC ＝80°，∠AFC ＝∠ABC ＝40°，∵点F 是弧BC ︵的中点，∴∠BAF ＝∠CAF ＝40°，∴∠COF ＝2∠CAF ＝80°，∵OF ＝OC ，∴∠OFC ＝12(180°－80°)＝50°，∴∠AFE ＝∠OFC －∠AFC ＝10°.第13题解图14. D 【解析】如解图，连接DO 并延长，交⊙O 于点G ，连接EG 、FG ，则∠DFG ＝∠DEG ＝90°，又∵∠A ＋∠DFE ＝90°，∠GFE ＋∠DFE ＝90°，∴∠A ＝∠GFE .则GE ＝BC ＝4.∵⊙O 的半径为3，∴DG ＝6.在Rt △DEG 中，DE ＝DG 2－GE 2＝62－42＝2 5.第14题解图15. C 【解析】如解图，作BM ⊥AC 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，则BM ∥DN ，∴△BME ∽△DNE ，∴MENE ＝BM DN ，∵∠ACB ＝∠ACD ＝60°，∴∠CBM ＝∠CDN ＝30°，∴CM ＝12BC ＝322，CN ＝12CD ＝2，∴BM ＝3CM ＝362，DN ＝3CN ＝6，∴MN ＝CM －CN ＝122，∴ME NE ＝32，∴EN ＝25MN ＝25，∴CE ＝CN ＋EN ＝2＋25＝625.第15题解图16. 20 【解析】∵AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且OC ⊥AB ，∴∠ADC ＝12∠AOC ＝45°.∵∠AEC＝65°，且∠AEC 是△ADE 的一个外角，∴∠BAD ＝∠AEC －∠ADC ＝20°.17. 2 【解析】如解图，连接OA 、OC ，∵∠CBA ＝45°，∴∠AOC ＝90°.又∵OA ＝OC ＝2，∴AC ＝2 2.在Rt △ACD 中，∠CDA ＝90°，∠CAD ＝30°，∴CD ＝AC ·sin30°＝ 2.第17题解图18. 105°或15° 【解析】如解图，连接OC ，OA ，OB .∵OC ＝OA ＝AC ＝5，∴△OAC 是等边三角形，∴∠CAO ＝60°，∵OA ＝OB ＝5，AB ＝52，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴△OAB 是等腰直角三角形，∠OAB ＝45°，点C 的位置有两种情况，如解图①时，∠BAC ＝∠CAO ＋∠OAB ＝60°＋45°＝105°；如解图②时，∠BAC ＝∠CAO －∠OAB ＝60°－45°＝15°.综上所述，∠BAC 的度数是105°或15°.第18题解图点对线·板块内考点衔接1. A 【解析】如解图，连接OC .∵四边形OBCD 是平行四边形，OD ＝OB ，∴四边形OBCD 是菱形．∴OD ＝OC ＝CD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∵CD ∥OB ，∴CD ＝2OP ，OB ⊥AC .故B 、C 选项正确．∵△CBP ≌△COP (HL)，∴BP ＝OP .故D 选项正确．第1题解图2. B 【解析】如解图，连接OA ，OB ，OC ，OE ，∵AB ＝BC ＝CE ，∴AB ︵＝BC ︵＝CE ︵，∠1＝∠2＝∠3，在四边形BCDE 中，∵∠D ＝130°，∴∠CBE ＝50°，∠2＝2∠CBE ＝100°，∴∠1＝∠3＝∠2＝100°，∠AOE＝360°－3×100°＝60°，∴∠ABE ＝12∠AOE ＝30°.第2题解图3. C 【解析】∵∠AEB ＋∠AEC ＝∠D ＋∠AEC ＝180°，∠D ＝80°，∴∠AEB ＝∠D ＝80°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠B ＝∠D ＝80°，AB ＝BC ，∴∠B ＝∠AEB .∴∠BAE ＝180°－2∠B ＝20°，∠BAC ＝∠ACB ＝12(180°－∠B )＝50°.∴∠EAC ＝∠BAC －∠BAE ＝30°.4. 52 【解析】如解图，四边形ABCD 为正方形，BD 为⊙O 的直径，OA 为半径，则OA ＝OB ＝5，OA ⊥OB ，∴AB ＝ OA 2＋OB 2＝52＋52＝5 2.第4题解图5. 174【解析】如解图，延长AO 至C 点，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，延长FD 交⊙D 于点P ′，连接AP ′，OP ′，要使△AOP 面积最大，则只需AO 边上的高最大，此时P ′满足条件，即P ′F 为△AOP 的AO 边上最大的高．∵DF ＝AD ·CD AC ＝4×342＋32＝125，∴P ′F ＝DF ＋DP ′＝125＋1＝175，AO ＝12AC ＝52，∴△AOP 的最大面积为12AO ·P ′F ＝12×52×175＝174.第5题解图点对面·跨板块考点迁移1. D 【解析】如解图，连接AC 、AO ，得到等腰三角形AOC ，过A 点作AD ⊥OC ，垂足为点D ，∴∠CAD ＝12∠CAO ＝∠OBC ，∵点C 坐标为(0，2)，∴CD ＝OD ＝1，∴在Rt △ACD 中，AD ＝AC 2－CD 2＝32－12＝22，∴tan ∠OBC ＝tan ∠CAD ＝CD AD ＝122＝24.第1题解图。

【中考复习】中考数学备考考点辅导：圆的基础性质在初中这个过渡的时期，总是有同学面对新问题准备的不好，掉下队来，同时，也有些同学方法得当，后来居上。

为什么会这样呢?在这里，数学网编辑了中考数学备考考点辅导，以备借鉴。

⑴垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角。

90度的圆周角所对的弦是直径。

圆心角计算公式: =(L/2r)360=180r=L/r(弧度)即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

//③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。

外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等;②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③R=2S△L(R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长)④两相切圆的连心线过切点(连心线：两个圆心相连的直线)⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

(4)如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦。

(5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

(6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

(7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

(8)周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。

圆的知识要领不仅常考公式，又是也会直接出一些关于定理的试题希望为大家提供的中考数学备考考点辅导的内容，能够对大家有用，更多相关内容，请及时关注!感谢您的阅读，祝您生活愉快。

中考数学考点练习：圆的基础性质为了更有效地帮助学生梳理学过的知识，提高复习质量和效率，在2019中考中取得理想的成绩，下文为大家准备了2019中考数学考点复习：圆的基础性质。

⑴垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理①在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角。

90度的圆周角所对的弦是直径。

圆心角计算公式: θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

③如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。

外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等;②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③R=2S△÷L(R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长)④两相切圆的连心线过切点(连心线：两个圆心相连的直线)⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与B C分别交PQ于X，Y，那么M为XY之中点。

(4)如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦。

(5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

(6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

(7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

(8)周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。

与当今〝教师〞一称最接近的〝老师〞概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问«示侄孙伯安»诗云：〝伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

专题19 圆的基本性质1．2017·泸州如图Z19－1，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是( )图Z19－1 A.7 B ．2 7 C ．6 D ．82．2018·柳州如图Z19－2，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，∠A ＝60°，∠B ＝24°，则∠C 的度数为( )图Z19－2A ．84°B ．60°C ．36°D ．24°3．2017·宜昌如图Z19－3，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 平分∠BAD ，则下列结论正确的是( )图Z19－3A ．AB ＝AD B ．BC ＝CDC.AB ︵＝AD ︵ D ．∠BCA ＝∠DCA4.2017·泰安如图Z19－4，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，则∠OBC等于( )图Z19－4A．180°－2α B．2αC．90°＋α D．90°－α5．2017·淮安如图Z19－5，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是________°.图Z19－56．2018·黄冈如图Z19－6，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD 平分∠CAB.若AD＝6，则AC＝________．图Z19－67．2017·宁夏如图Z19－7，点A，B，C均在6×6的正方形网格的格点上，过A，B，C 三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为________．图Z19－78．2017·临沂如图Z19－8，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC的外接圆半径．图Z19－8详解详析1．B 2.D 3.B 4.D5．120 6.2 3 7.58．解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE，∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD，即∠DBE＝∠BED，∴DE＝DB.(2)连接CD.∵∠BAC＝90°，∴BC是△ABC的外接圆的直径，∴∠BDC＝90°.∵AD平分∠BAC，BD＝4，∴BD＝CD＝4，∴BC＝BD2＋CD2＝4 2，∴△ABC的外接圆半径为2 2.。

专题19 圆的基本性质1．2017·泸州如图Z19－1，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是( )图Z19－1A.7 B ．2 7 C ．6 D ．82．2018·柳州如图Z19－2，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，∠A ＝60°，∠B ＝24°，则∠C 的度数为( )图Z19－2A ．84°B ．60°C ．36°D ．24°3．2017·宜昌如图Z19－3，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 平分∠BAD ，则下列结论正确的是( )图Z19－3A ．AB ＝AD B ．BC ＝CD C.AB ︵＝AD ︵D ．∠BCA ＝∠DCA4.2017·泰安如图Z19－4，△ABC 内接于⊙O ，若∠A ＝α，则∠OBC 等于( )图Z19－4A ．180°－2αB ．2αC ．90°＋αD ．90°－α5．2017·淮安如图Z19－5，在圆内接四边形ABCD 中，若∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为4∶3∶5，则∠D 的度数是________°.图Z19－56．2018·黄冈如图Z19－6，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD 平分∠CAB.若AD＝6，则AC＝________．图Z19－67．2017·宁夏如图Z19－7，点A，B，C均在6×6的正方形网格的格点上，过A，B，C 三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为________．图Z19－78．2017·临沂如图Z19－8，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC的外接圆半径．图Z19－8详解详析1．B 2.D 3.B 4.D5．120 6.2 3 7.58．解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE，∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD，即∠DBE＝∠BED，∴DE＝DB.(2)连接CD.∵∠BAC＝90°，∴BC是△ABC的外接圆的直径，∴∠BDC＝90°.∵AD平分∠BAC，BD＝4，∴BD＝CD＝4，∴BC＝BD2＋CD2＝4 2，∴△ABC的外接圆半径为2 2.。

专题19 圆的基本性质1．2018·聊城如图Z －19－1，⊙O 中，弦BC 与半径OA 相交于点D ，连接AB ，OC .若∠A ＝60°，∠ADC ＝85°，则∠C 的度数是( )图Z －19－1A ．25° B．27.5° C．30° D．35°2.2018·枣庄如图Z －19－2，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC ＝30°，则CD 的长为( )图Z －19－2 A.15 B ．2 5 C ．215 D ．83．2018·威海如图Z －19－3，⊙O 的半径为5，AB 为弦，C 为AB ︵的中点，若∠ABC ＝30°，则弦AB 的长为( )图Z －19－3A.12 B ．5 C.5 32D ．5 3 4．2018·白银如图Z －19－4，⊙A 过点O (0，0)，C (3，0)，D (0，1)，B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是( )图Z－19－4A．15° B．30° C．45° D．60°5．2018·烟台如图Z－19－5，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为________．图Z－19－56．2018·绍兴等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以点A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP＝BA，则∠PBC的度数为________．7．2018·安徽如图Z－19－6，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，半径为5.(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．图Z－19－6详解详析1．D 2.C 3.D 4.B 5.(－1，－2)6．30°或110°[解析] 分两种情况：(1)如图①，BP＝BA＝AC，AP＝BC，∴四边形APBC为平行四边形，∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠ABP＝∠BAC＝40°，∴∠PBC＝∠ABP＋∠ABC＝40°＋70°＝110°；(2)如图②，由AP＝BC，BP＝AC，AB＝BA，得△BAP≌△ABC，∴∠PBA＝∠BAC＝40°，∴∠PBC＝∠ABC－∠PBA＝70°－40°＝30°.综上，∠PBC的度数为30°或110°.7．解：(1)如图所示：(2)如图，连接OE，OC，EC，由(1)知AE为∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠CAE，∴弧BE＝弧EC，根据垂径定理知OE⊥BC，则DE＝3.∵OE＝OC＝5，∴OD＝OE－DE＝2.在Rt△ODC中，DC＝OC2－OD2＝52－22＝21，在Rt△DEC中，CE＝DE 2＋DC 2＝32＋（21）2＝30. ∴弦CE的长为30.。

2019年中考考试数学考点辅导：圆的基础性质中考复习最忌心浮气躁，急于求成。

指导复习的教师，应给学生一种乐观、镇定、自信的精神面貌。

要扎扎实实地复习，一步一步地前进，下文为大家准备了2019年中考考试数学考点辅导。

⑴垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理①在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角。

90度的圆周角所对的弦是直径。

圆心角计算公式: =(L/2r)360=180r=L/r(弧度)即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

③如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。

外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等;②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③R=2S△L(R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长)④两相切圆的连心线过切点(连心线：两个圆心相连的直线)⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

(4)如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦。

(5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

(6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

(7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。

其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。

《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。

“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。

2019中考数学考点总结：圆的基础性质2019中考数学是历年“拉分”科目，很多学生与自己心仪的高中失之交臂，主要原因就是数学“失手”。

下文为大家准备了2019中考数学考点总结。

⑴垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理①在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角。

90度的圆周角所对的弦是直径。

圆心角计算公式: θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

③如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。

外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等;②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③R=2S△÷L(R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长)④两相切圆的连心线过切点(连心线：两个圆心相连的直线)⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

(4)如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦。

(5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

(6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

(7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

(8)周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。

“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。

其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。

中考数学复习专练知识考点：圆的有关性质中考数学复习专练知识考点：圆的有关性质纲要求：1.理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系.命题趋势：2.了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系，掌握垂径定理及推论.中考主要考查圆的有关概念和性质，与垂径定理有关的计算，与圆有关的角的性质及其应用.题型以选择题、填空题为主.知识梳理一、圆的有关概念及其对称性1.圆的定义(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形.这个定点叫做________，定长叫做________;(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径.2.圆的有关概念(1)连接圆上任意两点的________叫做弦;(2)圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧.(3)________相等的两个圆是等圆.(4)在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧. 3.圆的对称性(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴;(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;(3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合.这就是圆的旋转不变性.二、垂径定理及推论1.垂径定理垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧.2.推论1(1)平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的________弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.3.推论2圆的两条平行弦所夹的弧________.4.(1)过圆心;(2)平分弦(不是直径);(3)垂直于弦;(4)平分弦所对的优弧;(5)平分弦所对的劣弧.若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项.三、圆心角、弧、弦之间的关系1.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________.2.推论同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等;(2)两条弧相等;(3)两条弦相等.三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立.四、圆心角与圆周角1.定义顶点在________上的角叫做圆心角;顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角.2.性质(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数.(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半.(3)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________.(4)半圆(或直径)所对的圆周角是______，90的圆周角所对的弦是________.五、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补.。

考点跟踪训练26 圆的基本性质一、选择题1．(·上海)矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3 5，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( )A. 点B、C均在圆P外B. 点B在圆P外、点C在圆P内C. 点B在圆P内、点C在圆P外D．点B、C均在圆P内答案 C解析如图，AB＝8，BP＝3AP，得BP＝6，AP＝2.在Rt△APD中，PD＝ 3 52＋22＝7>BP，所以点B在圆P内；在Rt△BPC中，PC＝ 3 52＋62＝9>PD，所以点C在圆P外．2．(·凉山)如图，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B( )A．50° B．80°或50°C．130° D．50° 或130°答案 D解析当点C在优弧上，∠ACB＝12∠AOB＝50°；当点C在劣弧上，∠ACB＝180°－50°＝130°.综上，∠ACB＝50°或130°.3．(·重庆)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB ＝40°，则∠A的度数等于( )A．60° B．50°C．40° D．30°答案 B解析在△OBC中，OB＝OC，∠OCB＝40°，∴∠BOC＝180°－2×40°＝100°.∴∠A＝12∠BOC＝12×100°＝50°.4．(·绍兴)一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是( )A．16 B．10C．8 D．6答案 A解析在Rt△OBC中，OB＝10，OC＝6，∴BC＝102－62＝8.∵OC⊥AB，∴AC＝BC.∴AB＝2BC＝2×8＝16.5．(·嘉兴)如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为( )A．6 B．8C．10 D．12答案 A解析作弦心距OC，得AC＝BC＝12×16＝8.连接AO，在Rt△AOC中，OC＝102－82＝6.二、填空题6．(·扬州)如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝__________度．答案40解析∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠B＝90°－∠BAD＝90°－50°＝40°.∴∠ACD＝∠B＝40°.7．(·安徽)如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径是________________．答案 5解析画OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N，连接OD.∵AB＝CD，∴OM＝ON.易证四边形OMEN是正方形．∵CN＝DN＝12CD＝12×(1＋3)＝2，∴EN＝CN－CE＝2－1＝1.∴ON＝1.∴在Rt△DON中，OD＝12＋22＝ 5.8．(·杭州)如图，点A、B、C、D都在⊙O上，CD 的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD＋∠CAO＝________.答案48°解析∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO.又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABD＋∠CAO＝∠ACD＋∠ACO＝∠DCO.在△CDO中，OC＝OD，∠COD=====m CD＝84°，∴∠DCO＝180°－84°2＝48°，即∠ABD＋∠CAO＝48°.9．(·威海)如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，BE＝1，CD＝4 2，则∠AED＝___________.答案30°解析连接DO，画OF⊥CD，垂足是F.∴CF＝DF＝12CD＝12×4 2＝2 2.∵AB＝AE＋BE＝5＋1＝6，∴DO＝12AB＝3.在Rt△DFO中，OF＝32－ 2 22＝1，在Rt△OFE中，OE＝3－1＝2，OF＝1.∴∠AED＝30°.10．(·舟山)如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB 于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE ∽△ADO；④2CD2＝CE·AB.其中正确结论的序号是_______．答案 ①④解析 ∵OC ⊥AB ，∴A C ＝B C ＝90°. ∵AD 平分∠CAD ，∴∠CAD ＝∠BAD ，CD ＝BD ＝45°. ∴∠CAB=====m 12BC ＝45°， ∠DOB=====m BD ＝45°， ∴∠CAD ＝∠DOB ，AC ∥OD ；在△ACO 中，AC>AO ，AE 平分∠CAO ，∴CE≠EO； 由AC ∥OD ，得△ODE ∽△CAE ，而∠CAD ＝∠BAO ，∠ACE≠∠AOD ，∠AEC≠∠AOD.∴△ACE 与△ADO 不相似，即△ODE 与△ADO 不相似；连接BD ，有BD ＝CD ，可求得∠B ＝67.5°，又∵∠CED ＝∠AEO ＝67.5°，∴∠B ＝∠CED.又∵∠CDE ＝∠DOB ＝45°，∴△CDE ∽△DOB ，CD DO ＝CEDB，CD·DB＝CE·DO，∴CD 2＝CE·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12AB ，即2CD 2＝CE·AB. 故结论①、④正确． 三、解答题11．(·上海)如图，点C 、D 分别在扇形AOB 的半径OA 、OB 的延长线上，且OA ＝3，AC ＝2，CD 平行于AB ，并与A B 相交于点M 、N.(1)求线段OD 的长；(2)若tan∠C＝12，求弦MN的长．解(1)∵CD∥AB，∴∠OAB＝∠C，∠OBA＝∠D.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.∴∠C＝∠D.∴OC＝OD.∵OA＝3，AC＝2，∴OC＝5.∴OD＝5.(2)过点O作OE⊥CD，E为垂足，连接OM.在Rt△OCE中，OC＝5，tan∠C＝12，设OE＝x，则CE＝2x.由勾股定理得x2＋(2x)2＝52，解得x1＝5，x2＝－5(舍去)．∴OE＝ 5.在Rt△OME中，OM＝OA＝3，∴ME＝OM2－OE2＝32－52＝2.∴MN＝2ME＝4.12．(·江西)如图，已知⊙O的半径为2，弦BC 的长为2 3，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C 两点除外)．(1)求∠BAC的度数；(2)求△ABC面积的最大值．(参考数据：sin60°＝32，cos30°＝32，tan30°＝33.)解(1) 解法一：连接OB、OC，过O作OE⊥BC于点E(如图)．∵OE⊥BC，BC＝∴BE＝EC＝ 3.在Rt△OBE中，OB＝2，∵sin∠BOE＝BEOB＝32，∴∠BOE＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠BAC＝12∠BOC＝60°.解法二：连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD.(如图)∵BD 是直径，∴BD ＝4，∠DCB ＝90°. 在Rt △DBC 中，sin ∠BDC ＝BC BD ＝2 34＝32，∴∠BDC ＝60°，∴∠BAC ＝∠BDC ＝60°.(2)因为△ABC 的边BC 的长不变，所以当BC 边上的高最大时，△ABC 的面积最大，此时点A 落在优弧BC 的中点处．如图，过O 作OE ⊥BC 于E ，延长EO 交⊙O 于点A ，则A 为优弧BC 的中点．连接AB 、AC ，则AB ＝AC ，∠BAE ＝12∠BAC ＝30°.在Rt △ABE 中，∵BE ＝3，∠BAE ＝30°，∴AE ＝BEtan 30°＝3，∴S △ABC ＝12×2 3×3＝3 3.答：△ABC 面积的最大值是3 3. 13．(·德州) ●观察计算当a ＝5，b ＝3时， a ＋b2与ab 的大小关系是__________________；当a＝4，b＝4时，a＋b2与ab的大小关系是__________________．●探究证明如图所示，△ABC为圆O的内接三角形，AB为直径，过C作CD⊥AB于D，设AD＝a，BD＝b.(1)分别用a、b表示线段OC、CD；(2)探求OC与CD表达式之间存在的关系(用含a、b的式子表示)．●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出a＋b 2与ab的大小关系是：________________________.●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用解观察计算：a＋b 2>ab；a＋b2＝ab.探究证明：(1)∵AB＝AD＋BD＝2OC，∴OC＝a＋b2.∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°.∵∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD.∴△ACD∽△CBD.∴ADCD＝CDBD.即CD2＝AD·BD＝ab，∴CD＝ab.(2)当a＝b时，OC＝CD, a＋b2＝ab；a≠b时，OC>CD, a＋b2>ab.结论归纳：a＋b2≥ab.实践应用：设长方形一边长为x米，则另一边长为1x米，设镜框周长为l米，则l＝2(x＋1x) ≥4 x·1x＝4 .当x＝1x，即x＝1(米)时，镜框周长最小．此时四边形为正方形时，周长最小为4 米．14．(肇庆)已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB 为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD.(1)求证：∠DAC ＝∠DBA ；(2)求证：P 是线段AF 的中点；(3)若⊙O 的半径为5，AF ＝152，求tan ∠ABF 的值．解 (1)证明：∵BD 平分∠CBA ，∴∠CBD ＝∠DBA. ∵∠DAC 与∠CBD 都是弧CD 所对的圆周角，∴∠DAC ＝∠CBD.∴∠DAC ＝∠DBA.(2)证明：∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°.又∵DE ⊥AB 于点E ，∴∠DEB ＝90°.∴∠ADE ＋∠EDB ＝∠ABD ＋∠EDB ＝90°.∴∠ADE ＝∠ABD ＝∠DAP.∴PD ＝PA.又∵∠DFP ＋∠DAC ＝∠ADE ＋∠PDF ＝90°，且∠ADE ＝∠DAC ，∴∠PDF ＝∠PFD ，∴PD ＝PF.∴PA ＝PF ，即P 是线段AF 的中点．(3)解：∵∠DAF ＝∠DBA ，∠ADB ＝∠FDA ＝90°， ∴△FDA ∽△ADB ，∴AD DB ＝AF AB. ∴在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝AD DB ＝AF AB ＝15210＝34，即tan ∠ABF ＝34. 15．(广州)如图1，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE 是直角，点D在线段AC上．(1)证明：B、C、E三点共线；(2)若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN＝2OM；(3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(00<α<900)后，记为△D1CE1(图2)，若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1＝2OM1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．解(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠DCE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝180°，∴ B、C、E三点共线．(2)证明：如图，连接ON、AE、BD，延长BD交AE 于点F.∵∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，∴ BC＝AC.又∠ACB＝∠DCE＝90°，DC＝EC，∴△BCD≌△ACE.∴ BD＝AE，∠DBC＝∠CAE.∴∠DBC＋∠AEC＝∠CAE＋∠AEC＝90°.∴ BF⊥AE.∵ AO＝OB，AN＝ND，∴ ON＝12BD，ON∥BD.∵ AO＝OB，EM＝MB，∴ OM＝12AE，OM∥AE.∴ OM＝ON，OM⊥ON. ∴∠OMN＝45°.又 cos∠OMN＝OMMN，∴ MN＝2OM.(3) M1N1＝2OM1成立，证明同(2)．。