湖南师范大学数学分析2010年真题

2010年高考湖南卷文科数学试题及答案*************一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 复数21i-等于等于A. 1+I B. 1-i C. -1+iD. -1-i 2. 下列命题中的假命题．．．是 A. ,lg 0x R x $Î= B. ,tan 1x R x $Î=C. 3,0x R x "Î> D. ,20xx R "Î>3. 某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）负相关，则其回归方程可能是件）负相关，则其回归方程可能是A. ^10200y x =-+ B. ^10200y x =+C. ^10200y x =--D. ^10200y x =- 4. 极坐标cos p q =和参数方程12x t y tì=--í=+î（t 为参数）所表示的图形分别是为参数）所表示的图形分别是A. 直线、直线直线、直线B. 直线、圆直线、圆C. 圆、圆圆、圆D. 圆、直线圆、直线5. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是到该抛物线焦点的距离是 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 6. 若非零向量a ，b 满足||||,(2)0a b a b b =+×=，则a 与b 的夹角为的夹角为A. 300B. 600C. 1200D. 15007.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=2a ，则，则 A.a ＞b B.a ＜b C. a ＝b D.a 与b 的大小关系不能确定的大小关系不能确定8.函数y=ax 2+ bx 与y= ||log b ax (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是在同一直角坐标系中的图像可能是二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应的题号后的横线上。

湖南师范大学2004年全国硕士研究生入学考试数学分析试题一、 基础题（每题8分，共64分）1.求证：方程7543361510360x x x x x 在实数轴上有且仅有一个根； 2.若,,b c d 为实数且23b c ，求证：32y x bx cx d 没有极值；3.求极限11limxx x ex；4.求不定积分22sin 1sin xdx x；5.求111lim 1cos3nn k k n n ；6.求级数0211!2nn n n的和；7.设,,a b c 为常数，()u 是u 的可微函数，(,)z z x y 由222()ax by cz x y z 决定且20z c ，求()()z zcy bz az cx x y。

8.求二重积分Dy x dxdy，其中D 为矩形：[0,1][0,1] 。

二、 （12分）设11ln ,1,2,,nn k x n n k，求证： （1）对一切自然数n 都有111ln(1)1n n n ；（2）数列{}n x 收敛。

三、 （10分）设()f x 在[0,) 上连续，在(0,) 内可导且(0)0f ，()f x 在(0,) 内严格单调递增，求证：()f x x在(0,) 上严格单调递增。

四、 （10分）设0 ，求积分22x x eeI dx x。

五、 （10分）设()f a 存在且不为0，0h ，根据拉格朗日中值定理有()()()(01)f a h f a f a h h ，求证：1lim 2h。

六、 （12分）设C 为圆周222x y 取正向，求第二类曲线积分：22(1)4(1)Cydx x dyI x y。

七、 （10分）设0()1S x，()1),1,2,,n S x x n，求证：函数列{()}n S x 在[0,1]上一致收敛于x 。

八、 （12分）求曲面积分2(1)SI yzdydz ydzdx z dxdy，其中S为球面z 取上侧。

九、 （10分）设广义积分1()f x dx收敛，函数()xf x 在区间[1,) 上单调递减，求证：（1）()0xf x ； （2）lim ()ln 0x xf x x。

2010年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试数学一、选择题：每小题6分，共10小题，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合A ＝｛x|x 2―1＞0}，B ＝｛x|log 2x ＜0}，则A ∩B 等于 ( )A ．ØB ．｛x|x ＜－1}C ．｛x|x ＞1}D ．｛x|x ＜－1或x ＞1}2. 若不等式||x a -<1成立的充分条件是04<<x ，则实数a 的取值范围是( ) A. a ≥3B. a ≤3C. a ≥1D. a ≤13．函数)1(log 2-=x y 的反函数图像是 ( )A B4. 如图所示，∆OAB 是边长为2的等边三角形，直线x t =截这个三角形位于此直线左方的图形面积为y （见图中阴影部分）则函数y f t =()的大致图形为( )5．已知a 、b 是非零向量且满足（a －2b ）⊥a ，（b －2a ）⊥b ，则a 与b 的夹角是( )A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π6椭圆22143x y +=的右焦点到直线y x =的距离是 （ ）A.127. 过圆锥曲线C 的一个焦点F 的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆与F 相应的准线相交，则曲线C 为A. 双曲线B. 抛物线C. 椭圆D. 以上都有可能 8．若αααααcos sin cos 3sin ,2tan +-=则的值是（ ）A ．31-B ．－35C ．31 D ．35 9．直线052)3(057)3()1(2=-+-=-+-++y x m m y m x m 与直线垂直的充要条件是（ ）A ．2-=mB ．3=mC ．31=-=m m 或D ．23-==m m 或10．已知1(2)2x f x x ++=+，则1(2)f x -+= ( ) A.12x x -+ B.11x -+ C.211x x +-- D.21x x +-+二、填空题：每小题5分，共8小题，共计40分．将答案填在题中的横线上。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)极限2lim ( )()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦(A)1 (B)e(C)a be-(D)b ae-答案：C 详解：2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦=2233221ln ()()()()lim lim lim xxx x bx abxx x x a x b a bx a x b x ax bx abx x x e e ee⎛⎫-+-- ⎪⋅ ⎪-+--+⎝⎭-+-→∞→∞→∞===(2)设函数(),z z x y =，由方程(,)0y zF x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '=，则x z x y u y ∂∂+∂∂=( ) (A)x (B)z (C)x - (D)z -答案：B详解：12221222,1x z y z y zF F F F F z x x x x x F F F x⎛⎫⎛⎫''-+-''⋅+⋅⎪ ⎪'∂⎝⎭⎝⎭=-=-=''∂'⋅112211y x F F F z x xF F F x'⋅''∂=-=-=-''∂'⋅1212222yF zF yF F z z z xyz xxF F F ''''+⋅∂∂+=-=='''∂∂(3)设,m n是正整数，则反常积分0⎰的收敛性(A)仅与m 的取值有关 (B)仅与n 取值有关 (C)与,m n 取值都有关 (D)与,m n 取值都无关 答案：C 详解：11222111111111ln 1(ln (1))1111mmn mm np p p nnx p p m dx p x p np -∞∞∞⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-= ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰⎰2121121n mm np n m m nn m p m n -∞--⎧>⎪⎛⎫⎪=⎨⎪-⎝⎭⎪≤⎪⎩∑收敛，发散， (4)()()2211limnnx i j nn i n j→∞--=++∑∑(A)()()12111x dx dy x y++⎰⎰(B)()()10111x dx dy x y ++⎰⎰(C)()()1100111dx dy x y ++⎰⎰(D)()()112111dx dy x y++⎰⎰答案：D详解：()()22211112limlim11nnnnx x i j i j nnn i nji j n n n n →∞→∞----=⎛⎫++⎛⎫⎛⎫+⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑2211111lim11n nx i j inj n n →∞--=⋅⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑∑()()112111dx dy x y=++⎰⎰(5)设A 为m n ⨯型矩阵，B 为n m ⨯型矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若AB =E ，则( ) (A)秩(),r A m =秩()r B m =(B)秩(),r A m =秩()r B n = (C)秩(),r A n =秩()r B m = (D)秩(),r A n =秩()r B n =答案：A解析：由于A B E =，故()()r A B r E m ==，又由于()(),()()r A B r A r A B r B ≤≤，故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==，故选A 。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)极限2lim ( )()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦(A)1 (B)e(C)a be-(D)b ae-答案：C 详解：2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦=2233221ln ()()()()lim lim lim xxx x bx abxx x x a x b a bx a x b x ax bx abx x x e e ee⎛⎫-+-- ⎪⋅ ⎪-+--+⎝⎭-+-→∞→∞→∞===(2)设函数(),z z x y =，由方程(,)0y zF x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '=，则x z x y u y ∂∂+∂∂=( ) (A)x (B)z (C)x - (D)z -答案：B详解：12221222,1x z y z y zF F F F F z x x x x x F F F x⎛⎫⎛⎫''-+-''⋅+⋅⎪ ⎪'∂⎝⎭⎝⎭=-=-=''∂'⋅112211y x F F F z x xF F F x'⋅''∂=-=-=-''∂'⋅1212222yF zF yF F z z z xyz xxF F F ''''+⋅∂∂+=-=='''∂∂(3)设,m n是正整数，则反常积分0⎰的收敛性(A)仅与m 的取值有关 (B)仅与n 取值有关 (C)与,m n 取值都有关 (D)与,m n 取值都无关 答案：C 详解：11222111111111ln 1(ln (1))1111mmn mm np p p nnx p p m dx p x p np -∞∞∞⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-= ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰⎰2121121n mm np n m m nn m p m n -∞--⎧>⎪⎛⎫⎪=⎨⎪-⎝⎭⎪≤⎪⎩∑收敛，发散， (4)()()2211limnnx i j nn i n j→∞--=++∑∑(A)()()12111x dx dy x y++⎰⎰(B)()()10111x dx dy x y ++⎰⎰(C)()()1100111dx dy x y ++⎰⎰(D)()()112111dx dy x y++⎰⎰答案：D详解：()()22211112limlim11nnnnx x i j i j nnn i nji j n n n n →∞→∞----=⎛⎫++⎛⎫⎛⎫+⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑2211111lim11n nx i j inj n n →∞--=⋅⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑∑()()112111dx dy x y=++⎰⎰(5)设A 为m n ⨯型矩阵，B 为n m ⨯型矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若AB =E ，则( ) (A)秩(),r A m =秩()r B m =(B)秩(),r A m =秩()r B n = (C)秩(),r A n =秩()r B m = (D)秩(),r A n =秩()r B n =答案：A解析：由于A B E =，故()()r A B r E m ==，又由于()(),()()r A B r A r A B r B ≤≤，故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==，故选A 。

《数学分析（上）》课程习题集一、单选题1. 设)(x f 在D 内有界，并且0)(>x f ，则（ ）（A ）0)(inf >x f （B ）{}0)(inf ≥x f （C ）{}0)(inf =x f（D ）A 、B 、C 都不对2. 函数][)(x x f =在97.3-的值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）3-（D ）4-3. 函数1sin )1()(--=x x xx x f ，则0=x 是)(x f 的（ ）（A ）连续点 （B ）可去间断点（C ）跃度非0的第一类间断点 （D ）第二类间断点4. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f 在0=x 处的导数为（ ） （A ）1-（B ）0 （C ）1 （D ）不存在5. 当x ∆充分小，0)('≠x f 时，函数的改变量y ∆与微分y d 的关系是（ ）（A ）y y d =∆（B ）y y d <∆（C ）y y d >∆（D ）y y d ≈∆6. 与x y 2=相同的函数有（ ）（A ）x y 210lg = （B ）x y 2lg 10= （C ）)sin(arcsin 2x y =（D ）xy 211=（E ）2)2(x y =7. 设数列}{n x 单调有界，则其极限（ ）（A ）是上确界（B ）是下确界（C ）可能是上确界也可能是下确界 （D ）不是上、下确界8. 当0→x 时，下列变量为等价无穷小量的是（ ）（A ）)1ln(x +与x ； （B ）x cos 1-与2x ； （C ）x+11与x -1 ； （D ）11-+x 与x9. 下面哪个极限值为0（ ）（A ）x x x 1sin lim ∞→ （B ）x x x sin lim ∞→ （C ）x x x 1sinlim0→ （D ）x x x sin lim 0→ 10. 函数)(x f 连续（ ）（A ）必可导（B ）是)(x f 可导的充分条件（C ）是)(x f 可导的必要条件 （D ）是)(x f 可导的充要条件11. 函数)1ln(2x x y ++=是（ ）（A ）偶函数 （B ）奇函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）奇、偶函数12. 给数列}{n x ，若在),(εε+-a a 内有无穷多个数列的点，（其中ε为一取定的正数），则（ ）（A ）数列}{n x 必有极限，但不一定等于a （B ）数列}{n x 极限存在且一定等于a （C ）数列}{n x 的极限不一定存在 （D ）数列}{n x 的极限一定不存在13. 设⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x ，要使)(x f 在0=x 处连续，则a =（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-14. 设)(x f 是连续函数，)(x F 是)(x f 的原函数，则下列结论正确的是（ ）（A ）当)(x f 是奇函数时，)(x F 必是偶函数 （B ）当)(x f 是偶函数时，)(x F 必是奇函数 （C ）当)(x f 是周期函数时，)(x F 必是周期函数 （D ）当)(x f 是单调增函数时，)(x F 必是单调增函数15. 设⎰-=xdt t x f cos 102sin )(，65)(65x x x g +=，则当0→x 时)(x f 是)(x g 的（ ）（A ）低阶无穷小（B ）高阶无穷小（C ）等价无穷小 （D ）同阶但非等价无穷小16. 设点a 是)(x f 的连续点，是)(x g 的第一类间断点，则点a 是函数)()(x g x f +的（ ）（A ）连续点 （B ）可能是连续点，亦可能是间断点（C ）第一类间断点 （D ）可能是第一类间断点，亦可能是第二类间断点17. 下列函数相同的是（ ）（A ）xxx f =)(与1)(=x g （B ）x x f lg 2)(=与2lg )(x x g =（C ）x x f 2)(π=与)arccos (arcsin )(x x x x g +=（D ）x x f =)(与2)(x x g = （E ）11)(24+-=x x x f 与1)(2-=x x g18. 设⎰-=xa dt t f ax x x F )()(2，其中)(x f 为连续函数，则=→)(lim x F a x （ ） （A ）2a （B ）)(2a f a（C ）0 （D ）不存在19. 若)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 有一个原函数为（ ）（A ） 1+x sin（B ）1-x sin （C ）1+x cos（D ）1-x cos20. 设数列0)(lim =∞→n n n n n y x y x 满足与，则下列断言正确的是（ ）（A ）若n x 发散，则n y 必发散 （B ）若n x 无界，则n y 必有界； （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小 （D ）若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小 21. 设[x]表示不超过x 的最大整数，则][x x y -=是（ ）（A ）无界函数 （B ）周期为1的周期函数 （C ）单调函数（D ）偶函数22. 当0→x 时，下列4个无穷小量中比其它3个更高阶的无穷小量是（ ）（A ）)1ln(x + （B ）1-xe （C ）x x sin tan -（D ）x cos 1-23. 设及)(lim 0x f x x →)(lim 0x g x x →均存在，则)()(limx g x f x x →（ ） （A ）存在 （B ）存在但非零 （C ）不存在 （D ）不一定存在24. 若))(()(+∞<<-∞=-x x f x f ，在)0,(-∞内,0)(>'x f 且0)(<''x f 。

2010年高考理科数学试题 湖南卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,2,3,2,3,4M N ==，则（ ）A ．M N ⊆ B.N M ⊆ C.{2,3}M N = D.{1,4}M N =【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】直接给出两个集合先通过交、并、补集运算得出两个集合之间的关系，得出正确结论.【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】∵{1,2,3}M =, {2,3,4}N =,∴{2,3}MN =，故选C ．2.下列命题中的假命题是（ ）A ．∀x ∈R ,120x -> B. ∀*x ∈N ,2(1)0x ->C ．∃ x ∈R ,lg 1x < D. ∃x ∈R ,tan 2x = 【测量目标】全称量词与存在量词.【考查方式】给出含有全称量词与存在量词的命题，判断真假得出结论. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】易知A 、C 、D 都对，而对于B ，当1x =时，有2(1)0x -=，不对，故选B ． 3.极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是（ ）A.圆、直线B.直线、圆C.圆、圆D.直线、直线 【测量目标】极坐标方程和参数方程与普通方程的互化.【考查方式】给出极坐标方程与参数方程先转化为普通方程再判断其表示的图形. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由极坐标方程cos ρθ=可得222cos ,0x y x ρρθ=∴+-=表示的是圆；由参数方程1,23x t y t=--⎧⎨=+⎩推得直线310x y ++=，故选A ．4.在Rt ABC △中，=904C AC ︒∠=，，则AB AC 等于( )【测量目标】平面向量在平面几何中的应用.【考查方式】在三角形中通过向量数量积的定义运算求解三角形两条边的数量积. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】2||||cos ||16AB AC AB AC BAC AC =∠==，故选D ．5.421dx x ⎰等于 （ ） A.2ln2- B.2ln 2 C.ln 2- D.ln 2【测量目标】定积分的运算.【考查方式】直接给出定积分的式子求值. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由微积分易知，1(ln )x x'=，421ln 4ln 2ln 2dx x ∴=-=⎰，故选D ．6.在ABC △中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若120C ︒∠=，c =,则( )A. a b >B. a b <C. a b =D. a 与b 的大小关系不能确定【测量目标】余弦定理.【考查方式】给出三角形中一个角和两条边的关系运用余弦定理判断选项的正误. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由余弦定理得2222222cos 2c a b ab C a a b ab =+-⇒=++，则有22a b ab =+，而ABC △的边长,a b 均大于零，因而有a b >，故选A ．7.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 ( )A.10B.11C.12D.15 【测量目标】排列组合.【考查方式】给出一个实际问题运用排列组合的相关知识求解. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】易知数字0和1无限制排列时有4216=种；与信息0110四个对应位置上的数字都相同的只有１个:0110；三个相同的有４个，分别为：0111,0100,0010,1110,由间接法可得符合条件的有4342C 1=11--个，故选B ．8．用min{,}a b 表示,a b 两数中的最小值．若函数()min{||,||}f x x x t =+的图像关于直线12x =-对称，则t 的值为 （ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．1【测量目标】函数图像的性质.【考查方式】给出函数,画出其图像，通过对其图像的判断求解未知参数. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】本题考查了数形结合思想的运用.画出图形，知对称轴为122t x =-=-，因此1t =，选D.第8题图二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上. 9．已知一种材料的最佳入量在110g 到210g 之间.若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是 g【测量目标】黄金分割点.【考查方式】运用黄金分割点的相关性质解决实际问题. 【难易程度】容易【参考答案】171.8g 或148.2g【试题解析】由0.618法求得第一次试点的加入量为1101000.618171.8+⨯=g 或2101000.618148.2-⨯=g 10．如图所示，过O 外一点P 作一条直线与O 交于,A B 两点．已知PA =2，点P 到O 的切线长PT =4，则弦AB 的长为 ．第10题图【测量目标】切割线定理.【考查方式】运用切割线定理求解圆中的弦的长度. 【难易程度】中等 【参考答案】6【试题解析】由切割线定理知2PT PA PB =，得PB =8,因此，AB =6. 11．在区间[1,2]-上随机取一个数x ，则||1x 的概率为 ． 【测量目标】几何概型.【考查方式】运用几何概型的相关知识求解区间内长度取值范围概率. 【难易程度】容易 【参考答案】23【试题解析】因为12x-，所以||1x 即为11x-的概率为23.12．如图是求222123+++2…+100的值的程序框图，则正整数n = ．第12题图【测量目标】循环结构的程序框图【考查方式】给出程序框图，阅读并运行程序再得出结果. 【难易程度】容易 【参考答案】100【试题解析】因为第一次循环21s =，第二次循环2212s =++…，输出结果为2222123100s =++++…，所以循环了100次，则正整数100n =.13．图中的三个直角三角形是一个体积为203cm 的几何体的三视图，则h = cm ．第13题图【测量目标】三视图.【考查方式】直接给出一个几何体的三视图已知其体积求其高. 【难易程度】容易 【参考答案】4【试题解析】本题考查了三视图，考查了锥体体积的计算公式.由三视图得几何体为底面为直角边长为5和6的锥体，由正视图得锥体的高为h ，所以11562032h ⨯⨯⨯⨯=，解得4h =. 14．过抛物线22(0)x py p =＞的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于,A B 两点，,A B 在x 轴上的正射影分别为,D C ．若梯形ABCD 的面积为122p = ． 【测量目标】抛物线的一般方程，抛物线的简单几何性质.【考查方式】先求抛物线的解析式在运用其简单几何性质求解未知参数. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】设直线方程为2py x =+，设A 点纵坐标为1y 、B 点纵坐标为2y （12y y >），（步骤1）又得2AB CD =即12212()2y y p y y ++⨯=-（1），（步骤2）又因为梯形面积为122，则得1221()()242y y y y +-=（2），（步骤3）由（1）、（2）联立得1212()()48y y y y p +++=（*），由222x py py x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得22304p y py -+=，（步骤4）由韦达定理得123y y p +=代入（*）解得2p =.（步骤5） 15．若数列{}n a 满足：对任意的n *∈N ，只有有限个正整数m 使得m a n ＜成立，记这样的m 的个数为()n a *，则得到一个新数列{}()n a *．例如，若数列{}n a 是1,2,3,n …，…，则数列{}()n a *是0,1,2,1,n -…，…．已知对任意的n *∈N ，2n a n =，则5()a *= ，(())n a **= ．【测量目标】数列的创新运用.【考查方式】给出一个数列赋予其新性质求解数列中的未知项. 【难易程度】中等 【参考答案】2 2n【试题解析】222222123451,2,3,4,5,,n a a a a a a n ======…，易知其中小于5的只有两个121,4a a ==，故5()a *=2；（步骤1）类推得：1()0,a *=234()()()1,a a a ***===569()()()2,a a a ***====10()3,a *=，（步骤2）故1(())1,a **=22(())42,a **==223(())93,,(()).n a a n ****===（步骤3）故填5()a *=2，(())n a **=2n ．（步骤4）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数2()322sin f x x x =-．（Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （II ）求函数()f x 的零点的集合.【测量目标】诱导公式，三角函数的最值，函数的零点.【考查方式】给出一个三角函数先运用诱导公式化简再求解其最大值和零点所在的集合. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为π()3sin 2(1cos 2)2sin(2)1,6f x x x x =--=+-（步骤1）所以，当ππ22π,62x k +=+即ππ()6x k k =+∈Z 时， 函数()f x 取得最大值1．（步骤2） （II ）解法1 由（Ⅰ）及()0f x =得π1sin(2)62x +=（步骤3），所以 ππ22π,66x k +=+或π5π22π,66x k +=+ 即π,x k =或ππ.3x k =+（步骤4）故函数()f x 的零点的集合为π|π,π.3x x k x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z 或，（步骤5） 解法2 由()0f x =得223sin cos 2sin ,x x x =，（步骤3）于是sin 0,x =或3cos sin ,x x =即tan 3.x =（步骤4）由sin 0x =可知πx k =； 由tan 3x =可知ππ.3x k =+（步骤5）故函数()f x 的零点的集合为π|π,π.3x x k x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z 或，（步骤6） 17．（本小题满分12分）如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图（Ⅰ）求直方图中x 的值（II ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望.第17题图【测量目标】频率分布直方图，分布列与数学期望.【考查方式】给出一个与实际问题有关的频率分布直方图先观察图求出未知参数，再运用分布列与数学期望的相关知识求解答案.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，0.020.10.370.391,x ++++=解得0.12x =． （II ）由题意知，(3,0.1)XB ．（步骤1）因此 033(0)C 0.90.729P X ==⨯=，123(1)C 0.10.90.243P X ==⨯⨯=，223(2)C 0.10.90.027P X ==⨯⨯=，333(3)C 0.10.001P X ==⨯=，（步骤2）故随机变量X 的分布列为X123P 0.729 0.243 0.027 0.001 X 的数学期望为30.10.3EX =⨯=．或10.24320.02730.0010.3EX =⨯+⨯+⨯=．（步骤3）18．（本小题满分12分）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱DD 1的中点.（Ⅰ）求直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值； （II ）在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F //平面A 1BE ? 证明你的结论.第18题图【测量目标】线面角，线面平行的判定.【考查方式】给出空间几何体运用线面角及线面平行的性质求解. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）解法1 设正方体的棱长为1．如图所示，以1,,AB AD AA 为单位正交基底建立空间直角坐标系．（步骤1）依题意，得1(1,0,0),(0,1,),(0,0,0),(0,1,0).2B E A D 所以1(1,1,),(0,1,0).2BE AD =-=（步骤2） 在正方体1111ABCD A B C D -中，因为AD ⊥平面11ABB A ，所以AD 是平面11ABB A 的一个法向量．（步骤3）设直线BE 和平面11ABB A 所成的角为θ，则||12sin 3312BE AD BE ADθ===⨯．即直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为23．（步骤4）第18题（1）图（II ）依题意，得1(0,0,1),A 11(1,0,1),(1,1,).2BA BE =-=-设(),,x y z =n 是平面1A BE 的一个法向量，（步骤5）则由10,0BA BE ==n n ，得0,10.2x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩所以x z =， 12y z =．取2z =，得()2,1,2=n ．（步骤6）设F 是棱11C D 上的点，则(,1,1)(01).F t t又1(1,0,1),B 所以1(1,1,0).B F t =-（步骤7）而1B F ⊄平面1A BE ，于是1//B F 平面1A BE()110(1,1,0)2,1,202(1)102B F t t t ⇔=⇔-=⇔-+=⇔=⇔n F 为11C D 的中点．（步骤8） 这说明在棱11C D 上存在点F （11C D 的中点），使1//B F 平面1A BE ．（步骤9）解法2 （Ⅰ）如图（a ）所示，取1AA 的中点M ，连结EM ，BM ．因为E 是1DD 的中点，四边形11ADD A 为正方形，所以//EM AD ．（步骤5）又在正方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11ABB A ，所以EM ⊥平面11ABB A ，从而BM 为直线BE 在平面11ABB A 上的射影，（步骤6）EBM ∠为BE 和平面11ABB A 所成的角．设正方体的棱长为2，则2EM AD ==，（步骤7）2222213BE =++=．于是，在Rt BEM △中，2sin .3EM EBM BE ∠== 即直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为23．（步骤8）第18题图（a ） 第18题图（b ） （II ）在棱11C D 上存在点F ，使1//B F 平面1A BE ．事实上，如图（b ）所示，分别取11C D 和CD 的中点,F G ，连结1,,,EG BG CD FG ． 因1111////A D B C BC ，且11A D BC =，所以四边形11A BCD 为平行四边形，（步骤10） 因此11//D C A B ．又,E G 分别为1D D ，CD 的中点，所以1//EG D C ，从而1//.EG A B 这说明1,,,A B G E 共面．（步骤11） 所以BG ⊂平面1A BE ．因四边形11C CDD 与11B BCC 皆为正方形，,F G 分别为11C D 和CD 的中点，所以11////FG C C B B ,且11FG C C B B ==，（步骤12） 因此四边形1B BGF 为平行四边形，所以1//B F BG ．而1B F ⊄平面1A BE ，BG ⊂平面1A BE ，故1//B F 平面1A BE ．（步骤13）19.（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km 的A,B 两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形，以过A,B 两点的直线为x 轴，线段AB 的的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，在直线2x =的右侧，考察范围为到点B 的距离不超过653km 区域；在直线2x =的左侧，考察范围为到A,B 两点的距离之和不超过45km 区域.（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；（Ⅱ）如图所示，设线段P 1P 2,P 2P 3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.第19题图【测量目标】函数与圆锥曲线的实际运用.【考查方式】给出一个实际问题运用函数模型和圆锥曲线的相关性质求解问题. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）设边界曲线上点P 的坐标为(,)x y ．当2x时，由题意知2236(4)5x y -+=．（步骤1）当2x <时，由||||45PA PB +=P 在以,A B 为焦点，长轴长为245a =（步骤2）此时短半轴长22(25)42b =-=．因而其方程为221204x y +=．（步骤3）故考察区域边界曲线（如图）的方程为22136:(4)(2)5C x y x -+=和222:1(2)204x y C x +=<．（步骤4）第19题（Ⅰ）图（Ⅱ）设过点12,P P 的直线为1l ，过点23,P P 的直线为2l ，则直线1l ，2l 的方程分别为314, 6.y x y =+=（步骤5）设直线l 平行于直线1l ，其方程为3,y x m =+代入椭圆方程221204x y +=，（步骤6）消去y ，得22161035(4)0x mx m ++-=． 由2210034165(4)0m m ∆=⨯-⨯⨯-=，解得8m =，或8m =-．（步骤7）从图中可以看出，当8m =时，直线l 与2C 的公共点到1l 的距离最近，此时直线l 的方程为38,y x =+l 与1l 之间的距离为313d ==+．（步骤8） 又直线2l 到1C 和2C 的最短距离656d '=而3d '>，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3．设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n 年，则由题设及等比数列求和公式，得0.2(21)321n --，所以4n ．故冰川边界线移动到考察区域所需的时间为4年. （步骤9）20.（本小题满分13分）已知函数2()(,),f x x bx c b c =++∈R 对任意的x ∈R ，恒有()f x '()f x .（Ⅰ）证明：当0x时，2()()f x x c +；（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式22()()()f c f b M c b --恒成立，求M 的最小值.【测量目标】函数的最值与不等式证明.【考查方式】给出函数解析式证明函数的最值范围与不等式成立的条件. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）易知()2f x x b '=+．由题设，对任意的x ∈R ，22,x bx bx c +++即 2(2)0x b x c b +-+-恒成立，（步骤1）所以2(2)4()0b c b ---，从而214b c+．（步骤2）b 11于是1c ，且221||4b c b ⨯=，因此2()0c b c c b -=+->．（步骤3）故当0x 时，有2()()(2)(1)0x c f x c b x c c +-=-+-．即当0x 时，2()()f x x c +．（步骤4）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，||c b ．当||c b >时，有2222222()()2.f c f b c b bc b c b M c b c b b c --+-+==--+（步骤5） 令b t c =，则11t -<<，2121c b b c t +=-++．而函数1()2(11)1g t t t=--<<+ 的值域是3(,)2-∞．因此，当||c b >时，M 的取值集合为3(,).2+∞（步骤6） 当||c b =时，由（Ⅰ）知，2, 2.b c =±=此时()()8f c f b -=-或0，220c b -=， 从而223()()()2f c f b c b --恒成立．综上所述，M 的最小值为32．（步骤7） 21．（本小题满分13分）数列{}*()n a n ∈N 中，11,n a a a +=是函数322211()(3)332n n n f x x a n x n a x =-++的极小值点.（Ⅰ）当0a =时，求通项n a ；（Ⅱ）是否存在a ，使数列{}n a 是等比数列？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【测量目标】数列的通项与等比数列的性质.【考查方式】给出数列的函数形式运用数列的通项与等比数列的性质求解未知数【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）易知2222()(3)3(3)()n n n n f x x a n x n a x a x n '=-++=--． 令()0n f x '=，得2123,.n x a x n ==（步骤1）（1）若23,n a n <则当3n x a <时，()0,n f x '>()n f x 单调递增；当23n a x n <<时，()0,n f x '<()n f x 单调递减；当2x n >时，()0,n f x '>()n f x 单调递增．（步骤2）故()n f x 在2x n =取得极小值．（步骤3）（2）若23,n a n >仿（１）可得，()n f x 在3n x a =取得极小值．（步骤4）（3）若23,n a n =则()0,n f x '()n f x 无极值．（步骤5）b 12 当0a =时，10,a =则213 1.a <由（1）知，221 1.a ==因22332,a =<则由（1）知，232 4.a ==因为233123,a =>则由（2）知，4333 4.a a ==⨯又因为243364,a =>则由（2）知，25433 4.a a ==⨯（步骤6）由此猜测：当3n 时，343.n n a -=⨯下面先用数学归纳法证明：当3n时，23.n a n >（步骤7） 事实上，当3n =时，由前面的讨论知结论成立．假设当(3)n k k =时，23k a k >成立，则由（2）知，213k k a a k +=>，从而22213(1)3(1)2(2)210,k a k k k k k k +-+>-+=-+->（步骤8）所以213(1).k a k +>+故当3n 时，23n a n >成立．于是由（2）知，当3n 时，13,n n a a +=而34,a =因此343.n n a -=⨯综上所述，当0a =时，10,a =21,a =343(3).n n a n-=⨯（步骤9） （Ⅱ）存在a ，使数列{}n a 是等比数列． 事实上，由（2）知，若对任意的n ，都有23,n a n >则13n n a a +=．（步骤10）即数列{}n a 是首项为a ，公比为3的等比数列，且13n n a a -=．而要使23,n a n >即23n a n >对一切n *∈N 都成立，（步骤11）只需23n n a >对一切n *∈N 都成立．记23n n n b =，则123141,,,.393b b b ===…令23x x y =，（步骤12）则2211(2ln 3)(2).33x x y x x x x '=-<-因此，当2x 时，0y '<，（步骤13）从而函数23x x y =在[2,)+∞上单调递减．故当2n 时，数列{}n b 单调递减，（步骤14）即数列{}n b 中最大项为249b =．于是当49a >时，必有23n n a >．（步骤15）这说明，当4,9a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，数列{}n a 是等比数列．（步骤16）当49a =时，可得1244,.93a a ==而22342,a == 由（3）知，2()f x 无极值，不合题意．当1439a <<时，可得1234,3,4,12,,a a a a a a ====…数列{}n a 不是b 13 等比数列．（步骤17）当3a =时，2311,a ==由（3）知，1()f x 无极值，不合题意． 当3a <时，可得1234,1,4,12,,a a a a a ====…数列{}n a 不是等比数列．综上所述，存在a ，使数列{}n a 是等比数列，且a 的取值范围为4(,)9+∞．（步骤18） 雨滴穿石，不是靠蛮力，而是靠持之以恒。

2017年湖南师范大学333教育综合试题一、名词解释（每小题5分，共30分）1. 庶富教2. 道尔顿制3.元认知4. 五育并举5.理想国6. 顺向迁移二、简答题（每小题10分，共60分）1.教育学的研究对象和任务，以及为什么必须对教育问题进行研究。

2.按教育机构划分，教育分为哪几种？3.简述晏阳初的四大教育三大方式。

4.简述朱子读书法。

5. 简述夸美纽斯在教育史上的贡献。

6. 简述人文主义教育的基本特征。

三、论述题（每小题20分，共40分）1.论述学习动机与学习效果的关系。

2.教师职业性质及特点，结合实际论述。

四、论述题（共20分）材料:一个表演活动中，一个孩子演绿叶，爸爸无所谓，姥姥想让孩子演红花，孩子也不愿意表演绿叶。

问:1.出现这种现象的原因是。

2.老师应该如何处理。

3.你怎么和家长沟通这个问题。

2016年湖南师范大学333教育综合试题一、名词解释（每小题5分，共30分）1.自我效能感2.上位学习3.“从做中学”4.《教育漫话》5.“活教育”6.《大学》二、简答题（每小题10分，共40分）1.黄炎培职业教育主要思想及其对现代教育的启示。

2.墨家教育思想的特征及其借鉴意义。

3.谈谈你对苏格拉底“知识即美德”的理解。

4.裴斯泰洛齐“教育心理学化”的主要内容及其影响。

三、分析论述题（每小题20分，共80分）1.试分析错误观念及其对教学的启示。

2.教育学理论建设的原则，如何贯彻教育学理论建设的原则？3.学校教育在人的身心发展中的特殊性，如何发挥学校教育的特殊作用？4.材料：BBC纪录片《我们的孩子够坚强吗》（1）中国和英国的基础教育都应该注意什么？（2）这场教学比赛是一般的教学比赛么？评价教学比赛（3）中英教育应互相学习什么？2015年湖南师范大学333教育综合试题一、名词解释（每题5分，共30分）1.分斋教学2.生活教育3.美德即知识4.教育即经验的改造5.品德6.功能固着二、简答题（每题10分，共20分）1.在现代社会，和学校教育、家庭教育一样，社会教育得到了蓬勃的发展，社会教育的迅速发展，有哪些原因？2.简述文化对教育的作用。

2010考研数一真题及解析考研数学一是众多考研学子心中的一座大山，每年的真题都备受关注。

2010 年的考研数一真题更是具有一定的代表性和研究价值。

先来看选择题部分。

第 1 题考查了函数的极限概念，这需要对极限的定义和基本运算有清晰的理解。

比如，当 x 趋近于某个值时，函数的取值情况。

第 2 题涉及到曲线的切线方程，需要掌握导数的几何意义以及相关的求导公式。

填空题部分，像第 9 题关于二重积分的计算，这要求熟练掌握积分区域的确定和积分的运算方法。

如果对积分的基本概念和技巧掌握不扎实，很容易出错。

接下来是解答题。

第 15 题是关于函数的单调性和极值问题，需要通过求导来判断函数的增减性，进而求出极值。

这道题考查了基本的导数应用，但是需要注意计算的准确性。

第 16 题是关于曲线积分的计算。

曲线积分是考研数学中的一个重点和难点，需要对曲线的参数方程、格林公式等有深入的理解和运用能力。

第 17 题是关于常微分方程的求解。

常微分方程在数学一的考试中占据重要地位，这道题可能需要运用到常见的求解方法，如分离变量法、一阶线性方程的求解公式等。

第 18 题是关于多元函数的极值问题。

要解决这类问题，需要先求出偏导数，然后令偏导数等于零，解出驻点，再通过二阶偏导数判断驻点是否为极值点。

第 19 题是关于向量的问题，涉及到向量的内积、外积以及空间解析几何的知识。

这道题对空间想象力和向量运算能力有一定要求。

第20 题是关于幂级数的展开和求和。

幂级数是一个重要的知识点，需要掌握常见函数的幂级数展开公式以及幂级数的求和方法。

第 21 题是关于矩阵的特征值和特征向量的问题。

这是线性代数中的核心内容，需要对矩阵的运算和相关定理有深刻的理解。

第 22 题是概率论与数理统计部分的题目，可能涉及到随机变量的分布、期望和方差等知识点。

总的来说，2010 年考研数学一真题涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计的多个重要知识点，题型多样，难度适中偏上。

第三学期《数学分析》期末试题一、 选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（ ）A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 2、=∂∂),(00|),(y x xy x f （ ）Ax y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000； B xy x x f x ∆∆+→∆),(lim 000；Cx y x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim00000； D xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000。

3、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ D ）A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微 ；B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续；C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在 ；D 以上全不对。

4、22222)(),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限各为（ B ）A 、0，0，0；B 、不存在，0，0，；C 、0，不存在，0；D 、0，0，不存在。

5、设yxez=，则=∂∂+∂∂yz y x z x（ A ） A 、0； B 、1； C 、-1； D 、2。

二、计算题（50分，每小题10分）1、 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微；2、 设⎰⎰'=-x xtx f x f dt d e x f 0)(),(,)(2求ττ；3、设有隐函数,0x y F z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中F 的偏导数连续,求z x ∂∂、z y ∂∂；4、 计算(cos sin )x Ce ydx ydy -⎰，其中C 是任一条以为(0,0)A 起点、(,)B a b 为终点的光滑曲线；5、计算zdS∑⎰⎰，其中∑为22z x y =+在14z ≤的部分；三、验证或解答（满分24分，每小题8分）1、验证曲线积分⎰+++++Ldz y x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的原函数；2、说明对任意),0(sin ,00)(2+∞∈>⎰+∞+-t tdx e x 关于αα均一致收敛；3、验证函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x yx xyy x f在原点（0，0）分别对每个自变数y x 或(另一个看作常数)都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续.四、（11分）求由方程组⎩⎨⎧=-+=++100333z y x z y x 确定的隐函数)2,1,1()(),(-==P x z z x y y 在点处的一阶导数。