高一下期末考试数学试卷

2023-2024学年北京市朝阳区高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z满足，则()A. B. C. D.2.已知向量，，则()A. B. C.3 D.53.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为()A.8B.16C.D.4.已知m，n是平面外的两条不同的直线，若，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.在中，，，，则()A. B. C. D.6.李华统计了他爸爸2024年5月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次，他按每次通话时间长短进行分组每组为左闭右开的区间，画出了如图所示的频率分布直方图．则每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的次数为()A.18B.21C.24D.277.已知向量，不共线，，，若与同向，则实数t的值为()A. B. C.3 D.或38.近年来，我国国民经济运行总体稳定，延续回升向好态势．下图是我国2023年4月到2023年12月规模以上工业增加值同比增长速度以下简称增速统计图．注：规模以上工业指年主营业务收入2000万元及以上的工业企业．下列说法正确的是()A.4月，5月，6月这三个月增速的方差比4月，5月，6月，7月这四个月增速的方差大B.4月，5月，6月这三个月增速的平均数比4月，5月，6月，7月这四个月增速的平均数小C.连续三个月增速的方差最大的是9月，10月，11月这三个月D.连续三个月增速的平均数最大的是9月，10月，11月这三个月9.在梯形ABCD中，，，，，，则与夹角的余弦值为()A. B. C. D.10.已知，，若动点P，Q与点A，M共面，且满足，，则的最大值为()A.0B.C.1D.2二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

2023-2024学年安徽省六安一中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数为纯虚数，则复数z的共轭复数为()A. B.2024i C. D.2025i2.已知向量，若，则()A. B. C.1 D.23.已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是()A.，，B.，，C.，，D.，，4.某不透明的袋中有3个红球，2个白球，它们除颜色不同，质地和大小都完全相同.甲、乙两同学先后从中各取一个球，先取的球不放回，则他们取到不同颜色球的概率为()A. B. C. D.5.已知样本数据，，，…，的平均数为x，方差为，若样本数据，，，…，的平均数为，方差为，则平均数()A.1B.C.2D.6.已知，，，则M到直线AB的距离为()A. B. C.1 D.7.PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的正弦值是()A. B. C. D.8.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体扇环是指圆环被扇形截得的部分现有一个如图所示的曲池，其中底面ABCD，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.2021年11月10日，中国和美国在联合国气候变化格拉斯哥大会期间发布《中美关于在21世纪20年代强化气候行动的格拉斯哥联合宣言》以下简称《宣言》承诺继续共同努力，并与各方一道，加强《巴黎协定》的实施，双方同意建立“21世纪20年代强化气候行动工作组”，推动两国气候变化合作和多边进程．为响应《宣言》要求，某地区统计了2020年该地区一次能源消费结构比例，并规划了2030年一次能源消费结构比例，如图所示：经测算，预估该地区2030年一次能源消费量将增长为2020年的倍，预计该地区()A.2030年煤的消费量相对2020年减少了B.2030年天然气的消费量是2020年的5倍C.2030年石油的消费量相对2020年不变D.2030年水、核、风能的消费量是2020年的倍10.下列对各事件发生的概率判断正确的是()A.某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B.三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C.从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是11.如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内包括边界的动点，则下列结论正确的是()A.不存在点P，使平面B.三棱锥的体积为定值C.若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为D.若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

江西省2023～2024学年高一6月期末教学质量检测数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4.本卷命题范围：必修第一册、第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 在复平面内对应点的坐标为()1,1-，则2iz -=（）A.31i 22+ B.11i 22+ C.13i 22+ D.1i+2.若一圆锥的侧面展开图的圆心角为5π6，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（）A.45B.35C.512D.5133.已知0.32a -=，0.213b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2ln3c =，则（）A .a b c>> B.b a c>> C.a c b>> D.b c a>>4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则（）A.若,a b αβ⊂⊂，且a b ，则αβ∥B.若,a ααβ⊥⊥，则a β∥C.若,,a b a αβαβ⊥=⊥ ，则b α⊥D.若,a b 为异面直线，,a ααβ⊥∥，则b 不垂直于β5.已知集合{}()210R M x ax x a =-+=∈，则“14a =”是“集合M 仅有1个真子集”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.35cos cos cos777πππ的值为A.14B.14-C.18D.18-7.在ABC 中，点O 为ABC 的外心，3AB =，72AO BC ⋅= ，6AB AC ⋅=，则ABC 的面积为（）A.B. C. D.8.掷两枚骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件E ，“两个点数都是奇数”为事件F ，“两个点数之和是偶数”为事件M ，“两个点数之积是偶数”为事件N ，则（）A.事件E 与事件F 互为对立事件B.事件M 与事件N 相互独立C.事件E 与事件M N ⋂互斥D.事件F 与事件M N ⋃相互独立二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据11.3233.84.56.37.88.610，，，，，，，，，的第80百分位数是7.8B.一组样本数据35,911x ，，，的平均数为7，则这组数据的方差是8C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D.若1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为2，则121031,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的标准差是610.下列结论正确的是（）A.y =的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.2211sin cos y x x=+的最小值为4C.若()lg lg a b a b =≠，则2+a b 的最小值为D.若0a b >>，R c ∈，则a c bc>11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，E F G H ，，，分别为线段OA OB OC OD ，，，的中点，几何体1111A B C D EFGH -的体积为1123，P 为线段1BD 上一点，点P A B C D ，，，，均在球M 的表面上，则（）A.1AB PC⊥B.PC PD +的最小值为3C.若P 为1BD 的中点，则球M 的表面积为9π2D.二面角1A HE A --的余弦值为1717三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()212xxk f x k -=+⋅为奇函数，则k =_________13.在四面体ABCD 中，2AD BC ==，AD 与BC 所成的角为60°，若E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，则线段EF 的长等于______.14.已知点O 是ABC 的重心，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且23203aOA bOB cOC ++=，则A =______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在复平面内，复数()i ,R z a b a b =+∈对应的点为(),Z a b ，连接OZ （O 为坐标原点）可得向量OZ，则称复数z 为向量OZ 的对应复数，向量OZ为复数z 的对应向量.（1）若复数12i z x =+，()()211i R z x x =+-∈的对应向量共线，求实数x 的值；（2）已知复数113i sin z x =⋅，2cos 22i cos z x x =+的对应向量分别为1OZ 和2OZ，若()12f x OZ OZ =⋅，求()f x 的最小正周期和单调递增区间.16.一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在[]40,100之间），将样本数据分为6组：[)40,50、[)50,60、…、[)80,90、[]90,100，绘制成频率分布直方图（如图所示）.（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；（2）在样本中，从成绩在[)40,60内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在[)50,60内的概率.17.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，π3ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，AC 交EF 于点G.（1）求证：平面PEF ⊥平面PAG ；（2）求点B 到平面PEF 的距离.18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3sin a C a C b c +=+．（1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，且43b c +=，求a 的取值范围．19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒，将ABC 分别以AB ，BC ，AC 所在的直线为旋转轴旋转一周，得到三个旋转体1Ω，2Ω，3Ω，设1Ω，2Ω，3Ω的体积分别为1V ，2V ，3V .（1）若2a =，3b =，求1Ω的表面积S ；（2）若123V y V V =+，求y 的最大值.江西省2023～2024学年高一6月期末教学质量检测数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4.本卷命题范围：必修第一册、第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 在复平面内对应点的坐标为()1,1-，则2iz -=（）A.31i 22+ B.11i 22+ C.13i 22+ D.1i+【答案】A 【解析】【分析】由题意写出复数z 的代数形式，代入所求式，运用复数的四则运算计算即得.【详解】依题意，1i z =-，则2i 2i (2i)(1i)3i 31i 1i (1i)(1i)222z ---++====+--+.故选：A.2.若一圆锥的侧面展开图的圆心角为5π6，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（）A.45B.35C.512D.513【答案】C 【解析】【分析】设圆锥的底面圆半径为r ，母线长为l ，利用侧面展开图条件建立l 与r 的关系式，作出圆锥轴截面图，证明并求出线面所成角的余弦值即可.【详解】作出圆锥的轴截面图SAB ,设圆锥的底面圆半径为r ，母线长为l ，依题意可得，5π2π6l r =，即512r l =，因顶点S 在底面的射影即底面圆圆心O ,故母线SB 与底面所成的角即SBO ∠.在Rt SOB △中，5cos 12r SBO l ∠==.故选：C.3.已知0.32a -=，0.213b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2ln3c =，则（）A.a b c >>B.b a c>> C.a c b>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质比较大小即可.【详解】因为2x y =在R 上递增，且0.30-<，所以0.30022-<<，即0.3021-<<，所以01a <<，因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，且0.20-<，所以0.211133-⎛⎫⎛⎫>= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即1b >，因为ln y x =在(0,)+∞上递增，且213<，所以2lnln103<=，即0c <，所以b a c >>.故选：B4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则（）A.若,a b αβ⊂⊂，且a b ，则αβ∥B.若,a ααβ⊥⊥，则a β∥C.若,,a b a αβαβ⊥=⊥ ，则b α⊥D.若,a b 为异面直线，,a ααβ⊥∥，则b 不垂直于β【答案】D 【解析】【分析】由平面平行的判定定理可判断A 错误，由线面垂直性质可判断B 错误，利用面面垂直的性质定理可判断C 错误；由反证法可得D 正确.【详解】对于A ，由平面平行的判定定理易知当两个平面内的两条直线平行时，不能得出两平面平行，即A 错误；对于B ，若,a ααβ⊥⊥，则可得a β∥或a β⊂，故B 错误；对于C ，由面面垂直的性质知，两个平面垂直时，仅当直线在一个平面内且与交线垂直时才能确保直线与另一个平面垂直，而C 中直线b 与平面β的关系不确定，故b 与α不一定垂直，故C 错误；对于D ，若b β⊥，由条件易得a b ，与二者异面矛盾，故D 正确．故选：D ．5.已知集合{}()210R M x ax x a =-+=∈，则“14a =”是“集合M 仅有1个真子集”的（）A .必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由集合M 仅有1个真子集的条件，结合充分条件和必要条件的定义判断.【详解】集合{}210M x ax x =-+=仅有1个真子集，即集合M 只有一个元素，若0a =，方程210ax x -+=等价于10x -+=，解得1x =，满足条件；若0a ≠，方程210ax x -+=要满足140a ∆=-=，有14a =，则集合{}210M x ax x =-+=仅有1个真子集，有0a =或14a =，则14a =时满足集合M 仅有1个真子集，集合M 仅有1个真子集时不一定有14a =，所以“14a =”是“集合M 仅有1个真子集”的充分不必要条件.故选：B.6.35cos cos cos 777πππ的值为A.14B.14-C.18D.18-【答案】D 【解析】【分析】根据诱导公式以及余弦的降幂扩角公式即可容易求得.【详解】∵cos37π＝－cos 47π，cos 57π＝－cos 27π，∴cos7πcos 37πcos 57π＝cos 7πcos 27πcos47π＝248sincos cos cos 77778sin7πππππ＝2244sin cos cos7778sin7ππππ＝442sin cos778sin7πππ＝8sin78sin7ππ＝－18.故选：D.【点睛】本题考查诱导公式以及降幂扩角公式，属中档题.7.在ABC 中，点O 为ABC 的外心，3AB =，72AO BC ⋅= ，6AB AC ⋅=，则ABC 的面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设D ，E 分别是AB ，AC 的中点，根据ABC 外心性质可得到212AO AC AC ⋅= ，同理可得212AO AB AB ⋅= ，解得AC ，根据向量乘法可求得sin BAC ∠，代入到1sin 2ABC S AB AC BAC=⋅∠可求得.【详解】设D ，E 分别是AB ，AC 的中点，根据ABC 外心性质可得到()21122AO AC AE EO AC AC EO AC AC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅= ⎪⎝⎭，同理可得212AO AB AB ⋅= ，又因72AO BC ⋅= ，可得()72AO AC AB AO AC AO AB ⋅-=⋅-⋅= ，可解得4AC =，61cos 342AB AC BAC AB AC ⋅∠===⨯ ，所以3sin 2BAC ∠=，则113sin 43222ABC S AB AC BAC =⋅∠=⨯⨯⨯= .故选：A8.掷两枚骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件E ，“两个点数都是奇数”为事件F ，“两个点数之和是偶数”为事件M ，“两个点数之积是偶数”为事件N ，则（）A.事件E 与事件F 互为对立事件B.事件M 与事件N 相互独立C.事件E 与事件M N ⋂互斥D.事件F 与事件M N ⋃相互独立【答案】D 【解析】【分析】用(,)x y 表示掷两枚骰子得到的点数，列出相关事件包含的样本点.对于A ，运用对立事件的定义判断；对于B ，分别计算,,M N M N 的概率，利用独立事件的概率乘法公式检验即得；对于C ，根据E 与M N ⋂的交集是否为空集判断；对于D ，与选项B 同法判断.【详解】依题意，可用(,)x y 表示掷两枚骰子得到的点数，则{(,)|,{1,2,3,4,5,6}}x y x y Ω=∈.对于A ，{(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}E =，而{(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)}F =,显然事件E 与事件F 互斥但不对立，如(1,2)∈Ω,但(1,2),(1,2)E F ∉∉,故A 错误；对于B ，易得F E M =，故181(),362P M ==因N F =，故93()1()1()1364P N P N P F =-=-=-=,而MN E =,则91()()364P MN P E ===,因()()()≠P MN P M P N ,即事件M 与事件N 不独立，故B 错误；对于C ，由上分析，MN E =，故事件E 与事件M N ⋂不可能互斥，即C 错误；对于D ，由上分析，91(),364P F ==而M N =Ω ,则1()()P M N P ⋃=Ω=，因()F F M N ⋂=⋃，则1[()]()4P F P F M N ⋂==⋃,即[()()()]P P M N F P M N F ⋂⋃⋃=，故事件F 与事件M N ⋃相互独立，即D 正确.故选：D .【点睛】方法点睛：本题主要考查随机事件的关系判断，属于较难题.解题方法有：（1）判断事件,A B 对立：必须,A B A B ⋂=∅⋃=Ω同时成立；（2）判断事件,A B 相互独立：必须()()()P A B P A P B ⋂=成立；（3）判断事件,A B 互斥：只需A B ⋂=∅即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据11.3233.84.56.37.88.610，，，，，，，，，的第80百分位数是7.8B.一组样本数据35,911x ，，，的平均数为7，则这组数据的方差是8C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D.若1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为2，则121031,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的标准差是6【答案】BD 【解析】【分析】利用各特征数据的计算方法进行计算即可.【详解】对于A ，因为共10个数据11.3233.84.56.37.88.610，，，，，，，，，，所以1080%8⨯=，则8个数据8.6第80百分位数为7.88.68.22+=,故A 错误；对于B ，一组样本数据35,911x ，，，的平均数为7，可知7x =，则这组数据的方差为()()()()()222222113757779711740855s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⨯=⎣⎦，故B 正确；对于C ，由于分层抽样，每一层的抽样比是相同的，都等于总的抽样比，故C 错误；对于D ，由于1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为2，则它的方差为4,而121031,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的方差为23436⨯=，则它的标准差是6，故D 正确；故选：BD.10.下列结论正确的是（）A.y =的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.2211sin cos y x x=+的最小值为4C.若()lg lg a b a b =≠，则2+a b 的最小值为D.若0a b >>，R c ∈，则a c bc >【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，先求得函数定义域[1,1]-，判断其奇偶性，求函数在[0,1]上的值域，即得在[1,1]-上的值域；对于B ，利用常值代换法运用基本不等式即可求解；对于C ，先由条件推得1ab =，再运用基本不等式即可；对于D ，举反例即可排除.【详解】对于A ，由y =有意义可得，210x -≥，即11x -≤≤，函数定义域关于原点对称.由()()f x f x -=-=-,知函数为奇函数，当01x ≤≤时，y ==设2[0,1]t x =∈，则()g t =因[0,1]t ∈时，21110(244t ≤--+≤，即得10()2g t ≤≤，又函数y =为奇函数，故得其值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即A 正确；对于B ，因22sin cos 1x x +=，故2222221111()(sin cos )sin cos sin cos y x x x x x x=+=++2222sin cos 224cos sin x x x x =++≥+，当且仅当221sin cos 2x x ==时等号成立，即当221sin cos 2x x ==时，2211sin cos y x x=+的最小值为4，故B 正确；对于C ，由lg lg =a b 可得lg lg a b =或lg lg a b =-，即a b =或1a b=，因a b ¹，故1ab =，因0,0a b >>，则2a b +≥=当且仅当2a b ==即2+a b 的最小值为，故C 正确；对于D ，因R c ∈，不妨取0c =，则0a c bc ==，故D 错误.故选：ABC.11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，E F G H ，，，分别为线段OA OB OC OD ，，，的中点，几何体1111A B C D EFGH -的体积为1123，P 为线段1BD 上一点，点P A B C D ，，，，均在球M 的表面上，则（）A.1AB PC⊥B.PC PD +的最小值为C.若P 为1BD 的中点，则球M 的表面积为9π2D.二面角1A HE A --的余弦值为17【答案】ABD 【解析】【分析】利用正方体的性质，结合台体体积公式可求得正方体边长，再利用线面垂直证明线线垂直，利用侧面展开图思想求线段和的最小值，利用外接球的截面性质来求其半径，利用二面角的平面角来求解二面角的余弦值.【详解】由正方体性质可得：几何体1111A B C D EFGH -是正四棱台，设正方体的边长为a ,则其体积为：23211711234343a a a a ⎛++=⋅= ⎝，解得4a =，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，有11AB A B ⊥，BC ⊥平面11ABB A ，又因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1BC AB ⊥，又因为1BC A B B ⋂=，1BC A B ⊂，平面11BCD A ，所以1AB ⊥平面11BCD A ，而PC ⊂平面11BCD A ，所以1AB PC ⊥，故A 正确；把直角三角形1BDD 与直角三角形1BCD 展开成一个平面图形，则PC PD CD +≥，而114,BC DD BD CD ====，由勾股定理可得：CD ==，故B 正确；当P 为1BD 的中点，此时四棱锥P ABCD -是正四棱锥，其外接球的球心M 一定在OP 上，又由于OA =2OP =，设MP MA R ==，则由勾股定理得：()2282R R =+-，解得：3R =，此时球M 的表面积为：24π336π⋅=，故C 错误；取AD 中点为Q ，取11A D 中点为T ，连结OQ EH G = ，再连接TG ，由,,AD OQ AD QT OQ QT Q ⊥⊥= ，OQ QT ⊂，平面OQT ，所以AD ⊥平面OQT ，又因为//EH AD ，所以EH ⊥平面OQT ，又因,GQ GT ⊂平面OQT ，所以,,EH GQ EH GT ⊥⊥即二面角1A HE A --的平面角就是QGT ∠，由正方体边长为4，可知1,4QG QT ==，所以16117GT =+=即17cos 1717QGT ∠==，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是利用二面角的定义找到其平面角，再求出相关线段，利用余弦函数定义即可得到答案.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()212xxk f x k -=+⋅为奇函数，则k =_________【答案】1±##1或1-##1-或1【解析】【分析】利用奇函数()()f x f x =--求解即可.【详解】因为函数()212xxk f x k -=+⋅为奇函数，所以由()()f x f x =--可得221212122x x xx xxk k k k k k-----⋅=-=+⋅+⋅+，即2222212x x k k -=-⋅，整理得()()221120xk -+=，解得1k =±，经检验，当()1212x xf x -=+或()1212xx f x --=-时，满足()()f x f x =--，故答案为：1±13.在四面体ABCD 中，2AD BC ==，AD 与BC 所成的角为60°，若E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，则线段EF 的长等于______.【答案】1【解析】【分析】设G 为CD 中点，分别连接EG ，FG ，构造新的EFG 根据余弦定理可得到EF 的长.【详解】设G 为CD 中点，分别连接EG ，FG ，则EG 是ACD 的中位线，可得11,2EG AD EG AD == ，同理可得11,2FG BC FG BC == ，因为AD 与BC 所成的角为60°所以EGF ∠等于60°或120°，当60EGF ∠=︒在EFG 中根据余弦定理得1EF ===，当120EGF ∠=︒同理可得E F故答案为：114.已知点O 是ABC 的重心，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且203aOA bOB cOC ++=，则A =______.【答案】π6【解析】【分析】利用重心的向量性质0OA OB OC ++=，即可得到边的关系，再利用余弦定理即可求角.【详解】由点O 是ABC 的重心，可知：0OA OB OC ++=，又23203aOA bOB cOC ++=，可设2323a b c k ===，则3,,22k a b k c ===，再由余弦定理得：2222223222cos 2232k k b c a A bc ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-==，又因为()0,πA ∈，所以π6A =，故答案为：π.6四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在复平面内，复数()i ,R z a b a b =+∈对应的点为(),Z a b ，连接OZ （O 为坐标原点）可得向量OZ，则称复数z 为向量OZ 的对应复数，向量OZ为复数z 的对应向量.（1）若复数12i z x =+，()()211i R z x x =+-∈的对应向量共线，求实数x 的值；（2）已知复数11sin z x =⋅，2cos 22i cos z x x =+的对应向量分别为1OZ 和2OZ，若()12f x OZ OZ =⋅，求()f x 的最小正周期和单调递增区间.【答案】（1）2或1-（2）π；ππ[π,π]Z 6,3k k k -++∈【解析】【分析】（1）写出两复数对应的向量12,OZ OZ的坐标，，利用向量共线的坐标表示式计算即得；（2）利用三角恒等变换将函数()f x 化成正弦型函数，求得最小正周期，将π26x +看成整体角，利用正弦函数的递增区间即可求得.【小问1详解】依题意，复数12i z x =+，()()211i R z x x =+-∈的对应向量分别为12(,2),(1,1)OZ x OZ x ==-，由12//OZ OZ可得，(1)2x x -=，解得，2x =或=1x -；【小问2详解】依题意，12),(cos 2,2cos )OZ x OZ x x ==，则()12πcos 2cos cos 222sin(2)6f x OZ OZ x x x x x x =⋅=+==+ ，故()f x 的最小正周期为2ππ2T ==；由Z 262πππ2π22π,k x k k -+≤+≤+∈解得，ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，即()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]Z 6,3k k k -++∈.16.一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在[]40,100之间），将样本数据分为6组：[)40,50、[)50,60、…、[)80,90、[]90,100，绘制成频率分布直方图（如图所示）.（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；（2）在样本中，从成绩在[)40,60内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在[)50,60内的概率.【答案】（1）0.006a =；76.2（2）310【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和等于1求出a 的值，再根据平均数计算公式计算即可；（2）先计算出[)40,60内的人数，分别表示出随机试验和事件所含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得.【小问1详解】由频率分布直方图可得，(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，解得，0.006a =；这50名学生的物理成绩的平均数为：0.04450.06550.22650.28750.22850.189576.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】由频率分布直方图可知，成绩在[)40,60内的学生有50(0.040.06)5⨯+=人，其中[40,50)内有2人，设为,a b ，[50,60)内有3人，设为,,x y z ，“从成绩在[)40,60内的学生中随机抽取2人”对应的样本空间为：{,,,,,,,,,}ab ax ay az bx by bz xy xz yz Ω=，而事件A =“2人成绩都在[)50,60内”={,,}xy xz yz ，由古典概型概率公式可得，3()10P A =.即这2人成绩都在[)50,60内的概率为310.17.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，π3ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，AC 交EF 于点G .（1）求证：平面PEF ⊥平面PAG ；（2）求点B 到平面PEF 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）先证明EF ⊥平面PAG ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）由体积相等P BEF B PEF V V --=，分别计算BEF S 和PEF S △，代入计算即得.【小问1详解】因E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则//EF BD ，又四边形ABCD 是菱形，则BD AC ⊥，故EFAC ⊥，因PA ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，故PA EF ⊥，又,,PA AC A PA AC ⋂=⊂平面PAG ，故EF ⊥平面PAG ，因EF ⊂平面PEF ，故平面PEF ⊥平面PAG .【小问2详解】如图，连接,,,PB BF AE AF ，设点B 到平面PEF 的距离为d .在菱形ABCD 中，π3ABC ∠=，则4,43AC BD ==，BEF △的面积为111143232442BEFBFC BCD S S S ===⨯⨯⨯= 因3432AE AF ===，则222(23)4PE PF ==+=，1232EF BD ==故PEF !的面积为221234(3)392PEF S =⨯-= 由P BEF B PEF V V --=可得，11323933d =⨯，解得21313d =，即点B 到平面PEF 的距离为21313.18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3sin a C a C b c +=+．（1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，且43b c +=，求a 的取值范围．【答案】（1）π3A =（2）)23,4⎡⎣．【解析】【分析】（13cos 1A A -=，再利用辅助角公式可得π3A =；（2）利用正弦定理可得23πsin 6a B =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由ππ62B <<并利用三角函数单调性可求得a 的取值范围．【小问1详解】因为cos 3sin a C a C b c +=+，由正弦定理得()sin cos 3sin sin sin sin sin sin A C A C B C A C C +=+=++，sin cos cos sin sin A C A C C =++，sin cos sin sin A C A C C -=，因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，cos 1A A -=，即π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ5π666A -<-<，即ππ66A -=，可得π3A =．【小问2详解】由正弦定理得sin sin sin a b c A B C==，即sin sin sin a b c A B C+=+，且π,3A b c =+=所以()sin 66232πππsin sin 31sin sin sin 36622b c Aa B CB B B B +====+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．因为ABC 为锐角三角形，π2ππ0,0232B C B <<<=-<，所以ππ62B <<，所以ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即πsin ,162B ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦．可得)a ⎡∈⎣，即a 的取值范围为)4⎡⎣．19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒，将ABC 分别以AB ，BC ，AC 所在的直线为旋转轴旋转一周，得到三个旋转体1Ω，2Ω，3Ω，设1Ω，2Ω，3Ω的体积分别为1V ，2V ，3V .（1）若2a =，3b =，求1Ω的表面积S ；（2）若123V y V V =+，求y 的最大值.【答案】（1）1557π19（2）6【解析】【分析】（1）作出旋转体1Ω，其表面积即两个圆锥侧面积的和，利用余弦定理求出AB ，继而求得底面圆半径1r ，代入公式计算即得；（2）由（1）类似过程求得AB 和1r ，计算出其体积1V ，作出旋转体2Ω，是由两个同底面圆的大圆锥去掉小圆锥组成的组合体，求出底面圆半径2r ，间接法求出23,V V ,代入所求式，运用换元法、基本不等式和二次函数的单调性即可求得函数最大值.【小问1详解】如图1，把ABC 以直线AB 为旋转轴旋转一周得到旋转体1Ω，它是由两个同底面圆的圆锥11,AO BO 拼成的组合体，其表面积即两个圆锥的侧面积的和.因2a =，3b =，120C =︒，由余弦定理，22212cos12094232()192AB AC BC AC BC =+-⋅=+-⨯⨯⨯-=，可得，AB =因11AO CO ⊥,设底面圆半径为1r，由11123sin12022ABC S r =⨯⨯⨯=解得，119r =，于是，13571557π()5ππ1919S r b a =⨯+=⨯=；【小问2详解】由（1）可得，222222212cos1202()2AB AC BC AC BC a b ab a b ab =+-⋅=+-⨯⨯-=++，即AB =，底面圆半径为111sin120212ab r O C ===于是，22221111ππ33V r AB=⨯=⨯⨯如图2，把ABC以直线BC为旋转轴旋转一周得到旋转体2Ω,它是由两个同底面圆的大圆锥去掉小圆锥组成的组合体.设底面圆半径为22AO r=，因120ACB∠= ,易得23602120602ACO-⨯∠==，则23sin602r b== ，于是，22222113πππ)3324V r BC a ab=⨯=⨯=，同理可得23π4V a b=，于是，2212223ππ44VyV V ab a b==++=设222a btab+=≥，当且仅当a b=时等号成立，则y==，因2t≥时，函数231()24t+-单调递增，故231(1224t+-≥，则0y<≤即a b=时，max6y=.【点睛】思路点睛：本题主要考查旋转体的表面积求法和与其体积有关的函数的最值求法，属于难题.解题思路是作出旋转体的图形，理解其组成，正确求出底面半径、高，母线长等关键量，代入公式，整理后，运用换元，利用基本不等式和函数的单调性求其最值.。

2023—2024学年第二学期期末试卷高一数学注意事项：1．本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）四部分。

本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填在答题卡上指定的位置。

3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)，则复数zz －2i的虚部是 A ．45B ． 45iC ． 35D ．35i2．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是 A ．若m ∥α，n α⊂，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若m ∥β，n ∥β，且m α⊂，n α⊂，则α∥βD ．若α⊥β，α β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥β 3．已知数据x 1，x 2，x 3， …x n 的平均数为10，方差为5，数据3x 1－1，3x 2－1，3x 3－1， …3x n－1的平均数为—x ，方差为s 2，则 A ．—x =10，s 2=14 B ．—x =9，s 2=44 C ．—x =29，s 2=45D ．—x =29，s 2=444．向量→a 与→b 不共线，→AB ＝→a ＋ k →b ，→AC ＝ m →a －→b (k ，m ∈R )，若→AB 与→AC 共线，则k ，m 应满足A ．k ＋m ＝0B ．k -m ＝0C ．km ＋1＝0D ．km －1＝05．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件A ＝“第一枚向上点数为奇数”，事件B ＝“第二枚向上点数为偶数”，事件C ＝“两枚骰子向上点数之和为8”，事件D ＝“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则 A ． A 与C 互斥B ． A 与C 相互独立C ． B 与D 互斥 D ． B 与D 相互独立6． 在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．若2b cos C ＝2a －c ，A ＝π4，b ＝3，则实数a 的值为 A ． 6B ． 3C ． 6D ． 37． 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，P A ＝4，PC 与平面ABCD 所成角的大小为θ，且 tan θ＝223，则四棱锥P －ABCD 的外接球表面积为 A ． 26π B ． 28π C ． 34πD ． 14π8．已知sin2θ＝45，θ∈(0，π4) ，若cos(π4－θ)＝m cos(π4＋θ)，则实数m 的值A ．－3B ．3C ．2D ．－2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数z ＝i ＋3i 2(i 为虚数单位)，则下列结论正确的是 A ． z 的共轭复数为－3－iB ．z ·i=1－3iC ． z 在复平面内对应的点位于第二象限D ．|z ＋2|＝ 210．已知△ABC 内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是 A ．若sin A ＞sin B ，则A ＞BB ．若a cos B =b cos A ，则△ABC 为等腰三角形 C ．若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形D ．若a ＝1.5，b ＝2，A ＝30°的三角形有两解11．如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1D 1，C 1C ，A 1A 的中点，则A ．M ，N ，B ，A 1四点共面B ．若a ＝2，则异面直线PD 1与MNC ．平面PMN 截正方体所得截面为等腰梯形D ．若a ＝1，则三棱锥P －MD 1B 的体积为124三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．12．一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是▲ .13．已知A(－3，5)，B(1，10)，C(2，1)，则tan∠ACB＝▲ .14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠ABC=120°，BD是△ABC的中线，且1BD=，则a＋c的最大值为▲．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．15．(13分)已知sin α＝－55，α∈(π，3π2)，sin(α+β)＝513，β∈(π2，π)．（1）求tan2α的值；（2）求sinβ的值．16．(15分)某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，制成如图所示的频率直方图。

武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。

福建师大附中2023-2024学年第二学期期末考试高一数学试卷时间：120分钟满分：150分试卷说明：（1）本卷共四大题，20小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷．（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 为虚数单位，复数满足，则复数的虚部是（ ）A ．B ．C ．3iD ．32．某汽车生产厂家用比例分配的分层随机抽样方法从A ，B ，C 三个城市中抽取若干汽车进行调查，各城市的汽车销售总数和抽取数量如右表所示，则样本容量为（ ）城市销售总数抽取数量A 420m B 28020C 700nA ．60B ．80C ．100D ．1203．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A．B ．C ．D ．4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则5．如图，在三棱锥中，分别是，的中点，则异面直线所成角的余弦值为（）z ()i 142i z +=+z i-1-16131223,m n ,αβ,,m n m n αβ⊥⊥∥αβ⊥,m m αβ⊥∥αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊂αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊥αβ⊥A BCD -6,4,,AB AC BD CD AD BC M N ======AD BC ,AN CMA．B ．C ．D ．6．有一组样本数据：，其平均数为2024．由这组数据得到一组新的样本数据：，那么这两组数据一定有相同的（ ）A ．极差B ．中位数C ．方差D ．众数7．已知正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，体积为7，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（ ）ABCD ．8．已知三棱锥中，平面，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥，过点作于，过作于，则三棱锥外接球的体积为（）A ．BCD ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．用抽签的方法产生随机数C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（ ） A ．a 平行于α内的有限条直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 成90°角3．设a ，b ，l 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，下列四个命题中错误的是（ ） A ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥C ．若a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβD ．若αβ⊥，l αβ=，A α∈，AB l ⊥，则AB β⊥4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ） A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同 B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍 C ．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍 D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点PD ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B二、单选题6．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，⋂=c αβ，a α⊂，b β⊂，则“a ，b 相交“是“a ，c 相交”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（ ） A ．154.5cmB ．158cmC ．160.5cmD ．159cm8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（ ） A ．互为余角B ．相等C ．其和为周角D ．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A ．73.3，75，72B ．72，75，73.3C ．75，72，73.3D ．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（ ） A ．325B ．15C ．310 D ．3512．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A．2BCD ．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1A P ∥平面GEF ，则下面的4个判断∶点P∶线段1A P ；∶11A P AC ⊥；∶1A P 与1B C 一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14、15，获得二等奖的概率分别为12、35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为___________.15．数据1x ，2x ，…，8x 平均数为6，标准差为2，则数据126x -，226x -，…，826x -的方差为________. 16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AA AB ⊥=，G 是棱11A C 的中点．(1)证明：1BC AB ⊥；(2)证明：平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0；乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0． （1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)2030，，[)3040，，，[]8090，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)4050，内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为113224，，，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为311422，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为2132，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为4354，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为X ，求(3)P X =的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面,ABC AB AC =，,M N 分别为,BC AB 的中点，(1)求证：MN //平面P AC (2)求证：平面PBC ⊥平面P AM22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，其对角线AC 与BD 相交于点O ，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，13AA =，2AB =.(1)证明：1A O ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥11C A BD -的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简单随机抽样；对于D ，此为系统抽样. 故选：BC. 2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a 平行于平面α，所以a 与平面α内的直线平行或异面，选项A 错误；选项B ，C ，D 正确.故选：BCD. 3．ACD【分析】选项ACD ，可借助正方体构造反例；选项B ，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥，可证明l m ⊥，l n ⊥，即得证.【详解】A 选项：取11//A C 平面ABCD ，1111AC B D ⊥，但是11B D 不垂直于平面ABCD ，命题A 错误． B 选项：设a αγ⋂=，b βγ=，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥．因为αγ⊥，βγ⊥，所以m α⊥，n β⊥，又l α⊆，l β⊆，所以l m ⊥，l n ⊥，所以l γ⊥．命题B 正确． C 选项：11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，但平面ABCD 与平面11ABB A 不平行，命题C 错误． D 选项：平面ABCD ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，1B ∈平面11ABB A ，1B C AB ⊥，但1B C 与平面ABCD 不垂直，命题D 错误． 故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A ，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∶小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A 错误；对于B ，设2018年收入为a ，∶相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∶2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用为1.512%0.18a a ⨯=，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为0.06a ，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B 正确；对于C ，设2018年收入为a ，则2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，故C 错误； 对于D ，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D 正确． 故选：BD ． 5．ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN =D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB 1,所以1A P 与平面11BCC B=所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于∶1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，MN ==P 选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB1,所以1A P 与平面11BCC B 所=所以该选项正确.故选：ACD 6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：∶若a ，b 相交，a α⊂，b β⊂，则其交点在交线c 上，故a ，c 相交， ∶若a ，c 相交，可能a ，b 为相交直线或异面直线．综上所述：a ，b 相交是a ，c 相交的充分不必要条件． 故选：C ． 7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答. 【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人， 设被抽取到的女生平均身高为cm x ，则6017240165100x⨯+=，解得154.5cm x =，所以被抽取的女生平均身高为154.5cm . 故选：A 8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A 为二面角--l αβ内任意一点，AB α⊥，AC β⊥，过B 作BD l ⊥于D ， 连接CD ，因为AB α⊥，l α⊂，所以AB l ⊥因为AC β⊥，l β⊂，所以AC l ⊥，且AB AC A ⋂=， 所以l ⊥平面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，所以⊥l CD 则BDC ∠为二面角l αβ--的平面角，90ABD ACD ∠∠︒＝＝，BAC ∠为两条垂线AB 与AC 所成角，所以180A BDC ∠∠︒＋＝， 所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角. 故选：D. 9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项 故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解. 【详解】解：平均数为2683346858+++++++=，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：2,3,3,4,6,6,8,8， 则中位数为4652+=，故丙错误； 875%6⨯=，则第75百分位数为6872+=，故丁正确， 所以正确的个数为2个. 故选：B. 11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得11111223232E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯在BDE 中，BE DE BD ===BD边上的高2==，所以122BDE S =⨯=所以1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 13⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离 13．∶∶【分析】先证明平面1A BD ∥平面GEF ，可判断P 的轨迹是线段BD ，结合选项和几何性质一一判断即可． 【详解】分别连接11,,BD A B A D ，所以11BD B D ∥，又因为11B D ∥EG ，则BD EG ∥， 同理1A D EF ∥，1,BDA D D EGEF E ==，故平面1A BD ∥平面GEF ，又因为1A P ∥平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，所以点P 在BD 上．所以点P 的轨迹是一段长度为BD =，故∶正确；当P 为BD 中点时1A P BD ⊥，线段1A P ，故∶错； 因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ，又1A P ⊂平面1A BD ， 则11A P AC ⊥，故∶正确；当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，则∶错． 故答案为：∶∶14．1920【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为1111424--=，乙不中奖的概率为1311555--=，因此，甲、乙两人至少有1人获奖的概率为111914520-⨯=.故答案为：1920. 15．16【详解】试题分析：由题意知12868x x x x +++==，(862s x +-=，则12848x x x +++=，24s =，而()()()12826262624886688x x x y -+-++-⨯-⨯===，所以所求方差为()()()2222212812122122124168s x x x s ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎣⎦'．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据{}12,,,n x x x 与{}12,,,n y y y 中若有i i y ax b =+时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：y x =，222y x s a s =或是y x s as =，掌握此关系会给我们计算带来很大方便． 16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角. 【详解】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，则11,22ON CD MN AB ∥∥，所以ONM ∠或其补角即为所求的角.因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，平面ABC平面ACD AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面ACD ，又因为OD ⊂平面ACD ，所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2，OB OD ==2BD =，则112OM BD ==. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN 是等边三角形，60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒． 故答案为： 60° 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，从而求出BC ⊥平面11ABB A ，得到1BC AB ⊥；（2）根据正方形得到11BA AB ⊥，结合第一问求出的1BC AB ⊥，得到1AB ⊥平面1A BC ，从而证明面面垂直. （1）∶1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， ∶1AA BC ⊥． 又因为1,BC AB AA AB A ⊥=，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ． ∶1AB ⊂平面11ABB A ， ∶1BC AB ⊥． （2）∶1AA AB =，易知矩形11ABB A 为正方形， ∶11BA AB ⊥．由（1）知1BC AB ⊥，又由于11,,A B BC B A B BC =⊂平面1A BC ，∶1AB ⊥平面1A BC ． 又∶1AB ⊂平面1AB G ， ∶平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．（1）甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1 （2）甲的平均数等于0012003040110+++++++++=乙的平均数等于2020202020110+++++++++=甲的方差等于2222222222(01)(01)(11)(21)(01)(01)(31)(01)(41)(01)210-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙的方差等于2222222222(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型. 19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【分析】（1）根据频率=组距⨯高，可得分数小于70的概率为：1(0.040.02)10-+⨯；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1(0.040.020.020.01)100.050.05-+++⨯-=， 估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为4000.0520⨯=人， （3）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等． 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为0.610060⨯=， 即女生的频率为：0.4，则女生人数为0.410040⨯=， 所以总体中男生和女生人数的比例约为：3:2． 20．(1)38；(2)13(3)80P X ==；(3)分布列见解析；期望为712． 【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析3X =时，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件A =“甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节， 故1131131133()(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2242242248P A =---+⨯--⨯+--⨯=；(2)当3X =时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试都未通过， 3113114343(3)[(1)(1)2][(1)(1)]4224225454P X ==-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-+-⨯3114313(1)(1)4225480+⨯⨯⨯--=；(3)甲应聘成功的概率为1113113113215[(1)2(1)]2242242243224P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=， 乙应聘成功的概率为2113113113433[(1)2(1)]224224224548P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，Y 的取值可能为0，1，2， 5395(0)(1)(1)248192P Y ==--=， 535341(1)(1)(1)24824896P Y ==⨯-+-⨯=535(2)24864P Y ==⨯=， 所以Y 的分布列如下表：所以数学期望7()12E Y =. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得//MN AC ,结合线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABC ，证得PA BC ⊥，再由AB AC =，证得AM BC ⊥，根据线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAM ，进而得到平面PBC ⊥平面PAM . （1）证明：在ABC 中，因为,M N 分别为,BC AB 中点，可得//MN AC , 又因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//MN 平面PAC . （2）证明：因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，可得PA BC ⊥， 又因为AB AC =，且M 为BC 中点，可得AM BC ⊥，又由PA AM A =且,PA AM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ， 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM . 22．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接1A B ，1A D ，可证明1AO BD ⊥，再证明1A O OA ⊥，从而可证明结论. （2）由线面垂直的判断定理得AC ⊥平面1A BD ，由11//AC A C 得11A C ⊥平面1A BD ，再由棱锥的体积可得答案. （1）连接11,A D A B ，111,,AD AB A AB A AD A A =∠=∠为公共边，1111,∴≅∴=A AB A AD A D A B ，又O 为BD 的中点，1A O BD ∴⊥，在1A AB 中，由余弦定理可知1A B在1Rt AOB 中1AO =13,A A AO = 满足22211A O AO A A +=1A O OA ∴⊥，又AO BD O ⋂=，1A O ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1A O AC ∴⊥且1BD AC BD AO O ⊥⋂=，， AC ∴⊥平面1A BD ，且11//AC A C ， 11A C ∴⊥平面1A BD ，1111232C A BD V -=⨯⨯。

高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}A |2,x x x R =≤∈，集合B 为函数y lg(1)x =-的定义域，则B A I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2) D ．(1,2]2.已知20.5log a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c b a <<3.一个单位有职工800人，其中高级职称160人，中级职称300人，初级职称240人，其余人员100人，为了解职工收入情况，现采取分层抽样的方法抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为（ ）A ．15,24,15,19B ．9,12,12,7C ．8,15,12,5D ．8,16,10,6 4.已知某程序框图如图所示，若输入实数x 为3，则输出的实数x 为（ ）A ．15B ．31 C.42 D ．63 5.为了得到函数4sin(2)5y x π=+，x R ∈的图像，只需把函数2sin()5y x π=+，x R ∈的图像上所有的点（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍．B ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标伸长到原来的2倍．C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标缩短到原来的12倍． D ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标伸长到原来的2倍．6.函数()1ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2) C.(2,3) D ．(3,4)7.下面茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的方差为（ ）A ．327 B ．5 C.307D ．4 8.已知函数()222cos 2sin 1f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最正周期为2π，最大值为3．B ．()f x 的最正周期为2π，最大值为1． C.()f x 的最正周期为π，最大值为3． D ．()f x 的最正周期为π，最大值为1．9.平面向量a r 与b r 的夹角为23π，(3,0)a =r ，||2b =r ，则|2|a b +=r r （ ）A C.7 D ．3 10.已知函数2log (),0()(5),0x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则()2018f 等于（ ）A ．1-B ．2 C.()f x D ．111.设点E 、F 分别为直角ABC ∆的斜边BC 上的三等分点，已知3AB =，6AC =，则AE AF ⋅u u u r u u u r（ ）A ．10B ．9 C. 8 D ．712.气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第n 天的维修保养费为446(n )n N *+∈元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了（ ）A ．300天B ．400天 C.600天 D ．800天第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知θ为锐角且4tan 3θ=，则sin()2πθ-= ． 14.A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度不小于半径的概率为 ．15.若变量x ，y 满足2425()00x y x y f x x y +≤⎧⎪+≤⎪=⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是 ．16.关于x 的不等式232x ax >+（a为实数）的解集为，则乘积ab 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，角A ，B C ，所对应的边分别为a ，b ，c ，且5a =，3A π=，cos B =（1）求b 的值； （2）求sin C 的值．18. 已知数列{}n a 中，前n 项和和n S 满足22n S n n =+，n N *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19. 如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，AC AP >，60PAC ∠=︒，PC =10AP AC +=．（1）求sin ACP ∠的值；（2）若APB ∆的面积是，求AB 的长．20. 已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差0d >．且1a 、2a 、3a 分别是等比数列{}n b 的第2、3、4项． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足2 (n 1)(n 2)n n na c ab =⎧=⎨⋅≥⎩，求122018c c c +++L 的值（结果保留指数形式）．21.为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位知道一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入．紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势．下表给出了2018年种植的一批试验紫甘薯在不同温度时6组死亡株数：经计算：615705i i i x y ==∑，6214140ii x ==∑，62110464i i y ==∑≈0.00174．其中i x ，i y 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6.i =（1）y 与x 是否有较强的线性相关性？请计算相关系数r （精确到0.01）说明．（2）求y 与x 的回归方程ˆˆˆ+a y bx =（ˆb 和ˆa 都精确到0.01）；（3）用（2）中的线性回归模型预测温度为35C ︒时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）． 附：对于一组数据11(,v )u ，22(,v )u ，L L ，(,v )n n u ，①线性相关系数ni i u v nu vr -=∑，通常情况下当|r |大于0.8时，认为两个变量具有很强的线性相关性．②其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-=-∑∑，ˆˆˆav u β=-；22.已知函数()2lg(a)1f x x =+-，a R ∈． （1）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；（2）在在（1）的条件下，判断函数()y f x =与函数lg(2)xy =的图像公共点各数，并说明理由；（3）当[1,2)x ∈时，函数lg(2)x y =的图像始终在函数lg(42)xy =-的图象上方，求实数a 的取值范围．答案一、选择题答案9. 【解析】方法1： (1,b =-,2(1,a b +=±,|2|13a b +=。

2023-2024学年度河北省唐山市高一年级第二学期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z=3−i，则z的虚部为( )A. −1B. 1C. −iD. 32.某学校高一、高二、高三年级学生人数之比为3:2:2，利用分层抽样的方法抽取容量为35的样本，则从高一年级抽取学生人数为( )A. 7B. 10C. 15D. 203.已知圆锥的高为2，其底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为( )A. πB. 2πC. 5πD. (5+1)π4.若一组数据的平均数为5，方差为2，将每一个数都乘以2，再减去1，得到一组新数据，则新数据的平均数和方差分别为( )A. 9，3B. 9，8C. 9，7D. 10，85.已知A，B是两个随机事件且概率均大于0，则下列说法正确的为( )A. 若A与B互斥，则A与B对立B. 若A与B相互独立，则A与B互斥C. 若A与B互斥，则A与B相互独立D. 若A与B相互独立，则A与B相互独立6.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则( )A. 若m⊥n，n//α，则m⊥αB. 若m⊥α，n//α，则m⊥nC. 若m⊥α，α⊥β，则m//βD. 若m⊥n，n⊥β，则m//β7.在正四面体ABCD中，E是棱BD的中点，则异面直线CE与AB所成角的余弦值为( )A. −56B. 56C. −36D. 368.已知锐角△ABC的面积为43，B=π3，则边AB的取值范围是( )A. (2,22)B. [22,4]C. (22,42)D. [22,42]二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知复数z=1−2i，则( )A. |z|=5B. z+z=2C. z⋅z=5D. 1z表示的点在第一象限10.已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，AE=14AC，则( )A. DE =34DA +14DCB. DE =14DA +34DCC. BE =32BO +12BCD. BE =32BO−12BC 11.在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，高为ℎ，BA =BC = 3，∠ABC =90∘，下列说法正确的是( )A. V C 1−A 1ABB 1=2V A 1−ABCB. 若存在一个球与棱柱的每个面都内切，则ℎ=2 6− 3C. 若ℎ=3，则三棱锥A 1−ABC 外接球的体积为9π2D. 若ℎ=3，以A 为球心作半径为2的球，则球面与三棱柱表面的交线长度之和为23π12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

秘密★启用前【考试时间：2024年6月18日14：00-16：00】2023~2024学年度下期高中2023级期末联考数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名､座位号､准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上､试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知1cos 2α=，则cos2α=（ ）12 D.12−2.MN PQ MP −−=（ ）A.QNB.NQC.PMD.MP3.在ABC 中，3,4,5AB BC AC ===，则CB CA ⋅=（ ）A.-16B.16C.32D.-324.一个水平放置的平面图形OABC 按斜二测画法得到的直观图O A B C ′′′′如图所示.知24,O A C B O C A B ′===′′′′′′′，则平面图形OABC 的面积为（ ）A.3B.6C. 5.把函数()sin f x x =的图象向左平移π6个单位长度，再把横坐标变为原来的6π倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ） A.函数()y g x =的最小正周期6T = B.函数()y g x =在区间()2,8上单调递减C.函数()2y g x =+是奇函数 D.函数()2y g x =+在区间[]3,4上的最大值为126.某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗透､流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm ）.24小时降雨量的等级划分如下： 24小时降雨量（精确到0.1）0.1~9.910.024.9∼25.049.9∼50.0~99.9降雨等级小雨中雨大雨暴雨在一次降雨过程中，用一个侧棱180mm AA =的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面11AA B B 水平放置时，水面恰好过1111,,,AC BC AC B C 的中点.则这24小时的降雨量的等级是（ ）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨7.如图，圆锥PO 的底面直径和高均为12，过PO 上一点O ′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱.则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为（ ）A.12πB.24πC.36πD.72π8.在ABC 中，4AB AC BC ===，点P 满足BP tBC =，且1AP BC BC⋅=，则t =（ ） A.34 B.14 C.34− D.14−二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,m n 是两条不同的直线，α是平面，若m ∥,n αα⊂，则,m n 的关系可能为（ ）A.平行B.垂直C.相交D.异面10.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列结论正确的是（ ） A.若222sin sin sin sin sin A B C B C =+−，则角π3A =B.存在,,A B C ，使tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++>成立C.若sin2sin2A B =，则ABC 为等腰或直角三角形D.若30ab A ，则ABC 有两解 11.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为棱AB 上的动点，DF ⊥平面1,D EC F 为垂足，下列结论正确的是（ ）A.1FD FC =B.三棱锥1C DED −的体积为定值C.11ED A D ⊥D.1BC 与AC 所成的角为45三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知,a b为共线向量，且()()()3,1,,2ab x x =∈R ，则x =__________.13.在ABC 中，,D E 分别为,AC BC 的中点，AE 交BD 于点M .若2,4AB AC ==，π3BAC ∠=，则cos EMD ∠=__________.14.降维类比和升维类比主要应用于立体几何的学习，将空间三维问题降为平面二维或者直线一维问题就是降维类比.平面几何中多边形的外接圆，即找到一点，使得它到多边形各个顶点的距离相等.这个点就是外接圆的圆心，距离就是外接圆的半径.若这样的点存在，则这个多边形有外接圆，若这样的点不存在，则这个多边形没有外接圆.事实上我们知道，三角形一定有外接圆，如果只求外接圆的半径，我们可通过正弦定理来求，我们也可以关注九年义教初中《几何》第三册第94页例2.的结论：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商.借助求三角形外接圆的方法解决问题：若等腰梯形ABCD 的上下底边长分别为6和8，高为1，这个等腰梯形的外接圆半径为__________；轴截面是旋转体的重要载体，圆台的轴截面中包含了旋转体中的所有元素：高､母线长､底面圆的半径，通过研究其轴截面，可将空间问题转化为平面问题.观察图象，通过类比，我们可以找到一般圆台的外接球问题的研究方法，正棱台可以看作由圆台切割得到.研究问题：如图，正三棱台的高为1，上､下底面边长分别为和一球面上，则该球的体积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知1111ABCD A B C D −是棱长为2的正方体.（1）求三棱锥11D A BC −的体积；（2）若N 是1D C 的中点，M 是1BC 的中点，证明：NM ∥平面ABCD .16.（15分）已知向量,a b 满足，4,a b == ，且a 在b 上的投影向量为b − . （1）求,a b 及a b ⋅ 的值；（2）若()()2a b a b λ−⊥+，求λ的值.17.（15分）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos πsin 2cos 6BC A=−，且sin 2sin b C B =. （1）求A 及c ；（2）若点D 在边BC 上，且3,BC BD AD ==ABC 的面积. 18.（17分）在平行四边形ABCD 中，2,45,,AB ADA E F == 分别为,AB AD 的中点，将三角形ADE 沿DE 翻折，使得二面角A ED C −−为直二面角后，得到四棱锥A EBCD −.（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求证：平面AED ⊥平面ACD ； （3）求EC 与平面ACD 所成角的正弦值. 19.（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于120 的ABC 内部有一点P ，连接,,PA PB PC ，求PA PB PC ++的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折､旋转､平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将APC 绕点C 顺时针旋转60 ，得到EDC ，连接,PD BE ，则BE 的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点P 的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量(),AB x y = ，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量()cos sin ,sin cos AQ x y x y θθθθ=−+.（1）已知平面内点()(1,2,12A B +−，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转π4后得到点P ，求点P 的坐标；（2）在ABC 中，30,12,5ACB BC AC ∠===，借助研究成果，直接写出PA PB PC ++的最小值；（3）已知点()()()1,0,1,0,0,2A B C −，求ABC 的费马点P 的坐标.。

2024北京通州高一（下）期末数学（答案在最后）2024年7月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.复平面内点(1,2)A -所对应复数的虚部为（）A.1 B.2- C.iD.2i-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由复数的几何意义即可得到点A 对应的复数，从而得到结果.【详解】复平面内点(1,2)A -所对应复数为12i -，其虚部为2-.故选：B2.样本数据3，5，7，2，10，2的中位数是（）A.7 B.6C.4D.2【答案】C 【解析】【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【详解】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：2，2，3，5，7，10．位于最中间的数是3，5，所以这组数的中位数是3542+=．故选：C ．3.已知向量(1,2)a =- ，a b ⊥ ，那么向量b可以是（）A.(2,1)B.(2,1)- C.(2,1)- D.()1,2-【答案】A 【解析】【分析】由a b ⊥ 可得0a b ⋅=，逐个验证即可.【详解】因为a b ⊥ ，所以0a b ⋅=，对于A ，若(2,1)b = ，则220a b ⋅=-+=r r，所以A 正确，对于B ，若(2,1)b =-，则220a b ⋅=--≠r r，所以B 错误，对于C ，若(2,1)b =- ，则220a b ⋅=+≠r r，所以C 错误，对于D ，若(1,2)b =-，则140a b ⋅=--≠r r，所以D 错误.故选：A4.在三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知π,1,6A a b ===B =（）A.π3B.π4C.π4或3π4D.π3或2π3【答案】C 【解析】【分析】由b a >得B A >，再由正弦定理计算即可.【详解】由题意，π,1,6A a b ===,因为b a >，所以B A >,由正弦定理得sin sin a bA B=,即1sin 2sin 12b A B a ===，因为()0,πB ∈,所以π4B =或3π4.故选：C.5.已知圆锥的底面半径是1，则圆锥的侧面积是（）A.πB.C.4πD.2π【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式可求得答案.【详解】因为圆锥的底面半径是1，2=，所以圆锥的侧面积为ππ221⨯⨯=.故选：D6.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，则11AC 与1B C 所成角为（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】C 【解析】【分析】连接1,AC AB ，根据定义，得到1ACB ∠即为11A C 与1B C 所成角，即可求解.【详解】如图所示：连接1,AC AB ，由正方体的性质可得，11//AC AC ，则1ACB ∠即为11A C 与1B C 所成角，又11AC B C AB ==，所以1π3ACB ∠=.故选：C.7.在下列关于直线l m 、与平面αβ、的命题中，真命题是（）A.若l β⊂，且αβ⊥，则l α⊥B.若l β⊥，且//αβ，则l α⊥C.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l β⊥，且αβ⊥，则//l α【答案】B 【解析】【分析】利用线面垂直的判定条件说明、推理判断AB ；利用面面平行的判定说明判断C ,利用线面平行的判定说明判断D.【详解】对于A ，αβ⊥，当平面,αβ的交线为l 时，满足l β⊂，此时l ⊂α，A 错误；对于B ，由l β⊥，得存在过直线l 的平面,γδ，,a b γβδβ== ，由于//αβ，则平面,γδ与平面α必相交，令,a b γαδα''== ，于是//,//a a b b ''，显然,l a l b ⊥⊥，而,,l a a γ'⊂，则l a ⊥'，同理l b ⊥'，又,a b ''是平面α内的两条相交直线，因此l α⊥，B 正确；对于C ，//αβ,l ⊂α,m β⊂,//l m 或,l m 异面，C 错误；对于D ，αβ⊥，令⋂=c αβ，当直线l 在平面α内，且l c ⊥时，满足l β⊥，此时//l α不成立，D 错误.故选：B8.一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色和绿色小球各2个，不放回地逐个取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（）A.2个小球恰有一个红球B.2个小球至多有1个红球C.2个小球中没有绿球D.2个小球至少有1个红球【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由互斥事件的定义依次分析选项，即可得到结果.【详解】2个小球恰有一个红球包括2个小球1个红球1个黄球和2个小球1个红球1个绿球，与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立，符合题意，故A 正确；2个小球至多有1个红球包括2个小球都不是红球和2个小球恰有1个红球，则2个小球至多有1个红球与事件“2个小球都为红色”是对立事件，故B 错误；2个小球中没有绿球包括2个小球都为红色，2个小球都为黄色和2个小球1个红球1个黄球，则事件“2个小球都为红色”是2个小球中没有绿球的子事件，故C 错误；2个小球至少有1个红球包括2个小球都是红球和2个小球1个红球1个不是红球，则事件“2个小球都为红色”是2个小球至少有1个红球的子事件，故D 错误；故选：A9.一个长为，宽为2的长方形，取这个长方形的四条边的中点依次为A ，B ，C ，D ，依次沿AB ，BC ，CD ，DA ，DB 折叠，使得这个长方形的四个顶点都重合而得到的四面体，称为“萨默维尔四面体”，如下图，则这个四面体的体积为（）A.12B.23C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由线面垂直的判定定理可得⊥AE 平面BCD ，再由锥体的体积公式代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，BC CD AD AB ====2==AC BD ，取BD 中点E ，连接,AE CE ，又AB AD =，所以AE BD ⊥，且AE ===CE ===则222AE CE AC +=，所以AE CE ⊥，且CE BD E = ，,CE BD ⊂平面BCD ，所以⊥AE 平面BCD ，则111223323A BCD BCD V S AE -=⋅=⨯⨯ .故选：B10.达⋅芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，把六片这样的达·芬奇方砖拼成下图的组合，这个组合再转换成几何体，则需要10个正方体叠落而成，若一个小球从图中阴影小正方体出发，等概率向相邻小正方体（具有接触面）移动一步，则经过两步移动后小球又回到阴影小正方体的概率为（）A.14B.13C.512D.712【答案】D 【解析】【分析】，根据题意，由全概率公式代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，一个小球从图中阴影小正方体出发，可以向上，向下或水平移动，设小球向上移动为事件A ，小球水平移动为事件B ，小球向下移动为事件C ，小球回到阴影为事件D ，则()()()()()()11111,,,1,,42423P A P B P C P D A P D B P D C ======，则()()()()()()()P D P A P D A P B P D B P C P D C=++1111174224312=+⨯+⨯=.故选：D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.设复数z 满足()1i 2i z -=（i 为虚数单位），则z 的模为________．【答案】2【解析】【分析】由复数的除法、乘法运算以及模的计算公式即可得解.【详解】()()()()222i 1i 1i,1121i 1i z z +==-+=-+-+2.12.从写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中有放回的抽取两次，两次抽取的卡片数字和为5的概率是________．【答案】425【解析】【分析】根据条件，求出样本空间及事件B 包含的样本点，再利用古典概率公式，即可求出结果..【详解】用(,)x y 中的x 表示第一次取到的卡片数字，y 表示第一次取到的卡片数字，由题知，样本空间为{Ω(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),=}(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)，共25个，记事件B ：两次抽取的卡片数字和为5，事件B 包含的样本点为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4个，所以两次抽取的卡片数字和为5的概率是425，故答案为：425.13.已知,,a b c 分别是ABC 的角,,A B C 的对边，若5b =，4c =，10⋅=-AB AC ，则A =______，ABC 的面积为______．【答案】①.2π3②.【解析】【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式计算即得A ，再利用三角形面积公式求出面积.【详解】依题意，10101cos 202||||AB AC A bcAB AC ⋅-===-=-，在ABC 中，0πA <<，所以2π3A =；ABC 的面积11sin 20222S bc A ==⨯⨯=.故答案为：2π3；14.在正方形ABCD 中，E 是DC 边上一点，且2DE EC =，点F 为AE 的延长线上一点，写出可以使得AF AB AD λμ=+成立的λ，μ的一组数据(),λμ为________．【答案】()2,3（答案不唯一）【解析】【分析】根据向量的线性运算表示出AE，再结合向量的共线即可求得答案.【详解】由题意知DC AC AD =-，而2DE EC =，故2()3DE AC AD =- ,则()212122()333333AE AD DE AD AC AD AD AC AD AB AD AB AD =+=+-=+=++=+，又点F 为AE 的延长线上一点，故,(1)A t AE t F =>,可取3t =，则(23)233AB F A AB A D AD +=+=，故使得AF AB AD λμ=+成立的,λμ的一组数据(),λμ为(2,3)，故答案为：()2,3.15.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为BC 的中点，F 为线段1CC 上的动点，过点A ，E ，F 的平面截该正方体所得截面记为S ，则下列命题正确的是________．①直线1D D 与直线AF相交；②当102CF <<时，S 为四边形；③当F 为1CC 的中点时，平面AEF 截正方体所得的截面面积为98；④当34CF =时，截面S 与11A D ，11C D 分别交于,M N ，则MN ．【答案】②③④【解析】【分析】①，由1//D D 平面11ACC A ，可知直线1D D 与直线AF不可能相交，即可判断；②，由102CF <<可得截面S 与正方体的另一个交点落在线段1DD 上，即可判断；③，由E 为BC 的中点，F 为1CC 的中点，可得截面为等腰梯形，求出等腰梯形的上、下底和高，即可求得截面面积，即可判断；④，当34CF =时，延长1DD 至R ，使112D R =，连接AR 交11A D 于M ，连接RF 交11C D 于N 连接MN ，取AD 的中点S ，1DD 上一点Q ，使34DQ =，连接SE SQ QF 、、，可求得11,D N D M ，再利用勾股定理求出MN ，即可判断.【详解】①，因为F 为线段1CC 上的动点，所以AF ⊂平面11ACC A ，由正方体可知1//D D 平面11ACC A ，所以直线1D D 与直线AF 不可能相交，故①错误；②，当102CF <<时，截面S 与正方体的另一个交点落在线段1DD 上，如图所示：所以截面为四边形；又1A G ⊂面1A MG ，故1A G //面AEF ，故②正确；③，连接111,,,AD D F AE BC ，如下所示：因为E 为BC 的中点，F 为1CC 的中点，则11////EF BC AD ，故面1AEFD 即为平面AEF 截正方体所得截面；在11Rt D C F 和Rt ABE △中，又12D F AE ===，故该截面为等腰梯形，又1122EF BC ===，1A D ==，故截面面积()111922248S EF AD ⎛=+⨯⨯+⨯ ⎝，故③正确；④，当34CF =时，延长1DD 至R ，使112D R =，连接AR 交11A D 于M ，连接RF 交11C D 于N 连接MN ，取AD 的中点S ，1DD 上一点Q ，使34DQ =，连接SE SQ QF 、、，如图所示：因为//SE DC 且SE DC =，//QF DC 且QF DC =，所以//SE QF 且SE QF =，所以四边形SEFQ 是平行四边形，则//SQ EF ，由112D R =，34DQ =，所以111134QR QD D R DD DQ D R =+=-+=，则Q 为DR 中点，则//SQ AR ，所以//EF AR ，又1111,RD N FC N RD M AA M ，可得11111111111222,31214D N D R D M D R C N C F A M A A ======-，所以1111112211,3333D N D C D M D A ====，则在1Rt MD N中3MN ===，故④正确；故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知向量(1,0)a =-，(2,1)b =- ．（1）求|2|+a b ；（2）若AB a b =+ ，2BC a b =- ，CD a =-，求证：A ，C ，D 三点共线．【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解；（2）结合向量共线的性质，即可求解．【小问1详解】解：(1,0)a =-，(2,1)b =-，则()()()21,04,23,2a b +=-+-=-，故|2|a b +==【小问2详解】证明：AB a b =+，2BC a b =-，则23AC AB BC a b a b a =+=++-= ；13CD a AC =-=-，所以CD AC ∥ ，所以A ，C ，D 三点共线．17.在中小学生体质健康测试中，甲、乙两人各自测试通过的概率分别是0.6和0.8，且测试结果相互独立，求：（1）两人都通过体质健康测试的概率；（2）恰有一人通过体质健康测试的概率；（3）至少有一人通过体质健康测试的概率．【答案】（1）0.48（2）0.44（3）0.92【解析】【分析】根据题意，由相互独立事件的概率乘法公式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】根据题意，记甲通过体能测试为事件A ，乙通过体能测试为事件B ，且事件A 与事件B 相互独立，则两人都通过体能测试的概率()()()10.60.80.48P P AB P A P B ===⨯=.由事件A 与事件B 相互独立，则恰有一人通过体能测试的概率为()()()()()20.40.80.60.20.44P P AB AB P A P B P A P B =+=+=⨯+⨯=.【小问3详解】由事件A 与事件B 相互独立，则至少有一人通过体能测试的概率为()()()30.480.440.92P P AB AB AB P AB P AB AB =++=++=+=.18.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱11,BB DD 的中点．求证：（1）BD ∥平面1C EF ；（2）EF ⊥平面11ACC A ；（3）求三棱锥11B C EF -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）23【解析】【分析】（1）先证明四边形BDFE 为平行四边形，得出BD EF ∥，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）根据线面垂直的判定与性质定理即可得证；（3）利用F 到平面11BCC B 距离为三棱锥的高2h CD ==，结合等体积法求解即可．【小问1详解】证明：E ，F 分别为1BB ，1DD 的中点，11BB DD =，11BB DD ∥，BE DF ∴∥且BE DF =，∴四边形BDFE 为平行四边形，BD EF ∴∥，又EF ⊂平面1C EF ，BD 不在平面1C EF ，BD ∴∥平面1C EF ；证明： 四边形ABCD 为正方形，BD AC ∴⊥，BD EF ∥ ，AC EF ∴⊥，1AA ⊥ 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1AA BD ∴⊥，BD EF ∥ ，1AA EF ⊥，又1AC AA A = ，AC ，1AA ⊂平面11ACC A ，EF ∴⊥平面11ACC A ；【小问3详解】F 到平面11BCC B 距离为三棱锥的高2h CD ==，1111121122BC E S B C B E =⋅=⨯⨯= ，故三棱锥11B C EF -的体积11111111212333B C EF F B C E B C E V V S h --==⋅=⨯⨯= ．19.某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率．选考情况第1门第2门第3门第4门第5门第6门物理化学生物历史地理政治高一选科人数807035203560高二选科人数604555404060高三选科人数504060404070（1）已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数；（2）现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这5人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率；（3）假设三个年级选择选考科目是相互独立的．为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，设这3名学生均选择了第k 门科目的概率为(12345,6)k P k =,,,,，当k P 取得最大值时，写出k 的值．（结论不要求证明）【答案】（1）80人（2）45（3）6【解析】【分析】（1）样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人，由此能估计高一年级选历史学科的学生人数．（2）应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，利用列举法能求出事件“这2名参赛同学来自相同年级”的概率．（3）利用相互独立事件概率乘法公式求解．【小问1详解】解：由题意知，样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人，故估计高一年级选历史学科的学生有20400=80100⨯人．【小问2详解】解：应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，所有可能的结果为{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}15,A A ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}25,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}45,A A ，共10种，设A 为事件“这2名参赛同学来自不同年级”，则A 为事件“这2名参赛同学来自相同年级”有2{A ，3}A ，4{A ，5}A 共2种，所以事件A 发生的概率24()1()1105P A P A =-=-=．【小问3详解】解：10.80.60.50.24P =⨯⨯=，20.70.450.40.126P =⨯⨯=，30.350.550.60.1155P =⨯⨯=，40.20.40.40.032P =⨯⨯=，50.350.40.40.056P =⨯⨯=，60.60.60.70.252P =⨯⨯=，∴当k P 取得最大值时，6k =．20.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，△ABC 的面积为S ，且2224a b c S +-=．（1）求角C ；（2）若2cos c b b A -=，试判断△ABC 的形状，并说明理由．【答案】（1）π4C =（2）等腰直角三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）应用面积公式及余弦定理得出正切进而得出角；（2）先应用正弦定理及两角和差的正弦公式化简得出2A B =，结合π4C =判断三角形形状即可.【小问1详解】在ABC 中，因为2224a b c S +-=，则12cos sin 24ab C ab C =，整理得tan 1C =，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π4C =.【小问2详解】由正弦定理得sin sin 2sin cos C B B A -=,()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ,sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B B B A ∴+-=,sin cos cos sin sin A B A B B ∴-=,于是()sin sin A B B -=,又(),0,πA B ∈，故ππA B -<-<，所以()πB A B =--或B A B =-，因此πA =（舍去）或2A B =，所以2A B =.πππ,,,424C A B =∴==ABC 是等腰直角三角形.21.如图，七面体ABCDEF 中，菱形ABCD 所在平面与矩形ACEF 交于AC ，平面CDF 与平面ABF 交于直线l ．（1）求证：//AB l ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，试求当BDAF为何值时，平面DEF ⊥平面BEF 并证明你的结论．条件①：ABCD ACEF ⊥平面平面；条件②：CE AB ⊥．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由于//AB 平面CDF ，由线面平行的性质定理可证//AB l ；（2）若选①，设AC BD O = ，取EF 的中点M ，连结,,OM BM DM 如图所示，由平面ABCD ⊥平面ACEF ，可得AF ⊥平面ABCD ，从而AF AD ⊥，进一步由CDE ADF ≅△△，得DM EF ⊥，假设平面DEF ⊥平面BEF ，可得DM EF ⊥，DM BM ⊥，从而2BDAF=；若选②，可得CE ⊥平面ABCD ，可得,CE AF ⊥平面ABCD ，从而AF AD ⊥，进一步由CDE ADF ≅△△，得DM EF ⊥，假设平面DEF ⊥平面BEF ，可得DM EF ⊥，DM BM ⊥，从而2BDAF=.【小问1详解】菱形ABCD 中，//AB CD ，又CD ⊂平面CDF ，AB ⊄平面CDF ，//AB ∴平面CDF ，又AB ⊂平面ABF ，平面ABF 平面CDF l =.AB//l ∴；【小问2详解】若选①当2BDAF=时，平面DEF ⊥平面BEF ，设AC BD O = ，取EF 的中点M ，连结,,OM BM DM 如图所示，平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEFAC =，矩形ACEF 中AF AC ⊥，AF ∴⊥平面ABCD ，AD ⊂ 平面ABCD ，AF AD ∴⊥，同理可得：CE CD ⊥，90DCE DAF ∴∠=∠= ，因为菱形ABCD 中CD AD =，矩形ACEF 中CE AF =，CDE ADF ∴≅ ，DE DF ∴=，M 是EF 的中点，DM EF \^，假设平面DEF ⊥平面BEF 成立，平面DEF ⋂平面BEF EF =，且DM EF ⊥，DM ∴⊥平面BEF ，BM ⊂ 平面BEF ，DM BM ∴⊥，矩形ACEF 中M 是EF 的中点，菱形ABCD 中O 是AC 的中点，//,OM AF OM AF ∴=，OM ∴⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，OM BD ∴⊥，又DMBM ⊥ ，O 是BD 的中点，可知△BDM 为等腰直角三角形，,22OM OB OD BD OB OD OM AF ∴==∴=+==，2BD AF ∴=，故当2BDAF =时，平面DEF ⊥平面BEF ；若选②当2BDAF=时，CE AB ⊥ ，矩形ABEF 中，⊥ CE AC AC AB A ⋂=，,AC AB ⊂平面ABCD ，CE ∴⊥平面ABCD ，矩形ACEF 中//CE AF ，AF ∴⊥平面ABCD ，AD ⊂ 平面ABCD ，AF AD ∴⊥，同理可得：CE CD ⊥，90DCE DAF ∴∠=∠= ，因为菱形ABCD 中CD AD =，矩形ACEF 中CE AF =，CDE ADF ∴≅ ，DE DF ∴=，M 是EF 的中点，DM EF \^，假设平面DEF ⊥平面BEF 成立，平面DEF ⋂平面BEF EF =，且DM EF ⊥，DM ∴⊥平面BEF ，BM ⊂ 平面BEF ，DM BM ∴⊥，矩形ACEF 中M 是EF 的中点，菱形ABCD 中O 是AC 的中点，//,OM AF OM AF ∴=，OM ∴⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，OM BD ∴⊥，又DMBM ⊥ ，O 是BD 的中点，可知△BDM 为等腰直角三角形，,22OM OB OD BD OB OD OM AF ∴==∴=+==，2BD AF ∴=，故当2BDAF=时，平面DEF ⊥平面BEF .【点睛】关键点点睛：第（2）问求当BDAF为何值时，平面DEF ⊥平面BEF ，在解析时先假设平面DEF ⊥平面BEF 成立，从而利用面面垂直的性质定理进一步推理.。

2022-2023学年河南省平顶山市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z =5i 31−2i 在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．数据71，73，79，83，89，90，96，98的25%分位数为（ ） A ．73B ．75C ．76D ．793．某地气象部门统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：则可以估计该地区今年6月份的某天最高气温小于30°C 的概率为（ ） A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.24．已知向量a →=(−2，4)，b →=(−1，1)，则a →在b →上的投影向量为（ ） A ．(35，−65)B ．(−35，65)C ．（3，﹣3）D ．（﹣3，3）5．已知圆锥的底面半径是2，体积为8√33π，则它的侧面展开图的圆心角为（ ） A ．π2B ．πC ．4π3D ．3π26．在梯形ABCD 中，AB →=2DC →，AM →=2MD →，则CD →=（ ） A ．12CM →+14BM →B ．14CM →+12BM →C ．13CM →+13BM →D ．13CM →−13BM →7．已知在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝AA 1＝2，点M ，N 分别是BC ，BB 1的中点，则异面直线D 1M ，DN 所成角的余弦值为（ ） A ．17B ．√3514C ．914D ．678．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin A +sin （A +C ）＝2sin C ，则（ ） A ．sin C 的最小值为12B ．sinC 的最大值为√32 C ．cos C 的最小值为0 D ．cos C 的最大值为12二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．|z|=|z| B ．z −z 一定是虚数 C ．z +z 一定是实数D ．z 2≥010．从1～9这9个整数中随机取1个数，记M ，N 是此试验中的两个事件，且满足P （M ）=13，P （N ）=23，则下列说法正确的是（ ） A ．M 与N 是对立事件B ．若M ⊆N ，则P （MN ）=13C ．若P(MN)=19，则M 与N 相互独立D ．若P （M ∪N ）＝1，则M 与N 互斥11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且b ＝3，A ＝2B ，则下列说法正确的是（ ） A ．若c ＜b ，则△ABC 是钝角三角形 B ．△ABC 可能是顶角为钝角的等腰三角形C ．若a =3√3，则C =π2D ．若c ＝1，则a =2√312．如图所示，扇形OAB 的半径OA ＝4，∠AOB =2π3，C 是弧AB 的中点，点D ，E 是线段OB ，OA 上的动点且满足|OD →|=|AE →|，则CD →⋅CE →的值可以是（ ）A ．6B ．8C ．2√10D ．3√10三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量a →=(1，2)，b →=(−2，1)，c →=(2，t)，若(a →+2b →)⊥c →，则t ＝ ． 14．设一组样本数据1，2，2，a ，b ，5，6，8的方差为5，则数据4，7，7，3a +1，3b +1，16，19，25的方差是 ．15．小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为16，甲和乙两本书都买的概率为12，则小王买乙书的概率为 ．16．在三棱锥P ﹣ABC 中，平面ABC ⊥平面P AB ，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点，PD ⊥PB ，PB ＝PD ＝2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 ．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知复数z1＝t+（t2﹣1）i，z2＝sinθ+（2cosθ+1）i，其中t∈R，θ∈[0，π]．（1）若z1，z2∈R且z1＞z2，求t的值；（2）若z1＝z2，求θ．18．（12分）某型号新能源汽车近期升级一项新技术，现随机抽取了100名该技术的体验用户对该技术进行评分（满分100分），所有评分数据按照[84，88），[88，92），[92，96），[96，100]进行分组得到了如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并根据频率分布直方图，估计对该技术的评分的中位数；（2）现从评分在[84，88），[96，100]内的体验用户中按人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求这2人中至少有一人评分在[84，88）内的概率．19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是A1B1，AB，AD的中点．（1）求平面AEC截正方体所得截面面积；（2）证明：平面AEC⊥平面MEF．20．（12分）如图所示，四边形ABCD的外接圆为圆O，BC＝2，AC＝3，tan B＝﹣2√2．（1）求sin∠ACB；（2）若∠COD＝∠AOD，求AD的长．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PD＝AB＝3AD＝3．（1）求点A到平面PBC的距离．（2）若E是P A的中点，F是PB上靠近点P的三等分点，棱PB上是否存在一点G使CG∥平面DEF？证明你的结论并求BG的长．22．（12分）某商场为鼓励大家消费，举行摸奖活动，规则如下：凭购物小票一张，每满58元摸奖一次，从装有除颜色外完全相同的1个红球和4个白球的箱子中一次性随机摸出两个小球，若两球中含有红球，则为中奖，否则为不中奖．每次摸奖完毕后，把小球放回箱子中．甲、乙共有购物小票一张，购物金额为m元，两人商量，先由一人摸奖，若中奖，则继续摸奖，若不中奖，就由对方接着摸奖，并通过掷一枚质地均匀的硬币决定第一次由谁摸奖．（1）若m＝60，求这两人中奖的概率；（2）若m＝240，求第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖的概率．2022-2023学年河南省平顶山市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z =5i 31−2i在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：z =5i 31−2i =−5i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=2−i ，则z 在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限． 故选：D ．2．数据71，73，79，83，89，90，96，98的25%分位数为（ ） A ．73B ．75C ．76D ．79解：8×25%＝2，该组数据的25%分位数为从小到大第2个数据和第3个数据的平均数 73+792=76．故选：C ．3．某地气象部门统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：则可以估计该地区今年6月份的某天最高气温小于30°C 的概率为（ ） A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.2解：前三年6月份最高气温小于30°C 的天数为5+7+24＝36，所以概率为3690=0.4，所以可以估计该地区今年6月份的某天最高气温小于30°C 的概率0.4． 故选：C ．4．已知向量a →=(−2，4)，b →=(−1，1)，则a →在b →上的投影向量为（ ） A ．(35，−65)B ．(−35，65)C ．（3，﹣3）D ．（﹣3，3）解：∵a →⋅b →=2+4=6，b →2=2，∴a →在b →上的投影向量为：a →⋅b →|b →|⋅b→|b →|=62(−1，1)=(−3，3)．5．已知圆锥的底面半径是2，体积为8√33π，则它的侧面展开图的圆心角为（ ） A ．π2B ．πC ．4π3D ．3π2解：根据题意，设圆锥的高为h ，它的侧面展开图的圆心角θ， 圆锥的底面半径是2，体积为8√33π，则V =π×4×ℎ3=8√33π， 则h ＝2√3，故该圆锥的母线长l =√12+4=4， 则4θ＝2π×2，解可得θ＝π． 故选：B ．6．在梯形ABCD 中，AB →=2DC →，AM →=2MD →，则CD →=（ ） A ．12CM →+14BM →B ．14CM →+12BM →C ．13CM →+13BM →D ．13CM →−13BM →解：如图，在梯形ABCD 中，AB →=2DC →，AM →=2MD →， 则CD →=CM →+MD →⋯⋯①， BA →=BM →+MA →⋯⋯②，①×2+②可得：4CD →=2CM →+BM →，即CD →=12CM →+14BM →．故选：A ．7．已知在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝AA 1＝2，点M ，N 分别是BC ，BB 1的中点，则异面直线D 1M ，DN 所成角的余弦值为（ ） A ．17B ．√3514C ．914D ．67解：延长BB 1至G ，使得B 1G ＝1，连接D 1G ，GM ， 易知D 1G ∥DN ，则∠MD 1G 为异面直线D 1M ，DN 所成角，因为D 1G =√32+22+12=√14，MG =√12+32=√10，D 1M =√12+32+22=√14，故△MD 1G 中，cos ∠MD 1G =D 1M 2+D 1G 2−MG 22D 1M⋅D 1G =14+14−102×14×14=914．8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin A +sin （A +C ）＝2sin C ，则（ ） A ．sin C 的最小值为12B ．sinC 的最大值为√32 C ．cos C 的最小值为0 D ．cos C 的最大值为12解：由已知得sin A +sin B ＝2sin C ，根据正弦定理可得a +b ＝2c ， 根据余弦定理可得cosC =a 2+b 2−c 22ab =(a+b)2−2ab−c 22ab =3c 22ab −1≥3c 22(a+b 2)2−1=32−1=12，当且仅当a ＝b 时等号成立， 所以cos C 的最小值为12，sin 2C +cos 2C =1，从而sin C 的最大值为√32． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．|z|=|z| B ．z −z 一定是虚数 C ．z +z 一定是实数D ．z 2≥0解：对于ABC ，不妨设z ＝a +bi （a ，b ∈R ）， 则z =a −bi ，对于A ，|z|=|z|=√a 2+b 2，故A 正确； 对于B ，z −z =(a +bi)−(a −bi)=2bi ， 当b ＝0时，z −z =0，故B 错误；对于C ，z +z =a +bi +a −bi =2a ∈R ，故C 正确； 对于D ，设z ＝i ， z 2＝﹣1＜0，故D 错误． 故选：AC ．10．从1～9这9个整数中随机取1个数，记M，N是此试验中的两个事件，且满足P（M）=13，P（N）=23，则下列说法正确的是（）A．M与N是对立事件B．若M⊆N，则P（MN）=13C．若P(MN)=19，则M与N相互独立D．若P（M∪N）＝1，则M与N互斥解：对于A，M与N不一定为对立事件，也有可能由交集，比如M为“抽出的数大于等于7”，N为“抽出的数大于等于8或小于等于4”，A错误；对于B，当M⊆N，则P（MN）＝P（M）=13，B正确；对于C，由P（M）=13，P（N）=23，可得P（N）＝1−23=13，则P（M N）＝P（M）P（N），可得M，N互相独立，即有M与N相互独立，C正确；对于D，由P（M）=13，P（N）=23，可得P（M）+P（N）＝P（M∪N）＝1，即有P（MN）＝0，M与N也可能由交集，比如M为“抽出的数小于等于3”，N为“抽出的数大于等于3且小于等于8”显然P（M∪N）=49+49+19=1，二者的交集是“抽出的数字为3”，互斥，D正确．故选：BCD．11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且b＝3，A＝2B，则下列说法正确的是（）A．若c＜b，则△ABC是钝角三角形B．△ABC可能是顶角为钝角的等腰三角形C．若a=3√3，则C=π2D．若c＝1，则a=2√3解：对于A，若c＜b，则C＜B，由π＝A+B+C＜4B，得B＞π4，所以A＞π2，故A正确；对于C，由正弦定理得asinA =bsinB，即asin2B=bsinB，所以a2sinBcosB=bsinB，结合b＝3得a＝6cos B，若a＝3√3，则\cos B=√32，所以B=π6，A=π3，则C=π2，故C正确；对于B，若△ABC是等腰三角形，当A＝C时，A+B+C＝5B，则顶角B=π5为锐角，当B＝C时，A+B+C＝2A，则顶角A=π2为直角，即顶角不可能为钝角，故B错误；对于D ，由选项C 的分析可知a ＝6cos B ，再由余弦定理可得cos B =a 2+c 2−b 22ac =a 2+1−92a ， 所以a ＝6×a 2+1−92a，整理得a 2＝12，所以a ＝2√3，故D 正确．故选：ACD ．12．如图所示，扇形OAB 的半径OA ＝4，∠AOB =2π3，C 是弧AB 的中点，点D ，E 是线段OB ，OA 上的动点且满足|OD →|=|AE →|，则CD →⋅CE →的值可以是（ ）A ．6B ．8C ．2√10D ．3√10解：∵∠AOB =2π3，C 是弧AB 的中点， ∴∠BOC =∠AOC =π3，设|AE |＝x ，（0≤x ≤4），则|OD |＝x ，|OE |＝4﹣x ， ∴CD →=OD →−OC →，CE →=OE →−OC →， ∴CD →⋅CE →=(OD →−OC →)⋅(OE →−OC →) =OD →⋅OE →−OD →⋅OC →−OC →⋅OE →+OC →2 =x ⋅(4−x)⋅(−12)−4x ⋅12−4(4−x)⋅12+16 =12x 2−2x +8=12(x −2)2+6，0≤x ≤4， ∴6≤CD →⋅CE →≤8，故AB 正确；又6=2√9＜2√10＜2√16=8，故C 正确； (3√10)2=90＞64=82，故D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量a →=(1，2)，b →=(−2，1)，c →=(2，t)，若(a →+2b →)⊥c →，则t ＝ 32．解：a →=(1，2)，b →=(−2，1)，c →=(2，t)， 则a →+2b →=（1，2）+（﹣4，2）＝（﹣3，4）， ∵(a →+2b →)⊥c →，∴2×（﹣3）+4t ＝0，解得t =32． 故答案为：32．14．设一组样本数据1，2，2，a ，b ，5，6，8的方差为5，则数据4，7，7，3a +1，3b +1，16，19，25的方差是 45 ．解：已知4＝1×3+1，7＝2×3+1，3a +1＝3×a +1， 3b +1＝3×b +1，16＝5×3+1，19＝6×3+1，25＝8×3+1，所以数据4，7，7，3a +1，3b +1，16，19，25是数据1，2，2，a ，b ，5，6，8的3倍再加1， 则数据4，7，7，3a +1，3b +1，16，19，25的方差为32×5＝45． 故答案为：45．15．小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为16，甲和乙两本书都买的概率为12，则小王买乙书的概率为34．解：设事件A 表示“小王买甲书”，事件B 表示“小王买乙书”， 由题意可知，事件A 与事件B 相互独立， 所以事件A 与事件B 也相互独立，所以P （A B ）＝P （A ）P （B ）＝P （A ）（1﹣P （B ））=16，即P （A ）﹣P （A ）P （B ）=16， 又因为P （AB ）＝P （A ）P （B ）=12，所以P （A ）=12+16=23，P （B ）=1223=34，即小王买乙书的概率为34．故答案为：34．16．在三棱锥P ﹣ABC 中，平面ABC ⊥平面P AB ，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点，PD ⊥PB ，PB ＝PD ＝2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 40π ．解：因为AC ⊥BC ，所以△ABC 的外接圆圆心即点D ，三棱锥外接球球心在过点D 与平面ABC 垂直的直线上，即在平面P AB 内，所以球心即为△P AB 的外接圆圆心，球的半径即为△P AB 的外接圆半径R ，因为PD ⊥PB ，PB ＝PD ＝2，所以BD =2√2，从而AD =2√2，设P A ＝x ，在△P AD 中，根据余弦定理有PA 2=22+(2√2)2−2×2×2√2cos3π4=20，所以PA =2√5， 由正弦定理得2R =2√5sin∠PBA =2√10，所以R =√10，所以三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝40π．故答案为：40π．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知复数z 1＝t +（t 2﹣1）i ，z 2＝sin θ+（2cos θ+1）i ，其中t ∈R ，θ∈[0，π]．（1）若z 1，z 2∈R 且z 1＞z 2，求t 的值；（2）若z 1＝z 2，求θ．解：（1）由z 1，z 2∈R 且z 1＞z 2，可得{t 2−1=2cosθ+1=0t ＞sinθ，且θ∈[0，π]，解得t ＝1； （2）因为z 1＝z 2，所以{t =sinθt 2−1=2cosθ+1θ∈[0，π]，解得cos θ＝﹣1，所以θ＝π．18．（12分）某型号新能源汽车近期升级一项新技术，现随机抽取了100名该技术的体验用户对该技术进行评分（满分100分），所有评分数据按照[84，88），[88，92），[92，96），[96，100]进行分组得到了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并根据频率分布直方图，估计对该技术的评分的中位数；（2）现从评分在[84，88），[96，100]内的体验用户中按人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求这2人中至少有一人评分在[84，88）内的概率．解：（1）因为4（0.025+0.075+0.1+a ）＝1，解得a ＝0.05，易得评分在[84，92）内的频率为4（0.025+0.075）＝0.4＜0.5，评分在[84，96）内的频率为4（0.025+0.075+0.1）＝0.8＞0.5，所以中位数在区间[92，96）内，则中位数为92+0.5−0.40.8−0.4×4=93；（2）易知这6人中评分在[84，88）内的有2人，记为x 、y ，评分在[96，100]内的有4人，记为a ，b ，c ，d ，则从这6人中随机抽取2人有：xy 、xa 、xb 、xc 、xd 、ya 、yb 、yc 、yd 、ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd 共15种情况，其中至少有一人评分在[84，88）内的有：xy 、xa 、xb 、xc 、xd 、ya 、yb 、yc 、yd 共9种情况，则这2人中至少有一人评分在[84，88）内的概率P =915=35． 19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是A 1B 1，AB ，AD 的中点．（1）求平面AEC 截正方体所得截面面积；（2）证明：平面AEC ⊥平面MEF ．解：（1）平面AEC 截正方体所得截面为梯形ACQE ，其中Q 为B 1C 1的中点，由题易知AC ＝2√2，EQ =√2，OC ＝AE =√5，∴梯形的高h =√5−12=√92=3√22，所以截面面积为√2+2√22×3√22=92． 证明：（2）连接BD ，∵M ，F 为AD ，AB 的中点，∴MF ∥BD ，在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴AC ⊥MF ，∵E ，F 分别是A 1B 1，AB 的中点，∴EF ∥AA 1，∵AA1⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥AC，又∵EF∩MF＝F，∴AC⊥平面MEF，又∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面MEF．20．（12分）如图所示，四边形ABCD的外接圆为圆O，BC＝2，AC＝3，tan B＝﹣2√2．（1）求sin∠ACB；（2）若∠COD＝∠AOD，求AD的长．解：（1）由tanB=−2√2，可得sinB=2√23，cosB=−13，设AB＝c（c＞0），在△ABC中，由余弦定理得9=4+c2−4c×(−13)，即c2+43c−5=0，解得c＝﹣3（舍去）或c=5 3，由正弦定理得sin∠ACB=c⋅sinB3=53×2√233=10√227．（2）∵∠COD＝∠AOD，∴AD＝CD，由已知得∠B+∠ADC＝π，∴cos∠ADC=1 3，设AD＝CD＝m（m＞0），在△ACD中，由余弦定理得9=m2+m2−2m2×13=43m2，所以m2=27 4，所以m=3√32，即AD=3√32．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PD＝AB＝3AD＝3．（1）求点A到平面PBC的距离．（2）若E是P A的中点，F是PB上靠近点P的三等分点，棱PB上是否存在一点G使CG∥平面DEF？证明你的结论并求BG的长．解：（1）因为AD∥BC，AD∉平面PBC，所以AD∥平面PBC，所以点A到平面PBC的距离即点D到平面PBC的距离，作DM⊥PC，垂足为M，如下图所示：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，又BC⊥CD，CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD，且交线为PC，又DM⊂平面PCD，所以DM⊥平面PBC，点D到平面PBC的距离即DM，在等腰直角△PCD中，PD＝CD＝3，所以DM=3×332=3√22，即点A到平面PBC的距离为3√2 2．证明：（2）存在满足条件的点G，且点G为线段PB上靠近点B的三等分点，证明如下：连接AC，BD交于点O，连接OG，AG，因为点F，G是PB的三等分点，所以F为PG的中点，G为BF的中点，在矩形ABCD中，O为BD的中点，所以OG∥DF，OG∉平面DEF，所以OG∥平面DEF，因为点E为P A的中点，所以EF∥AG，AG∉平面DEF，所以AG∥平面DEF，又因为OG∩AG＝G，OG，AG⊂平面ACG，所以平面ACG∥平面DEF，又因为CG⊂平面ACG，所以CG∥平面DEF，因为PB=√12+32+32=√19，所以BG=√193．22．（12分）某商场为鼓励大家消费，举行摸奖活动，规则如下：凭购物小票一张，每满58元摸奖一次，从装有除颜色外完全相同的1个红球和4个白球的箱子中一次性随机摸出两个小球，若两球中含有红球，则为中奖，否则为不中奖．每次摸奖完毕后，把小球放回箱子中．甲、乙共有购物小票一张，购物金额为m 元，两人商量，先由一人摸奖，若中奖，则继续摸奖，若不中奖，就由对方接着摸奖，并通过掷一枚质地均匀的硬币决定第一次由谁摸奖．（1）若m ＝60，求这两人中奖的概率；（2）若m ＝240，求第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖的概率．解：（1）记1个红球为a ，4个白球分别为b ，c ，d ，e ．则从箱子中随机摸出两球，样本点有：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10个样本点 其中含有红球的为：ab ，ac ，ad ，ae ，共4个样本点，所以在一次摸奖中，中奖概率为410=25． 当m ＝60时，甲、乙两人只能摸奖一次，所以他们中奖的概率为25．（2）当m ＝240时，他们可以摸奖4次．记事件第i 次由甲摸奖为A i （i ＝1，2，3，4），记第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖为事件B ， 则B =A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4，所以P(B)=P(A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4)，=P(A 1A 2A 3A 4)+P(A 1A 2A 3A 4)+P(A 1A 2A 3A 4)+P(A 1A 2A 3A 4)，=12×(25)3+12×25×35×35+12×35×35×25+12×35×25×35 =31125．。

2022-2023学年福建省龙岩市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z ＝a +3i ，z =2+bi(a ，b ∈R)，则a +b ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．52．已知向量a →，b →，满足|a →|=3，|b →|=4，a →与b →的夹角的余弦值为34，则向量a →在向量b →上的投影向量为（ ） A ．a →B ．3a →C ．94b →D ．916b →3．从长度为1，3，7，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．454．已知某班40名学生某次考试的数学成绩依次为x 1，x 2，x 3，…，x 40，经计算全班数学平均成绩x =90，且∑ 40i=1x i 2=324400，则该班学生此次数学成绩的标准差为（ ）A ．20B ．2√5C ．10D ．√105．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（ ）A ．若E ∈BD 1，F ∈BD ，则EF ⊥ACB ．若E ∈BD 1，F ∈BD ，则平面BEF ⊥平面A 1BC 1C ．若E ∈AC ，F ∈CD 1，则EF ∥AD 1 D ．若E ∈AC ，F ∈CD 1，则EF ∥平面A 1BC 16．闽西革命烈士纪念碑，坐落在福建省龙岩市城西虎岭山闽西革命烈士陵园内，1991年被列为第三批省级文物保护单位，其中央主体建筑集棱台，棱柱于一体，极具对称之美．某同学准备在陵园广场上对纪念碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图（如图），纪念碑的最顶端记为A 点，纪念碑的最底端记为B 点（B 在A 的正下方），在广场内（与B 在同一水平面内）选取C ，D 两点，测得CD 的长为15米，∠ACB ＝45°，∠CBD ＝30°，∠ADB ＝30°，则根据以上测量数据，可以计算出纪念碑高度为（ ）A ．14米B ．15米C ．16米D ．17米7．已知等边三角形ABC 的边长为4，D 为BC 的中点，将△ADB 沿AD 折到△ADB 1，使得△B 1CD 为等边三角形，则直线B 1D 与AC 所成的角的余弦值为（ ） A ．−√32B ．0C ．12D ．148．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 2B +cos B cos （A ﹣C ）＝sin A sin C ，a =2√3，则△ABC 周长的取值范围是（ ） A ．(6√3，6+6√3) B ．(3+3√3，6+6√3) C ．(3+3√3，9√3)D ．(6√3，9√3)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知复数z 满足z •（1﹣3i ）＝10，则（ ） A ．|z|=√10B ．z 的虚部为3iC ．z −3(cos π4+isin π4)2=1D ．复数z 在复平面内对应的点位于第二象限10．新型冠状病毒阳性即新型冠状病毒核酸检测结果为阳性，其中包括无症状感染者和确诊病例．如图是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人数的折线统计图，则（ ）A ．本地新增阳性人数最多的一天是10日B ．本地新增确诊病例的极差为84C ．本地新增确诊病例人数的中位数是46D ．本地新增无症状感染者的平均数大于本地新增确诊病例的平均数11．已知M 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面内一点，t =(MA →+MC →)⋅(MB →+MD →)，则下列结论正确的是（ ）A ．当M 为正六边形ABCDEF 的中心时，t =12B ．t 的最大值为4C ．t 的最小值为−14 D ．t 可以为012．如图，水平放置的正方形ABCD 边长为1，先将正方形ABCD 绕直线AB 向上旋转45°，得到正方形ABC 1D 1，再将所得的正方形绕直线BC 1向上旋转45°，得到正方形A 2BC 1D 2，则（ ）A ．直线A 2C 1∥平面ABCDB ．D 2到平面ABCD 的距离为1+√22C ．点A 到点D 2的距离为3−√2D ．平面A 2BC 1D 2与平面ABCD 所成的锐二面角为60°三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．方程x 2+2x +3＝0在复数范围内的根为 ．14．数据13，11，12，15，16，18，21，17的第三四分位数为 ．15．为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校团委举办“强国复兴有我”——党的二十大精神知识竞答活动．某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关二十大精神知识的问题．已知甲同学答对的概率是12，甲、丙两位同学都答错的概率是16，乙、丙两位同学都答对的概率是13．若各同学答题正确与否互不影响．则甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为 ．16．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，DB ⊥AB ，AB ＝DB ＝BP ＝PC ＝2．记四面体P ﹣BCD 的外接球的球心为O ，M 为球O 表面上的一个动点，当∠MAO 取最大值时，四面体M ﹣ABD 体积的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在△ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝4，AP →=λAB →(0≤λ≤1)．（1）当λ=23时，用CA →，CB →表示CP →；（2）求CP →⋅(CA →+CB →)的值．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AA 1＝AB ＝4，BC ＝3． （1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧面积；（2）设D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面BC 1D ．19．（12分）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是34，得到黄球或蓝球的概率是12．（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色． （i ）写出该试验的样本空间Ω；（ii ）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由．20．（12分）某大型企业为员工谋福利，与某手机通讯商合作，为员工办理流量套餐．为了解该企业员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100名员工近一周每人手机日平均使用流量L （单位：M ）的数据，其频率分布直方图如图：若将每位员工的手机日平均使用流量分别视为其手机日使用流量，回答以下问题． （1）求这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数、中位数；（2）在办理流量套餐后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男员工20名，其手机日使用流量的平均数为800M ，方差为10000；抽取了女员工40名，其手机日使用流量的平均数为1100M ，方差为40000．（ⅰ）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m ，x ，s 12；n ，y ，s 22，记总的样本平均数为ω，样本方差为s 2．证明：s 2=1m+n{m[s 12+(x −ω)2]+n[s 22+(y −ω)2]}．（ⅱ）用样本估计总体，试估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数和方差．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为3的正方形，侧面PBC ⊥底面ABCD ． （1）若∠PBC ＝90°，求证：AC ⊥PD ；（2）若AC 与平面PCD 所成角为30°，求点A 到直线PC 的距离．22．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点D 在边AB 上，∠A =π4，BD ＝CD ，AD ＝2．（1）若BD =√53b ，求c ；（2）若a =2√2，求△ABC 的面积．2022-2023学年福建省龙岩市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z ＝a +3i ，z =2+bi(a ，b ∈R)，则a +b ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．5解：复数z ＝a +3i ，z =2+bi ，由共轭复数的定义可知，a ＝2，b ＝﹣3，则有a +b ＝2﹣3＝﹣1． 故选：A ．2．已知向量a →，b →，满足|a →|=3，|b →|=4，a →与b →的夹角的余弦值为34，则向量a →在向量b →上的投影向量为（ ）A ．a →B ．3a →C ．94b →D ．916b →解：因为向量a →，b →，满足|a →|=3，|b →|=4，a →与b →夹角的余弦值为34，所以向量a →在向量b →上的投影向量为a →⋅b →|b →|b→|b →|=3×4×344×b→4=916b →．故选：D ．3．从长度为1，3，7，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45解：五条线段中任取3条有C 53种结果，这些结果等可能出现．要使选出的三条线段可构成三角形，则两条较小边的和要大于第三边， 故只有：（3，7，8），（3，7，9），（3，8，9），（7，8，9）这四种可能， 故所求概率为P =4C 53=410=25． 故选：B ．4．已知某班40名学生某次考试的数学成绩依次为x 1，x 2，x 3，…，x 40，经计算全班数学平均成绩x =90，且∑ 40i=1x i 2=324400，则该班学生此次数学成绩的标准差为（ ）A ．20B ．2√5C ．10D ．√10解：已知某班40名学生某次考试的数学成绩依次为x 1，x 2，…，x 40，因为全班数学平均成绩x =90，且∑ 40i=1x i 2=324400，所以该班学生此次数学成绩的标准差s=√∑(x i−x)240i=140=√∑x i2−2x∑40i=1x i+40x240i=140=√∑x i2−2x⋅40x+40x240i=140=√∑x i2−40x240i=140=√324400−40×90240=√10．故选：D．5．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（）A．若E∈BD1，F∈BD，则EF⊥ACB．若E∈BD1，F∈BD，则平面BEF⊥平面A1BC1C．若E∈AC，F∈CD1，则EF∥AD1D．若E∈AC，F∈CD1，则EF∥平面A1BC1解：对于A，如图所示：若E∈BD1，F∈BD，则EF⊂平面B1D1DB，因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则DD1⊥AC，又AC⊥BD，且DD1∩BD＝D，DD1⊂平面B1D1DBBD⊂平面B1D1DB，所以AC⊥平面B1D1DB，又EF⊂平面B1D1DB，所以EF⊥AC，故A正确；对于B，若E∈BD1，F∈BD，则EF⊂平面B1D1DB，由正方体的性质得AC⊥平面B1D1DB，又A1C1∥AC，则A1C1⊥平面B1D1DB，即A1C1⊥平面A1BC1，又A1C1⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面A1BC1，故B正确；对于C，当E∈AC，F∈CD1时，则EF⊂平面AD1C，则EF与AD1共面，不一定平行，故C错误；对于D，如图所示：若E∈AC，F∈CD1，则EF⊂平面AD1C，因为A1B∥D1C，AB⊄平面ACD1，D1C⊂平面ACD1，所以A1B∥平面ACD1，同理BC1∥平面ACD1，又A1B∩BC1＝B，所以平面A1BC1∥平面ACD1，又EF⊂平面ACD1，所以EF∥平面A1BC1，故D正确；故选：C．6．闽西革命烈士纪念碑，坐落在福建省龙岩市城西虎岭山闽西革命烈士陵园内，1991年被列为第三批省级文物保护单位，其中央主体建筑集棱台，棱柱于一体，极具对称之美．某同学准备在陵园广场上对纪念碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图（如图），纪念碑的最顶端记为A点，纪念碑的最底端记为B点（B在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C，D两点，测得CD的长为15米，∠ACB＝45°，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，则根据以上测量数据，可以计算出纪念碑高度为（）A．14米B．15米C．16米D．17米解：设AB＝h，在Rt△ABC中，因为∠ACB＝45°，所以△ABC为等腰直角三角形，所以BC＝AB＝h，在Rt△ABD中，因为∠ADB＝30°，所以BD=√3AB=√3ℎ，在△BCD中，由余弦定理知，CD2＝BD2+BC2﹣2BD•BD cos∠CBD，所以152＝（√3ℎ）2+h2﹣2•√3ℎ•h cos30°，解得h＝15米．故选：B ．7．已知等边三角形ABC 的边长为4，D 为BC 的中点，将△ADB 沿AD 折到△ADB 1，使得△B 1CD 为等边三角形，则直线B 1D 与AC 所成的角的余弦值为（ ） A ．−√32B ．0C ．12D ．14解：分别取CD ，B 1C ，AD 的中点E ，F ，G ，连接GF ，DF ，EF ，GE ， 则GE ∥AC ，EF ∥B 1D 且EF =12B 1D =1，GE =12AC =2，DF =GD =√3， 所以直线AC 与B 1D 所成的角为∠GEF （或其补角），由题意可知：AD ⊥CD ，AD ⊥B 1D ，B 1D ∩CD ＝D ，B 1D ，CD ⊂平面B 1CD ， 所以AD ⊥平面B 1CD ，且DF ⊂平面B 1CD ，可得AD ⊥DF ，则GF =√GD 2+DF 2=√6，在△GEF 中，由余弦定理可得cos ∠GEF =GE 2+EF 2−GF 22GE⋅EF =4+1−62×2×1=−14，所以直线B 1D 与AC 所成的角的余弦值为14．故选：D ．8．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 2B +cos B cos （A ﹣C ）＝sin A sin C ，a =2√3，则△ABC 周长的取值范围是（ ） A ．(6√3，6+6√3) B ．(3+3√3，6+6√3) C ．(3+3√3，9√3)D ．(6√3，9√3)解：∵cos 2B +cos B cos （A ﹣C ）＝sin A sin C ∴cos B [cos B +cos （A ﹣C ）]＝sin A sin C ，∵A +B +C ＝π，∴cos B [﹣cos （A +C ）+cos （A ﹣C ）]＝sin A sin C ， cos B [（sin A sin C ﹣cos A cos C ）+（sin A sin C +cos A cos C ）]＝sin A sin C 2cos B sin A sin C ＝sin A sin C ，∵0＜A ，C ＜π2，∴sin A ＞0，sin C ＞0， ∴cosB =12，∴B =π3， 由正弦定理得a sinA=b sinB=c sinC，∴b =asinB sinA =2√3×√32sinA =3sinA ，c =asinCsinA ，∴△ABC 的周长为a +b +c =3sinA +2√3sinCsinA+2√3=3sinA +2√3sin(2π3−A)sinA +2√3=3+2√3(√32cosA+12sinA)sinA+2√3=3(1+cosA)+√3sinA sinA +2√3=6cos 2A 22sin A 2cos A2+3√3 =3tan A 2+3√3 ∵{0＜A ＜π20＜2π3−A ＜π2⇒π6＜A ＜π2⇒π12＜A 2＜π4⇒2−√3＜tan A 2＜1， ∴△ABC 的周长为a +b +c ∈(3+3√3，6+6√3)， 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知复数z 满足z •（1﹣3i ）＝10，则（ ） A ．|z|=√10B ．z 的虚部为3iC ．z −3(cos π4+isin π4)2=1D ．复数z 在复平面内对应的点位于第二象限解：z •（1﹣3i ）＝10，则z =101−3i =10(1+3i)(1−3i)(1+3i)=1+3i ，|z|=√12+32=√10，故A 正确； z 的虚部为3，故B 错误；(cos π4+isin π4)2=12(1+i)2=i ，故z −3(cos π4+isin π4)2=1+3i −3i =1，故C 正确； 复数z 在复平面内对应的点（1，3）位于第一象限，故D 错误． 故选：AC ．10．新型冠状病毒阳性即新型冠状病毒核酸检测结果为阳性，其中包括无症状感染者和确诊病例．如图是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人数的折线统计图，则（ ）A ．本地新增阳性人数最多的一天是10日B ．本地新增确诊病例的极差为84C ．本地新增确诊病例人数的中位数是46D ．本地新增无症状感染者的平均数大于本地新增确诊病例的平均数解：对于A ，由图可得2日至16日新增阳性人数依次为8，15，44，63，120，72，30，59，131，66，95，85，99，102，92，其中本地新增阳性人数最多的一天是10日，故A 正确．对于B ，由图可知本地新增确诊病例的极差为90﹣6＝84，故B 正确．对于C ，由图可知本地新增确诊病例人数从小到大排列依次为6，10，14，14，20，33，40，46，51，72，81，82，90，90，90，则中位数为第8个数46，故C 正确．对于D ，由图可知本地新增无症状感染者的平均数为：0+5+30+43+69+39+16+13+49+26+15+4+9+12+2015≈23，本地新增确诊病例的平均数为6+10+14+20+51+33+14+46+82+40+90+81+90+90+7215≈49，所以本地新增无症状感染者的平均数小于本地新增确诊病例的平均数，故D 错误． 故选：ABC ．11．已知M 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面内一点，t =(MA →+MC →)⋅(MB →+MD →)，则下列结论正确的是（ ）A ．当M 为正六边形ABCDEF 的中心时，t =12B ．t 的最大值为4C ．t 的最小值为−14D ．t 可以为0解：以O 为原点，以AD 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图， ∵正六边形边长为1， ∴A(−1，0)，B(−12，−√32)，C(12，−√32)，D(1，0)，设M （x ，y ），则MA →=(−1−x ，−y)，MC →=(12−x ，−√32−y)，MB →=(−12−x ，−√32−y)，MD →=(1−x ，−y)，∴MA →+MC →=(−12−2x ，−√32−2y)，MB →+MD →=(12−2x ，−√32−2y)，t =(MA →+MC →)⋅(MB →+MD →) =(−12−2x)(12−2x)+(−√32−2y)2， =4x 2−14+4y 2+2√3y +34 =4x 2+4y 2+2√3y +12=4x 2+4(y +√34)2−14≥−14， 当x =0，y =−√34时，t 的最小值为−14，故C 对，当M 为正六边形的中心时，即x ＝y ＝0时，t =12，故A 对， ∵t ∈[−14，+∞)．∴t 可以为0，t 没有最大值，∴故D 对，B 错， 故选：ACD ．12．如图，水平放置的正方形ABCD 边长为1，先将正方形ABCD 绕直线AB 向上旋转45°，得到正方形ABC 1D 1，再将所得的正方形绕直线BC 1向上旋转45°，得到正方形A 2BC 1D 2，则（ ）A ．直线A 2C 1∥平面ABCDB ．D 2到平面ABCD 的距离为1+√22C ．点A 到点D 2的距离为3−√2D ．平面A 2BC 1D 2与平面ABCD 所成的锐二面角为60°解：由已知条件中的旋转，可将正方形ABC 1D 1放于两个全等正方体的公共面上， 正方形ABCD 和正方形A 2BC 1D 2的位置如图所示，连接MD 1，PC 1，P A ，PC 1，A 2C 1，如图所示，因为平面ABCD ∥平面MD 1C 1P ，直线A 2C 1与平面MD 1C 1P 相交， 则直线A 2C 1与平面ABCD 相交，所以A 选项错误；平面A 2BC 1D 2与平面ABCD 所成的锐二面角可转化为平面A 2BC 1D 2与平面MD 1C 1P 所成的锐二面角， MP ⊥平面MAD 1N ，AN ⊂平面MAD 1N ，MP ⊥AN ，正方形MAD 1N 中，MD 1⊥AN ， MD 1，MP ⊂平面MD 1C 1P ，MD 1∩MP ＝M ，AN ⊥平面MD 1C 1P ， 同理，AP ⊥平面A 2BC 1D 2，平面A 2BC 1D 2与平面MD 1C 1P 所成的锐二面角，等于直线AP 与AN 所成的角， 由△APN 为等边三角形，可得所求锐二面角的平面角为60°，故选项D 正确．过D 2作D 2H ∥C 1D 1，则有D 2H ∥AB ，D 2H ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，D 2H ∥ABCD ， D 2到平面ABCD 的距离等价于H 到平面ABCD 的距离，如图所示，CB ＝C 1D 2＝1，∠BFC 1＝∠D 2C 1H ＝45°，则C 1H =√22，CF =√2−1，点C 到HF 的距离为1−√22， S △HBC =S △HBF −S △HCF =12×(1+√22)×1−12×(1+√22)×(1−√22)=1+√24，S △ABC =12×1×1=12设H 到平面ABCD 的距离为h ，根据等体积关系V H ﹣ABC ＝V A ﹣HBC ， 有13ℎS △ABC =13⋅AB ⋅S △HBC ，解得ℎ=1+√22， 由此得D 2到平面ABCD 的距离为1+√22，故B 选项正确；连接D 1D 2、AD 2，如图所示，△D 2D 1C 1中，D 1C 1＝1，D 2D 1＝1，∠D 2C 1D 1＝45°，由余弦定理得D 1D 22=D 2C 12+D 1C 12−2D 2C 1⋅D 1C 1cos∠D 2C 1D 1=2−√2，在Rt △AD 1D 2中，AD 2=√AD 12+D 1D 22=√3−√2，故C 选项错误．故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．方程x 2+2x +3＝0在复数范围内的根为 −1±√2i ．解：方程x 2+2x +3＝0在复数范围内的根为x =−2±2√2i2=−1±√2i ． 故答案为：−1±√2i ．14．数据13，11，12，15，16，18，21，17的第三四分位数为 17.5 ． 解：这组数据共8个数，从小到大排列是11，12，13，15，16，17，18，21， 8×34=6，所以第三四分位数是第6个数和第7个数的平均数，即17+182=17.5． 故答案为：17.5．15．为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校团委举办“强国复兴有我”——党的二十大精神知识竞答活动．某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关二十大精神知识的问题．已知甲同学答对的概率是12，甲、丙两位同学都答错的概率是16，乙、丙两位同学都答对的概率是13．若各同学答题正确与否互不影响．则甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为712．解：设甲同学答对的事件为A ，答错的事件为A ，设乙同学答对的事件为B ，答错的事件为B ，丙同学答对的事件为C ，答错的事件为C ，因为甲同学答对的概率是12，甲、丙两位同学都答错的概率是16，乙、丙两位同学都答对的概率是13，所以P （A ）=12，P （A ）P （C ）=16，P(BC)=P(B)⋅P(C)=13， 解得P （C ）=23，P （B ）=12， 至少2位同学答对这道题的概率为： P =P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=12×23×12+12×13×12+12×23×12+12×23×12=712， 故答案为：712．16．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，DB ⊥AB ，AB ＝DB ＝BP ＝PC ＝2．记四面体P ﹣BCD 的外接球的球心为O ，M 为球O 表面上的一个动点，当∠MAO 取最大值时，四面体M ﹣ABD 体积的最大值为4√1015．解：依题可得，四面体P ﹣BCD 的外接球的球心O 为BC 中点，外接球半径r =√2，要使∠MAO 取到最大值，则∠AMO ＝90°，即AM 与球O 相切时， ∴sin ∠MAO =rAO ， 在△ABO 中，AO 2=AB 2+BO 2−2AB ⋅BO ⋅cos∠ABO =4+2−2⋅2⋅√2⋅cos135°=10， ∴AO =√10， ∴sin ∠MAO =r AO =√210=√55，∴AM =√AO 2−r 2=√10−2=2√2， 过M 作MH ⊥AO ，垂足为H ，∴点M 在以H 为圆心MH 为半径的圆上， 又MH =AM ⋅sin ∠MAO =2√2×√55=2√105， ∴四面体M ﹣ABD 体积的最大值为13⋅S △ABD ⋅MH =13⋅12⋅2⋅2⋅2√105=4√1015．故答案为：4√105． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在△ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝4，AP →=λAB →(0≤λ≤1)．（1）当λ=23时，用CA →，CB →表示CP →；（2）求CP →⋅(CA →+CB →)的值． 解：（1）当λ=23时，AP →=23AB →，则CP →=CA →+AP →=CA →+23AB →=CA →+23(CB →−CA →) =13CA →+23CB →； （2）法一：∵CP →=CA →+λAB →=CA →+λ(CB →−CA →)=（1﹣λ）CA →+λCB →，cos ∠ACB =62+62−422×6×6=79，∴CA →⋅CB →=6×6×79=28，∴CP →⋅(CA →+CB →)=[(1−λ)CA →+λCB →]⋅(CA →+CB →) =(1−λ)CA →2+(1−λ)CA →⋅CB →+λCA →⋅CB →+λCB →2 ＝36﹣36λ+28﹣28λ+28λ+36λ ＝64；法二：取AB 中点D ，则CA →+CB →=2CD →，且CD ⊥AB ，∴CP →⋅(CA →+CB →)=2CP →⋅CD →=2(CD →+DP →)⋅CD →=2CD →2+0=2CD →2， 因为AC ＝BC ＝6，AB ＝4， 所以CD =√36−4=√32， 所以CP →⋅(CA →+CB →)=64．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AA 1＝AB ＝4，BC ＝3． （1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧面积；（2）设D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面BC 1D ．证明：（1）因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱， 所以侧面BCC 1B 1，BAA 1B 1，CAA 1C 1均为矩形，又AB ⊥BC ，所以△ABC ，△A 1B 1C 1均为直角三角形， 又AA 1＝AB ＝4，BC ＝3，∴AC =√AB 2+BC 2=√42+32=5，所以三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧面积为（AB +BC +AC ）•AA 1＝（3+4+5）×4＝48． 所以三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧面积为48． （2）连接B 1C ，设B 1C ∩BC 1＝O ，连接OD ， ∵四边形BCC 1B 1为矩形， ∴O 为B 1C 的中点，∵D 为AC 的中点，∴OD ∥AB 1， ∴AB 1⊄平面BC 1D ，OD ⊂平面BC 1D ， ∴AB 1∥平面BC 1D ．19．（12分）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是34，得到黄球或蓝球的概率是12．（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色． （i ）写出该试验的样本空间Ω；（ii ）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由．解：（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件A ，B ，C ， 因为A ，B ，C 为两两互斥事件，由已知得{ P(A)+P(B)+P(C)=1P(A)+P(B)=34P(B)+P(C)=12，解得{ P(A)=12P(B)=14P(C)=14，∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1；（2）（i ）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用a 表示黄球，用b 表示蓝球，m 表示第一次取出的球，n 表示第二次取出的球，（m ，n ）表示试验的样本点，则样本空间Ω＝{（1，1），（1，2），（1，a ），（1，b ），（2，1），（2，2），（2，a ），（2，b ），（a ，1），（a ，2），（a ，a ），（a ，b ），（b ，1），（b ，2），（b ，a ），（b ，b ）}；（ii ）由（i ）得n （Ω）＝16，记“取到两个球颜色相同”为事件M ，“取到两个球颜色不相同”为事件N ，则n （M ）＝6， 所以P(M)=616=38， 所以P(N)=1−P(M)=1−38=58， 因为58＞38，所以此游戏不公平．20．（12分）某大型企业为员工谋福利，与某手机通讯商合作，为员工办理流量套餐．为了解该企业员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100名员工近一周每人手机日平均使用流量L （单位：M ）的数据，其频率分布直方图如图：若将每位员工的手机日平均使用流量分别视为其手机日使用流量，回答以下问题． （1）求这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数、中位数；（2）在办理流量套餐后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男员工20名，其手机日使用流量的平均数为800M ，方差为10000；抽取了女员工40名，其手机日使用流量的平均数为1100M ，方差为40000．（ⅰ）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m ，x ，s 12；n ，y ，s 22，记总的样本平均数为ω，样本方差为s 2．证明：s 2=1m+n{m[s 12+(x −ω)2]+n[s 22+(y −ω)2]}．（ⅱ）用样本估计总体，试估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数和方差．解：（1）估计这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数450， 由频率分布直方图可知流量少于300M 的所占比例为30%， 流量少于400M 的所占比例为55%，故抽取的100名员工近一周每人手机日使用流量的中位数在[300，400）内， 则中位数为300+(400−300)×0.5−0.30.55−0.3=380．（2）（i ）证明：总样本的方差为：s 2=1m+n [∑(x i −ω)2+∑ n j=1(y j −ω)2mi=1] =1m+n [∑(x i −x)2+∑2(x i m i=1−x)(x −ω)+∑(x −ω)2mi=1+∑(y i −y)2+nj=1mi=1∑2(y i −y)(y −ω)+∑(y −ω)2nj=1n j=1]由∑(x i −x)mi=1=∑x i −m m i=1x =0，可得：∑2(x i −x)(x −ω)=2mi=1(x −ω)∑(x i −x)=0mi=1， 同理可得∑2(y j −y)(y −ω)=0n j=1，故s 2=1m+n [∑(x i −x)2+∑(x −ω)2+∑(y j −y)2+nj=1mi=1∑ n j=1(y −ω)2mi=1]=1m+n{m[s 12+(x −ω)2]+n[s 22+(y −ω)2]}； （ii ）估计该企业全体员工手机日使用流量的平均数为：ω=20×800+40×110020+40=1000M ， 由（i ）知，估计该企业全体员工手机日使用流量的方差为： s 2=1m+n {m[s 12+(x −ω)2]+n[s 22+(y −ω)2]}=160{20[10000+(800−1000)2]+40[40000+(1100−1000)2]}=50000．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为3的正方形，侧面PBC ⊥底面ABCD ． （1）若∠PBC ＝90°，求证：AC ⊥PD ；（2）若AC 与平面PCD 所成角为30°，求点A 到直线PC 的距离．解：（1）证明：如图，连接BD，因为侧面PBC⊥底面ABCD，侧面PBC∩底面ABCD＝BC，PB⊥BC，PB⊂底面PBC，所以PB⊥底面ABCD，且AC⊂平面ABCD，可得AC⊥PB．在正方形ABCD中，AC⊥BD，PB∩BD＝B，BD⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，且PD⊂平面PBD，可得AC⊥PD．（2）因为AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD，过B作BM⊥PC，垂足为M，连接AM，因为侧面PBC⊥底面ABCD，侧面PBC∩底面ABCD＝BC，CD⊥BC，CD⊂底面ABCD，所以CD⊥底面PBC，且BM⊂底面PBC，可得BM⊥CD，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，可得BM⊥底面PCD，则A到平面PCD的距离即为B到平面PCD的距离BM，由AC 与平面PCD 所成的角为30°，则BM =ACsin30°=3√22， 又因为AB ∥CD ，则AB ⊥平面PBC ，且PC ，BM ⊂平面PBC ，可得AB ⊥PC ，AB ⊥BM ，BM ⊥PC ，AB ∩BM ＝B ，AB ，BM ⊂平面ABM ，所以PC ⊥平面ABM ，且AM ⊂平面ABM ，可得PC ⊥AM ， 即AM 的长度即为点A 到PC 的距离，可得AM =√AB 2+BM 2=√9+92=3√62 所以点A 到PC 的距离为3√62．22．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点D 在边AB 上，∠A =π4，BD ＝CD ，AD＝2．（1）若BD =√53b ，求c ；（2）若a =2√2，求△ABC 的面积．解：（1）在△ACD 中，∠A =π4，AD ＝2，CD =BD =√53b ，则由余弦定理得，CD 2=AD 2+AC 2−2AD ⋅ACcosA =22+b 2−4bcos π4=4+b 2−2√2b ，即(√53b)2=4+b 2−2√2b ，化简得2b 2−9√2b +18=0，解得b =3√2，或b =3√22．∴BD =√53b =√53×3√2=√10，或BD =√53b =√53×3√22=√102．∴c =AB =AD +BD =2+√10，或c =AB =AD +BD =2+√102， 综上可得c =2+√10，或c =2+√102．（2）在△BCD 中，BD ＝CD ，设∠B ＝∠BCD ＝θ，则∠BDC ＝π﹣2θ，∵a =2√2，由正弦定理得：a sin2θ=CD sinθ， ∴CD =asinθsin2θ=2√2sinθ2sinθcosθ=√2cosθ，在△ACD 中，∠ADC ＝2θ，∠ACD =3π4−2θ，由正弦定理得：AD sin∠ACD =CD sinA ，即2sin(3π4−2θ)=√2cosθsin π4，∴2×√22=√2cosθ×sin(34π−2θ)， ∴cosθ=sin(3π4−2θ)，即sin(π2−θ)=sin(3π4−2θ)，∵0＜θ＜π2，∴0＜π2−θ＜π2，−π4＜3π4−2θ＜3π4， ∴π2−θ=3π4−2θ，或π2−θ+3π4−2θ=π， 解得θ=π4或θ=π12，当θ=π4时，∠ACB =π2，AC =BC =2√2，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴△ABC 的面积为S △ABC =12×2√2×2√2=4； 当θ=π12，∠ACB =π−π12−π4=2π3， 在△ABC 中，由正弦定理得a sinA =c sin∠ACB ， ∴c =a sinA ⋅sinC =2√2√22√32=2√3，∴△ABC 的面积为S △ABC =12×2√2×2√3×sin π12=2√6×√6−√24=3−√3， 综上可得△ABC 的面积为4或3−√3．。

2024学年郑州市高一年级（下）期末考试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每道选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题p ：0x ∃>，0y >，使得不等式(5x y λ+>++成立，则命题p 成立的一个充分不必要条件可以是（）A.52λλ⎧⎪≥⎨⎪⎪⎩⎭B.53λλ⎧⎪≥⎨⎪⎪⎩⎭C.54λλ⎧⎪>⎨⎪⎪⎩⎭D.55λλ⎧⎪>⎨⎪⎪⎩⎭2.已知 1.30.920.9, 1.3,log 3a b c ===，则（）A.a c b <<B.c a b <<C .a b c<< D.c b a<<3.将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()()242h x g x x x =-+-的零点个数为（）A.1B.2C.3D.44.甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为123,,234且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（）A.14B.724C.1124D.17245.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A.sin ()2xf x = B.cos ()2xf x = C.()sin 12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.()cos 12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭6.在ABC 中，D 为BC 上一点，且3BD DC =，ABC CAD ∠=∠，2π3BAD ∠=，则tan ABC ∠=（）A.3913B.133C.33D.357.已知π02α<<，()2ππ1sin 2sin 2cos cos 2714αα+=，则α=（）A.3π14B.5π28C.π7D.π148.已知z 是复数，z 是其共轭复数，则下列命题中正确的是（）A.22z z= B.若1z =，则1i z --1+C.若()212i z =-，则复平面内z 对应的点位于第一象限D.若13i -是关于x 的方程20(R)x px q p q ++=∈,的一个根，则8q =-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.已知函数()()()sin 0,0,π2πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点()π0,1,,13⎛⎫-⎪⎝⎭，则（）A.11π6ϕ=B.3ω=C.()f x 在π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D.方程()()21f x a a =-<<-在0,π]［内恰有4个互不相等的实根10.已知a ，b ，c是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（）A.一定存在实数x ，y 使得a xb yc =+成立B.若a b a c ⋅=⋅，那么一定有()a b c⊥- C.若()()a c b c -⊥-，那么2a b a b c-=+- D .若()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ，那么a ，b ，c 一定相互平行11.已知函数2()2sin cos 23cos f x x x x =-，则下列结论中正确的有（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.()f x 的对称轴为ππ32k x =+，k ∈Z C.()f x 的对称中心为ππ(0)3,2k +，k ∈ZD.()f x 的单调递增区间为π5π[π,π]1212k k -++，k ∈Z 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知142x y >->-，，且21x y +=，则19214x y +++的最小值为_________.13.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R ，球冠的高是h ，球冠的表面积公式是2πS Rh =，如图2，已知,C D 是以AB 为直径的圆上的两点，π,6π3COD AOC BOD S ∠=∠==扇形，则扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体的表面积为__________.14.已知点O 是ABC 的外心，60BAC ∠=︒，设AO mAB nAC =+，且实数m ，n 满足42m n +=，则mn 的值是___________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,a b R ∈且0a >，函数4()4x xbf x a+=-是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）对任意(0,)x ∈+∞，不等式()02x mf x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.16.本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，得到如图所示频率分布直方图.（1）估计该校高二学生数学成绩的平均数和85%分位数；（2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在[)60,70的概率.17.已知ABC 的面积为9，点D 在BC 边上，2CD DB =．（1）若4cos 5BAC ∠=，AD DC =，①证明：sin 2sin ABD BAD ∠=∠；②求AC ；（2）若AB BC =，求AD 的最小值．18.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r，2AFFB =.（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为33，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.19.已知),cos2a x x =，()2cos ,1b x =- ，记()()R f x a b x =⋅∈（1）求函数()y f x =的值域；（2）求函数()y f x =，[]0,πx ∈的单调减区间；（3）若()π24F x f x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，π0,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恰有2个零点12,x x ，求实数m 的取值范围和12x x +的值．2024学年郑州市高一年级（下）期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每道选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

2023-2024学年四川省内江市高一下学期期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某高中生创新能力大赛中8位选手的面试得分分别为90,86,93,91,89,95,92,94，其中位数和极差分别为( )A. 90，8B. 91.5，9C. 91，9D. 91.5，82.若复数z 满足z =i1−2i ，则z 的虚部为( )A. i5B. −25C. −i5D. −153.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图､90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( )A. 互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比80后多B. 90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业从业人员中90后占一半以上4.已知函数g (x )=2sin 2x ，函数f (x )=A sin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，要得到f (x )的图象，只需将函数g (x )的图象( )A. 向左平移π6个单位B. 向右平移π6个单位C. 向右平移π3个单位D. 向左平移π3个单位5.内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔.它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年(公元1804年)得以重建，历时三年竣工.三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神.内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点C与D与塔底B在同一水平面，并测得CD=202米，∠BCD=15∘,∠BDC=120∘，在点C处测得塔顶A的仰角为60∘，则塔高AB=( )A. 106米B. 103米C. 203米D. 60米6.在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若AF=x AB+49AD，则x= ( )A. 45B. 23C. 79D. 587.暑假即将来临，某校为开展学生的社会实践活动，从甲､乙､丙､丁､戊5人中随机选3人去参加“敬老院志愿服务”活动，则乙和丙两人中只有1人入选的概率为( )A. 12B. 23C. 34D. 358.已知向量a，向量b的模长均为2，且|a−b|=|a|.若向量m=a−2c,n=c−b，且m⊥n，则|c|的最大值是( )A. 72+3 B. 52+3 C. 7+32D. 94二、多选题：本题共3小题，共15分。

2023-2024学年广东省部分学校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数，则()A. B. C. D.12.已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是个半圆，则此圆锥的体积为()A.3B.C.9D.3.已知正方体的棱长为2，E，F分别是BC和CD的中点.则两条平行线EF和间的距离为()A. B. C. D.4.端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件“甲端午节吃甜粽子”，记事件“乙端午节吃咸粽子”，且，事件A与事件B相互独立，则()A. B. C. D.5.菏泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展提供了不可多得的实物资料.沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐如图的高约为36cm，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成如图，圆台的上底直径约为20cm，下底直径约为40cm，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为()A. B. C. D.6.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为已知，，若P，Q的余弦距离为则()A. B. C. D.7.在棱长为1的正方体中，，E是线段含端点上的一动点，则①；②面；③三棱锥的体积为定值；④OE与所成的最大角为上述命题中正确的个数是()A.1B.2C.3D.48.已知正方体的棱长为2，M 是棱的中点，空间中的动点P 满足，且，则动点P 的轨迹长度为()A.B.3C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列有关复数的说法正确的是()A.若，则B.C.D.若，则的取值范围为10.已知点，，则下列结论正确的是()A.与向量垂直的向量坐标可以是B.与向量平行的向量坐标可以是C.向量在方向上的投影向量坐标为D.对，向量与向量所成角均为锐角11.在正方体中，，E 是棱的中点，则下列结论正确的是()A.若F 是线段的中点，则异面直线EF 与AB 所成角的余弦值是B.若F 为线段上的动点，则的最小值为C.若F 为线段上的动点，则平面ABF 与平面CDF 夹角的余弦值的取值范围为D.若F 为线段上的动点，且与平面ABCD 交于点G ，则三棱锥的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

成都七中高2026届高一下期数学期末考试参考答案一．单项选择题−14：CBDD −58：BCAB8．解析：设D 为BC 边中点，则23A A A AD O G O ⎛⎫= ⎪⎝⎭21()32A AO AC B =+()AB AO AC =+312211AB AC =+66=+b c 6()122, 在∆ABC 中,==︒a A 1,60,由余弦定理得=+−︒a b c bc 2cos 60222,∴+=+b c bc 122, 由均值不等式,+=+≥bc b c bc 1222,所以≤bc 1（当且仅当==b c 1等号成立）, 所以1111()(1)(11)6663A AG O c b bc =+=+≤+=22,故选B. 二．多项选择题9．BC 10．BCD 11．AC11．解析：A ：当⊥'AP A B 时，线段DP 长度最小，此时=AP =DP ，A 正确；B ：将面''A D CB 旋转至面'A AB 同一平面，连接AC ，此时+=AP PC AC 为最小值，=>=AC 不存在这样的点P ，故B 错误； C ：如图，取='B E 1，='B F 21，='A G 23，连接FG 交'A B 于P ，易证此时⊥'A C MN ，⊥'A C EN ，且M N E F G ,,,,五点共面．因为MN EN N =，面⊥'A C MNEFG ，所以存在这样的点P 使面⊥'A C MNP ，故C 正确； D ：以点B 为球心，617为半径的球面被面'AB C 所截的截面为圆形，记其半径为r ，则=r d 为点B 到平面'AB C 的距离．由=−−''V V B ABC B AB C 易求得B 到平面'AB C 的距离为34，解得=r 25，所以截面面积==ππS r 4252，D 错误．本题选AC 三．填空题12．1030013．π32814．+3214．解析：取AB 中点D ，则2AQ m AB nAC m AD nAC =+=+ ；连接CD 交AQ 于点E ，则()1AE AD AC λλ=+−，且()()1AQAQAQ AE AD AC λλ=⋅=⋅+−AE AE ，故+=AE m n AQ2．17．解：I ()设事件=A i “第i 回合甲胜”,事件=M “甲至少赢一回合”,故=M “甲每回合都输”.A A i i ,为对立事件,=P A i 32(),故=P A i 31)(. ……2分 =−=−P M P M P A A A ()1()1()123⎝⎭ ⎪=−=⎛⎫P A P A P A 3271=12631()()()-123， 故甲至少赢1个回合的概分为2726． ……5分(II)设事件=N “第二回合有人得分”，由题可知1212N A A A A =，且A A 12和A A 12互斥，则=+=⋅+⋅=P N P A A P A A P A P A P A P A 9()512121212)()()()()()(, 故第二回合有人得分的概分为95. ……10分 (III)设事件=Q “甲乙两人平局”，由题可知，只有1：1与0：0两种情况， 因此13123Q A A A A A A =2， 故=+=P Q P A A A P A A A P A P A P A ()221312313)()()()()(+=P A P A P A 274123)()()(, 故甲乙两人平局的概分为274. ……15分18．解：(I)由正弦定理得，+=a c b 2,222解得=b ….…4分又因为+−=−<b c a 20222，故=<+−bcA b c a 2cos 0222，>πA 2，所以△ABC 是钝角三角形． …………6分 (II)由平面向量基本定理，BA ，BC 可作为一组基底向量，且有2BA =，4BC =，cos ,cos BA BC B <>===+−ac a c b 285222．由于1AD AC =3，所以21BD BA BC =+33． …………8分 2222212152()2cos BD BD BD BA BA BC B BC ⎛⎫=⋅=⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅== ⎪33339． …………11分 (III) 由题意可设BM xBA = ，BN yBC = ．由于M ，D ，N 三点共线，可设(1)BD t BM t BN =−+，∈t 0,1)(．所以21(1)BD t x BA ty BC BA BC =−⋅+⋅=+33， 由平面向量基本定理，解得()−=t x 312 ，=ty 31 ，所以()2BM BA =−t 31 ，1BN BC =t 3 ． …………13分因此()212BM BN BA BC BA BC ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−−⋅t t t t 3139(1)， …………15分 而cos 50BA BC BA BC B ⋅=⋅⋅=>，因此当=t 21时，40BM BN ⋅=9为最小值． ……17分19．证明：(I)因为面平⊥A D ABC 1，面平⊂BC ABC ，故⊥A D BC 1． ……2分 又由∠=︒ABC 90，即⊥AB BC ，1AB A D D =，因此面平⊥BC ABB A 11．……5分 (II)由于菱形ABB A 11，且A D 1为AB 的垂直平分线，因此可知△A AB 1和△B A B 11均为等边三角形．由面平⊥BC ABB A 1，⊂BB 1面平ABB A 1，可得⊥BC BB 1， 结合斜三棱柱进一步可得B BCC 11是矩形． …………6分此时作⊥A P BB 11，⊥A Q CC 11，连接PQ ，PC ，A C 1．由题知，=A Q 21，面平⊂A P ABB A 111，可得⊥BC A P 1，1BC BB B =，因此⊥A P 1平面BCC B 11，因此由题知，=A P 1，⊂PQ PC 平面BCC B 11，所以也有⊥A P PQ 1，⊥A P PC 1． 因此，角成所为面平与∠A CP A C BB C C 1111． …………8分进一步，在△R A PQ t 1 中，==Q P 1 ，由矩形可知==BC PQ 1 ．一一方面，由于=A P 1△B AB 1中，可以解得=BB 21，P 为BB 1中点，=BP 1．所以，在△R BCP t 中，PC △A CP R t 1中，=A C 1∠===A C A CP A P 5sin 111，值弦正的角成所面平与A C BBC C 111． ……11分 (III)延长EF ，C C1交于点M ，连接MB 1，交BC 于N ，连接FN ，如右图，故四边形B EFN 1即为所得截面． ………12分 由上一问可知，菱形ABB A 11的边长为2，矩形B BCC 11中=BC 1，平行四边形ACC A 11中==AA CC 211，===A C A C AC 111．要计算截面B EFN 1的面积，首先研究△B EM 1．在△A B E 11中，由于∠=︒EA B 12011，由余弦定理可得=B E 1，E F 为中点，因此===EM EF A C 21，此时有==MC AE 1，在直角△MB C 11中=MB 1，N 为BC 的三等分点． …………14分因此△B EM 1中，由余弦定理可得⋅⋅∠==+−EM MB EMB EM MB EB 25cos 1121221，所以可以计算得∠=EMB 5sin 1．设截面面积为S ，由于=MF ME 21，=MN MB 311，有△△△=−=⋅⋅∠−⋅⋅∠=S S S ME MB EMB MF MN EMB S B EM NFM B EM 226sin sin 11511111因此，此斜三棱柱被平面B EF 1 ……………17分。

2024年南通市高一学年度质量监测数学 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数()21i z a a =+−是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 1± 2. 下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是（ ）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差 3. 已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（ ）A. πB.C. 2πD. π4. 已知向量()2,4a =− ，()1,b x = ，若a b ∥，则||b = （ ）A. B. C. D. 5. 一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中的水果品种相同的概率为（ ）A. 110B. 15C. 25D. 126. 若π2cos 33α −= ，则πsin 26α −= （ ） A. 79− B. 19− C. 19 D. 797. 某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O 的正东方向A 处，测得旗杆顶端P 的仰角为60 ，在A 的南偏西30 方向上的B 处，测得P 的仰角为45 （O ，A ，B 在同一水平面内），A ，B 两点间的距离为20m ，则旗杆的高度OP 1.4≈ 1.7≈）（ ）A. 10mB. 14mC. 17mD. 20m8. 在锐角三角形ABC 中，2sin tan tan cos A B C C =+，则sin cos C A的取值范围为（ ）A. ∞ +B. +∞C. ()1,+∞D. ()2,+∞ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．下列命题为真命题的是（ ）A. 若222sin sin sin A B C +=，则ABC 为直角三角形B. 若sin sin a A b B =，则ABC 为等腰三角形C. 若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形D. 若sin cos cos AB C a b c==，则ABC 为等腰直角三角形 10. 已知a ，b ，c 为三条直线，α，β，γ为三个平面．下列命题为真命题的是（ ）A 若a c ⊥，b c ⊥，则a bB. 若a α ，a β⊂，b αβ= ，则a b C 若a α⊥，a β⊂，则αβ⊥ D. 若αγ⊥，βγ⊥，a αβ∩=，则a γ⊥ 11. 4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件A =“两个球颜色不同”，B =“两个球标号的和为奇数”，C =“两个球标号都不小于2”，则（ ）A. A 与B 互斥B. A 与C 相互独立C. ()()()P AB P AC P A +=D. ()()()()P ABC P A P B P C = 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 样本数据7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位数为________．13. 已知向量a ，b 满足2b = ，向量a 在b 上的投影向量为12b，则a b ⋅= ___________． 14. 以棱长为2的正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面体，已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为π4．该多面体的体积为________，其面数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，222a c b +=．..（1）求B ；（2）若c =，求tan C ．16. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，,E F 分别是棱,BC AP 的中点．（1）证明：PC BD ⊥；（2）证明：//EF 平面PCD ．17. 某班学生日睡眠时间（单位：h ）的频率分布表如下： 分组[7，7.5） [7.5，8） [8，8.5） [85，9] 频数4 x 20 y 频率a b 0.4 0.12（1）计算该班学生平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在[)7,7.5和[]8.5,9的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率． 18. 已知ABC 面积为9，点D 在BC 边上，2CD DB =．（1）若4cos 5BAC ∠=，AD DC =， ①证明：sin 2sin ABD BAD ∠=∠；②求AC ；（2）若AB BC =，求AD 的最小值．19. 如图，等腰梯形ABCD 为圆台1OO 的轴截面，E ，F 分别为上下底面圆周上的点，且B ，E ，D ，F 四点共面．.的的（1）证明：BF DE ；（2）已知2AD =，4BC =，四棱锥C-BEDF 的体积为3． ①求三棱锥B-ADE 的体积；②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D 的正弦值．。