矩阵知识点归纳
(一)二阶矩阵与变换
1．线性变换与二阶矩阵
在平面直角坐标系xOy 中，由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝ax ＋by ，
y ′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d 是常数)构成的变换
称为线性变换．由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
a
b c
d 称为二阶矩阵，其中a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A ，B ，C ，…或(a ij )表示(其中i ，j 分别为元素a ij 所在的行和列)．
2．矩阵的乘法
行矩阵[a 11a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则为[a 11a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤
a b c d 与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的乘法规则为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
ax ＋by cx ＋dy .矩阵乘法满足结合律，
不满足交换律和消去律．
3．几种常见的线性变换
(1)恒等变换矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 00 1；
(2)旋转变换R θ对应的矩阵是M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
cos θ －sin θsin θ cos θ；
(3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－1 0 0 1；若关于坐标原点对称，则变
换对应矩阵M 3＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－1 0 0 －1；
(4)伸压变换对应的二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
k 1 00 k 2，表示将每个点的横坐标变为原来的k 1倍，纵
坐标变为原来的k 2倍，k 1，k 2均为非零常数；
(5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1 00 0；
(6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky |个单位，则对应矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 k 0 1，
若沿y 轴平移|kx |个单位，则对应矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 0k 1.(其中k 为非零常数)．
4．线性变换的基本性质
设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λx λy ；设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x 2y 2，规定
向量α与β的和α＋β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x 1＋x 2y 1＋y 2.
(1)设M 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M (λα)＝λM α，②M (α＋β)＝M α＋M β.
(2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．
(二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量
1．矩阵的逆矩阵
(1)一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ，则称变换ρ可逆．并且称σ是ρ的逆变换．
(2)设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E ，则称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 的逆矩阵．
(3)(性质1)设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的．A 的逆矩
阵记为A －1
．
(4)(性质2)设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1
. (5)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .
(6)对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a b c d (ad －bc ≠0)，
它的逆矩阵为A －1
＝⎣⎢⎢⎡
⎦
⎥⎥⎤d ad －bc
－b
ad －bc －c ad －bc
a ad －bc
. 2．二阶行列式与方程组的解
对于关于x ，y 的二元一次方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪
a b c d 称为二阶行列式，
它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
a b c d ＝ad －bc .
若将方程组中行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 记为D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x ，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
a m c n 记为D y ，则当D ≠0时，方
程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝D x D
，y ＝D
y
D .
3．二阶矩阵的特征值和特征向量
(1)特征值与特征向量的概念
设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得A α＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．
(2)特征多项式
设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的一个特征值，
它的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，也即⎩
⎪⎨⎪⎧
(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0.(*) 定义：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2
－(a
＋d )λ＋ad －bc 称为A 的特征多项式．
(3)矩阵的特征值与特征向量的求法 如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ一定是二阶矩阵A 的特征多项式的一个根，即f (λ)
＝0，此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，于是非零向量⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x 0y 0即
为A 的属于λ的一个特征向量
．
