电磁场与电磁波课件 第一章 矢量分析

电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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本章内容
1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流与旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
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—— 分配律
—— 分配律 r r r r r r r r r A ⋅ ( B × C ) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ ( A × B) —— 标量三重积 r r r r r r r r r A × ( B × C ) = ( A ⋅ C ) B − ( A ⋅ B )C —— 矢量三重积
r r r dS z = ez dl x dl y = ez dxdy 体积元
r r r dS y = e y dl x dl z = e y dxdz
r ex
P
r ey
点 P(x0,y0,z0)
y y = y0（平面）
x
x = x0 （平面）
直角坐标系
z
dz
r r dS z = ez dxdy
r r dS y = e y dxdz
M0
u
标量场沿l方向的方向导数就等于 梯度在该方向上的投影。
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5、梯度的计算（直角坐标系） 在直角坐标系中，由方向导数与梯度的关系可得标量场u 沿三个坐标轴的方向导数：
z
y
x
r ∂u = grandu ⋅ e x ∂x r ∂u = grandu ⋅ e y ∂y r ∂u = grandu ⋅ e z ∂z
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一般情况下： r 标量场u在M0点沿el 方向的方向性导数：
r n
r l
N M0
M
∂u ∂l
M
0
=
MM
lim
0
→0
u (M ) - u ( M 0 ) MM 0
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3. 标量场的梯度（ gradu 或 ∇u ） ∂u r r ∂u e 概念： ∇u = el |max，其中 l 取得最大值的方向。 ∂l ∂l 标量场中M0点的梯度是一个矢量： 大小：该点的最大方向导数。即沿过该点等值面的法线方向的 方向导数。 方向：过M0点等值面的法线方向。规定沿等值面增加的方向为 正法线。 上例中的梯度为：3/8（-l3） 意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向
方向有关。
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例：温度场
0oC 10oC 100m 20oC 甲 30oC L1
80m 丙 L3
200m 乙 L2
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甲:（每米的温度变化为） （0oC30oC）/100m=-3/10 oC/m 乙:（每米的温度变化为） （0oC－30oC）/200m=-3/20 oC/m 丙:（每米的温度变化为） （0oC－30oC）/80m=-3/8 oC/m 同一个温度场中，其等温面沿不同方向的变化率不 同： L1的方向性导数为: -3/10 L2的方向性导数为： -3/20 L3的方向性导数为： -3/8
r ,θ ,φ
（球面）
r = r0
P(r0 ,θ0,φ0 )
φ = φ 0（半平面）
球坐标系
体积元
d V = r 2 sin θ d r d θ d φ
球坐标系中的线元、面元和体积元
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y
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4. 坐标单位矢量之间的关系 直角坐标与 圆柱坐标系
r eρ
r eφ r ez
r er
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4、梯度与方向导数的关系
∂ u ∂ l = ∆ u M M =
0
∆ u M 0 N c o s θ
r n
N
θ
r l
M
u + ∆u
∆u ∆u r r r = cosθ = en ⋅ el = gradu ⋅ el M0 N M0 N
∂u r ∴ = gradu ⋅ el ∂l
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1.1 矢量代数
1. 标量和矢量 标量：一个只用大小描述的物理量。 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 r r r r v A = eA A = eA A 矢量的代数表示： A r A= A 矢量的大小或模： r r A 矢量的单位矢量： e A = A 矢量的几何表示 常矢量：大小和方向均不变的矢量。 注意：单位矢量不一定是常矢量。
r r r r e A = ex cos α + e y cos β + ez cos γ
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2. 矢量的代数运算 （1）矢量的加减法 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为 邻边的平行四边形的对角线,如图所示。 在直角坐标系中两矢量的加法和减法： r r r r r A ± B = ex ( Ax ± Bx ) + e y ( Ay ± B y ) + ez ( Az ± Bz ) 矢量的加减符合交换律和结合律 r r r r 交换律 A + B = B + A r r r r r r 结合律 A + ( B + C ) = ( A + B) + C
r 静态标量场和矢量场可分别表示为：u ( x, y , z )、 F (x, y, z) r 时变标量场和矢量场可分别表示为：u(x, y, z, t) 、 F(x, y, z, t)
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1. 标量场的等值面 等值面: 标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。 意义: 形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。 等值面方程： u ( x , y , z ) = C 等值面的特点： • 常数C 取一系列不同的值，就得到一系列 不同的等值面，形成等值面族； • 标量场的等值面充满场所在的整个空间； • 标量场的等值面互不相交。
o x
dx r r d y dS x = ex dydz
y
dV = dxdydz
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
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2. 圆柱坐标系 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 面元矢量
ρ ,φ , z
z = z 0（平面）
r r r r = eρ ρ + ez z
r B
r r A+ B
r A
矢量的加法
r B r −B
r r A−B
矢量的减法
r A
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（2）标量乘矢量 r r r r kA = ex kAx + e y kAy + ez kAz
（3）矢量的标积（点积） θ r r r A A ⋅ B = AB cos θ = Ax Bx + Ay B y + Az Bz r r 矢量 A 与 B 的夹角 r r r r A ⋅ B = B ⋅ A ——矢量的标积符合交换律 r r r r r r r r A⋅ B = 0 A// B A ⋅ B = AB A ⊥B
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Az
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矢量用坐标分量表示
r r r r A = ex Ax + e y Ay + ez Az
Ax = A cosα A y = A co s β Az = A co s γ
x
Ax O
α
γ
r A
β
Ay
y
r r r r A = A(e x cos α + e y cos β + e z cos γ )
r B
r r r r r r e x ⋅ e y = e y ⋅ ez = e z ⋅ ex = 0 r r r r r r ex ⋅ ex = e y ⋅ e y = ez ⋅ ez = 1
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（4）矢量的矢积（叉积） r r r A × B = en AB sin θ 用坐标分量表示为 r r r r r A × B = e x ( Ay Bz − Az B y ) + e y ( Az Bx − Ax Bz ) + ez ( Ax B y − Ay Bx ) 写成行列式形式为 r r s ex e y ez r r A × B = Ax Ay Az Bx B y Bz
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1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为 正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称 为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐 标系、圆柱坐标系和球坐标系。
r ∂u r ∂u r ∂u ∴ gradu = ex + ey + ez = ∇u ∂x ∂y ∂z
r r r = er r r r r r dl = er dr + eθ rdθ + eφ rsinθdφ
r r r dSr = er dlθ dlφ = er r 2sinθdθdφ
r r r dSφ = eφ dlr dlθ = eφ rdrdθ
r r r dSθ = eθ dlr dlφ = eθ rsinθ drdφ