高三数学第一轮复习导学案：18.定积分与微积分基本定理

届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：定积分与微积分的基本定理————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第十四节定积分与微积分基本定理[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题．2.考查简单定积分的求解．如2012年江西T11等．3.考查曲边梯形面积的求解．如2012年湖北T3，山东T15，上海T13等．4.与几何概型相结合考查．如2012年福建T6等.[归纳·知识整合]1．定积分(1)定积分的相关概念在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x ＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(3)定积分的基本性质①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x.②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x.③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x.[探究] 1.若积分变量为t ，则∫b a f (x )d x 与∫ba f (t )d t 是否相等？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分∫b a [f (x )－g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )|b a ，即∫b a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．[自测·牛刀小试]1.∫421xd x 等于( ) A ．2ln 2 B ．－2ln 2 C ．－ln 2D ．ln 2解析：选D ∫421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )A.176B.143 C.136D.116解析：选A S ＝∫21(t 2－t ＋2)d t ＝⎝⎛⎪⎪⎭⎫13t 3－12t 2＋2t 21＝176.3．(教材习题改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________．解析：∫20x 2d x ＝13x 3 |20＝83. 答案：834．(教材改编题)∫101－x 2d x ＝________.解析：由定积分的几何意义可知，∫101－x 2d x 表示单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，所以∫101－x 2d x ＝14π. 答案：14π5．由曲线y ＝1x ，直线y ＝－x ＋52所围成的封闭图形的面积为________．解析：作出图象如图所示．解方程组可得交点为A ⎝⎛⎭⎫12，2，B ⎝⎛⎭⎫2，12，所以阴影部分的面积，212⎰⎝⎛ －x ＋52－⎭⎫1x d x ＝ ⎝⎛⎭⎫－12x 2＋52x －ln x 212＝158－2ln 2. 答案：158－2ln 2利用微积分基本定理求定积分[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)∫π0(sin x －cos x )d x ；(3)∫20x (x ＋1)d x ；(4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (5)20π⎰sin 2x 2d x .[自主解答](1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫211d x ＝x 33 |21＋x 2 |21＋x |21＝193. (2)∫π0(sin x －cos x )d x＝∫π0sin x d x －∫π0cos x d x ＝(－cos x ) |π0－sin x |π0＝2. (3)∫20x (x ＋1)d x ＝∫20(x 2＋x )d x＝∫20x 2d x ＋∫20x d x ＝13x 3 |20＋12x 2 |20 ＝⎝⎛⎭⎫13×23－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－0＝143.(4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝∫21e 2x d x ＋∫211x d x ＝12e 2x |21＋ln x |21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (5)20π⎰ sin 2x 2d x ＝20π⎰⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝20π⎰12d x －1220π⎰cos x d x ＝12x 20π－12sin x 20π＝π4－12＝π－24. ———————————————————求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值．1．求下列定积分： (1)∫20|x －1|d x ； (2)20π⎰1－sin 2x d x .解：(1)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ， x ∈[0，1)x －1， x ∈[1，2]故∫20|x －1|d x ＝∫10(1－x )d x ＋∫21(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 22 |10＋⎝⎛⎭⎫x 22－x |21 ＝12＋12＝1. (2) 20π⎰1－sin 2x d x＝20π⎰|sin x －cos x |d x ＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰(sin x －cos x )d x＝(sin x＋cos x)4π＋(－cos x－sin x) 24ππ＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.利用定积分的几何意义求定积分[例2]∫10－x2＋2x d x＝________.[自主解答]∫10－x2＋2x d x表示y＝－x2＋2x与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形的面积．由y＝－x2＋2x得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，又∵0≤x≤1，∴y＝－x2＋2x与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形为14个圆，其面积为π4.∴∫10－x2＋2x d x＝π4.在本例中，改变积分上限，求∫20－x2＋2x d x的值．解：∫20－x2＋2x d x表示圆(x－1)2＋y2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以∫20－x2＋2x d x＝π2.———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．2．(2013·福建模拟)已知函数f(x)＝∫x0(cos t－sin t)d t(x>0)，则f(x)的最大值为________．解析：因为f(x)＝∫x02sin⎝⎛⎭⎫π4－t d t＝2cos⎝⎛⎭⎫π4－t|x0＝2cos⎝⎛⎭⎫π4－x－2cosπ4＝sin x＋cos x－1＝2sin⎝⎛⎭⎫x＋π4－1≤2－1，当且仅当sin⎝⎛⎭⎫x＋π4＝1时，等号成立．答案：2－1利用定积分求平面图形的面积[例3] (2012·山东高考)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163D ．6[自主解答] 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，即两曲线交于点(4,2)．由定积分的几何意义可知，由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为∫40(x －x ＋2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2＋2x |40＝163. [答案] C若将“y ＝x －2”改为“y ＝－x ＋2”，将“y 轴”改为“x 轴”，如何求解？解：如图所示，由y ＝x 及y ＝－x ＋2可得x ＝1.由定积分的几何意义可知，由y ＝x ，y ＝－x ＋2及x 轴所围成的封闭图形的面积为∫20f (x )d x ＝∫1x d x ＋∫21(－x ＋2)d x ＝23x 32 |10＋⎝⎛⎭⎫2x －x 22 |21＝76.——————————————————— 利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差． (4)计算定积分，写出答案．3．(2013·郑州模拟)如图，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14，y ＝x 2⇒x ＝12或x ＝－12(舍)，所以阴影部分面积S ＝120⎰⎝⎛⎭⎫14－x 2d x ＋112⎰⎝⎛⎭⎫x 2－14d x＝⎝⎛⎭⎫14x －13x 3120＋⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 112＝14.定积分在物理中的应用[例4] 列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？[自主解答] a ＝－0.4 m/s 2，v 0＝72 km/h ＝20 m/s. 设t s 后的速度为v ，则v ＝20－0.4t . 令v ＝0，即20－0.4 t ＝0得t ＝50 (s)． 设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ，则s ＝∫500v d t ＝∫500(20－0.4t )d t ＝(20t －0.2t 2) |500＝20×50－0.2×502＝500(m)，即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动． ———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≥0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为∫b a v (t )d t ；如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≤0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为－∫b a v (t )d t .2．变力做功问题物体在变力F (x )的作用下，沿与力F (x )相同方向从x ＝a 到x ＝b 所做的功为∫b a F (x )d x .4．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：选B 力F (x )做功为∫2010d x ＋∫42(3x ＋4)d x＝10x |20＋⎝⎛⎪⎪⎭⎫32x 2＋4x 42＝20＋26＝46.1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质 (1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量； (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限； (3)面积非负， 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例] (2012·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1，与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰错误!未找到引用源。

高考数学Ι轮精品教案及其练习精析《定积分与微积分的基本定理》一、教学目标：1. 理解定积分与微积分的基本定理的概念。

2. 掌握定积分的性质和计算方法。

3. 学会应用定积分解决实际问题。

二、教学重点：1. 定积分与微积分的基本定理的概念。

2. 定积分的性质和计算方法。

三、教学难点：1. 定积分与微积分的基本定理的理解和应用。

2. 定积分的计算方法的掌握。

四、教学准备：1. 教材或教辅资料。

2. 投影仪或黑板。

3. 练习题。

五、教学过程：1. 导入：通过复习微积分的基本概念，引导学生思考微积分的应用，引出定积分与微积分的基本定理。

2. 讲解：讲解定积分与微积分的基本定理的概念，解释定积分的性质和计算方法。

3. 示例：给出定积分的计算示例，引导学生理解定积分的计算方法。

4. 练习：给出练习题，让学生独立完成，老师进行讲解和解析。

5. 总结：总结本节课的重点内容，强调定积分与微积分的基本定理的理解和应用。

6. 作业：布置相关的作业题，让学生进行巩固练习。

六、教学拓展：1. 引导学生思考定积分在实际问题中的应用，例如物理学、经济学等领域。

2. 介绍定积分的进一步研究，如定积分的广义概念、多重积分等。

七、教学反思：1. 课后对自己的教学进行反思，观察学生的学习情况，看是否达到了教学目标。

2. 针对学生的学习情况，调整教学方法，以便更好地引导学生理解和掌握定积分与微积分的基本定理。

八、课后作业：1. 完成教材或教辅资料中的相关练习题。

九、课后辅导：1. 对学生在课堂上的疑问进行解答。

2. 针对学生的学习进度，提供个性化的辅导。

十、教学评价：1. 通过课堂表现、作业完成情况、练习题的正确率等方面，对学生的学习情况进行评价。

2. 结合学生的反馈，对教学方法进行改进，提高教学效果。

重点和难点解析一、教学目标：在制定教学目标时，需要明确学生应掌握的知识点和技能，以及培养学生的能力。

对于定积分与微积分的基本定理，学生应理解其概念，掌握定积分的性质和计算方法，并能够应用定积分解决实际问题。

【学习目标】1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义．【课本导读】 1．定积分的定义：如果函数f (x )在区间上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间等分成n 个小区间，在每个区间上取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式 ，当n →＋∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间上定积分，记作 ，即 其定义体现求定积分的四个步骤：① ；② ；③ ；④ ．2．定积分运算律(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝ ； (2)⎠⎛ab d x ＝ ； (3)⎠⎛ab f (x )d x ＝ ． 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么 ，这个结论叫做微积分基本定理．4．定积分的几何和物理应用(1)①如图所示，由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )(不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0)及直线x ＝a ，x ＝b (a <b )围成图形的面积为： S ＝⎠⎛a b f 1(x )d x －⎠⎛ab f 2(x )d x②如图所示，在区间上，f (x )≤0，则曲边梯形的面积为S ＝|⎠⎛a b f (x )d x |＝－⎠⎛ab f (x )d x (2)作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )在时间区间 上的定积分，即s ＝ .(3)如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功W ＝ .【教材回归】1.⎠⎛01(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋12．一个弹簧压缩x cm 产生4x N 的力，那么将它从自然长度压缩0.05 cm 所做的功是( )A ．50 JB ．0.5 JC ．500 JD ．5 J3．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________． 4．已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π25．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.【授人以渔】题型一：求定积分例1.计算以下定积分：（1）dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-21212； （2）dx x x 2321⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+；（3）dx x x )2sin (sin 30-⎰π （4）dx x ⎰-2123： （5）()dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛---10211题型二 求平面图形的面积例2 求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 和y ＝2x 围成的图形的面积．思考题2(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t)＝7 －3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5 B．8＋25ln 113C．4＋25ln5 D．4＋50ln2(2)由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为________．题型三:定积分在物理中的应用例3(1)A、B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站．电车行驶t s后到达途中C点，这一段速度为1.2 t m/s，到C点的速度达24 m/s ，从C点到B 点站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(24－1.2t) m/s，在B点恰好停车，试求：①A、C间的距离；②B、D间的距离．（2)设力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且和x轴正向相同，求力F(x)对质点M所作的功．思考题3(1)列车以72 km/h速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？(2)一物体以初速度v ＝9.8t ＋6.5 米/秒的速度自由落下，则下落后第二个4s 内经过的路程是________米．自助餐：1．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1、S 2、S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 12．计算定积分＝________.3．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0。

高三数学理科复习45----定积分【高考要求】：定积分(A) 【学习目标】：了解定积分的实际背景；初步了解定积分的概念；会求简单的定积分.直观了解微积分基本定理的含义. 【知识复习与自学质疑】(一)问题:1.定积分的概念是什么?2. 定积分的几何意义是什么?3.微积分基本定理的内容是什么?(一)练习:1.已知质点的速度10v t =，则从0t =到0t t =质点所经过的路程是_______.2.已知在区间(),a b 上()0f x <,且由直线,,0x a x b y ===及曲线()y f x =所围成的图形面积为S ,则()baf x dx =⎰_____________.3.(1)11x dx -=⎰________. (2) 1-=⎰________.4.求下列定积分: (1)2dx π-=⎰________. (2) 312x dx =⎰________.(3)1831x dx -=⎰________. (4) ()122x x dx ---=⎰________.4.求下列定积分: (1)24cos xdx ππ-=⎰________. (2) 236sin xdx ππ-=⎰________.(3)22x dx =⎰________. (4) 21eedx x=⎰________. 【例题精讲】1.根据()233312123n n ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+,利用定积分定义,求130x dx ⎰.2.已知直线y ax =与曲线xy e b =+相交于点()()00,0,1,y ,求直线y ax =与曲线x y e b =+所围成的图形的面积.3.直线l 与抛物线2:x y C =交与B A ,两点，C l 与所围成的图形面积为34，求线段AB 中点的轨迹方程．【矫正反馈】1.做变速直线运动的物体，初速度为m 1/s ,ts 后速度21--=t e v ,则物体停止运动时,运动的路程是 .2.如图,一条水渠的横截面为抛物线型,渠宽m AB 4=,渠深m CO 2=,当水面距地面m 5.0时,水的横截面的面积为 .3.=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰-dx x x 2222sin 2cos ππ .4.若一商店出售q 台复读机的利润()L q （单位：元）的变化率为1()12.5(0)40L q q q '=-≥，则售出40台后，每台的平均利润为 元.5.已知函数)()112(1),(01)()1223x x x f x x x --⎧+≤≤=≤≤⎪≤≤⎩求()dx x f ⎰30.【迁移应用】1.已知抛物线2:C y x =上一点P 处的切线l 与x 轴、抛物线C 所围成的图形的面积为112,试求l 的方程.2.设S 为曲线)1(2+=x x y 与直线)10)(1(2≤≤+=k x k y 所围成的面积，试求当S 有最小值时k 的值.。

1．定积分的概念在ʃb a f(x)d x中，________分别叫做积分下限与积分上限，区间『a，b』叫做积分区间，函数________叫做被积函数，________叫做积分变量，________叫做被积式．2．定积分的性质(1)ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x(k为常数)；(2)ʃb a『f1(x)±f2(x)』d x＝________________；(3)ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋________(其中a<c<b)．3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间『a，b』上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记作________，即ʃb a f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．『知识拓展』1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．函数f(x)在闭区间『－a，a』上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则ʃa－a f(x)d x＝2ʃa0f(x)d x.(2)若f(x)为奇函数，则ʃa－a f(x)d x＝0.『思考辨析』判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间『a，b』上连续，则ʃb a f(x)d x＝ʃb a f(t)d t.()(2)若函数y＝f(x)在区间『a，b』上连续且恒正，则ʃb a f(x)d x>0.()(3)若ʃb a f(x)d x<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．()(4)微积分基本定理中的F(x)是唯一的．()(5)曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积是ʃ10(x2－x)d x.()1．(2017·福州质检)ʃ10(e x ＋2x )d x 等于( ) A ．1 B ．e －1 C ．eD ．e ＋12．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．43．(教材改编)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是( ) A.132 m B ．6 m C.152m D ．7 m4．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈(1，e](e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为________.题型一定积分的计算例1(1)(2016·九江模拟)若ʃ10(2x＋λ)d x＝2(λ∈R)，则λ等于()A．0 B．1 C．2 D．－1(2)定积分ʃ2－2|x2－2x|d x等于()A．5 B．6 C．7 D．8思维升华运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．(1)若π2(sin cos )d2x a x x－＝，则实数a的值为()A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D.67 题型二 定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分例2 (1)计算：ʃ313＋2x －x 2 d x ＝________.(2)若ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________. 命题点2 求平面图形的面积例3 (2017·青岛月考)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为________．思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分； (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．(1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π(2)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________． 题型三 定积分在物理中的应用例4 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2思维升华 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433 J D ．2 3 J4．利用定积分求面积典例 由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________． 错解展示解析 所求面积S ＝ʃ20(x 2－1)d x ＝(13x 3－x )|20＝23. 答案 23现场纠错：纠错心得：提醒：完成作业 第三章 §3.3答案精析基础知识 自主学习 知识梳理1．a ，b f (x ) x f (x )d x 2．(2)ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x (3)ʃb c f (x )d x3．F (b )－F (a ) F (x )|b a 思考辨析(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× 考点自测1．C 2.D 3.A 4.3 5.43题型分类 深度剖析 例1 (1)B (2)D 跟踪训练1 (1)A (2)C 例2 (1)π (2)－1解析 (1)由定积分的几何意义知， ʃ313＋2x －x 2 d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x ＝1，x ＝3，y ＝0围成的图形的面积， ∴ʃ313＋2x －x 2d x ＝14×π×4＝π.(2)根据定积分的几何意义 ʃm －2－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0围成的图形的面积， 又ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1.例3 4－ln 3解析 由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为(13，3)．由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐标为(1,1)， 由y ＝x ，y ＝3得交点坐标为(3,3)，由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为1312311113311(3)d (3)d (3ln )|(3)|2x x x x x x x x -+-=-+-⎰⎰＝(3－1－ln 3)＋(9－92－3＋12)＝4－ln 3.跟踪训练2 (1)C (2)163例4 C 跟踪训练3 C 现场纠错系列 现场纠错 2解析 如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1，0)和(1,0)．所以S ＝ʃ20|x 2－1|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝(x －x 33)|10＋(x 33－x )|21＝(1－13)＋『83－2－(13－1)』＝2.纠错心得 利用定积分求面积时要搞清楚定积分和面积的关系；定积分可正可负，而面积总为正．。

第十三节 定积分与微积分基本定理积分的运算及应用(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． (2)了解微积分基本定理的含义．知识点一 定积分 1．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )． 2．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．易误提醒 (1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．[自测练习]1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛102x d x D.⎠⎛0－12x d x ＋⎠⎛10x 2d x解析：由分段函数的定义及积分运算性质，∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x . 答案：D2．已知f (x )是偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．6D ．16解析：因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝⎠⎛0－6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.答案：D知识点二 微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )| b a ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．必备方法 运用微积分基本定理求定积分的方法： (1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分． (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．[自测练习]3．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a解析：a ＝⎠⎛01x －13d x ＝32x 23| 10＝32， b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－23x 32| 10＝13， c ＝⎠⎛01x 3d x ＝14x 4| 10＝14，因此a >b >c ，故选A. 答案：A4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112 B.14 C.13D.712解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.结合图形知(图略)所求封闭图形的面积为⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4| 10＝112，故选A. 答案：A考点一 定积分的计算|1．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( ) A ．9π B ．3π C.94π D.92π 解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝9π4，故选C.答案：C2．(2016·临沂模拟)若∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 3D ．－ 3解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x . ∴∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝(a sin x －cos x )⎪⎪π20 ＝⎝⎛⎭⎫a sin π2－cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2. ∴a ＝1. 答案：B3．(2015·西安模拟)已知A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ，则A ＝________.解析：A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛13(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 31＝223. 答案：223定积分计算的三种方法定义法、几何意义法和微积分基本定理法，其中利用微积分基本定理是最常用的方法，若被积函数有明显的几何意义，则考虑用几何意义法，定义法太麻烦，一般不用．考点二 利用定积分求平面图形的面积|设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( )A ．1 B.13 C.23D.43[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2()1×1－⎠⎛01x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－13x 3| 10＝43，选D.[答案] D利用定积分求平面图形面积的三个步骤(1)画图象：在直角坐标系内画出大致图象．(2)确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定积分上限和下限． (3)用牛顿－莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分，写出结果．1．(2015·衡中三模)由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．解析：把阴影部分分成两部分求面积． S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0－2(2－x 2)d x ＋⎠⎛01(2－x 2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫2x －x 33| 0－2＋⎝⎛⎭⎫2x －x 33－x 22| 10 ＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76. 答案：423＋76考点三 定积分物理意义的应用|一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________．[解析] 由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s ＝⎠⎜⎛126 v (t )= ⎠⎜⎛1262t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t＝36111322149264t t t ⎛⎫+++=⎪⎝⎭. [答案]494利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，(0≤x ≤2)，3x ＋4，(x >2)，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：力F (x )做功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42 ＝20＋26＝46. 答案：B5.混淆图形面积与定积分关系致误【典例】 已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3112012231053x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝54. [答案] 54[易误点评] (1)本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．(2)本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．[防范措施] 解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形．(2)准确确定被积函数和积分变量．[跟踪练习] (2015·洛阳期末)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知，所求面积为⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x | 0－1＋e x | 10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12.答案：e －12A 组 考点能力演练1．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－2或4D ．4解析：由⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8得(x 2－2x )| t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，故选D.答案：D2．(2015·青岛模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x的值为( )A.43 B.54 C.65D.76解析：⎠⎛0ef (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛1ef (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e1x d x ＝x 33| 10＋ln x | e1＝13＋ln e ＝43，故选A.答案：A3．(2016·武汉模拟)设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的第4项为( ) A ．－1 280x 3 B ．－1 280C ．240D ．－240解析：本题考查定积分的计算与二项式定理．依题意得a ＝(x 3－x 2)| 21＝4，二项式⎝⎛⎭⎫4x 2－1x 6的展开式的第四项是T 4＝C 36·(4x 2)3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－1 280x 3，故选A. 答案：A4．如图所示，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x(x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln 22B.1－ln 22C.1＋ln 22D.2－ln 22解析：本题考查定积分的计算与几何概率的意义．依题意，题中的矩形区域的面积是1×2＝2，题中的阴影区域的面积等于2×12＋eq \a\vs4\al(\i\in(1xd x ＝1＋ln x eq \b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,＝1＋ln 2，因此所求的概率等于1＋ln 22，故选C.答案：C5．已知数列{a n }是等差数列，且a 2 013＋a 2 015＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2016)的值为()A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2解析：⎠⎛024－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝4在第一象限的面积，即⎠⎛024－x 2d x ＝π，又数列{a n }是等差数列，所以a 2 013＋a 2 015＝a 2 012＋a 2 016＝2a 2 014，所以得a 2 014·(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝π2×2π＝π2，故选A.答案：A6．(2015·南昌模拟)直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或23，所以所求面积为∫230⎝⎛⎭⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝⎛⎭⎫23x －x 2d x＝⎝⎛⎭⎫13x 2－13x 3⎪⎪230＝13×⎝⎛⎭⎫232－13×⎝⎛⎭⎫233－0＝481. 答案：4817．(2015·长春二模)已知a >0且曲线y ＝x 、x ＝a 与y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意a 2＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32| a 0，所以a ＝49.答案：498．已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎠⎛0a (cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.解析：⎠⎛0a(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| a 0＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1.∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，[]⎠⎛0a(cos x －sin x )d x max ＝2－1.答案：π49．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2| 31＝23＋16＋43＝136. 10．汽车以54 km /h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解：由题意，得v 0＝54 km /h ＝15 m/s. 所以v (t )＝v 0＋at ＝15－3t . 令v (t )＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5.所以开始刹车5 s 后，汽车停车． 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 s ＝⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(15－3t )d t ＝⎝⎛⎭⎫15t －32t 2| 50＝37.5(m)． 故汽车走了37.5 m.B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )| 10＝1＋e 1－1＝e.答案：C2．(2014·高考江西卷)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：令⎠⎛01f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2mx | 10＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13，故选B. 答案：B3．(2013·高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析：由v (t )＝0得t ＝4.故刹车距离为 s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤－32t 2＋7t ＋25ln (1＋t )| 40＝4＋25ln 5.答案：C4．(2014·高考山东卷)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)． ∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4| 20＝4. 答案：D5．(2015·高考天津卷)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 解析：由题意，可得封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3| 10＝12－13＝16. 答案：166．(2015·高考陕西卷)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛05⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×(6＋10)2＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2. 答案：1.2。

§3.4 定积分2014高考会这样考 1.考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理；2.利用定积分求曲边梯形面积、变力做功、变速运动的位移等．复习备考要这样做 1.理解定积分的概念和几何意义；2.会用微积分基本定理求定积分，解决一些几何、物理问题．1． 用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为分割、近似代替、求和、取极限． 2． 定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx .当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫作函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃba f (x )d x ，即ʃbaf (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )，其中f (x )称为被积函数，x 称为积分变量，f (x )d x 称为被积式， [a ，b ]为积分区间，a 为积分下限，b 为积分上限，“ʃ”称为积分号． 3． 定积分的运算性质(1)ʃba kf (x )d x ＝k ʃba f (x )d x (k 为常数)． (2)ʃba [f (x )±g (x )]d x ＝ʃba f (x )d x ±ʃba g (x )d x . (3)ʃba f (x )d x ＝ʃca f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x (a <c <b )． 4． 微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃba f (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿——莱布尼茨公式．可以把F (b )－F (a )记为F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．[难点正本 疑点清源]1．定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等． 2．由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．3．利用定积分和曲边梯形面积的关系也可以计算定积分．1． (2012·江西)计算定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝________.答案 23解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－cos x ′＝x 2＋sin x ，∴⎪⎪⎪1－1x 2＋sin x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－cos x 1－1＝23.2． 直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________．答案 83解析 S ＝ʃ20x 2d x ＝13x 3|20＝83.3． ʃ30(x 2＋1)d x ＝________.答案 12解析 ʃ30(x 2＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |30＝13×33＋3＝12. 4． 由y ＝cos x 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为__________________．答案 ʃπ20cos x d x －ʃ3π2π2cos x d x ＋ʃ2π3π2cos x d x解析 如图： 阴影部分的面积为S ＝ʃπ20cos x d x －.5． 设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则ʃ21f (－x )d x 的值等于 ( )A.56 B.12 C.23 D.16答案 A解析 由于f (x )＝x m＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1， 所以f (x )＝x 2＋x ，于是ʃ21f (－x )d x ＝ʃ21(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 2|21＝56.题型一 定积分的计算 例1 求下列定积分：(1)ʃ20x (x ＋1)d x ； (2)ʃ21⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ；(3)ʃπ20sin 2x 2d x .思维启迪：化简被积函数，由定积分的性质将其分解成各个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解．解 (1)ʃ20x (x ＋1)d x ＝ʃ20 (x 2＋x )d x ＝ʃ20x 2d x ＋ʃ20x d x ＝13x 3|20＋12x 2|20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－0＝143. (2)ʃ21⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ＝ʃ21e 2x d x ＋ʃ211xd x＝12e 2x |21＋ln x |21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (3)ʃπ20sin 2x 2d x ＝ʃπ20⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x ＝ʃπ2012d x －12ʃπ20cos x d x ＝12x |π20－12sin x |π20＝π4－12＝π－24. 探究提高 计算一些简单的定积分，解题的步骤：①把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；②把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；③分别用求导公式找到一个相应的原函数；④利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值；⑤计算原始定积分的值．求下列定积分：(1)ʃ20(4x 3＋3x 2－x )d x ； (2)ʃ21⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ；(3)ʃ0－π(cos x ＋e x)d x ； (4)ʃ20|1－x |d x .解 (1)ʃ20(4x 3＋3x 2－x )d x ＝ʃ20(4x 3)d x ＋ʃ20(3x 2)d x －ʃ20x d x＝x 4|20＋x 3|20－12x 2|20＝(24－0)＋(23－0)－12(22－0)＝16＋8－2＝22.(2)ʃ21⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝ʃ21x d x －ʃ21x 2d x ＋ʃ211xd x＝x 22|21－x 33|21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (3)ʃ0－π(cos x ＋e x)d x ＝ʃ0－πcos x d x ＋ʃ0－πe xd x ＝sin x |0－π＋e x |0－π＝1－1eπ.(4)ʃ20|1－x |d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |21 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12－1 ＝1.题型二 求曲边梯形的面积例2 如图所示，求由抛物线y ＝f (x )＝－x 2＋4x －3及其在点A (0，－3)和点B (3,0)处的切线所围成的图形的面积．思维启迪：求出两切线交点M 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，将积分区间分为两段⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32、⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3. 解 由题意，知抛物线y ＝f (x )＝－x 2＋4x －3在点A 处的切线斜率是k 1＝f ′(0)＝4，在点B 处的切线斜率是k 2＝f ′(3)＝－2.因此，抛物线过点A 的切线方程为y ＝4x －3，过点B 的切线方程为y ＝－2x ＋6. 设两切线相交于点M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －3，y ＝－2x ＋6消去y ，得x ＝32，即点M 的横坐标为32.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上，曲线y ＝4x －3在曲线y ＝－x 2＋4x －3的上方；在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上，曲线y ＝－2x ＋6在曲线y ＝－x 2＋4x －3的上方． 因此，所求的图形的面积是S ＝[(4x －3)－(－x 2＋4x －3)]d x ＋[(－2x ＋6)－(－x 2＋4x －3)]d x＝x 2d x ＋ (x 2－6x ＋9)d x＝98＋98＝94. 探究提高 对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 由⎩⎨⎧y ＝x y ＝2－x得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝ʃ10⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 2|31 ＝23＋16＋43＝136. 题型三 定积分在物理方面的应用例3 一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为__________． 思维启迪：从题图上可以看出物体在0≤t ≤1时做加速运动，1≤t ≤3时做匀速运动，3≤t ≤6时也做加速运动，但加速度不同，也就是说0≤t ≤6时，v (t )为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积． 答案494m解析 由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 0≤t ≤12 1≤t ≤313t ＋1 3≤t ≤6，因此该物体在12s ～6 s 间运动的路程为探究提高 定积分在物理方面的应用主要包括：①求变速直线运动的路程；②求变力所做的功．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)满足函数关系式v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2 0≤t ≤10，4t ＋60 10<t ≤20，140 20<t ≤60.某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1 min 行驶的路程超过7 673 m ，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？解 由变速直线运动的路程公式， 可得s ＝ʃ100t 2d t ＋ʃ2010(4t ＋60)d t ＋ʃ6020140d t ＝13t 3|100＋(2t 2＋60t )|2010＋140t |6020 ＝7 133 13(m)<7 673 (m)．所以这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一．函数思想、数形结合思想在定积分中的应用典例：(12分)在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值． 审题视角 (1)题目要求是求S 1与S 2之和最小，所以要先构造S ＝S 1＋S 2的函数，利用函数思想求解．(2)S 1、S 2的面积只能通过定积分求解，所以要选准积分变量．规范解答解 S 1面积等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－ʃt 0x 2d x ＝23t 3.[2分]S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝ʃ1t x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.[4分]所以阴影部分的面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．[6分]令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12.[8分]t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23.[10分]所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.[12分]温馨提醒 (1)本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查知识的迁移能力和导数的应用意识．(2)本题易错点：一是缺乏函数的意识；二是不能正确选择被积区间．方法与技巧 1． 求定积分的方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强．(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a )．(3)利用定积分的几何意义求定积分当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．如：定积分ʃ101－x 2d x 的几何意义是求单位圆面积的14，所以ʃ101－x 2d x ＝π4. 2． 求曲边多边形面积的步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形． (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限． (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和． (4)计算定积分． 失误与防范1．被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分． 2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负． 5．将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2011·湖南)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1C.32D . 3答案 D 解析2． (2012·湖北)已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5 B.43 C.32 D.π2答案 B解析 根据f (x )的图像可设f (x )＝a (x ＋1)(x －1)(a <0)． 因为f (x )的图像过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＝2ʃ10(1－x 2)d x ＝⎪⎪⎪2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 310＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43. 3． 已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求的值，结果是( )A.16＋π2B ．πC ．1D ．0答案 B解析4． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( ) A.34 B.45 C.56D ．不存在答案 C解析 如图，ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x ＝13x 3|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2|21＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.二、填空题(每小题5分，共15分) 5． ʃ3－3(9－x 2)d x ＝________.答案 92π解析 由定积分的几何意义知所求定积分为半圆x 2＋y 2＝9 (y ≥0)的面积S ， ∴S ＝12×π×9＝92π.6． 曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为________．答案 32－ln 2解析 S ＝ʃ21x d x －ʃ211xd x＝12x 2|21－ln x |21 ＝32－(ln 2－ln 1)＝32－ln 2. 7． 汽车以v ＝3t ＋2 (单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________ m. 答案 6.5解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t |21＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132 (m)．三、解答题(共22分)8． (10分)求在 [0,2π]上，由x 轴及正弦曲线y ＝sin x 围成的图形的面积．解 作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图像，如图所示．y ＝sin x 与x 轴交点的横坐标分别为x ＝0，x ＝π，x ＝2π，所以所求面积为S ＝ʃπ0sin x d x ＋|ʃ2ππsin x d x |＝(－cos x )|π0－(－cos x )|2ππ＝4.9． (12分)汽车以54 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？ 解 由题意，得v 0＝54 km/h ＝15 m/s. 所以v (t )＝v 0－at ＝15－3t .令v (t )＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5. 所以开始刹车5 s 后，汽车停车． 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为s ＝ʃ50v (t )d t ＝ʃ50(15－3t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15t －32t 2|50＝37.5(m)．故汽车走了37.5 m.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2011·课标全国)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103B ．4C.163D ．6答案 C解析 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2得其交点坐标为(4,2)． 因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为 ʃ40[x －(x －2)]d x ＝ʃ40(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x |40＝23×8－12×16＋2×4＝163. 2． 一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功为( )A. 3 JB.233J C.433 JD ．2 3 J 答案 C解析 ʃ21F (x )×cos 30°d x ＝ʃ21(5－x 2)×32d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫5x －13x 3×32|21＝433， ∴F (x )做的功为433 J. 3. 图中阴影部分的面积是( ) A ．16B ．18C ．20D ．22答案 B 解析 S ＝ʃ4－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4－y 22d y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＋4y －y 36|4－2＝18. 二、填空题(每小题5分，共15分)4. 如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．答案 43解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x 2＋2x ＋1y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.∴S ＝ʃ20(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝ʃ20(－x 2＋2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43. 5． 设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．答案 33解析 ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋c )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 33＋cx |10＝a 3＋c ， 故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a3，又a ≠0， 所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33. 6． (2012·上海)已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．答案 54解析 ∵y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10x ，0≤x ≤12，－10x ＋10，12<x ≤1.∴xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10x 2，0≤x ≤12，－10x 2＋10x ，12<x ≤1， ∴所求面积为＝103×18＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103＋5－⎝ ⎛⎭⎪⎫－103×18＋5×14 ＝54. 三、解答题7． (13分)已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，ʃ10f (x )d x ＝－2，(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . 由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2－a b ＝0，∴f (x )＝ax 2＋2－a . 又ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋2－a )d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋2－a x |10＝2－23a ＝－2， 得a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4. (2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]．∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.。

年 级 高二 学科数学内容标题 定积分的计算 编稿老师马利军一、教学目标：1。

理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题。

2。

理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题。

二、知识要点分析1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：⎰badx x f )(2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间［a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是：y=f（x)与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.⎰b adx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a,x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号。

在图（1）中：0s dx )x (f ba>=⎰，在图（2）中：0s dx )x (f ba<=⎰，在图（3)中：dx)x (f ba⎰表示函数y=f （x ）图象及直线x=a,x=b 、x 轴围成的面积的代数和。

注:函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于⎰badx x f )(，仅当在区间[a,b ］上f （x ）恒正时，其面积才等于⎰badx x f )(。

3. 定积分的性质，（设函数f （x)，g （x ）在区间［a,b]上可积） (1）⎰⎰⎰±=±bab abadx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [（2）⎰⎰=bab a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）⎰⎰⎰+=bcbac adx x f dx x f dx x f )()()(（4）若在区间［a ，b ］上，⎰≥≥badx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a,b]上，⎰⎰≤≤babadx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2)⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|（3)若f(x ）是偶函数，则⎰⎰=-a aadx x f dx x f 0)(2)(,若f （x ）是奇函数，则0)(=⎰-aadx x f4。

高中数学-定积分与微积分基本定理学案一、知识导学1．可微：若函数)(x f y =在0x 的增量x ∆可以表示为x ∆的线性函数x A ∆（A 是常数）与较x ∆高阶的无穷小量之和:)(x o x A y ∆+∆=∆（1）,则称函数f 在点0x 可微，（1）中的x A ∆称为函数f 在点0x 的微分，记作x A dy x x ∆==0或x A x df x x ∆==0)(.函数)(x f 在点0x 可微的充要条件是函数)(x f 在0x 可导，这时（1）式中的A 等于)(0x f '.若函数)(x f y =在区间I 上每点都可微，则称)(x f 为I 上的可微函数.函数)(x f y =在I 上的微分记作x x f dy ∆'=)(.2．微积分基本定理：如果)()(x f x F ='，且)(x f 在],[b a 上可积.则⎰-=b a a F b F dx x f )()()(.其中)(x F 叫做)(x f 的一个原函数.由于)(])([x f c x F ='+，c x F +)(也是)(x f 的原函数，其中c 为常数.二、疑难知识导析1 .定积分的定义过程包括“分割、近似求和、取极限”这几个步骤，这里包含着很重要的数学思想方法，只有对定积分的定义过程了解了，才能掌握定积分的应用.1）一般情况下，对于区间的分割是任意的，只要求分割的小区间的长度的最大者λ趋近于0，这样所有的小区间的长度才能都趋近于0，但有的时候为了解题的方便，我们选择将区间等份成n 份，这样只要2其中的使01→n就可以了. 2）对每个小区间内i ξ的选取也是任意的，在解题中也可选取区间的左端点或是右端点.3）求极限的时候，不是∞→n ，而是0→λ.2．在微积分基本定理中，原函数不是唯一的，但我们只要选取其中的一个就可以了，一般情况下选那个不带常数的。

因为)()()(])([)(a F b F x F c x F dx x f b a b a b a -==+=⎰.3．利用定积分来求面积时，特别是位于x 轴两侧的图形的面积的计算，分两部分进行计算，然后求两部分的代数和.三 、经典例题导讲[例1]求曲线x y sin =与x 轴在区间]2,0[π上所围成阴影部分的面积S.错解：分两部分，在],0[π⎰=π02sin xdx ，在[]ππ2,⎰-=ππ22sin x ，因此所求面积S 为 2+（-2）=0。

3．4 定积分与微积分基本定理1．定积分的定义(1)如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n)作和式∑i ＝1nb －anf (ξi )．当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作______________，即⎠⎛ab f (x )d x ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )．其中f (x )称为______________，x 称为______________，f (x )dx 称为______________，[a ，b ]为______________，a 为积分下限，b 为积分上限，“∫”称为积分号．(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为________、近似代替、求和、_______________________.2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝____________(k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝____________________； (3)⎠⎛ab f (x )d x ＝_____________________(其中a ＜c ＜b )．3．微积分基本定理 一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x ) ，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝___________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式．常常把F (b )－F (a )记作___________，即⎠⎛ab f (x )d x ＝___________＝___________. 4．定积分在几何中的简单应用(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S ＝____________.(2)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为负时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S ＝____________. (3)当x ∈[a ，b ]有f (x )＞g(x )＞0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )，y ＝g(x )围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S ＝____________.一般情况下，定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(4)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－aaf (x )d x ＝____________(其中a >0)；若f (x )是奇函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝__________(其中a >0)． 5．定积分在物理中的简单应用(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V (t)，速度方向不变)在时间区间[a ，b ]上所经过的路程S ＝____________. (2)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所做的功W ＝____________. (3)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿与力F 的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所做的功W ＝____________.自查自纠： 1．(1)⎠⎛a b f (x )d x 被积函数 积分变量 被积式 积分区间(2)分割 取极限2．(1)k ⎠⎛a b f (x )d x (2)⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x(3)⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x3．F (b )－F (a ) F (x )|b a F (b )－F (a ) F (x )|b a 4．(1)⎠⎛ab f (x )d x (2)－⎠⎛ab f (x )d x(3)⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x (4)2⎠⎛0a f (x )d x 05．(1)⎠⎛a b V (t )d t (2)⎠⎛a b F (x )d x (3)⎠⎛ab F (x )cos θd x(2017·西安调研)定积分∫10(2x ＋e x)d x 的值为 ( ) A ．e ＋2 B ．e ＋1 C ．e D ．e －1解：∫10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝1＋e 1－1＝e.故选C .(教材改编题)汽车以v ＝(3t ＋2)m /s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是( )A.132 m B ．6 m C.152 m D ．7 m 解：s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t |21＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m )．故选A.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为 ( )A.2π5B.43C.32D.π2解：根据图象可知，二次函数f (x )＝－(x ＋1)(x－1)＝1－x 2.所以所求面积S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 3|10＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43.故选B.⎠⎛－111－x 2 dx ＝________.解：⎠⎛－111－x 2 dx 的几何意义是单位圆位于x轴及其上方部分的面积，圆的面积为π，所以⎠⎛－111－x 2 dx ＝π2.故填π2.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈（1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x ＝________.解：⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋lne ＝43.故填43.类型一 计算简单函数的定积分(1)∫π20sin 2x2d x ＝________.解：∫π20sin 2x2dx ＝∫π201－cos x 2dx ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x |π20＝π4－12.故填π4－12. (2)若∫π20(sin x －a cos x )dx ＝2，则实数a ＝________.解：∫π20(sin x －a cos x )dx ＝(－cos x －a sin x )|π20＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2，所以a ＝－1.故填－1.(3)(2018·河北五校联考)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x ≤0， f [f (1)]＝1，则a ＝________.解：因为f (1)＝lg1＝0，f (0)＝⎠⎛0a3t2d t ＝t 3|a 0＝a 3，所以由f [f (1)]＝1得a 3＝1，a ＝1.故填1.点 拨：求定积分的步骤：第一步，把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和、差、积、商；第二步，利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；第三步，分别用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )；第四步，利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；第五步，计算所求定积分的值．(1)下列值等于1的是 ( )A.⎠⎛01x d x B.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x 解：⎠⎛011d x ＝x |10＝1.故选C.(2)若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2(a >1)，则a ＝________.解：由题意知⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln2，解得a ＝2.故填2.(3)设a ＝22ππ-⎰2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中x 的系数为 ( )A ．240B ．193C ．7D ．－6解：a ＝22ππ-⎰2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝22ππ-⎰(cos x －sin x )d x ＝22ππ-⎰cos x d x －22ππ-⎰sin x d x ＝2，⎝⎛⎭⎫a x －1x 6＝⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中x 的系数为C 2624(－1)2＝240.故选A.类型二 计算分段函数的定积分(1)定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝________.解：⎠⎛－22|x 2－2x |dx ＝⎠⎛－20(x 2－2x )dx ＋⎠⎛02(2x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫x 33－x 2|0－2＋⎝⎛⎭⎫x 2－x 33|20＝83＋4＋4－83＝8.故填8.(2)(2017·昆明检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]， 则∫20f (x )dx 等于 ( ) A.34 B.45 C.56D ．不存在解：如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2|21 ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56.故选C .点 拨：对分段函数f (x )求定积分，关键是找到分段点c 后利用定积分性质⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x 求解．(1)定积分⎠⎛02|x －1|d x ＝________.解：⎠⎛02|x －1|d x＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 22|10＋⎝⎛⎭⎫x 22－x |21＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫222－2－⎝⎛⎭⎫12－1＝1.故填1. (2)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，|x |≤2，1＋x 2，2＜x ≤4 在区间[－2，4]上的定积分．解：⎠⎛－24f (x )d x ＝⎠⎛－22(2x ＋1)d x ＋⎠⎛24(1＋x 2)d x＝(x 2＋x )|2－2＋⎝⎛⎭⎫x ＋13x 3|42＝743.类型三 利用定积分求平面图形的面积(1)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)，且当x ∈[0，2]时，4x ≥x 3，所以所求面积S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4|20＝4.故选D.(2)(2017·江西九校联考)⎠⎛01(2x ＋1－x 2)dx ＝________.解：⎠⎛011－x 2dx 表示单位圆面积的14，所以⎠⎛011－x 2dx ＝π4.又因为⎠⎛012xdx ＝x 2|10＝1，所以⎠⎛01(2x ＋1－x 2)dx ＝⎠⎛012xdx ＋⎠⎛011－x 2dx＝1＋π4.故填1＋π4.点 拨：用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积．应注意对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利用对称性，使问题简化．(1)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623解：由已知得l ：y ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝1， 得交点坐标为(－2，1)，(2，1)．如图阴影部分，由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称，所以所求面积S ＝2⎠⎛02⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －112x 3|20＝2⎝⎛⎭⎫2－812＝83.故选C. (2)给出如下命题：①⎠⎛b a 1d x ＝⎠⎛ab 1d t ＝b －a (a 、b 为常数，且a <b )；②⎠⎛－101－x 2d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＝π4；③⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x (a >0)． 其中正确命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解：由于⎠⎛b a 1d x ＝a －b ，⎠⎛ab 1d t ＝b －a ，①错误；由定积分的几何意义知，⎠⎛－11－x 2 d x 和⎠⎛011－x 2d x 都表示单位圆面积的14，所以都等于π4，②正确；只有当函数f (x )为偶函数时，才有⎠⎛－aa f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x ，③错误．故选B.类型四 定积分在物理中的简单应用一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是 ( )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln5D ．4＋50ln2 解：令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，所以汽车行驶的距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）|40＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.故选C .点 拨：物体沿直线朝一个方向运动的路程问题，只需对速度求定积分，积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J (x 的单位：m ，力的单位：N )． 解：变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从 x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |101＝342(J )．故填342.1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，可利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，由基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则反向求F (x )． 2．利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决．1．定积分⎠⎛013x d x 的值为 ( )A ．3B ．1 C.32 D.12解：⎠⎛013x d x ＝32x 2|10＝32.故选C. 2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛－11f (x )dx 等于( )A.⎠⎛－11x 2d xB.⎠⎛－112x d xC.⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012x d xD.⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x解：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，所以⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－102x dx ＋⎠⎛01x 2d x .故选D.3．由曲线y ＝x 2＋2x 与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为 ( ) A.16 B.13 C.56 D.23解：在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图中阴影部分所示，由x 2＋2x ＝x ，得交点坐标为(－1，－1)和(0，0)，故所求面积为S ＝ ⎠⎛－1[x －(x 2＋2x )]d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3－12x 2|0－1＝－13＋12＝16.故选A.4．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力的单位：N ，位移单位：m )作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A.233 J B. 3 J C.433 J D ．2 3 J解：⎠⎛12F (x )cos30°d x ＝32⎠⎛12(5－x 2)d x ＝32⎝⎛⎭⎫5x －13x 3|21＝433， 所以F (x )做的功为433J ．故选C.5．(2016·湖南四校联考)已知S 1＝⎠⎛12x d x ， S 2＝⎠⎛12e x d x ，S 3＝⎠⎛12x 2d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为 ( ) A ．S 1＜S 2＜S 3 B ．S 1＜S 3＜S 2 C ．S 3＜S 2＜S 1 D ．S 2＜S 3＜S 1 解：S 1＝12x 2|21＝12(4－1)＝32， S 3＝13x 3|21＝13(8－1)＝73＞32，S 2＝e x |21＝e 2－e ＝e (e －1)＞e ＞73.故选B. 6．若函数f (x )，g(x )满足⎠⎛－11f (x )g(x )dx ＝0，则称f (x )，g(x )为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g(x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g(x )＝x －1；③f (x )＝x ，g(x )＝x 2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：由①得f (x )g (x )＝sin 12x cos 12x ＝12sin x ，是奇函数，所以⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，所以①为区间[－1，1]上的正交函数；由②得⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝⎠⎛－11(x 2－1)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 1－1＝－43≠0，所以②不是区间[－1，1]上的正交函数；由③得f (x )g (x )＝x 3，是奇函数，所以⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，所以③是区间[－1，1]上的正交函数．故选C.7．(2018·山西临汾质检)若m >1，则f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎫1－4x 2dx 的最小值为________． 解：f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎫1－4x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋4x |m 1＝m ＋4m －5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立．故填－1.8．(2018·湖北八校联考)考虑函数y ＝e x 与函数y ＝ln x 的图象关系，计算：∫e 21ln x d x ＝____________.解：y ＝e x 与y ＝ln x 的图象关于直线y ＝x 对称，∫e 21ln x d x 即表示y ＝0，y ＝ln x ，x ＝e 2围成封闭区域的面积，由对称性知∫e 21ln x d x ＝2e 2－⎠⎛02e x d x ＝e 2＋1.故填e 2＋1.9．(2016·武汉模拟)如图，矩形OABC 的四个顶点依次为O (0，0)，A ⎝⎛⎭⎫π2，0，B ⎝⎛⎭⎫π2，1，C (0，1)，记线段OC ，CB 以及y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2的图象围成的区域(图中阴影部分)为Ω，若向矩形OABC 内任意投一点M ，求点M 落在区域Ω内的概率．解：阴影部分的面积为∫π20(1－sin x )d x ＝π2－1，矩形的面积是π2×1＝π2，所以点M 落在区域Ω内的概率为π2－1π2＝1－2π.10．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x 得交点A (1，1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2|31＝23＋16＋43＝136.11．在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解：S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－∫t 0x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2，1－t 的面积，即S 2＝∫1t x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12. t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23. 所以当t ＝12时，S (t)最小，且最小值为14.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解： 以梯形的底边为x轴，底边的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y ＝ax 2，根据已知点(5，2)在该抛物线上，代入抛物线方程得a ＝225，即抛物线方程为y ＝225x 2，故抛物线与直线y ＝2所围成的图形的面积为2∫50⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫2x －275x 3|50＝403，梯形的面积为10＋62×2＝16.最大流量之比等于其截面面积之比，故比值为16403＝4840＝1.2.故填1.2.3．4 定积分与微积分基本定理1．定积分的定义(1)如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n)作和式∑i ＝1nb －anf (ξi )．当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作______________，即⎠⎛ab f (x )d x ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )．其中f (x )称为______________，x 称为______________，f (x )dx 称为______________，[a ，b ]为______________，a 为积分下限，b 为积分上限，“∫”称为积分号．(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为________、近似代替、求和、_______________________.2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝____________(k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝____________________； (3)⎠⎛ab f (x )d x ＝_____________________(其中a ＜c ＜b )．3．微积分基本定理 一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x ) ，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝___________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式．常常把F (b )－F (a )记作___________，即⎠⎛ab f (x )d x ＝___________＝___________. 4．定积分在几何中的简单应用(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S ＝____________.(2)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为负时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S ＝____________. (3)当x ∈[a ，b ]有f (x )＞g(x )＞0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )，y ＝g(x )围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S ＝____________.一般情况下，定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(4)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－aaf (x )d x ＝____________(其中a >0)；若f (x )是奇函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝__________(其中a >0)． 5．定积分在物理中的简单应用(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V (t)，速度方向不变)在时间区间[a ，b ]上所经过的路程S ＝____________. (2)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所做的功W ＝____________. (3)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿与力F 的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所做的功W ＝____________.自查自纠： 1．(1)⎠⎛a b f (x )d x 被积函数 积分变量 被积式 积分区间(2)分割 取极限2．(1)k ⎠⎛a b f (x )d x (2)⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x(3)⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x3．F (b )－F (a ) F (x )|b a F (b )－F (a ) F (x )|b a 4．(1)⎠⎛ab f (x )d x (2)－⎠⎛ab f (x )d x(3)⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x (4)2⎠⎛0a f (x )d x 05．(1)⎠⎛a b V (t )d t (2)⎠⎛a b F (x )d x (3)⎠⎛ab F (x )cos θd x(2017·西安调研)定积分∫10(2x ＋e x)d x 的值为 ( ) A ．e ＋2 B ．e ＋1 C ．e D ．e －1解：∫10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝1＋e 1－1＝e.故选C .(教材改编题)汽车以v ＝(3t ＋2)m /s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是( )A.132 m B ．6 m C.152 m D ．7 m 解：s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t |21＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m )．故选A.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为 ( )A.2π5B.43C.32D.π2解：根据图象可知，二次函数f (x )＝－(x ＋1)(x－1)＝1－x 2.所以所求面积S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 3|10＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43.故选B.⎠⎛－111－x 2 dx ＝________.解：⎠⎛－111－x 2 dx 的几何意义是单位圆位于x轴及其上方部分的面积，圆的面积为π，所以⎠⎛－111－x 2 dx ＝π2.故填π2.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈（1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x ＝________.解：⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋lne ＝43.故填43.类型一 计算简单函数的定积分(1)∫π20sin 2x2d x ＝________.解：∫π20sin 2x2dx ＝∫π201－cos x 2dx ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x |π20＝π4－12.故填π4－12. (2)若∫π20(sin x －a cos x )dx ＝2，则实数a ＝________.解：∫π20(sin x －a cos x )dx ＝(－cos x －a sin x )|π20＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2，所以a ＝－1.故填－1.(3)(2018·河北五校联考)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x ≤0， f [f (1)]＝1，则a ＝________.解：因为f (1)＝lg1＝0，f (0)＝⎠⎛0a3t2d t ＝t 3|a 0＝a 3，所以由f [f (1)]＝1得a 3＝1，a ＝1.故填1.点 拨：求定积分的步骤：第一步，把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和、差、积、商；第二步，利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；第三步，分别用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )；第四步，利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；第五步，计算所求定积分的值．(1)下列值等于1的是 ( )A.⎠⎛01x d x B.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x 解：⎠⎛011d x ＝x |10＝1.故选C.(2)若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2(a >1)，则a ＝________.解：由题意知⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln2，解得a ＝2.故填2.(3)设a ＝22ππ-⎰2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中x 的系数为 ( )A ．240B ．193C ．7D ．－6解：a ＝22ππ-⎰2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝22ππ-⎰(cos x －sin x )d x ＝22ππ-⎰cos x d x －22ππ-⎰sin x d x ＝2，⎝⎛⎭⎫a x －1x 6＝⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中x 的系数为C 2624(－1)2＝240.故选A.类型二 计算分段函数的定积分(1)定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝________.解：⎠⎛－22|x 2－2x |dx ＝⎠⎛－20(x 2－2x )dx ＋⎠⎛02(2x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫x 33－x 2|0－2＋⎝⎛⎭⎫x 2－x 33|20＝83＋4＋4－83＝8.故填8.(2)(2017·昆明检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]， 则∫20f (x )dx 等于 ( ) A.34 B.45 C.56D ．不存在解：如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2|21 ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56.故选C .点 拨：对分段函数f (x )求定积分，关键是找到分段点c 后利用定积分性质⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x 求解．(1)定积分⎠⎛02|x －1|d x ＝________.解：⎠⎛02|x －1|d x＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 22|10＋⎝⎛⎭⎫x 22－x |21＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫222－2－⎝⎛⎭⎫12－1＝1.故填1. (2)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，|x |≤2，1＋x 2，2＜x ≤4 在区间[－2，4]上的定积分．解：⎠⎛－24f (x )d x ＝⎠⎛－22(2x ＋1)d x ＋⎠⎛24(1＋x 2)d x＝(x 2＋x )|2－2＋⎝⎛⎭⎫x ＋13x 3|42＝743.类型三 利用定积分求平面图形的面积(1)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)，且当x ∈[0，2]时，4x ≥x 3，所以所求面积S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4|20＝4.故选D.(2)(2017·江西九校联考)⎠⎛01(2x ＋1－x 2)dx ＝________.解：⎠⎛011－x 2dx 表示单位圆面积的14，所以⎠⎛011－x 2dx ＝π4.又因为⎠⎛012xdx ＝x 2|10＝1，所以⎠⎛01(2x ＋1－x 2)dx ＝⎠⎛012xdx ＋⎠⎛011－x 2dx＝1＋π4.故填1＋π4.点 拨：用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积．应注意对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利用对称性，使问题简化．(1)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623解：由已知得l ：y ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝1， 得交点坐标为(－2，1)，(2，1)．如图阴影部分，由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称，所以所求面积S ＝2⎠⎛02⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －112x 3|20＝2⎝⎛⎭⎫2－812＝83.故选C. (2)给出如下命题：①⎠⎛b a 1d x ＝⎠⎛ab 1d t ＝b －a (a 、b 为常数，且a <b )；②⎠⎛－101－x 2d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＝π4；③⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x (a >0)． 其中正确命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解：由于⎠⎛b a 1d x ＝a －b ，⎠⎛ab 1d t ＝b －a ，①错误；由定积分的几何意义知，⎠⎛－11－x 2 d x 和⎠⎛011－x 2d x 都表示单位圆面积的14，所以都等于π4，②正确；只有当函数f (x )为偶函数时，才有⎠⎛－aa f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x ，③错误．故选B.类型四 定积分在物理中的简单应用一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是 ( )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln5D ．4＋50ln2 解：令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，所以汽车行驶的距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）|40＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.故选C .点 拨：物体沿直线朝一个方向运动的路程问题，只需对速度求定积分，积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J (x 的单位：m ，力的单位：N )． 解：变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从 x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |101＝342(J )．故填342.1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，可利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，由基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则反向求F (x )． 2．利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决．1．定积分⎠⎛013x d x 的值为 ( )A ．3B ．1 C.32 D.12解：⎠⎛013x d x ＝32x 2|10＝32.故选C. 2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛－11f (x )dx 等于( )A.⎠⎛－11x 2d xB.⎠⎛－112x d xC.⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012x d xD.⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x解：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，所以⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－102x dx ＋⎠⎛01x 2d x .故选D.3．由曲线y ＝x 2＋2x 与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为 ( ) A.16 B.13 C.56 D.23解：在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图中阴影部分所示，由x 2＋2x ＝x ，得交点坐标为(－1，－1)和(0，0)，故所求面积为S ＝ ⎠⎛－1[x －(x 2＋2x )]d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3－12x 2|0－1＝－13＋12＝16.故选A.4．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力的单位：N ，位移单位：m )作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A.233 J B. 3 J C.433 J D ．2 3 J解：⎠⎛12F (x )cos30°d x ＝32⎠⎛12(5－x 2)d x ＝32⎝⎛⎭⎫5x －13x 3|21＝433， 所以F (x )做的功为433J ．故选C.5．(2016·湖南四校联考)已知S 1＝⎠⎛12x d x ， S 2＝⎠⎛12e x d x ，S 3＝⎠⎛12x 2d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为 ( ) A ．S 1＜S 2＜S 3 B ．S 1＜S 3＜S 2 C ．S 3＜S 2＜S 1 D ．S 2＜S 3＜S 1 解：S 1＝12x 2|21＝12(4－1)＝32， S 3＝13x 3|21＝13(8－1)＝73＞32，S 2＝e x |21＝e 2－e ＝e (e －1)＞e ＞73.故选B. 6．若函数f (x )，g(x )满足⎠⎛－11f (x )g(x )dx ＝0，则称f (x )，g(x )为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g(x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g(x )＝x －1；③f (x )＝x ，g(x )＝x 2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：由①得f (x )g (x )＝sin 12x cos 12x ＝12sin x ，是奇函数，所以⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，所以①为区间[－1，1]上的正交函数；由②得⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝⎠⎛－11(x 2－1)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 1－1＝－43≠0，所以②不是区间[－1，1]上的正交函数；由③得f (x )g (x )＝x 3，是奇函数，所以⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，所以③是区间[－1，1]上的正交函数．故选C.7．(2018·山西临汾质检)若m >1，则f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎫1－4x 2dx 的最小值为________． 解：f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎫1－4x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋4x |m 1＝m ＋4m －5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立．故填－1.8．(2018·湖北八校联考)考虑函数y ＝e x 与函数y ＝ln x 的图象关系，计算：∫e 21ln x d x ＝____________.解：y ＝e x 与y ＝ln x 的图象关于直线y ＝x 对称，∫e 21ln x d x 即表示y ＝0，y ＝ln x ，x ＝e 2围成封闭区域的面积，由对称性知∫e 21ln x d x ＝2e 2－⎠⎛02e x d x ＝e 2＋1.故填e 2＋1.9．(2016·武汉模拟)如图，矩形OABC 的四个顶点依次为O (0，0)，A ⎝⎛⎭⎫π2，0，B ⎝⎛⎭⎫π2，1，C (0，1)，记线段OC ，CB 以及y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2的图象围成的区域(图中阴影部分)为Ω，若向矩形OABC 内任意投一点M ，求点M 落在区域Ω内的概率．解：阴影部分的面积为∫π20(1－sin x )d x ＝π2－1，矩形的面积是π2×1＝π2，所以点M 落在区域Ω内的概率为π2－1π2＝1－2π.10．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x 得交点A (1，1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2|31＝23＋16＋43＝136.11．在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解：S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－∫t 0x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2，1－t 的面积，即S 2＝∫1t x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12. t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23. 所以当t ＝12时，S (t)最小，且最小值为14.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解： 以梯形的底边为x轴，底边的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y ＝ax 2，根据已知点(5，2)在该抛物线上，代入抛物线方程得a ＝225，即抛物线方程为y ＝225x 2，故抛物线与直线y ＝2所围成的图形的面积为2∫50⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫2x －275x 3|50＝403，梯形的面积为10＋62×2＝16.最大流量之比等于其截面面积之比，故比值为16403＝4840＝1.2.故填1.2.3．4 定积分与微积分基本定理1．定积分的定义(1)如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n)作和式∑i ＝1nb －anf (ξi )．当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作______________，即⎠⎛ab f (x )d x ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )．其中f (x )称为______________，x 称为______________，f (x )dx 称为______________，[a ，b ]为______________，a 为积分下限，b 为积分上限，“∫”称为积分号．(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为________、近似代替、求和、_______________________.2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝____________(k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝____________________； (3)⎠⎛ab f (x )d x ＝_____________________(其中a ＜c ＜b )．3．微积分基本定理 一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x ) ，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝___________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式．常常把F (b )－F (a )记作___________，即⎠⎛ab f (x )d x ＝___________＝___________. 4．定积分在几何中的简单应用(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S ＝____________.(2)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为负时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S ＝____________. (3)当x ∈[a ，b ]有f (x )＞g(x )＞0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )，y ＝g(x )围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S ＝____________.一般情况下，定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(4)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－aaf (x )d x ＝____________(其中a >0)；若f (x )是奇函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝__________(其中a >0)． 5．定积分在物理中的简单应用(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V (t)，速度方向不变)在时间区间[a ，b ]上所经过的路程S ＝____________. (2)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所做的功W ＝____________. (3)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿与力F 的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所做的功W ＝____________.自查自纠： 1．(1)⎠⎛a b f (x )d x 被积函数 积分变量 被积式 积分区间(2)分割 取极限2．(1)k ⎠⎛a b f (x )d x (2)⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x(3)⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x3．F (b )－F (a ) F (x )|b a F (b )－F (a ) F (x )|b a 4．(1)⎠⎛ab f (x )d x (2)－⎠⎛ab f (x )d x(3)⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x (4)2⎠⎛0a f (x )d x 05．(1)⎠⎛a b V (t )d t (2)⎠⎛a b F (x )d x (3)⎠⎛ab F (x )cos θd x(2017·西安调研)定积分∫10(2x ＋e x)d x 的值为 ( ) A ．e ＋2 B ．e ＋1 C ．e D ．e －1解：∫10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝1＋e 1－1＝e.故选C .(教材改编题)汽车以v ＝(3t ＋2)m /s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是( )A.132 m B ．6 m C.152 m D ．7 m 解：s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t |21＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m )．故选A.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为 ( )A.2π5B.43C.32D.π2解：根据图象可知，二次函数f (x )＝－(x ＋1)(x－1)＝1－x 2.所以所求面积S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 3|10＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43.故选B.⎠⎛－111－x 2 dx ＝________.解：⎠⎛－111－x 2 dx 的几何意义是单位圆位于x轴及其上方部分的面积，圆的面积为π，所以⎠⎛－111－x 2 dx ＝π2.故填π2.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈（1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x ＝________.解：⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋lne ＝43.故填43.类型一 计算简单函数的定积分(1)∫π20sin 2x2d x ＝________.解：∫π20sin 2x2dx ＝∫π201－cos x 2dx ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x |π20＝π4－12.故填π4－12. (2)若∫π20(sin x －a cos x )dx ＝2，则实数a ＝________.解：∫π20(sin x －a cos x )dx ＝(－cos x －a sin x )|π20＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2，所以a ＝－1.故填－1.(3)(2018·河北五校联考)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x ≤0， f [f (1)]＝1，则a ＝________.解：因为f (1)＝lg1＝0，f (0)＝⎠⎛0a3t2d t ＝t 3|a 0＝a 3，所以由f [f (1)]＝1得a 3＝1，a ＝1.故填1.点 拨：求定积分的步骤：第一步，把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和、差、积、商；第二步，利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；第三步，分别用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )；第四步，利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；第五步，计算所求定积分的值．(1)下列值等于1的是 ( )A.⎠⎛01x d x B.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x 解：⎠⎛011d x ＝x |10＝1.故选C.(2)若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2(a >1)，则a ＝________.解：由题意知⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln2，解得a ＝2.故填2.(3)设a ＝22ππ-⎰2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中x 的系数为 ( )A ．240B ．193C ．7D ．－6解：a ＝22ππ-⎰2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝22ππ-⎰(cos x －sin x )d x ＝22ππ-⎰cos x d x －22ππ-⎰sin x d x ＝2，⎝⎛⎭⎫a x －1x 6＝⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中x 的系数为C 2624(－1)2＝240.故选A.类型二 计算分段函数的定积分(1)定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝________.解：⎠⎛－22|x 2－2x |dx ＝⎠⎛－20(x 2－2x )dx ＋⎠⎛02(2x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫x 33－x 2|0－2＋⎝⎛⎭⎫x 2－x 33|20＝83＋4＋4－83＝8.故填8.(2)(2017·昆明检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]， 则∫20f (x )dx 等于 ( ) A.34 B.45 C.56D ．不存在解：如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2|21 ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56.故选C .点 拨：对分段函数f (x )求定积分，关键是找到分段点c 后利用定积分性质⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x 求解．(1)定积分⎠⎛02|x －1|d x ＝________.解：⎠⎛02|x －1|d x＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 22|10＋⎝⎛⎭⎫x 22－x |21＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫222－2－⎝⎛⎭⎫12－1＝1.故填1. (2)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，|x |≤2，1＋x 2，2＜x ≤4 在区间[－2，4]上的定积分．解：⎠⎛－24f (x )d x ＝⎠⎛－22(2x ＋1)d x ＋⎠⎛24(1＋x 2)d x＝(x 2＋x )|2－2＋⎝⎛⎭⎫x ＋13x 3|42＝743.类型三 利用定积分求平面图形的面积(1)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)，且当x ∈[0，2]时，4x ≥x 3，所以所求面积S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4|20＝4.故选D.(2)(2017·江西九校联考)⎠⎛01(2x ＋1－x 2)dx ＝________.解：⎠⎛011－x 2dx 表示单位圆面积的14，所以⎠⎛011－x 2dx ＝π4.又因为⎠⎛012xdx ＝x 2|10＝1，所以⎠⎛01(2x ＋1－x 2)dx ＝⎠⎛012xdx ＋⎠⎛011－x 2dx＝1＋π4.故填1＋π4.点 拨：用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积．应注意对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利用对称性，使问题简化．(1)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623解：由已知得l ：y ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝1， 得交点坐标为(－2，1)，(2，1)．如图阴影部分，由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称，所以所求面积S ＝2⎠⎛02⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －112x 3|20＝2⎝⎛⎭⎫2－812＝83.故选C. (2)给出如下命题：①⎠⎛b a 1d x ＝⎠⎛ab 1d t ＝b －a (a 、b 为常数，且a <b )；②⎠⎛－101－x 2d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＝π4；③⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x (a >0)． 其中正确命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解：由于⎠⎛b a 1d x ＝a －b ，⎠⎛ab 1d t ＝b －a ，①错误；。