人教A版导学案-微积分基本定理.doc

1。

6微积分基本定理【学习目标】1．理解定积分的概念和定积分的性质，理解微积分基本原理；2．掌握微积分基本定理，并会求简单的定积分；3．能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出，满足的函数。

【学习重难点】重点：定积分的概念和定积分的性质 难点：微积分基本定理,并会求简单的定积分。

【问题导学】预习教材P 51～ P 54，找出疑惑之处. 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式） （1）条件：函数在区间上连续，并且 。

(2）结论: .(3）符号表示：= .（4）作用：建立了 与 间的密切联系,并提供了计算定积分的有效方法. 【合作探究】探究任务一:利用微积分基本定理求定积分 问题1：计算下列定积分: (1） ;（2） ;（3) ; (4） ；(5) ; （6）;(7) ； （8）。

答案：,,， ,，2，，.规律总结:用微积分基本定理求定积分时，求被积函数的原函数是关键，需要注意一下两点(1）熟练掌握基本函数的导数及导数的运算法则，学会逆运算；（2）当被积函数较为复杂，不容易找到原函数时,可适当变形后再求解。

特别地，需要弄清积分变量，精确定位积分区间,分清积分上限与积分下限.探究任务二：求分段函数的定积分问题2:已知计算。

答案：()()Fx f x '=()F x ()f x [],a b ()b af x dx =⎰()baf x dx =⎰321(4)x x d x--⎰251(1)x dx-⎰21(2)t dx +⎰211(1)dx x x +⎰12x dx⎰22(co s 2)x x d xππ-+⎰0332edx x +⎰222sin xdxππ-⎰203162t +4ln31ln 232ln2e +2π42,02(),cos ,2x x f x x x ππππ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩0()f x dxπ⎰2112π--变式:计算定积分.答案：5规律总结：若被积函数是分段函数，利用定积分的性质3，根据函数的定义域,将积分区间分解为相应的几部分,带入相应的解析式求解。

山东省乐陵市高中数学第一章导数及其应用1.6 微积分基本定理导学案（无答案）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山东省乐陵市高中数学第一章导数及其应用1.6 微积分基本定理导学案（无答案）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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微积分基本定理【学习目标】：1 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等） 2 了解牛顿-莱布尼兹公式【重、难点】 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系）， 直观了解微积分基本定理的含义 【自主学习】：1、微积分基本定理如果ƒ（x ）是区间[a,b ］上的______函数,并且F ˊ(x ）= f(x ）,那么⎰ba dx x f )(= _____________。

这个结论叫做微积分基本定理。

为了方便，我们常把F(b)—F(a)记作F （x)ba,⎰=bax F dx x f )()(ba =______________ .3、计算定积分()ba f x dx ⎰的关键是什么4、利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数5、定积分几何意义：()()()()x f x f x F x '2、若F =则与导函数相对应的原函数唯一吗？如果不唯一，它们之间有什么关系？原函数的选择影响最后的计算结果吗？(5)()sin ,()___________(6)()cos ,()___________(7)(),()___________(8)(),()___________1(9)(),()___________x x f x x F x f x x F x f x a F x f x e F x f x F x x==========若则若则若则若则若则3(1)(),()___________(2)(),()___________(3)(),()___________(4)(),()___________n f x c F x f x x F x f x x F x f x x F x ========若则若则若则若则①baf (x)dx (f (x)0)≥⎰表示②baf (x)dx (f (x)0)≤⎰表示6定积分的性质①ba kf (x)dx=⎰②b12a[f (x)f (x)]dx=±⎰③baf (x)dx=⎰微积分基本定理（自研自悟）题型一：用微积分基本定理求简单函数的定积分1、120x dx ⎰= 2、40cos xdx π⎰=3、1x e dx ⎰= 4、 ⎰10 (x 2－2x ）dx ；=5。

1.6 微积分基本定理学习目标：1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义．(重点、易混点)2.掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．微积分基本定理＝的函数[提示]不唯一，如F 1(x )＝x ＋1，F 2(x )＝x ＋5，…等其导数为1，故F (x )不唯一． 2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下．则 (1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图1­6­1①，则⎠⎛a b f (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图1­6­1②，则⎠⎛ab f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图1­6­1③，则⎠⎛ab f (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛ab f (x )d x ＝0.图① 图② 图③图1­6­1[基础自测]1．思考辨析(1)若⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab g (x )d x ，则f (x )＝g (x )( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．若a ＝⎠⎛01(x －2)d x ，则被积函数的原函数为( )A ．f (x )＝x －2B ．f (x )＝x －2＋C C ．f (x )＝12x 2－2x ＋CD ．f (x )＝x 2－2x[答案] C 3．cos x d x ＝________.[解析][答案] 14．如图1­6­2，定积分⎠⎛a b f (x )d x 的值用阴影面积S 1，S 2，S 3表示为⎠⎛ab f (x )d x ＝________.【导学号：31062090】图1­6­2[解析] 根据定积分的几何意义知⎠⎛abf (x )d x ＝S 1－S 2＋S 3. [答案] S 1－S 2＋S 3[合 作 探 究·攻 重 难](1)⎠⎛01(2x ＋e x)d x ；(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－3cos x d x ； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2－cos x 22d x ；(4)⎠⎛03(x －3)(x －4)d x .[解] (1)⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )＝(1＋e 1)－(0＋e 0)＝e.(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－3cos x d x ＝(ln x －3sin x )| 21＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1) ＝ln 2－3sin 2＋3sin 1. (3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2－cos x 22＝1－2sin x 2cos x2＝1－sin x ，＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋cos π2－(0＋cos 0)＝π2－1. (4)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12， ∴⎠⎛03(x －3)(x －4)d x＝⎠⎛03(x 2－7x ＋12)d x⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－72x 2＋12x＝27－632＋36＝632.[规律方法] 当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F x由微积分基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函数f x的一个原函数F x ；第二步：计算函数的增量F b －Fa[跟踪训练]1．计算下列定积分． (1)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ；(2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x2－sin 2x 2d x ； (3)⎠⎛49x (1＋x )d x .【导学号：31062091】[解] (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 33＋ln x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－83＋ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝ln 2＋23.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×27＋812－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×8＋162＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋812－163－8 ＝2716(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ；(2)⎠⎛02|x 2－1|d x .[思路探究] (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．[解] (1)(x －1)d x ＝(－cos x )＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3| 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝2.[规律方法] 1.本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解． [跟踪训练]2．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x ，0≤x ≤1，x 2，1＜x ≤2，求⎠⎛02f (x )d x .(2)求|x 2－x |d x 的值.【导学号：31062092】[解] (1)⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(1＋2x )d x ＋⎠⎛12x 2d x＝(x ＋x 2)＝2＋73＝133.(2)∵|x 2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，－2≤x ＜0，x －x 2，0≤x ≤1，x 2－x ，1＜x ≤2，∴|x 2－x |d x＝143＋16＋56＝173.[探究问题]1．求f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x 的表达式．提示：f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23ax 3－12a 2x 2＝23a －12a 2. 2．试求f (a )取得最大时a 的值． 提示：f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－43a ＋49＋29＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋29，∴当a ＝23时，f (a )的最大值为29.(1)已知t ＞0，f (x )＝2x －1，若⎠⎛0t f (x )d x ＝6，则t ＝________.(2)已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________．[解] (1)⎠⎛0t f (x )d x ＝⎠⎛0t (2x －1)d x ＝t 2－t ＝6，解得t ＝3或－2，∵t ＞0，∴t ＝3.(2)⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ＝32k ＋1.由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2.母题探究：1.(变条件)若将例3(1)中的条件改为⎠⎛tf (x )d x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，求t . [解] 由⎠⎛0t f (x )d x ＝⎠⎛0t (2x －1)d x＝t 2－t ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝t －1， ∴t 2－t ＝t －1，得t ＝1.2．(变条件)若将例3(1)中的条件改为⎠⎛0t f (x )d x ＝F (t )，求F (t )的最小值．[解] F (t )＝⎠⎛0t f (x )d x ＝t 2－t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14(t ＞0)， 当t ＝12时，F (t )min ＝－14.[规律方法] 利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限．[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列值等于1的是( )【导学号：31062093】A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x C [选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22＝12； 选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x ＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ＝12.] 2．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2D [⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝()x 2＋ln x ＝a 2＋ln a －1，∴a 2－1＝3，且ln a ＝ln 2，故a ＝2.]3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝________.【导学号：31062094】[解析] ⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x＝x 33－x 23＝83－43＝43[答案] 434．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ＜1，3－x ，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝________.[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋⎠⎛12(3－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －x 22＝176.[答案]1765．已知f (x )是二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠⎛01f (x )d x ＝0，求f (x )的解析式．[解] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴a ＋b ＋c ＝0. ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， ① ∴f ′(0)＝b ＝2.②⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx＝13a ＋12b ＋c ＝0.③由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，∴f (x )＝－32x 2＋2x －12.。

§1.6：微积分基本定理(导学案)学习目标1、通过实例，肓观了解微积分基木定理的含义，会用牛顿■莱布尼兹公式求简单的定积分.2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法.教学重点：通过探究变速宜线运动物体的速度与位移的关系，使学生肓观了解微积分基木定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分.教学难点：了解微枳分基本定理的含义.一、自主学习：1.定积分的定义：_________________________________ ,2.定积分记号：_________________________________________________思想与步骤____________________________________________几何意义. _____________________________________________3.用微积分基本定理求定积分［(〒+1肚=二、新知探究新知1：微积分基本定理：背景：我们讲过用定积分定义计算定积分，但如果要计算x3dx , f丄必其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

探究问题1：变速直线运动屮位置函数S(t)与速度函数v(t)之间的联系设一•物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位移为s(t),速度为v(t) (v(r)>^),则物体在时间间隔⑺込］内经过的位移记为S ,则一方面：用速度函数V⑴在吋间间隔⑺込］求积分, 可把位移S=s=另一方而：通过位移函数S (t)在［£,7；］的图像看这段位移S还可以表示为S(£) —S(W)探究问题2：位移函数S(I)与某一•吋刻速度函数V (t) Z间的关系式为5\0 = v(r)上述两个方而屮所得的位移S町表达为= s 二S(7］)-S©上Ifli的过程给了我们卅示上式给我们的启示:我们找到了用.f(x)的原函数(即满足F r(x) = f(x))的数值差F(b)-F(a)来计算/ (尢)在S,⑴上的定积分的方法。

课题：1.6微积分基本定理一、学习目标1.通过实例直观了解微积分积分定理的含义.2.熟练地用微积分积分定理计算微积分.二、教学重难点教学重点：理解微积分基本定理的含义，并能用定理计算简单的定积分．教学难点：理解微积分基本定理的含义．三、自学指导与检测自学指导自学检测及课堂展示阅读课本54-51P完成右框内容1.复习定积分的性质①bakf(x)dx=⎰ .②b12a[f(x)f(x)]dx=±⎰ .③baf(x)dx=⎰ .2.微积分基本定理(1)一般地，如果)(xf是区间[]b a,上的连续函数并且)()(xfxF=',那么=⎰b a dxxf)(___________ .这个结论叫做微积分基本定理，也叫做. (2)符合表示：=⎰b a dxxf)(= .【即式训练1】用微积分基本定理求简单函数的定积分．（1）12x dx⎰；（2）()dxxx⎰-122；（3）⎰102dxe x（4）⎰--22)4)(24(dxxx【变式训练1】计算下列定积分:⎰π0sin xdx,⎰ππ2sin xdx,⎰π20sin xdx.由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.3：用微积分基本定理求分段函数的定积分A 层1．下列积分正确的是( )2.dx x ⎰--1121等于( )A.4πB.2π C.π D.π2B 层3.dx x ⎰11-等于() A.⎰11-xdx B. dx ⎰11- C. ⎰-01-)(dx x ＋⎰10xdx D. ⎰01-xdx ＋⎰-10)(dx xC 层5.已知⎰--=-aa dx x 8)12(,求a 的值.【即时训练2】.求函数3(01)()(14)x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩在区间[0,4]上的积分.。

高中数学专题1.6 微积分基本定理教案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学专题1.6 微积分基本定理教案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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微积分基本定理【教学目标】1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．【教法指导】本节学习重点：会利用微积分基本定理求函数的积分．本节学习难点:直观了解并掌握微积分基本定理的含义．【教学过程】☆复习引入☆从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ错误!x3d x的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念-—导数和定积分,这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？☆探索新知☆探究点一微积分基本定理问题你能用定义计算ʃ错误!错误!d x吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢?思考1 如下图,一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t）,并且y（t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t）＝y′(t)．设这个物体在时间段[a,b]内的位移为s，你能分别用y（t)，v(t）表示s吗？答由物体的运动规律是y＝y（t)知：s＝y(b)－y(a），通过求定积分的几何意义，可得s＝ʃ错误!v(t)d t＝ʃ错误!y′（t)d t，所以ʃ错误!v(t)d t＝ʃ错误!y′(t）d t＝y(b）－y(a)．其中v(t）＝y′(t)．小结（1)一般地，如果f(x)是区间［a，b］上的连续函数，并且F′（x)＝f（x），那么ʃ错误!f（x)d x＝F（b)－F（a）．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃ错误!f（x）d x很方便，其关键是准确写出满足F′（x)＝f（x）的F（x）．思考2 对一个连续函数f（x）来说,是否存在唯一的F(x)，使F′（x）＝f（x)?若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答不唯一，根据导数的性质,若F′(x)＝f(x）,则对任意实数c,[F（x）＋c］′＝F′(x）＋c′＝f(x)．不影响，因为ʃ错误!f（x）d x＝[F（b）＋c］－[F（a）＋c］＝F(b)－F(a)例1 计算下列定积分：（1)ʃ错误!错误!d x；(2)ʃ错误!（2x－错误!）d x；(3）ʃ错误!(cos x－e x)d x。

sx-14-(2-2)-0261.6《微积分基本定理》导学案编写：刘威 审核：陈纯洪 编写时间:2014.5.13班级＿＿＿＿＿组名＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿等级＿＿＿＿＿＿＿【学习目标】1. 通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分；2. 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

【重点与难点】：重点：微积分基本定理（牛顿-莱布尼兹公式及其运用 难点：微积分基本定理的含义 【知识链接】知识点一：微积分基本定理自学教材 51—53页.探究一下导数和定积分的联系).知识点二：利用微积分基本定理求定积分阅读教材53-54，完成下列问题()()1322220111::1;22;(3)(2cos sin 1)dx x dx x x dx x x π--⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰例计算下列定积分202:,()f x dx ≤≤⎧⎨≤⎩⎰2x 0x 1例设f(x)=求5 1<x 2感悟提升：,微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系同时它也提供了计算定积分的一种()()()()()'.,.b af x dx F x f x F x F x =⎰计算定积分的关键是找到满足的函数通常我们可以运用基本初函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出【小结】1.微积分基本定理（牛顿—莱布尼茨公式）：2.变速直线运动中位移函数与速度函数的联系：3.利用微积分基本定理求定积分的方法步骤：【当堂检测】1.计算下列各定积分：（1）220(42)(4)x x --⎰ （2）1dx ⎰（3）212()x e dx x-⎰2. （1）计算定积分30sin xdxπ⎰的值，并从几何上解释这个值表示什么（2）计算定积分2sin x dxπ⎰.【课后反思】本节课我还有哪些疑惑？。

高中数学第一章导数及其应用1.6第1课时微积分基本定理学案新人教A版选修1、6第一课时微积分基本定理一、课前准备1、课时目标1、了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义；2、能够运用微积分基本定理计算简单的定积分；3、能解决简单的含参数积分问题。

2、基础预探1、如果f(x)是区间[a，b]上的________，并且F′(x)＝________，那么f(x)dx＝________、这个结论叫做微积分基本定理，又叫做________、2、微积分基本定理的符号表示f(x)dx＝F(x)|＝ ________、3、常见求定积分的公式（1）；（2）（c为常数）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。

二、学习引领1、微积分基本定理需注意的问题(1)在微积分基本定理中，F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上连续可积，则F(x)称为f(x)的一个原函数、(2)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与原函数之间的逆运算关系，为定积分的计算提供了一个简单有效的方法转化为计算其原函数在积分区间上的增量、(3)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F′(x)＝f(x)的原函数F(x)，即找被积函数的原函数，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算，运用基本函数求导公式和四则运算法则从反方向上求出F(x)、(4)根据导数知识，连续函数f(x)的原函数F(x)不唯一，这是由于[F(x)＋C]′＝f(x)，所以F(x)＋C也是函数f(x)的原函数，其中C为常数、求定积分可以选取任意一个原函数，由于f(x)dx＝[F(x)＋C]|＝[F(b)＋C]－[F(a)＋C]＝F(b)－F(a)，显然常数C对定积分的求解没有影响、2、计算简单定积分的步骤①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；②利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；③分别用求导公式找到F(x)，使得F (x)=f(x);④利用牛顿莱布尼兹公式2、F(b)－F(a)3、三、典例导析例1 变式训练解: (1)∵(x5)′＝5x4，∴5x4dx＝x5|＝105－25＝99968、(2)(1＋x＋x2)dx＝dx＋xdx＋x2dx＝x|＋x2|＋x3|＝(3－1)＋(32－12)＋(33－13)＝、(3)、(4－2x)(4－x2)dx＝(16－8x－4x2＋2x3)dx＝＝32－16－＋8＝、(4)|sinx|dx＝（-sinx）dx=cosx、=1、例2 变式训练解析：由于，例3 变式训练解析：(1)0≤a≤1时，f(a)＝|x2－a2|dx＝(a2－x2)dx＋(x2－a2)dx＝(a2x－x3)＋(－a2x)＝a3－a3－0＋0＋－a2－＋a3＝a3－a2＋。

第一章导数及其应用1.6微积分基本定理------------ 学 案一、学习目标1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 二、自主学习1．导数与定积分有怎样的联系？答 导数与定积分都是微积分学中两个最基本、最重要的概念，运用它们之间的联系，我们可以找出求定积分的方法，求导数与定积分是互为逆运算．2．在下面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积分别怎样表示？答 根据定积分与曲边梯形的面积的关系知：图(1)中S ＝⎠⎛a b f (x )d x ，图(2)中S ＝－⎠⎛a b f (x )d x ，图(3)中S ＝⎠⎛0b f (x )d x －⎠⎛a0f (x )d x .3．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )．4．函数f (x )与其一个原函数的关系(1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ； (2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1·x n ＋1；(3)若f (x )＝1x ，则F (x )＝ln x (x >0)； (4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ；(5)若f (x )＝a x，则F (x )＝a xln a(a >0且a ≠1)； (6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos x ；(7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin x . 三、合作探究要点一 求简单函数的定积分例1 计算下列定积分(1)⎠⎛123d x ； (2)⎠⎛02(2x ＋3)d x ； (3)⎠⎛3－1(4x －x 2)d x ； (4)⎠⎛12(x －1)5d x .解 (1)因为(3x )′＝3，所以⎠⎛123d x ＝(3x )⎪⎪⎪21＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x 2＋3x )′＝2x ＋3，所以⎠⎛02(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪2＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10.(3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2－x33′＝4x －x 2， 所以⎠⎛3－1(4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33⎪⎪⎪3－1＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤－2－－33＝203. (4)因为⎣⎡⎦⎤16x －6′＝(x －1)5，所以⎠⎛21(x －1)5d x ＝16(x －1)6⎪⎪⎪21＝16(2－1)6－16(1－1)6＝16. 规律方法 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a )． (2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②f (x )的原函数有无穷多个，如F (x )＋c ，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数c . 跟踪演练1 求下列定积分： (1)∫π20(3x ＋sin x )d x ；(2)⎠⎛21⎝⎛⎭⎫e x －1x d x . 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫32x 2－cos x ′＝3x ＋sin x ，∴∫π20(3x ＋sin x )d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2－cos x ⎪⎪⎪⎪π20＝⎣⎡⎦⎤32×⎝⎛⎭⎫π22－cos π2－⎝⎛⎭⎫32×0－cos 0＝3π28＋1； (2)∵(e x －ln x )′＝e x －1x，∴⎠⎛21(e x－1x )d x ＝()e x －ln x ⎪⎪⎪21＝(e 2－ln 2)－(e －0)＝e 2－e －ln 2. 要点二 求较复杂函数的定积分例2 求下列定积分：(1)⎠⎛41x (1－x )d x ； (2)∫π202cos 2x 2d x ；(3)⎠⎛41(2x ＋1x )d x .解 (1)∵x (1－x )＝x －x ，又∵⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2′＝x －x .∴⎠⎛41x (1－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪41＝⎝⎛⎭⎫23×432－12×42－⎝⎛⎭⎫23－12＝－176. (2)∵2cos 2x2＝1＋cos x ，(x ＋sin x )′＝1＋cos x ，∴原式＝∫π20(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π20＝π2＋1.(3)∵⎝⎛⎭⎫2xln 2＋2x ′＝2x ＋1x， ∴⎠⎛41(2x＋1x)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x ln 2＋2x ⎪⎪⎪41＝⎝⎛⎭⎫24ln 2＋24－⎝⎛⎭⎫2ln 2＋2＝14ln 2＋2. 规律方法 求较复杂函数的定积分的方法：(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余弦函数、指数、对数函数与常数的和与差．(2)确定积分区间，分清积分下限与积分上限． 跟踪演练2 计算下列定积分：(1)∫π30(sin x －sin 2x )d x ； (2)⎠⎛0ln 2e x (1＋e x )d x . 解 (1)sin x －sin 2x 的一个原函数是－cos x ＋12cos 2x ，所以∫π30(sin x －sin 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－cos x ＋12cos 2x ⎪⎪⎪⎪π30＝⎝⎛⎭⎫－12－14－⎝⎛⎭⎫－1＋12＝－14. (2)∵e x (1＋e x )＝e x ＋e 2x ，∴⎝⎛⎭⎫e x ＋12e 2x ′＝e x ＋e 2x ， ∴⎠⎛0ln 2e x (1＋e x )d x ＝⎠⎛0ln 2()e x ＋e 2xd x ＝⎝⎛⎭⎫e x ＋12e 2x ⎪⎪⎪ln 20＝e ln 2＋12e 2ln 2－e 0－12e 0＝2＋12×4－1－12＝52.要点三 定积分的简单应用例3 已知f (a )＝⎠⎛10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，∴⎠⎛10(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪10＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.规律方法 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用．跟踪演练3 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛10f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值．解 由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2. ① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0，②而⎠⎛10f (x )d x ＝⎠⎛10(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋12b ＋c ， ∴13a ＋12b ＋c ＝－2， ③由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.要点四 求分段函数的定积分例4 计算下列定积分：(1)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x cos x －1 x，求∫π2－1f (x )d x ；(2)⎠⎛30|x 2－4|d x .解 (1)∫π2－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1x 2d x ＋∫π20(cos x －1)d x ，又∵⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，(sin x －x )′＝cos x －1 ∴原式＝13x 3⎪⎪⎪－1＋(sin x －x )⎪⎪⎪⎪π20＝⎝⎛⎭⎫0＋13＋⎝⎛⎭⎫sin π2－π2－(sin 0－0)＝43－π2. (2)∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4 x ≥2或x ≤－2，4－x 2－2<x <2，又∵⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ′＝x 2－4，⎝⎛⎭⎫4x －13x 3′＝4－x 2， ∴⎠⎛30|x 2－4|d x ＝⎠⎛20(4－x 2)d x ＋⎠⎛32(x 2－4)d x ＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3⎪⎪⎪20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪32 ＝⎝⎛⎭⎫8－83－0＋(9－12)－⎝⎛⎭⎫83－8＝233. 规律方法 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论． 跟踪演练4 求⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .解 ∵|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，x >32，∴⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x ＝∫－32－3(－4x )d x ＋∫32－326d x ＋∫3324x d x＝－2x 2⎪⎪⎪⎪－32－3＋6x ⎪⎪⎪32－32＋2x 2⎪⎪⎪⎪332＝45.四、自主小测1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )⎪⎪ba ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝li m n →∞∑i ＝1n b －a n s ′(ξi )；④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝⎠⎛ab s ′(t )d t .A ．①B ．①②C ．①②④D ．①②③④2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3 B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)3．⎠⎛01(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值为( )A.32 B ．43C ．23D ．－235．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为 ．6．(2013·湖南)若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为 ．7．已知⎠⎛1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6且f (t )＝⎠⎛0t (x 3＋ax ＋3a －b )d x 为偶函数，求a ，b 的值．参考答案1答案 D 2答案 B解析 若F (x )＝x 3，则F ′(x )＝3x 2，这与F ′(x )＝x 2不一致，故选B. 3答案 C解析 ⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e.4答案 B解析 ⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛011d x ＝⎪⎪x 330－1＋1＝13＋1＝43，故选B. 5答案33解析 由已知得13a ＋c ＝ax 20＋c ，∴x 20＝13，又∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 6答案 3解析 ⎠⎛0T x 2d x ＝⎪⎪13x 3T 0＝13T 3＝9，即T 3＝27，解得T ＝3. 7解 ∵f (x )＝x 3＋ax 为奇函数，∴⎠⎛1－1(x 3＋ax )d x ＝0，∴⎠⎛1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝⎠⎛1－1(x 3＋ax )d x ＋⎠⎛1－1(3a －b )d x ＝0＋(3a －b )[1－(－1)]＝6a －2b .∴6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b ＝3， ①又f (t )＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤x 44＋a 2x 2＋a －b x t0＝t 44＋at 22＋(3a －b )t 为偶函数，∴3a －b ＝0，②由①②得a ＝－3，b ＝－9.。

实用文档2021年高中数学《微积分基本定理》教案2 新人教A 版选修2-2教学目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

教学难点：了解微积分基本定理的含义 一. 问题再现：1、复习：导数的定义及运算法则；定积分的概念及用定义计算2、利用定积分的定义计算 二. 自学导引：1、自学教材 51—53页,回答下面的问题：微积分基本定理 一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么_______________,这个结论叫做微积分基本定理，又叫做_______________，为了方便起见，还常用 表示________，即()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰注意：1、在定理中：若，那么_________，所以求定积分的关键是找到满足的任意一个函数即可；2、无论是或，此公式 都成立。

3、微积分基本定理的简单证明过程，了解即可。

证明：因为=与都是的原函数，故-=C （），其中C 为某一常数。

令得-=C ，且==0即有C=，故 =+即=-= 令，有2、看53-54页的例2回答下面的问题：定积分的取值：定积分的取值可能取________，也可能取_______，还可能是__________（1）当对应的曲边梯形位于_________，定积分的值取________，且等于____________ （2）当对应的曲边梯形位于_________，定积分的值取________，且等于____________ （3）当位于轴_____________等于位于轴____________，定积分的值为__________ ， 且等于位于轴_____________减去位于 x 轴__________________．三. 交流展示：比较用定积分定义计算定积分与用微积分基本基本定理求定积分的优越性： 四. 典型例题：例1．计算下列定积分：（1）；（2）； 例2．计算下列定积分：（1） ；（2）点拨提升：本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求对前面导数的知识非常熟练.1.7定积分的简单应用学习目标：1.进一步深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2.深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；4.体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。

微积分基本定理（学案）◆一、学习目标定位学习目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 学习重点：1、微积分基本定理的内容2、用微积分基本定理的求简单的定积分学习难点：微积分基本定理的引入◆二、新课导入复习定积分的概念试用定义计算211dx x⎰的值. 解：分析：求解过程遇到麻烦，究其原因“和式难求”。

就需寻求新的解决方法。

◆三、新知探究1. 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系一个作变速直线运动的物体的位移满足函数()y y t =,由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度为 .设这个物体在时间段[],a b 内的位移为s ,试用(),()y t v t s 表示。

问题分解：1）如何用y(t)表示[a,b]内的位移s?2）如何用v(t)表示[a,b]内的位移s?dx x ⎰2111()lim nn i if x n→∞==∙∆∑111limnn i i nn →∞==∙∑11lim nn i i→∞==∑111lim(1)23n n→∞=++++综合可得:2. 微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式一般的，如果函数[](),()(),f x a b F x f x '=是区间上的连续函数，并且那么，()baf x dx =⎰。

这就是微积分基本定理，也叫牛顿——莱布尼兹公式。

也记作：()baf x dx =⎰= 。

.说明：(!)．它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题。

我们可以用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分.(2)。

它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。

思考并回答下列问题：（2）计算定积分()baf x dx ⎰的关键是什么？s()()f x F x （1）与函数相对应的唯一吗？如果不唯一，它们之间有什么关系？原函数的选择影响最后的计算结果吗？()()f x F x (3)寻找函数的原函数的方法是什么？（4）利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数例题精析例2、计算下列定积分： （1）211dx x⎰解： 解：例2．计算下列定积分：220sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-2[人教版A]1.4.2微积分基本定理教学目标：了解牛顿-莱布尼兹公式教学重点：牛顿-莱布尼兹公式教学过程一、复习：定积分的概念及计算二、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -且()()S t v t '=。

对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()ba f x dx Fb F a =-⎰若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。

定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰证明：因为()x Φ=()xa f t dt ⎰与()F x 都是()f x 的原函数，故()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）其中C 为某一常数。

令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ=()aa f t dt ⎰=0即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a∴ ()x Φ=()F x -()F a =()xa f t dt ⎰ 令xb =，有()()()ba f x dx Fb F a =-⎰为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即()()|()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。

吉林省长春市实验中学高二数学《微积分基本定理 （2）》导学案 新人教A 版选修2-2【学习目标】1．会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分；2．通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法；3. 熟练牛顿-莱布尼兹公式，轻松解决函数定积分。

【重点难点】 重点：微积分基本定理难点：准确求函数的定积分【自主学习】知识链接： 微积分基本定理：如果函数()f x 是[,]a b 上的连续函数，并且 ，那么()()()ba f x dx Fb F a =-⎰。

或写成 。

【合作释疑】合作探究一：微积分基本定理的应用例1．计算下列定积分：（1）dx x x )4)(24(220--⎰ （2）dx x x )cos (sin 10-⎰（3）dx xx x )1(221+-⎰ （4）dx t )7(10+⎰合作探究二：定积分性质的应用例2．计算下列定积分：（1）dx x x )2332(33-++⎰-（2）（实验班）求函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈∈=]3,2[2]2,1[]1,0[)(3x x xx x x f x 在区间]3,0[上的积分。

【巩固训练，整理提高】一．例题讲解例3．计算下列定积分：（1）dx x 231⎰ （2）xdx 2cos 40π⎰（3）（实验班）dx e e x x )1(2ln 0+⎰ 迎接挑战：寻找突破难点的快乐例4．（实验班）计算定积分：dx x x 2201+⎰dx xx +⎰120二．通过本节课的学习，你有哪些收获？1．知识上2．思想方法上3．反思（学生自填本节课不懂的地方或错题）三．巩固训练题1.计算xdx 2cos 46ππ⎰=_________2．若）（00)32(20>=-⎰k dx x x k，则k =（ ）A.0B. 1C. 0或1D. 以上都不对3．抛物线x x y -=2，直线1-=x 及x 轴围成的图形的面积为（ ）A.32 B. 1 C. 34 D. 35 4．设⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]2,1[2]1,0[)(2x x x x x f ，则=⎰dx x f )(20（ ）A. 43B. 54C. 65 D.不存在 5．（实验班）已知dx x a ax a f )2()(2210-⎰=，求)(a f 的最大值。