八年级数学上册实数微专题：实数的大小比较【期末热点】北师大版

知识点一、【平方根】如果一个数x的平方等于a,那么这个数x就叫做a的平方根；即：当x2 a(a 0)时，我们称x是a的平方根，记做：x ...a (a 0)。

因此：1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2、当a>0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：x .. a。

3、当a v0时，即a为负数时，它不存在平方根。

例1： (1) ______ 的平方是64,所以64的平方根是 _________ 。

(2) _______ 的平方根是它本身。

(3) _____________________________ 若.x的平方根是立，则x= ; . 16的平方根是 ______________________________________ 。

(4)当x ________________ 时，3-2x有意义。

(5) ______________________________________________ 一个正数的平方根分别是m和叶4,则m的值是 ______________________________________ ，这个正数是_______ 。

知识点二、【算术平方根】：1、如果一个正数x的平方等于a,即x2a，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“订”，读作，根号a”，其中，a称为被开方数。

特别规定：0的算术平方根仍然为0。

2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：,a 0(a 0)。

3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：掐；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：Ja。

例2： (1)下列说法正确的是( )A、1的立方根是 1 ;B、•- 4 2 ;C、81的平方根是 3 ;D、0没有平方根•(2)下列各式正确的是( )A、陌9B、3.14 3.14 C"27 恥D、屈 V3 42(3) ________________________ ( 3)2的算术平方根是_______________________ 。

实数的运算及大小比较的教学反思《实数》是北师大版八年级上册第二章的内容，而实数的运算又是在完成了本章最后一节实数的教学后的知识的延续和巩固，也是对前面所学知识的综合运用。

任老师在本节课的教学中，体现了扎实的教学基本功，课堂的教学思路清晰，节奏把握较好。

一方面把握好学生对已学知识的回顾，对新学知识的探究，进行课堂教学的展开；另一方面，把握好学生的学习兴趣，进行深入的探究。

教学过程中，注重学生知识的形成过程，让知识的生成既符合由易到难的一般规律，又符合学生的认知特点和认知规律。

同时，在问题解决之后，教师能进行一定得概括和总结，帮助学生提炼知识，并且在课堂教学中充分发挥学生的主体学习，通过不同习题引导学生进行有效地知识探究和知识应用，并能根据学生在课堂中的学习情况调整教学，对学生在学习中出现的问题和知识疑点进行及时的点评和分析，帮助学生巩固知识和突破知识的重难点，同时通过互助的形式让学习进行自我探究和合作探究，从而来完成学生对知识的学习。

几点建议：①教师要做好自己的课堂激情，这样才能激发学生的学习热情，教师充满激情会让学生感受学习数学的快乐，同时更要让学生感受枯燥的数学中其实是乐趣无穷的；②问题设计要严密，不能随意。

要做到“问有目的"，而不是“过堂问”。

同时，教师的补问和追问也要符合问题的要求，不能无效的问。

③合理处理学生出现的问题，课堂中教师可以放手让学生进行互评、互改、互议。

实数是北师大版八年级上册第二章的内容，而实数的运算又是在完成了最后一节实数的教学后的知识的延续和巩固，也是对前面所学知识的综合运用。

任老师在本节课的教学中，体现了扎实的教学基本功，课堂的教学思路清晰，节奏把握较好。

一方面把握好学生对已学知识的回顾，对新学知识的探究，进行课堂教学的展开；另一方面，把握好学生的学习兴趣，进行深入的探究。

教学过程中，注重学生知识的形成过程，让知识的生成既符合由易到难的一般规律，又符合学生的认知特点和认知规律。

第一章勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222a b c+= 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系，222a b c+=，那么这个三角形是直角三角形。

勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数。

第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：〔1〕开方开不尽的数，如32,7等；〔2〕有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； 〔3〕有特定结构的数，如0.1010010001…等；二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数〔只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零〕，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

〔|a|≥0〕。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，假设|a|=a ，则a ≥0；假设|a|=-a ，则a ≤0。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴〔画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可〕。

5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“a ”，读作根号a 。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根〔或二次方根〕。

实数的大小比较及运算实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数两大类。

在数学运算中，实数的大小比较及运算是最基础的部分之一，对于学生来说，掌握实数的大小比较及运算是非常重要的。

本文将从实数的大小比较和基本运算两个方面进行详细介绍。

一、实数的大小比较1. 正数和负数的比较正数是大于零的实数，负数是小于零的实数。

在实数中，正数大于负数。

例如，1比-1要大，2比-2要大。

当然，绝对值较大的负数，比绝对值较小的正数要小。

比如，-5比3要小。

2. 零和正数、负数的比较零是实数中最小的数，比任何正数都要小，但是大于任何负数。

如0比1要小，0比-1要大。

3. 实数的比较运算规则（1）同号相乘为正，异号相乘为负。

（2）同号相加为正，异号相加为负。

（3）绝对值较大的数，在同号运算时，结果的绝对值较大；在异号运算时，结果的绝对值较小。

二、实数的基本运算1. 实数的加法实数的加法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。

例如，a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，a(b+c)=ab+ac。

2. 实数的减法实数的减法可以转化为加法运算，即a-b=a+(-b)。

减法满足减法的交换律：a-b≠b-a。

3. 实数的乘法实数的乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。

例如，ab=ba，a(bc)=(ab)c，a(b+c)=ab+ac。

4. 实数的除法实数的除法定义为a÷b=a×(1/b)，其中b≠0。

除法满足除法的性质：a÷b≠b÷a。

5. 实数的乘方与开方实数的乘方定义为a的n次方是指n个a相乘，即an=a×a×…×a。

实数的开方是乘方的逆运算，即对于实数a，若b是满足b^n=a的实数，则b叫做a的n次方根。

通过以上详细介绍，相信大家对实数的大小比较及运算有了更深入的了解。

掌握实数的大小比较及运算是数学学习的基础，也是解决实际问题的重要方法。

在日常学习中多加练习，相信你会掌握实数的大小比较及运算，取得更好的学习成绩。

【学习课题】 第12课时 实数比较大小【学习目标】1.掌握估算的方法，能估算一个无理数的大致范围比较两个数的大小。

2.尝试掌握各种不同的方法来比较两个无理数的大小。

【候课朗读】2≈1.414 3≈1.732 5≈2.236 【学习过程】一．估算法1.估算求值：20 =？解： 252016〈〈 5204〈〈∴ (误差小于1)25.202036.19〈〈 5.4204.4〈〈∴ (误差小于0.1)通过本例你学到了什么？2、利用估算法比较下列各数的大小例1：（1）15-与 1 （2）12与 3.5 （3）3110-与32解：∵15-≈2.236-1=1.236﹥1 ∴15-﹥1二.平方法：一般地，如果220.0,,a b ab a b >>>>且那么例2: (1) （2）解 222519563742=⨯==⨯= 145372∴>∴>扩展：还可寻找其根指数的最小公倍数，将两边同时n 次方。

例3：（1）15与325 （2）、328与8 解：∵337515)15(36== ，62525)25(263==又∵3375﹥625 ∴15﹥325 三．把根号外的非负数移到根号内例4：（1）-- （2）--解（1）-==-==150180<∴->-四．倒数法：应用公式 n n n n ++=-+111例5：（1 （2解：∵21517)1517()1517(=-=+-∴151721517+=-=【达标检测】比较下列各组数的大小（说明比较方法） （1）、5与38 （2）、35与3（3）3553与 （4）22与（511 （6）3【资源链接】利用数轴比较大小： 例：比较22的大小（1）先在数轴上找到表示.（2）把找2个单位，此时B ，那么点B 表示的数就是22A ，所以A 表示的数就是2.（3）在数轴上点B 在点A 的左边，所以22.。

第二章《实数》知识点梳理及题型解析一、知识归纳（一）平方根与开平方1. 平方根的含义如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

即a x =2，x 叫做a 的平方根。

2.平方根的性质与表示⑶平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数a 的平方根的运算。

⑷a 的双重非负性例：y x x =-+-44 得知0,4==y x⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。

区分：4的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=4开平方后，得____3.计算a 的方法⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧精确到某位小数　＝非完全平方类 ＝完全平方类 773294 1．立方根的定义如果一个数的立方等于a ，呢么这个数叫做a 的立方根，记作3a2. 立方根的性质任何实数都有唯一确定的立方根。

正数的立方根是一个正数。

负数的立方根是一个负数。

０的立方根是０. 3. 开立方与立方开立方：求一个数的立方根的运算。

１. 如果一个数的n 次方（n 是大于１的整数）等于a ，这个数就叫做a 的n 次方根。

当n 为奇数时，这个数叫做a 的奇次方根。

当n 为偶数时，这个数叫做a 的偶次方根。

２. 正数的偶次方根有两个：n a ±；０的偶次方根为０：00=n ；负数没有偶次方根。

正数的奇次方根为正。

０的奇次方根为０。

负数的奇次方根为负。

（四）实 数1. 实数：有理数和无理数统称为实数 实数的分类：①按属性分类：②按符号分类2. 实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．2的画法：画边长为1的正方形的对角线在数轴上表示无理数通常有两种情况：①尺规可作的无理数，如2②尺规不可作的无理数，只能近似地表示，如π，1.010010001……思考：（1）－a2一定是负数吗？－a一定是正数吗？（2）大家都知道是一个无理数，那么－1在哪两个整数之间？（3）15的整数部分为a,小数部分为b，则a= , b= 。

专题01 实数的有关概念及运算☞解读考点☞2年中考【2015年题组】1．（2015 ）A ．0.4与0.5之间B ．0.5与0.6之间C ．0.6与0.7之间D ．0.7与0.8之间【答案】C ．考点：估算无理数的大小．2．（2015常州）已知a=22，b=33，c=55，则下列大小关系正确的是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b 【答案】A ．考点：实数大小比较．3．（2015泰州）下列4227，π，0，其中无理数是（ ）AB ．227 C ．π D．【答案】C ． 【解析】试题分析：π是无理数，故选C ． 考点：1．无理数；2．零指数幂．4．（2015资阳）如图，已知数轴上的点A 、B 、C 、D 分别表示数﹣2、1、2、3，则表示数3的点P 应落在线段（ ）A ．AO 上B ．OB 上C ．BC 上D ．CD 上 【答案】B ． 【解析】试题分析：∵23，∴0＜3-＜1，故表示数3的点P 应落在线段OB 上．故选B ．考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴．5．（2015广元）当01x <<时，x 、1x 、2x 的大小顺序是（ ） A ．21x x x << B ．21x x x << C ．21x x x << D ．21x xx <<【答案】C ．【解析】试题分析：∵01x <<，令12x =，那么214x =，14x =，∴21x x x <<．故选C ． 考点：实数大小比较． 6．（2015210a b +-+=，则()2015b a -=（ ）A ．﹣1B ．1C ．20155 D ．20155-【答案】A ． 【解析】试题分析：∵210a b +-+=，∴⎩⎨⎧=+-=++01205b a b a ，解得：⎩⎨⎧-=-=32b a ，则()20152015321b a -=-+=-（）．故选A ．考点：1．解二元一次方程组；2．非负数的性质．7．（2015武汉）在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是（ ） A ．﹣3 B ．0 C ．5 D ．3 【答案】A ．考点：实数大小比较． 8．（2015荆门）64的立方根是（ ） A ．4 B ．±4 C ．8 D ．±8 【答案】A ． 【解析】试题分析：∵4的立方等于64，∴64的立方根等于4．故选A ． 考点：立方根． 9．（2015北京市）实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．d 【答案】A ． 【解析】试题分析：根据图示，可得：3＜|a|＜4，1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，2＜|d|＜3，所以这四个数中，绝对值最大的是a ．故选A ． 考点：实数大小比较．10．（2015河北省）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④ 【答案】C ．考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴．11．（2015六盘水）如图，表示7的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（）A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C【答案】A．【解析】试题分析：∵6.25＜7＜9，∴2.5＜7＜3，则表示7的点在数轴上表示时，所在C和D 两个字母之间．故选A．考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴．12．（2015通辽）实数tan45°，0，35π-，13-，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是（）A．4 B．2 C．1 D．3【答案】D．【解析】试题分析：在实数tan45°，0，35π-13-，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1）中，无理数有：35π-，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），共3个，故选D．考点：无理数．13．（2015淄博）已知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组81mx nynx my+=⎧⎨-=⎩的解，则2m n-的平方根为（）A．±2 BC．D．2【答案】A．考点：1．二元一次方程组的解；2．平方根；3．综合题．14．（201558（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】＜．【解析】为黄金数，约等于0.618，50.625 8=，显然前者小于后者．或者作差法：58-==<，所以，前者小于后者．故答案为：＜．考点：1．实数大小比较；2．估算无理数的大小．15．（2015资阳）已知：2(6)0a+=，则224b b a--的值为．【答案】12．【解析】试题分析：∵2(6)0a++=，∴60a+=，2230b b--=，解得，6a=-，223b b-=，可得2246b b-=，则224b b a--=6(6)--=12，故答案为：12．考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：偶次方．16．（2015自贡）若两个连续整数x、y满足yx<+<15，则x+y的值是．【答案】7．【解析】试题分析：∵2＜3，∴3＜1+＜4，∴x=3，y=4，∴x+y=7，故答案为：7．考点：估算无理数的大小．17．（2015巴中）计算：0112(2015)2sin60()3π---++．【答案】4．【解析】试题分析：根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值进行计算即可．试题解析：原式=2123--+=1+3=4．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．18．（2015031201530893-+-⨯．【答案】0．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．特殊角的三角函数值．19．（2015临沂）计算：1)-+．【答案】【解析】试题分析：先根据平方差公式展开后，再根据完全平方公式展开后合并即可．试题解析：解：原式1)+-1)]=221)--3(21)=--321=-+=．考点：实数的运算．【2014年题组】 1．（2014年福建福州中考）地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学计数法表示为（ ）A ．41110⨯ B ．51.110⨯ C ．41.110⨯ D ．60.1110⨯ 【答案】B ．考点：科学计数法．2．（2014年福建三明中考）13-的相反数是（ ）A. 13 B. 13-C. 3D. 3-【答案】A ．试题分析：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0. 因此，13-的相反数是13. 故选A ．考点：相反数． 3．（2014年黑龙江大庆中考）下列式子中成立的是（ ）A. ﹣|﹣5|＞4B. ﹣3＜|﹣3|C. ﹣|﹣4|=4D. |﹣5.5|＜5 【答案】B ． 【解析】试题分析：先对每一个选项应用绝对值的性质化简，再进行比较即可： A ．﹣|﹣5|=﹣5＜4，故A 选项错误； B ．|﹣3|=3＞﹣3，故B 选项正确； C ．﹣|﹣4|=﹣4≠4，故C 选项错误； D ．|﹣5.5|=5.5＞5，故D 选项错误． 故选B ．考点：1．绝对值；2．有理数的大小比较． 4．（2014年湖北宜昌中考）如图，M ，N 两点在数轴上表示的数分别是m ，n ，则下列式子中成立的是（ ）A. m+n ＜0B. -m ＜-nC. m|-|n|＞0D. 2+m ＜2+n 【答案】D ．考点：1．数轴；2．不等式的性质．5．（2014年贵州黔南中考）计算()20123-+--的值等于（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 5【答案】A ． 【解析】试题分析：针对有理数的乘方，零指数幂，绝对值3个考点分1．别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果： ；2．故选A ． 考点：实数的运算．6．（2014年黑龙江大庆中考）若x y 0-+=，则y 3x-的值为 ．【答案】12．【解析】试题分析：∵x y 0-+=，∴x y 0x 2y 20y 2-==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩．∴y 32311x 222---===． 考点：1．实数的非负性；2．负整数指数幂．7．（2014年吉林省中考）若a ＜13＜b ，且a ，b 为连续正整数，则b2﹣a2= ． 【答案】7．【解析】试题分析：∵32＜13＜42，∴3＜4，即a=3，b=4．∴b2﹣a2=42﹣32=7．考点：无理数的估算． 8．（2014年新疆区兵团中考）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3．1=，按此规定，1⎤⎦=_____________ 【答案】2．【解析】试题分析：∵9＜13＜16，∴3＜4．∴21-＜3，∴1⎤-⎦=2． 考点：1．新定义；2．无理数的估算．9．（2014年甘肃兰州中考）为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S ﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是．【答案】2015312-． 考点：1．有理数的运算；2．阅读理解型问题．10．（2014年内蒙古赤峰中考）计算：(1018sin 454π-⎛⎫--- ⎪⎝⎭【答案】-3．【解析】 试题分析：(118sin 45184334π-⎛⎫---=+--=--=- ⎪⎝⎭．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．☞考点归纳归纳 1：实数及其分类 基础知识归纳：基本方法归纳：判断一个数是不是有理数，关键是看它是不是有限小数或无限循环小数；判断一个数是不是无理数，关键在于看它是不是无限不循环小数．注意问题归纳：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；【例11,tan 453π︒中，其中无理数的个数是（ ）A.2B.3C.4D.5【答案】A ．考点：无理数．归纳 2：实数的有关概念 基础知识归纳： 1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称 2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0；正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立.倒数等于本身的数是1和-1．基本方法归纳：如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立；零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0注意问题归纳：零没有倒数；一个非零的数的绝对值一定是正数【例2】若实数x ，y270x y +-+=，则x y = ．【答案】19．考点：非负数．归纳 3：实数的大小比较 基础知识归纳：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．基本方法归纳：（1）求差比较：设a 、b 是实数，,0b a b a >⇔>-,0b a b a =⇔=-b a b a <⇔<-0（2）求商比较法：设a 、b 是两正实数，;1;1;1b a b ab a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔>（3）平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>22．注意问题归纳：实数的大小比较，一般要将其进行化简，并合理选择方法来进行比较．【例3】用“＜”号，将1)61(-、0)2(-、2)3(-、22-连接起来______ 【答案】2102)3()61()2(2-<<-<--．【解析】试题分析：先根据有理数的乘方法则依次计算出各个数的值，再根据有理数的大小比较法则比较．∵6)61(1=-，1)2(0=-，9)3(2=-，422-=- ∴2102)3()61()2(2-<<-<--．考点：实数的大小比较．归纳 4：科学计数法与近似数基础知识归纳：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．基本方法归纳：利用科学计数法表示一个数，在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1.当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）注意问题归纳：利用科学计数法表示数和转化为原数时，要注意数位的变化．【例4】据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失约为1.5亿元，一年的经济损失约为54750000000元，用科学记数法表示这个数为 A ．5.475×1011 B ．5.475×1010 C ．0.5475×1011 D ．5475×108 【答案】B ．考点：科学计数法． 归纳 5：实数的混合运算基础知识归纳：实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算.同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行基本方法归纳：实数的混合运算经常涉及到零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、二次根式等内容，要熟练掌握这些知识．注意问题归纳：实数的混合运算经常以选择、填空和解答的形式出现，是中考是热点，也是比较容易出错的地方，在解答此类问题时要注意基本性质和运算的顺序．【例5】计算：(114sin4512-⎛⎫-︒-+ ⎪⎝⎭【答案】1．【解析】针对负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式化简4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果：(114sin45124112-⎛⎫-︒-+=--+= ⎪⎝⎭考点：实数的运算．☞1年模拟1．（2015的算术平方根是（ ） A ．2 B ．±2 CD ．【答案】C ．=2，而2，故选C ．考点：算术平方根．2．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）在实数π、13、tan60°中，无理数的个A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C．【解析】试题分析：∵tan60°∴在实数π、13、tan60°中，无理数有：和tan60°．故选C．考点：1．无理数；2．特殊角三角函数值．3．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）14的算术平方根是（）A．-12B．12C．±12D．116【答案】B．考点：算术平方根．4．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）下列计算结果是负数的是（）A．3-2 B．3×（-2）C．3-2 D【答案】B．【解析】试题分析：A：3-2=1，计算结果是正数，据此判断即可．B：3×（-2）=-6，计算结果是负数，据此判断即可．C：3-2=19，计算结果是正数，据此判断即可．D是一个正数，据此判断即可．试题解析：∵3-2=1，计算结果是正数，∴选项A不正确；∵3×（-2）=-6，计算结果是负数，∴选项B正确；∵3-2=19，计算结果是正数，∴选项C不正确；D不正确．故选B．考点：实数的运算．5．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）面积为10m2的正方形地毯，它的边长介于（）A．2m与3m之间B．3m与4m之间C．4m与5m之间D．5m与6m之间【解析】34，∴其边长在3m与4m之间．故选B．考点：估算无理数的大小．6．（2015届河北省中考模拟二）下列无理数中，不是介于-3与2之间的是（）A．BC．D【答案】B．考点：估算无理数的大小．7．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）实数5的相反数是（）．A．15B．-15C．﹣5 D．5【答案】C．【解析】试题分析：∵符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，∴5的相反数是﹣5．故选C．考点：实数的性质．8．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）下列四个数中，值最小的数是（）．A．tan45°BC．πD．83【答案】A．【解析】试题分析：tan45°=1，根据实数比较大小的方法，可得，183＜π，所以tan45°＜＜83＜π，因此四个数中，值最小的数是tan45°．故选A．考点：1．实数大小比较；2．特殊角的三角函数值．9．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）已知直角三角形两边x、y的长满足|x2-4|+，则第三边长为．【答案】、考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．算术平方根；3．勾股定理；4．分类讨论． 10．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）计算：2-1+2cos30°-tan60°-（π+）0= ．【答案】-12．【解析】试题分析：原式=1212+-=-12．故答案为：-12．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值． 11．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）的算术平方根为 ． 【答案】2．【解析】 试题分析：∵4=2，2的算术平方根是2，∴4的算术平方根为2．故答案为：2．考点：算术平方根．12．（2015届北京市平谷区中考二模）计算：()1012sin 60133π-⎛⎫--︒-+- ⎪⎝⎭．【答案】-3．【解析】试题分析：分别进行负整数次幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、零指数幂，然后按照实数的运算法则计算即可．试题解析：原式=3211--+-+=3--+3-．考点：实数的运算．13．（2015届安徽省安庆市中考二模）计算：﹣32+．【答案】-9．考点：1．实数的运算；2．特殊角的三角函数值．14．（2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）计算：（-12）-1+（π）0-3tan30°【答案】-1．【解析】试题分析：原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．试题解析：原式=-1．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．15．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）计算：﹣2sin30°﹣（﹣13）﹣2+﹣π）0（﹣1）2012．【答案】-6．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．。

第一章勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222a b c +=2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系，222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。

勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数。

第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

（|a|≥0）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“a ”，读作根号a 。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x 就叫做a的平方根（或二次方根）。

小专题(二) 实数的大小比较方法一 直接比较法对于a 和b 类型的题目，要比较它们的大小，只要比较被开方数，被开方数的值越大，根式的值越大．1．比较大小：－3＋1与－5＋1.2．比较313与11的大小．方法二 放缩法用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是：把要比较的两个数进行适当的放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数的大小的目的．3．满足－2＜x ＜3的整数x 是( )A ．0B ．－1C ．1D ．±1，04．若m ＝40－4，则估计m 的值所在的范围是( )A ．1<m<2B ．2<m<3C ．3<m<4D ．4<m<55．比较3，10，325的大小，下列正确的是( )A ．3＜10＜325B ．3＜325＜10C.325＜3＜10D.10＜325＜36．比较7＋2与57－2的大小．方法三 因式内移法将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小．7．比较27与33的大小．8．比较－233与－332的大小．方法四 作差(商)法对于一个是带有无理数的分式，另一个是分数或小数，通常采用作差法比较大小．9．比较32与42－1的大小．10．比较34与38的大小．11．当0＜x ＜1时，将x2，x ，1x按从小到大的顺序排列．方法五 平方法一般地，当a ＞0，b ＞0时，若a 2＞b 2，则a ＞b ；若a 2＝b 2，则a ＝b ；若a 2＜b 2，则a ＜b.12．比较58与64的大小．13．比较53和8的大小．14．比较37与73的大小．方法六 估算法当要比较的实数含有平方根，且平方根容易算出时，可考虑使用近似值比较法．使用这种方法需要大家熟记2、3、5这三个数的近似值．15．比较大小：2________5(填“>”或“<”)．16．比较－174和－π3的大小．17．比较12－535与33的大小．参考答案1.因为3＜5， 所以－3＞－5， 所以－3＋1＞－5＋1.2.因为313＝103＝1009＝1119，而1119＞11， 所以1119＞11，即313＞11. 3.D 4.B 5.C6.因为2＜7＜3，7＜57<8，所以7＋2＜3＋2＝5，57－2＞7－2＝5，即7＋2＜57－2. 7.因为27＝22×7＝28，33＝32×3＝27.因为28＞27， 所以28＞27，即27＞3 3. 8.因为233＝323×3＝324，332＝333×2＝354，24＜54，所以324＜354，即－324＞－354，所以－233＞－332. 9.因为32－(42－1)＝1－2＜0，所以32＜42－1.10.因为34÷38＝34×83＝23＝43＞1， 所以34＞38. 11.因为0＜x ＜1，所以1－x ＞0，x ＋1＞0.故x －x 2＝x(1－x)＞0，x －1x ＝x 2－1x ＝（x ＋1）（x －1）x＜0.所以x ＞x2，x ＜1x ，即x2＜x ＜1x. 12.因为(58)2＝2564，(64)2＝616＝2464，2564＞2464， 所以58＞64. 13.因为(53)2＝75，82＝64，75＞64， 所以53＞8.14.因为(37)2＝63，(73)2＝147，63＜147， 所以37＜7 3.15.＜16.因为－174≈－1.030 8，－π3≈－1.047 2， 故－1.030 8＞－1.047 2， 所以－174＞－π3. 17.由于3＜1.8，故12－535＝2.4－3＞2.4－1.8＞0.6，33＜0.6， 所以12－535＞33.。

专题01 实数的有关概念及运算☞解读考点 知 识 点名师点晴实数的分类1.有理数 会根据有限小数和无限循环小数判定一个数是有理数2.无理数会识别无理数，并在数轴上表示一个无理数 实数的有关概念1.相反数、倒数、绝对值会求一个实数的相反数、倒数和绝对值 2.科学计数法、近似数 掌握用科学计数法表示一个较大的数和较小的数 3.实数的非负性利用实数的非负性解决一些实际问题 实数的运算和大小比较1.实数的估算 求一个无理数的范围2.实数的大小比较 理解实数的大小比较的方法3.实数的运算掌握实数的混合运算☞2年中考【2015年题组】1．（2015南京）估计512 介于（ ）A ．0.4与0.5之间B ．0.5与0.6之间C ．0.6与0.7之间D ．0.7与0.8之间【答案】C ．考点：估算无理数的大小．2．（2015常州）已知a=22，b=33，c=55，则下列大小关系正确的是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b 【答案】A ．考点：实数大小比较．3．（2015泰州）下列4个数：9，227，π，()03，其中无理数是（ ）A ．9B ．227 C ．π D ．()03【答案】C ． 【解析】试题分析：π是无理数，故选C ． 考点：1．无理数；2．零指数幂．4．（2015资阳）如图，已知数轴上的点A 、B 、C 、D 分别表示数﹣2、1、2、3，则表示数35-的点P 应落在线段（ ）A ．AO 上B ．OB 上C ．BC 上D ．CD 上 【答案】B ． 【解析】试题分析：∵2＜5＜3，∴0＜35-＜1，故表示数35-的点P 应落在线段OB 上．故选B ．考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴．5．（2015广元）当01x <<时，x 、1x 、2x 的大小顺序是（ ） A ．21x x x << B ．21x x x << C ．21x x x << D ．21x xx <<【答案】C ．【解析】试题分析：∵01x <<，令12x =，那么214x =，14x =，∴21x x x <<．故选C ． 考点：实数大小比较． 6．（2015绵阳）若5210a b a b +++-+=，则()2015b a -=（ ）A ．﹣1B ．1C ．20155 D ．20155-【答案】A ． 【解析】试题分析：∵5210a b a b +++-+=，∴⎩⎨⎧=+-=++01205b a b a ，解得：⎩⎨⎧-=-=32b a ，则()20152015321b a -=-+=-（）．故选A ．考点：1．解二元一次方程组；2．非负数的性质．7．（2015武汉）在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是（ ） A ．﹣3 B ．0 C ．5 D ．3 【答案】A ．考点：实数大小比较． 8．（2015荆门）64的立方根是（ ） A ．4 B ．±4 C ．8 D ．±8 【答案】A ． 【解析】试题分析：∵4的立方等于64，∴64的立方根等于4．故选A ． 考点：立方根． 9．（2015北京市）实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．d 【答案】A ． 【解析】试题分析：根据图示，可得：3＜|a|＜4，1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，2＜|d|＜3，所以这四个数中，绝对值最大的是a ．故选A ． 考点：实数大小比较．10．（2015河北省）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④ 【答案】C ．考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴．11．（2015六盘水）如图，表示7的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（）A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C【答案】A．【解析】试题分析：∵6.25＜7＜9，∴2.5＜7＜3，则表示7的点在数轴上表示时，所在C和D 两个字母之间．故选A．考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴．12．（2015通辽）实数tan45°，38，0，35π-，9，13-，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是（）A．4 B．2 C．1 D．3【答案】D．【解析】试题分析：在实数tan45°，38，0，35π-，9，13-，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1）中，无理数有：35π-，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），共3个，故选D．考点：无理数．13．（2015淄博）已知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组81mx nynx my+=⎧⎨-=⎩的解，则2m n-的平方根为（）A．±2 B ．2C ．2±D．2 【答案】A．考点：1．二元一次方程组的解；2．平方根；3．综合题．14．（2015成都）比较大小：512-____58（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】＜． 【解析】试题分析：512-为黄金数，约等于0.618，50.6258=，显然前者小于后者．或者作差法：515459808102888----==<，所以，前者小于后者．故答案为：＜．考点：1．实数大小比较；2．估算无理数的大小．15．（2015资阳）已知：22(6)230a b b ++--=，则224b b a --的值为 ． 【答案】12．【解析】试题分析：∵22(6)230a b b ++--=，∴60a +=，2230b b --=，解得，6a =-，223b b -=，可得2246b b -=，则224b b a --=6(6)--=12，故答案为：12．考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：偶次方． 16．（2015自贡）若两个连续整数x 、y 满足y x <+<15，则x+y 的值是 ．【答案】7．【解析】试题分析：∵2＜5＜3，∴3＜51+＜4，∴x=3，y=4，∴x+y=7，故答案为：7． 考点：估算无理数的大小．17．（2015巴中）计算：01123(2015)2sin 60()3π----++． 【答案】4．【解析】试题分析：根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值进行计算即可．试题解析：原式=3231232--+⨯+=1+3=4．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．18．（2015龙岩）计算：0312201522sin 30893-+-+-⨯．【答案】0．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．特殊角的三角函数值． 19．（2015临沂）计算：(321)(321)+--+． 【答案】22．【解析】试题分析：先根据平方差公式展开后，再根据完全平方公式展开后合并即可．试题解析：解：原式=[3(21)+-][3(21)--]=22(3)(21)--3(2221)=--+32221=-+-22=．考点：实数的运算．【2014年题组】 1．（2014年福建福州中考）地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学计数法表示为（ ）A ．41110⨯ B ．51.110⨯ C ．41.110⨯ D ．60.1110⨯ 【答案】B ．考点：科学计数法．2．（2014年福建三明中考）13-的相反数是（ ）A. 13 B.13-C. 3D. 3-【答案】A．试题分析：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0. 因此，13-的相反数是13. 故选A．考点：相反数．3．（2014年黑龙江大庆中考）下列式子中成立的是（）A. ﹣|﹣5|＞4B. ﹣3＜|﹣3|C. ﹣|﹣4|=4D. |﹣5.5|＜5【答案】B．【解析】试题分析：先对每一个选项应用绝对值的性质化简，再进行比较即可：A．﹣|﹣5|=﹣5＜4，故A选项错误；B．|﹣3|=3＞﹣3，故B选项正确；C．﹣|﹣4|=﹣4≠4，故C选项错误；D．|﹣5.5|=5.5＞5，故D选项错误．故选B．考点：1．绝对值；2．有理数的大小比较．4．（2014年湖北宜昌中考）如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是（）A. m+n＜0B. -m＜-nC. m|-|n|＞0D. 2+m＜2+n【答案】D．考点：1．数轴；2．不等式的性质．5．（2014年贵州黔南中考）计算()20123-+--的值等于（）A. 1-B. 0C. 1D. 5【答案】A．【解析】试题分析：针对有理数的乘方，零指数幂，绝对值3个考点分1．别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果： ；2．故选A．考点：实数的运算．6．（2014年黑龙江大庆中考）若x y y20-+-=，则y3x-的值为．【答案】12．【解析】试题分析：∵x y y 20-+-=，∴x y 0x 2y 20y 2-==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩．∴y 32311x 222---===． 考点：1．实数的非负性；2．负整数指数幂．7．（2014年吉林省中考）若a ＜13＜b ，且a ，b 为连续正整数，则b2﹣a2= ． 【答案】7．【解析】试题分析：∵32＜13＜42，∴3＜13＜4，即a=3，b=4．∴b2﹣a2=42﹣32=7．考点：无理数的估算． 8．（2014年新疆区兵团中考）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3．31⎡⎤=⎣⎦，按此规定，131⎡⎤-⎣⎦=_____________ 【答案】2．【解析】试题分析：∵9＜13＜16，∴3＜13＜4．∴2＜131-＜3，∴131⎡⎤-⎣⎦=2． 考点：1．新定义；2．无理数的估算．9．（2014年甘肃兰州中考）为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S ﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是．【答案】2015312-． 考点：1．有理数的运算；2．阅读理解型问题．10．（2014年内蒙古赤峰中考）计算：()1013328sin 454π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭【答案】-3．【解析】 试题分析：()1123328sin 451428434242342π-⎛⎫-+--=+-⨯-=---=- ⎪⎝⎭．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．☞考点归纳归纳 1：实数及其分类 基础知识归纳：基本方法归纳：判断一个数是不是有理数，关键是看它是不是有限小数或无限循环小数；判断一个数是不是无理数，关键在于看它是不是无限不循环小数．注意问题归纳：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；【例1】在实数313,,,8,0,tan 453π︒中，其中无理数的个数是（ ）A.2B.3C.4D.5【答案】A ．考点：无理数．归纳 2：实数的有关概念 基础知识归纳： 1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称 2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0；正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立.倒数等于本身的数是1和-1．基本方法归纳：如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立；零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0注意问题归纳：零没有倒数；一个非零的数的绝对值一定是正数【例2】若实数x ，y 满足2270x x y ++-+=，则x y = ．【答案】19．考点：非负数．归纳 3：实数的大小比较 基础知识归纳：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．基本方法归纳：（1）求差比较：设a 、b 是实数，,0b a b a >⇔>-,0b a b a =⇔=-b a b a <⇔<-0（2）求商比较法：设a 、b 是两正实数，;1;1;1b a b ab a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔>（3）平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>22．注意问题归纳：实数的大小比较，一般要将其进行化简，并合理选择方法来进行比较．【例3】用“＜”号，将1)61(-、0)2(-、2)3(-、22-连接起来______ 【答案】2102)3()61()2(2-<<-<--．【解析】试题分析：先根据有理数的乘方法则依次计算出各个数的值，再根据有理数的大小比较法则比较．∵6)61(1=-，1)2(0=-，9)3(2=-，422-=- ∴2102)3()61()2(2-<<-<--．考点：实数的大小比较．归纳 4：科学计数法与近似数基础知识归纳：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．基本方法归纳：利用科学计数法表示一个数，在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1.当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）注意问题归纳：利用科学计数法表示数和转化为原数时，要注意数位的变化．【例4】据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失约为1.5亿元，一年的经济损失约为54750000000元，用科学记数法表示这个数为 A ．5.475×1011 B ．5.475×1010 C ．0.5475×1011 D ．5475×108 【答案】B ．考点：科学计数法． 归纳 5：实数的混合运算基础知识归纳：实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算.同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行基本方法归纳：实数的混合运算经常涉及到零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、二次根式等内容，要熟练掌握这些知识．注意问题归纳：实数的混合运算经常以选择、填空和解答的形式出现，是中考是热点，也是比较容易出错的地方，在解答此类问题时要注意基本性质和运算的顺序．【例5】计算：()114sin451282-⎛⎫-︒--+ ⎪⎝⎭【答案】1．【解析】针对负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式化简4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果：()1124sin4512824122122-⎛⎫-︒--+=-⨯-+= ⎪⎝⎭考点：实数的运算．☞1年模拟1．（2015届山东省日照市中考一模）4的算术平方根是（ ） A ．2 B ．±2 C ．2 D ．±2 【答案】C ．【解析】试题分析：∵4=2，而2的算术平方根是2，∴4的算术平方根是2，故选C ．考点：算术平方根．2．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）在实数π、13、2、tan60°中，无理数的个A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵tan60°=3，∴在实数π、13、2、tan60°中，无理数有： ，2和tan60°．故选C ．考点：1．无理数；2．特殊角三角函数值．3．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）14的算术平方根是（ ） A ．-12 B ．12 C ．±12 D ．116【答案】B ．考点：算术平方根． 4．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）下列计算结果是负数的是（ ） A ．3-2 B ．3×（-2） C ．3-2 D ．3 【答案】B ． 【解析】试题分析：A ：3-2=1，计算结果是正数，据此判断即可． B ：3×（-2）=-6，计算结果是负数，据此判断即可．C ：3-2=19，计算结果是正数，据此判断即可．D ：3是一个正数，据此判断即可．试题解析：∵3-2=1，计算结果是正数，∴选项A 不正确； ∵3×（-2）=-6，计算结果是负数，∴选项B 正确；∵3-2=19，计算结果是正数，∴选项C 不正确；∵3是一个正数，∴选项D 不正确．故选B ．考点：实数的运算． 5．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）面积为10m2的正方形地毯，它的边长介于（ ） A ．2m 与3m 之间 B ．3m 与4m 之间 C ．4m 与5m 之间 D ．5m 与6m 之间【解析】试题分析：正方形的边长为10，∵9＜10＜16，∴3＜10＜4，∴其边长在3m 与4m之间．故选B．考点：估算无理数的大小．6．（2015届河北省中考模拟二）下列无理数中，不是介于-3与2之间的是（）A．-5B ．5C．-3D ．3【答案】B．考点：估算无理数的大小．7．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）实数5的相反数是（）．A．15B．-15C．﹣5 D．5【答案】C．【解析】试题分析：∵符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，∴5的相反数是﹣5．故选C．考点：实数的性质．8．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）下列四个数中，值最小的数是（）．A．tan45°B ．3C．πD．8 3【答案】A．【解析】试题分析：tan45°=1，根据实数比较大小的方法，可得，1＜3＜83＜π，所以tan45°＜3＜83＜π，因此四个数中，值最小的数是tan45°．故选A．考点：1．实数大小比较；2．特殊角的三角函数值．9．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）已知直角三角形两边x、y的长满足|x2-4|+256y y-+=0，则第三边长为．【答案】22、13或5．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．算术平方根；3．勾股定理；4．分类讨论．10．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）计算：2-1+2cos30°-tan60°-（π+3）0= ．【答案】-1 2．【解析】试题分析：原式=1323122+⨯--=-12．故答案为：-12．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．11．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）的算术平方根为．【答案】2．【解析】试题分析：∵4=2，2的算术平方根是2，∴4的算术平方根为2．故答案为：2．考点：算术平方根．12．（2015届北京市平谷区中考二模）计算：()10 12sin603133π-⎛⎫--︒+-+-⎪⎝⎭．【答案】-3．【解析】试题分析：分别进行负整数次幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、零指数幂，然后按照实数的运算法则计算即可．试题解析：原式=3323112--⨯+-+=333--+=3-．考点：实数的运算．13．（2015届安徽省安庆市中考二模）计算：﹣32+．【答案】-9．考点：1．实数的运算；2．特殊角的三角函数值．14．（2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）计算：（-12）-1+（π-2015）0-3tan30°+|-3|【答案】-1．【解析】试题分析：原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．试题解析：原式=-2+1-3×33+3=-1．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．15．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）计算：﹣2sin30°﹣（﹣13）﹣2+（2﹣π）0﹣38 +（﹣1）2012．【答案】-6．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．。

小专题(二) 实数的大小比较方法一 直接比较法对于a 和b 类型的题目，要比较它们的大小，只要比较被开方数，被开方数的值越大，根式的值越大．1．比较大小：－3＋1与－5＋1.2．比较313与11的大小．方法二 放缩法 用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是：把要比较的两个数进行适当的放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数的大小的目的．3．满足－2＜x ＜3的整数x 是( )A ．0B ．－1C ．1D ．±1，04．若m ＝40－4，则估计m 的值所在的范围是( )A ．1<m<2B ．2<m<3C ．3<m<4D ．4<m<55．比较3，10，325的大小，下列正确的是( )A ．3＜10＜325B ．3＜325＜10 C.325＜3＜10 D.10＜325＜36．比较7＋2与57－2的大小．方法三 因式内移法 将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小．7．比较27与33的大小．8．比较－233与－332的大小．方法四 作差(商)法对于一个是带有无理数的分式，另一个是分数或小数，通常采用作差法比较大小．9．比较32与42－1的大小．10．比较34与38的大小．11．当0＜x ＜1时，将x2，x ，1x按从小到大的顺序排列．方法五 平方法一般地，当a ＞0，b ＞0时，若a 2＞b 2，则a ＞b ；若a 2＝b 2，则a ＝b ；若a 2＜b 2，则a ＜b.12．比较58与64的大小．13．比较53和8的大小．14．比较37与73的大小．方法六 估算法当要比较的实数含有平方根，且平方根容易算出时，可考虑使用近似值比较法．使用这种方法需要大家熟记2、3、5这三个数的近似值．15．比较大小：2________5(填“>”或“<”)．16．比较－174和－π3的大小．17．比较12－535与33的大小．参考答案1.因为3＜5，所以－3＞－5，所以－3＋1＞－5＋1.2.因为313＝103＝1009＝1119，而1119＞11， 所以1119＞11，即313＞11. 3.D 4.B 5.C6.因为2＜7＜3，7＜57<8，所以7＋2＜3＋2＝5，57－2＞7－2＝5， 即7＋2＜57－2.7.因为27＝22×7＝28，33＝32×3＝27. 因为28＞27， 所以28＞27，即27＞3 3.8.因为233＝323×3＝324，332＝333×2＝354，24＜54， 所以324＜354，即－324＞－354，所以－233＞－332. 9.因为32－(42－1)＝1－2＜0，所以32＜42－1.10.因为34÷38＝34×83＝23＝43＞1， 所以34＞38. 11.因为0＜x ＜1，所以1－x ＞0，x ＋1＞0.故x －x 2＝x(1－x)＞0， x －1x ＝x 2－1x ＝（x ＋1）（x －1）x＜0. 所以x ＞x2，x ＜1x ，即x2＜x ＜1x. 12.因为(58)2＝2564，(64)2＝616＝2464，2564＞2464， 所以58＞64. 13.因为(53)2＝75，82＝64，75＞64，所以53＞8.14.因为(37)2＝63，(73)2＝147，63＜147，所以37＜7 3.15.＜16.因为－174≈－1.030 8，－π3≈－1.047 2， 故－1.030 8＞－1.047 2，所以－174＞－π3. 17.由于3＜1.8，故12－535＝2.4－3＞2.4－1.8＞0.6，33＜0.6， 所以12－535＞33.。