高中数学综合训练系列试题

高中数学选修一综合测试题考点精题训练单选题1、已知双曲线x 2a 2−y 22=1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的离心率e 为（ ）A ．2√33B ．2√63C ．√3D ．2 答案：A分析：根据题意渐近线的斜率为tan π6=√33，所以该渐近线的方程为y =√33x ，所以2a2=(√33)2，求得a=√6，利用c =√a 2+b 2，求得c 即可得解. ∵双曲线x 2a2−y 22=1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为π6，tan π6=√33， ∴该渐近线的方程为y =√33x ，∴2a 2=(√33)2，解得a =√6或−√6（舍去），∴c =√a 2+b 2=2√2， ∴双曲线的离心率为e =c a=√2√6=2√33． 故选：A ．2、若直线y =3x −1与双曲线C:x 2−my 2=1的一条渐近线平行，则实数m 的值为（ ） A ．19B ．9C ．13D ．3 答案：A分析：根据双曲线渐近线的求法，利用直线平行斜率相等即可求解.C:x 2−my 2=1的渐近线方程满足x =±√my ，所以渐进线与y =3x −1平行，所以渐近线方程为y =±3x ，故m =19故选：A3、已知F 1,F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2=60°,|PF 1|=3|PF 2|，则C 的离心率为（ ） A ．√72B ．√132C ．√7D ．√13 答案：A分析：根据双曲线的定义及条件，表示出|PF 1|,|PF 2|，结合余弦定理可得答案.因为|PF1|=3|PF2|，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2|PF2|=2a，所以|PF2|=a，|PF1|=3a；因为∠F1PF2=60°,由余弦定理可得4c2=9a2+a2−2×3a⋅a⋅cos60°，整理可得4c2=7a2，所以e2=c2a2=74，即e=√72.故选：A小提示：关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立a,c间的等量关系是求解的关键.4、若椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（）A．当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6B．当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为√3C．存在点P，使PF1⊥PF2D．|PF1|的取值范围是[1,3]答案：C分析：根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点P位于上下顶点时，△PF1F2面积的最大即可判断选项B；当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大与90∘比较即可判断选项C；当点P为椭圆C的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.由椭圆方程可知a=2，b=√3，从而c=√a2−b2=1．对于选项A；根据椭圆定义，|PF1|+|PF2|=2a=4，又|F1F2|=2c=2，所以△PF1F2的周长是2a+2c=6，故选项A正确；对于选项B：设点P(x1,y0)(y0≠0)，因为|F1F2|=2，则S△PF1F2=12|F1F2|⋅|y0|=|y0|．因为0<|y0|≤b=√3，则△PF1F2面积的最大值为√3，故选项B正确；对于选项C：由椭圆性质可知，当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大．此时，|PF1|=|PF2|=a=2，又|F1F2|=2，则△PF1F2为正三角形，∠F1PF2=60°，所以不存在点P，使PF1⊥PF2，故选项C错误；对于选项D：由椭圆的性质可知，当点P为椭圆C的右顶点时，|PF1|取最大值，此时|PF1|=a+c=3；当点P为椭圆C的左顶点时，|PF1|取最小值，此时|PF1|=a−c=1，所以|PF1|∈[1,3]，故选项D正确．故选：C.小提示：名师点评椭圆中焦点三角形的有关结论以椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)(y0≠0)和焦点F1(−c,0),F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2=θ，则（1）焦点三角形的周长为2a+2c；（2）当点P为椭圆短轴的一个端点时，∠F1PF2=θ为最大；（3）S△PF1F2=12PF1×PF2×sinθ，当|y0|=b时，即点P为椭圆短轴的一个端点时S△PF1F2取最大值，为bc；（4）S△PF1F2=b2tanθ2.5、已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为12a，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±12x B．y=±2xC．y=±4x D．y=±14x 答案：A分析：首先根据题意得到d=√b2+a2=b=12a，从而得到ba=12，即可得到答案.由题知：设F(−c,0)，一条渐近线方程为y=bax，即bx−ay=0.因为d=√b2+a2=b=12a，所以ba=12，故渐近线方程为y=±12x.故选：A6、下列直线方程纵截距为2的选项为（）A．y=x−2B．x−y+2=0C．x2+y4=1D．x+y+2=0答案：B分析：纵截距就是令x=0是y的值，令每一个选项中的x为0，解出y，最后选出符合题意的.直线x+y+2=0的纵截距为−2，直线x2+y4=1的纵截距为4，直线x−y+2=0的纵截距为2，直线y=x−2的纵截距为−2. 故选：B. 7、设F 1,F 2是椭圆x 212+y 224=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且cos∠F 1PF 2=13.则△PF 1F 2的面积为（ ）A ．6B ．6√2C ．8D ．8√2 答案：B分析：利用椭圆的几何性质，得到|PF 1|+|PF 2|=2a =4√6，|F 1F 2|=2c =4√3，进而利用cos∠F 1PF 2=13得出|PF 1|⋅|PF 2|=18，进而可求出S △PF 1F 2 解：由椭圆x 212+y 224=1的方程可得a 2=24,b 2=12，所以c 2=a 2−b 2=12，得a =2√6,c =2√3 且|PF 1|+|PF 2|=2a =4√6，|F 1F 2|=2c =4√3， 在△PF 1F 2中，由余弦定理可得 cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(|PF 1|+|PF 2|)2−2|PF 1||PF 2|−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=4a 2−4c 2−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|=4b 2−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|=4×12−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|，而cos∠F 1PF 2=13，所以，|PF 1|⋅|PF 2|=18， 又因为，cos∠F 1PF 2=13，所以sin∠F 1PF 2=2√23， 所以，S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|⋅sin∠F 1PF 2=12×18×2√23=6√2故选：B8、已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上存在点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，其中F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．(0,14]B ．(14,1)C ．(12,1)D ．[12,1)答案：D分析：先由椭圆的定义结合已知求得|PF 1|,|PF 2|，再由|PF 1|−|PF 2|≤|F 1F 2|求得a,c 的不等关系，即可求得离心率的取值范围.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|，∴|PF1|=32a，|PF2|=12a，而|PF1|−|PF2|≤|F1F2|=2c，当且仅当点P在椭圆右顶点时等号成立，即32a−12a≤2c，即a≤2c，则e=ca≥12，即12≤e<1.故选：D．多选题9、已知抛物线C：y=14x2的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（）A．C的准线方程为y=−116B．直线y=x−1与C相切C．若M(0,4)，则|PM|的最小值为2√3D．若M(3,5)，则△PMF的周长的最小值为11答案：BCD分析：将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由Δ=0判断B，设点P(x,y)，表示出|PM|2，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出△PMF的周长的最小值，即可判断D.解：抛物线C：y=14x2，即x2=4y，所以焦点坐标为F(0,1)，准线方程为y=−1，故A错误；由{y=14x2y=x−1，即x2−4x+4=0，解得Δ=(−4)2−4×4=0，所以直线y=x−1与C相切，故B正确；设点P(x,y)，所以|PM|2=x2+(y−4)2=y2−4y+16=(y−2)2+12≥12，所以|PM|min=2√3，故C正确；如图过点P作PN⊥准线，交于点N，|NP|=|PF|，|MF|=√32+(5−1)2=5，所以C△PFM=|MF|+|MP|+|PF|=|MF|+|MP|+|PN|≥|MF|+|MN|=5+6=11，当且仅当M、P、N三点共线时取等号，故D正确；故选：BCD10、已知a⃑=(1,0,1)，b⃑⃑=(−1,2,−3)，c⃑=(2,−4,6)，则下列结论正确的是（）A．a⃑⊥b⃑⃑B．b⃑⃑∥c⃑C．⟨a⃑,c⃑⟩为钝角D．c⃑在a⃑方向上的投影向量为(4,0,4)答案：BD分析：利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.因为1×(−1)+0×2+1×(−3)=−4≠0，所以a⃑，b⃑⃑不垂直，A错，因为c⃑=−2b⃑⃑，所以b⃑⃑∥c⃑，B对，因为a⃑⋅c⃑=1×2+0×(−4)+1×6=8，所以cos⟨a⃑,c⃑⟩>0，所以⟨a⃑,c⃑⟩不是钝角，C错，因为c⃑在a⃑方向上的投影向量|c⃑|⋅cos⟨a⃑,c⃑⟩⋅a⃑⃑|a⃑⃑|=a⃑⃑⋅c⃑|a⃑⃑|2a⃑=82(1,0,1)=(4,0,4)，D对，故选：BD.11、（多选）已知直线l:x −my +m −1=0，则下列说法正确的是（ ）． A ．直线l 的斜率可以等于0B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =√33或m =−√33C ．直线l 恒过点(2,1)D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则m =1或m =−1 答案：BD分析：讨论m =0和m ≠0时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为(x −1)−m (y −1)=0判断直线过定点，判断C 的正误. 当m =0时，直线l:x =1，斜率不存在，当m ≠0时，直线l 的斜率为1m ，不可能等于0，故A 选项错误； ∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m ，∴1m=tan60°=√3或1m=tan120°=−√3，∴m =√33或m =−√33，故B 选项正确；直线l 的方程可化为(x −1)−m (y −1)=0，所以直线l 过定点(1,1)，故C 选项错误； 当m =0时，直线l:x =1，在y 轴上的截距不存在， 当m ≠0时，令x =0，得y =m−1m，令y =0，得x =1−m ，令m−1m=1−m ，得m =±1，故D 选项正确．故选：BD ． 填空题12、已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a >0，b >0），矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |=6，则双曲线E 的标准方程是______． 答案：x 214−y 234=1分析：如图所示，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则可得|MN |=2c =2，|BN |=52，再利用双曲线的定义可得a 2=14，即求.由题意得|AB |=3，|BC |=2．如图所示，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，在Rt △BMN 中，|MN |=2c =2，故|BN |=√|BM|2+|MN |2=√(32)2+22=52．由双曲线的定义可得2a =|BN |−|BM |=52−32=1， 则a 2=14，又2c =2，所以c =1，b 2=34．所以双曲线E 的标准方程是x 214−y 234=1．所以答案是：x 214−y 234=1.13、若直线l 1：2x +ay −2=0与直线l 2：x −y +a =0平行，则直线l 1与l 2之间的距离为______． 答案：√22分析：先根据直线l 1与l 2平行求出参数a ，再由两平行直线间的距离公式可得答案. ∵直线l 1与l 2平行，∴21=a−1≠−2a，解得a =−2，∴直线l 1：x −y −1=0，直线l 2：x −y −2=0， ∴直线l 1与l 2之间的距离d =√1+1=√22． 所以答案是：√2214、直线y =kx +2(k >0)被圆x 2+y 2=4截得的弦长为2√3，则直线的倾斜角为________． 答案：60∘分析：由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．∵直线y =kx +2(k >0)被圆x 2+y 2=4截得的弦长为2√3，所以，圆心O (0,0)到直线kx −y +2=0的距离d =√22−(√3)2=1， 即√k 2+1=1，解得k =√3(k >0)．设直线的倾斜角为θ(0∘≤θ<180∘)，则tanθ=√3，则θ=60∘． 因此，直线y =kx +2(k >0)的倾斜角为60∘． 所以答案是：60∘． 解答题15、如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面 ABC,AC ⊥BC,AC =BC =2，CC 1=3，点D, E 分别在棱AA 1和棱 CC 1上，且AD =1 CE =2, M 为棱A 1B 1的中点．（Ⅰ）求证：C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）求二面角B −B 1E −D 的正弦值； （Ⅲ）求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值． 答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）√306；（Ⅲ）√33. 分析：以C 为原点，分别以CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,CB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 和B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，得出C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即可证明出C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）可知平面BB 1E 的一个法向量为CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，计算出平面B 1ED 的一个法向量为n ⃑ ，利用空间向量法计算出二面角B −B 1E −D 的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值.依题意，以C 为原点，分别以CA ⃑⃑⃑⃑⃑ 、CB ⃑⃑⃑⃑⃑ 、CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C 1(0,0,3)、 A 1(2,0,3)、B 1(0,2,3)、D(2,0,1)、E(0,0,2)、M(1,1,3). （Ⅰ）依题意，C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1,0)，B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,−2,−2)， 从而C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2−2+0=0，所以C 1M ⊥B 1D ； （Ⅱ）依题意，CA⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,0)是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,1)，ED ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,−1)． 设n ⃑ =(x,y,z)为平面DB 1E 的法向量， 则{n ⃑ ⋅EB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0n ⃑ ⋅ED ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即{2y +z =02x −z =0， 不妨设x =1，可得n ⃑ =(1,−1,2)．cos <CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=CA ⃑⃑⃑⃑⃑⋅n ⃑ |CA ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=2×√6=√66， ∴sin <CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=√1−cos 2<CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=√306．所以，二面角B −B 1E −D 的正弦值为√306； （Ⅲ）依题意，AB⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,2,0)．由（Ⅱ）知n ⃑ =(1,−1,2)为平面DB 1E 的一个法向量，于是cos <AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ |AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=2√2×√6=−√33． 所以，直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为√33.小提示：本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.。

高中数学数列综合训练题(带答案)1.等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{an}前9项的和S9等于（）A。

66 B。

99 C。

144 D。

2972.若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=（）A。

4 B。

2 C。

-2 D。

-43.等比数列{an}中，a2=9，a5=243，则{an}的前4项和为（）A。

81 B。

120 C。

168 D。

1924.2+1与2-1，两数的等比中项是（）A。

1 B。

-1 C。

±1 D.5.若lg2，XXX(2-1)，XXX(2+3)成等差数列，则x的值等于（）A。

1 B。

or 32 C。

32 D。

log256.已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的取值范围是（）A。

(0.1+5) B。

(,1] C。

[1,1+5) D。

(−1+5,1+5)7.在ΔABC中，XXX是以-4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以1为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是（）A。

钝角三角形 B。

锐角三角形 C。

等腰直角三角形 D。

以上都不对8.等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则XXX（）A。

12 B。

10 C。

1+log35 D。

2+log359.在等差数列{an}中，若S4=1，S8=4，则a17+a18+a19+a20的值为（）A。

9 B。

12 C。

16 D。

1710.在等比数列{an}中，若a2=6，且a5-2a4-a3+12=0，则an为（）A。

6 B。

6(-1)n-2 C。

6·2n-2 D。

6或6(-1)n-2或6·2n-211.等差数列{an}的前n项和为Sn，若m>1，且am-1+am+1-am=Sn-1=38，则m等于（）A。

38 B。

20 C。

10 D。

912.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若Sn/an=Tn/(3n+1)bn，则n=（）1.22n-12n-12n+1 should be written as (22n-1)/(3n+1).2.The article has no clear n or topic sentence。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(3)的值为：A. 2B. 4C. 6D. 82. 下列各式中，能表示平面α上的点M(x, y, z)到原点O的距离的是：A. x^2 + y^2 + z^2B. x^2 - y^2 - z^2C. x^2 + y^2 - z^2D. x^2 - y^2 + z^23. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 + a2 + a3 = 12，a1 + a2 + a3 + a4 = 20，则数列{an}的公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列命题中，正确的是：A. 对于任意实数x，都有x^2 ≥ 0B. 函数y = |x|在R上单调递增C. 平面α与平面β相交，则直线l在平面α和平面β上D. 任意两个不共线的向量都存在唯一的实数λ使得λa + b = 05. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f(x)的对称中心为：A. (0, 2)B. (1, 0)C. (0, 0)D. (1, 2)6. 下列各式中，能表示平面α与平面β的夹角θ的余弦值的是：A. cosθ = |cosα - cosβ| / √(1 + cos^2α + cos^2β)B. cosθ = (cosα + cosβ) / √(1 + cos^2α + cos^2β)C. cosθ = (cosα - cosβ) / √(1 + cos^2α + cos^2β)D. cosθ = (cosα + cosβ) / √(1 - cos^2α - cos^2β)7. 已知等比数列{bn}的公比为q，且b1 + b2 + b3 = 27，b1 + b2 + b3 + b4 = 81，则q的值为：A. 2B. 3C. 4D. 58. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^4D. y = x^59. 已知函数f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)，则f(x)的零点个数为：A. 2B. 3C. 4D. 510. 下列各式中，能表示空间直线l与平面α所成角θ的正弦值的是：A. sinθ = |cosα - c osβ| / √(1 + cos^2α + cos^2β)B. sinθ = (cosα + cosβ) / √(1 + cos^2α + cos^2β)C. sinθ = (cosα - cosβ) / √(1 + cos^2α + cos^2β)D. sinθ = (cosα + cosβ) / √(1 - cos^2α - cos^2β)二、填空题（每题5分，共50分）1. 函数f(x) = (x - 1)^2 - 4在x=2时的值为______。

一、选择题1.已知集合A ={}x ∈Z |x 2-2x -3≤0,B ={x |x -1>0}则集合A ⋂B =().A.{2,3}B.{-1,1}C.{1,2,3}D.∅2.已知i 为虚数单位，a ,b ∈R ，复数1+i 2-i-i =a +bi ，则a -bi =().A.15-25iB.15+25iC.25-15iD.25+15i 3.已知A ()1,2，B ()2,3，C ()-1,m ，若|| BA +BC =|| BA - BC ，则 AC 2=().A.6B.25C.16D.204.已知等比数列{}a n 的各项均为正数，若log 2a 1+log 2a 2+⋯+log 2a 8=8，则a 4a 5=().A.1B.2C.4D.85.将函数f ()x =2sin πx -1的图象向左平移φ(0<φ<12)个单位长度后得到函数g ()x 的图象，若使||f ()a -g ()b =4成立的a 、b 有||a -b min =34，则下列直线中可以是函数y =g ()x 图象的对称轴的是().A.x =-14B.x =12 C.x =34D.x =546.中国的计量单位可以追溯到4000多年前的氏族社会末期，公元前221年，秦王统一中国后，颁布同一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器.下图是古代的一种度量工具“斗”(无盖，不计量厚度)的三视图(其正视图和侧视图为等腰梯形，如图1)，则此“斗”的体积为(单位：立方厘米)().A.2000B.2800C.3000D.60007.已知点G 在ΔABC 内，且满足2 GA +3GB +4GC =0，现在ΔABC 内随机取一点，此点取自ΔGAB ,ΔGAC ,ΔGBC 的概率分别记为P 1,P 2,P 3，则().A.P 1=P 2=P 3 B.P 3>P 2>P 1C.P 1>P 2>P 3 D.P 2>P 1>P 38.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ()c ,0，点A 、B 分别在直线x =-a 2c和双曲线C的右支上，若四边形OABF (其中O 为坐标原点)为菱形且其面积为315，则a =().A.3B.5C.2D.69.当x 为实数时，tr unc ()x 表示不超过x 的最大整数，如tr unc ()3.1=3.已知函数f ()x =tr unc ()||x (其中x ∈R )，函数g ()x 满足g ()x =g ()6-x 、g ()1+x =g ()1-x ,且x ∈[]0,3时，g ()x =||x 2-2x ，则方程f ()x =g ()x 的所有根的个数为().A.3B.4C.5D.610.对四位数------abcd (1≤a ≤9，0≤b 、c ，d ≤9)，若a >b 、b <c 、c >d ，称------abcd 为“吉祥数”，则“吉祥数”的个数为().A.1695B.1696C.1697D.169811.ΔABC 中，所有内角都不是钝角，有以下命题：①sin 2A =sin 2B ⇔A =B ；②sin 2A >sin 2B ⇔A <B ；③cos 2A >cos 2B ⇔A <B ；④sin A ≥cos B .其中正确命题的个数是().A.1B.2C.3D.412.如图2所示，将33×33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为().A.33B.56C.64D.78二、填空题13.“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2；如此循环，最终都能够得到1.图3为研究角谷定理的一个程序框图.若输入n 的值为6，则输出i 的值为______.14.已知cos(2α+π6)=-25，则sin(2α-π3)=_____.15.若()3+ax ()1+x 4展开式中x 的系数为13，则展开式中各项系数和为______(用数字作答).图1图2图3高考链接5216.已知函数f ()x ={e x -1-e 1-x ，x ≤1，||x -2-1，x >1，其中e 为自然对数的底数，则不等式f ()x +f ()x -1<0的解集为______.三、解答题17.如图4，在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC =π2，侧面ACC 1A 1是边长为4的菱形，∠A 1AC =π3，A 1B =4，E 、F 分别为AC 、A 1B 1的中点.(1)求证：BC ⊥平面A 1EF ；(2)若∠BAC =π6，求二面角A 1-EF -C 1的正弦值.18.已知首项为a 1的数列{}a n 各项均为正数，且n ()a n +1+2a n ()a n +1-2a n =4a 2n ，n ∈N ∗.(1)若数列{}b n 的通项b n 满足b n =a 2n ，且a 1=1，求数列{}b n 的前n 项和为T n ；(2)若数列{}c n 的通项c n 满足c n =b n()4S n ，前n 项和为Q n ，当数列{}c n 是等差数列时，对任意的n ∈N ∗，均存在m ∈N ∗，使得8a 21Q n -a 41n 2=16cm 成立，求满足条件的所有整数a 1构成的集合.19.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图5所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前5次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以12的概率向左滚下，或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以12的概率向右滚下.(1)若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；(2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X 号球槽得到的奖金为ξ元，其中ξ=||20-5X .(i)求X 的分布列：(ii)高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？20.已知函数f (x )=cos x +ax 2-1(1)当a =12时，证明：f (x )≥0；(2)若f (x )在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围.四、选做题选修4-4：坐标系与参数方程21.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为ìíîx =2cos α,y =6+2sin α,α为参数，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=101+9sin 2θ.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若M ，N 分别为曲线C 1和曲线C 2上的动点，求||MN 的最大值.选修4-5：不等式选讲22.已知函数f ()x =||2x -7+||2x -5.(1)解不等式f ()x ≥6；(2)设函数f ()x 的最小值为m ，已知正实数a ，b ，且k =max{}1a +b ,a 2+b 2a +b ，证明：k 2m ≥1.参考答案与解析一、选择题1-12ABDCD BCADA CB 二、填空题13.8;14.25;15.64;16.æèöø-∞，72.三、解答题17.【解析】(1)由题意，因为ACC 1A 1是菱形，∠A 1AC =p3，E 为AC 中点，所以A 1E ⊥AC .又因为BE 是直角三角形ABC 的斜边AC 的中线，故BE =2，又A 1B =4，A 1E =23，所以A 1B 2=A 1E 2+BE 2，所以△A 1EB 是直角三角形,所以A 1E ⊥BE ，所以A 1E ⊥平面ABC ，所以A 1E ⊥BC ，又因为BC ⊥AB ，A 1F ∥AB ，图4高考链接图553。

数列高考复习含答案———综合训练篇一、选择题：1． 在等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ，则1092a a -的值为 （ D ）A ．18B ．20C ．22D ．242．等差数列{}n a 满足：30,8531==+S a a ，若等比数列{}n b 满足,,4311a b a b ==则5b 为（ B ） A ．16B ．32C ．64D ．273．等差数列{}n a 中,,27,39963741=++=++a a a a a a 则数列{}n a 的前9项之和S 9等于 （ C ）A ．66B ．144C ．99D ．2974．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比q ≠1，且2a ，321a ，1a 成等差数列，则5443a a a a ++为（A ） A ．215- B ．215+ C ．251- D ．215+或215-5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,336=S S 则=69S S（ B ） A. 2 B.73 C. 83D.3 6．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且210S =，555S =，则过点(,)n P n a 和2(2,)()n Q n a n N *++∈的直线的一个方向向量的坐标是 ( B )A.1(2,)2B.1(,2)2-- C.1(,1)2-- D.(1,1)-- 7．设a 、b 、c 为实数,3a 、4b 、5c 成等比数列,且a 1、b 1、c 1成等差数列，则a c c a +的值为（ C ） A ．1594B ．1594±C ．1534 D ．1534±8． 已知数列{}n a 的通项,1323211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=--n n n a 则下列表述正确的是 ( A ) A ．最大项为,1a 最小项为3a B ．最大项为,1a 最小项不存在 C ．最大项不存在，最小项为3a D ．最大项为,1a 最小项为4a9.已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（B ）A ．21B ．20C ．19D ．189．一系列椭圆都以一定直线l 为准线，所有椭圆的中心都在定点M ，且点M 到l 的距离为2，若这一系列椭圆的离心率组成以43为首项，31为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为a i =(i=1，2，…，n)，设b n =2（2n+1）·3n －2·a n ，且C n =11+n n b b ，T n =C 1+C 2+…+C n ，若对任意n ∈N*，总有T n >90m 恒成立，则m 的最大正整数为（ B ）A ．3B ．5C ．6D ．9二、填空题：10．已知等差数列{}n a 前n 项和S n =－n 2+2tn ，当n 仅当n=7时S n 最大，则t 的取值范围是 (6.5，7.5) .11． 数列{}n a 的通项公式是⎪⎩⎪⎨⎧=)(2)(2为偶数为奇数n n na nn ，则数列的前2m （m 为正整数）项和是 2m+1+m 2－2 .12．已知数列{}n a 满足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =________；2014a =_________.【答案】1，0【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得2009450331a a ⨯-==，2014210071007425210a a a a ⨯⨯-====.∴应填1，0.13．在数列{}n a 和{}n b 中，b n 是a n 与a n +1的等差中项，a 1 = 2且对任意*N n ∈都有3a n +1－a n = 0，则数列{b n }的通项公式 nn b 34= . 14． 设P 1，P 2，…P n …顺次为函数)0(1>=x xy 图像上的点（如图），Q 1，Q 2，…Q n …顺次为x 轴上的点，且n n n Q P Q Q P O Q OP 122111,,-∆∆∆ ，…，均为等腰直解三角形（其中P n 为直角顶点）.设Q n 的坐标为（*)0)(0,N x n ∈，则数列{a n }的通项公式为n x n 2=*)N n ∈ .三、解答题：15．已知}{n a 是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6，成等比数列.15. [解法1]由已知.21,2,26361311741q q q a q a a a a a =+∴=+=+………………（2分）当66663124373124126361,2()2()2()2q S S S S a a a S a q a q a q S S q ≠-=+++=++= 时…………（4分）.1)1(1)1()1()1(266616318633S S qq a S q q a q S S q =⋅--=⋅--⋅+=+=………………（8分）当,)(2,6,6,3,126612316121613S S S S a S S a S a S q =-=-===同样有时……（10分）所以，61263,,2S S S S -成等比数列.………………………………………………（12分） [解法2]由已知636131174121,2,2q q q a q a a a a a =+∴=+=+，……………（2分）当,36)12(32)(2,1231314122a a a a S S S q =-⨯=-=时∴==.36)6(232126a a S ∴=-.)(2266122S S S S 61263,,2S S S S -成等比数列.…（6分）当,221)1(2111212,1633636q q q q S S q ⋅=+=--⋅=≠时…………………………（8分） ∴61263,,2S S S S -成等比数列.……………………………………………………（11分）综上，61263,,2S S S S -成等比数列.………………………………………………（12分）16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意自然数n 总有p a p S n n (),1(-=为常数，且q q n b b p p n n (2}{),1,0+=≠≠中有数列为常数）。

高中数学试卷（本试卷共3页，14道题，满分100分，考试时间60分钟。

）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

本大题共5小题，每小题5分，总计25分。

）1.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （－1，3），若点C 满足OB OA OC βα+=，其中α、β∈R，且α＋β=1，则点C 的轨迹方程为 ( ) （A ）（x －1）2＋（y －2）2=5 （B ）3x ＋2y －11=0 （C ）2x －y =0 （D ）x ＋2y －5=0 2．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ） A.13项 B.12项 C.11项 D.10项3．函数sin 2sin 23y x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是（ ）A ．,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ． 7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 4. 两个相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放入棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个面平行，且各 顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个图15．长方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=3，BC=2，AA 1=1，用绳子从点A 沿长方体表面拉到C 1点，绳子最短时长为 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，总计35分。

）6. 已知f x ()是定义在R 上的函数，且满足：f x f x f x ()[()]()+-=+211，2005)1(=f ，则)2005(f =________。

7、已知{a n }是首项为1的正项数列，且),3,2,1(0)1(1221 ==+-+++n a a na a n n n n n ，则它的通项a n = . 8.求函数y ＝x （1－x 2）（0＜x ＜1)的最大值为______。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若存在实数a，使得f(a) = 0，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 02. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则复数z的几何意义是（）A. z在复平面上的实部为0B. z在复平面上的虚部为0C. z在复平面上的轨迹为y轴D. z在复平面上的轨迹为直线x=03. 在等差数列{an}中，若a1 + a3 = 10，a2 + a4 = 18，则该数列的公差d是（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，若函数g(x) = |x| - 2，则f(x)与g(x)的图象交点的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 若等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，则该数列的前5项和S5是（）A. 62B. 72C. 82D. 926. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC的值是（）A. √3/2B. 1/2C. √2/2D. 1/√27. 若函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且a > 0，b < 0，则该函数的对称轴是（）A. x = -b/2aB. x = b/2aC. x = -b/aD. x = b/a8. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点P'的坐标是（）A. (3,2)B. (2,3)C. (3,3)D. (2,2)9. 若等差数列{cn}的前n项和为Sn，公差为d，则Sn^2 - (n^2 - 1)Sn + 2(n^2 - 1) = 0的解为（）A. n = 1B. n = 2C. n = 3D. n = 410. 已知函数f(x) = |x-1| + |x+1|，若x∈[-1,1]，则f(x)的最大值是（）A. 0B. 2C. 4D. 6二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项a10 = ________。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f'(1)的值为（）A. 2B. -2C. 0D. 32. 下列各式中，属于无理数的是（）A. √2B. √9C. √16D. √03. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，d=2，则S10的值为（）A. 55B. 60C. 65D. 704. 在三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，则cos∠ABC的值为（）A. √3/2B. 1/2C. 1D. -1/25. 下列各函数中，在区间[0, 1]上单调递减的是（）A. y = x^2B. y = 2xC. y = log2xD. y = √x6. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的实部为（）A. 0B. 1C. -1D. 27. 已知函数f(x) = e^x - x，则f(x)在x=0处的切线斜率为（）A. 1B. -1C. 0D. e8. 下列各对数式中，相等的是（）A. log2(8) = 3B. log3(27) = 3C. log4(64) = 3D. log5(125) = 39. 已知向量a = (2, -3)，向量b = (-1, 2)，则向量a·b的值为（）A. -7B. 7C. 1D. -110. 下列各几何图形中，具有对称性的是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 圆D. 长方形二、填空题（每题5分，共50分）11. 若sinα = 1/2，且α为锐角，则cosα的值为______。

12. 已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则第5项a5的值为______。

13. 在直角坐标系中，点P(2, -1)关于直线y=x的对称点为______。

14. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的零点为______。

15. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面上的对应点位于______。

高三数学综合测试题一、选择题1、设会合U =1,2,3,4， M = x U x25x+ p = 0 ，若 C U M = 2,3，则实数 p 的值为 (B)A ．4B．4C．6 D ．62．条件p : x1, y1, 条件 q : x y2, xy1，则条件p是条件q的A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充要条件D.既不充足也不用要条件B.{ 1,0,1,2}C.{ 1,0,2,3}D.{ 0,1,2,3}3. 设函数f (x) 1 e x的图象与x轴订交于点P,则曲线在点P的切线方程为( C )（ A ）y x1（B ）y x 1（C）y x（D ）y x114．设 a= 2，b= 2， c=lg0.7 ，则 (C)A ． c＜ b＜ a B． b＜ a＜ cC．c＜ a＜ b D．a＜ b＜ c5．函数 f (x)=e x- x- 2 的零点所在的区间为( C)A．(-1，0)B． (0， 1)C．(1， 2)D．(2， 3)6 、设函数f (x)( 1 )x7, x0，则实数 a 的取值范围是2，若 f (a) 1x , x0（C）A 、(,3)B、(1,)C、(3,1) D 、(,3) U (1,)7 f ( x)log a x,f (| x |1)的图象大概是(D)．已知对数函数是增函数则函数8．函数 y＝log a(x＋ 1)＋ x2－ 2(0＜a＜ 1)的零点的个数为 ()A ． 0B． 1C．2D．没法确立新课标第一网分析：选 C.令 log a(x＋ 1)＋ x2－ 2＝ 0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考察图象1a22的交点个数y ＝ log(x＋ 1)与 y＝－ x ＋ 29．若函数 f (x)= - x3+bx 在区间 (0，1)上单一递加，且方程 f (x)=0 的根都在区间 [ - 2，2]上，则实数 b 的取值范围为(D)A．[0，4]B．3，C．[2，4]D．[3， 4]10．已知定义在R 上的奇函数 f ( x) 是，0 上的增函数，且 f (1)= 2， f ( - 2)= - 4，设P={ x|f (x+t)- 4<0} ，Q={ x|f (x)<- 2} ．若“ x∈P”是“ x∈ Q”的充足不用要条件，则实数t 的取值范围是（B）A ． t≤ - 1B． t>3C． t≥ 3 D ． t>- 1二、填空题11．命题“若x21，则1x 1 ”的逆否命题为________________ 4n n 212．已知偶函数 f (x)= x2(n∈ Z) 在(0 ，+∞ )上是增函数，则 n=2．13、已知函数f ( x)x3mx2(m 6) x 1 既存在极大值又存在极小值，则实数 m 的取值范围是 __、m 6 或 m3_____________14．若不等式 1 一 log a( 10a x ) ＜0有解，则实数a 的范围是；15．已知函数 f ( x)定义域为 [-1, 5], 部分对应值如表x-1045f ( x)1221f ( x) 的导函数 f ( x) 的图象如下图,以下对于函数 f (x) 的命题①函数 f ( x) 的值域为[1,2];②函数 f ( x) 在[0,2]上是减函数;③假如当 x[1, t] 时,f (x) 的最大值是2,那么 t 的最大值为4;④当 1 a 2时 ,函数 y f (x) a 有4个零点.此中真命题是②(只须填上序号 ).yy f(x)-1012345x16题三、解答题16．已知命题：“x x |1x1，使等式 x2x m 0 建立”是真命题，（1）务实数 m 的取值会合 M ；（2）设不等式( x a)( x a2)0 的解集为N，若x∈N是x∈M的必需条件，求 a 的取 范 ．答案 :(1)Mm1m 2 4(2) a9a1或 4417．（本 分12 分）已知二次函数 y= f (x)的 象 点 (1， - 4)，且不等式 f (x)<0 的解集是(0， 5)．（Ⅰ）求函数f (x)的分析式；（Ⅱ）g(x)=x 3- (4k- 10)x+5 ，若函数h(x)=2 f (x)+ g(x)在 [ - 4，- 2]上 增，在 [- 2，0]上 减，求y=h(x)在[ - 3， 1]上的最大 和最小 ．17． 解：（Ⅰ）由已知y= f (x) 是二次函数，且 f (x)<0 的解集是 (0，5) ， 可得 f (x)=0 的两根 0， 5，于是 二次函数f (x)=ax(x- 5)，代入点 (1，- 4)，得 - 4=a ×1×(1- 5) ，解得 a=1，∴ f (x)=x(x- 5) ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（Ⅱ） h(x)=2f (x)+g(x)=2 x(x- 5)+ x 3- (4k- 10)x+5= x 3 +2x 2- 4kx+5，于是 h (x) 3x 2 4 x 4k ，∵ h(x)在 [ - 4， - 2] 上 增，在 [- 2， 0]上 减， ∴ x=- 2 是h(x)的极大 点，∴ h ( 2) 3( 2)24 ( 2) 4k 0 ，解得 k=1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∴ h(x)=x 3+2x 2- 4x+5 ， 而得 h ( x) 3x 2 4x4 ．令 h ( x) 3x 24x 4 3(x2)( x 2)0 ， 得 x 12，x 22 ．33由下表：x(-3，-2)- 2 (-2， 2)2 (2，1)333h (x)+ 0- 0+ h(x)↗极大↘极小↗可知： h(- 2)=( - 2)3+2×(- 2)2- 4×(- 2)+5=13 ， h(1)=1 3+2×12 - 4×1+5=4，3 22 23 2 2 2 95 ， h( - 3)=( - 3) +2×(- 3) - 4×(- 3)+5=8 ，h()=()+2×( ) - 4× +5=3 33327∴ h(x)的最大 13，最小95．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分2718、（本 分12 分）x 1 0,a 1)已知函数 f ( x) log a(ax1（1）求 f ( x ) 的定 域，判断 f ( x ) 的奇偶性并 明；（2） 于 x [2,4] ， f ( x ) log am恒建立，求 m 的取 范 。

高中数学选修一综合测试题专项训练单选题1、设圆C 1:x 2+y 2−2x +4y =4，圆C 2:x 2+y 2+6x −8y =0，则圆C 1，C 2的公切线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案：B分析：先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．由题意，得圆C 1:(x −1)2+(y +2)2=32，圆心C 1(1,−2)，圆C 2:(x +3)2+(y −4)2=52，圆心C 2(−3,4)，∴5−3<|C 1C 2|=2√13<5+3，∴C 1与C 2相交，有2条公切线． 故选：B ．2、经过点(－√2，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（ ） A ．y ＋√2 =√33(x －2)B ．y ＋2＝√3(x －√2) C ．y －2=√33(x ＋√2)D ．y －2＝√3(x ＋√2) 答案：C分析：根据k =tan30°求出直线斜率，再利用点斜式即可求解. 直线的斜率k =tan30°=√33，由直线的点斜式方程可得y －2＝√33(x ＋√2)， 故选：C ．3、已知点P(x ，y)在直线x −y −1=0上的运动，则(x −2)2+(y −2)2的最小值是（ ） A ．12B ．√22C ．14D ．√34 答案：A分析：(x −2)2+(y −2)2表示点P(x ，y)与(2，2)距离的平方，求出(2，2)到直线x −y −1=0的距离，即可得到答案.(x −2)2+(y −2)2表示点P(x ，y)与(2,2)距离的平方，因为点(2,2)到直线x −y −1=0的距离d =√2=√22， 所以(2,2)的最小值为d 2=12． 故选：A4、动点P ，Q 分别在抛物线x 2=4y 和圆x 2+y 2−8y +13=0上，则|PQ|的最小值为（ ） A ．2√3B ．√3C ．12√3D ．32√3 答案：B分析：设P (x 0,14x 02)，根据两点间距离公式，先求得P 到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案. 设P (x 0,14x 02)，圆化简为x 2+(y −4)2=3，即圆心为（0,4），半径为√3，所以点P 到圆心的距离d =√(x 0−0)2+(14x 02−4)2=√116(x 02)2−x 02+16，令t =x 02，则t ≥0，令f(t)=116t 2−t +16，t ≥0，为开口向上，对称轴为t =8的抛物线，所以f(t)的最小值为f (8)=12， 所以d min =√12=2√3，所以|PQ|的最小值为d min −√3=2√3−√3=√3. 故选：B5、已知圆C 1:x 2+y 2+4x −2y −4=0，C 2:(x +32)2+(y −32)2=112，则这两圆的公共弦长为（ ）A ．4B ．2√2C ．2D ．1 答案：C分析：先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长.由题意知C 1:x 2+y 2+4x −2y −4=0，C 2:x 2+y 2+3x −3y −1=0，将两圆的方程相减，得x +y −3=0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为x +y −3=0.又因为圆C 1的圆心为(−2,1)，半径r =3，所以圆C 1的圆心到直线x +y −3=0的距离d =√2=2√2.所以这两圆的公共弦的弦长为2√r2−d2=2√32−(2√2)2=2. 故选：C.6、设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（）A．[√22,1)B．[12,1)C．(0,√22]D．(0,12]答案：C分析：设P(x0,y0)，由B(0,b)，根据两点间的距离公式表示出|PB|，分类讨论求出|PB|的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．设P(x0,y0)，由B(0,b)，因为x02a2+y02b2=1，a2=b2+c2，所以|PB|2=x02+(y0−b)2=a2(1−y02b2)+(y0−b)2=−c2b2(y0+b3c2)2+b4c2+a2+b2，因为−b≤y0≤b，当−b3c2≤−b，即b2≥c2时，|PB|max2=4b2，即|PB|max=2b，符合题意，由b2≥c2可得a2≥2c2，即0<e≤√22；当−b3c2>−b，即b2<c2时，|PB|max2=b4c2+a2+b2，即b4c2+a2+b2≤4b2，化简得，(c2−b2)2≤0，显然该不等式不成立．故选：C．小提示：本题解题关键是如何求出|PB|的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．7、如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cos∠BAC=−35，AB⊥BD，则E的离心率为（）A ．√52B ．√173C ．√102D ．√5 答案：B分析：利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用|BF 2|表示|BF 1|,|AF 1|,|AB|，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.依题意，直线CA,DB 都过点F 1，如图，有AB ⊥BF 1，cos∠BAF 1=35，设|BF 2|=m ，则|BF 1|=2a +m ，显然有tan∠BAF 1=43，|AB|=34|BF 1|=34(2a +m)，|AF 2|=32a −14m ，因此，|AF 1|=2a +|AF 2|=72a −14m ，在Rt △ABF 1，|AB|2+|BF 1|2=|AF 1|2，即916(2a +m)2+(2a +m)2=(72a −14m)2，解得m =23a ，即|BF 1|=83a,|BF 2|=23a ，令双曲线半焦距为c ，在Rt △BF 1F 2中，|BF 2|2+|BF 1|2=|F 1F 2|2，即(23a)2+(83a)2=(2c)2，解得ca =√173， 所以E 的离心率为√173. 故选：B小提示：方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得a,c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法，由已知条件得出关于a,c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.8、已知直线l 1:√3x +y =0与直线l 2:kx −y +1=0，若直线l 1与直线l 2的夹角是60°，则k 的值为（ ） A ．√3或0B ．−√3或0 C ．√3D ．−√3 答案：A分析：先求出l 1的倾斜角为120°，再求出直线l 2的倾斜角为0°或60°，直接求斜率k . 直线l 1:√3x +y =0的斜率为k 1=−√3，所以倾斜角为120°. 要使直线l 1与直线l 2的夹角是60°， 只需直线l 2的倾斜角为0°或60°， 所以k 的值为0或√3. 故选：A 多选题9、下列四个命题中，错误的有（ ） A ．若直线的倾斜角为θ，则sinθ>0 B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0≤θ≤πC ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tanθD ．若一条直线的斜率为tanθ，则此直线的倾斜角为θ 答案：ABCD分析：根据倾斜角与斜率的定义判断即可；解：因为直线的倾斜角的取值范围是[0,π)，即θ∈[0,π)，所以sinθ≥0， 当θ≠π2时直线的斜率k =tanθ，故A 、B 、C 均错误； 对于D ：若直线的斜率k =tan 4π3=√3，此时直线的倾斜角为π3，故D 错误；故选：ABCD10、(多选)已知三条直线x －2y ＝1，2x ＋ky ＝3，3kx ＋4y ＝5相交于一点，则k 的值为（ ） A ．－163B ．－1C ．1D ．163分析：由任意两个直线方程联立方程组求出交点坐标，再由其会标代入第三个方程中可求出k 的值 解：由{x −2y =12x +ky =3，得{x =6+k4+ky =14+k ，所以三条直线的交点为(6+k4+k ,14+k)，所以3k ⋅6+k 4+k+4⋅14+k =5，化简得3k 2+13k −16=0，解得k =1或k =−163， 故选：AC11、已知直线l 经过点P(3,1)，且被两条平行直线l 1：x +y +1=0和l 2：x +y +6=0截得的线段长为5，则直线l 的方程为（ ） A ．x =2B ．x =3 C ．y =1D ．y =2 答案：BC分析：先分析当直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3，符合题意；再分析直线l 的斜率存在时，先求出A,B 的坐标，解方程(3k−2k+1−3k−7k+1)2+(−4k−1k+1+9k−1k+1)2=52求出k 的值，综合即得解.若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3， 此时与l 1、l 2的交点分别为A(3,−4)，B(3,−9)， 截得的线段AB 的长|AB|=|−4+9|=5，符合题意， 若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y =k(x −3)+1， 解{y =k(x −3)+1x +y +1=0 得A(3k−2k+1,−4k−1k+1)，解{y =k(x −3)+1x +y +6=0 得B(3k−7k+1,−9k−1k+1)，由|AB|=5，得(3k−2k+1−3k−7k+1)2+(−4k−1k+1+9k−1k+1)2=52，解得k =0，即所求的直线方程为y =1，综上可知，所求直线l 的方程为x =3或y =1，填空题12、已知抛物线y 2=2px (p >0)，圆(x −p 2)2+y 2=1与y 轴相切，斜率为k 的直线过抛物线的焦点与抛物线交于A ，D 两点，与圆交于B ，C 两点(A ，B 两点在x 轴的同一侧)，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =λCD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，λ∈[2,4]，则k 2的取值范围为___________. 答案：[8,16+12√2]分析：先求出p ，然后设出直线，让直线与抛物线联立，再根据向量之间的关系及韦达定理求出x A ,x D ，再利用抛物线的定义及条件建立等式，再转化为不等式求解即可.由圆的方程可知，其圆心坐标为(p2,0)，当圆与y 轴相切可知p2=1，得p =2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)，抛物线方程为y 2=4x ，设斜率为k 的直线方程为y =k(x −1)，设A(x A ,y A ),D(x D ,y D )，直线与抛物线联立， {y =k(x −1)y 2=4x，得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0， 所以x A +x D =2k 2+4k 2①，x A x D =1②所以|AB⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AF ⃑⃑⃑⃑⃑ |−1=x A +1−1=x A ，|CD ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DF ⃑⃑⃑⃑⃑ |−1=x D +1−1=x D ， 而AB⃑⃑⃑⃑⃑ =λCD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则有|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=λ|CD ⃑⃑⃑⃑⃑ |，λ∈[2,4]， 所以x A =λx D ③，由①，③解得x A =λ(2k 2+4)(λ+1)k 2,x D =2k 2+4(λ+1)k 2，代入②有λ(λ+1)2⋅(2k 2+4)2k 4=1，变形得(2k 2+4)2k 4=(λ+1)2λ，因为λ∈[2,4]，所以(λ+1)2λ=λ+1λ+2∈[92,254]，所以92≤(2k 2+4)2k 4≤254，变形得√2≤2k 2+4k 2≤52，解得8≤k 2≤16+12√2. 所以答案是：[8,16+12√2].小提示：关键点睛：解决本题的关键一是先求出抛物线方程，二是运用抛物线的定义，三是解不等式. 13、设m ∈R ，圆M:x 2+y 2−2x −6y =0，若动直线l 1:x +my −2−m =0与圆M 交于点A 、C ，动直线l2:mx−y−2m+1=0与圆M交于点B、D，则|AC|+|BD|的最大值是________．答案：2√30分析：求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d，根据几何关系表示出|AC|+|BD|，利用基本不等式即可求出其最大值.x2+y2−2x−6y=0⇒(x−1)2+(y−3)2=10，圆心M(1，3)，半径r＝√10，x+my−2−m=0⇒x−2+m(y−1)=0⇒l1过定点E(2,1)，mx−y−2m+1=0⇒m(x−2)−y+1=0⇒l2过定点E(2,1)，且l1⊥l2，如图，设AC和BD中点分别为F、G，则四边形EFMG为矩形，设|MF|=d，0≤d≤|ME|=√5，则|MG|=√|ME|2−|EG|2=√|ME|2−|MF|2=√5−d2，则|AC|+|BD|＝2√10−d2+2√10−(5−d2)=2(√10−d2+√5+d2)⩽2√2(10−d2+5+d2)=2√30，当且仅当10−d2=5+d2即d=√102时取等号.所以答案是：2√30.14、已知椭圆C:x24+y23=1的左､右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E:(x−3)2+(y−2)2=1上任意一点，则|MN|−|MF1|的最小值为___________. 答案：2√2−5分析：首先根据椭圆的定义将|MN|−|MF1|的最小值转化为|MN|+|MF2|−4，再根据|MN|≥|ME|−1（当且仅当M、N、E共线时取等号），最后根据|ME|+|MF2|≥|EF2|求得|MN|−|MF1|的最小值.如图，由M为椭圆C上任意一点，则|MF1|+|MF2|=4又N为圆E:(x−3)2+(y−2)2=1上任意一点，则|MN|≥|ME|−1（当且仅当M、N、E共线时取等号），∴|MN|−|MF1|=|MN|−(4−|MF2|)=|MN|+|MF2|−4≥|ME|+|MF2|−5≥|EF2|−5，当且仅当M、N、E、F2共线时等号成立.∵F2(1,0)，E(3,2)，则|EF2|=√(3−1)2+(2−0)2=2√2，∴|MN|−|MF1|的最小值为2√2−5．所以答案是：2√2−5．小提示：思路点睛；本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，主要根据椭圆的定义将目标等价转化为能够通过数形结合解题的类型，考查学生的转化与化归思想，属于较难题.解答题15、如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度AD为6√3m，行车道总宽度BC为2√11m，侧墙高EA，FD为2m，弧顶高MN为5m.（1）以EF所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，1m为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程；（2）为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部（设为平顶）在竖直方向上的高度之差至少为0.5m ，问车辆通过隧道的限制高度是多少？答案：（1）x 2+(y +3)2=36；（2）3.5m . 分析：（1）设出圆的方程，代入F,M 即可求解；（2）设限高为ℎ，作CP ⊥AD ，求出点P 的坐标，即可得出答案. （1）由题意，有E(−3√3,0)，F(3√3,0)，M(0,3).∵所求圆的圆心在y 轴上，∴设圆的方程为(x −0)2+(y −b)2=r 2（b ∈R ，r >0）， ∵F(3√3,0)，M(0,3)都在圆上， ∴{(3√3)2+b 2=r 202+(3−b )2=r 2，解得{b =−3r 2=36 .∴圆的标准方程是x 2+(y +3)2=36.（2）设限高为ℎ，作CP ⊥AD ，交圆弧于点P ， 则CP =ℎ+0.5.将点P 的横坐标x =√11代入圆的方程，得(√11)2+(y +3)2=36， 得y =2或y =−8（舍去）.∴ℎ=CP −0.5=(2+2)−0.5=3.5(m ). 故车辆通过隧道的限制高度为3.5m .。

高中数学综合练习题一、单选题1）、已知平面上一点A的坐标为(2, 3)，点B的坐标为(-1, 4)，点C的坐标为(5, -2)，则三角形ABC的面积是：A. 9B. 10C. 11D. 122）、已知函数f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 1，那么f'(x)的导函数是：A. 3x^2 + 4x + 3B. 3x^2 + 2x + 3C. 3x^2 - 2x + 3D. 3x^2 + 2x - 33）、已知等差数列的前五项是3, 6, 9, 12, 15，求该等差数列的公差d。

A. 3B. 4C. 5D. 64）、已知直角三角形的直角边长分别为3 cm和4 cm，求斜边的长度。

A. 5 cmB. 6 cmC. 7 cmD. 8 cm5）、已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 4，求f(-1)的值。

A. -5B. -3C. -1D. 16）、已知等差数列的前n项和为Sn = 2n^2 + 3n，求该等差数列的首项a1。

A. 1B. 2C. 3D. 47）、已知函数f(x) = e^x - 2，求f'(0)的值。

A. -1B. 0C. 1D. 28）、已知一个平面上的正方形ABCD的边长是5 cm，点E是CD边上的一个点，且CE的长度是4 cm，求线段AE的长度。

A. 5 cmB. 6 cmC. 7 cmD. 8 cm二、多选题1）、已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，下列哪些是f(x)的零点？A. x = 1B. x = 2C. x = -1D. x = 02）、已知等差数列的前三项是a, b, c，且b - a = c - b，下列哪些说法是正确的？A. 公差d = a + c - 2bB. 公差d = (c - a)/2C. a = (b + c)/2 - dD. b = (a + c)/2 + d3）、已知三角形ABC，AB = AC，角A的角度为60°，下列哪些说法是正确的？A. 角B = 60°B. 角C = 60°C. 角B = 角CD. 角B + 角C = 120°三、填空题1）、已知函数f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c，其中a、b、c均为常数。

一、选择题1.已知集合A ={x |x -1<0}，B ={x |x 2-2x -8≥0}，则A ∩（∁R B ）=（）.A.{x |-2<x <1}B.{x |-4<x <1}C.{x |x ≤-2}D.{x |x ≤-4}2.复数21+i=（）.A.1+iB.1-iC.iD.-i 3.已知某个几何体的三视图如图1所示（正视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的体积是().A.288+36πB.60πC.288+72πD.288+8π4.“ln ()a -2-ln ()b -1>0”是“ab>1”成立的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知(x 2-1x)4(1+ax )的展开式中常数项系数为4，则a =（）.A.-4B.1C.12D.-16.图2中的筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图3所示，圆O 的半径为4米，P 0在水平面上，盛水筒M 从点P 0处开始运动，OP 0与水平面的所成角为30°，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒M 距离水面的高度H （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系式是（）.图2图3A.H =4sin(π60t -π6)+2B.H =4sin(π30t -π6)+2C.H =4sin(π60t -π3)+2D.H =4sin(π30t -π3+2)7.在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失.2011～2020年上半年的票房走势如图4所示，则下列说法正确的是（）.图4A.自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加B.自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年C.2018年上半年的票房收入增速最大D.2020年上半年的票房收入增速最小8.已知数列{}a n 为等差数列，其前n 项和为S n ，若S n =S 13-n (n ∈N*且n <13)，有以下结论：①S 13=0；②a 7=0；③{}a n 为递增数列；④a 13=0.则正确的结论的个数为().A.1 B.2 C.3 D.49.函数f (x )=sin x +cos2x 的最大值是（）.A.1B.98C.2D.2210.已知点P 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1()a >0,b >0右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，点I是ΔPF 1F 2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有S ΔIPF 1-S ΔIPF 2ΔIF 1F2成立，则双曲线的离心率取值范围是().A.()1,2 B.[)2,+∞C.(]1,2 D.()2,+∞11.如图5，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 在棱DD1上，且2DE ＝ED 1，F 是线段BB 1上一动点，现宋华平图162给出下列结论：①EF ⊥AC ；②存在一点F ，使得AE ∥C 1F ；③三棱锥D 1-AEF 的体积与点F 的位置无关．其中正确结论的个数为（）. A.0 B.1 C.2 D.3图512.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其导函数为f ′(x )，且对任意实数x 都有f (x )+f ′(x )>1，则不等式e x f (x )>e x-1的解集为（）.A ．（-∞，0）B ．（0，+∞）C ．（-∞，1）D ．（1，+∞）二、填空题13.已知向量 a =(m ,3)， b =(1,-2)，且( a + b )⊥b ，则m =_______．14.设x ,y 满足约束条件ìíîïïx +y -3≤0,2x -y +2≥0,y ≥0,则z =x +2y的最小值是_______．15.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b =27，c =3，B =2C ，则cos 2C 的值为______．16.已知函数f (x )=|4x-3|+2，若函数g (x )=[f (x )]2-2mf (x )+m 2-1有4个零点，则m 的取值范围是_______．三、解答题17.设ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2+c 2-a 23.(1)若tan B =6，求ab ；(2)若B =2π3,b =23，求BC 边上的中线长.18.某篮球队员进行定点投篮训练，每次投中的概率是34，且每次投篮的结果互不影响.（1）假设这名队员投篮5次，求恰有2次投中的概率；（2）假设这名队员投篮3次，每次投篮，投中得1分，未投中得0分，在3次投篮中，若有2次连续投中，而另外一次未投中，则额外加1分；若3次全投中，则额外加3分，记ξ为队员投篮3次后的总的分数，求ξ的分布列及期望.19.如图6，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB //DC ，AD =DC =AP =2，AB =1，点E 为棱PC 的中点（1）证明：BE ⊥DC ；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求锐二面角F -AB -P 的余弦值.图620.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为，且以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线x +y -2=0相切．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 交于A 、B 两点，已知Q 点坐标为(54,0)，求 QA ∙ QB 的值．21.已知函数f ()x =a ln x -2x ，g ()x =2ln ()x +1+2e x -()a +2x -2.(1)讨论函数f ()x 的单调性；(2)若x ≥0时，g ()x ≥0恒成立，求实数a 的取值范围.四、选做题22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =4cos α+2,y =4sin α,(α为参数)在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ=π6()ρ∈R ．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点，P 为曲C 上的一动点，求△PAB 面积的最大值.23.已知函数f (x )=|x -2|+2|x -a |．（1）当a =0时，求不等式f (x )≥4的解集；（2）若对任意的x ∈[2,4]，不等式f (x )≤x +6恒成立，求a 的取值范围．63轴，建立空间直角坐标系，B (1，0，0)，P (0，0，2)，C (2，2，0)，E (1，1，1)，D (0，2，0)， BE =(0,1,1)， DC =(2,0,0)，∴ BE ∙DC =0，∴BE ⊥DC ；（2）解：∵F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，∴设F (a ,b ,c )，PF =λPC ,λ∈[0,1]，∴(a ,b ,c -2)=(2λ,2λ,-2λ),∴F (2λ,2λ,2-2λ)，∴ BF =(2λ-1,2λ,2-2λ),AC =(2,2,0)，∵BF ⊥AC ，∴ BF ∙AC =2(2λ-1)+2∙2λ=0，解得λ=14,∴F æèöø12,12,32，∴ AB =(1,0,0),AF =æèöø12,12,32，设平面ABF 的法向量n=(x ,y ,z )，∴ìíîïïn ∙ AB =x =0,n ∙ AF =12x +12y +32z =0,取z =1，得n=(0,-3,1)，∴平面ABP 的一个法向量为m=(0,1,0)，设二面角F -AB -P 的平面角为θ，∴cos θ=|m ∙n ||m |∙|n |=310=，∴二面角F -AB -P 的余弦值为.20.解:（1），可得e =c a =，则c ，且以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆的方程为x 2+y 2=a 2，因与直线x +y -2=0相切，则有22=a，即a =2，c =1，则b =1，故椭圆方程为x 22+y 2=1．（2）①当直线l 的斜率不存在时，A æèçø，B æèçø1,，则æèçø1-54∙æèçø1-54,=-716；②当直线l 的斜率为0时，A ()2,0，B ()-2,0，则æèöø2-54,0∙æèöø-2-54,0=-716；③当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x =ty +1，A ()x 1,y 1，B ()x 2,y 2，由x =ty +1及x 22+y 2=1，得()t 2+2y 2+2ty -1=0，有Δ>0，则y 1+y 2=-2t t 2+2，y 1y 2=-1t 2+2，因为x 1=ty 1+1，x 2=ty 2+1，æèöøx 1-54,y 1∙æèöøx 2-54,y 2=æèöøty 1-14æèöøty 2-14+y 1y 2=()t 2+1=y 1y 2-14t ()y 1+y 2+116=-()t 2+11t 2+2+14t ∙2t t 2+2+116=-2t 2-2+t 22()t 2+2+116=-716，综上所述：QA ∙ QB =-716．21.解:（1）由题意知f ′()x =a x -2=-2x +a x()x >0①当a ≤0时，恒有f ′()x <0，得f ()x 在()0,+∞上单调递减；②当a >0时，由f ′()x =0，得x =a2，在æèöø0,a 2上，则f ′()x >0，则f ()x 单调递增；在æèöøa 2,+∞上，f ′()x <0，则f ()x 单调递减.（2）由题知g ′()x =a x +1+2e x -a -2=2e x()x +1-()a +2()x +1+a x +1()x ≥0，当x ≥0时，恒有e x ≥x +1≥1，得g ′()x ≥2x éëêùûúx -æèöøa 2-1x +1.①当a2-1≤0，即a ≤2时，g ′()x ≥0恒成立，即g ()x 在x ≥0上单调递增，则g ()x ≥g ()0=0；②当a2-1>0，即a >2时，此时导函数有正有负，且有g ′()0=0，由g ′()x =a x +1+2e x -a -2，得g ″()x =-a ()x +12+2e x ，且g ″()x 在x ≥0上单调递增，当a >2时，a -1>0，e a -1>e 0=1，g ″()0=2-a <0，g ″()a -1=2ea -1-1>0,故g ′()x 在()0,a -1上存在唯一的零点x 0，当x ∈[)0,x 0时，g ″()x <0，即g ′()x 在x ∈()0,x 0上单调递减，此时g ′()x ≤g ′()0=0，知g ()x 在x ∈()0,x 0上单调递减，此时g ′()x ≤g ′()0=0与已知矛盾(不合题意)；综合所述，满足条件的实数a 的取值范围为a ≤2.四、选考题22.解：（1）将方程{x =4cos α+2，y =4sin α，(α为参数)消去参数α后可得x 2+y 2-4x -12=0，∴曲线C 的普通方程为x 2+y 2-4x -12=0，将x 2+y 2=ρ2，x =ρcos θ代入上式可得ρ2-4ρcos θ=12，∴曲线C 的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ-12=0．（2）设A ,B 两点的极坐标分别为æèöøρ1,π6，æèöøρ2,π6，由ìíîïïρ2-4ρcos θ=12，θ=π6，消去θ整理得ρ2-23ρ-12=0，根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2-23ρ-12=0的两根，∴ρ1+ρ2=23，ρ1ρ2=-12，∴||AB =||ρ1-ρ2=()ρ1+ρ22-4ρ1ρ2=215．∵直线l 的普通方程为3x -3y =0，的圆心()2,0到直线l 的距离为d =2332+()321，又圆C 的半径为r =4，∴()S △PAB max =12||AB ()d +r =12×215×()1+4=515．23.解：已知函数f (x )=|x -2|+2|x -a |．（1）当a =0时，f (x )=|x -2|+2|x |，则不等式f (x )≥4等价于ìíîx ≤0,-3x +2≥4,或ìíî0<x ≤2,x +2≥4,或ìíîx >2,3x -2≥4,解得x ≤-23或x =2或x >2．故不等式f (x )≥4的解集为(-∞,-23]⋃[2,+∞)．（2）不等式f (x )≤x +6可化为|x -2|+2|x -a |≤x +6．因为不等式|x -2|+2|x -a |≤x +6在x ∈[2，4]上恒成立，所以x -2+2|x -a |≤x +6，即|x -a |≤4，即a -4≤x ≤a +4，则{a -4≤2，a +4≥4，解得0≤a ≤6．故a 的取值范围为[0，6]．65。

高中数学综合试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 如果函数f(x)=x^2-2x+2，那么f(0)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，那么a5的值是多少？A. 11B. 13C. 15D. 173. 一个圆的半径为5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 函数y=2x+3的斜率是多少？A. 2B. 3C. 5D. 65. 抛物线y=x^2-4x+3的顶点坐标是多少？A. (2, 1)B. (2, -1)C. (4, 3)D. (4, -3)6. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定7. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的导数值是多少？A. -1B. 0C. 1D. 28. 集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，那么A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}9. 已知向量a=(3, -4)，向量b=(2, 5)，那么向量a与向量b的点积是多少？A. -23B. -7C. 23D. 710. 一个函数是奇函数，那么它的图象关于：A. 原点对称B. y轴对称C. x轴对称D. 直线y=x对称二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)=______。

12. 一个等比数列的首项为2，公比为3，那么它的第五项是______。

13. 已知一个矩形的长为8cm，宽为5cm，那么它的周长是______。

14. 函数y=x^2-6x+8的最小值是______。

15. 已知一个圆的直径为10cm，那么它的半径是______。

三、解答题（每题10分，共50分）16. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数的极值点。

高中综合数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个选项是方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 的解？A. 1B. 2C. 3D. 42. 如果 \( f(x) = 3x - 2 \)，那么 \( f(-1) \) 的值是多少？A. -5B. -4C. -3D. -23. 函数 \( y = x^2 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数是：A. 0B. 2C. 4D. 84. 圆 \( (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 \) 的半径是：A. 3B. 4C. 5D. 105. 集合 \( A = \{1, 2, 3\} \) 和 \( B = \{2, 3, 4\} \) 的并集是：A. \( A \cup B = \{1, 2, 3\} \)B. \( A \cup B = \{2, 3\} \)C. \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} \)D. \( A \cup B = \{4\} \)6. 正弦函数 \( y = \sin(x) \) 的周期是：A. \( \pi \)B. \( 2\pi \)C. \( 3\pi \)D. \( 4\pi \)7. 以下哪个是等差数列 2, 5, 8, 11 的第5项？A. 14B. 15C. 16D. 178. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 89. 函数 \( y = \log_{10}(x) \) 的反函数是：A. \( x = 10^y \)B. \( x = \log_{10}(y) \)C. \( y = 10^x \)D. \( y = \log_{10}(x) \)10. 以下哪个是二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的判别式？A. \( b^2 - 4ac \)B. \( a^2 - 4bc \)C. \( a^2 + 2bc \)D. \( b^2 + 4ac \)二、填空题（每题3分，共15分）11. 计算 \( \sqrt{64} \) 的结果是 ______ 。

数学（高三）一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，在实数范围内单调递增的是（）A. y = x^2B. y = -x^2C. y = 2xD. y = x^32. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，那么第10项a10等于（）A. 19B. 20C. 21D. 223. 下列方程中，无解的是（）A. 2x + 3 = 7B. 3x - 4 = 5C. 2x + 3 = 5x - 7D. 3x - 4 = 2x + 14. 下列命题中，正确的是（）A. 如果a > b，那么a^2 > b^2B. 如果a > b，那么a - b > 0C. 如果a > b，那么a + c > b + cD. 如果a > b，那么ac > bc5. 在直角坐标系中，点A（1，2）关于直线y=x的对称点B的坐标是（）A.（2，1）B.（1，2）C.（-2，-1）D.（-1，-2）二、填空题（每题5分，共20分）6. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得极小值，则a、b、c应满足的条件是__________。

7. 在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则sinA + sinB + sinC的值等于__________。

8. 已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，那么第5项a5等于__________。

9. 在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，则角A、B、C的正弦值之和等于__________。

三、解答题（共50分）10. （10分）已知函数f(x) = -x^2 + 2x - 1，求：（1）函数f(x)的对称轴；（2）函数f(x)的增减区间；（3）函数f(x)的最大值。

11. （15分）已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求：（1）第n项an的通项公式；（2）前n项和Sn的公式；（3）数列{an}的前10项和。

高中数学学业水平综合训练（1）1．已知集合M＝{0，2，4}，N＝{1，2，3}，P＝{0，3}，则(M∪N)∩P 等于()A．{0，1，2，3，4} B．{0，3} C．{0，4} D．{0}解析：M∪N＝{0，1，2，3，4}，(M∪N)∩P＝{0，3}，故选B.2．函数y＝lg(x＋1)的定义域是()A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)C．(－1，＋∞) D．－1，＋∞)解析：对数函数要求真数大于0，所以x＋1＞0，解得x＞－1，故选C.3．已知甲：球的半径为1 cm；乙：球的体积为4π3cm3，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：充分性：若r＝1 cm，由V＝43πr3可得体积为43πcm3，同样利用此公式可证必要性也成立．4．已知直线l过点A(1，2)，且与直线y＝12x＋1垂直，则直线l的方程是()A．y＝2x B．y＝－2x＋4 C．y＝12x＋32D．y＝12x＋52解析：因为两直线垂直时，斜率互为倒数的相反数(k1k2＝－1)，所以直线l的斜率k＝－2，由点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可得，y－2＝－2(x－1)，整理得y＝－2x＋4，故选B.5．顶点在坐标原点，准线为x＝－2的抛物线的标准方程是()A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝－8y解析：因为准线方程为x ＝－2，所以焦点在x 轴上，且－p 2＝－2， 所以p ＝4，由y 2＝2px 得y 2＝8x .6．已知三点A (－3，3), B (0, 1)，C (1，0)，则|AB→＋BC →|等于( ) A ．5 B ．4 C.13＋ 2 D.13－ 2解析：因为AB→＝(3，－2)，BC →＝(1，－1)，所以AB →＋BC →＝(4，－3)， 所以|AB→＋BC →|＝42＋（－3）2＝5，故选A. 7．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边过点P (5，－2)，则下列等式不正确的是( )A ．sin α＝－23B ．sin(α＋π)＝23C ．cos α＝53D ．tan α＝－52解析：依题意得，r ＝x 2＋y 2＝5＋4＝3，sin α＝y r ，cos α＝x r ， tan α＝y x ，所以sin α＝－23，cos α＝53，tan α＝－25＝－255， 所以A ，B ，C 正确，D 错误．8．下列等式恒成立的是( ) A.13x ＝x －23(x ≠0) B ．(3x )2＝3x 2C ．log 3(x 2＋1)＋log 32＝log 3(x 2＋3)D ．log 313x ＝－x 解析：13x ＝x －13(x ≠0)，故A 错；(3x )2＝32x ，故B 错； log 3(x 2＋1)＋log 32＝log 32(x 2＋1)，故C 错．9．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝2，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．n 2＋1B ．n 2C ．2n －1D ．2n －1解析：数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，由S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n （n －1）2·2＝n 2，故选B. 10．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，y ≤x ，x ＋y ≥2，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．3B ．5C ．9D ．10解析：如图，画出可行域，当y ＝－2x ＋z 移动到A点时，直线与y 轴的截距z 取得最大值，因为A (3，3)，所以z ＝2x ＋y 的最大值为9.答案：C11．已知点A (－1，8)和B (5, 2)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋5)2＝3 2B ．(x ＋2)2＋(y ＋5)2＝18C ．(x －2)2＋(y －5)2＝3 2D ．(x －2)2＋(y －5)2＝18解析：圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，8＋22＝(2，5)，半径r ＝12（5＋1）2＋（2－8）2＝32，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y －5)2＝18.答案：D12．下列不等式一定成立的是( )A ．x ＋2x ≥2(x ≠0)B ．x 2＋1x 2＋1≥1(x ∈R) C ．x 2＋1≤2x (x ∈R) D ．x 2＋5x ＋6≥0(x ∈R)解析：A 选项中，当x ＜0时，显然不成立；C 选项中，当x ＝－1时，显然不成立；D 选项中，当x ∈(－3，－2)时，x 2＋5x ＋6＜0，所以不成立；B 选项中，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2（x 2＋1）·1x 2＋1－1＝1(x ∈R)，当且仅当x ＝0时取“＝”．答案：B13．已知x ＞0，且53，x ，15成等比数列，则x ＝____________． 解析：因为513， x ，15成等比数列，所以x 2＝53×15＝25，又x ＞0，所以x ＝5.14．函数f (x )＝sin x cos(x ＋1)＋sin(x ＋1)cos x 的最小正周期是___________．解析：f (x )＝sin x cos(x ＋1)＋sin(x ＋1)cos x ＝sin x ＋(x ＋1)]＝sin(2x ＋1)，所以最小正周期T ＝2π2＝π. 15．从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是____________．解析：从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数一共有如下12个基本事件：12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43；其中该两位数小于20的共有12，13，14三个，所以该两位数小于20的概率为312＝14. 16．中心在坐标原点的椭圆，其离心率为12，两个焦点F 1和F 2在x 轴上，P 为该椭圆上的任意一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝4，则椭圆的标准方程是________．解析：根据焦点在x 轴上可以设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 因为长轴长2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4，离心率e ＝c a ＝12， 所以a ＝2，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. 17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos A ＝b cos B. (1)证明：△ABC 为等腰三角形；(2)若a ＝2，c ＝3，求sin C 的值．(1)证明：因为a cos A ＝b cos B，所以a cos B ＝b cos A ， 由正弦定理知sin A cos B ＝sin B cos A ，所以tan A ＝tan B ，又A ，B ∈(0，π)，所以A ＝B ，所以△ABC 为等腰三角形．(2)解：由(1)可知A ＝B ，所以a ＝b ＝2，根据余弦定理有：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以9＝4＋4－8cos C ，解得cos C ＝－18， 因为C ∈(0，π)，所以sin C ＞0，所以sin C ＝1－cos 2C ＝638. 18．如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ＝2，E 为PC 的中点．(1) 证明：AP ⊥CD ；(2) 求三棱锥PABC 的体积；(3) 证明：AE ⊥平面PCD .(1)证明：因为PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AB ∩AD ＝A ，所以PA ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥CD .(2)解：由(1)可知AP ⊥平面ABC ，所以V P －ABC ＝13S △ABC ·AP ， 又S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×2×2×sin 60°＝3， 所以V P －ABC ＝13×3×2＝233. (3)证明：因为CD ⊥AP ，CD ⊥AC ，AP ⊂平面APC ，AC ⊂平面APC ，AP ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面APC ，又AE ⊂平面APC ，所以CD ⊥AE ，由AB ＝BC ＝2且∠ABC ＝60°得△ABC 为等边三角形，且AC ＝2， 又因为AP ＝2，且E 为PC 的中点，所以AE ⊥PC ，又AE ⊥CD ，PC ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PC ∩CD ＝C ， 所以AE ⊥平面PCD .。