北师大版七年级数学上册第三章知识点整理(20200608135923)

北师大版七年级数学上册知识点归纳：第三章 整式及其加减1 字母表示数2 代数式3 整式4 整式的加减5 探索与表达规律※代数式的概念：用运算符号（加、减、乘除、乘方、开方等）把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．．．。

单独的一个数或一个字母也是代数式。

注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。

等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。

※代数式的书写格式：①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt ；②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a ；③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后与字母相乘，如a ⨯312应写作a 37； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；⑤在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如4÷（a-4）应写作44-a ；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。

⑥在表示和（或）差的代差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如)(22b a -平方米 ※代数式的系数：代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数．．．．．．。

如3x,4y 的系数分别为3，4。

注意：①单个字母的系数是1，如a 的系数是1；②只含字母因数的代数式的系数是1或-1，如-ab 的系数是-1。

a 3b 的系数是1※代数式的项：代数式7262--x x 表示6x 2、-2x 、-7的和，6x 2、-2x 、-7是它的项，其中把不含字母的项叫做常数项注意：在交待某一项时，应与前面的符号一起交待。

※同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

注意：①判断几个代数式是否是同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。

北师大版七年级数学上册第三章知识点整理 北师大版七年级数学上册第三知识点整理 七上第三整式及其加减 1.字母表示数 1）字母表示运算律 2）字母表示计算公式 字母可以表示任何数 2.代数式 1）概念：像4+3（x-1），x+x+(x+1),a+b,ab,2(+n),s/t 等式子都是代数式，单独一个数或一个字母也是代数式，如-5，a,b等. 2）书写要求：①字母与字母相乘时，乘号通常简写作“ ”或省略不写；数字与字母相乘时，数字在前；带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘；数字与数字相乘仍用“×”. ②除法一般写成分数形式 ③如果代数式是积或商的形式，单位直接写在后面；如果是和或差的形式，必须先把代数式用括号括起再写单位。

3.整式 1）单项式：表示数字和字母的积，单独的一个数或一个字母也是单项式. ①系数：单项式中的数字因数(包括其前面的符号) ②次数：单项式中，所有字母的指数的和；单独的数字是0次单项式. 注意：（1）单项式中数与字母之间都是乘积关系，凡字母出现在分母中的式子一定不是单项式，如1/x不是单项式；（2）单项式中不含加减运算；（3）π是常数，在单项式中相当于数字因数；（4）定义中的“数”可以是小数，也可以是分数、整数. 2）多项式：几个单项式的和；在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫常数项；一个多项式含有几项，就叫几项式； 次数：多项式里，次数最高项的次数，是多项式的次数； 注意：（1）确定多项式的项时，不要忽略它的符号；（2）关于某个字母的n次项式，要求是合并同类项后的最简多项式. 3) 整式：单项式和多项式统称为整式. 4）同类项：①概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项；与它们的系数大小无关，与字母顺序无关；几个常数也是同类项. ②合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变. 4.整式的加减： 1）整式加减是求几个整式的和或差的运算，其实质是去括号，合并同类项 2）法则：几个整式相加减，用括号把每一个整式括起，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项. 3）化简求值：一是相加减化简，二是用具体数值代替整式中的字母，三是按式子的运算关系计算，计算其结果. 5.探索与表达规律：图形中的规律、数字中的规律、算式中的规律.。

第三章：整式及其加减3.1 字母表示数1. 淘气的存款是x 元，笑笑的存款是淘气的一半多2元，则笑笑的存款是( )元A ．21(x-2)B ．21(x+2)C ．(21x+2)D ．(21x-2)元2. 长方形的周长为a cm ，长为b cm ，则长方形的宽为( )A ．(a －2b ) cmB ．(a 2－2b ) cm C.a －b 2 cm D.a －2b 2 cm3. 用代数式表示出b a 、的平方和的2倍，正确的是（ ）A.2)(2b a +B.2)22(b a +C.222b a +D.)(222b a +4. 如果甲数为x ，乙数比甲数多4倍，则乙数为( )A ．4xB ．5x C.14x D.15x5. a 是三位数，b 是一位数，如果把b 放在a 的左边，那么所组成的四位数应该表示为( )A.baB.100b+aC.10b+aD.1000b+a6. 一个两位数x ，还有一个两位数y ，若把两位数x 放在y 前面，组成一个四位数，则这个四位数为() A. 10x +y B. xy C. 100x +y D. 1000x +y7. 七年级1班有女生m 人，女生占全班人数的40%，则全班人数______8. 某品牌的彩电降价30%以后，每台售价为a 元，则该品牌彩电每台原价为（ ）.A. 0.7a 元B.0.3a 元C. 3.0a 元 D 7.0a 元9. 今年学校运动会参加的人数是m 人，比去年增加10%，那么去年运动会参加的人数为()人．A ．(1＋10%)mB ．(1－10%)m C.m 1＋10% D.m1－10%10.如图，圆环的面积为( )A．R2－r2 B．π(R2－r2) C．πR2－r2 D．πr2－πR211. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则阴影部分面积是____.(结果保留π)12 用字母表示下列图①，②中阴影部分的面积．3.2：代数式知识点1：认识代数式1．下列属于代数式的是( )A．s＝ab B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)C．2a＋3 D．S＝πr22．下列代数式中符合书写格式的是( )A．a－cb B．512ab2C．ab÷c D．m·33. 下列代数式中符合书写要求的是()A. ab4B. 413m C. x÷y D. −52a4. 在0，π，3，2πr，ab3，a－b中，代数式有()知识点2：代数式所表示的意义1.代数式3x2－5表示的意义是( ) A．x的平方的3倍与5的差B．x的3倍的平方与5的差C．3x的平方与5的差D．3x与5的差的平方2.实验中学九年级12个班总共有团员a人，则a12表示的实际意义是____________________.3.体育委员小金带了500元钱去买体育用品，已知一个足球x元，一个篮球y元，则代数式500－3x －2y表示的实际意义是___________________________________________．知识点3：列代数式1.“x的2倍与5的和”用代数式表示为_________．2.“比a的2倍大1的数”用代数式表示是( )A．2(a＋1) B．2(a－1)C．2a＋1 D．2a－13.用代数式表示：(1)x与y的差的平方的2倍；(2)x的2倍乘以y加7的积；(3)a，b两数的平方和除以5的商；(4)比a，b两数的平方差的2倍小c的数．4.A，B两地相距150千米，李明驾驶汽车以v千米/小时的速度从A地驶往B地，请你用代数式表示：(1)李明从A地到B地需要的时间；(2)如果汽车每小时多行驶10千米，李明从A地到B地需要多长时间？知识点4：代数式求值1. 当3,2=-=y x 时,代数式2324y x -的值为（ ）A.14B.–50C. –14D. 502. 当4,2=-=b a 时，代数式))((22b ab a b a ++-的值是（ ）A.56B.48C.–72D.72 3. 已知，则代数式的值是_____. 4. 如果，那么代数式的值是_____．5. 已知x +y =1，求代数式3x −2y +1+3y −2x −5的值．6. 如果a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，且m 的绝对值是1，求代数式2ab −(c +d)+m 的值．3.3：单项式、多项式、整式知识点1：单项式3. 下面说法中正确的是（ ）A ．一个代数式不是单项式，就是多项式B ．单项式是整式C ．整式是单项式D ．以上说法都不对2．－a 2b 的系数是________，次数是________；26x 3y 2的系数是________，次数是________；－3m 2n 5的系数是________，次数是________．3．－4a 2b 的次数是( )A ．3B ．2C ．4D ．－44．下列说法正确的是( )A ．单项式m 的次数是0B ．－12πa 的系数是－12C ．2πr 2的次数是3D.－a 2b 3的系数为－13，次数为35．下列说法正确的是( )A ．单项式x 的系数和次数都是0B ．单项式x 的系数和2的系数一样都是1C ．5πR 2的系数为5D ．0是单项式知识点2：多项式1. 下列式子：2a 2b ，3xy －2y 2，a ＋b 2，4，－m ，x ＋yz 2x ，ab －c π，其中多项式有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2. 多项式4x 2－3x －2是________次________项式，它的项分别是________．－53a 2b 2＋a 3－34ab ＋1是________次________项式，它的二次项的系数是________． 3. 多项式1＋2xy －3xy 2的次数及最高次项的系数分别是( )A ．3，－3B ．2，－3C ．5，－3D ．2，34. 下列各多项式中，是二次三项式的是( )A ．a 2＋b 2C ．5－x －y 2D ．x 2－y 2＋x －3x 25. 下列说法错误的是( )A.2a ＋b 是一次二项式B ．x 6－1是六次二项式C ．3x 4－5x 2y 2－6y 3＋2是四次四项式D.1x 2＋2x ＋1不是多项式知识点3：整式1. 在代数式x 2＋5，－1，－3x ＋2，π，5x ，x 2＋1x ＋1，5x 中，整式有( ) A ．3个 B ．4个C ．5个D ．6个2. 下列式子中：①mn ＋a ；②ax 2＋bx ＋c ；③－6ab ；④x ＋y 2；⑤a －b x ；⑥5＋7x.整式有________．(填序号) 3. 若2215(1)34mx y m y -+-是三次三项式，则常数m=( ) A ．1 B ．﹣1 C ．±1 D ．以上都不对4. 若n mx y -是关于x ，y 的一个单项式，且其系数为-3，次数为4，则mn 的值为（ ） A ．9 B ．－9 C ．12 D ．－125. (3m －2)x 2y n ＋1是关于x ，y 的五次单项式，且系数为1，则m ，n 的值分别是( )A ．1，4B ．1，2C ．0，5D ．1，16. 如果整式x n －2－5x ＋2是关于x 的三次三项式，那么n 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．67. 单项式23x 2y m 与多项式x 2y 2+12x 3y 4+13的次数相同，求m 的值；8. 已知：①－4x 2y 3；②－5.8ab 3；③6m ；④a 2－ab －2b 2；⑤x ＋z y ；⑥4m 2n －n ＋12；⑦a ； (1)其中哪些是单项式？分别指出它们的系数和次数；(2)其中哪些是多项式？分别指出它们的项和次数；。

第一节 字母表示数（1）【学习目标】1.理解字母可以表示任何数，在不同的问题中，根据具体情况字母限定为一些特殊的数。

2.用字母表示以前学过的运算律和计算公式。

3.探索规律并用字母表示规律。

【学习重难点】分析理解字母在哪些问题中可以表示任何数，在哪些问题中只能表示限定的数。

【学习过程】模块一 预习反馈 一．学习准备1．字母可以表示任何数如字母a 可以代表0或－3或2，只要是学习过的数， 都可以表示. 2．字母可表示公式和法则 如：（1）在行程问题中，路程=时间×速度.如果用s 表示路程，v 表示速度，t 表示时间，那么这个路程公式就可写成： （2）如果用a 表示长方形的长，b 表示长方形的宽，S 表示长方形的面积，l 表示长方形的周长，那么 ，它的周长 .（3）如果用r 表示圆的半径，S 表示圆的面积，l 表示圆的周长，那么 ， （4）如果用S 表示面积，用a 表示三角形的底，用h 表示三角形的高，那么三角形的面积公式可以表示为 3、用字母表示运算律如果用a 、b 、c 分别表示有理数，那么加法交换律可以表示成： ； 加法结合律可以表示成： ； 乘法交换律可以表示成： ； 乘法结合律可以表示成： ； 乘法分配律可以表示成： . 联想发散：用字母还可以简明地表示一些数学规律,如“互为相反数的两数之和等于0”可表示为a+（-a ）=0；用字母还可简明地表达未知数以及问题中的数量关系. 4、阅读教材：第一节《字母表示数》二、教材精读5、理解字母可以表示任何数如图，搭一个正方形需要4根火柴棒，按图中方式，动手做一做，完成下表：…………？4火柴棒根数…100…10321正方形个数想一想：如果用x 来表示所搭正方形的个数，那么搭x 个这样的正方形需要多少根火柴棒？与同伴交流你的做法。

归纳：字母可以表示任何数．用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系，也可以表达数字规律和公式.这样给我们研究问题带来很大方便. 实践练习：（1）明明步行上学，速度为vm/s;亮亮骑自行车上学，速度是明明的 3倍，则亮亮的速度可以表示为（ ）m/s.（2）今年李华m 岁，去年李华（ ）岁，5年后李华（ ）岁。

第一节 字母表示数（1）【学习目标】1.理解字母可以表示任何数，在不同的问题中，根据具体情况字母限定为一些特殊的数。

2.用字母表示以前学过的运算律和计算公式。

3.探索规律并用字母表示规律。

【学习重难点】分析理解字母在哪些问题中可以表示任何数，在哪些问题中只能表示限定的数。

【学习过程】模块一 预习反馈 一．学习准备1．字母可以表示任何数如字母a 可以代表0或－3或2，只要是学习过的数， 都可以表示. 2．字母可表示公式和法则 如：（1）在行程问题中，路程=时间×速度.如果用s 表示路程，v 表示速度，t 表示时间，那么这个路程公式就可写成： （2）如果用a 表示长方形的长，b 表示长方形的宽，S 表示长方形的面积，l 表示长方形的周长，那么 ，它的周长 .（3）如果用r 表示圆的半径，S 表示圆的面积，l 表示圆的周长，那么 ， （4）如果用S 表示面积，用a 表示三角形的底，用h 表示三角形的高，那么三角形的面积公式可以表示为 3、用字母表示运算律如果用a 、b 、c 分别表示有理数，那么加法交换律可以表示成： ； 加法结合律可以表示成： ； 乘法交换律可以表示成： ； 乘法结合律可以表示成： ； 乘法分配律可以表示成： . 联想发散：用字母还可以简明地表示一些数学规律,如“互为相反数的两数之和等于0”可表示为a+（-a ）=0；用字母还可简明地表达未知数以及问题中的数量关系. 4、阅读教材：第一节《字母表示数》二、教材精读5、理解字母可以表示任何数如图，搭一个正方形需要4根火柴棒，按图中方式，动手做一做，完成下表：…………？4火柴棒根数…100…10321正方形个数想一想：如果用x 来表示所搭正方形的个数，那么搭x 个这样的正方形需要多少根火柴棒？与同伴交流你的做法。

归纳：字母可以表示任何数．用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系，也可以表达数字规律和公式.这样给我们研究问题带来很大方便. 实践练习：（1）明明步行上学，速度为vm/s;亮亮骑自行车上学，速度是明明的 3倍，则亮亮的速度可以表示为（ ）m/s.（2）今年李华m 岁，去年李华（ ）岁，5年后李华（ ）岁。

北师大版七上第三章整式及其加减讲义知识点一．代数式1．下列各式中，符合代数式书写规则的是（）A．B．C．D．2y÷z2．在式子n﹣3，a2b3，m+s＜2，1+80%t，﹣xy，S＝ab中，代数式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列各式符合代数式书写规范的是（）A．B．a×3C．3x﹣1个D．4．下列各式中，代数式有（）个（1）a+b＝b+a（2）1（3）2x﹣1（4）（5）s＝πr2（6）A．2B．3C．4D．55．三个连续的自然数，中间的一个为n，则第一个为，第三个为．知识点二．列代数式6．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（）A．x2+5x B．x（x+3）+6C．3（x+2）+x2D．（x+3）（x+2）﹣2x7．某种品牌的彩电降价30%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价为（）A．0.7a元B．0.3a元C．元D．元8．如图，下列四个式子中，不能表示阴影部分面积的是（）A．3（x+2）+x2B．x（x+3）+6C．x2+5D．（x+3）（x+2）﹣2x9．某服装店新开张，第一天销售服装a件，第二天比第一天多销售12件，第三天的销售量是第二天的2倍少10件，则第三天销售了（）A．（2a+2）件B．（2a+24）件C．（2a+10）件D．（2a+14）件10．某公司今年2月份的利润为x万元，3月份比2月份减少8%，4月份比3月份增加了10%，则该公司4月份的利润为（单位：万元）（）A．（x﹣8%）（x+10%）B．（x﹣8%+10%）C．（1﹣8%+10%）x D．（1﹣8%）（1+10%）x11．如图，正方形ABCD的面积比正方形CEFC的面积小6，则阴影部分的面积是．12．某小区一块长方形绿地的造型如图所示，其中三个扇形表示绿地，右侧两扇形半径相同，其余部分需要铺五彩石，那么需铺五彩石的面积为（用含a、b的式子表示）．13．一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，这个两位数可以表示为．14．如图，将长为20厘米、宽为10厘米的长方形白纸粘合起来，粘合部分的宽是2厘米．若x张白纸粘合后的总长度是y厘米，则y与x之间的关系为．15．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：（1）若小东乘坐滴滴快车，行车里程为5公里，行车时间为10分钟，则需付车费多少元；（2）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则小明应付车费多少元？（用含a、b的代数式表示，并化简）（3）小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，并且小王的行车时间比小张的行车时间多24分钟，请计算说明两人下车时所付车费有何关系？知识点三．代数式求值16．按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为9的是（）A．a＝2，b＝4B．a＝4，b＝2C．a＝3，b＝4D．a＝4，b＝317．已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是．18．如果代数式4x2﹣2x+3的值为11，那么代数式2x2﹣x﹣7的值等于．19．如图所示是一个长方形．（1）根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S；（2）若x＝3，求S的值．20．某游泳馆普通票价20元/张，暑假期间新推出两种优惠卡：A．金卡售价600元/张，每次游泳凭卡不再收费；B．银卡售价150元/张，每次游泳凭卡另收10元．已知小王同学暑假期间到游泳馆游泳x次．（1）求小王选择办理两种卡分别需要的费用；（2）若x＝50，选择哪种优惠卡更合算．21．如图是一个运算程序：（1）若x＝﹣4，y＝5，求m的值；（2）若x＝﹣3，输出结果m的值是输入y的值的两倍，求y的值．知识点四．同类项22．已知单项式与﹣3x2n﹣3y8是同类项，则3m﹣5n的值为．23．若16x m y5和x2y n+1是同类项，那么2m+n的值是．24．如果单项式﹣xy b+1与单项式是同类项，那么代数式（a﹣b）2023＝．知识点五．合并同类项25．若代数式mx2+5y2﹣7x2+3的值与字母x的取值无关，则m的值是．26．已知与2a m+6b6的和仍然是一个单项式，则m n＝．27．若整式﹣3a x b4与整式2a3b2﹣y的和是单项式，则y x＝．知识点六．去括号与添括号28．如果多项式4x3+2x2﹣（kx2+17x﹣6）中不含x2的项，则k的值为．29．当1≤m＜3时，化简|m﹣1|﹣|m﹣3|＝．30．＝3x2﹣2x+5．知识点七．整式31．下列说法中，不正确的是（）A．﹣ab2c的系数是﹣1，次数是4B．﹣1是整式C．6x2﹣3x+1的项是6x2、﹣3x，1D．2πR+πR2是三次二项式32．下列各式：，m，8，，x2+2x+6，，，，其中整式有（）A．3个B．4个C．5个D．6个33．在代数式﹣x2，，2xy，2x+y，3，6x2﹣y2+1中，整式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个34．一列式子：①﹣a2b；②；③；④﹣5，其中是整式的有．知识点八．单项式35．已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（）A．﹣2xy2B．3x2C．2xy3D．2x336．单项式﹣2πx3yz的系数和次数分别是（）A．﹣2，6B．﹣2π，5C．﹣2，7D．﹣2π，637．单项式的系数是，次数是．38．单项式的系数是．39．若x a+2y4与﹣2x3y2b和仍为一个单项式，则（a﹣b）2022的值是．40．若与﹣3ab3﹣n的和为单项式，则m+n＝．41．若单项式﹣x2m﹣1y2的次数是5，则m的值是．42．已知x、y互为相反数，m、n互为倒数，a是单项式﹣3bc的系数，求a2﹣4（x+y+2mn）的值．43．已知|3﹣a|+|5+b|＝0，c是单项式4xy2z的次数，求（a+b）c的值．44．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是单项式﹣3xy3的次数，求5（a+b）+3cd﹣m的值．45．已知单项式是一个四次单项式，求2a+b﹣3的值．知识点九．多项式46．在下列式子，，ab2+b+1，x2+x3+6中，多项式有（）A．2个B．3个C．4个D．1个47．下列说法中，正确的是（）A．﹣的系数是﹣2B．﹣的系数是C．的常数项为﹣2D．﹣2x2y+x2﹣24是四次三项式48．下列说法中，正确的是（）A．1不是单项式B．﹣的系数是﹣5C．﹣x2y是3次单项式D．2x2+3xy﹣1是四次三项式49．若关于x、y的多项式x5﹣m+5y2﹣2x2+3的次数是3，则式子m2﹣3m的值为．50．多项式﹣﹣（m﹣2）x﹣7是关于x的二次三项式，则m＝．51．把多项式2x2+3x3﹣x+5x4﹣1按字母x降幂排列是．52．多项式2x5﹣3x3y﹣x3y3+4x4y的次数是a，b是最高次项系数的绝对值，c是四次项的系数，则ab﹣c2的值为．53．若多项式5x2y|m|﹣（m+1）y2﹣3是三次三项式，则m＝．54．已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同．（1）求m，n的值；（2）求多项式的各项的系数和．55．已知单项式的次数与多项式a2+8a m+1b+a2b2的次数相同，求m的值．知识点十．整式的加减56．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足．57．多项式3a2﹣2b2减去一个多项式得4a2+2b2，则减去的多项式是．58．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：则代数式|a+c|﹣2|a﹣b|+|b﹣c|化简后的结果为．知识点十一．整式的加减—化简求值59．已知2x2﹣x﹣5＝0，则4x4﹣x3+x2的值为．60．若单项式3x a y2与﹣2xy b是同类项，则5a2b3﹣[6a3b2﹣3（a2b3+2a3b2）]的值为。

《整式的加减》要点梳理1．同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项. 注意：同类项与其系数及字母的排列顺序无关. 例如：232a b 与323b a -是同类项；而232a b 与325a b 却不是同类项，因为相同的字母的指数不同.2．合并同类项（1）概念：把多项式中相同的项合并成一项叫做合并同类项.注意：①合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并，如235a b ab +=显然不正确；②不能合并的项，在每步运算中不要漏掉.（2）法则：合并同类项就是把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变.注意：①合并同类项，只是系数上的变化，字母与字母的指数不变，不能将字母的指数相加；②合并同类项的依据是加法交换律、结合律及乘法分配律；③两个同类项合并后的结果与原来的两个单项式仍是同类项或者是0.3．去括号与填括号（1）去括号法则：括号前面是“＋”，把括号和它前面的“＋”去掉，括号内的各项都不变号；括号前面是“－”，把括号和它前面的“－”去掉，括号内的各项都改变符号.注意：①去括号的依据是乘法分配律，当括号前面有数字因数时，应先利用分配律计算，切勿漏乘；②明确法则中的“都”字，变符号时，各项都变；若不变符号，各项都不变. 例如：()();a b c a b c a b c a b c +-=+---=-+；③当出现多层括号时，一般由里向外逐层去括号，如遇特殊情况，为了简便运算也可由外向内逐层去括号.（2）填括号法则：所添括号前面是“＋”号，添到括号内的各项都不变号；所添括号前面是“－”号，添到括号内的各项都改变符号.注意：①添括号是添上括号和括号前面的“＋”或“－”，它不是原来多项式的某一项的符号“移”出来的；②添括号和去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可用去括号来检验. 例如：()();.a b c a b c a b c a b c +-=+--+=--4．整式的加减整式的加减实质上是去括号和合并同类项，其一般步骤是：（1）如果有括号，那么先去括号；（2）如果有同类项，再合并同类项.注意：整式运算的结果仍是整式.2。

第三章整式及其加减知识点一、字母表示数1、字母可以表示任何数，用字母表示数的运算律和公式法那么；○1加法交换律a＋b＝b＋a加法结合律a＋b＋c＝a＋〔b＋c〕○2乘法交换律ab＝ba乘法结合律〔ab〕c＝a〔bc〕乘法分配律a〔b＋c〕＝ab＋ac用字母表示计算公式：○1长方形的周长2〔a＋b〕,面积ab 〔a、b分别为长、宽〕○2正方形的周长4a，面积a2〔a表示边长〕○3长方体的体积abc，外表积2ab＋2bc＋2ac〔a、b、c分别为长、宽、高〕○4正方体的体积a3,外表积6a2〔a表示棱长〕○5圆的周长2πr,面积πr2〔r为半径〕1×ah〔a表示底边长，h表示底边上的高〕○6三角形的面积22、在同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。

3、用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义，并且符合实际。

4、注意书写格式的标准：(1) 表示数与字母或字母与字母相乘时乘号，乘号可以写成“·〞，但通常省略不写；数字与数字相乘必须写乘号；(2) 数和字母相乘时，数字应写在字母前面；(3) 带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数；(4) 除法运算写成分数形式，分数线具“÷ 〞号和“括号〞的双重作用。

(5)在代数式的运算结果中，如有单位时，结果是积或商直接写单位；结果是和差加括号后再写单位。

典型例题：例题1.有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量为m 千克，再从中截取5米长的钢筋，称出它的质量为n 千克，那么这捆钢筋的总长度为〔 〕米A 、m nB 、mn 5C 、5m 5D 、(5mn －5)例题2.用代数式表示“ 2a 与3的差〞为〔 〕 A ．2a －3 B ．3－2a C ．2〔a －3〕D ．2〔3－a 〕例题3.如图1―3―1，轴上点A 所表示的是实数a ，那么到原点的距离是〔 〕 A 、a B ．－a C ．±a D．－|a|例题4.a=120 x+20， b=120 x+19，c=120 x+21，那么代数式a 2+b 2+c 2－ab －bc －ac 的值为〔 〕A 、4B 、3C 、2D 、1 练习：1、温度由t ℃下降3℃后是_____________℃.2、 飞机每小时飞行a 千米，火车每小时行驶b 千米，飞机的速度是火车速度的_______倍.3、无论a 取什么数，以下算式中有意义的是〔 〕 A.11-a B.a 1 C. 121-a D.121-a4、全班同学排成长方形长队，每排的同学数为a ，排数比每排同学数的3倍还多2，那么全班同学数为〔 〕A. 23·+a aB. )23(+a aC. 23++a aD. )2(3+a a5、轮船在A 、B 两地间航行，水流速度为m 千米／时，船在静水中的速度为n 千米／时，那么轮船逆流航行的速度为__________千米／时6、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为x 元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要想购置这种商品最划算，应到的超市是〔 〕〔A 〕甲 〔B 〕乙 〔C 〕丙 〔D 〕乙或丙7、以下说法中：①a -一定是负数；②||a 一定是正数；③假设0>abc ，那么c b a 、、三个有理数中负因数的个数是0或2，其中正确的序号是8、设三个连续整数的中间一个数是n ,那么它们三个数的和是 9、设三个连续奇数的中间一个数是x ,那么它们三个数的和是10、设n 为自然数，那么奇数表示为 ；偶数表示为 ；能被5整除的数为 ；被4除余3的数为 二、代数式1、代数式：用根本运算符号把数和字母连接而成的式子叫代数式。

数学七年级上册第三章知识点归纳
数学七年级上册第三章知识点归纳如下：
1. 确定物体的位置：用有顺序的数字来表示物体位置的确定。

可以用一组有序实数来描述物体的位置。

2. 数对表示位置：在平面内确定位置有两个条件，一是基本顺序，二是两个方向。

在确定一个点的位置时，我们把它的横坐标和纵坐标结合起来。

一个有序数对可以简称为记为（$x$，$y$），$x$为横坐标，$y$为纵坐标。

3. 坐标的方法：为了简便，常把横坐标相同的点连成一条直线，叫做横轴或$x$轴；把纵坐标相同的点连成一条直线，叫做纵轴或$y$轴。

对于平面内任一点，过它可以画一条水平直线与一条铅垂线，这样就可以用两个有序实数来确定一个点。

4. 平面直角坐标系内的点的坐标：了解在平面直角坐标系内（$x$，$y$）两点间的距离公式：
距离=√［（$x_2 - x_1$）^2+（$y_2 - y_1$）^2］
5. 图形上的特殊点到点的距离：了解在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半。

同时了解点到线的距离也用类似的方式进行描述。

以上内容供参考，请咨询老师获取更准确的信息。

第三章字母表示数1 字母能表示什么Ⅰ学法导引回忆以前学过的公式和运算律，加法交换律可以表示成a＋b＝b ＋a，这里a、b分别表示两个数，因此数和字母是个别和一般的关系，即字母可以表示任意数．课堂上动手用火柴棒摆一摆，边摆边思考，进而找到图形的数量变化与火柴棒数量变化的规律．Ⅱ思维整合解析重点经历探索过程，体会字母表示数，形成初步符号感．【例１】如下图3—1—1，搭一个正方形需要4根火柴棒．按上图的方式，搭2个正方形需要________根火柴棒，搭3个正方形需要________根火柴棒．（1）搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒？（2）搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒？你是怎样得到的？（3）如果用x表示所搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒？解析本题对第（1）问还可以画出火柴棒的根数；但对第（2）问，数数的方法失效，若正方形的数目再大，数火柴棒的方法更不可行．若能找出正方形的个数和火柴棒的根数之间的关系，问题将迎刃而解．用x表示正方形的个数，用不同的方法给出火柴棒的根数的表达式．第一个正方形用4根，每增加一个增加3根，若搭x个正方形，则增加3（x－1）根，故火柴棒的根数可表示为：4＋3（x－1）．把每一个正方形都看成4根火柴棒搭成的，然后再减去多算的根数，x个正方形所需的根数即为：4x－（x－1）．把每一个正方形看成3根火柴棒搭成的，然后再加上最后一根，这样，x个正方形所需的根数为：3x＋1．当搭100个正方形，即x＝100时，上述三种做法算得火柴棒都是301根．解搭2个正方形需要7根火柴棒，搭3个正方形需要10根火柴棒．（1）搭10个这样的正方形需要31根火柴棒．（2）搭100个这样的正方形需要301根火柴棒，方法为：3×100＋1＝301（根）．（3）搭x个这样的正方形需要（3x＋1）根火柴棒．点拨用字母表示数，简洁明了地表示了正方形个数与火柴棒根数之间的关系．剖析难点探索过程中，找不到规律或不能用字母把找到的规律正确表达出来．【例2】如图3－1－5①是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点得到图②；再分别连结图②中间小三角形三边的中点，得到图③．（1）图①、图②、图③中分别有多少个三角形？（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有多少个三角形？因此第n个图形中三角形个数为1＋4×（n－1），即4n－3．解（1）1，5，9；（2）4n－3．点击易错点不能把找到的规律用字母表示出来．【例3】图中的各个图形是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个端点）有n（n＞1）盆花，每个图案花盆的总数是S，按此规律推断S与n的关系式是________．错解S＝3n．错解分析由于每条边上都有n盆花，共有3条边，便直接用3和n相乘，而忽略了端点处3盆花各重复了一次，应再减3．正解S＝3n－3．［想一想］观察下列各式：想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？设n表示正整数，用关于n的等式表示这个规律为________×________＝________＋________．Ⅲ能力升级平台综合能力升级用字母表示数是代数的基础，它常和以前学过的公式综合出题，它容身于代数、几何的各个角落．【例4】如图3－1－7，把一个长、宽分别为a、b的长方形铁片在四角各剪去一个边长为c的正方形（2c＜b＜a＝，然后作成一个长方体盒子，用字母表示它的容积．解析根据长方体的容积（体积）公式V＝Sh．欲求长方体的容积需知长方体的底面积S和长方体的高，又可根据S＝ab，欲求底面积需知底面的长和宽，用图中虚线部分作成长方形盒子的底面，它的长为（a－2c），宽为（b－2c）由作法可知，盒子高为c，故盒子容积为（a－2c）（b－2c）·c．解根据长方体的容积公式可知：此盒子的容积为：（a－2c）（b －2c）·c创新能力升级对于方案设计及判断不同方案的优劣，用字母表示数从不同角度解决问题，培养学生创新意识．【例5】用a米的竹篱笆在空地上围成一个养鸡场，有两种方案：一种围成正方形，另一种围成圆形，试比较两种方案的面积大小，并说明理由．应用能力升级把学到的知识用到生活中，求某些图形的周长或面积．【例6】学校决定修建一块长方形草坪，长为a米，宽为b米，并在草坪上修建如图3－1－8所示的两条小路，已知两条小路的宽都是x米，求（1）修建的两条小路的面积是多少平方米？（2）草坪的面积是多少平方米？解析两条小路分别为长方形和平行四边形，长方形面积为长×宽＝a×x，平行四边形的面积为x×b，求两条小路的面积时不要忽略重合部分，草坪的面积就为大长方形面积减去两条小路面积．2 代数式Ⅰ学法导引明白代数式的特征：只含有加、减、乘、除、乘方等运算符号及括号，而不含“等号”、“大于号”、“小于号”．注意单独一个数或字母也是代数式，思考代数式的优点，如代数式10x＋5y可表示什么，加深体会字母可以表示任何数，列代数式时，要正确判断各数量关系中的运算顺序，并抓住关键词语．Ⅱ思维整合解析重点在具体情境中列出代数式．【例1】一家商店某种服装成本价为a元，按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，用代数式表示这种服装的实际售价．解析列代数式时抓住关键词：提高、理顺运算顺序，先说先算，分层处理，先找出标价，最后打八折．解实际售价为：a（1＋40%）×80%．点拨正确书写代数式，数字与字母或字母与字母相乘时乘号写作“·”或省略不写，数字与数字相乘仍用“×”．剖析难点用代数式表示实际问题中的数量关系，理解代数式表示的实际意义．【例2】甲、乙两地相距x千米，某人计划用a小时从甲地到乙地，如果必须提前2个小时到达，那么他每小时需多走____．点击易错点本节常见易错点有：（1）对代数式的意义叙述不准确；（2）列代数式时审题不仔细，弄错运算顺序．【例3】说出下列代数式的意义．正解（1）x的平方的3倍与5的差；（2）a与b的差的立方的5倍．Ⅲ能力升级平台综合能力升级代数式与数字问题的综合、代数式与简单方程的综合．【例4】一个十位数字为0的三位数，它恰好等于各位数字和的m倍，交换它的百位数字与个位数字的位置，得到新的三位数是其各位数字之和的n倍，则n的值是（）A．99－m B．101－mC．100－m D．101＋m解析设原三位数为100a＋b，则交换百位数字与个位数字后的三位数为100b＋a，则由题意可得：100a＋b＝m（a＋b），100b＋a ＝n（a＋b），两式左右两边相加，得101a＋101b＝（m＋n）（a＋b）即101（a＋b）＝（m＋n）（a＋b），∴m＋n＝101，即n＝101－m．解 B应用能力升级列代数式解决实际问题，如水费，电费、稿费、出租车收费固定电话收费等分段收费问题．解析此题中关系复杂，关键在于用水量是否超标，由于结算方法不同，所列代数式也不同．解分两种情况：（1）当x≤12时未超标，此时应交纳水费1.4x元；（2）当x＞12时，用水量超标，此时应交纳水费［1.4×12＋（x －12）×2.6］元．创新能力升级用字母表示学过的公式并灵活运用，把求平均数的方法用到求平均速度中．【例6】某人以每小时a千米的速度上山，然后又沿原路以每小时b千米的速度下山，如果上山的路程s千米，那么此人上山、下山的平均速度是多少？解析首先将行程问题的基本数量路程、速度、时间三者之间的关系列述出来，然后再回到题目中来：上下山的平均速度＝（上山路程＋下山路程）÷（上山时间＋下山时间），最后用代数式将上山时间、下山时间表述出来，3 代数式的求值Ⅰ学法导引代数式求值就是用给定的数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算顺序，计算出结果，有些代数式的求值，在未明确给定或不能求出单个字母的取值时，要用整体代入法．（如例5）Ⅱ思维整合解析重点求代数式的值的方法是先代入，后按代数式指明的运算顺序进行计算．剖析难点利用代数式求值推断代数式所反映的规律．【例2】当a＝4，b＝2，c＝－1时，求a－bc的值错解1 当a＝4，b＝2，c＝－1时，a－bc＝4－2×（－1）＝2×（－1）＝－2．错解2 当a＝4，b＝2，c＝－1时，a－bc＝4－2×－1＝－2．错解分析错解1的原因是计算时弄错了运算顺序；错解2的原因是没有把“－1”用括号括上．正解a＝4，b＝2，c＝－1时，a－bc＝4－2×（－1）＝4＋2＝6．解析把n＝40代入，看所求的数是质数吗？如果是，再验证；如果不是，则得出结论．Ⅲ能力升级平台综合能力升级互为倒数的定义与整体代入法综合去求较为复杂的代数式值．应用能力升级用代数式求值解决实际问题，求立方体的体积等．【例4】挖一条长为l的水渠，渠道的横断面是等腰梯形（如图3－3－1），梯形的底分别为a、b，水渠深为h，若l＝200米，a ＝6米，b＝4米，h＝1.5米，求挖这条小渠的土方量．解析求水渠的土方量，即求棱柱的体积，棱柱的体积＝底面积×高，这里即等腰梯形的面积×水渠的长度．为了方便，设水渠的土方量为V．4 合并同类项Ⅰ学法导引弄清几个基本概念，特别是同类项的概念，另外代数式中的项由系数（包括前面的符号）和字母（π除外）两部分组成，分清哪些项是同类项，是合并同类项的关键，合并同类项的根据是乘法分配律，根据法则进行合并，对于求代数式的值这类题要会书写格式．Ⅱ思维整合解析重点同类项的概念，合并同类项．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项．判断时，同时具备2个条件：一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，缺一不可，引申为同类项与系数无关、与字母排列顺序无关；概念具有双重性．合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，即“一变二不变”．【例2】说出下列各题的两个项是不是同类项？为什么？解析观察所含字母是否相同，相同字母的指数是否相同．解（2）、（4）不是同类项，因为（2）中相同字母的指数不同，（4）所含字母不同，（1）、（3）、（5）是同类项，因为（1）、（5）中都是常数，（3）中所含字母相同，相同字母的指数也相同．点击易错点本节的易错点：①判定同类项容易出错，②合并同类项时容易出错，③确定代数式项的系数有误．【例3】下列各题合并同类项的结果对不对？不对的，指出错在哪里．错解认为都对．错解分析（1）3a与2b不是同类项，不能合并；（2）合并同类项只是系数的运算，字母不变，字母不参与运算；（3）（4）都不是同类项，不能合并；（5）保留了字母和字母的指数不变，又忘记了互为相反数的两个系数的和为0．结果应为0．正解（1）不对，因为3a与2b不是同类项，不能合并；（2）不对，丢掉了字母及字母指数；（3）（4）不对，分别不是同类项，所以不能合并；（5）不对，因为－3＋3＝0，0与xy相乘为0，而不是xy．Ⅲ能力升级平台综合能力升级合并同类项与数字问题、数的整除性的综合．【例4】随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数，把它的十位数字与个位数字（不为0）对调后，得到一个新的两位数，并把两个两位数相加，所得的和一定能被11整除吗？为什么？解析一个数能否被11整除也就是看这个数能否写成11的倍数形式．用代数式把原、新两个十位数表示出来，并求和．解设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意得（10x＋y）＋（10y＋x）＝10x＋y＋10y＋x＝（10x＋x）＋（y＋10y）＝11x＋11y＝11（x＋y）．因此，所得的和一定能被11整除．应用能力升级用合并同类项知识解决日常生活中的问题，如用字母表示付费、图形周长等．【例5】以物易物在农村是普遍存在的一种现象．一天，王大妈用玉米换苹果，交易条件是1公斤玉米换0.8公斤苹果，当称完带口袋的玉米后，小贩要称皮（口袋）时，王大妈说话了：“不用称皮了！称玉米带皮，称苹果时也带皮，这样既省事又互不吃亏．”想一想：王大妈讲的有道理吗？用学过的有关代数式的知识解答．解析本题的关键是列代数式求值比较吃亏还是不吃亏的过程．解王大妈讲的没有道理，王大妈自己吃亏．设玉米重x公斤，口袋重y公斤，则应换苹果（0.8x）公斤，若不称皮，则实换苹果为0.8（x＋y）－y＝0.8x＋0.8y－y＝0.8x－0.2y，也就是说，这样王大妈要少得苹果0.2y公斤，口袋越重吃亏越大． 5 去括号Ⅰ学法导引我们第二章学过有理数减法，如7－（－5）＝7＋5＝12，这就是有理数减法中遇到的去括号，根据它来学习去括号法则的第二条，需要注意本节在去括号时，若括号内多于一项时，在去括号后，括号内各项要么全变号，要么全不变号，同时还应正确运用乘法分配律，这节内容今后经常用到，一定要打好基础．思维整合解析重点去括号法则，正确去括号．【例1】先去括号，再合并同类项：（1）8a＋2b＋5（a－b）；（2）6a－2（a－c）．解析这两个题都需要先利用分配律计算5与（a－b），2与（a －c）的积，再去括号，最后合并同类项．解（1）8a＋2b＋5（a－b）＝8a＋2b＋（5a－5b）＝8a＋2b＋5a－5b＝（8a＋5a）＋（2b－5b）＝13a－3b；（2）6a－2（a－c）＝6a－（2a－2c）＝6a－2a＋2c＝4a＋2c．剖析难点当括号前是“－”号时的去括号．【例2】先去括号，再合并同类项．解析按去括号法则先把括号去掉，然后再合并同类项，要注意括号前面是“－”号，去括号后，括号内各项的符号都改变．点击易错点尤其易犯的错误是：（1）括号前是“－”号，去括号时，只改变括号里第一项的符号，而其余各项的符号均忘记改变．（2）运用分配律时，容易出现漏乘项的错误．错解分析错解1是第二步去括号时，括号里各项都应变号，但上述解法中只改变了第一项的符号．错解2是第一步应用分配律时，应用4去乘括号内的每一项，但上述解法中只与第一项相乘，造成漏乘的错误．解析去多重括号可以由内向外逐层进行，也可以由外向内进行，如果去括号法则掌握得比较熟练，也可以内外同时进行去括号．解解法之一（由内向外逐层去括号）Ⅲ能力升级平台综合能力升级有理数的绝对值，有理数的乘方及去括号合并同类项的综合运用．解析由两个非负数的和为0，则每个非负数为0可求出a、b 的值，代入式子A－B的化简结果中，就可求出A－B的值．应用能力升级应用去括号合并同类项解决几何图形的边长、周长及阴影部分的面积等问题．【例5】一个四边形的周长是38厘米，已知第一条边长是a厘米，第二条边长比第一条边长的2倍长3厘米，第三条边长等于第一、二两条边长的和，写出表示第四条边长的代数式．解析第一条边的边长为a厘米，第二条边的边长为（2a＋3）厘米，第三条边的边长为（a＋2a＋3）厘米，周长减去前三条边的边长就是第四条边的边长．解根据题意得38－a－（2a＋3）－（a＋2a＋3）＝38－a－2a－3－a－2a－3＝32－6a．点拨列代数式时，第二条边的边长，第三条边的边长要用括号括上．6 探索规律Ⅰ学法导引要善于从具体的、实际问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律，合理归纳，大胆猜想，从不同事物中发现它们的相似点或相同点，并运用符号（代数式）表示规律，另外还需要通过运算，验证你所找到的规律是否正确．Ⅱ思维整合解析重点探索规律的方法和步骤：第一，观察、探索：从实际问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律．第二，归纳、猜想：通过观察由此及彼，合理归纳、猜想，并用字母表示规律．第三，验证：观察、探索的结果，具有偶然性，可能是正确的，也可能是错误的，需要通过运算，验证规律．【例1】图3－6－1，图①是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点得到图②；再分别连结图②中间小三角形三边的中点，得到图③．按上面的方法继续下去，第n个图形中有多少个三角形？解析先找出图①、图②、图③中分别有多少个三角形，我们发现图①有1个图②有5个，图③有9个，还发现，图②比图①多4个三角形，图③比图①多8个（2个4）三角形．点击易错点根据题目找不出规律，考虑不全面，思维不清楚是导致本节错误的主要原因．【例2】如图3－6－2用棋子摆出下列一组图形：问：摆第④个图形用____枚棋子；摆第n个图形用____枚棋子．错解15，3（n＋1）错解分析把每边棋子数×边数当成了发现的规律，而忽略了每个角处的一枚棋子都数了两遍．正解12，3nⅢ能力升级平台综合能力升级探索一些算式中的规律、图形中的规律、周期问题的规律等．【例3】观察下列各式；你会发现什么规律？解析（1）左边是两个连续奇数的积，右边是两个连续奇数中间的偶数的平方减去1，（2）找出算式中第1个数与算式序号之间的关系，3→1，5→2，7→3，9→4，…，2n＋1→n．应用能力升级用探索规律解决实际生活中遇到的问题，托运行车费用、过已知多个点作直线条数问题、好朋友见面握手次数问题等．【例4】“⊙”表示一种新的运算符号，已知2⊙3＝2＋3＋4；7⊙2＝7＋8；3⊙5＝3＋4＋5＋6＋7，…按此规律，计算5⊙8．解析“⊙”只是一种符号而已，后面的几个等式，等式的左边是一种运算符号，等式的右边是几个连续自然数的和，关键是加数的个数和从哪个数开始加，条件：2⊙3＝2＋3＋4，从“2”加起，有3个加数即“2＋3＋4”，7⊙2＝7＋8；从“7”加起有2个加数，即“7＋8”；3⊙5＝3＋4＋5＋6＋7，从3加起，共有5个加数，即“3＋4＋5＋6＋7”．所以5⊙8＝5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12．解5⊙8＝5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12。

第三单元章末复习
必背知识
1.代数式：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成
的式子叫做代数式。

2.代数式求值：根据问题的要求，用具体数值代替代数式的字母，就可以求出代数式的值。

代数式的求值的步骤：第一步，代入（或先化简再代入）；第二步，计算。

3.同类项：在代数式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

几个常数项也是同类项。

判断是否是同类项的条件有两个：○1含有相同字母；○2相同字母的指数分别相同。

这两个条件却一不可。

4.合并同类项的定义：把同类项合并成一项叫做合并同类项。

合并同类项的法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

5.去括号法则：括号前是“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“—”
号，把括号和它前面的“—”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。

6.观察数量变化，探索由特殊到一般的关系，联系实际生活，经常发现数量之间有一定的
特殊关系，可以用代数式表示出来，使其具有普遍性，这是数学中的规律。

必记公式
去括号法则：○1+（a+b+c）=a+b+c; ○2-（a+b+c）=-a-b-c。

北师大版七年级数学第三章知识点北师大版七年级数学第三章主要包括以下知识点：
1. 分数的概念和表示方法：
- 分数的概念
- 分数的定义和性质
- 分数的表示方法
2. 分数的基本运算：
- 分数的加法和减法
- 分数的乘法和除法
- 分数的化简和约分
- 分数的比较大小
3. 带分数和假分数：
- 带分数和假分数的定义和转换
- 带分数和假分数之间的相互转化和运算
4. 完全平方与开方：
- 完全平方的定义和判定
- 完全平方的性质
- 平方根和开方的定义和性质
5. 平方的运算：
- 平方的定义和性质
- 平方根和开方的运算
- 平方与开方之间的相互转化和运算
6. 计算器的使用和应用：
- 计算器的基本操作
- 利用计算器进行数学计算和问题解答
以上是北师大版七年级数学第三章的主要知识点，希望对你有所帮助。

第03讲_探索与表达规律知识图谱定义新运算知识精讲近几年出现了一类“定义新运算”型的题目，这类题目以加、减、乘、除、乘方等运算为基础，定义了很多具有实际意义的新运算．这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算规律，其实质是给出了一种变换规则，以此考查同学们的思维应变能力和计算能力．解此类问题的关键是深刻理解所给的定义或规则，将它们转化成我们所熟悉的加、减、乘、除、乘方等运算．注意：解答定义新运算题，关键是要正确地理解新定义的算式的含义，在计算时，严格按照规定的法则代入数值，然后转化为常规的四则运算算式进行计算．新运算 符号现定义两种运算和*，对于任意两个整数a 、b,都有：1,1b a b a b a b a =+-*=-，试求：2[34)21)]((** 的值.原式162[(341)(21)]2[61]2(611)262131=*+--=*=*+-=*=-= 程序计算类按如图所示的程序计算，若开始输入的x 值为3，求最后输出的结果当输入3时，3(31)61002⨯+=<，再将6重新输入，6(61)211002⨯+=<， 再将21重新输入，21(211)2311002⨯+=>，故输出结果为231解答此类问题的方法是用数值替换程序中的x ，如果计算结果符合条件，那么输出；如果计算结果不符合条件，那么再将计算结果重新输入进行计算，如此循环，直到符合条件为止周期循环已知a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数．如：2的差倒数是112-，﹣1的差倒数是111(1)2=--．已知a 1=﹣13，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，则a 2017=______．分析：根据定义计算：a 1=﹣13，a 2=11131141()3a ==---，a 3=2113114a =--=4，a 4=311114a =--=﹣13，…，依此类推，每3个数为一个循环组依次循环， ∵2017÷3=672余1，∴a 2017为第673循环组的第一个数，∴a 2017=a 1=﹣13．三点剖析一．考点：新定义运算二．重难点：新定义运算三．易错点：新定义运算定义新运算例题1、 根据所给流程图，计算所有输出数据之和等于__________．【答案】 35【解析】 模拟执行程序框图，可得1,2A N ==；输出1，2N =，满足条件6N <，4A =，输出4，3N =；满足条件6N <，7A =，输出7，4N =；满足条件6N <，10A =，输出10，5N =；满足条件6N <，13A =，输出13，6N =，不满足条件6N <，退出循环，结束．例题2、 我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将()2101，()21011换算成十进制数应为：()21021011202124015=⨯+⨯+⨯=++= ()3210210111202121211=⨯+⨯+⨯+⨯=按此方式，将二进制()21001换算成十进制数的结果是__________．【答案】 9． 【解析】 略．例题3、 若规定新符号“☆”具有性质a ☆b=a b +b a ，则2☆1的值是（ ） A.3 B.2 C.1D.12【解析】 ∵a ☆b=a b +b a ， ∴2☆1 =21+12 =2+1 =3．例题4、 定义新运算“*”为：a*b=(a b)3b(a b)a b -≥⎧⎨<⎩，则当x=3时，计算2*x ﹣4*x 的结果为______．【答案】 8【解析】 当x=3时，2*x ﹣4*x=2*3﹣4*3=9﹣（4﹣3）=8例题5、 在密码学中，你直接可以看到的内容为明文（真实文），对明文进行某种处理后得到的内容为密文，现有一种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的26个字母（不论大小写）按顺序依次对应1，2，3，……26这26个自然数，见以下表格：现给出一个公式：当126x ≤≤时，若x 不能被2整除，则12'x x +=；若x 能被2整除，则132'xx =+．将明文字母对应的数字x 按以上公式计算得到密文字母对应的数字'x ，比如明文字母为g ，则有71742g d +→→=→，所以明文字母g 对应的密文字母为d ．（1）按照上述规定，将明文good 译成的密文是什么？写出你的计算过程； （2）按照上述规定，请你写出由密文字母'x 得到明文字母x 的公式；（3）按照（2）中得到的公式，密文gawqj 所代表的明文单词是什么？（直接写出结果） 【答案】 （1）dhho ；（2）若'13x ≤，则2'1x x =-；若'13x >，则()2'13x x =-；（3）maths【解析】 当126≤≤x 时，若x 为奇数，则对应的'x 必然不超过13；若x 为偶数，则对应的'x 必然大于13，因此在将密文翻译成明文时，需要看蜜文所对应的数字与13的大小关系，即“明文看奇偶，密文比十三”．随练1、 我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：32101202121211⨯+⨯+⨯+⨯=．按此方式，则将十进制数6换算成二进制数应为__________． 【答案】 110 【解析】 略随练2、 定义一种新运算：观察下列式：1⊙3=1×4+3=7 3⊙（﹣1）=3×4﹣1=11 5⊙4=5×4+4=24 4⊙（﹣3）=4×4﹣3=13 （1）请你想一想：a ⊙b= ；（2）若a ≠b ，那么a ⊙b b ⊙a （填入“=”或“≠”） （3）若a⊙（﹣2b ）=4，请计算 （a ﹣b ）⊙（2a+b ）的值． 【答案】 （1）4a+b ，（2）≠，（3）6．【解析】 （1）⊙1⊙3=1×4+3=7，3⊙（﹣1）=3×4﹣1=11，5⊙4=5×4+4=24，4⊙（﹣3）=4×4﹣3=13， ⊙a ⊙b=4a+b ；（2）a ⊙b=4a+b ，b ⊙a=4b+a ，（4a+b ）﹣（4b+a ）=3a ﹣3b=3（a ﹣b ）， ⊙a ≠b ，⊙3（a ﹣b ）≠0，即（4a+b ）﹣（4b+a ）≠0， ⊙a ⊙b ≠b ⊙a ； a b c d e f g h i j k l m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n o p q r s t u v w x y z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26（3）⊙a ⊙（﹣2b ）=4a ﹣2b=4， ⊙2a ﹣b=2，（a ﹣b ）⊙（2a+b ） =4（a ﹣b ）+（2a+b ） =4a ﹣4b+2a+b ， =6a ﹣3b ， =3（2a ﹣b ） =3×2 =6．随练3、 符号f 表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： （1）()10f =，()21f =，()32f =，()43f =， （2）122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，155f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 利用以上规律计算()120122013f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________【答案】 2【解析】 该题考查的是规律题． 根据（1）可知()1f n n =-，根据（2）可知1f n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()120122013201122013f f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭随练4、 执行如图所示的流程图，输出结果为__________．【答案】23【解析】 由分析知，该程序图共执行了200次替换，虽然赋值1i =，3a =，但2i =时执行了一次替换，用12-替换了a ，3i =时执行了一次替换，用23替换了a ；到4i =时，a 的值又等于3，所以在200次替换过程中a 的值成周期出现，周期为3，所以200次替换得到的23a =．与整式相关的找规律⋅⋅⋅⋅⋅⋅知识精讲规律探究类的问题考查从特殊到一般的认识水平、运算能力以及对知识的贯通能力，要求学生必须具备逻辑推理能力、观察归纳能力、猜想验证能力．考察题型主要有“数字类”、“图形类”、“计算类”等．掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键．（1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找到隐含的规律．（2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题．解决“规律探索”的题目通常需要以下三个步骤：寻找数量之间的关系——用代数式表示规律——验证规律。

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北师大版七年级上册数学各章节知识点总结第一章 丰富的图形世界1、几何图形从实物中抽象出来的各种图形,包括立体图形和平面图形。

立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形.平面图形:有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。

2、点、线、面、体(1）几何图形的组成点:线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线,分为直线和曲线。

面：包围着体的是面,分为平面和曲面。

体:几何体也简称体。

(2)点动成线，线动成面，面动成体。

3、生活中的立体图形圆柱 棱柱：三棱柱、四棱柱(长方体、正方体）、五棱柱、…… 球圆锥棱锥4、棱柱及其有关概念：棱:在棱柱中，相邻两个面的交线，叫做棱.侧棱:相邻两个侧面的交线叫做侧棱.棱柱的所有侧棱长都相等。

棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行锥 柱生活中的立体图四边形.长方体和正方体都是四棱柱。

棱柱可以分为直棱柱和斜棱柱。

直棱柱的侧面是长方形。

n棱柱有两个底面,n个侧面,共（n+2)个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。

5、正方体的平面展开图：11种6、截一个正方体：截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面.用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。

北师大版七年级上册数学各章节知识点总结第一章丰富的图形世界1、几何图形从实物中抽象出来的各样图形，包含立体图形和平面图形。

立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。

平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。

2、点、线、面、体1）几何图形的构成点：线和线订交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

线：面和面订交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

2）点动成线，线动成面，面动成体。

3、生活中的立体图形圆柱柱棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、,,生活中的立体图形球(按名称分)锥圆锥棱锥4、棱柱及其相关观点：棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。

侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。

n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个极点。

5、正方体的平面睁开图：11种“1-4-1”“2-3-1”“2-2-2”“3-3”6、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。

可能出现的：锐角三角形、等边、等腰三角形，正方形、矩形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形不行能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形.假如用一个平面截掉一个正方体的一个角，剩下的几何体有几个极点？几条棱？几个面？考点：截一个几何体．版权全部剖析：当截面截取由三个极点构成的面时能够获得三角形，剩下的几何体有7个极点、12条棱、7个面；当截面截取一棱的一点和两底点构成的面时可剩下几何体有8个极点、13条棱、7个面；当截面截取由2条棱中点和一极点构成的面时剩下几何体有9个极点、14条棱、7个面；当截面截取由三棱中点构成的面时，节余几何体有10个极点、15条棱、7个面．解答：解：剩下的几何体可能有：7个极点、12条棱、7个面；或8个极点、13条棱、7个面；或9个极点、14条棱、7个面；或10个极点、15条棱、7个面．以下图：7、其余常有图形的平面睁开图：侧面能够睁开成长方形的是：圆柱和棱柱侧面能够睁开为扇形的是：圆锥7、三视图物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。