中考数学总复习中档题集锦

中考中档题练习（一）1．有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前10位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学成绩的（ ） A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差 2．已知一次函数y ＝kx +b ,当0≤x ≤2时,对应的函数值y 的取值范围是-2≤y ≤4,则kb 的值为（ ）A. 12B. －6C. －6或－12D. 6或123．如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转90°，得A B O ''△ ，则点A '的坐标为（ ） A ．（3，1） B ．（3，2） C ．（2，3） D ．（1，3）（第4题） 4．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE AC⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF △的面积与ABC △的面积之比等于（ ） A ．1∶3B ．2∶3C 2D 35．如图，圆内接四边形ABCD 是由四个全等的等腰梯形组成，AD 是⊙O 的直径，则∠BEC 的度数为（ ） A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 6．如图，直线l 和双曲线ky x=（0k >）交于A 、B 两点，P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合），过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线，垂足分别为C 、D 、E ，连接OA 、OB 、OP ，设△AOC 的面积为1S 、△BOD 的面积为2S 、△POE 的面积为3S ，则（ ）A ．123S S S <<B ．123S S S >>C ． 123S S S =>D ． 123S S S =<（第6题）7．如图，将边长为33+的等边△ABC 折叠，折痕为DE ，点B 与点F 重合，EF 和DF 分别交AC 于点M 、N ，DF ⊥AB ，垂足为D ，AD ＝1，则重叠部分的面积为 .8．正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)， 则Bn 的坐标是_________． xy12 43 0 -1-2 -3 1 2 3A B (第3题) (第5题)DNEF MCBA （第7题）x9．现有一个种植总面积为540m 2的矩形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄，种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于10垄，又不超过14垄（垄数为正整数），它们的占地面积、（1）若设草莓共种植了垄，通过计算说明共有几种种植方案？分别是哪几种？ （2）在这几种种植方案中，哪种方案获得的利润最大？最大利润是多少？10．已知关于x 的方程 有两个实数根 ，关于y 的方程 有两个实数根 ，且 ，当 时，求m 的取值范围。

中档专题常考相似模型相交弦定理和勾股定理1.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为_________备注：1.设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．2.用相交弦定理，求出QD中利用勾股定理求出m与r的关系，即用r表示出m，即可3.在ODQ表示出所求比值．垂径定理及推论2．如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（垂径定理推论）（2）求证：BD2＝AC•BQ；（相似三角形的判定）（3）若AC、BQ的长是关于x的方程x2﹣mx+16＝0的两个实根，且tan∠PCD＝，求⊙O 的半径．（三角函数及垂径定理）备注1.欲证明PQ是⊙O切线，只要证明OD⊥PQ即可；2.连接AD，根据等腰三角形的判定得到AD＝BD，根据相似三角形的性质即可得到结论；3.根据题意得到AC•BQ＝16，得到BD＝4，由（1）知PQ是⊙O的切线，由切线的性质得到OD⊥PQ，根据平行线的性质得到OD⊥AB，根据三角函数的定义得到BE＝3DE，根据勾股定理得到BE＝，设OB＝OD＝R，根据勾股定理即可得到结论；K型相似3．如图所示，CD为⊙O的直径，AD、AB、BC分别与⊙O相切于点D、E、C（AD＜BC）．连接DE并延长与直线BC相交于点P，连接OB．已知DE•OB＝40，求AD•BC的值；备注：由DE•OB＝40可以想到比例式，由题意可以证明△DEC∽△OCB，由此得DE•OB＝OC•DC＝40，则OC＝2，再证△ADO∽△OCB即可；4．如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B 作y轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t．当t为何值时，BC+CA取得最小值．备注：证明△ABO∽△CAF，根据勾股定理表示AC和BC的长，计算其和，根据二次根式的意义得出当t＝0时，值最小．直线与抛物线背景下的相似三角形5.如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知A、B两点的坐标分别为（﹣4，0）、（4，0），C（m，0）是线段AB上一动点（与A、B两点不重合），抛物线l1：y＝x2+b1x+c1（a＞0）经过点A、C，顶点为D，抛物线l2：y＝x2+b2x+c2（a＞0）经过点C、B，顶点为E，直线AD、BE相交于F．∠AFB＝90°，求m的值；备注：过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，易证△ADG～△EBH，根据相似三角形对应边比例相等即可解题；6.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线交于A、B两点，点A 在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；备注：作PF∥BO交AB于点F，证△PFD∽△OBD，得比例线段，则PF取最大值时，求得的最大值；解直角三角形7.如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，连接BE、CE，作DM⊥AG于M．若△BCE是等边三角形，连DE，△ADE 的面积为25，求BG长．备注：过点A作AF⊥BE，垂足为F．由（1）可知AG＝MD＝GE，然后依据三角形ADE 的面积为25可求得DM的长，然后再证明∠ABF＝30°，设AB＝BE＝a，则FB＝a，EF＝（+2）a，在Rt△AFE中，依据勾股定理可得到4a2＝100（2﹣），即AB2＝100（2﹣），最后，在Rt△ABG中，依据勾股定理求解即可．8.已知：如图，在正方形ABCD内取一点P，连结P A、PB、PD，将△PDA绕点A顺时针旋转90°得△EBA，连EP．若P A＝2，PB＝2，PD＝2．下列结论：①EB⊥EP；②点B到直线AE的距离为；③S△APD+S△APB＝1+；④S正方形ABCD＝16+4．其中正确结论的序号是．销售利润问题某水果店以4元/千克的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了0.5元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店两次购进水果共花去了2200元．（1）该水果店两次分别购买了多少元的水果？（2）在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的水果有3%的损耗，第二次购进的水果有5%的损耗，该水果店希望售完这些水果获利不低于1244元，则该水果每千克售价至少为多少元？购买分配类问题湖南洞庭湖区盛产稻谷和棉花，销往全国各地，湖边某货运码头，有稻谷和棉花共3000吨，其中稻谷比棉花多500吨．（1）求稻谷和棉花各是多少吨；（2）现有甲、乙两种不同型号的集装箱共58个，将这批稻谷和棉花运往外地，已知稻谷35吨和棉花15吨可装满一个甲型集装箱；稻谷25吨和棉花35吨可装满一个乙型集装箱．在58个集装箱全部使用的情况下，共有几种方案安排使用甲、乙两种集装箱？（3）在（2）的情况下，甲种集装箱每箱收费1000元，乙种集装箱每箱收费1200元，乙种集装箱老板想扩大市场，提出惠民措施：每箱可优惠m元（m＜250）．问怎么安排集装箱这批货物总运输费最少？二次函数应用（分段函数，分类讨论）“姹紫嫣红苗木种植基地”尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用30天时间销售一种成本为10元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单价在第x天（x为整数）销售的相关信息，如图表所示：销售量n（株）n＝﹣x+50销售单价m（元/株）当1≤x≤20时，m＝当21≤x≤30时，m＝10+（1）①请将表中当1≤x≤20时，m与x间关系式补充完整；②计算第几天该果苗单价为25元/株？（2）求该基地销售这种果苗30天里每天所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；（3）“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将这30天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”．试问：基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱？压轴专题直线与抛物线相交（面积问题）1.若抛物线L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与直线l：y＝ax+b满足a2+b2＝2a（2c ﹣b），则称此直线l与该抛物线L具有“支干”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“支线”，抛物线L叫做直线l的“干线”，已知“干线”y＝ax2+bx+c与它的“支线”交于点P，与它的“支线”的平行线l′：y＝ax+4a+b交于点A，B，记△ABP得面积为S，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．的值是定值．理由如下：解：不妨设a＞0，如图所示，y＝ax2+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线y＝ax+4a+b与y轴交于点D，A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴|x1﹣x2|＝＝＝，把a2+b2＝2a（2c﹣b）代入上式化简得到|x1﹣x2|＝4，∵AB∥PC，∴S＝S△P AB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═•CD•|B x﹣A x|＝•|4a|•4＝8•|a|，∴＝8，的值是定值．直线与圆（抛物线为背景）2．如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝2x+m与直线BC交于点P，与抛物线交于点M、N，若以点P为圆心、MN为半径的圆恰与x轴相切，求m的值．备注：抛物线解析式为y＝2x2﹣8x+6，则C（0，6），易得直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，解方程组得P（，），设M（x1，2x1+m），N（x2，2x2+m），作PH⊥x轴于H，如图，x1、x2为方程2x2﹣8x+6＝2x+m的两根，则x1+x2＝5，x1x2＝，利用完全平方公式变形得到MN＝＝，接着利用切线的性质得||＝，然后解方程即可得到m的值．3.含参的计算（分类讨论）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），点D在y轴上，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点A、D，且当﹣2≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+c取最大值为3，求二次项系数a的值．备注：由条件可得出∠ADC＝∠ABC＝90°，求得D（0，2），代入A，D两点的坐标，可求出抛物线的解析式为y＝ax2+（2a+1）x+2，分两种情况考虑：在x＝2时，函数y＝ax2+（2a+1）x+2取得最大值为3，可求得a＝﹣，当﹣2≤x≤2时，在顶点处取得最大值，可求出a＝﹣1﹣．4.如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知A、B两点的坐标分别为（﹣4，0）、（4，0），C（m，0）是线段AB上一动点（与A、B两点不重合），抛物线l1：y＝ax2+b1x+c1（a＞0）经过点A、C，顶点为D，抛物线l2：y＝ax2+b2x+c2（a＞0）经过点C、B，顶点为E，直线AD、BE相交于F．如图2，连接DC、EC，记△DAC的面积为S1，△ECB的面积为S2，△F AB的面积为S，问是否存在点C使得2S1•S2＝a•S，若存在，请求出C的坐标；若不存在，请说明理由．备注：1.构建一次函数，利用方程组求出点F坐标，再根据2S1•S2＝a•S，构建方程求出m 即可解决问题；2.参考答案设L1：y＝a（x+4）（x﹣m）＝ax2+（4﹣m）ax﹣4ma，L2：y＝a（x﹣4）（x﹣m）＝ax2﹣（4+m）ax+4ma，∴D（，﹣a），E（，﹣a），∴直线AF的解析式为y＝﹣x﹣2a（m+4），直线BF的解析式为y＝﹣x+2a（m﹣4），由，解得，∴F（﹣m，），∵2S1•S2＝a•S，∴2××（m+4）×a××（4﹣m）×＝a××8×[﹣a]，整理得：（m2﹣16）2＝64，∴m2﹣16＝±8，解得m＝±2或±2（舍弃），∴C（2，0）或（﹣2，0）；数形结合5．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是___________________备注：首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．6.已知直线y1＝x，y2＝x+1，y3＝﹣x+5的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最小值，则y的最大值为．备注：y始终取三个函数的最小值，y最大值即求三个函数的公共部分的最大值．要先画出函数的图象根据数形结合解题。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且顶点坐标为（1，-2），则下列选项中，正确的是：A. a<0，b<0，c<0B. a>0，b>0，c>0C. a<0，b>0，c>0D. a>0，b<0，c>02. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，且AD=6cm，AB=8cm，则BC的长度为：A. 10cmB. 12cmC. 14cmD. 16cm3. 已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（2，-3）和（-1，5），则下列选项中，正确的是：A. k=2，b=-1B. k=2，b=1C. k=-2，b=-1D. k=-2，b=14. 若a，b，c是等差数列的连续三项，且a+b+c=18，则b的值为：A. 6B. 7C. 8D. 95. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于直线y=x的对称点为Q，则Q的坐标为：A. （3，2）B. （2，3）C. （-3，-2）D. （-2，-3）6. 已知等比数列{an}的首项a1=3，公比q=2，则前n项和Sn为：A. 3(2^n - 1)B. 3(2^n + 1)C. 3(2^n - 2)D. 3(2^n + 2)7. 若x^2+px+q=0的判别式Δ=0，则方程的根的情况是：A. 两个实数根B. 两个相等的实数根C. 两个虚数根D. 无解8. 在平面直角坐标系中，点A（-1，2），B（3，-4），则线段AB的中点坐标为：A. （1，-1）B. （1，2）C. （-1，-1）D. （-1，2）9. 若sinα=1/2，且α为锐角，则cosα的值为：A. √3/2B. √3/4C. 1/2D. 1/410. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，且∠BAC=40°，则∠B的度数为：A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°二、填空题（每题5分，共50分）1. 已知函数y=2x-3，若x=4，则y=______。

中考数学综合复习（四）一、单选题 1．若在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞﹣1B ．x ＜﹣1C ．x ≥﹣1D ．x ≥﹣1且x ≠02．校篮球队所买10双运动鞋的尺码统计如表：尺码（cm ） 25 25.5 26 26.5 27 购买量（双）11242则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（ ） A ．4cm ，26cmB ．4cm ，26.5cmC ．26.5cm ，26.5cmD ．26.5cm ，26cm3．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OA ，OC ．若OA ∥BC ，∠BCO ＝70°．则∠ABC 的度数为（ ）A ．110°B ．120°C ．125°D ．135°4.如图，点A 的坐标为(0, 1), 点B 是x 轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等腰直角ABC,使ABC ∆，使90BAC ∠=︒,设点B 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为y .能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )A B C D5．如图，一艘轮船在A 处测得灯塔C 在北偏西15°的方向上，该轮船又从A 处向正东方向行驶40海里到达B 处，测得灯塔C 在北偏西60°的方向上，则轮船在B 处时与灯塔C 之间的距离（即BC 的长）为（ ）A ．海里B ．海里C ．80海里D ．海里6．小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条结论： （1）0a <；（2）0b >；（3）0a b c -+> ；（4）20a b +＜. 你认为其中正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．若函数y kx b =+的图象如图所示，则关于x 的不等式(3)0k x b ++<的解集为（ ） A. 2x ＜ B. 2x ＞ C. x ＜-1 D. x ＞-18．如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AD = 4cm ，点E ，F 分别是CD 和 AB 的中点，现将这张纸片折叠，使点B 落在EF 上的点G 处， 折痕为AH ，若HG 延长线恰好经过点D ，则CD 的长为（ ） A ． 2cm B ．23cm C ．4 cmD ． 43cmyxO21211O1xy9．已知点P（a，b）是一次函数y＝x﹣1的图象与反比例函数的图象的一个交点，则a2+b2的值为．10．若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为．11．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣10123…y…105212…则当y＜5时，x的取值范围是．12．如图，已知⊙ABC中，AB=AC=1，⊙BAC=120°，将⊙ABC绕点C顺时针旋转90°，得到⊙A′B′C，则点B运动的路径长为（结果保留π）13．如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则BG的长是cm．14．如图所示，已知点N（1，0），直线y=﹣x+2与两坐标轴分别交于A，B两点，M，P 分别是线段OB，AB上的动点，则PM+MN的最小值是．15．如图，平行四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交DA，BC的延长线于E，F．（1）求证：AE＝CF；（2）若AE＝BC，试探究线段OC与线段DF之间的关系，并说明理由．16.某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加25%.(1)求今年A型车每辆售价多少元?(2)该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A型车和B型车共50辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多?今年A、B两种型号车的进价和售价如下表:17．甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟米，乙在A地时距地面的高度b为米．（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？18．如图，为了测出旗杆AB的高度，在旗杆前的平地上选择一点C，测得旗杆顶部A的仰角为45°，在C、B之间选择一点D（C、D、B三点共线），测得旗杆顶部A的仰角为75°，且CD=8m（1）求点D到CA的距离；（2）求旗杆AB的高．（注：结果保留根号）19．如图，小明在大楼45米高（即PH=45米，且PH⊙HC）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处得俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan⊙ABC）为1：．（点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上）（1）⊙PBA的度数等于度；（直接填空）（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．20．如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）21．如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为cm，弦BD的长为3cm，求CF的长．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．。

中考数学训练（中档题）一、选择题 1．|65-|＝（ ）A ．65+B ．65-C ．－65-D ．56-2．如果一个四边形ABCD 是中心对称图形，那么这个四边形一定是（ ） A ．等腰梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．平行四边形 3． 下面四个数中，最大的是（ ） A ．35-B ．sin88°C ．tan46°D ．215-4．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．105．二次函数ｙ＝（2ｘ－1）2＋2的顶点的坐标是（ ）A ．（1，2）B ．（1，－2）C ．（21，2）D ．（－21，－2）6．足球比赛中，胜一场可以积3分，平一场可以积1分，负一场得0分，某足球队最后的积分是17分，他获胜的场次最多是（ ） A ．3场 B ．4场 C ．5场 D ．6场 7． 如图，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点E ，如果△CDE 的面积为3，△BCE 的面积为4，△AED 的面积为6，那么△ABE 的面积为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．108． 如图，△ABC 内接于⊙O，AD 为⊙O 的直径，交BC 于点E ，若DE ＝2，OE ＝3，则tanC·tanB ＝ （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 二、填空题（每小题3分，共24分）9．写出一条经过第一、二、四象限，且过点(1-，3)的直线解析式 . 10．一元二次方程ｘ2＝5ｘ的解为 ．11． 凯恩数据是按照某一规律排列的一组数据，它的前五个数是：269,177,21,53,31，按照这样的规律，这个数列的第8项应该是 ．12．一个四边形中，它的最大的内角不能小于 ． 13．二次函数x x y 2212+-=，当x 时，0<y ;且y 随x 的增大而减小.14． 如图，△ABC 中，BD 和CE 是两条高，如果∠A ＝45°，则BCDE＝ ．15．如图，已知A 、B 、C 、D 、E 均在⊙O 上，且AC 为⊙O 的直径，则∠A ＋∠B ＋∠C ＝__________度．C A16．如图，矩形ABCD 的长AB ＝6cm ，宽AD ＝3cm. O 是AB 的中点，OP ⊥AB ，两半圆的直径分别为AO 与OB ．抛物线ｙ＝ａｘ2经过C 、D 两点，则图中阴影部分 的面积是 cm 2.三、17．计算：01)32009(221245cos 4)21(8--⨯÷-︒-+-18．计算：22111211x x x x ⎛⎫-+÷ ⎪-+-⎝⎭19．已知：如图，梯形ABCD 中，A B ∥CD ，E 是BC 的中点，直线AE 交DC 的延长线于点F ． （1）求证：△ABE ≌△FCE ；（2）若BC ⊥AB ，且BC ＝16，AB ＝17，求AF 的长．20．观察下面方程的解法ｘ4－13ｘ2＋36＝0解：原方程可化为（ｘ2－4）（ｘ2－9）＝0 ∴（ｘ＋2）（ｘ－2）（ｘ＋3）（ｘ－3）＝0∴ｘ＋2＝0或ｘ－2＝0或ｘ＋3＝0或ｘ－3＝0 ∴ｘ1＝2，ｘ2＝－2，ｘ3＝3，ｘ4＝－3你能否求出方程ｘ2－3｜ｘ｜＋2＝0的解？四、（每小题10分，共20分）21．（１）顺次连接菱形的四条边的中点，得到的四边形是．（２）顺次连接矩形的四条边的中点，得到的四边形是．（３）顺次连接正方形的四条边的中点，得到的四边形是．（４）小青说：顺次连接一个四边形的各边的中点，得到的一个四边形如果是正方形，那么原来的四边形一定是正方形，这句话对吗？请说明理由．22．下面的表格是李刚同学一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题（１）李刚同学6次成绩的极差是．（２）李刚同学6次成绩的中位数是．（３）李刚同学平时成绩的平均数是．（４）如果用右图的权重给李刚打分，他应该得多少分？（满分100分，写出解题过程）23．（本题12分）某射击运动员在一次比赛中，前6次射击已经得到52环，该项目的记录是89环（10次射击，每次射击环数只取1~10中的正整数）.（1）如果他要打破记录，第7次射击不能少于多少环？（2）如果他第7次射击成绩为8环，那么最后3次射击中要有几次命中10环才能打破记录？（3）如果他第7次射击成绩为10环，那么最后3次射击中是否必须至少有一次命中10环才有可能打破记录？24．（本题12分）甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会和，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C 处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（１）港口A与小岛C之间的距离（２）甲轮船后来的速度．数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题3分，共24分）1．Ｄ； 2．D ； 3．C ；4．Ｃ；5．Ｃ； 6．C ；7．Ｂ；8．C ． 二、填空题（每小题3分，共24分）9．ｙ＝－ｘ＋2等； 10．ｘ1＝0，ｘ2＝5； 11．133； 12．90°； 13．227； 14．2115．90；16．π49三、（第17小题6分，第18、19小题各8分，第20小题10分，共32分）17．解：原式＝222224222⨯⨯-⨯-+ －1 ＝822222--+ －1 ＝－718．计算：22111211x x x x ⎛⎫-+÷ ⎪-+-⎝⎭ 解：原式＝)1(])1()1)(1(1[2-⨯--++x x x x ）． xx x x x x 211)1(]111[=++-=-⨯-++19．（１）证明：∵E 为BC 的中点∴BE ＝CE ∵AB ∥CD ∴∠BAE ＝∠F ∠B ＝∠FCE ∴△ABE ≌△FCE （２）解：由（１）可得：△ABE ≌△FCE∴CE ＝AB ＝15，CE ＝BE ＝8，AE ＝EF ∵∠B ＝∠BCF ＝90° 根据勾股定理得AE ＝17 ∴AF ＝34 20．解：原方程可化为｜ｘ｜2－3｜ｘ｜＋2＝0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ∴（｜ｘ｜－1）（｜ｘ｜－2）＝0 ∴｜ｘ｜＝1或｜ｘ｜＝2∴ｘ＝1，ｘ＝－1，ｘ＝2，ｘ＝－2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分四．（每小题10分，共20分）21． 解：（１）矩形；（２）菱形，（３）正方形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （４）小青说的不正确如图，四边形ABCD 中AC ⊥BD ，AC ＝BD ，BO ≠DO ，E 、F 、G 、H 分别为AD 、AB 、BC 、CD 的中点 显然四边形ABCD 不是正方形但我们可以证明四边形ABCD 是正方形（证明略）所以，小青的说法是错误的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 22．解：（１）10分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 （２）90分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （３）89分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （４）89×10％＋90×30％＋96×60％＝93.5李刚的总评分应该是93.5分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23． 小强和小亮的说法是错误的，小明的说法是正确的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 不妨设小明首先抽签， 画树状图由树状图可知，共出现6种等可能的结果，其中小明、小亮、小强抽到A 签的情况都有两种，概率为31，同样，无论谁先抽签，他们三人抽到A 签的概率都是31．所以，小明的说法是正确的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分24．解：（１）作BD⊥AC于点D由题意可知：AB＝30×1＝30，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°在Rt△ABD中∵AB＝30，∠BAC＝30°∴BD＝15，AD＝ABcos30°＝153在Rt△BCD中，∵BD＝15，∠BCD＝45°∴CD＝15，BC＝152∴AC＝AD＋CD＝153＋15即A、C间的距离为（153＋15）海里．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（２）∵AC＝153＋15轮船乙从A到C的时间为1515315＝3＋1 由B到C的时间为3＋1－1＝3∵BC＝152∴轮船甲从B到C的速度为3215＝56（海里／小时）答：轮船甲从B到C的速度为56海里／小时．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。

提分专练(五)以全等三角形为背景的中档计算与证明|类型1| 全等三角形与等腰三角形结合1.[2018·镇江]如图T5-1,△ABC中,AB=AC,点E,F在边BC上,BE=CF,点D在AF的延长线上,AD=AC.(1)求证:△ABE≌△ACF;(2)若∠BAE=30°,则∠ADC= °.图T5-12.[2017·苏州]如图T5-2,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.(1)求证:△AEC≌△BED;(2)若∠1=42°,求∠BDE的度数.图T5-23.[2018·嘉兴]已知:在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,且DE=DF.求证:△ABC是等边三角形.图T5-34.如图T5-4,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.(1)求证:AD=BE;(2)求∠AEB的度数.图T5-4|类型2| 全等三角形与直角三角形结合5.如图T5-5,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:△ACD≌△AED;(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.图T5-5|类型3| 全等三角形与等腰直角三角形结合6.已知:如图T5-6,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.(1)求证:△ACE≌△BCD;(2)求证:2CD2=AD2+DB2.图T5-67.如图T5-7,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延长CA至点E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF,延长DB交EF于点N.(1)求证:AD=AF;(2)求证:BD=EF.图T5-78.问题:如图T5-8①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为.探索:如图T5-8②,在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,使点D落在BC边上,试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明你的结论.应用:如图T5-8③,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD的长.图T5-8参考答案1.解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠ACF.在△ABE和△ACF中,,∠∠,,∴△ABE≌△ACF.(2)75.2.[解析] (1)用ASA证明两三角形全等;(2)利用全等三角形的性质得出EC=ED,∠C=∠BDE,再利用等腰三角形的性质:等边对等角,即可求出∠C的度数,进而得到∠BDE的度数.解:(1)证明:∵AE和BD相交于点O,∴∠AOD=∠BOE.又∵在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,∴∠BEO=∠2.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠BEO,∴∠AEC=∠BED.在△AEC和△BED中,∠∠,,∠∠,∴△AEC≌△BED(ASA).(2)∵△AEC≌△BED, ∴EC=ED,∠C=∠BDE.在△EDC中,∵EC=ED,∠1=42°,∴∠C=∠EDC=69°,∴∠BDE=∠C=69°. 3.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEA=∠DFC=90°.∵D为AC的中点,∴DA=DC.又∵DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).∴∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∴△ABC是等边三角形.4.解:(1)证明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,∴∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°,AC=BC,DC=EC.∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,,∠∠,,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.(2)∵△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠BEC.∵点A,D,E在同一直线上,且∠CDE=50°,∴∠ADC=180°-∠CDE=130°,∴∠BEC=130°.∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=130°-50°=80°.5.解:(1)证明:∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠EAD.∵DE⊥AB,∠C=90°,∴∠ACD=∠AED=90°.又∵AD=AD,∴△ACD≌△AED.(2)∵△ACD≌△AED,∴DE=CD=1.∵∠B=30°,∠DEB=90°,∴BD=2DE=2.6.证明:(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,∴∠ACE=∠BCD,在△ACE和△BCD中,,∠∠,,∴△ACE≌△BCD(SAS).(2)∵△ACB是等腰直角三角形,∴∠B=∠BAC=45°.∵△ACE≌△BCD,∴∠B=∠CAE=45°.∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°,∴AD2+AE2=DE2.由(1)知AE=DB,∴AD2+DB2=DE2,又DE2=2CD2,∴2CD2=AD2+DB2.7.证明:(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ABF=135°,∵∠BCD=90°,∴∠ACD=135°.∴∠ABF=∠ACD,∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD,在△ABF和△ACD中,,∠∠,,∴△ABF≌△ACD(SAS),∴AD=AF.(2)由(1)知,AF=AD,△ABF≌△ACD,∴∠FAB=∠DAC,∵∠BAC=90°,在△AEF和△ABD中,,∠∠,,∴△AEF≌△ABD(SAS),∴BD=EF.8.解:问题:BC=EC+DC.∵△ABC为等腰直角三角形,∴∠BAC=90°.又∵AD⊥AE,∴∠EAD=90°.∴∠EAD-∠CAD=∠BAC-∠CAD.∴∠BAD=∠CAE.又∵AB=AC,AE=AD,∴△ABD≌△ACE.∴BD=CE,∴BC=EC+DC.探索:线段AD,BD,CD之间满足的关系是BD2+CD2=2AD2.证明:如图①,连接CE.∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°.∵∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°,∴∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中,,∠∠,,∴△BAD≌△CAE.∴BD=CE,∠ACE=∠ABC=45°.∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°.∴BD⊥CE.∵∠EAD=90°,AE=AD,∴ED=2AD.在Rt△ECD中,ED2=CE2+CD2,∴BD2+CD2=2AD2.应用:如图②,作AE⊥AD于点A,交DC的延长线于点E,连接BE.∵∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,∠EAD=90°,∴∠BAC=90°,AB=AC,AE=AD.∴ED=2AD.由“探索”的证明可知,BE=CD,BE⊥CD.在Rt△BED中,BD2=BE2+DE2.∴2AD2=BD2-CD2.∵BD=9,CD=3,∴2AD2=92-32=72.∴AD=6(负值舍去).。

中考简单中档题题组特训(一)(时间:40分钟,分值:60分)20. (本小题共10分,每小题各5分)(1)已知：x ＝2sin 60°,先化简x 2－2x ＋1x 2－1＋1x ＋1,再求它的值．(2)已知m 和n 是方程3x 2－8x ＋4＝0的两根,求1m ＋1n .21. (本小题共6分)如图是一座人行天桥的示意图,天桥的高是10米,CB ⊥DB ,坡面AC 的倾斜角为45°,为了方便行人推车过天桥市政府部门决定降低坡度,使新坡面DC 的坡度为i ＝3∶3,若新坡角下需留3米宽的人行道,问离原坡角(A 点处)10米的建筑物是否需要拆除？(参考数据：2≈1.414,3≈1.732)22. (本小题共10分)如图,已知△ABC ,直线PQ 垂直平分AC ,与边AB 交于E ,连接CE ,过点C 作CF 平行于BA 交PQ 于点F ,连接AF .(1)求证：△AED ≌△CFD ;(2)求证：四边形AECF 是菱形;(3)若AD ＝3,AE ＝5,则菱形AECF 的面积是多少？23.(本小题共10分)今年3月5日,黔南州某中学组织全体学生参加了“青年志愿者”活动,活动分为“打扫街道”、“去敬老院服务”、“到社区文艺演出”和“法制宣传”四项,从九年级同学中抽取了部分同学对“打扫街道”、“去敬老院服务”、“到社区文艺演出”和“法制宣传”的人数进行了统计,并绘制成如下直方图和扇形统计图．请根据统计图提供的信息,回答以下问题：(1)抽取的部分同学的人数是多少？(2)补全直方图的空缺部分;(3)若九年级有400名学生,估计该年级去打扫街道的人数;(4)九(1)班计划在3月5日这天完成“青年志愿者”活动中的三项,请用列表或画树状图求恰好是“打扫街道”“去敬老院服务”和“法制宣传”的概率．(用A 表示“打扫街道”;用B 表示“去敬老院服务”;用C 表示“社区文艺演出”;用D 表示“法制宣传”)24. (本小题共12分)如图,在Rt △ABC 中,∠A ＝90°,O 是BC 边上一点,以点O 为圆心的半圆与AB 边相切于点D ,与AC ,BC 边分别交于点E ,F ,G ,连接OD ,已知BD ＝2,AE ＝3,tan ∠BOD ＝23.(1)求⊙O 的半径OD 的长;(2)求证：AE 是⊙O 的切线;(3)求图中两部分阴影面积的和．25. (本小题共12分)为了解都匀市交通拥堵情况,经统计分析,都匀彩虹桥上的车流速度v (千米/小时)是车流密度x (辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流速度为20辆/千米时,车流速度为80千米/小时,研究表明：当20≤x ≤220时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)求彩虹桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度;(2)在交通高峰时段,为使彩虹桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时,应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？(3)当车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,即：车流量＝车流速度×车流密度．当20≤x ≤220时,求彩虹桥上车流量y 的最大值．学习时间t (分钟)人数占女生人数百分比0≤t ＜30420%30≤t ＜60m 15%60≤t ＜90525%90≤t ＜1206n 120≤t ＜150210%中考简单中档题题组特训(二)(时间:40分钟,分值:60分)17．(6分)计算：2tan30°－|1－3|＋(2014－2)0＋13.18．(6分)先化简,再求值：x 2－9x 2＋8x ＋16÷x －3x ＋4－xx ＋4,其中x ＝7－4.19．(6分)解不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-->+814311532x x x x ,并写出它的非负整数解．20．(12分)黔东南州某校为了解七年级学生课外学习情况,随机抽取了部分学生作调查,通过调查,将获得的数据按性别绘制成如下的女生频数分布表和男生频数分布直方图：女生频数分布表根据上面的图表解答下列问题：(1) 在女生频数分布表中,m ＝_____,n ＝______; (2)此次调查共抽取了多少名学生？(3)此次抽样中,学习时间的中位数在哪个时间段？(4)从学习时间在120～150分钟的5名学生中依次抽取两名学生调查学习效率,恰好抽到男女生各一名的概率是多少？21．(10分)已知：AB是⊙O的直径,直线CP切⊙O于点C,过点B作BD⊥CP于点D.(1)求证：△ACB∽△CDB;(2)若⊙O的半径为1,∠BCP＝30°,求图中阴影部分的面积．22．(8分)黔东南州某校九年级某班开展数学活动,小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆,小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°,小军站在点D测量旗杆顶端E点的仰角为30°.已知小明和小军相距(BD)6米,小明的身高(AB)1.5米,小军的身高(CD)1.75米,求旗杆的高EF的长．(结果精确到0.1,参考数据：2≈1.41,3≈1.73)23．(12分)黔东南州某超市计划购进一批甲、乙两种玩具,已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元;2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？(2)如果购进甲种玩具有优惠,优惠方法是：购进甲种玩具超过20件,超出部分可以享受7折优惠,若购进x(x＞0)件甲种玩具需要花费y元,请你求出y与x的函数关系式;(3)在(2)的条件下,超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种,且数量超过20件,请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．中考简单中档题题组特训(三)(时间:40分钟,分值:60分)17. (本题共6分)计算(－13)－1＋(2015－3)0－4sin 60°＋|－12|.18. (本题共6分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2（x ＋2）＞3x 3x －12≥－2,并将它的解集在数轴上表示出来．19. (本题共6分)先化简,再求值：m －33m 2－6m ÷(m ＋2－5m －2),其中m 是方程x 2＋2x －3＝0的根．20. (本题共10分)某超市计划在“十周年”庆典当天开展购物抽奖活动,凡当天在该超市购物的顾客,均有一次抽奖的机会,抽奖规则如下：将如图所示的圆形转盘平均分成四个扇形,分别标上1,2,3,4四个数字,抽奖者连续转动转盘两次,当每次转盘停止后指针所指扇形内的数为每次所得的数(若指针指在分界线时重转);当两次所得数字之和为8时,返现金20元;当两次所得数之和为7时,返现金15元;当两次所得数字之和为6时返现金10元．(1)试用树状图或列表的方法表示出一次抽奖所有可能出现的结果;(2)某顾客参加一次抽奖,能获得返还现金的概率是多少？21. (本题共10分)如图,已知PC 平分∠MPN ,点O 是PC 上任意一点,PM 与⊙O 相切于点E ,交PC 于A 、B 两点．(1)求证：PN 与⊙O 相切;(2)如果∠MPC ＝30°,PE ＝23,求劣弧BE ︵的长．22. (本题共10分)如图,已知反比例函数y ＝k x 与一次函数y ＝x ＋b 的图象在第一象限相交于点A (1,－k ＋4)．(1)试确定这两个函数的表达式;(1)求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标,并求△AOB 的面积．第22题图23. (本题共12分)今年夏天,我州某地区遭受到罕见的水灾,“水灾无情人有情”．凯里某单位给该地区某中学捐献一批饮用水和蔬菜共320件,其中饮用水比蔬菜多80件．(1)求饮用水和蔬菜各有多少件？(2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆,一次性．．．将这批饮用水和蔬菜全部运．．．往受灾地区某中学,已知每辆甲型货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件,每辆乙型货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则凯里某单位安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来;(3)在(2)的条件下,如果甲型货车每辆需付运费400元,乙型货车每辆需付运费360元．凯里某单位应选择哪种方案可使用运费最少？最少运费是多少元？中考简单中档题题组特训(四)(时间:40分钟,分值:60分)20．(本小题满分10分,(1)小题6分、(2)小题4分)(1)解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-><-2332601x x x ,并把它的解集在数轴上表示出来．(2)先阅读以下材料,然后解答问题．分解因式mx ＋nx ＋my ＋ny ＝(mx ＋nx )＋(my ＋ny )＝x (m ＋n )＋y (m ＋n )＝(m ＋n )(x ＋y );也可以mx ＋nx ＋my ＋ny ＝(mx ＋my )＋(nx ＋ny )＝m (x ＋y )＋n (x ＋y )＝(m ＋n )(x ＋y )．以上分解因式的方法称为分组分解法．请用分组分解法分解因式：a 3－b 3＋a 2b －ab 2.21．(本小题满分10分)如下是九年级某班学生适应性考试文综成绩(依次按A 、B 、C 、D 等级划分,且A 等为成绩最好)的条形统计图和扇形统计图．请根据图中的信息回答下列问题：(1)补全条形统计图;(2)求C 等所对应的扇形统计图的圆心角的度数;(3)求该班学生共有多少人？(4)如果文综成绩是B 等及B 等以上的学生才能报考示范性高中,请你用该班学生的情况估计该校九年级400名学生中,有多少名学生有资格报考示范性高中？22．(本小题满分8分)如图所示的方格地面上,标有编号A 、B 、C 的3个小方格地面是空地,另外6个小方格地面是草坪,除此以外小方格地面完全相同．(1)一只自由飞行的小鸟,将随意地落在图中所示的方格地面上,问小鸟落在草坪上的概率是多少？(2)现从3个小方格空地中任意选取2个种植草坪,则刚好选取A 和B 的2个小方格空地种植草坪的概率是多少(用树形图或列表法求解)?23．(本小题满分10分)两个长为2 cm ,宽为1 cm 的长方形,摆放在直线l 上(如图①),CE ＝2 cm ,将长方形ABCD 绕着点C 顺时针旋转a 角,将长方形EFGH 绕着点E 逆时针旋转相同的角度．(1)当旋转到顶点D 、H 重合时,连接AE 、CG ,求证△AED ≌△GCD (如图②);(2)当a ＝45°时(如图③)求证：四边形MHND 为正方形．24．(本小题满分12分)如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点G ,点F 是CD 上一点,且满足CF FD ＝13,连接AF 并延长交⊙O 于点E ,连接AD 、DE ,若CF ＝2,AF ＝3.(1)求证：△ADF ∽△AED ;(2)求FG 的长;(3)求证：tan ∠E ＝54.25．(本小题满分10分)已知某厂现有A 种金属70吨,B 种金属52吨,现计划用这两种金属生产M 、N 两种型号的合金产品共80000套．已知做一套M 型号的合金产品需要A 种金属0.6 kg ,B 种金属0.9 kg ,可获利润45元;做一套N 型号的合金产品需要A 种金属1.1 kg ,B 种金属0.4 kg ,可获利润50元．若设生产N 种型号的合金产品套数为x ,用这批金属生产这两种型号的合金产品所获总利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式,并求出自变量x 的取值范围;(2)在生产这批合金产品时,N 型号的合金产品应生产多少套,该厂所获利润最大？最大利润是多少？中考简单中档题题组特训(五)(时间:40分钟,分值:60分)21. (本题共12分)(1)计算：(13)－2＋(π－2014)0＋sin 60°＋|3－2|.(2)解方程：1x －2＝4x 2－4.四、(本题共12分)22. 如图,点B 、C 、D 都在⊙O 上,过C 点作CA ∥BD 交OD 的延长线于点A ,连接BC ,∠B ＝∠A ＝30°,BD ＝2 3.(1)求证：AC 是⊙O 的切线;(2)求由线段AC 、AD 与弧CD 所围成的阴影部分的面积(结果保留π)．第22题图五、(本题共12分)23. 我州实施新课程改革后,学生的自主学习、合作交流能力有很大提高,某学校为了了解学生自主学习、合作交流的具体情况,对部分学生进行了为期半个月的跟踪调查,并将调查结果分类,A ：特别好;B ：好;C ：一般;D ：较差．现将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图,请你根据统计图解答下列问题：(1)本次调查中,一共调查了______名同学,其中C 类女生有______名;(2)将下面的条形统计图补充完整;(3)为了共同进步,学校想从被调查的A 类和D 类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习,请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男生、一位女生的概率．六、(本题共12分)24. 为增强居民节约用电意识某市对居民用电实行阶梯收费具体收费标准见下表一户居民一个月用电量的范围 电费价格(单位：元/千瓦时)不超过160千瓦时的部分 x超过160千瓦时的部分 x ＋0.15某居民五月份用电190(1)求x 和超出部分电费单价;(2)若该户居民六月份所缴电费不低于75元且不超过84元,求该户居民六月份的用电量范围．七、阅读材料题(本题共12分)25. 已知点P (x 0,y 0)和直线y ＝kx ＋b ,则点P 到直线y ＝kx ＋b 的距离d 可用公式d ＝|kx 0－y 0＋b |1＋k 2计算． 例如：求点P (－2,1)到直线y ＝x ＋1的距离．解：因为直线y ＝x ＋1可变形为x －y ＋1＝0,其中k ＝1,b ＝1.所以点P (－2,1)到直线y ＝x ＋1的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b |1＋k 2＝|1×（－2）－1＋1|1＋12＝22＝ 2. 根据以上材料,求：(1)点P (1,1)到直线y ＝3x －2的距离,并说明点P 与直线的位置关系;(2)点P (2,－1)到直线y ＝2x －1的距离;(3)已知直线y ＝－x ＋1与y ＝－x ＋3平行,求这两条直线的距离．中考简单中档题题组特训(六)(时间:40分钟,分值:60分)21. (1)(6分)计算：(3－2014)0＋045tan －(12)－1＋8;(2)(6分)解方程：2x x －1＋11－x ＝3.22.(本题共12分) 如图所示,点O 在∠APB 的平分线上,⊙O 与P A 相切于点C.(1)求证：直线PB 与⊙O 相切;(6分)(2)PO 的延长线与⊙O 交于点E ,若⊙O 的半径为3,PC ＝4.求弦CE 的长．(6分)五、(本题共12分)23. 为了提高中学生身体素质,学校开设了A.篮球,B.足球,C.跳绳,D.羽毛球四种体育活动．为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况,在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查(每个被调查的对象必须选择而且只能在四种体育活动中选择一种),将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图(未画完整)．(1)这次调查中,一共调查了_____名学生;(3分)(2)请补全两幅统计图;(4分)(3)若有3名喜欢跳绳的学生,1名喜欢足球的学生组队外出参加一次联谊活动,欲从中选出2人担任组长(不分正副),求一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的概率．(7分)六、(本题共12分)24. 某地为了鼓励居民节约用水,决定实行两级收费制,即每月用水量不超过12吨(含12吨)时,每吨按政府补贴优惠价收费;每月用水量超过12吨,超过部分每吨按市场调节价收费,小黄家1月份用水24吨,交水费42元.2月份用水20吨,交水费32元．(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元;(5分)(2)设每月用水量为x 吨,应交水费为y 元,写出y 与x 之间的函数关系式;(5分)(3)小黄家3月份用水26吨,他家应交水费多少元？(4分)七、阅读材料题(本题共12分)25. 求不等式(2x －1)(x ＋3)>0的解集．解：根据“同号两数相乘,积为正”可得：①⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0x ＋3>0或 ②⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0x ＋3<0.解①得x >12;解②得x <－3.∴不等式的解集为x >12或x <－3.请你仿照上述方法解决下列问题：(1)求不等式(2x －3)(x ＋1)<0的解集;(6分)(2)求不等式13x －1x ＋2 ≥0的解集．(6分)。

中档题练习卷（一）一．选择题（9分）7.以方程组 x ＋y ＝10，2x ＋y ＝6 的解为坐标的点(x ，y )在( ) A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 8.反比例函数y ＝－x2的图象上有三点（x 1，-1),B (x 2，a )，C (x 3，3).当x 3 < x 2< x 1时。

a 的取值范围为( ) A. a > 3 B . a < -1 C . -1< a <3 D . a > 3或a < -19.对于数133，规定第一次操作为13＋33＋33＝55，第二次操作为53＋53＝250，如此反复操作，则第2019此操作后得到的数是（ ）A . 25B . 250C . 55D . 133 二．填空题（9分） 13.化简21+a ＋442-a 的结果是 。

14.如图,平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，AH ⊥CD 于点H ，N 为BC 中点,若∠D ＝68°,则∠NAH ＝ 。

15.如图，双曲线xky =上三点的横坐标依次为3，5，12，阴影部分的面积为2，则k 的值为___________．三．解答题20.(本题8分)如图,点A （0，6），B （2，0），C （4，8），D （2，4），将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE .(1)画出线段CE ，并计算线段CD 所扫过的图形面积；(2)将线段AB 平移得到线段CF ，使点A 与点C 重合,写出点F 的坐标,并证明CF 平分∠DCE.22.（本题10分)某游乐园有一个直轻为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形。

在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系。

(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式（不要求写自变量的取值范围） (2)王师傅喷水池内维修设备期间，喷水池意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅 站立时必须在离水池中心多少米以外？（3）经检修评信，游乐园决定对喷水池设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩第15 题图24.（本小题满分7分）如图，在平面直坐角标系中，直线221+=x y 与 x 轴交于点A ，与 y 轴交于点C ，抛物线c bx x y ++-=221经过 A ，C 两点，与 x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式； （2）点 D 为直线 AC 上方抛物线上一动点.① 连接 BC ，CD ，设直线 BD 交线段 AC 于点 E ，△CDE 的面积为1S ，△BCE 的面积为 2S ，求21S S 的最大值；中档题练习卷（二）一．选择题（9分）7．关于x 、y 的方程组321x y mx y m -=⎧⎨+=+⎩的解满足x>y ，则m 的取值范围是（ ）A ．m <2B ．m >2C ．m <1D ．m >18．如图，已知抛物线y 1=−x 2+4x 和直线y 2=2x ．我们约定：当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2，若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M =y 1=y 2．下列判断：①当x >2时，M =y 1；②若M =2，则x =1．其中正确的有( )A ．①②B ．①C ．②D ．无法判断9.如图，在3×3的网格中，与△ABC 成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有( )A.5个B.6个C.7个D.8个二．填空题（9分）三．解答题（25分）20．(本题8分)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt △ABC 的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为(−7，1)，点B 的坐标为(−3，1)，点C 的坐标为(−3，3) ．(1)若P (m ，n )为Rt △ABC 内一点，平移Rt △ABC 得到Rt △A 1B 1C 1，使点P (m ，n )移到点P 1(m +6，n )处，试在图上画出Rt △A 1B 1C 1，并直接写出点A 1的坐标为___；CBA（1）求y与x的函数关系式；（2）售价为多少时利润最大？最大利润为多少？（3）由于原材料价格上涨，导致每件成本增加a元，结果发现当售价为60元和售价为80元时，利润相同，求a 的值．24．（本题7分）如图，抛物线y＝ax2＋c（a，c为常数，且a≠0）经过点C(0，235)和点P(1，32)(1) 求抛物线的解析式(2) 在抛物线上是否存在点D（不与点P重合），使得以CD为直径的圆恰好经过点P？若存在，试求出点D的坐标，若不存在，请说明理由中档题练习卷（三）一．选择题（9分）7.若二元一次方程组{3153=+=-y x y x 的解为{ax b y ==，则a -b 的值为（ ）A. 1B. 3C.41- D. 47 8.观察“田”字中各数之间的关系：...则a+d -b -c 的值为（ ）A. 52B. -52C. 51D. -519.将函数)0(22≥==x x x y 的图象沿y 轴翻折得到一个新的图象，前后两个图象其实就是函数x x y 22-=的图象，关于x 的方程a x x =-22在-2＜x ＜2的范围内恰有两个实数根时，a 的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 21- D. -1 二．填空题（9分）13. 化简：aaa a ----12112的结果为_______. 14.如图， □ABCD 与 □DCFE 的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°。

第二编中档题型突破专项训练篇中档题型训练(一) 数与式的运算与求值命题规律整式与分式的化简与求值，纵观怀化7年中考往往以计算题、化简求值题的形式出现，属基础题．复习时要熟练掌握实数的各种运算，并注意混合运算中的符号与运算顺序；在整式化简时要灵活运用乘法公式及运算律；在分式的化简时要灵活运用分解因式知识，分式的化简求值，还应注意整体思想和各种解题技巧．命题预测2017年中考此考点仍为必考内容且至少有一大题，也可以既有大题又有小题.实数的运算【例1】(2015巴中中考)计算：|－3|＋2sin45°＋tan60°－(－13)－1－12＋(π－3)0.【解析】先理清和熟悉每项小单元的运算方法，把握运算的符号技巧．【学生解答】解：原式＝3＋2×22＋3－(－3)－23＋1＝3＋1＋3＋3－23＋1＝5..0π＋|3－|－°60sin 2＋2 0161)－(计算：)黄石中考2016(．1 2.＝1＋3－322×＋1解：原式＝.23－°30sin 2＋4|－|＋9计算：)孝感中考1620(．2 1.＝－9－1＋7＝9－122×＋4＋3解：原式＝.02 016)－(＋°60tan 3－2 0161)－(－27计算：)金华中考2016(．30.＝1＋33×－1－33解：原式＝.0)3－1－(＋°60sin 2＋|3＋1－|－－212计算：)白银中考2016(．4 6.＝1＋3＋1＋3－4解：原式＝整式的运算与求值.33＝y ，1＝－x 其中，)÷2xy 38xy －y 3(4x －)y －)(x y ＋(x 再求值：，先化简)娄底中考2015(】2【例【解析】认真观察式子特点，灵活运用乘法公式化简，再考虑代入求值．0.＝1＋1原式＝－，时33＝y ，1＝－x 当，23y ＋2x ＝－24y ＋22x －2y －2x 【学生解答】解：原式＝．b)＋b(2a －2b)＋(a 计算：)卷A 重庆中考2016(．5.2a ＝2b －2ab －2b ＋2ab ＋2a 解：原式＝.2＝n ，3＝m 其中，2n)－m(m －2n)－(m 再求值：，先化简)邵阳中考2016(．6 2.原式＝，时2＝n 当.2n ＝2mn ＋2m －2n ＋2mn －2m 解：原式＝ 3.－x)＋)(2x －(1＋22)＋(x ＝A 已知多项式)广州中考2015(．7(1)化简多项式A ；的值．A 求，6＝21)＋(x 若(2))1＋x 3(＝3＋3x ＝A ∴，6±＝1＋x 则，6＝2)1＋(2)∵(x ；3＋3x ＝3－2x －x ＋2x －2＋4＋4x ＋2x ＝(1)A 解：.63±＝分式的化简求值的值．x ＋6x －2（x －1）x －4求，0＝1＋4x －2x 已知)菏泽中考2015(】3【例【解析】先化简所求式子，再看其结果与已知条件之间的联系，能否整体代入．原1.＝－4x －2x ∴，0＝1＋4x －2x ∵，x2－4x ＋24x2－4x ＝2x （x －1）－（x －4）（x ＋6）x （x －4）【学生解答】解：原式＝23.＝－－1＋24－1式＝ 2.＝－x 其中，x ＋1x －1)÷1－x －x2－1x2－2x ＋1(再求值：，先化简)雅安中考2016(．8解：原式＝2－x.当x ＝－2时，原式＝ 4.0.＝4＋2x 满足x 其中，x2－1x2－6x ＋9÷x x －3－1x －3再求值：，先化简)广安中考2016(．9 5.原式＝∴，2＝－x ∴，0＝4＋2x ∵.x －3x ＋1式＝解：原.°45an t ＋°60sin 2＝a 其中，的值1a ＋1)÷2a －3a2－1－2a ＋1(化简，再求代数式先)哈尔滨中考2016(．10.33原式＝∴，1＋3＝a ∵.1a －1解：原式＝的a 三个数中选择适当的数作为2，1，0再从，a a2－4)÷a a ＋2－3a a －2(先化简代数式)六盘水中考2015(．11值代入求值．解：原式＝2a ＋8.当a ＝1时，原式＝10..6＝y ，2＝x 其中，x2－y2x2－2xy ＋y2)÷1－x －x2－y x (再求值：，先化简)烟台中考2016(．12.3＋1原式＝－，时6＝y ，2＝x 当.－x ＋y x 解：原式＝ 1.－（x ＋2）（x2－6x ＋9）x2－43)÷－(x ＝A 已知)毕节中考2016(．13(1)化简A ；的值．A 求，为整数时x 且2x －1<x ，1－x 3<43满足不等式组x 若(2)；1x －3原式＝(1)解：(2)解不等式组得－1<x<1，而x 为整数，∴x ＝0，∴A ＝1x －3＝－13.。

九年级上册基础题中档题以下是一些九年级上册基础题中档题，这些题目旨在考察学生的基础知识、基本技能和数学思维能力。

1. 计算：√8 - √2 + 2sin 45° - - 2．2. 解不等式组：{2x - 1 > x + 1,3(x - 1) < 4(x + 1).}3. 解方程：x^2 - 2x - 3 = 0．4. 若分式方程 (x - 3)/(x - 2) - 2 = k/(x - 2) 有增根，求 k 的值．5. 小亮用科学记数法表示一个数，把它表示为× 10^n，其中整数 n 的值是多少？如果这个数是一个两位数，那么 n 的值是多少？6. 若扇形的圆心角为$45{^\circ}$，半径为$3$，则该扇形的弧长为____．7. 下列计算正确的是( )A.$3a + 2b = 5ab$B.$5a^{2} - 2b^{2} = 3$C.$7a + a = 7a^{2}$D.$(x - 1)^{2} = x^{2} + 1 - 2x$8. 下列各式中，是一元一次不等式的是( )A.$3 + 5 > 8$B.$x + y > 2$C.$x^{2} > 1$D.$x - 1 \leqslant 3$9. 若关于 x 的方程 ax^2 + bx + c = x^2 - x + 2 有两个不相等的实数根，则 a、b、c 的取值范围是 _______．10. 下列各式中，正确的是 ( )A. (a - b)^2 = a^2 - b^2B. a^2 + b^2 = (a + b)^2C. (a + b)^2 = a^2 + b^2D. (a - b)^2 = (b - a)^2以上这些题目是九年级上册基础题中档题的一些示例，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题能力。

1 数与式的运算与求值本专题主要考查实数的运算、整式与分式的化简与求值，纵观遵义近五年中考往往以计算题、化简求值题的形式出现，属基础题．复习时要熟练掌握实数的各种运算，并注意混合运算中的符号与运算顺序；在整式化简时要灵活运用乘法公式及运算律；在分式的化简时要灵活运用因式分解知识，分式的化简求值，还应注意整体思想和各种解题技巧．中考重难点突破实数的运算【例1】(乐山中考)计算：2sin60°＋|1－3|＋2 0170－27.【解析】特殊角三角函数要牢记．【答案】解：原式＝2×32＋3－1＋1－3 3 ＝－ 3.1．(达州中考)计算：2 0170－|1－2|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＋2cos45°.解：原式＝1－2＋1＋3＋2×22＝5－2＋ 2＝5.2．(泸州中考)计算：(－3)2＋2 0170－18×sin 45°.解：原式＝9＋1－32×22＝10－3＝7.3．(桂林中考)计算：(－2 017)0－sin 30°＋8＋2－1.解：原式＝1－12＋22＋12＝1＋2 2.4．(兰州中考)计算：(2－3)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2－|－2|－2cos 60°.解：原式＝1＋4－2－2×12 ＝2.整式的运算与求法【例2】(怀化中考)先化简，再求值：(2a －1)2－2(a ＋1)(a －1)－a(a －2)，其中a ＝2＋1.【解析】先利用公式及去括号法则化简，再代入求值．【答案】解：原式＝4a 2－4a ＋1－2a 2＋2－a 2＋2a＝a 2－2a ＋3，当a ＝2＋1时，原式＝3＋22－22－2＋3＝4.5．(常州中考)先化简，再求值：(x＋2)(x－2)－x(x－1)，其中x＝－2.解：原式＝x2－4－x2＋x＝x－4，当x＝－2时，原式＝－6.6．(长春中考)先化简，再求值：3a(a2＋2a＋1)－2(a＋1)2，其中a＝2.解：原式＝3a3＋6a2＋3a－2a2－4a－2＝3a3＋4a2－a－2，当a＝2时，原式＝24＋16－2－2＝36.7．(河南中考)先化简，再求值：(2x＋y)2＋(x－y)(x＋y)－5x(x－y)，其中x＝2＋1，y＝2－1.解：原式＝4x2＋4xy＋y2＋x2－y2－5x2＋5xy＝9xy，当x＝2＋1，y＝2－1时，原式＝9(2＋1)(2－1)＝9×(2－1)＝9×1＝9.8．已知(x－2＋3)2＋|y＋2＋3|＝0，求(x＋2y)2－(x－2y)2的值．解：∵(x－2＋3)2＋|y＋2＋3|＝0，∴x＝2－3，y＝－2－3，又∵(x＋2y)2－(x－2y)2＝x2＋4xy＋4y2－x2＋4xy－4y2＝8xy，把x＝2－3，y＝－2－3代入得，原式＝8×(2－3)×(－2－3)＝－8.分式的化简求值【例3】(鄂州中考)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋3－3x x ＋1÷x 2－x x ＋1，其中x 的值从不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2－x≤3，2x －4＜1的整数解中选取． 【解析】先化简，再解不等式组．【答案】解：原式＝(x 2－1x ＋1＋3－3x x ＋1)÷x （x －1）x ＋1＝x 2－3x ＋2x ＋1·x ＋1x （x －1）＝（x －1）（x －2）x ＋1·x ＋1x （x －1） ＝x －2x ， 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2－x≤3，2x －4＜1，得－1≤x＜52， ∴不等式组的整数解有－1，0，1，2，∵不等式有意义时x≠±1、0，∴x ＝2，则原式＝0.9．(常德中考)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3x －3－13－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2x ＋1x 2－3x ＋2－2x －2，其中x ＝4. 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3x －3＋1x －3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －1）2（x －1）（x －2）－2x －2 ＝（x －2）2x －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2－2x －2 ＝（x －2）2x －3·x －3x －2＝x －2，当x ＝4时，原式＝4－2＝2.10．(东营中考)先化简，再求值： ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1－a ＋1÷a 2－4a ＋4a ＋1＋4a －2－a ，并从－1，0，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值． 解：原式＝3－（a －1）（a ＋1）a ＋1·a ＋1（a －2）2＋4a －2－a ＝－（a ＋2）（a －2）（a －2）2＋4a －2－a ＝－a －2a －2＋4a －2－a ＝－（a －2）a －2－a ＝－a －1，当a ＝0时，原式＝－0－1＝－1.11．(聊城中考)先化简，再求值：2－3x ＋y x －2y ÷9x 2＋6xy ＋y 2x 2－4y 2，其中x ＝3，y ＝－4.解：原式＝2－3x ＋y x －2y ·（x ＋2y ）（x －2y ）（3x ＋y ）2 ＝2－x ＋2y 3x ＋y＝2（3x ＋y ）－（x ＋2y ）3x ＋y ＝6x ＋2y －x －2y 3x ＋y ＝5x 3x ＋y， 当x ＝3，y ＝－4时，原式＝5×33×3＋（－4）＝159－4＝155＝3. 12．(玉林中考)化简：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1－3a －1÷a －22a －2，然后给a 从1，2，3中选取一个合适的数代入求值． 解：原式＝（a ＋1）（a －1）－3a －1·2（a －1）a －2＝（a ＋2）（a －2）a －1·2（a －1）a －2＝2(a ＋2)＝2a ＋4，当a ＝3时，原式＝6＋4＝10.13．(盐城中考)先化简，再求值： x ＋3x －2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2－5x －2，其中x ＝3＋ 3. 解：原式＝x ＋3x －2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x －2－5x －2 ＝x ＋3x －2÷x 2－9x －2＝x ＋3x －2·x －2（x ＋3）（x －3） ＝1x －3， 当x ＝3＋3时，原式＝13＋3－3＝13＝33. 14．(荆州中考)先化简，再求值：x ＋1x －1－1x 2－1÷1x ＋1，其中x ＝2. 解：原式＝x ＋1x －1－1（x －1）（x ＋1）·(x ＋1)＝x ＋1x －1－1x －1 ＝x x －1， 当x ＝2时，原式＝22－1＝21＝2.2 方程(组)、不等式(组)的解法及其应用本专题主要考查方程(组)、不等式(组)的解法以及方程(组)和不等式(组)的应用，往往以解答题的形式出现，属中档题．复习时要熟练掌握方程(组)与不等式(组)的解法以及它们的应用，并会检验解答结果的正确与否．,中考重难点突破方程(组)的解法【例1】(广东中考模拟)已知二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝14，－3x ＋2y ＝21的解为x ＝a ，y ＝b ，求a ＋b 的值． 【解析】根据二元一次方程组的特点，灵活选择代入消元法或加减消元法即可．【答案】解：∵⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝14，－3x ＋2y ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12， ∴a ＝1，b ＝12，∴a ＋b ＝13.1．(北京中考)关于x 的一元二次方程x 2－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一根小于1，求k 的取值范围．解：(1)∵在方程x 2－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝0中，Δ＝[－(k ＋3)]2－4×1×(2k＋2)＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，∴方程总有两个实数根；(2)∵x 2－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝(x －2)(x －k －1)＝0， ∴x 1＝2，x 2＝k ＋1.∵方程有一根小于1，∴k ＋1＜1，解得k ＜0，∴k 的取值范围为k ＜0.2．(陕西中考)解方程：x ＋3x －3－2x ＋3＝1. 解：去分母，得(x ＋3)2－2(x －3)＝(x －3)(x ＋3)， 去括号，得x 2＋6x ＋9－2x ＋6＝x 2－9，移项，系数化为1，得x ＝－6，经检验，x ＝－6是原方程的解. 解不等式(组)【例2】(黔东南中考)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3（x －2）≥4，①2x －15＜x ＋12，②并把解集在数轴上表示出来．【解析】先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条数轴表示出来．【答案】解：由①得：－2x≥－2，即x≤1，由②得：4x－2＜5x＋5，即x＞－7，所以－7＜x≤1.在数轴上表示为：3．(枣庄中考)x 取哪些整数值时，不等式5x ＋2＞3(x －1)与12x ≤2－32x 都成立？ 解：根据题意解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2＞3（x －1），①12x ≤2－32x ，② 解不等式①，得x ＞－52，解不等式②，得x≤1， ∴－52＜x≤1，故满足条件的整数有－2，－1，0，1. 方程(组)、不等式(组)的应用【例3】(常德中考)收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．请问：(1)2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少；(2)2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？【解析】(1)一般用增长后的量＝增长前的量×(1＋增长率)，2016年收到微信红包金额400(1＋x)元，在2016年的基础上再增长x，就是2017年收到微信红包金额400(1＋x)(1＋x)，由此可列出方程400(1＋x)2＝484，求解即可；(2)设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元，则她妹妹收到微信红包为(2y＋34)元，根据她们共收到微信红包484元列出方程并解答．【答案】解：(1)设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是x，依题意得：400(1＋x)2＝484，解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(舍去)．答：2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%；(2)设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元．依题意得：2y＋34＋y＝484，解得y＝150，所以484－150＝334(元)．答：甜甜在2017年六一收到微信红包为150元，则她妹妹收到微信红包为334元．4．(重庆中考)某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400 kg，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克；(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100 kg，销售均价为30元/kg，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200 kg，销售均价为20元/kg，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．解：(1)设该果农今年收获樱桃x kg，根据题意得：400－x≤7x，解得x≥50.答：该果农今年收获樱桃至少50 kg；(2)由题意可得：100(1－m%)×30＋200×(1＋2m%)×20(1－m%)＝100×30＋200×20，令m%＝y，原方程可化为：3 000(1－y)＋4 000(1＋2y)(1－y)＝7 000，整理可得：8y2－y＝0，解得y1＝0，y2＝0.125，∴m1＝0(舍去)，m2＝12.5.答：m的值为12.5.5．(桂林中考)为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5 000万元，2017年投入基础教育经费7 200万元．(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1 500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3 500元，购买一台实物投影需2 000元，则最多可购买电脑多少台？解：(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x.根据题意得5 000(1＋x)2＝7 200，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(舍去)．答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%；(2)2018年投入基础教育经费为7 200×(1＋20%)＝8 640(万元)，设购买电脑m 台，则购买实物投影仪(1 500－m)台，根据题意得：3 500m ＋2 000(1 500－m)≤86 400 000×5%，解得m≤880.答：2018年最多可购买电脑880台.6．(安顺中考)某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1 000元，求商场共有几种进货方案？解：(1)设甲种玩具进价x 元/件，则乙种玩具进价为(40－x)元/件，根据题意得：90x ＝15040－x，解得x ＝15， 经检验，x ＝15是原方程的解．∴40－x ＝25.∴甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；(2)设购进甲种玩具y 件，则购进乙种玩具(48－y)件，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＜48－y ，15y ＋25（48－y ）≤1 000，解得20≤y＜24. ∵y 是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，∴y 取20，21，22，23，共有4种方案.7.(广州中考)甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的43倍，甲队比乙队多筑路20天． (1)求乙队筑路的总公里数；(2)若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5∶8，求乙队平均每天筑路多少公里．解：(1)60×43＝80(公里)． 答：乙队筑路的总公里数为80公里；(2)设乙队平均每天筑路8x 公里，则甲队平均每天筑路5x 公里．根据题意得：605x －808x＝20，解得x ＝0.1， 经检验，x ＝0.1是原方程的解，∴8x ＝0.8.答：乙队平均每天筑路0.8公里.8．(益阳中考)我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐(餐饮＋住宿)，一年时间就收回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元．(1)求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元；(2)今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？解：(1)设去年餐饮利润x 万元，住宿利润y 万元，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20×80%，x ＝2y ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝5， 答：去年餐饮利润11万元，住宿利润5万元；(2)设今年土特产利润m 万元，依题意，得16＋16×(1＋10%)＋m －20－11≥10，解得m≥7.4.答：今年土特产销售至少有7.4万元的利润.9．(邵阳中考)某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．(1)求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；(2)由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．解：(1)设每辆小客车的乘客座位数是x 个，大客车的乘客座位数是y 个，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝17，6y ＋5x ＝300，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝35.答：每辆小客车的乘客座位数是18个，大客车的乘客座位数是35个；(2)设租用a 辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则18a ＋35(11－a)≥300＋30，解得a≤3417，符合条件的a 最大整数为3， 答：租用小客车数量的最大值为3.10．(山西中考)“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子(去皮后则称为“小米”)，被誉为中华民族的哺育作物．我省有着“小杂粮王国”的美誉，谷子作为我省杂粮谷物中的大类，其种植面积已连续三年全国第一.2016年全国谷子种植面积为2 000万亩，年总产量为150万吨，我省谷子平均亩产量为160 kg ，国内其他地区谷子的平均亩产量为60 kg ，请解答下列问题：(1)求我省2016年谷子的种植面积是多少万亩；(2)2017年，若我省谷子的平均亩产量仍保持160 kg 不变，要使我省谷子的年总产量不低于52万吨，那么，今年我省至少应再多种植多少万亩的谷子？解：(1)设我省2016年谷子的种植面积是x 万亩，其他地区谷子的种植面积是y 万亩，依题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2 000，1601 000x ＋1601 000y ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝300，y ＝1 700， 答：我省2016年谷子的种植面积是300万亩；(2)设我省应种植z 万亩的谷子，依题意有1601 000z ≥52，解得z≥325，325－300＝25(万亩)． 答：今年我省至少应再多种植25万亩的谷子3 一次函数和反比例函数结合一次函数与反比例函数的综合是中考命题的重点内容．侧重考查用待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式及解决相关问题．中考重难点突破利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式【例1】(泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的斜边OA 在x 轴的正半轴上，∠OBA ＝90°，且tan ∠AOB ＝12，OB ＝25，反比例函数y ＝k x的图象经过点B.(1)求反比例函数的解析式；(2)若△AMB 与△AOB 关于直线AB 对称，一次函数y ＝mx ＋n 的图象过点M ，A ，求一次函数的解析式．【解析】(1)过点B 作BD⊥OA 于点D ，设BD ＝a ，通过解Rt △OBD 得到OD ＝2BD.然后利用勾股定理列出关于a 的方程并解答即可；(2)欲求直线AM 的解析式，只需推知点A ，M 的坐标即可．通过解Rt △AOB 求得OA ＝5，则A(5，0)．根据对称的性质得到：OM ＝2OB ，结合B(4，2)求得M(8，4)．然后由待定系数法求一次函数解析式即可．【答案】解：(1)过点B 作BD⊥OA 于点D ，设BD ＝a ，∵tan ∠AOB ＝BD OD ＝12， ∴OD ＝2BD.∵∠ODB ＝90°，OB ＝25，∴a 2＋(2a)2＝(25)2，解得a ＝±2(－2舍去)，∴a ＝2.∴OD＝4，∴B(4，2)，∴k ＝4×2＝8，∴反比例函数解析式为y ＝8x； (2)∵tan ∠AOB ＝12，OB ＝25， ∴AB ＝12OB ＝5， ∴OA ＝OB 2＋AB 2＝（25）2＋（5）2＝5， ∴A(5，0)．又∵△AMB 与△AOB 关于直线AB 对称，B(4，2)， ∴OM ＝2OB ，∴M(8，4)．把点M ，A 的坐标分别代入y ＝mx ＋n ，得⎩⎪⎨⎪⎧5m ＋n ＝0，8m ＋n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝43，n ＝－203，∴一次函数解析式为：y ＝43x －203.1．(绵阳中考)如图，设反比例函数的解析式为y ＝3kx(k ＞0)．(1)若该反比例函数与正比例函数y ＝2x 的图象有一个交点的纵坐标为2，求k 的值；(2)若该反比例函数与过点M(－2，0)的直线l ：y ＝kx ＋b 的图象交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积为163时，求直线l 的解析式．解：(1)由题意A(1，2)，把A(1，2)代入y ＝3k x ，得到3k ＝2，∴k ＝23；(2)把M(－2，0)代入y ＝kx ＋b ，可得b ＝2k ， ∴y ＝kx ＋2k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3k x ，y ＝kx ＋2k 消去y 得到x 2＋2x －3＝0， 解得x ＝－3或1，∴B(－3，－k)，A(1，3k)， ∵△ABO 的面积为163，∴12·2·3k ＋12·2·k ＝163， 解得k ＝43，∴直线l 的解析式为y ＝43x ＋83.与面积有关的问题【例2】(遵义十一中二模)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx 与双曲线y ＝nx 相交于A(－1，a)，B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，△AOC 的面积是1.(1)求m ，n 的值； (2)求直线AC 的解析式．【解析】(1)因为A(－1，a)，所以B 的横坐标为1，即C(1，0)．再由S △AOC ＝1，得A(－1，2)，再代入y ＝mx 与y ＝nx即可；(2)将A ，C 坐标代入即可．【答案】解：(1)∵直线y ＝mx 与双曲线y ＝nx 相交于A(－1，a)，B 两点，∴B 点横坐标为1，即C(1，0)，∵S △AOC ＝12·|y A |·OC ＝1，∴A(－1，2)，将A(－1，2)代入y ＝mx ，y ＝nx ，得m ＝－2，n ＝－2；(2)设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝2，k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1. ∴直线AC 的解析式为y ＝－x ＋1.2．(恩施中考)如图，∠AOB＝90°，反比例函数y＝－2x(x＜0)的图象过点A(－1，a)，反比例函数y＝kx(k＞0，x＞0)的图象过点B，且AB∥x轴．(1)求a和k的值；(2)过点B作MN∥OA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线y＝kx于另一点，求△OBC的面积．解：(1)∵反比例函数y＝－2x(x＜0)的图象过点A(－1，a)，∴a＝－2－1＝2，∴A(－1，2)，过A作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，∴AE＝2，OE＝1，∵AB∥x轴，∴BF＝2，∵∠AOB＝90°，∴∠EAO＋∠AOE＝∠AOE＋∠BOF＝90°，∴∠EAO ＝∠BOF，∴△AEO ∽△OFB ， ∴AE OF ＝OEBF，∴OF ＝4， ∴B(4，2)，∴k ＝4×2＝8； (2)∵直线OA 过A(－1，2)， ∴直线AO 的解析式为y ＝－2x ， ∵MN ∥OA ，∴设直线MN 的解析式为y ＝－2x ＋b ， ∴2＝－2×4＋b ，∴b ＝10， ∴直线MN 的解析式为y ＝－2x ＋10， ∵直线MN 交x 轴于点M ，交y 轴于点N ， ∴M(5，0)，N(0，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋10，y ＝8x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，∴C(1，8)，∴S △OBC ＝S △OMN －S △OCN －S △OBM ＝12×5×10－12×10×1－12×5×2 ＝15.与最小(大)值有关的问题【例3】一次函数y ＝mx ＋5的图象与反比例函数y ＝kx (k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为M.(1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△OAM 的面积S ；(3)在y 轴上求一点P ，使PA ＋PB 最小．【解析】(1)根据待定系数法分别求出反比例函数与一次函数解析式即可；(2)根据反比例函数的性质，xy ＝k 直接求出面积即可；(3)作点A 关于y 轴的对称点N ，连接BN 交y 轴于点P ，则点P 即为所求．【答案】解：(1)将B(4，1)代入y ＝k x ，得1＝k 4.∴k ＝4，∴y ＝4x，将B(4，1)代入y ＝mx ＋5，得1＝4m ＋5， ∴m ＝－1，∴y ＝－x ＋5；(2)在y ＝4x 中，令x ＝1，解得y ＝4，∴A(1，4)，∴S ＝12×1×4＝2；(3)作点A 关于y 轴的对称点N ，则N(－1，4)， 连接BN 交y 轴于点P ，点P 即为所求． 设直线BN 的关系式为y ＝kx ＋b ， 由⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝1，－k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－35，b ＝175，y ＝－35x ＋175，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫0，175.3．(株洲中考)如图所示，Rt △PAB 的直角顶点P(3，4)在函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，顶点A ，B 在函数y ＝tx (x ＞0，0＜t ＜k)的图象上，PA ∥y 轴，连接OP ，OA ，记△OPA 的面积为S △OPA ，△PAB 的面积为S △PAB ，设w ＝S △OPA －S △PA B .(1)求k 的值以及w 关于t 的解析式；(2)若用w max 和w min 分别表示函数w 的最大值和最小值，令T ＝w max ＋a 2－a ，其中a 为实数，求T min . 解：(1)∵点P(3，4)，∴在y ＝t x 中，当x ＝3时，y ＝t 3，即点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，t 3， 当y ＝4时，x ＝t 4，即点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4，4，则S △PAB ＝12·PA ·PB ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4－t 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3－t 4，延长PA 交x 轴于点C ，则PC⊥x 轴， 又S △OPA ＝S △OPC －S △OAC ＝12×3×4－12t ＝6－12t ，∴w ＝6－12t －12⎝ ⎛⎭⎪⎫4－t 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3－t 4＝－124t 2＋12t ；(2)∵w＝－124t 2＋12t＝－124(t －6)2＋32，∴w max ＝32，则T ＝w max ＋a 2－a ＝a 2－a ＋32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋54，∴当a ＝12时，T min ＝54.与平移有关的问题【例4】(遵义二中三模)如图，直线y ＝12x 与双曲线y ＝k x (k>0，x>0)交于点A ，将直线y ＝12x 向上平移4个单位长度后与y 轴交于点C ，与双曲线y ＝kx(k>0，x>0)交于点B ，若OA ＝3BC ，求k 的值．【解析】分别过点A ，B 作AD⊥x 轴，BE ⊥x 轴，CF ⊥BE 于点F ，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ，32x ，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ＋4. 【答案】解：∵将直线y ＝12x 向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，∴平移后直线的解析式为y ＝12x ＋4，分别过点A ，B 作AD⊥x 轴，BE ⊥x 轴，CF ⊥BE 于点F ， 设A ⎝⎛⎭⎪⎫3x ，32x ， ∵OA ＝3BC ，BC ∥OA ，CF ∥x 轴，∴△BCF ∽△AOD ，∴CF ＝13OD ，又∵点B 在直线y ＝12x ＋4上，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ＋4， ∵点A ，B 在双曲线y ＝kx(x>0)上，∴3x ×32x ＝x×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，解得x 1＝1，x 2＝0(舍去)， ∴k ＝3×1×32×1＝92.4．(贵阳中考)如图，直线y ＝2x ＋6与反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象交于点A(1，m)，与x 轴交于点B ，平行于x 轴的直线y ＝n(0＜n ＜6)交反比例函数的图象于点M ，交AB 于点N ，连接BM.(1)求m 的值和反比例函数的解析式；(2)直线y ＝n 沿y 轴方向平移，当n 为何值时，△BMN 的面积最大？ 解：(1)∵直线y ＝2x ＋6经过点A(1，m)， ∴m ＝2×1＋6＝8，∴A(1，8)， ∵反比例函数经过点A(1，8)，∴8＝k 1，∴k ＝8，∴反比例函数的解析式为y ＝8x；(2)由题意，设点M ，N 的坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8n ，n ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －62，n ，∵0＜n ＜6，∴n －62＜0， ∴S △BMN ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫|n －62|＋|8n |×n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－n －62＋8n ×n ＝－114(n －3)2＋254，∴n ＝3时，△BMN 的面积最大.4 三角形、四边形中的相关证明及计算三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查；四边形中要特别关注平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，以及运用其性质解决有关计算的问题．中考重难点突破三角形的有关计算及证明【例1】(荆门中考)已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，∠C ＝90°，OB ＝25，OC ＝20，若点M 是边OC 上的一个动点(与点O ，C 不重合)，过点M 作MN∥OB 交BC 于点N.(1)求点C 的坐标；(2)当△MCN 的周长与四边形OMNB 的周长相等时，求CM 的长；(3)在OB 上是否存在点Q ，使得△MNQ 为等腰直角三角形？若存在，请求出此时MN 的长；若不存在，请说明理由．【解析】(1)如图①，过C 作CH⊥OB 于H ，根据勾股定理得到BC ＝OB 2－OC 2＝252－202＝15，根据三角形的面积公式得到CH ＝OC·BC OB ＝20×1525＝12，由勾股定理得到OH ＝OC 2－CH 2＝16，于是得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到CM CN ＝OC BC ＝2015＝43，设CM ＝x ，则CN ＝34x ，根据已知条件列方程即可得到结论；(3)如图②，由(2)知，当CM ＝x ，则C N ＝34x ，MN ＝54x ，①当∠NMQ 1＝90°，MN ＝MQ 1时，②当∠MNQ 2＝90°，MN ＝NQ 2时；③当∠MQN＝90°，MQ ＝NQ 时，根据相似三角形的性质即可得到结论．【答案】解：(1)如图，过C 作CH⊥OB 于H ，∵∠C ＝90°，OB ＝25，OC ＝20，∴BC ＝OB 2－OC 2＝252－202＝15.∵S △OBC ＝12OB ·CH ＝12OC ·BC，∴CH ＝OC ·BC OB ＝20×1525＝12，∴OH ＝OC 2－CH 2＝16，∴C(16，－12)；(2)∵MN∥OB，∴△CNM ∽△CBO ，∴CMCN ＝OCBC ＝2015＝43，∴设CM ＝x ，则CN ＝34x.∵△MCN 的周长与四边形OMNB 的周长相等，∴CM ＋CN ＋MN ＝OM ＋MN ＋BN ＋OB ，即x ＋34x ＋MN ＝20－x ＋MN ＋15－34x ＋25，解得x ＝1207，∴CM ＝1207；(3)由(2)知，当CM ＝x ，则CN ＝34x ，MN ＝54x ，①当∠NMQ 1＝90°，MN ＝MQ 1时，如图①，∵△OMQ 1∽△OBC ，∴MQ 1BC ＝OMOB .又∵MN＝MQ 1，∴54x 15＝20－x25，∴x ＝24037，∴MN ＝54x ＝54×24037＝30037；,图①) ,图②) ②当∠MNQ 2＝90°，MN ＝NQ 2时，如图①，此时，四边形MNQ 2Q 1是正方形，∴NQ 2＝MQ 1＝MN ，∴MN ＝30037；③当∠MQN＝90°，MQ ＝NQ 时，如图②，过M 作MG⊥OB 于G ，∵MN ＝2MQ ，MQ ＝2MG ，∴MN ＝2MG ，∴MG ＝58x.又∵△OMG∽△OBC，∴MG BC ＝OM OB ，∴58x 15＝20－x 25，∴x ＝48049，∴MN ＝54x ＝60049. ∴综上所述，符合条件的MN 的长为3007或60049.1．(北辰校级模拟)已知，点O 是等边△ABC 内的任一点，连接OA ，OB ，OC.(1)如图①，已知∠AOB ＝150°，∠BOC＝120°，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC. ①∠DAO 的度数是______；②用等式表示线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系，并证明；(2)设∠AOB＝α，∠BOC ＝β.①当α，β满足什么关系时，OA ＋OB ＋OC 有最小值？请在图②中画出符合条件的图形，并说明理由； ②若等边△ABC 的边长为1，直接写出OA ＋OB ＋OC 的最小值．解：(1)①90°；②线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2＋OB2＝OC2.如图①，连接OD.∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△ADC≌△BOC，∠OCD＝60°.∴CD＝OC，∠ADC＝∠BOC＝120°，AD＝OB.∴△OCD是等边三角形，∴OC＝OD＝CD，∠COD＝∠CDO＝60°，∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，∴∠AOC＝90°，∴∠AOD＝30°，∠ADO＝60°.∴∠DAO＝90°.在Rt△ADO中，∠DAO＝90°，∴OA2＋AD2＝OD2.∴OA2＋OB2＝OC2.,图①),图②) (2)①当α＝β＝120°时，OA＋OB＋OC有最小值．作图如图②，将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′.∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′＝∠ACA′＝60°.∴O′C＝OC，O′A′＝OA，A′C＝AC，∠A′O′C＝∠AOC.∴△OC O′是等边三角形．∴OC＝O′C＝OO′，∠COO′＝∠CO′O＝60°.∵∠AOB＝∠BOC＝120°，∴∠AOC＝∠A′O′C＝120°，∴∠BOO′＝∠OO′A′＝180°，∴B，O，O′，A′四点共线，∴OA＋OB＋OC＝O′A′＋OB＋OO′＝BA′时值最小；②当等边△ABC的边长为1时，OA＋OB＋OC的最小值A′B＝ 3.四边形的有关计算及证明【例2】(广东中考模拟)如图，等边△ABO放置在平面直角坐标系中，OA＝4，动点P，Q同时从O，B 两点出发，分别沿OA，BO方向匀速运动，它们的速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点A时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为x(s)(0＜x＜4)，解答下列问题：(1)求点Q的坐标；(用含x的代数式表示)(2)设△OPQ的面积为S，求S与x之间的函数关系式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？(3)是否存在某个时刻x，使△OPQ的面积为334个平方单位？若存在，求出相应的x值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)过点Q作QD⊥OA于点D，解直角三角形QOD，分别求出OD，QD和x的关系式，即可得到点Q的坐标；(2)由三角形面积公式可得s与x之间的二次函数关系式，然后利用配方法求得其最大值即可；(3)存在某个时刻x 的值，使△OPQ 的面积为334个平方单位，由(2)可知把y ＝334代入求出对应的x 值即可．【答案】解：(1)过点Q 作QD⊥OA 于点D ，∵△ABO 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°，∵动点Q 从B 点出发，速度为每秒1个单位长度，∴BQ ＝x ，∴OQ ＝4－x ，在Rt △QOD 中，OD ＝OQ·cos 60°＝(4－x)×12＝2－12x ， QD ＝OQ·sin 60°＝(4－x)×32＝23－32x ， ∴点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12x ，23－32x ； (2)∵动点P 从O 点出发，速度为每秒1个单位长度，∴OP ＝x ，∴S ＝12OP ·QD ＝12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－32x ＝－34x 2＋3x ＝－34(x －2)2＋3(0＜x ＜4)， ∵a ＝－34＜0， ∴当x ＝2时，S 有最大值，最大值为3；(3)存在某个时刻x 的值，使△OPQ 的面积为334个平方单位，理由如下： 假设存在某个时刻，使△OPQ 的面积为334个平方单位， 由(2)可知－34x 2＋3x ＝334， 解得x ＝1或x ＝3，∵0＜x ＜4，∴x ＝1或x ＝3都合题意，即当x ＝1 s 或3 s 时，能使△OPQ 的面积为334个平方单位．2．(常州中考)如图①，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，__矩形__一定是等角线四边形；(填写图形名称)②若M，N，P，Q分别是等角线四边形ABCD四边AB，BC，CD，DA的中点，当对角线AC，BD还要满足__AC⊥BD__时，四边形MNPQ是正方形；(2)如图②，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为平面内一点．①若四边形ABCD是等角线四边形，且AD＝BD，则四边形ABCD的面积是________；②设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形，写出四边形ABED面积的最大值，并说明理由．解：(1)①矩形；②AC⊥BD；(2)①3＋221；图③②如图③中，设AE 与BD 相交于点Q ，连接CE ，作DH⊥AE 于H ，BG ⊥AE 于G.则DH≤DQ，BG ≤BQ ，∵四边形ABED 是等角线四边形，∴AE ＝BD ，∵S 四边形ABED ＝S △ABE ＋S △ADE ＝12·AE ·DH ＋12·AE ·BG ＝12·AE ·(GB ＋DH)≤12·AE ·(B Q ＋QD)， 即S 四边形ABED ≤12AE ·BD ， ∴当G ，H 重合时，即BD⊥AE 时，等号成立，∵AE ＝BD ，∴S 四边形ABED ≤12AE 2， 即线段AE 最大时，四边形ABED 的面积最大，∵AE≤AC＋CE ，∴AE ≤5＋1，∴AE ≤6，∴AE 的最大值为6，∴当A ，C ，E 共线时，取等号，∴四边形ABED 的面积的最大值为12×62＝18. 3．(海南中考)如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 在AD 边上运动，且不与点A 和点D 重合，连接CE ，过点C 作CF⊥CE 交AB 的延长线于点F ，EF 交BC 于点G.(1)求证：△CDE≌△CBF；(2)当DE ＝12时，求CG 的长； (3)连接AG ，在点E 运动过程中，四边形CEAG 能否为平行四边形？若能，求出此时DE 的长；若不能，说明理由．解：(1)在正方形ABCD 中，DC ＝BC ，∠D ＝∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠CBF ＝180°－∠ABC＝90°，∠DCE ＋∠ECB＝∠DCB＝90°，∵CF ⊥CE ，∴∠ECF ＝90°，∴∠ECB ＋∠BCF＝∠ECF＝90°，∴∠DCE ＝∠BCF，在△CDE 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠CBF，DC ＝BC ，∠DCE ＝∠BCF，∴△CDE ≌△CBF ；(2)在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴△GBF ∽△EAF ，∴BG AE ＝BF AF， 由(1)知，△CDE≌△CBF，∴BF ＝DE ＝12，∵正方形的边长为1， ∴AF ＝AB ＋BF ＝32，AE ＝AD －DE ＝12，∴BG12＝1232，∴BG＝16，∴CG＝BC－BG＝56；(3)不能．理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AE∥CG，AE＝CG，∴AD－AE＝BC－CG，∴DE＝BG，由(1)知，△CDE≌△CBF，∴DE＝BF，CE＝CF，∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形，∴∠G FB＝45°，∠CFE＝45°，∴∠CFA＝∠GFB＋∠CFE＝90°，此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符，∴点E在运动过程中，四边形CEAG不能是平行四边形．5 圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是遵义中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系．与圆的有关性质【例1】如图，已知OA，OB是⊙O的两条半径，C，D为OA，OB上的两点，且AC＝BD.求证：AD＝BC.【解析】首先证明OC ＝OD ，再证明△OCB≌△ODA，进而得到AD ＝BC.【答案】证明：∵OA，OB 是⊙O 的两条半径，∴AO ＝BO.∵AC ＝BD ，∴OC ＝OD ，在△ODA 和△OCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝BO ，∠O ＝∠O，OD ＝OC ，∴△ODA ≌△OCB(SAS )，∴AD ＝BC.1．(玉林一模)如图，AB 是半圆O 上的直径，E 是BC ︵的中点，OE 交弦BC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线交OE 的延长线于点F ，已知BC ＝8，DE ＝2.(1)求⊙O 的半径；(2)求CF 的长．解：(1)设⊙O 的半径为x ，∵E 点是BC ︵的中点，O 点是圆心，∴OD ⊥BC ，DC ＝12BC ＝4，在Rt △ODC 中，OD ＝x －2，∴OD 2＋DC 2＝OC 2，∴(x －2)2＋42＝x 2，∴x ＝5，即⊙O 的半径为5；(2)∵FC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CF.又∵E 是BC ︵的中点．∴OD ⊥BC ，∴OC 2＝OD·OF，即52＝3·OF，∴OF ＝253.在Rt △OCF 中，OC 2＋CF 2＝OF 2，∴CF ＝203.圆的切线的性质与判定【例2】(遵义二中一模)如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若BD的弦心距OF＝1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)【解析】(1)证∠ODC＝∠ABC＝90°；(2)在Rt△OBF中，∠ABD＝30°，OF＝1，可求得BD的长，∠BOD 的度数，又由S阴影＝S扇形OBD－S△BOD，即可求解．【答案】解：(1)连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°.∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODC ＝∠ABC＝90°，即OD ⊥CD.∵点D 在⊙O 上，∴CD 为⊙O 的切线；(2)在Rt △OBF 中，∵∠ABD ＝30°，OF ＝1，∴∠BOF ＝60°，OB ＝2，BF ＝ 3.∵OF ⊥BD ，∴BD ＝2BF ＝23，∠BOD ＝2∠BOF＝120°.∴S 阴影＝S 扇形OBD －S △BOD＝120π×22360－12×23×1＝43π－ 3.2．(南宁中考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为H ，连接AC ，过BD ︵上一点E 作EG∥AC 交CD的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点F ，且EG ＝FG ，连接CE.(1)求证：△ECF∽△GCE；(2)求证：EG 是⊙O 的切线；(3)延长AB 交GE 的延长线于点M ，若tan G ＝34，AH ＝33，求EM 的值． 解：(1)∵AC∥EG，∴∠G ＝∠ACG.∵AB ⊥CD ，∴AD ︵＝AC ︵，∴∠CEF ＝∠ACD，∴∠G ＝∠CEF.∵∠ECF ＝∠ECG，∴△ECF ∽△GCE ；(2)连接OE.∵GF ＝GE ，∴∠GFE ＝∠GEF＝∠AFH.∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠OEA.∵∠AFH ＋∠FAH＝90°，∴∠GEF ＋∠AEO＝90°，∴∠GEO ＝90°，∴GE ⊥OE.又∵OE 为⊙O 半径，∴EG 是⊙O 的切线，(3)连接OC.设⊙O 的半径为r.在Rt △AHC 中，tan ∠ACH ＝tan G ＝AH HC ＝34，∵AH ＝33，∴HC ＝43，在Rt △HOC 中，∵OC ＝r ，OH ＝r －33，HC ＝43， ∴(r －33)2＋(43)2＝r 2，∴r ＝2536.∵GM ∥AC ，∴∠CAH ＝∠M.∵∠OEM ＝∠AHC，∴△AHC ∽△MEO ，∴AHEM ＝HCOE ， ∴33EM ＝432536，∴EM ＝2538.。

中考数学综合复习一．选择题1.已知点1122(,),(,)A x y B x y 是反比例函数3y x=-图像上的两点，若210x x <<，则有 ( )A. 120y y <<B. 210y y <<C. 210y y <<D. 120y y << 2.将二次函数212y x =的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得函数的关系式为( ) A. 21(1)22y x =+- B. 21(1)22y x =-- C. 21(1)22y x =++ D. 21(1)22y x =-+3．如图，一次函数y=k 1x+b 的图象与反比例函数y=的图象相交于A （2，3），B （6，1）两点，当k 1x+b ＜时，x 的取值范围为（ ）A ．x ＜2；B ．2＜x ＜6；C ．x ＞6；D ．0＜x ＜2或x ＞65．已知一次函数 y=kx+b 的大致图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 x 2﹣2x+kb+1=0 的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．有一个根是 06．如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B ，点 B 的坐标为 (，M 是圆上一点，∠BMO=120°．⊙C 圆心C 的坐标是（ ）A ．1()22；B ．1)22-；C ．1()22-；D 。

1()22--。

7.如图，等边三角形ABC 的边长为3 cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1 cm 的速度，沿 A B C →→的方向运动，到达点C 时停止，设运动时间为2(),x s y PC =，则y 关 于x 的函数图像大致为( )二．填空题8.3x y --互为相反数，则x +y 的值为__________． 9.若2210x x --=，则代数式2243x x -+的值为 .10．若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是__ ____。