●知识梳理
1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n
无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限.
注：a 不一定是｛a n ｝中的项.
2.几个常用的极限：①∞→n lim C =C （C 为常数）;②∞→n lim n 1
=0;③∞
→n lim q n =0（|q |＜1）.
3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝，
当∞
→n lim a n =a , ∞
→n lim b n =b 时，∞
→n lim （a n ±b n ）=a ±b ;
∞
→n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞
→n lim
n n b a =b
a
（b ≠0）. 特别提示
（1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个.
1.下列极限正确的个数是
①∞→n lim αn 1
=0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞
→n lim
n
n n n 3232+-=－1 ④∞
→n lim C =C （C 为常数）
A.2
B.3
C.4
D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B
2. ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21
+n ）］等于
A.0
B.1
C.2
D.3
解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－2
1
+n ）］
=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×2
1
++n n ］ =∞→n lim 22+n n
=2. 答案:C
3.下列四个命题中正确的是 A.若∞
→n lim a n 2＝A 2，则∞
→n lim a n ＝A
B.若a n ＞0，∞
→n lim a n ＝A ，则A ＞0
C.若∞
→n lim a n ＝A ，则∞
→n lim a n 2＝A 2
D.若∞
→n lim （a n －b ）＝0，则∞
→n lim a n ＝∞
→n lim b n
解析:排除法，取a n ＝（－１）n ，排除A ；
取a n ＝n
1
，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ．
答案:C
4.（2005年春季上海,2） ∞→n lim n n ++++ 212
=__________.
解析:原式=∞→n lim 2
)1(2
++n n n =∞→n lim 221212n
n n ++=0.
答案:0
5.（2005年春季北京,9） ∞→n lim 32222-+n n
n =____________.
解析:原式=∞→n lim
2
322
1n
n -+
=2
1. 答案:2
1
思考讨论
【例1】 求下列极限：
（1）∞
→n lim
7
57222+++n n n ;（2） ∞
→n lim （n n +2－n ）;
（3）∞
→n lim （
22n +24n + (22)
n ）. 剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（2）因n n +2与n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极
限.
解:（1）∞
→n lim
7
57
222
+++n n n =∞→n lim 22
757
12n
n
n +++
=52.
（2）∞
→n lim （n n +2－n ）= ∞
→n lim
n
n n n ++2=∞
→n lim
1111++
n
=2
1. （3）原式=∞
→n lim
22642n n ++++ =∞→n lim 2
)1(n n n +=∞→n lim （1+n 1）=1. 评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)
75(lim )
72(lim 22+++∞
→∞→n n n n n =∞∞
=1,②∵∞→n lim （2n 2+n +7）, ∞
→n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种
错误： ①∞
→n lim （n n +2－n ）= ∞
→n lim
n n +2－∞
→n lim n =∞－∞=0;②原式
=∞
→n lim n n +2－∞
→n lim n =∞－∞不存在.对于（3）要避免出现原式=∞
→n lim
22n +∞→n lim 2
4
n +…+∞→n lim
2
2n n
=0+0+…+0=0这样的错误.
【例2】 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．
（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；
（2）求∞
→n lim
1
122+-+-n n
n n a a 的值．
解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,
∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －
1.
∴S n ＝⎪
⎩⎪
⎨⎧≠>--=).
10(1)
1(3)1(3c c c
c c n n 且
（2） ∞
→n lim
1
122+-+-n n n n a a ＝∞→n lim n
n n n c c 32321
1+---. ①当c =2时，原式＝－4
1
;
②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim c
c c n n 3)2(23
)2
(11+⋅---＝－c 1;
③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim 1
1
)2
(32)2(31--⋅+-n n c c c ＝21.
评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.
【例3】 已知直线l :x －ny =0（n ∈N *）,圆M :（x +1）2+（y +1）2=1,抛物线ϕ:y =
